[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Ik realiseer me net dat a³ⁿ+b³ⁿ = (aⁿ+bⁿ)(a²ⁿ - aⁿbⁿ + b²ⁿ)

quote:

Op dinsdag 23 juli 2013 17:42 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

a⁶ + a³b³ - (a³b³) + b⁶

(a⁶ + a³b³) - ((a³b³) + b⁶)

Hier maak je al een tekenfout: − (a³b³) + b⁶ = − ((a³b³) − b⁶).

quote:

Op dinsdag 23 juli 2013 22:56 schreef randomo het volgende:

Ik kom zover:
(a³ + b³) = (a + b)(a² + b² - ab)

Als i.p.v. a en b a² en b² gebruikt kan je inderdaad de expressie van Riparius ontbinden (maar ik zie nu dat Amoeba ook al zover was gekomen, met behulp van WolframAlpha).

Dat is uiteraard een correcte observatie. Als we in het merkwaardig product

(a + b)(a² − ab + b²) = a³ + b³

a² in de plaats stellen van a en b² in de plaats van b, dan hebben we

a⁶ + b⁶ = (a² + b²)(a⁴ − a²b² + b⁴)

en dat is wat WolframAlpha ook geeft.

quote:

Hoewel de rechterkant nu precies in een kwadratische vorm staat (na de substitutie x=a is dit misschien duidelijker: x²-bx+b²), heeft deze vergelijking geen oplossingen.

Dat is ook een goede observatie: a² − ab + b² is inderdaad irreducibel over R, en dat kun je gemakkelijk zien door deze veelterm op te vatten als een kwadratisch polynoom in één variabele. Nemen we a als variabele dan is de discriminant −3b² en dus negatief voor elke reële b ≠ 0, zodat dit polynoom voor b ≠ 0 niet is te schrijven als een product van twee lineaire factoren met reële coëfficiënten. Aangezien het polynoom symmetrisch is in a en b geldt uiteraard mutatis mutandis hetzelfde als we omgekeerd b opvatten als variabele en a als constante. Het feit dat a² − ab + b² irreducibel is over R impliceert echter niet dat a⁴ − a²b² + b⁴ ook irreducibel zou zijn over R, en dat is dan ook niet zo.

quote:

Op woensdag 24 juli 2013 02:09 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat is uiteraard een correcte observatie. Als we in het merkwaardig product

(a + b)(a² − ab + b²) = a³ + b³

a² in de plaats stellen van a en b² in de plaats van b, dan hebben we

a⁶ + b⁶ = (a² + b²)(a⁴ − a²b² + b⁴)

en dat is wat WolframAlpha ook geeft.

[..]

Dat is ook een goede observatie: a² − ab + b² is inderdaad irreducibel over R, en dat kun je gemakkelijk zien door deze veelterm op te vatten als een kwadratisch polynoom in één variabele. Nemen we a als variabele dan is de discriminant −3b² en dus negatief voor elke reële b ≠ 0, zodat dit polynoom voor b ≠ 0 niet is te schrijven als een product van twee lineaire factoren met reële coëfficiënten. Aangezien het polynoom symmetrisch is in a en b geldt uiteraard mutatis mutandis hetzelfde als we omgekeerd b opvatten als variabele en a als constante. Het feit dat a² − ab + b² irreducibel is over R impliceert echter niet dat a⁴ − a²b² + b⁴ ook irreducibel zou zijn over R, en dat is dan ook niet zo.

Ik ken de merkwaardige producten voor polynomen van de derde graad helemaal niet. Misschien was dat het probleem zodat ik geen idee had waar te beginnen.

Maar je meent nu te zeggen dat het mogelijk is om a⁴ -a²b² + b⁴ te schrijven is, zoals jij dat zo mooi weet te zeggen, als een product van twee lineaire factoren met reële coëfficiënten.

Dat lijkt me nog een aardige uitdaging.

quote:

Op woensdag 24 juli 2013 06:25 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik ken de merkwaardige producten voor polynomen van de derde graad helemaal niet. Misschien was dat het probleem zodat ik geen idee had waar te beginnen.

Ik had de term merkwaardige producten al genoemd bij de opgave, bedoeld als hint, en dan kan het natuurlijk geen kwaad even het Wikipedia artikel hierover door te kijken.

quote:

Maar je meent nu te zeggen dat het mogelijk is om a⁴ - a²b² + b⁴ te schrijven is, zoals jij dat zo mooi weet te zeggen, als een product van twee lineaire factoren met reële coëfficiënten.

Dat lijkt me nog een aardige uitdaging.

Nou nee, dit is niet wat ik hierboven zeg. De veelterm a⁴ − a²b² + b⁴ is niet te schrijven als een product van (vier, niet twee) lineaire veeltermen in a en b met reële coëfficiënten. Maar deze veelterm is wél reducibel over R, dus je kunt dit nog verder ontbinden in veeltermen in a en b met reële coëfficiënten. Maar hoe?

Niks, laat maar. Ook dat hoeft niet

quote:

Op woensdag 24 juli 2013 15:21 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Even kijken of ik dit goed begrepen heb.

Als het te schrijven is als 4 lineaire veeltermen in a en b met reële coëfficiënten dan geldt dat iedere factor van ten hoogste graad 1 is?

Ja, maar dat is een tautologie, lineaire veeltermen zijn per definitie eerstegraads veeltermen. Maar zoals gezegd is a⁴ − a²b² + b⁴ niet te ontbinden in lineaire veeltermen in a en b met reële coëfficiënten, wel op een andere manier.

quote:

Op woensdag 24 juli 2013 16:55 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

Krijg je het juiste antwoord als ik dit uitwerkt?

Het is nu nog een kwestie van het ontbinden van a⁴ -(ab)² + b⁴ in factoren. Zoals Randomo al terecht opmerkte maak jij er een puinhoop met termen van.

quote:

Op woensdag 24 juli 2013 18:06 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

Is (a+b)(a+b) nou een term of een factor?..

a is een term, b is een term, (a+b) is hier een factor

quote:

Op woensdag 24 juli 2013 18:06 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

Pfff het zijn gewoon factoren....

quote:

Op woensdag 24 juli 2013 18:15 schreef thenxero het volgende:

[..]

a is een term, b is een term, (a+b) is hier een factor

Luister nou maar naar wat vader Thenxero zegt.

quote:

Op woensdag 24 juli 2013 02:09 schreef Riparius het volgende:

[...]

Dat is ook een goede observatie: a² − ab + b² is inderdaad irreducibel over R, en dat kun je gemakkelijk zien door deze veelterm op te vatten als een kwadratisch polynoom in één variabele. Nemen we a als variabele dan is de discriminant −3b² en dus negatief voor elke reële b ≠ 0, zodat dit polynoom voor b ≠ 0 niet is te schrijven als een product van twee lineaire factoren met reële coëfficiënten. Aangezien het polynoom symmetrisch is in a en b geldt uiteraard mutatis mutandis hetzelfde als we omgekeerd b opvatten als variabele en a als constante. Het feit dat a² − ab + b² irreducibel is over R impliceert echter niet dat a⁴ − a²b² + b⁴ ook irreducibel zou zijn over R, en dat is dan ook niet zo.

Ik vermoedde inderdaad al dat a² - ab + b² irreducibel is en a⁴ - a²b² + b⁴ niet, maar helaas houdt het daar ook mee op: ik ken geen merkwaardig product dat me kan helpen, maar ik meen me te herinneren dat in het pdf'je uit mijn vorige post zulke producten systematisch uitgewerkt staan (maar dat vind ik zelf een beetje richting spieken gaan, ik wacht nog even af of ik of iemand anders misschien een 'sudden realization' heeft die ons verder kan helpen).

Overigens, ik bedacht me net iets wat misschien goed (voor je inzicht) is om te realiseren.

Bij het ontbinden van een kwadratische vergelijking zoek je meestal naar nulpunten, en het ontbinden van een expressie als x^3+y^3 kan op soortgelijke wijze.

Als je x³ + y³ = 0 stelt, kan je al snel zien dat x = -y een oplossing is.
Dat betekent dat x + y = 0 impliceert dat x³ + y³ = 0. Oftewel, x + y is een factor van x³ + y³. Op dezelfde wijze kan je snel en makkelijk factoren van bijvoorbeeld x³ - y³ en x⁴ - y⁴ vinden. Hoewel het onthouden van merkwaardige producten sneller is, kan voor simpele polynomen ook deze manier gebruiken.

Helaas helpt dit niet veel bij het ontbinden van ingewikkeldere expressies zoals a⁴ - a²b² + b⁴. Het enige wat ik nog kan verzinnen is om factoren te proberen en deze proberen er met een staartdeling uit te halen.

Nu kan je wel wat voorwaarden stellen aan de factoren: je weet al dat de factoren niet lineair zijn in a of b, dus factoren van de vorm (a + k * b) hoef je niet te proberen (dit heeft Riparius al verklapt, en verder kan je het inzien omdat a = -k * b geen nulpunten van de vergelijking a⁴ - a²b² + b⁴ geeft: dit kan je controleren door in te vullen, misschien zijn er makkelijkere manieren). Dus moeten de factoren een term a², b² of ab hebben (en ik kan zelfs niet uitsluiten dat er termen als a²b in voorkomen). De expressie is symmetrisch in a en b, maar je kan hier niet uit concluderen dat elke factor dat ook moet zijn: (a + 5)(b + 5) = ab + 5a + 5b is bijvoorbeeld ook symmetrisch in a en b, maar zijn factoren zijn dat niet.

edit: verder weet je, omdat (zoals Riparius in zijn post hiervoor uitlegt) a² - ab + b² irreducibel is, dat a⁴ - a²b² + b⁴ geen factoren van de vorm (a² - k) heeft (dit zou namelijk impliceren dat a² - ab + b² wel reducibel is, namelijk met een factor (a - k)). Door de symmetrie in a en b geldt natuurlijk hetzelfde als we b in plaats van a gebruiken.

Er blijven helaas nog een heleboel mogelijke vormen over die factoren wèl kunnen hebben. Ik kom er niet uit, en zie dus waarschijnlijk iets over het hoofd (het is ooit door iemand ontbonden, en die zal vast niet blindelings factoren hebben geprobeerd)...

TLDR; het lukt me niet

[ Bericht 7% gewijzigd door randomo op 24-07-2013 23:15:39 ]

Ja, ik heb een beetje saaie vakantie tot nu toe, vandaar mijn lange post

quote:

Op woensdag 24 juli 2013 13:06 schreef Riparius het volgende:
Nou nee, dit is niet wat ik hierboven zeg. De veelterm a⁴ − a²b² + b⁴ is niet te schrijven als een product van (vier, niet twee) lineaire veeltermen in a en b met reële coëfficiënten. Maar deze veelterm is wél reducibel over R, dus je kunt dit nog verder ontbinden in veeltermen in a en b met reële coëfficiënten. Maar hoe?

Hehehe, wat een feest van herkenning; alsof ik gevraagd wordt ∫1/(x⁴+1) dx te integreren ...

Hint: Je moet hier gebruik maken van een licht gewijzigde vorm van de identiteit van Argand, nl:

(A²+√3*AB+B²)*(A²-√3*AB+B²) =

A⁴ +√3*A³B +A²B² -√3*A³B -3*A²B² -√3*AB³ +A²B² +√3*AB³ +B⁴ =

A⁴ +√3*A³B +A²B² -√3*A³B -3*A²B² -√3*AB³ +A²B² +√3*AB³ +B⁴ =

A⁴ -A²B² +B⁴

De truc zit-em hierin: Je moet de middelste termen AB van een dusdanige factor extra voorzien, dat na het uitschrijven van het product (A^2 + m*A*B + B^2)(A^2 - n*A*B + B^2)

-1.) alle termen die een factor tot de macht 3 bevatten tegen elkaar wegvallen, wat de voorwaarde m = -n oplevert, en
-2.) dat de som van alle termen met A²B² de middelste term in de te ontbinden uitdrukking oplevert. Dit geeft als voorwaarde n*m + 2 = -1

Deze voorwaarden uitwerken geeft:
nm +2 = -1
nm = -3

En omdat volgens voorwaarde 1.) geldt m = -n, krijgen we uiteindelijk
-m² = -3
m² = 3
m = √3 ∨ -√3 en dus ook n = √3 ∨ -√3

Hieruit volgt dat de gezochte factoren voor de middelste termen in de kwadratische polynomen zijn √3 en -√3

Vervolgens kan je met de wortelformule checken of de gevonden kwadratische polynomen nog verder te ontbinden zijn.

NB: dat de engelse Wikipedia over merkwaardige producten die Identiteit niet vermeldt is echt wel .

[ Bericht 0% gewijzigd door VanishedEntity op 25-07-2013 00:33:03 ]

quote:

Op woensdag 24 juli 2013 23:56 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

Hoe ontbind je dan makkelijk? Ik snap dat x = -y maar zie niet hoe dat helpt...

x^3 - x^3 van maken? Of heb je ovetr wat anders..

Als je ziet dat x + y = 0 impliceert dat x³ + y³, weet je dat (x + y) een factor van x³ + y³ is. Veel makkelijker kan ik het niet uitleggen.

[ Bericht 0% gewijzigd door randomo op 25-07-2013 00:11:46 ]

quote:

Op woensdag 24 juli 2013 23:58 schreef VanishedEntity het volgende:

[..]

Mooi dat je het post (met uitleg, hulde!), ik denk niet dat ik er uit was gekomen.

(Onbegrijpelijk trouwens, hoe mensen op sommige identiteiten komen...)

[ Bericht 7% gewijzigd door randomo op 25-07-2013 00:16:00 ]

quote:

Op donderdag 25 juli 2013 00:10 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

Daarvoor is het nog x+y, maar wat heb je dan opgelost?

Je hebt gelijk, ik bedoelde x + y (ik heb het inmiddels gewijzigd). Dan heb je dus een factor van x³ + y³ gevonden.

[ Bericht 13% gewijzigd door randomo op 25-07-2013 01:06:16 ]

Jullie kunnen ook gewoon de hoofdstelling van de algebra gebruiken...

quote:

Op donderdag 25 juli 2013 00:19 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

Ok ik denk dat ik het snap. x^3-y^3, x = y 1 vd factor van x3 -y3 is (x-y) ?

Je schrijft het niet erg duidelijk op, maar ik geloof dat je begrijpt wat ik bedoelde

quote:

Op donderdag 25 juli 2013 00:22 schreef Mathemaat het volgende:
Jullie kunnen ook gewoon de hoofdstelling van de algebra gebruiken...

Die gaat alleen over complexe variabelen, en geeft alleen aan dat zo'n ontbinding bestaat, niet wat deze is (en volgens mij niet eens dat deze uniek is, maar dat weet ik niet helemaal zeker).

quote:

Op woensdag 24 juli 2013 23:08 schreef randomo het volgende:

[..]

Ik vermoedde inderdaad al dat a² - ab + b² irreducibel is en a⁴ - a²b² + b⁴ niet, maar helaas houdt het daar ook mee op: ik ken geen merkwaardig product dat me kan helpen,

Echt niet? Het is echt verbluffend eenvoudig als je het ziet ...

quote:

maar ik meen me te herinneren dat in het pdf'je uit mijn vorige post zulke producten systematisch uitgewerkt staan (maar dat vind ik zelf een beetje richting spieken gaan, ik wacht nog even af of ik of iemand anders misschien een 'sudden realization' heeft die ons verder kan helpen).

Ik heb het boek van Carr even doorgenomen (dank trouwens om me hierop te attenderen, ik kende het niet), maar hier staat het voor zover ik zie niet in. Nu ja, indirect wel maar daar zeg ik maar even niets over.

quote:

Overigens, ik bedacht me net iets wat misschien goed (voor je inzicht) is om te realiseren.

Bij het ontbinden van een kwadratische vergelijking zoek je meestal naar nulpunten, en het ontbinden van een expressie als x^3+y^3 kan op soortgelijke wijze.

Als je x³ + y³ = 0 stelt, kan je al snel zien dat x = -y een oplossing is.
Dat betekent dat x + y = 0 impliceert dat x³ + y³ = 0. Oftewel, x + y is een factor van x³ + y³. Op dezelfde wijze kan je snel en makkelijk factoren van bijvoorbeeld x³ - y³ en x⁴ - y⁴ vinden. Hoewel het onthouden van merkwaardige producten sneller is, kan voor simpele polynomen ook deze manier gebruiken.

Inderdaad, dat is zeker een bruikbare methode.

quote:

Helaas helpt dit niet veel bij het ontbinden van ingewikkeldere expressies zoals a⁴ - a²b² + b⁴. Het enige wat ik nog kan verzinnen is om factoren te proberen en deze proberen er met een staartdeling uit te halen.

Toch zou je de methode die je zelf aangeeft hier kunnen gebruiken. Ik zou het niet aanraden, maar het kan: je hebt uitsluitend even machten van a en b, dus als je bijvoorbeeld a² = x substitueert, dan heb je x² - b²x + b⁴. De discriminant van deze kwadratische veelterm in x is negatief voor b ≠ 0, zodat je dan twee toegevoegd complexe waarden voor x = a² vindt die elk weer twee (complexe) waarden voor a uitgedrukt in b opleveren ...

quote:

Nu kan je wel wat voorwaarden stellen aan de factoren: je weet al dat de factoren niet lineair zijn in a of b, dus factoren van de vorm (a + k * b) hoef je niet te proberen (dit heeft Riparius al verklapt, en verder kan je het inzien omdat a = -k * b geen nulpunten van de vergelijking a⁴ - a²b² + b⁴ geeft: dit kan je controleren door in te vullen, misschien zijn er makkelijkere manieren).

De vergelijking k⁴ − k² + 1 = 0 heeft inderdaad geen reële oplossingen dus een ontbinding in vier lineaire veeltermen in a en b met reële coëfficiënten is niet mogelijk.

quote:

Dus moeten de factoren een term a², b² of ab hebben (en ik kan zelfs niet uitsluiten dat er termen als a²b in voorkomen). De expressie is symmetrisch in a en b, maar je kan hier niet uit concluderen dat elke factor dat ook moet zijn: (a + 5)(b + 5) = ab + 5a + 5b is bijvoorbeeld ook symmetrisch in a en b, maar zijn factoren zijn dat niet.

Dit is juist opgemerkt.

quote:

edit: verder weet je, omdat (zoals Riparius in zijn post hiervoor uitlegt) a² - ab + b² irreducibel is, dat a⁴ - a²b² + b⁴ geen factoren van de vorm (a² - k) heeft (dit zou namelijk impliceren dat a² - ab + b² wel reducibel is, namelijk met een factor (a - k)). Door de symmetrie in a en b geldt natuurlijk hetzelfde als we b in plaats van a gebruiken.

En ook dit is juist opgemerkt.

quote:

Er blijven helaas nog een heleboel mogelijke vormen over die factoren wèl kunnen hebben. Ik kom er niet uit, en zie dus waarschijnlijk iets over het hoofd (het is ooit door iemand ontbonden, en die zal vast niet blindelings factoren hebben geprobeerd)...

Je ziet inderdaad iets over het hoofd.

aargh!

quote:

Op donderdag 25 juli 2013 00:32 schreef Riparius het volgende:

[..]

Echt niet? Het is echt verbluffend eenvoudig als je het ziet ...

Ok, maar dat geldt wel voor meer dingen, vooral in de wiskunde . Ik kijk morgen nog wel even.

Ik zou het trouwens ook nog niet zien als ik de identiteit van Argand wel kende. Wat dat betreft is het een zeer geschikt probleem om mijn kennis eens bij te schaven