SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Hier ga je al de fout in. Een punt op de velg beschrijft tijdens het rijden over een vlakke weg een cycloïde. Als je even de moeite neemt het Wikipedia artikel door te nemen krijg je antwoord op je vragen. Ik begrijp trouwens niet wat je hier nu precies mee wil. Als je uitgaat van de parametervoorstelling die in het artikel wordt gegeven, dan kun je x'(t) en y'(t) berekenen en daarmee dus ook de grootte van de snelheid v(t) = √(((x'(t))2 + (y'(t))2) van een punt op de velg op elk tijdstip t.quote:Op dinsdag 23 juli 2013 13:04 schreef the85mc het volgende:
Ik zat laatst eens na te denken over mijn fiets (mountainbike). Ik zit te denken om andere velgen te kopen, maar ik twijfel hoeveel effect dat heeft. Het voordeel is vooral afhankelijk van de velgsnelheid.
Als je naar 1 punt op de velg kijkt dan zie je dat dat punt een absolute sinus functie beschrijft tijdens het rijden
Maar wat is dan de snelheid van dat punt?
mag je *-1 doen?quote:Op dinsdag 23 juli 2013 02:26 schreef Riparius het volgende:
[..]
Opgave 1. Ontbind a6 + b6 zo ver mogelijk in veeltermen in a en b met uitsluitend reële coëfficiënten.
Opgave 2. Idem voor a5 + b5.
Overigens zijn die parametervoorstellingen niet eens zo moeilijk aan te tonen. Ik heb dat ook ooit moeten doen bij wiskunde D.quote:
[..]
Hier ga je al de fout in. Een punt op de velg beschrijft tijdens het rijden over een vlakke weg een cycloïde. Als je even de moeite neemt het Wikipedia artikel door te nemen krijg je antwoord op je vragen. Ik begrijp trouwens niet wat je hier nu precies mee wil. Als je uitgaat van de parametervoorstelling die in het artikel wordt gegeven, dan kun je x'(t) en y'(t) berekenen en daarmee dus ook de grootte van de snelheid v(t) = √(((x'(t))2 + (y'(t))2) van een punt op de velg op elk tijdstip t.
(a*a2)(a*a2)+(b*b2)(b*b2)quote:
[..]
Nee, het is niet de bedoeling de opgave te veranderen in iets anders.
Dat is triviaal, en niet de bedoeling. Een uitdrukking als a6 + b6 ontbinden wil zeggen dat je de gegeven uitdrukking herschrijft als een product van een aantal factoren die elk veeltermen zijn in a en b. Elk van deze veeltermen in a en b mag uitsluitend reële coëfficiënten hebben en geen van deze veeltermen mag nog verder zijn te ontbinden.quote:
Opgave 1: (a6 + b6) = (a3 + b3)(a3 - b3) = (a+b)(a2 - ab + b2)(a-b)(a2 + ab + b2)quote:
[..]
Opgave 1. Ontbind a6 + b6 zo ver mogelijk in veeltermen in a en b met uitsluitend reële coëfficiënten.
Opgave 2. Idem voor a5 + b5.
Bedoel je dit?
huh er staat +quote:
[..]
Opgave 1: (a6 + b6) = (a3 + b3)(a3 - b3) = (a+b)(a2 - ab + b2)(a-b)(a2 + ab + b2)
Bedoel je dit?
Je begrijpt in ieder geval wat de bedoeling is, maar dit is niet goed, want (a3 + b3)(a3 − b3) = a6 − b6.quote:
[..]
Opgave 1: (a6 + b6) = (a3 + b3)(a3 - b3) = (a+b)(a2 - ab + b2)(a-b)(a2 + ab + b2)
Bedoel je dit?
quote:
[..]
Je begrijpt in ieder geval wat de bedoeling is, maar dit is niet goed, want (a3 + b3)(a3 − b3) = a6 − b6.
dacht dat ik a6 − b6 moest ontbinden. Ik heb geen idee hoe je a6 + b6 moet ontbinden en de 2e opgave lijkt me nog lastiger aangezien het een oneven macht is. Zou je me misschien op weg kunnen helpen? (wellicht via een DM om de andere niet te spoilen)
Tuurlijk zou ik hints kunnen geven via DM, maar dan heb je een voorsprong t.o.v. anderen die het wellicht ook willen proberen, en dat is niet fair. En met hints geven op het forum is de aardigheid er ook snel af. Ik vind het gewoon leuk om te zien waar mensen allemaal mee aan komen zetten. Misschien bedenkt iemand wel een elegante herleiding die ik zelf nog niet had bedacht. Ik denk inderdaad ook dat de tweede opgave lastiger is.quote:Op dinsdag 23 juli 2013 15:39 schreef spacer730 het volgende:
[..]
Dat had ik ook al bedacht. Ik heb uiteraard even op WolframAlpha gespiekt, daar staat natuurlijk het antwoord, maar niet de herleiding. Zodoende moet het hier wel op lijken..quote:
[..]
Je begrijpt in ieder geval wat de bedoeling is, maar dit is niet goed, want (a3 + b3)(a3 − b3) = a6 − b6.
Als je gebruikt dat a^6 + b^6 = 0
Dan geldt ook dat:
a^6 - b^6 = -2b^6
Of mag ik niet stellen dat a^6 + b^6 = 0?
Overigens geen idee of dit de goede weg is.. Ik probeer ook maar wat.
[ Bericht 8% gewijzigd door #ANONIEM op 23-07-2013 15:58:07 ]
Moet je het als a^6-a^6 uitrekenen, maar dan aan rechterkant telkens aanvullen tot +a^6?quote:
[..]
Je begrijpt in ieder geval wat de bedoeling is, maar dit is niet goed, want (a3 + b3)(a3 − b3) = a6 − b6.
Nee, dat mag niet. Je moet het schrijven als een product. Dus (...)(....) = a^6 + b^6quote:
[..]
Moet je het als a^6-a^6 uitrekenen, maar dan aan rechterkant telkens aanvullen tot +a^6?
Kijk eens hier
[ Bericht 8% gewijzigd door #ANONIEM op 23-07-2013 16:09:40 ]
De truc hier is om je probleem voor een specifiek geval op te lossen en dat algemener te maken.quote:Op dinsdag 23 juli 2013 06:23 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Nee natuurlijk niet, jou kennende zit ik weer tot middernacht te piekeren hoe ik dit op ga lossen.
Ik heb inderdaad gezien dat het onderwerp van de dag tot een paar dagen geleden ontbinden in factoren was, maar toen heb ik er niet veel aandacht aan besteed. Tijd om wat materiaal op te rakelen dus. Ik heb namelijk nog geen idee hoe ik dit aan moet pakken.
Croce e delizia cor. Misterioso, Misterioso altero, croce e delizia al cor.
(a+b)(a^2 - ab + b^2)(a-b)(a^2 + ab + b^2)+2b^6quote:
[..]
Nee, dat mag niet. Je moet het schrijven als een product. Dus (...)(....) = a^6 + b^6
Kijk eens hier
Hoe zet je 2b^6 in haakjes?
Ik denk niet dat dit de goede manier is. Ieder product bevat a, dus wordt het lastig om a te elimineren.quote:
[..]
(a+b)(a^2 - ab + b^2)(a-b)(a^2 + ab + b^2)+2b^6
Hoe zet je 2b^6 in haakjes?
[ Bericht 5% gewijzigd door #ANONIEM op 23-07-2013 17:00:42 ]
Niet echt. Het antwoord dat WolframAlpha geeft voldoet niet aan de opdracht om a6 + b6 zo ver mogelijk te ontbinden in tweetermen in a en b met reële coëfficiënten.quote:
[..]
Dat had ik ook al bedacht. Ik heb uiteraard even op WolframAlpha gespiekt, daar staat natuurlijk het antwoord, maar niet de herleiding.
is dit een tussenstap?quote:
[..]
Niet echt. Het antwoord dat WolframAlpha geeft voldoet niet aan de opdracht om a6 + b6 zo ver mogelijk te ontbinden in tweetermen in a en b met reële coëfficiënten.
(a2*a4)+((ab*(ab)2)-(ab*(ab)2))+(b2*b4)
of:
a6 +a3b3 -(a3b3)+b6
(a6 +a3b3) -((a3b3)+b6)
a3(a3 +b3) -b3(a3 +b3)
(a3 -b3) (a3 +b3)2
(a-b) (a2+a b+b2)(a6+2a3 b3+b6)
[ Bericht 4% gewijzigd door wiskundenoob op 23-07-2013 21:12:41 ]
Kijk eens naar je laatste regel.Er staat nog steeds a^6 + b^6 in je laatste product. Dan ben je toch niets opgeschoten?
Daarnaast is het allemaal vergeefse moeite
[ Bericht 48% gewijzigd door #ANONIEM op 23-07-2013 21:36:10 ]
Daarnaast is het allemaal vergeefse moeite
[ Bericht 48% gewijzigd door #ANONIEM op 23-07-2013 21:36:10 ]
Als je iets ontbindt, moet je het in verschillende factoren zetten (in de uitdrukking a * b zijn a en b factoren).quote:
Jij zet het antwoord in termen (in de uitdrukking a + b zijn a en b termen).
Je begrijpt het al, wiskundenoob?
Riparius, ik heb ooit eens wat regels geleerd voor het ontbinden van dat soort expressies in factoren. Ik ben het een keer in een boek (een boek dat overigens bekend is geworden doordat het een bron van informatie voor Ramanujan, een bijzondere en grote wiskundige die inmiddels is overleden, was. Dit is overigens ook de reden dat ik er eens een kijkje in heb genomen: er staat inderdaad veel nuttigs in, maar het is niet erg leesbaar) tegengekomen, en ik heb het een keer tijdens getaltheorie nodig gehad (als ik het me goed herinner, ik begin nu een beetje te twijfelen).
Ik kom zover:
(a3 + b3) = (a + b)(a2 + b2 - ab)
Als ipv a en b a2 en b2 gebruikt kan je inderdaad de expressie van Riparius ontbinden. (maar ik zie nu dat Amoeba ook al zover was gekomen, met behulp van wolfram alpha). Hoewel de rechterkant nu precies in een kwadratische vorm staat (na de substitutie x=a is dit middschien duidelijker: x2-bx+b2), heeft deze vergelijking geen oplossingen
Helaas is dit een onderwerp waar ik niet veel kaas van gegeten heb. Ik heb al een paar keer bedacht dat ik er eigenlijk wat meer moeite aan zou moeten besteden, en ik heb dat ook een keer gedaan, maar ik kon niet echt dingen op internet vinden (mede doordat ik niet goed wist waar ik naar moest zoeken: ik vond vooral pagina's die de abc-formule uitlegden).
Ik dacht net even dat ik hem had, maar toen had ik (a2 + b2 + ab) ontbonden ipv (a2 + b2 - ab)...
[ Bericht 6% gewijzigd door randomo op 23-07-2013 23:48:40 ]
Riparius, ik heb ooit eens wat regels geleerd voor het ontbinden van dat soort expressies in factoren. Ik ben het een keer in een boek (een boek dat overigens bekend is geworden doordat het een bron van informatie voor Ramanujan, een bijzondere en grote wiskundige die inmiddels is overleden, was. Dit is overigens ook de reden dat ik er eens een kijkje in heb genomen: er staat inderdaad veel nuttigs in, maar het is niet erg leesbaar) tegengekomen, en ik heb het een keer tijdens getaltheorie nodig gehad (als ik het me goed herinner, ik begin nu een beetje te twijfelen).
Ik kom zover:
(a3 + b3) = (a + b)(a2 + b2 - ab)
Als ipv a en b a2 en b2 gebruikt kan je inderdaad de expressie van Riparius ontbinden. (maar ik zie nu dat Amoeba ook al zover was gekomen, met behulp van wolfram alpha). Hoewel de rechterkant nu precies in een kwadratische vorm staat (na de substitutie x=a is dit middschien duidelijker: x2-bx+b2), heeft deze vergelijking geen oplossingen
Helaas is dit een onderwerp waar ik niet veel kaas van gegeten heb. Ik heb al een paar keer bedacht dat ik er eigenlijk wat meer moeite aan zou moeten besteden, en ik heb dat ook een keer gedaan, maar ik kon niet echt dingen op internet vinden (mede doordat ik niet goed wist waar ik naar moest zoeken: ik vond vooral pagina's die de abc-formule uitlegden).
Ik dacht net even dat ik hem had, maar toen had ik (a2 + b2 + ab) ontbonden ipv (a2 + b2 - ab)...
[ Bericht 6% gewijzigd door randomo op 23-07-2013 23:48:40 ]
Hier maak je al een tekenfout: − (a3b3) + b6 = − ((a3b3) − b6).quote:
[..]
a6 + a3b3 - (a3b3) + b6
(a6 + a3b3) - ((a3b3) + b6)
Dat is uiteraard een correcte observatie. Als we in het merkwaardig productquote:
Ik kom zover:
(a3 + b3) = (a + b)(a2 + b2 - ab)
Als i.p.v. a en b a2 en b2 gebruikt kan je inderdaad de expressie van Riparius ontbinden (maar ik zie nu dat Amoeba ook al zover was gekomen, met behulp van WolframAlpha).
(a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3
a2 in de plaats stellen van a en b2 in de plaats van b, dan hebben we
a6 + b6 = (a2 + b2)(a4 − a2b2 + b4)
en dat is wat WolframAlpha ook geeft.
Dat is ook een goede observatie: a2 − ab + b2 is inderdaad irreducibel over R, en dat kun je gemakkelijk zien door deze veelterm op te vatten als een kwadratisch polynoom in één variabele. Nemen we a als variabele dan is de discriminant −3b2 en dus negatief voor elke reële b ≠ 0, zodat dit polynoom voor b ≠ 0 niet is te schrijven als een product van twee lineaire factoren met reële coëfficiënten. Aangezien het polynoom symmetrisch is in a en b geldt uiteraard mutatis mutandis hetzelfde als we omgekeerd b opvatten als variabele en a als constante. Het feit dat a2 − ab + b2 irreducibel is over R impliceert echter niet dat a4 − a2b2 + b4 ook irreducibel zou zijn over R, en dat is dan ook niet zo.quote:Hoewel de rechterkant nu precies in een kwadratische vorm staat (na de substitutie x=a is dit misschien duidelijker: x2-bx+b2), heeft deze vergelijking geen oplossingen.
Ik ken de merkwaardige producten voor polynomen van de derde graad helemaal niet. Misschien was dat het probleem zodat ik geen idee had waar te beginnen.quote:
[..]
Dat is uiteraard een correcte observatie. Als we in het merkwaardig product
(a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3
a2 in de plaats stellen van a en b2 in de plaats van b, dan hebben we
a6 + b6 = (a2 + b2)(a4 − a2b2 + b4)
en dat is wat WolframAlpha ook geeft.
[..]
Dat is ook een goede observatie: a2 − ab + b2 is inderdaad irreducibel over R, en dat kun je gemakkelijk zien door deze veelterm op te vatten als een kwadratisch polynoom in één variabele. Nemen we a als variabele dan is de discriminant −3b2 en dus negatief voor elke reële b ≠ 0, zodat dit polynoom voor b ≠ 0 niet is te schrijven als een product van twee lineaire factoren met reële coëfficiënten. Aangezien het polynoom symmetrisch is in a en b geldt uiteraard mutatis mutandis hetzelfde als we omgekeerd b opvatten als variabele en a als constante. Het feit dat a2 − ab + b2 irreducibel is over R impliceert echter niet dat a4 − a2b2 + b4 ook irreducibel zou zijn over R, en dat is dan ook niet zo.
Maar je meent nu te zeggen dat het mogelijk is om a4 -a2b2 + b4 te schrijven is, zoals jij dat zo mooi weet te zeggen, als een product van twee lineaire factoren met reële coëfficiënten.
Dat lijkt me nog een aardige uitdaging.
Ik had de term merkwaardige producten al genoemd bij de opgave, bedoeld als hint, en dan kan het natuurlijk geen kwaad even het Wikipedia artikel hierover door te kijken.quote:
[..]
Ik ken de merkwaardige producten voor polynomen van de derde graad helemaal niet. Misschien was dat het probleem zodat ik geen idee had waar te beginnen.
Nou nee, dit is niet wat ik hierboven zeg. De veelterm a4 − a2b2 + b4 is niet te schrijven als een product van (vier, niet twee) lineaire veeltermen in a en b met reële coëfficiënten. Maar deze veelterm is wél reducibel over R, dus je kunt dit nog verder ontbinden in veeltermen in a en b met reële coëfficiënten. Maar hoe?quote:Maar je meent nu te zeggen dat het mogelijk is om a4 - a2b2 + b4 te schrijven is, zoals jij dat zo mooi weet te zeggen, als een product van twee lineaire factoren met reële coëfficiënten.
Dat lijkt me nog een aardige uitdaging.
Ja, maar dat is een tautologie, lineaire veeltermen zijn per definitie eerstegraads veeltermen. Maar zoals gezegd is a4 − a2b2 + b4 niet te ontbinden in lineaire veeltermen in a en b met reële coëfficiënten, wel op een andere manier.quote:
[..]
Even kijken of ik dit goed begrepen heb.
Als het te schrijven is als 4 lineaire veeltermen in a en b met reële coëfficiënten dan geldt dat iedere factor van ten hoogste graad 1 is?
Krijg je het juiste antwoord als ik dit uitwerk?quote:
[..]
Hier maak je al een tekenfout: − (a3b3) + b6 = − ((a3b3) − b6).
[ Bericht 0% gewijzigd door wiskundenoob op 24-07-2013 17:51:29 ]
Het is nu nog een kwestie van het ontbinden van a4 -(ab)2 + b4 in factoren. Zoals Randomo al terecht opmerkte maak jij er een puinhoop met termen van.quote:
[..]
Krijg je het juiste antwoord als ik dit uitwerkt?
[ Bericht 0% gewijzigd door #ANONIEM op 24-07-2013 17:35:36 ]
Pfff het zijn gewoon factoren....quote:
[..]
Het is nu nog een kwestie van het ontbinden van a4 -(ab)2 + b4 in factoren. Zoals Randomo al terecht opmerkte maak jij er een puinhoop met termen van.
[ Bericht 2% gewijzigd door wiskundenoob op 24-07-2013 18:15:23 ]
a is een term, b is een term, (a+b) is hier een factorquote:
[..]
Is (a+b)(a+b) nou een term of een factor?..
quote:
[..]
Pfff het zijn gewoon factoren....
Luister nou maar naar wat vader Thenxero zegt.quote:
[..]
a is een term, b is een term, (a+b) is hier een factor
Ik vermoedde inderdaad al dat a2 - ab + b2 irreducibel is en a4 - a2b2 + b4 niet, maar helaas houdt het daar ook mee op: ik ken geen merkwaardig product dat me kan helpen, maar ik meen me te herinneren dat in het pdf'je uit mijn vorige post zulke producten systematisch uitgewerkt staan (maar dat vind ik zelf een beetje richting spieken gaan, ik wacht nog even af of ik of iemand anders misschien een 'sudden realization' heeft die ons verder kan helpen).quote:
[...]
Dat is ook een goede observatie: a2 − ab + b2 is inderdaad irreducibel over R, en dat kun je gemakkelijk zien door deze veelterm op te vatten als een kwadratisch polynoom in één variabele. Nemen we a als variabele dan is de discriminant −3b2 en dus negatief voor elke reële b ≠ 0, zodat dit polynoom voor b ≠ 0 niet is te schrijven als een product van twee lineaire factoren met reële coëfficiënten. Aangezien het polynoom symmetrisch is in a en b geldt uiteraard mutatis mutandis hetzelfde als we omgekeerd b opvatten als variabele en a als constante. Het feit dat a2 − ab + b2 irreducibel is over R impliceert echter niet dat a4 − a2b2 + b4 ook irreducibel zou zijn over R, en dat is dan ook niet zo.
Overigens, ik bedacht me net iets wat misschien goed (voor je inzicht) is om te realiseren.
Bij het ontbinden van een kwadratische vergelijking zoek je meestal naar nulpunten, en het ontbinden van een expressie als x^3+y^3 kan op soortgelijke wijze.
Als je x3 + y3 = 0 stelt, kan je al snel zien dat x = -y een oplossing is.
Dat betekent dat x + y = 0 impliceert dat x3 + y3 = 0. Oftewel, x + y is een factor van x3 + y3. Op dezelfde wijze kan je snel en makkelijk factoren van bijvoorbeeld x3 - y3 en x4 - y4 vinden. Hoewel het onthouden van merkwaardige producten sneller is, kan voor simpele polynomen ook deze manier gebruiken.
Helaas helpt dit niet veel bij het ontbinden van ingewikkeldere expressies zoals a4 - a2b2 + b4. Het enige wat ik nog kan verzinnen is om factoren te proberen en deze proberen er met een staartdeling uit te halen.
Nu kan je wel wat voorwaarden stellen aan de factoren: je weet al dat de factoren niet lineair zijn in a of b, dus factoren van de vorm (a + k * b) hoef je niet te proberen (dit heeft Riparius al verklapt, en verder kan je het inzien omdat a = -k * b geen nulpunten van de vergelijking a4 - a2b2 + b4 geeft: dit kan je controleren door in te vullen, misschien zijn er makkelijkere manieren). Dus moeten de factoren een term a2, b2 of ab hebben (en ik kan zelfs niet uitsluiten dat er termen als a2b in voorkomen). De expressie is symmetrisch in a en b, maar je kan hier niet uit concluderen dat elke factor dat ook moet zijn: (a + 5)(b + 5) = ab + 5a + 5b is bijvoorbeeld ook symmetrisch in a en b, maar zijn factoren zijn dat niet.
edit: verder weet je, omdat (zoals Riparius in zijn post hiervoor uitlegt) a2 - ab + b2 irreducibel is, dat a4 - a2b2 + b4 geen factoren van de vorm (a2 - k) heeft (dit zou namelijk impliceren dat a2 - ab + b2 wel reducibel is, namelijk met een factor (a - k)). Door de symmetrie in a en b geldt natuurlijk hetzelfde als we b in plaats van a gebruiken.
Er blijven helaas nog een heleboel mogelijke vormen over die factoren wèl kunnen hebben. Ik kom er niet uit, en zie dus waarschijnlijk iets over het hoofd (het is ooit door iemand ontbonden, en die zal vast niet blindelings factoren hebben geprobeerd)...
TLDR; het lukt me niet
[ Bericht 7% gewijzigd door randomo op 24-07-2013 23:15:39 ]
Hoe ontbind je dan makkelijk? Ik snap dat x = -y maar zie niet hoe dat helpt...quote:Op woensdag 24 juli 2013 23:16 schreef randomo het volgende:
Ja, ik heb een beetje saaie vakantie tot nu toe, vandaar mijn lange post
Als je x3 + y3 = 0 stelt, kan je al snel zien dat x = -y een oplossing is.Dat betekent dat x + y = 0 impliceert dat x3 + y3 = 0. Oftewel, x + y is een factor van x3 + y3. Op dezelfde wijze kan je snel en makkelijk factoren van bijvoorbeeld x3 - y3 en x4 - y4 vinden. Hoewel het onthouden van merkwaardige producten sneller is, kan voor simpele polynomen ook deze manier gebruiken.
x^3 - x^3 van maken? Of heb je ovetr wat anders..
Hehehe, wat een feest van herkenning; alsof ik gevraagd wordt ∫1/(x4+1) dx te integrerenquote:
Nou nee, dit is niet wat ik hierboven zeg. De veelterm a4 − a2b2 + b4 is niet te schrijven als een product van (vier, niet twee) lineaire veeltermen in a en b met reële coëfficiënten. Maar deze veelterm is wél reducibel over R, dus je kunt dit nog verder ontbinden in veeltermen in a en b met reële coëfficiënten. Maar hoe?
...Hint: Je moet hier gebruik maken van een licht gewijzigde vorm van de identiteit van Argand, nl:
(A2+√3*AB+B2)*(A2-√3*AB+B2) =
A4 +√3*A3B +A2B2 -√3*A3B -3*A2B2 -√3*AB3 +A2B2 +√3*AB3 +B4 =
A4 +√3*A3B +A2B2 -√3*A3B -3*A2B2 -√3*AB3 +A2B2 +√3*AB3 +B4 =
A4 -A2B2 +B4
De truc zit-em hierin: Je moet de middelste termen AB van een dusdanige factor extra voorzien, dat na het uitschrijven van het product (A^2 + m*A*B + B^2)(A^2 - n*A*B + B^2)
-1.) alle termen die een factor tot de macht 3 bevatten tegen elkaar wegvallen, wat de voorwaarde m = -n oplevert, en
-2.) dat de som van alle termen met A2B2 de middelste term in de te ontbinden uitdrukking oplevert. Dit geeft als voorwaarde n*m + 2 = -1
Deze voorwaarden uitwerken geeft:
nm +2 = -1
nm = -3
En omdat volgens voorwaarde 1.) geldt m = -n, krijgen we uiteindelijk
-m2 = -3
m2 = 3
m = √3 ∨ -√3 en dus ook n = √3 ∨ -√3
Hieruit volgt dat de gezochte factoren voor de middelste termen in de kwadratische polynomen zijn √3 en -√3
Vervolgens kan je met de wortelformule checken of de gevonden kwadratische polynomen nog verder te ontbinden zijn.
NB: dat de engelse Wikipedia over merkwaardige producten die Identiteit niet vermeldt is echt wel
.[ Bericht 0% gewijzigd door VanishedEntity op 25-07-2013 00:33:03 ]
Als je ziet dat x + y = 0 impliceert dat x3 + y3, weet je dat (x + y) een factor van x3 + y3 is. Veel makkelijker kan ik het niet uitleggen.quote:
[..]
Hoe ontbind je dan makkelijk? Ik snap dat x = -y maar zie niet hoe dat helpt...
x^3 - x^3 van maken? Of heb je ovetr wat anders..
[ Bericht 0% gewijzigd door randomo op 25-07-2013 00:11:46 ]
Mooi dat je het post (met uitleg, hulde!), ik denk niet dat ik er uit was gekomen.quote:
(Onbegrijpelijk trouwens, hoe mensen op sommige identiteiten komen...)
[ Bericht 7% gewijzigd door randomo op 25-07-2013 00:16:00 ]
Daarvoor is het nog x+y, maar wat heb je dan opgelost?quote:
[..]
Als je ziet dat x - y = 0 impliceert dat x3 + y3, weet je dat (x - y) een factor van x3 + y3 is. Veel makkelijker kan ik het niet uitleggen.
Je hebt gelijk, ik bedoelde x + y (ik heb het inmiddels gewijzigd). Dan heb je dus een factor van x3 + y3 gevonden.quote:
[..]
Daarvoor is het nog x+y, maar wat heb je dan opgelost?
[ Bericht 13% gewijzigd door randomo op 25-07-2013 01:06:16 ]
Ok ik denk dat ik het snap. x^3-y^3, x = y. 1 vd factor van x^3 -y^3 is (x-y) ?quote:
[..]
Je hebt gelijk, ik bedoelde x + y (ik las x = -y even als x - y = 0, for some reason, de smiley
[ Bericht 0% gewijzigd door wiskundenoob op 25-07-2013 00:29:47 ]
Jullie kunnen ook gewoon de hoofdstelling van de algebra gebruiken...
Croce e delizia cor. Misterioso, Misterioso altero, croce e delizia al cor.
Je schrijft het niet erg duidelijk op, maar ik geloof dat je begrijpt wat ik bedoeldequote:
[..]
Ok ik denk dat ik het snap. x^3-y^3, x = y 1 vd factor van x3 -y3 is (x-y) ?
Die gaat alleen over complexe variabelen, en geeft alleen aan dat zo'n ontbinding bestaat, niet wat deze is (en volgens mij niet eens dat deze uniek is, maar dat weet ik niet helemaal zeker).quote:
Jullie kunnen ook gewoon de hoofdstelling van de algebra gebruiken...
Echt niet? Het is echt verbluffend eenvoudig als je het ziet ...quote:
[..]
Ik vermoedde inderdaad al dat a2 - ab + b2 irreducibel is en a4 - a2b2 + b4 niet, maar helaas houdt het daar ook mee op: ik ken geen merkwaardig product dat me kan helpen,
Ik heb het boek van Carr even doorgenomen (dank trouwens om me hierop te attenderen, ik kende het niet), maar hier staat het voor zover ik zie niet in. Nu ja, indirect wel maar daar zeg ik maar even niets over.quote:maar ik meen me te herinneren dat in het pdf'je uit mijn vorige post zulke producten systematisch uitgewerkt staan (maar dat vind ik zelf een beetje richting spieken gaan, ik wacht nog even af of ik of iemand anders misschien een 'sudden realization' heeft die ons verder kan helpen).
Inderdaad, dat is zeker een bruikbare methode.quote:Overigens, ik bedacht me net iets wat misschien goed (voor je inzicht) is om te realiseren.
Bij het ontbinden van een kwadratische vergelijking zoek je meestal naar nulpunten, en het ontbinden van een expressie als x^3+y^3 kan op soortgelijke wijze.
Als je x3 + y3 = 0 stelt, kan je al snel zien dat x = -y een oplossing is.
Dat betekent dat x + y = 0 impliceert dat x3 + y3 = 0. Oftewel, x + y is een factor van x3 + y3. Op dezelfde wijze kan je snel en makkelijk factoren van bijvoorbeeld x3 - y3 en x4 - y4 vinden. Hoewel het onthouden van merkwaardige producten sneller is, kan voor simpele polynomen ook deze manier gebruiken.
Toch zou je de methode die je zelf aangeeft hier kunnen gebruiken. Ik zou het niet aanraden, maar het kan: je hebt uitsluitend even machten van a en b, dus als je bijvoorbeeld a2 = x substitueert, dan heb je x2 - b2x + b4. De discriminant van deze kwadratische veelterm in x is negatief voor b ≠ 0, zodat je dan twee toegevoegd complexe waarden voor x = a2 vindt die elk weer twee (complexe) waarden voor a uitgedrukt in b opleveren ...quote:Helaas helpt dit niet veel bij het ontbinden van ingewikkeldere expressies zoals a4 - a2b2 + b4. Het enige wat ik nog kan verzinnen is om factoren te proberen en deze proberen er met een staartdeling uit te halen.
De vergelijking k4 − k2 + 1 = 0 heeft inderdaad geen reële oplossingen dus een ontbinding in vier lineaire veeltermen in a en b met reële coëfficiënten is niet mogelijk.quote:Nu kan je wel wat voorwaarden stellen aan de factoren: je weet al dat de factoren niet lineair zijn in a of b, dus factoren van de vorm (a + k * b) hoef je niet te proberen (dit heeft Riparius al verklapt, en verder kan je het inzien omdat a = -k * b geen nulpunten van de vergelijking a4 - a2b2 + b4 geeft: dit kan je controleren door in te vullen, misschien zijn er makkelijkere manieren).
Dit is juist opgemerkt.quote:Dus moeten de factoren een term a2, b2 of ab hebben (en ik kan zelfs niet uitsluiten dat er termen als a2b in voorkomen). De expressie is symmetrisch in a en b, maar je kan hier niet uit concluderen dat elke factor dat ook moet zijn: (a + 5)(b + 5) = ab + 5a + 5b is bijvoorbeeld ook symmetrisch in a en b, maar zijn factoren zijn dat niet.
En ook dit is juist opgemerkt.quote:edit: verder weet je, omdat (zoals Riparius in zijn post hiervoor uitlegt) a2 - ab + b2 irreducibel is, dat a4 - a2b2 + b4 geen factoren van de vorm (a2 - k) heeft (dit zou namelijk impliceren dat a2 - ab + b2 wel reducibel is, namelijk met een factor (a - k)). Door de symmetrie in a en b geldt natuurlijk hetzelfde als we b in plaats van a gebruiken.
Je ziet inderdaad iets over het hoofd.quote:Er blijven helaas nog een heleboel mogelijke vormen over die factoren wèl kunnen hebben. Ik kom er niet uit, en zie dus waarschijnlijk iets over het hoofd (het is ooit door iemand ontbonden, en die zal vast niet blindelings factoren hebben geprobeerd)...
aargh!
. Ik kijk morgen nog wel even.
Ik zou het trouwens ook nog niet zien als ik de identiteit van Argand wel kende. Wat dat betreft is het een zeer geschikt probleem om mijn kennis eens bij te schaven
Ok, maar dat geldt wel voor meer dingen, vooral in de wiskundequote:
[..]
Echt niet? Het is echt verbluffend eenvoudig als je het ziet ...
. Ik kijk morgen nog wel even.Ik zou het trouwens ook nog niet zien als ik de identiteit van Argand wel kende. Wat dat betreft is het een zeer geschikt probleem om mijn kennis eens bij te schaven
Wow, Riparius, je hebt gelijk: achteraf sla ik mezelf voor mijn kop dat ik het niet zag. Je kan gewoon een soort 'completing the square' gebruiken (ik weet niet helemaal of ik die term correct gebruik, ik dacht dat het de Engelse benoeming is voor technieken als deze):
SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
Er is niets onbegrijpelijks aan, en ik denk dat een beetje HBS'er of gymnasiast hier pakweg een eeuw geleden of zelfs een halve eeuw geleden geen moeite mee zou hebben gehad. Je was zelf al op het idee gekomen om in het merkwaardig productquote:
[..]
(Onbegrijpelijk trouwens, hoe mensen op sommige identiteiten komen...)
(a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3
a2 in de plaats te stellen van a en b2 in de plaats van b, zodat je vond
a6 + b6 = (a2 + b2)(a4 − a2b2 + b4)
Welnu, als je in het merkwaardig product
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
op dezelfde manier a2 in de plaats stelt van a en b2 in de plaats van b, dan heb je
a4 + 2a2b2 + b4 = (a2 + b2)2
Het linkerlid lijkt nu erg op a4 − a2b2 + b4, nauwkeuriger gezegd, het verschil met a4 + 2a2b2 + b4 bedraagt 3a2b2. We hebben dus
a4 − a2b2 + b4 = (a2 + b2)2 − 3a2b2
Dit is in feite niets anders dan het toepassen van kwadraatafsplitsing: a4 + b4 = (a2 + b2)2 − 2a2b2. Nu willen we het rechterlid schrijven als een verschil van twee kwadraten, omdat we dan het merkwaardig product a2 − b2 = (a + b)(a − b) kunnen toepassen. We hebben 3a2b2 = (√3·ab)2, en dus hebben we
a4 − a2b2 + b4 = (a2 + b2)2 − (√3·ab)2
en dit geeft
a4 − a2b2 + b4 = ((a2 + b2) + √3·ab)((a2 + b2) − √3·ab)
oftewel
a4 − a2b2 + b4 = (a2 + √3·ab + b2)(a2 − √3·ab + b2)
zodat we uiteindelijk krijgen
a6 + b6 = (a2 + b2)(a2 + √3·ab + b2)(a2 − √3·ab + b2)
Elk van de kwadratische veeltermen in a en b in het rechterlid is irreducibel over R, zoals je gemakkelijk kunt nagaan door de discriminanten van deze veeltermen te berekenen. En uiteraard kun je deze identiteit nu controleren in WolframAlpha.
De kwadratische veeltermen in het rechterlid zijn niet irreducibel over C, dus als je wel complexe coëfficiënten toestaat, dan kun je a6 + b6 wel schrijven als het product van zes lineaire factoren in a en b, en dan krijg je dit. Deze lineaire factorisatie hangt uiteraard samen met de wortels van de vergelijking z6 = −1. Als je a/b = z substitueert, oftewel a = bz, dan heb je a6 + b6 = b6(z6 + 1) zodat het ontbinden in lineaire factoren neerkomt op het oplossen in C van de vergelijking z6 + 1 = 0. De beeldpunten in het complexe vlak van de oplossingen van deze vergelijking vormen zoals bekend een regelmatige zeshoek waarvan de hoekpunten op de eenheidscirkel liggen.
quote:
Wow, Riparius, je hebt gelijk: achteraf sla ik mezelf voor mijn kop dat ik het niet zag. Je kan gewoon een soort 'completing the square' gebruiken (ik weet niet helemaal of ik die term correct gebruik, ik dacht dat het de Engelse benoeming is voor technieken als deze):Inderdaad, dat is het. Je was me net voor omdat ik bezig was het allemaal nog eens netjes uit te leggen in de post hierboven (die natuurlijk ook voor de andere meelezers is bedoeld).SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
Maar goed, nu nog de vraag hoe je
a5 + b5
zo ver mogelijk ontbindt in veeltermen in a en b met uitsluitend reële coëfficiënten. Dit is lastiger, maar je kunt dezelfde elementaire technieken gebruiken.
Goed, ook ik lees de Portugese wikipedia eens door.
Dus:
(a+b)(a4 -a3b +(ab)2 -ab3+b4) = a5 + b5
Dan rest ons het ontbinden van (a4 -a3b +(ab)2 -ab3+b4) in factoren.. Nu buig ik me weer over mijn schrift.
Ook dit zal wel weer niet mogelijk zijn in lineaire veeltermen..
[ Bericht 20% gewijzigd door #ANONIEM op 25-07-2013 02:08:59 ]
Dus:
(a+b)(a4 -a3b +(ab)2 -ab3+b4) = a5 + b5
Dan rest ons het ontbinden van (a4 -a3b +(ab)2 -ab3+b4) in factoren.. Nu buig ik me weer over mijn schrift.
Ook dit zal wel weer niet mogelijk zijn in lineaire veeltermen..
[ Bericht 20% gewijzigd door #ANONIEM op 25-07-2013 02:08:59 ]
Inderdaad.quote:
Goed, ook ik lees de Portugese wikipedia eens door.
[ afbeelding ]
Dus:
(a + b)(a4 - a3b + (ab)2 - ab3 + b4) = a5 + b5
Dan rest ons het ontbinden van (a4 - a3b + (ab)2 - ab3 + b4) in factoren..
Ik zal hier maar even iets nuttigs plaatsen..quote:
Je stelt dat gymnasten hier geen moeite mee zouden hebben, halverwege de vorige eeuw. Nu trek ik mij dat natuurlijk heeeel erg aan zijnde (net geen) gymnast, maar toch heb ik één vraag.
1. De machten van a en b in het antwoord, zijn deze in N, of beter gezegd, is het de bedoeling dat deze in N zijn?
[ Bericht 5% gewijzigd door #ANONIEM op 25-07-2013 03:12:33 ]
Ja, want het is de bedoeling te ontbinden in veeltermen in a en b. En we spreken alleen van een veelterm of polynoom in één of meer variabelen als de uitdrukking alleen niet-negatieve gehele machten van de variabele(n) bevat en verder alleen is samengesteld uit constanten met gebruikmaking van uitsluitend (een eindig aantal) optellingen, aftrekkingen en vermenigvuldigingen.quote:
[..]
Ik zal hier maar even iets nuttigs plaatsen..
Je stelt dat gymnasten hier geen moeite mee zouden hebben, halverwege de vorige eeuw. Nu trek ik mij dat natuurlijk heeeel erg aan zijnde (net geen) gymnast, maar toch heb ik één vraag.
1. De machten van a en b in het antwoord, zijn deze in N, of beter gezegd, is het de bedoeling dat deze in N zijn?
Weer wat geleerd. Ik zat de hele tijd te prutsen met ((a-b)(a+b))2, maar dat lijkt niet de juiste weg.quote:
[..]
Ja, want het is de bedoeling te ontbinden in veeltermen in a en b. En we spreken alleen van een veelterm of polynoom in één of meer variabelen als de uitdrukking alleen niet-negatieve gehele machten van de variabele(n) bevat en verder alleen is samengesteld uit constanten met gebruikmaking van uitsluitend optelling, aftrekking en vermenigvuldiging.
Als iemand 't praktisch vindt:
a5 + b5 = (a+b)((a3 - b3)(a-b)+(ab)2)
[ Bericht 28% gewijzigd door #ANONIEM op 25-07-2013 04:10:00 ]
a5 + b5 = (a+b)((a3 - b3)(a-b)+(ab)2)
[ Bericht 28% gewijzigd door #ANONIEM op 25-07-2013 04:10:00 ]
Ik dacht al dat je iets dergelijks zou zeggenquote:
[..]
Er is niets onbegrijpelijks aan, en ik denk dat een beetje HBS'er of gymnasiast hier pakweg een eeuw geleden of zelfs een halve eeuw geleden geen moeite mee zou hebben gehad.
[...]
Ik realiseer me dat dit stof is die ik me nooit helemaal eigen heb gemaakt, en dat was ook niet nodig: voor wiskunde heb ik zonder moeite prima cijfers gehaald op de middelbare school. Als ik nu wat minder elementaire wiskunde probeer te doen (bijvoorbeeld die Putnam problemen waar ik laatst al wat over gepost heb) loop ik wel vaak tegen dit soort dingen aan.
Ik doelde overigens niet specifiek de identiteiten op die pagina hoewel
toch wel een beetje weergeeft wat ik bedoel. Hoewel ik zelf een lichte aversie heb tegen mensen die bij elke identiteit roepen dat het magie is, heb ik bij sommige identiteiten datzelfde gevoel ook wel een beetje. Ik bedoel maar: ik kan de formule controleren en zo begrijpen dat de formule klopt, maar als ik de opdracht had om een derdemacht te schrijven als het verschil van twee kwadraten, denk ik niet dat ik met die identiteit op de proppen zou kunnen komen.
Dit geldt overigens alleen voor oneven nquote:
Wat doe je precies om tot de 2e stap toe te komen?quote:a4 − a2b2 + b4 = (a2 + b2)2 − (√3·ab)2
en dit geeft
a4 − a2b2 + b4 = ((a2 + b2) + √3·ab)((a2 + b2) − √3·ab)
x²-y² = (x+y)(x-y)quote:
[..]
Wat doe je precies om tot de 2e stap toe te komen?
Je kunt a^6=-b^6 gewoon opschrijven als (a/b)^6=-1 en dit oplossen. Dan kun je a^6+b^6 opschrijven als het product van al zijn complexe nulpunten, dit kan vanwege de hoofdstelling van de algebra. Je kunt sommige van die factoren met elkaar vermenigvuldigen en dan vind je ook de uitdrukking die je zocht.quote:
[..]
Die gaat alleen over complexe variabelen, en geeft alleen aan dat zo'n ontbinding bestaat, niet wat deze is (en volgens mij niet eens dat deze uniek is, maar dat weet ik niet helemaal zeker).
Zo kun jij bijvoorbeeld vinden dat:
[ Bericht 8% gewijzigd door Mathemaat op 25-07-2013 15:17:23 ]
Croce e delizia cor. Misterioso, Misterioso altero, croce e delizia al cor.
Nu begrijp ik pas wat je bedoelt, en ja, nu je die ontbinding hebt gevonden kan ik moeilijk meer beweren dat je er niks aan hebtquote:
[..]
Je kunt a^6=-b^6 gewoon opschrijven als (a/b)^6=-1 en dit oplossen. Dan kun je a^6+b^6 opschrijven als het product van al zijn complexe nulpunten, dit kan vanwege de hoofdstelling van de algebra. Je kunt sommige van die factoren met elkaar vermenigvuldigen en dan vind je ook de uitdrukking die je zocht.
Zo kun jij bijvoorbeeld vinden dat:
Nice, ik kom bij gebruik maken van de techniek in post #141 uit opquote:
[..]
Je kunt a^6=-b^6 gewoon opschrijven als (a/b)^6=-1 en dit oplossen. Dan kun je a^6+b^6 opschrijven als het product van al zijn complexe nulpunten, dit kan vanwege de hoofdstelling van de algebra. Je kunt sommige van die factoren met elkaar vermenigvuldigen en dan vind je ook de uitdrukking die je zocht.
Zo kun jij bijvoorbeeld vinden dat:
wat natuurlijk hetzelfde is.
Nee, je maakt een tekenfout. De oplossing van Mathemaat klopt wel. Je zou moeten vindenquote:Op donderdag 25 juli 2013 22:18 schreef VanishedEntity het volgende:
[..]
Nice, ik kom bij gebruik maken van de techniek in post #141 uit op,
wat natuurlijk hetzelfde is.
Dammit... Foiled by sign swapping againquote:
[..]
Nee, je maakt een tekenfout. De oplossing van Mathemaat klopt wel. Je zou moeten vinden
Anywayz, dan vind ik
persoonlijk eleganter.
Die opmerking was natuurlijk niet aan jou persoonlijk gericht. Vroeger werd er op school veel meer aandacht besteed aan het verwerven van goede algebraïsche vaardigheden. Dat kun je goed zien als je oude algebra boekjes bekijkt, bijvoorbeeld op de site van het Nederlands schoolmuseum. Toen was algebra ook een apart schoolvak. Tegenwoordig vindt men die vaardigheden niet meer zo nodig, maar ten onrechte: bij veel vervolgopleidingen heb je het gewoon nodig, en ook als je wat verder wil met wiskunde is het onmisbaar.quote:
[..]
Ik dacht al dat je iets dergelijks zou zeggen
Ik realiseer me dat dit stof is die ik me nooit helemaal eigen heb gemaakt, en dat was ook niet nodig: voor wiskunde heb ik zonder moeite prima cijfers gehaald op de middelbare school. Als ik nu wat minder elementaire wiskunde probeer te doen (bijvoorbeeld die Putnam problemen waar ik laatst al wat over gepost heb) loop ik wel vaak tegen dit soort dingen aan.
Het is veel eenvoudiger dan het er op het eerste gezicht uitziet. Dit is een kleine variatie op de oeroude Babylonische truc (zie hier) om een rechthoek te transformeren tot een L-vorm die bestaat uit een vierkant waaraan in één hoek een kleiner vierkant ontbreekt.quote:Ik doelde overigens niet specifiek de identiteiten op die pagina hoewel
[ afbeelding ]
toch wel een beetje weergeeft wat ik bedoel. Hoewel ik zelf een lichte aversie heb tegen mensen die bij elke identiteit roepen dat het magie is, heb ik bij sommige identiteiten datzelfde gevoel ook wel een beetje. Ik bedoel maar: ik kan de formule controleren en zo begrijpen dat de formule klopt, maar als ik de opdracht had om een derdemacht te schrijven als het verschil van twee kwadraten, denk ik niet dat ik met die identiteit op de proppen zou kunnen komen.
Stel we hebben een rechthoekig stuk land met lengte a en breedte b, dan is het gemiddelde van de lengte en de breedte ½(a + b). We kunnen dit gemiddelde uiteraard krijgen door hetzij de helft van het verschil (a − b) van a af te halen, dus ½(a + b) = a − ½(a − b) hetzij de helft van het verschil bij b op te tellen, dus ½(a + b) = b + ½(a − b). Als we dus van de lengte van de rechthoek een strook af halen van b bij ½(a − b) en deze aan de breedte toevoegen, dan hebben we een L-vormige figuur die bestaat uit een vierkant waarvan de zijde gelijk is aan het gemiddelde ½(a + b) en waaraan in één hoekpunt een kleiner vierkant met een zijde gelijk aan het halve verschil ½(a − b) ontbreekt, zodat
ab = (½(a + b))2 − (½(a − b))2
Bedenk je dan dat a3 = a·a2 en substitueer je b = a2, dan heb je
a3 = (½(a + a2))2 − (½(a − a2))2
en dat is in wezen dezelfde identiteit.
Inderdaad.quote:[..]
Dit geldt overigens alleen voor oneven n
Riparius, nu de oplossing van de opgave bekend is zou ik wel eens willen weten welk merkwaardig product in aanmerking komt om a^4 - a^3b +(ab)^2 - ab^3 + b^4 te ontbinden. Ik heb verleden nacht daar mijn hoofd over gebroken, maar ik zie het niet.
En ik begrijp niet helemaal hoe je (a/b)^5 = -1 oplost in C Waar ik overigens het gevoel heb dat ik dit wel zou moeten kunnen.quote:
[..]
Je kunt a^6=-b^6 gewoon opschrijven als (a/b)^6=-1 en dit oplossen. Dan kun je a^6+b^6 opschrijven als het product van al zijn complexe nulpunten, dit kan vanwege de hoofdstelling van de algebra. Je kunt sommige van die factoren met elkaar vermenigvuldigen en dan vind je ook de uitdrukking die je zocht.
Zo kun jij bijvoorbeeld vinden dat:
[ Bericht 2% gewijzigd door #ANONIEM op 26-07-2013 00:30:47 ]
Zoals inmiddels duidelijk is kun je a5 + b5 ontbinden door a/b = z oftewel a = bz te substitueren, zodatquote:
Riparius, nu de oplossing van de opgave bekend is zou ik wel eens willen weten welk merkwaardig product in aanmerking komt om a^4 - a^3b +(ab)^2 - ab^3 + b^4 te ontbinden. Ik heb verleden nacht daar mijn hoofd over gebroken, maar ik zie het niet.
a5 + b5 = b5(z5 + 1).
Dan komt het ontbinden neer op het vinden van de (lineaire) factoren van z5 + 1 en dus het oplossen in C van de vergelijking z5 + 1 = 0.
Complexe wortels van een algebraïsche vergelijking met reële coëfficiënten treden altijd op als geconjugeerde paren, en omdat som en product van twee geconjugeerde complexe getallen reëel zijn, levert elk paar geconjugeerde wortels van de vergelijking dan een kwadratische factor op met reële coëfficiënten. Immers, als z1 en z2 twee toegevoegd complexe wortels zijn van de vergelijking z5 + 1 = 0, dan bevat z5 + 1 een factor (z − z1) en een factor (z − z2) en dus een kwadratische factor (z − z1)(z − z2) = z2 − (z1 + z2)z + z1z2 waarvan de coëfficiënten reëel zijn. Maar om deze werkwijze te gebruiken moet je wel iets van complexe getallen weten en moet je ook in staat zijn de vergelijking z5 + 1 = 0 algebraïsch op te lossen.
Zoals gezegd is het ook mogelijk a4 − a3b + a2b2 − ab3 + b4 met louter elementaire (school)algebra te ontbinden in veeltermen in a en b met reële coëfficiënten. Dit gaat als volgt.
We beginnen weer met kwadraatafsplitsing, toegepast op de termen met een positief teken. Aangezien (a2 + b2)2 = a4 + 2a2b2 + b4 hebben we a4 + a2b2 + b4 = (a2 + b2)2 − a2b2 en dus
a4 − a3b + a2b2 − ab3 + b4 = (a2 + b2)2 − a3b − ab3 − a2b2
Nu is het de bedoeling de uitdrukking in het rechterlid uiteindelijk te herleiden tot een verschil van twee kwadraten. De termen (a2 + b2)2 en a2b2 zijn al kwadraten, dus die laat ik nu even staan. Bij de termen a3b en ab3 kan ik een factor ab buiten haakjes halen zodat binnen haakjes (a2 + b2) overblijft. Dan hebben we
a4 − a3b + a2b2 − ab3 + b4 = (a2 + b2)2 − ab(a2 + b2) − a2b2
Nu kunnen we nogmaals kwadraatafsplitsing toepassen op (a2 + b2)2 − ab(a2 + b2). Stel om dit gemakkelijker te zien even a2 + b2 = p, dan hebben we p2 − ab·p = (p −½ab)2 − (½ab)2, zodat we dus krijgen
a4 − a3b + a2b2 − ab3 + b4 = ((a2 + b2) − ½ab)2 − (½ab)2 − a2b2
en dus
a4 − a3b + a2b2 − ab3 + b4 = (a2 − ½ab + b2)2 − (5/4)·a2b2
Nu is ook (5/4)·a2b2 = (½√5·ab)2 zodat we hebben
a4 − a3b + a2b2 − ab3 + b4 = (a2 − ½ab + b2)2 − (½√5·ab)2
waarmee de uitdrukking is herleid tot een verschil van twee kwadraten. Hiervoor kunnen we nu schrijven
a4 − a3b + a2b2 − ab3 + b4 = ((a2 − ½ab + b2) − ½√5·ab)((a2 − ½ab + b2) + ½√5·ab)
oftewel
a4 − a3b + a2b2 − ab3 + b4 = (a2 − (½ + ½√5)ab + b2)(a2 − (½ − ½√5)ab + b2)
QED
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 26-07-2013 14:24:20 ]
Wanneer ik heb dat:
z5 = -1 = eπ i
|z5| = 1
Krijg ik voor mijn oplossingen in C:
z = e(π/5 + k*2/5π) i
z = eπ/5 i
z = e3π/5 i
z = e5π/5 i
z = e7π/5 i
z = e9π/5 i
z = cos(0) + i sin(0) = 1
z = cos(2π/5) + i sin(2π/5)
z = cos(4π/5) + i sin(4π/5)
z = cos(6π/5) + i sin(6π/5)
z = cos(8π/5) + i sin(8π/5)
Ik ken alleen geen exacte uitdrukkingen hiervoor.
[ Bericht 4% gewijzigd door #ANONIEM op 26-07-2013 03:02:54 ]
z5 = -1 = eπ i
|z5| = 1
Krijg ik voor mijn oplossingen in C:
z = e(π/5 + k*2/5π) i
z = eπ/5 i
z = e3π/5 i
z = e5π/5 i
z = e7π/5 i
z = e9π/5 i
z = cos(0) + i sin(0) = 1
z = cos(2π/5) + i sin(2π/5)
z = cos(4π/5) + i sin(4π/5)
z = cos(6π/5) + i sin(6π/5)
z = cos(8π/5) + i sin(8π/5)
Ik ken alleen geen exacte uitdrukkingen hiervoor.
[ Bericht 4% gewijzigd door #ANONIEM op 26-07-2013 03:02:54 ]
Substitutie van a/b = z oftewel a = bz geeftquote:
[..]
En ik begrijp niet helemaal hoe je (a/b)^5 = -1 oplost in C Waar ik overigens het gevoel heb dat ik dit wel zou moeten kunnen.
a5 + b5 = b5(z5 + 1)
zodat ontbinden neer komt op het vinden van de (lineaire) factoren van z5 + 1 en dus het oplossen in C van de vergelijking
z5 + 1 = 0
We zien dat z = −1 een oplossing is van deze vergelijking zodat z5 + 1 een factor (z + 1) bevat. Uitvoeren van een polynoomstaardeling levert dan op dat we kunnen schrijven
(z + 1)(z4 − z3 + z2 − z + 1) = 0
zodat we om de overige vier wortels van de vergelijking z5 + 1 = 0 te vinden nog de vierdegraadsvergelijking
z4 − z3 + z2 − z + 1 = 0
op moeten lossen. Dit kun je op verschillende manieren doen. Om te beginnen kun je hier op een volkomen analoge manier te werk gaan als ik hierboven laat zien voor de ontbinding van a4 − a3b + a2b2 − ab3 + b4. Dan pas je dus tweemaal kwadraatafsplitsing toe om het vierdegraadspolynoom in het linkerlid te herleiden tot een product van twee kwadratische polynomen, waarna je alleen nog twee vierkantsvergelijkingen op hoeft te lossen.
Een andere manier om deze vergelijking op te lossen is middels een geschikt gekozen substitutie. We hebben hier van doen met een zogeheten wederkerige vergelijking van even graad, en deze zijn te herleiden tot een vergelijking waarvan de graad nog slechts de helft van de graad van de oorspronkelijke vergelijking bedraagt. Op de theorie van de wederkerige vergelijkingen ga ik hier niet in, daar heb ik je namelijk al eens een keer iets over uitgelegd. Delen we beide leden door z2 (hetgeen is toegestaan aangezien z = 0 geen wortel is van de vergelijking) dan krijgen we
z2 - z + 1 − 1/z + 1/z2 = 0
waarvoor we kunnen schrijven
(z + 1/z)2 − (z + 1/z) − 1 = 0
en substutie w = z + 1/z geeft dan
w2 − w − 1 = 0
Dit is een vierkantsvergelijking met als wortels w1,2 = ½ ± ½√5 zodat je nu alleen nog de vergelijkingen z + 1/z = ½ + ½√5 en z + 1/z = ½ − ½√5 hoeft op te lossen, oftewel we hebben
z2 − (½ + ½√5)z + 1 = 0 ∨ z2 − (½ − ½√5)z + 1 = 0
Een heel andere manier om de vergelijking z5 + 1 = 0 op te lossen is gebruik te maken van de formule van De Moivre
(cos φ + i·sin φ)n = cos nφ + i·sin nφ
Op grond hiervan is het direct duidelijk dat de vijf wortels van de vergelijking zijn te schrijven als
zk = cos((2k − 1)π/5) + i·sin((2k − 1)π/5), k = 1..5
en met behulp van de formule van Euler kun je dit ook compacter schrijven als
zk = ei·(2k − 1)π/5, k = 1..5
Nu zie je dat z1 = ei·π/5 en z5 = ei·9π/5 = e−i·π/5 toegevoegd complex zijn, zodat z5 + 1 dus een reële kwadratische factor (z − z1)(z − z5) = (z − ei·π/5)(z − e−i·π/5) = z2 − (ei·π/5 + e−i·π/5)z + 1 bevat, oftewel een kwadratische factor
z2 − 2·cos(π/5)·z + 1
Evenzo zijn z2 en z4 toegevoegd complex, en deze leveren een reële kwadratische factor
z2 − 2·cos(3π/5)·z + 1
De eerste van deze kwadratische factoren correspondeert met z2 − (½ + ½√5)z + 1 en de tweede met z2 − (½ − ½√5)z + 1, zodat we hebben
cos(π/5) = ¼ + ¼√5, cos(3π/5) = ¼ − ¼√5
We kunnen dus de ontbinding van a5 + b5 in veeltermen in a en b met reële coëfficiënten ook als volgt schrijven in goniometrische vorm
a5 + b5 = (a + b)(a2 − 2ab·cos(π/5) + b2)(a2 − 2ab·cos(3π/5) + b2)
Het is in het algemeen mogelijk zowel an − bn als an + bn voor n > 2 te schrijven in een dergelijke goniometrische vorm als een product van lineaire en kwadratische veeltermen in a en b met reële coëfficiënten, waarbij de kwadratische veeltermen doen denken aan de cosinusregel c2 = a2 − 2ab·cos γ + b2. De overeenstemming met de cosinusregel is niet toevallig maar wordt inzichtelijk door het zogeheten cirkeltheorema van Cotes.
quote:
[..]De 2 hoofdstukken die ik heb gehad over complexe getallen beschreven inderdaad de formule van de Moive en de formule van Euler, vandaar dat ik die e-machten (met wat moeite) ook had weten te produceren. Daarnaast wat rekenen met complexe getallen i.c.m. de natuurkunde, recursieve formules etc. Ik vind het uitermate storend dat mijn geheugen niet beter in staat is om die technieken wat beter te onthouden dan half.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
Het oplossen van een vierdegraadsvergelijking hebben we echter niet behandeld. Het hoofdstuk bleef beperkt tot het oplossen van een gereduceerde kubische vergelijking, en incidenteel een kubische vergelijking, door middel van een geschikte substitutie. Volgens mij heb je me inderdaad ooit iets uitgelegd over wederkerige vergelijkingen toen we het probleem behandelden van die bol met een doorsnede a waarbij beide stukken die samen een halve bol vormden een gelijke inhoud hebben. Dat is alweer 'n poosje geleden, maar dat was deze post:SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Wat betreft de techniek van het kwadraatafsplitsen, dit lijkt me nou een typisch gevalletje oefening baart kunst. Het ongeoefende oog ziet de juiste aanpak van zo'n probleem nu eenmaal minder snel..
[ Bericht 1% gewijzigd door #ANONIEM op 26-07-2013 06:24:26 ]
Even wat heel anders. Ik probeerde deze opgave te maken:
Laat d1 t/m d12 reële getallen in het open interval (1, 12) zijn. Laat zien dat er verschillende indices i, j, k bestaan zodat di, dj en dk de lengtes van de zijden van een 'acute triangle' (een driehoek waarvan alle hoeken minder dan 90 graden zijn) zijn.
Ik stelde vervolgens de voorwaarden op dat drie gegeven reële getallen de lengtes van de zijden van een 'acute triangle' zijn. Neem c ≥ b ≥ a. Dan is a2 + b2 > c2 een belangrijke voorwaarde, maar er moet ook gelden dat c < a + b, anders is er geen sprake van een driehoek.
Neem nu dk = 1012-k, met 1 ≤ k ≤ 12 Volgens mij bestaat er dan geen driehoek waarvan de zijden gelijk zijn aan een drietal van deze dk's.
De dk's worden dus steeds een factor 10 groter. Het is niet mogelijk een driehoek te tekenen met zijden van lengte a, b en c zodat c > 10b en b > 10a.
In het antwoord wordt de voorwaarde a + b > c helemaal niet genoemd.
Ik heb de vraag hier vandaan en de antwoorden hier.
Begrijp ik iets niet of klopt de vraag niet? Dat zou me nogal verbazen, het is best wel een prestigieuze wedstrijd had ik het idee.
Laat d1 t/m d12 reële getallen in het open interval (1, 12) zijn. Laat zien dat er verschillende indices i, j, k bestaan zodat di, dj en dk de lengtes van de zijden van een 'acute triangle' (een driehoek waarvan alle hoeken minder dan 90 graden zijn) zijn.
Ik stelde vervolgens de voorwaarden op dat drie gegeven reële getallen de lengtes van de zijden van een 'acute triangle' zijn. Neem c ≥ b ≥ a. Dan is a2 + b2 > c2 een belangrijke voorwaarde, maar er moet ook gelden dat c < a + b, anders is er geen sprake van een driehoek.
Neem nu dk = 1012-k, met 1 ≤ k ≤ 12 Volgens mij bestaat er dan geen driehoek waarvan de zijden gelijk zijn aan een drietal van deze dk's.
De dk's worden dus steeds een factor 10 groter. Het is niet mogelijk een driehoek te tekenen met zijden van lengte a, b en c zodat c > 10b en b > 10a.
In het antwoord wordt de voorwaarde a + b > c helemaal niet genoemd.
Ik heb de vraag hier vandaan en de antwoorden hier.
Begrijp ik iets niet of klopt de vraag niet? Dat zou me nogal verbazen, het is best wel een prestigieuze wedstrijd had ik het idee.
Jouw dk -tjes zitten niet allemaal in (1,12)quote:
Even wat heel anders. Ik probeerde deze opgave te maken:
Laat d1 t/m d12 reële getallen in het open interval (1, 12) zijn. Laat zien dat er verschillende indices i, j, k bestaan zodat di, dj en dk de lengtes van de zijden van een 'acute triangle' (een driehoek waarvan alle hoeken minder dan 90 graden zijn) zijn.
Ik stelde vervolgens de voorwaarden op dat drie gegeven reële getallen de lengtes van de zijden van een 'acute triangle' zijn. Neem c ≥ b ≥ a. Dan is a2 + b2 > c2 een belangrijke voorwaarde, maar er moet ook gelden dat c < a + b, anders is er geen sprake van een driehoek.
Neem nu dk = 1012-k, met 1 ≤ k ≤ 12 Volgens mij bestaat er dan geen driehoek waarvan de zijden gelijk zijn aan een drietal van deze dk's.
De dk's worden dus steeds een factor 10 groter. Het is niet mogelijk een driehoek te tekenen met zijden van lengte a, b en c zodat c > 10b en b > 10a.
In het antwoord wordt de voorwaarde a + b > c helemaal niet genoemd.
Ik heb de vraag hier vandaan en de antwoorden hier.
Begrijp ik iets niet of klopt de vraag niet? Dat zou me nogal verbazen, het is best wel een prestigieuze wedstrijd had ik het idee.
Nee, maar dat is ook niet nodig, want als je c ≥ b ≥ a > 0 hebt en tevens c2 < a2 + b2, dan is ook c2 < (a + b)2 aangezien a2 + b2 < (a + b)2 en dus c < a + b. Handig hè, die merkwaardige producten?quote:
In het antwoord wordt de voorwaarde a + b > c helemaal niet genoemd.
Ik begrijp de relatie tussen de vraag en het antwoord niet. M.i. bewijst het antwoord iets anders dan er gevraagd wordt.quote:Ik heb de vraag hier vandaan en de antwoorden hier.
Begrijp ik iets niet of klopt de vraag niet? Dat zou me nogal verbazen, het is best wel een prestigieuze wedstrijd had ik het idee.
Er is een i<= 10 zodat ofwelquote:
Ik begrijp de relatie tussen de vraag en het antwoord niet. M.i. bewijst het antwoord iets anders dan er gevraagd wordt.
di+2² < di² + di+1²
en je dus een acute triangle hebt, ofwel krijg je tegenspraak met het feit dat alle dk'tjes in (1,12) zitten.
O, god, wat ben ik dom bezigquote:
[..]
Jouw dk -tjes zitten niet allemaal in (1,12)
Misschien moet ik eerst maar leren lezen voor ik wiskunde probeer...Anyway, thanks!
Je hebt een punt jaquote:
[..]
Nee, maar dat is ook niet nodig, want als je c ≥ b ≥ a > 0 hebt en tevens c2 < a2 + b2, dan is ook c2 < (a + b)2 aangezien a2 + b2 < (a + b)2 en dus c < a + b. Handig hè, die merkwaardige producten?
Ah, ik geloof dat ik het nu zie. Het is een bewijs uit het ongerijmde. Als er geen drietal waarden di dj dk op het open interval (1,12) zou zijn die de zijden van een scherpe driehoek vormen, dan moet je hebben di+2² ≥ di² + di+1² voor 1 ≤ i ≤ 10 en dan heb je d12² ≥ 144·d1² en dat is in tegenspraak met 1 < d1 ≤ d12 < 12, QED.quote:
[..]
Er is een i<= 10 zodat ofwel
di+2² < di² + di+1²
en je dus een acute triangle hebt, ofwel krijg je tegenspraak met het feit dat alle dk'tjes in (1,12) zitten.
5050/2525 = (502/25)25 = (2500/25)25 = 10025quote:
50 50 / 25 25 = 100 25
Hoe kom je aan 100?
Waaraan is 8 8 gelijk?
Derde macht van 4 4
Waarom?
De rest van je vragen is uiterst wazig.
Je hebt de rekenregels voor machten nodig.
Ofwel (ap)q = apq
En:
ap/bp =(a/b)p
Je zou kunnen gebruiken dat 8 = 23 en 4 = 22
[ Bericht 6% gewijzigd door #ANONIEM op 27-07-2013 15:19:20 ]
Waaraan is 8^8 gelijk?quote:
[..]
5050/2525 = (502/25)25 = (2500/25)25 = 10025
De rest van je vragen is uiterst wazig.
Je hebt de rekenregels voor machten nodig.
Ofwel (ap)q = apq
En:
ap/bp =(a/b)p
Je zou kunnen gebruiken dat 8 = 23 en 4
a. de tweede macht van 4^4
b. de derde macht van 4^4
c. de vierde macht van 4^4
d. de achtste macht van 4^4
e. de zestiende macht van 4^4
Lees je wel wat ik zeg? Ga het eens uitrekenen dan.quote:
[..]
Waaraan is 8^8 gelijk?
a. de tweede macht van 4^4
b. de derde macht van 4^4
c. de vierde macht van 4^4
d. de achtste macht van 4^4
e. de zestiende macht van 4^4
88 = (23)8 = 224 = 22*12 = 412 = (44)3
Zie je wat ik steeds doe? Ik maak gebruik van de rekenregels voor machten. Die ga ik niet nog eens herhalen, daar ze pakweg 3 posts hierboven benoemd zijn.
Zie je wat ik steeds doe? Ik maak gebruik van de rekenregels voor machten. Die ga ik niet nog eens herhalen, daar ze pakweg 3 posts hierboven benoemd zijn.
Dit kan je dus gewoon invoeren in wolfram alpha of zelfs google. Ik moet zeggen dat mijn vraag gister ook niet van veel inzicht getuigde, maar iets intypen in google bespaart zowel jou als de mensen die reageren op je posts moeite.quote:
[..]
Waaraan is 8^8 gelijk?
a. de tweede macht van 4^4
b. de derde macht van 4^4
c. de vierde macht van 4^4
d. de achtste macht van 4^4
e. de zestiende macht van 4^4
Nee dit is geen constructieve kritiek. Wiskundenoob (toepasselijke naam..) moet duidelijk leren hoe hij dit soort problemen aanpakt, en dus inzicht in de wiskunde verkrijgen. Iets simpel invoeren in WolframAlpha of Google lijkt wel heel veel op het gebruiken van de (door Riparius) zo verfoeide grafische rekenmachine. Verder voeg je m.i. wel degelijk wat toe aan het topic, dus zeer welkom.quote:Op zaterdag 27 juli 2013 17:49 schreef randomo het volgende:
[..]
Dit kan je dus gewoon invoeren in wolfram alpha of zelfs google. Ik moet zeggen dat mijn vraag gister ook niet van veel inzicht getuigde, maar iets intypen in google bespaart zowel jou als de mensen die reageren op je posts moeite.
[ Bericht 2% gewijzigd door #ANONIEM op 27-07-2013 18:51:37 ]
Als je een vlakdeel hebt dat wordt ingesloten door een grafiek, de x-as en de y-as, en je wil de inhoud weten als je het om een as wentelt, dan maakt het toch niet uit om welke as je hem wentelt? Of denk ik nou te simpel?
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Alleen als de formule luidt y = x, dan maakt het niets uit. Anders wel.quote:Op zaterdag 27 juli 2013 21:10 schreef Rezania het volgende:
Als je een vlakdeel hebt dat wordt ingesloten door een grafiek, de x-as en de y-as, en je wil de inhoud weten als je het om een as wentelt, dan maakt het toch niet uit om welke as je hem wentelt? Of denk ik nou te simpel?
Het probleem is niet dat je te simpel denkt maar dat je er kennelijk helemaal niet over na hebt gedacht. Beschouw het vlakdeel begrensd door de positieve x-as, de positieve y-as, en de rechte lijn met vergelijking y = −2x + 1. Deze lijn snijdt de x-as in het punt (½; 0) en de y-as in het punt (0; 1). Bij wenteling van dit vlakdeel om de x-as krijg je een kegel waarvan de straal r van het grondvlak gelijk is aan 1 en de hoogte h gelijk is aan ½. Maar bij wenteling om de y-as krijg je een kegel met r = ½ en h = 1. De vraag is dan of jij denkt dat deze kegels dezelfde inhoud hebben?quote:
Als je een vlakdeel hebt dat wordt ingesloten door een grafiek, de x-as en de y-as, en je wil de inhoud weten als je het om een as wentelt, dan maakt het toch niet uit om welke as je hem wentelt? Of denk ik nou te simpel?
Wat denk je van het vlakdeel begrensd door de positieve x-as, de positieve y-as, en de curve met vergelijking x2 + y2 = 1 ?quote:
[..]
Alleen als de formule luidt y = x, dan maakt het niets uit. Anders wel.
Kutquote:
[..]
Wat denk je van het vlakdeel begrensd door de positieve x-as, de positieve y-as, en de curve met vergelijking x2 + y2 = 1 ?
Enfin, je snapt wat ik bedoel TS. Enkel bij functies die symmetrisch zijn in y = x. Zeg ik dit juist Riparius?
Nee, natuurlijk niet, want r² leveren andere waardes op. Je hebt gelijk.quote:
[..]
Het probleem is niet dat je te simpel denkt maar dat je er kennelijk helemaal niet over na hebt gedacht. Beschouw het vlakdeel begrensd door de positieve x-as, de positieve y-as, en de rechte lijn met vergelijking y = −2x + 1. Deze lijn snijdt de x-as in het punt (½; 0) en de y-as in het punt (0; 1). Bij wenteling van dit vlakdeel om de x-as krijg je een kegel waarvan de straal r van het grondvlak gelijk is aan 1 en de hoogte h gelijk is aan ½. Maar bij wenteling om de y-as krijg je een kegel met r = ½ en h = 1. De vraag is dan of jij denkt dat deze kegels dezelfde inhoud hebben?
Ik denk dat ik al weet waar het fout ging, ik moest een vlakdeel om de y-as wentelen waarbij de 'straal' die delta x geeft gelijk was aan de 'straal' die delta y gaf.
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Nee. Je bedoelt dat de grafiek spiegelsymmetrisch is t.o.v. de lijn y = x. Het hoeft niet eens een grafiek van een functie te zijn, denk bijvoorbeeld aan twee rechte lijnstukken tussen de punten (1; 0) en (1; 1) en tussen de punten (0; 1) en (1; 1).quote:
[..]
Kut
Enfin, je snapt wat ik bedoel TS. Enkel bij functies die symmetrisch zijn in y = x. Zeg ik dit juist Riparius?
Ah ja. Ik had al het idee dat 't niet helemaal klopte wat ik zei, maar dat bedoelde ik inderdaad.quote:
[..]
Nee. Je bedoelt dat de grafiek spiegelsymmetrisch is t.o.v. de lijn y = x. Het hoeft niet eens een grafiek van een functie te zijn, denk bijvoorbeeld aan twee rechte lijnstukken tussen de punten (1; 0) en (1;1) en tussen de punten (0; 1) en (1; 1).
Dat klopt, maar dan stelt hij de verkeerde vragen. Het antwoord op zijn vraag is makkelijk met een rekenmachine of iets dergelijks te controleren, maar inzicht in het rekenen met machten zal hij daar niet van krijgen.quote:
[..]
Nee dit is geen constructieve kritiek. Wiskundenoob (toepasselijke naam..) moet duidelijk leren hoe hij dit soort problemen aanpakt, en dus inzicht in de wiskunde verkrijgen. Iets simpel invoeren in WolframAlpha of Google lijkt wel heel veel op het gebruiken van de (door Riparius) zo verfoeide grafische rekenmachine. Verder voeg je m.i. wel degelijk wat toe aan het topic, dus zeer welkom.
De grafiek hoeft zelfs niet spiegelsymmetrisch t.o.v. y=x te zijn om het wentelen om de x en y-as tot dezelfde inhoud te laten leiden.quote:
[..]
Nee. Je bedoelt dat de grafiek spiegelsymmetrisch is t.o.v. de lijn y = x. Het hoeft niet eens een grafiek van een functie te zijn, denk bijvoorbeeld aan twee rechte lijnstukken tussen de punten (1; 0) en (1; 1) en tussen de punten (0; 1) en (1; 1).
Beschouw bijvoorbeeld de twee rechthoeken met als hoekpunten
(0,0), (0,1), (3,0), (3,1) en (0,2), (0,3), (3,2), (3,3).
Wentelen om de x-as en y-as geeft beide een inhoud van 18 pi, maar het is niet spiegelsymmetrisch in y=x.
Dat is juist, spiegelsymmetrie van het vlakdeel t.o.v. de lijn y = x is een voldoende maar geen noodzakelijke voorwaarde voor gelijke volumina van de omwentelingslichamen bij wenteling om de x-as resp. de y-as. In jouw voorbeeld ligt echter het zwaartepunt (1½; 1½) van het vlakdeel wel degelijk op de lijn y = x, zodat volgens het tweede theorema van Pappus-Guldin de volumina bij wenteling om de x-as resp. de y-as gelijk moeten zijn. De oppervlakte van je vlakdeel is 6 en het zwaartepunt beschijft bij wenteling om de x-as of de y-as een cirkel met omtrek 3π, zodat het volume in beide gevallen inderdaad 6·3π = 18π bedraagt. De ligging van het zwaartepunt van het vlakdeel op de lijn y = x is zowel een noodzakelijke als een voldoende voorwaarde voor gelijke volumina van de omwentelingslichamen bij wenteling om de x-as resp. de y-as, en aan deze voorwaarde is uiteraard voldaan bij een vlakdeel dat spiegelsymmetrisch is t.o.v. de lijn y = x, aangezien het zwaartepunt op de symmetrie-as ligt.quote:
[..]
De grafiek hoeft zelfs niet spiegelsymmetrisch t.o.v. y=x te zijn om het wentelen om de x en y-as tot dezelfde inhoud te laten leiden.
Beschouw bijvoorbeeld de twee rechthoeken met als hoekpunten
(0,0), (0,1), (3,0), (3,1) en (0,2), (0,3), (3,2), (3,3).
Wentelen om de x-as en y-as geeft beide een inhoud van 18 pi, maar het is niet spiegelsymmetrisch in y=x.
Je ziet toch dat ik het exact aan kan tonen zonder gebruik van een calculator. Dan snap ik even niet waarom dit geen inzicht verschaft in het rekenen met machten.quote:
[..]
Dat klopt, maar dan stelt hij de verkeerde vragen. Het antwoord op zijn vraag is makkelijk met een rekenmachine of iets dergelijks te controleren, maar inzicht in het rekenen met machten zal hij daar niet van krijgen.
Didactiek is ook een vak. Uiteraard is je herleiding hierboven correct, maar het is de vraag hoeveel hij hier van opsteekt gezien zijn 'voorkennis' en track record van zijn eerdere posts in dit topic.quote:
[..]
Je ziet toch dat ik het exact aan kan tonen zonder gebruik van een calculator. Dan snap ik even niet waarom dit geen inzicht verschaft in het rekenen met machten.
Het valt op dat bij alle meerkeuze antwoorden sprake is van een macht van 44 en dat dus gevraagd wordt 88 te schrijven als een macht van 44. Dan is het wellicht beter voor het inzicht om te beginnen met erop te wijzen dat 4 en 8 beide machten zijn van 2, en dan eerst te laten zien dat je hebt
44 = (22)4 = 28
en
88 = (23)8 = 224
Vervolgens kun je dan stoppen met je uitleg en een wedervraag stellen om te zien of hij nu wel het juiste antwoord kan beredeneren.
| Forum Opties | |
|---|---|
| Forumhop: | |
| Hop naar: | |