[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op zondag 21 juli 2013 00:50 schreef thenxero het volgende:
Mensen die beweren er 1 dag aan gewerkt te hebben zijn van die nerdjes die stiekem al 2 jaar bezig zijn met voorbereiden.

Voor mijn PWS op de havo was ik maar 8 uurtjes bezig. Op de vwo was het een ander verhaal.

Opgave 4
Laat zien dat voor alle x > 0 geldt dat sin(x) < x.
Hint: sin(x) = sin(x) - sin(0)

sin(x) heeft een maximum van 1 (voor x = 1/2 π)

Dus als ik aan kan tonen dat x > sin(x) voor x (0,1] dan heb ik in feite de opgave aangetoond. Nu wil ik dit aantonen dmv de differentiaalrekening. Als ik kan aantonen dat d(sin(x))/dx op het interval (0,1] nooit groter is dan 1 is dit toch gelukt? Immers, x stijgt constant met een richtingscoëfficient van 1.

dus:

d(sin(x))/dx = cos(x)
cos(x) = 1
x = 0 ^ x = 2π

Zouden ze dit op een tentamen pikken?

quote:

Op maandag 22 juli 2013 23:49 schreef Amoeba het volgende:
Opgave 4
Laat zien dat voor alle x > 0 geldt dat sin(x) < x.
Hint: sin(x) = sin(x) - sin(0)

sin(x) heeft een maximum van 1 (voor x = 1/2 π)

Dus als ik aan kan tonen dat x > sin(x) voor x (0,1] dan heb ik in feite de opgave aangetoond. Nu wil ik dit aantonen dmv de differentiaalrekening. Als ik kan aantonen dat d(sin(x))/dx op het interval (0,1] nooit groter is dan 1 is dit toch gelukt? Immers, x stijgt constant met een richtingscoëfficient van 1.

dus:

d(sin(x))/dx = cos(x)
cos(x) = 1
x = 0 ^ x = 2π

Zouden ze dit op een tentamen pikken?

Je hebt het denk ik over het interval (0, pi/2]. Ik weet niet of ze dit pikken. Wat namelijk nog wel een beetje sneaky is, is dat in het punt 0 de afgeleides hetzelfde zijn. Dus misschien is er nog een punt x>0 ("heeeel dicht bij 0") zodat sin(x)=x. Dat mag niet, want je moet strikte ongelijkheid aantonen. Daar zou je dan nog wat voor moeten bedenken... als je het echt netjes wil doen.

quote:

Op maandag 22 juli 2013 23:49 schreef Amoeba het volgende:
Opgave 4
Laat zien dat voor alle x > 0 geldt dat sin(x) < x.
Hint: sin(x) = sin(x) - sin(0)

sin(x) heeft een maximum van 1 (voor x = 1/2 π)

Dus als ik aan kan tonen dat x > sin(x) voor x (0,1] dan heb ik in feite de opgave aangetoond. Nu wil ik dit aantonen dmv de differentiaalrekening. Als ik kan aantonen dat d(sin(x))/dx op het interval (0,1] nooit groter is dan 1 is dit toch gelukt? Immers, x stijgt constant met een richtingscoëfficient van 1.

dus:

d(sin(x))/dx = cos(x)
cos(x) = 1
x = 0 ^ x = 2π

Zouden ze dit op een tentamen pikken?

Voor welke vak is dit? Je moet overigens aantonen dat de afgeleide op het interval (0,pi/2] strikt kleiner is dan één. Dan is het goed. Je kunt het netjes maken met Riemann integratie of met de limietdefinitie van afgeleiden, de tweede is makkelijker.

[ Bericht 2% gewijzigd door Mathemaat op 23-07-2013 00:30:36 ]

quote:

Op dinsdag 23 juli 2013 00:14 schreef thenxero het volgende:

[..]

Je hebt het denk ik over het interval (0, pi/2]. Ik weet niet of ze dit pikken. Wat namelijk nog wel een beetje sneaky is, is dat in het punt 0 de afgeleides hetzelfde zijn. Dus misschien is er nog een punt x>0 ("heeeel dicht bij 0") zodat sin(x)=x. Dat mag niet, want je moet strikte ongelijkheid aantonen. Daar zou je dan nog wat voor moeten bedenken... als je het echt netjes wil doen.

Het punt 0 heeft niets van doen met de hele vraag, daar het punt 0 buiten het gevraagde interval valt.

http://fooplot.com/plot/oqbbqj2gop

Hier kun je zien wat ik bedoel. Ik zeg dat voor iedere x > 1 het evident is dat sin(x) < x, want sin(x) heeft een maximum van 1.

Dus als aan kan tonen dat op het interval (0, 1] geldt dat sin(x) nooit meer toeneemt dan y = x (met rc = 1 ), dan heb ik toch aangetoond dat sin(x) < x voor x (0, 1]? Immers, sin(x) = x voor x = 0 want dan sin(x) = 0.

quote:

Dus misschien is er nog een punt x>0 ("heeeel dicht bij 0") zodat sin(x)=x. Dat mag niet, want je moet strikte ongelijkheid aantonen.

y = x neemt constant toe. Als ik aantoon dat sin(x) nooit meer toeneemt op het interval (0,1] dan y = x ben ik toch klaar?

[ Bericht 7% gewijzigd door Amoeba op 23-07-2013 00:52:13 ]

quote:

Op dinsdag 23 juli 2013 00:14 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Voor welke vak is dit? Je moet overigens aantonen dat de afgeleide op het interval (0,pi/2] strikt kleiner is dan één. Dan is het goed. Je kunt het netjes maken met Riemann integratie of met de limietdefinitie van afgeleiden, de tweede is makkelijker.

Weet ik veel, calculus ofzo. Ik had ergens een vel met wat vragen gevonden en was uit pure verveling maar begonnen met het oplossen van de vragen.

http://www.win.tue.nl/~fransm/onderwijs/2DL00/Inhoud.pdf

quote:

Op dinsdag 23 juli 2013 00:41 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Het punt 0 heeft niets van doen met de hele vraag, daar het punt 0 buiten het gevraagde interval valt.

http://fooplot.com/plot/oqbbqj2gop

Hier kun je zien wat ik bedoel. Ik zeg dat voor iedere x > 1 het evident is dat sin(x) < x, want sin(x) heeft een maximum van 1.

Dus als aan kan tonen dat op het interval (0, 1] geldt dat sin(x) nooit meer toeneemt dan y = x (met rc = 1 ), dan heb ik toch aangetoond dat sin(x) < x voor x (0, 1]? Immers, sin(x) = x voor x = 0 want dan sin(x) = 0.

[..]

y = x neemt constant toe. Als ik aantoon dat sin(x) nooit meer toeneemt op het interval (0,1] dan y = x ben ik toch klaar?

Ik begrijp je wel, maar jij begrijpt mij niet. En het feit dat je er zelf nog je vraagtekens bij zet, suggereert al dat het niet een 100% rigoreus bewijs is. Aangezien calculus vaak niet 100% rigoreus is zal het daar wel voldoen. Bij een analysevak krijg je er geen punten voor.

quote:

Op dinsdag 23 juli 2013 01:00 schreef thenxero het volgende:

[..]

Ik begrijp je wel, maar jij begrijpt mij niet. En het feit dat je er zelf nog je vraagtekens bij zet, suggereert al dat het niet een 100% rigoreus bewijs is. Aangezien calculus vaak niet 100% rigoreus is zal het daar wel voldoen. Bij een analysevak krijg je er geen punten voor.

Daarom post ik het ook hier. Verder dan dit kom ik met het vwo niet, althans, niet met het gebruik van de differentiaalrekening.

Zou je me het ontbrekende deel uit kunnen leggen?

quote:

Op dinsdag 23 juli 2013 01:05 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Daarom post ik het ook hier. Verder dan dit kom ik met het vwo niet, althans, niet met het gebruik van de differentiaalrekening.

Zou je me het ontbrekende deel uit kunnen leggen?

Bij de analysevakken krijg je netjes geleerd hoe netjes dingen op moet schrijven. Dat kun je niet even uitleggen.

quote:

Op dinsdag 23 juli 2013 01:12 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Bij de analysevakken krijg je netjes geleerd hoe netjes dingen op moet schrijven. Dat kun je niet even uitleggen.

Oké.

Had je nog naar m'n profielwerkstuk gekeken?

quote:

Op dinsdag 23 juli 2013 01:12 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Oké.

Had je nog naar m'n profielwerkstuk gekeken?

Ja, het zag er idd interessant uit. Maar ik heb niet zoveel verstand van profielwerkstukken, dus ik kan er niet zoveel over zeggen .

quote:

Op maandag 22 juli 2013 23:49 schreef Amoeba het volgende:
Opgave 4
Laat zien dat voor alle x > 0 geldt dat sin(x) < x.
Hint: sin(x) = sin(x) - sin(0)

sin(x) heeft een maximum van 1 (voor x = 1/2 π)

Dus als ik aan kan tonen dat x > sin(x) voor x (0,1] dan heb ik in feite de opgave aangetoond. Nu wil ik dit aantonen dmv de differentiaalrekening.

Waarschijnlijk is het gezien de hint de bedoeling dat je gebruik maakt van de middelwaardestelling. Deze zegt dat als een functie f: [a,b] → R continu is op [a,b] en differentieerbaar op (a,b), dat er dan een c ∈ (a,b) bestaat zodanig dat

f(b) − f(a) = (b − a)·f'(c).

Aangezien d(sin(x))/dx = cos(x) en 0 < cos(x) < 1 voor 0 < x < π/2 volgt dan direct sin(x) − sin(0) < (x − 0) ofwel sin(x) < x voor 0 < x < π/2, en aangezien π/2 > 1 ben je dan klaar.

Echter, om analytisch aan te tonen dat d(sin(x))/dx = cos(x) moet je gebruik maken van lim_θ→0 sin(θ)/θ = 1. Maar om deze limiet aan te tonen moet je eerst aantonen dat sin(θ) < θ < tan(θ) voor 0 < θ < π/2 waaruit weer volgt dat cos(θ) < sin(θ)/θ < 1 voor 0 < | θ | < π/2 zodat met behulp van de insluitstelling én de continuïteit van de cosinusfunctie in θ = 0 volgt dat lim_θ→0 sin(θ)/θ = 1. Als de goniometrische functies meetkundig zijn gedefinieerd aan de hand van de eenheidscirkel, dan ontkom je niet aan een meetkundige beschouwing om aan te tonen dat sin(θ) < θ < tan(θ) voor 0 < θ < π/2, zodat je in een cirkelredenatie vervalt (no pun intended) als je dan d(sin(x))/dx = cos(x) weer gaat gebruiken om met behulp van de middelwaardestelling aan te tonen dat sin(x) < x voor x > 0.

quote:

Op dinsdag 23 juli 2013 01:05 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Daarom post ik het ook hier. Verder dan dit kom ik met het vwo niet, althans, niet met het gebruik van de differentiaalrekening.

Zou je me het ontbrekende deel uit kunnen leggen?

Ik heb er iets van geprobeerd te breien zonder de definitie van limieten of Rieman integralen te gebruiken.

We willen aantonen dat sin(x)<x op (0, pi/2]. Oftewel x-sin(x)>0. Definieer f(x)=x-sin(x). We willen dus laten zien dat f(x)>0 voor x in (0,pi/2].

Merk op dat f(0)=0 en voor x in (0, pi/2] geldt f'(x)>0 . Voor x in (0,pi] geldt dus


De laatste stap volgt uit het feit dat f' continu is, en daarom de extreme value theorem gebruikt mag worden (http://en.wikipedia.org/wiki/Extreme_value_theorem). (Denk daar eens goed over na )

quote:

Op maandag 22 juli 2013 15:46 schreef randomo het volgende:

[..]

Boh, site is down. Het zijn nog best leuke problemen, ik heb er van de problemen van 2000 redelijk wat gemaakt, maar ik weet niet hoeveel ik er goed heb

De MAA site is niet down, maar helaas is deze site enkele dagen geleden zo maar zonder aankondiging gereorganiseerd, waardoor de oude URLs niet meer werken. En stom genoeg heeft men niet voorzien in redirects van de oude naar de nieuwe URLs, zodat veel 'oude' interne links nu ook niet meer werken. Hierdoor is het lastig materiaal terug te vinden. Ik kan de Putnam opgaven en uitwerkingen momenteel dan ook niet terugvinden, maar gelukkig hebben we voor dit soort eventualiteiten nog archive.org:

http://web.archive.org/we(...)ms/putnamindex.shtml

quote:

Op dinsdag 23 juli 2013 00:44 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik had ergens een vel met wat vragen gevonden en was uit pure verveling maar begonnen met het oplossen van de vragen.

http://www.win.tue.nl/~fransm/onderwijs/2DL00/Inhoud.pdf

Je had beter meteen even de bron van je opgave kunnen geven. Hieruit blijkt inderdaad dat het de bedoeling is dat je gebruik maakt van de middelwaardestelling.

Als je je verveelt en nog wat uitdagingen zoekt heb ik er nog wel eentje voor je. De afgelopen tijd heb ik vrij vaak gewezen op het belang van het kennen van merkwaardige producten en het beheersen van technieken als ontbinden in factoren en kwadraatafsplitsen in verband met het oplossen van vierkantsvergelijkingen. Deze technieken zijn natuurlijk gesneden koek voor iedereen die een beetje schoolalgebra kent, en de volgende opgaven zouden dan ook een eitje moeten zijn. Of toch niet?

Opgave 1. Ontbind a⁶ + b⁶ zo ver mogelijk in veeltermen in a en b met uitsluitend reële coëfficiënten.

Opgave 2. Idem voor a⁵ + b⁵.

Deze opgaven zijn oplosbaar met elementaire algebraïsche methoden, maar WolframAlpha en Google zullen je niet helpen (anders zou de aardigheid er snel af zijn) dus laat je kunsten maar eens zien ...

quote:

Op dinsdag 23 juli 2013 02:26 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je had beter meteen even de bron van je opgave kunnen geven. Hieruit blijkt inderdaad dat het de bedoeling is dat je gebruik maakt van de middelwaardestelling.

Als je je verveelt en nog wat uitdagingen zoekt heb ik er nog wel eentje voor je. De afgelopen tijd heb ik vrij vaak gewezen op het belang van het kennen van merkwaardige producten en het beheersen van technieken als ontbinden in factoren en kwadraatafsplitsen in verband met het oplossen van vierkantsvergelijkingen. Deze technieken zijn natuurlijk gesneden koek voor iedereen die een beetje schoolalgebra kent, en de volgende opgaven zouden dan ook een eitje moeten zijn. Of toch niet?

Opgave 1. Ontbind a⁶ + b⁶ zo ver mogelijk in veeltermen in a en b met uitsluitend reële coëfficiënten.

Opgave 2. Idem voor a⁵ + b⁵.

Deze opgaven zijn oplosbaar met elementaire algebraïsche methoden, maar WolframAlpha en Google zullen je niet helpen (anders zou de aardigheid er snel af zijn) dus laat je kunsten maar eens zien ...

Nee natuurlijk niet, jou kennende zit ik weer tot middernacht te piekeren hoe ik dit op ga lossen.
Ik heb inderdaad gezien dat het onderwerp van de dag tot een paar dagen geleden ontbinden in factoren was, maar toen heb ik er niet veel aandacht aan besteed. Tijd om wat materiaal op te rakelen dus. Ik heb namelijk nog geen idee hoe ik dit aan moet pakken.

quote:

Op dinsdag 23 juli 2013 02:00 schreef Riparius het volgende:

[..]

De MAA site is niet down, maar helaas is deze site enkele dagen geleden zo maar zonder aankondiging gereorganiseerd, waardoor de oude URLs niet meer werken. En stom genoeg heeft men niet voorzien in redirects van de oude naar de nieuwe URLs, zodat veel 'oude' interne links nu ook niet meer werken. Hierdoor is het lastig materiaal terug te vinden. Ik kan de Putnam opgaven en uitwerkingen momenteel dan ook niet terugvinden, maar gelukkig hebben we voor dit soort eventualiteiten nog archive.org:

http://web.archive.org/we(...)ms/putnamindex.shtml

Je bent een held ! Volgens mij hebben ze op de nieuwe/gereorganiseerde site de oude opgaven er (nog?) niet opstaan.
Ik had al eens gekeken op de 'wayback machine', toen kon ik het niet vinden. Ik zal wel niet goed gekeken hebben

Ik zat laatst eens na te denken over mijn fiets (mountainbike). Ik zit te denken om andere velgen te kopen, maar ik twijfel hoeveel effect dat heeft. Het voordeel is vooral afhankelijk van de velgsnelheid.
Als je naar 1 punt op de velg kijkt dan zie je dat dat punt een absolute sinus functie beschrijft tijdens het rijden
Maar wat is dan de snelheid van dat punt? (de afgeleide/snelheid van normale sinus is cos..) Dus ik vroeg me af of een (absolute) cosinus ook de snelheid beschrift van een absolute sinusfunctie. En wat de velgsnelheid is tov van de rijsnelheid.
Ik hoop dat mijn verhaal duidelijk is en dat iemand mij dit toe kan lichten.

Edit, mijn boerenverstand zegt dat het punt bovenaan 2x de rijsnelheid heeft, maar ik kan dit niet theoretisch bewijzen.

[ Bericht 7% gewijzigd door the85mc op 23-07-2013 13:11:33 ]

quote:

Op dinsdag 23 juli 2013 13:04 schreef the85mc het volgende:
Ik zat laatst eens na te denken over mijn fiets (mountainbike). Ik zit te denken om andere velgen te kopen, maar ik twijfel hoeveel effect dat heeft. Het voordeel is vooral afhankelijk van de velgsnelheid.
Als je naar 1 punt op de velg kijkt dan zie je dat dat punt een absolute sinus functie maakt.
Maar wat is dan de snelheid, (de afgeleide van normale sinus is cos..) Dus ik vroeg me af of een cosinus ook de.snelheid beschrift van een absolute sinusfunctie. En wat de velgsnelheid is tov van de rijsnelheid.
Ik hoop dat mijn verhaal duidelijk is en dat iemand mij dit toe kan lichten.

Edit, mijn boerenverstand zegt dat het punt bovenaan 2x de rijsnelheid heeft, maar ik kan dit niet theoretisch bewijzen.

Per meter die je band rolt ga je toch gewoon 1 meter vooruit? Dus je snelheid en die van de band moeten gelijk zijn.

Een sinosoïde geeft slechts de "hoogte" van een punt op je band na verloop van tijd. De afgeleide daarvan is dus de component van de snelheid in de y-richting, van een bepaald punt op de band.

quote:

Op dinsdag 23 juli 2013 13:12 schreef thenxero het volgende:

[..]

Per meter die je band rolt ga je toch gewoon 1 meter vooruit? Dus je snelheid en die van de band moeten gelijk zijn.

De as rolt inderdaad 1 meter vooruit. Masr de velg beschrijft dus een sinus functie. Dan zou je zeggen dat de snelheid tov de lucht (dus niet de weg) niet constant is.

quote:

Op dinsdag 23 juli 2013 13:04 schreef the85mc het volgende:
Ik zat laatst eens na te denken over mijn fiets (mountainbike). Ik zit te denken om andere velgen te kopen, maar ik twijfel hoeveel effect dat heeft. Het voordeel is vooral afhankelijk van de velgsnelheid.
Als je naar 1 punt op de velg kijkt dan zie je dat dat punt een absolute sinus functie beschrijft tijdens het rijden
Maar wat is dan de snelheid van dat punt? (de afgeleide/snelheid van normale sinus is cos..) Dus ik vroeg me af of een (absolute) cosinus ook de snelheid beschrift van een absolute sinusfunctie. En wat de velgsnelheid is tov van de rijsnelheid.
Ik hoop dat mijn verhaal duidelijk is en dat iemand mij dit toe kan lichten.

Edit, mijn boerenverstand zegt dat het punt bovenaan 2x de rijsnelheid heeft, maar ik kan dit niet theoretisch bewijzen.

De angularvelocity is overal in je velg hetzelfde.
Afhankelijk van de afstand tot het midden is er een bepaalde snelheid im een punt.

Het punt boven of beneden heeft dezelfde snelheid. Waarom zou bovenin de snelheid 2 keer zo groot zijn?

quote:

Op dinsdag 23 juli 2013 13:15 schreef the85mc het volgende:

[..]

De as rolt inderdaad 1 meter vooruit. Masr de velg beschrijft dus een sinus functie. Dan zou je zeggen dat de snelheid tov de lucht (dus niet de weg) niet constant is.

Jawel. Stel dat je een punt markeert op je band en dat de straal 1 (meter) is. Laten we zeggen dat we de rechterkant van de band ter hoogte van de as markeren. Als de band dan naar links gaat rijden, dan volgt de hoogte van het punt op de band (ten opzichte van de as) een sinusgrafiek. De zijwaartse afwijking kan je beschrijven met een cosinus (een afwijking naar rechts kiezen we als positief).
De snelheid van het punt op je band is nu de vector die wordt opgespannen door de x en y component. Met de stelling van Pythagoras krijg je dan dat de lengte van deze somvector gelijk is aan cos²(t) + sin²(t) = 1. De grootte snelheid is dus constant (maar de richting verandert uiteraard).

Maar dit kan je natuurlijk ook op je klompen al aanvoelen. Als een stuk van je velg sneller zou gaan dan een ander stuk, schuift het dan in elkaar?

Ja het klopt dat rad/s constant is bij constante snelheid. Maar wat is dan de snelheid tov de x as? Die is niet constant.
Dat kan namelijk niet: de as beweegt met constante snelheid over de x as. 1 punt op de velg is het ene moment achter de as en later voor de as. Dan moet ie ergens sneller gaan dan de as snelheid.

Ter verduidelijking, het gaat niet om hoeksnelheid, maar snelheid tov de x as.
Wat we eigenlijk nodig hebben is een fiets en een stroboscoop

quote:

Op dinsdag 23 juli 2013 13:32 schreef the85mc het volgende:
Ter verduidelijking, het gaat niet om hoeksnelheid, maar snelheid tov de x as.
Wat we eigenlijk nodig hebben is een fiets en een stroboscoop

Oh zo.
Nou schrijf eerst eens de beweging op in referenceframe van middelpunt wiel en dan vanuit de weg.
Moet nit zo moeilik zijn toch?