[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 01:49 schreef thenxero het volgende:
Ik kan het je nog sterker vertellen. Tot mijn spijt heb ik nooit op het VWO het bewijs gezien van de wortelformule. (Ja ok, ik had het wel gezien, maar alleen omdat ik er zelf op internet naar gezocht had, het kwam niet voor in het lesprogramma)

Idem voor mij. Kwadraatsplitsen (completing the square) werd niet behandeld op het VWO terwijl het nochtans een eenvoudige en nuttige (bijv. nodig voor het oplossen van bepaalde integralen) techniek is.

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 01:55 schreef thenxero het volgende:

[..]

Sowieso ben ik een voorstander van technieken leren in plaats van magische formules te leren.

Is daar discussie over mogelijk?
Pas wanneer je de technieken leert begrijp je wat je precies aan het doen is, als je direct formules toepast die uit de lucht komen vallen dan kan je nog wel leren hoe je ze correct gebruikt maar echt begrijpen wat je aan het doen bent...
Op de lange termijn levert het sowieso meer op als je grondig opbouwt.

quote:

Maar zelfs die laatste methode gaat in rap tempo ten onder, omdat iedereen tegenwoordig een app op zijn grafische rekenmachine zet waar je alleen nog maar de coëfficiënten in hoeft te stoppen. Het doet pijn in mijn hart als ik het zie.

Ik ben dat sterk met je eens, ik vind dat de leerlingen hiermee tekort wordt gedaan. Het is hun eigen schuld dat ze hieraan meedoen maar het is de verantwoordelijkheid van de leraren en de ambtenaren en de bewindslieden van het ministerie van OCW dat leerlingen hiertoe worden verleid.

Met heel mijn hart sta ik achter je mening. Maar het einde van het liedje is dat je als wiskundeleraar probeert om je leerlingen door het examen te loodsen en dan maak je andere keuzes.

Hoe het zou moeten wordt in de politiek bepaald, niet in de klas.

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 02:59 schreef Janneke141 het volgende:
Met heel mijn hart sta ik achter je mening. Maar het einde van het liedje is dat je als wiskundeleraar probeert om je leerlingen door het examen te loodsen en dan maak je andere keuzes.

Hoe het zou moeten wordt in de politiek bepaald, niet in de klas.

Je moet je maar afvragen of het anders kan. Een intelligente leerling kan zelf wel voor zijn verdieping zorgen.

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 00:18 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Misschien een beetje opportunistisch om 3 schooljaren in een jaar af te willen ronden wanneer je het toepassen van de ABC-formule al niet volgt.

Ik ben niet achterlijk en kan het allemaal prima volgen, ik stel mijn prioriteiten alleen anders. (Wil een medische studie gaan doen) De ABC formule wordt alleen aangeraden door mijn scheikunde boek (of gebruik de GRM plotfunctie staat er) en wordt in mijn wiskunde boek zelfs niet vermeld. Maar ik zal het bewijs eens even bestuderen.

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 01:55 schreef thenxero het volgende:

[..]

Sowieso ben ik een voorstander van technieken leren in plaats van magische formules te leren. Maar zelfs die laatste methode gaat in rap tempo ten onder, omdat iedereen tegenwoordig een app op zijn grafische rekenmachine zet waar je alleen nog maar de coëfficiënten in hoeft te stoppen. Het doet pijn in mijn hart als ik het zie.

Dan doet dit je ook vast pijn, een willekeurige pagina uit mijn bedroefde wiskunde boek, lees het gele stuk maar eens.

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 08:21 schreef BeyondTheGreen het volgende:

Dan doet dit je ook vast pijn, een willekeurige pagina uit mijn bedroefde wiskunde boek, lees het gele stuk maar eens. [ afbeelding ]

Zover ik weet is voor het bewijs van de productregel wel iets meer (achtergrond)kennis nodig, dan voor het afleiden van een wortelformule, dus maak je niet druk

Het bewijs van de product(- en quotiënt)regel volgt volgens mij uit limietstellingen, welke bij wiskunde B nog niet eens aan de orde komen. (zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Productregel_(afgeleide))

EDIT: moet wel zeggen dat ik dit erg jammer vind, aangezien je nu op de middelbare leert differentiëren door regeltjes en formules te gebruiken i.p.v. dat je kunt afleiden waarom de regels en formules kloppen..

[ Bericht 8% gewijzigd door Unsub op 28-12-2012 10:17:11 ]

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 10:08 schreef Unsub het volgende:

[..]

Zover ik weet is voor het bewijs van de productregel wel iets meer (achtergrond)kennis nodig, dan voor het afleiden van een wortelformule, dus maak je niet druk

Het bewijs van de product(- en quotiënt)regel volgt volgens mij uit limietstellingen, welke bij wiskunde B nog niet eens aan de orde komen. (zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Productregel_(afgeleide))

EDIT: moet wel zeggen dat ik dit erg jammer vind, aangezien je nu op de middelbare leert differentiëren door regeltjes en formules te gebruiken i.p.v. dat je kunt afleiden waarom de regels en formules kloppen..

Ik heb het bewijs van de productregel op havo 4 gekregen. Je kunt namelijk ook een bewijs geven, zoals Leibniz het gedaan heeft. Maar ik had ook iemand als docent die technische wiskunde had gestudeerd. Dankzij hem studeer ik nu theoretische wiskunde

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 01:55 schreef thenxero het volgende:

[..]

Sowieso ben ik een voorstander van technieken leren in plaats van magische formules te leren. Maar zelfs die laatste methode gaat in rap tempo ten onder, omdat iedereen tegenwoordig een app op zijn grafische rekenmachine zet waar je alleen nog maar de coëfficiënten in hoeft te stoppen. Het doet pijn in mijn hart als ik het zie.

Ik kende op de middelbare school het bewijs voor de ABC-formule uit mijn hoofd, maar gebruikte nog steeds een app op de GRM. Na duizend keer het met de hand gedaan te hebben, heb je het ook wel gezien

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 14:37 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Ik heb het bewijs van de productregel op havo 4 gekregen. Je kunt namelijk ook een bewijs geven, zoals Leibniz het gedaan heeft. Maar ik had ook iemand als docent die technische wiskunde had gestudeerd. Dankzij hem studeer ik nu theoretische wiskunde

Ik zie nu (technische wiskunde, jaar 1) pas het bewijs voor de productregel e.d. bij analyse.. Bij ons werd enkel bij wiskunde D ooit over niet-meetkundige bewijzen gesproken, maar dat vak heb ik dan weer niet gehad

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 14:37 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Ik heb het bewijs van de productregel op havo 4 gekregen. Je kunt namelijk ook een bewijs geven, zoals Leibniz het gedaan heeft. Maar ik had ook iemand als docent die technische wiskunde had gestudeerd. Dankzij hem studeer ik nu theoretische wiskunde

Getal & Ruimte rolt zelden zonder bewijs.

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 15:16 schreef Amoeba het volgende:
de productregel op havo 4 gekregen. Je kunt namelijk ook een bewijs geven, zoals Leibniz het gedaan heeft. Maar ik had ook iemand als docent die technische wiskunde had gestudeerd. Dankzij hem studeer ik nu theoretische wiskunde

Getal & Ruimte rolt zelden zonder bewijs.

We gebruikten geen Getal & Ruimte maar Moderne Wiskunde in de bovenbouw.

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 14:54 schreef Unsub het volgende:

[..]

Ik zie nu (technische wiskunde, jaar 1) pas het bewijs voor de productregel e.d. bij analyse.. Bij ons werd enkel bij wiskunde D ooit over niet-meetkundige bewijzen gesproken, maar dat vak heb ik dan weer niet gehad

Eindhoven toch?

Tot volgend jaar niggah

Riparius,

Ik kreeg een kanttekening bij mijn ingeleverde stuk bij het bewijs dat de stereografische projectie conform is bij deze regel:

PR is een raaklijn aan de bol. PR ligt in vlak r, en vlak r staat loodrecht op straal MP, dus vlak r staat loodrecht op vlak MNP. RP ligt in r, en RA in vlak MNP. Dus geldt:
RA ┴ RP → ∠WRP = 90º

Ik vertrouw op je geheugen, en anders staat een paar posts terug nog wel wat uitgebreids. Zeg maar als ik het op moet snorren.

Hoe moet ik dit dan wel correct formuleren?

[ Bericht 0% gewijzigd door Amoeba op 28-12-2012 16:12:00 ]

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 08:21 schreef BeyondTheGreen het volgende:
Dan doet dit je ook vast pijn, een willekeurige pagina uit mijn bedroefde wiskunde boek, lees het gele stuk maar eens. [ afbeelding ]

Och, voor een eerste introductie tot de product- en quotiëntformules is dit niet eens heel erg ihmo. Gewoon in Jip-en-Janneke-taal uitleggen wat de te volgen procedure is en dan even verderop in het hoofdstuk een mooi bewijs geven werkt prima over het algemeen.

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 01:49 schreef thenxero het volgende:
Ik kan het je nog sterker vertellen. Tot mijn spijt heb ik nooit op het VWO het bewijs gezien van de wortelformule. (Ja ok, ik had het wel gezien, maar alleen omdat ik er zelf op internet naar gezocht had, het kwam niet voor in het lesprogramma)

Same here. Nochthans is het bewijs ervan in 10 minuten uit te leggen. Zelfde met sinus- en cosinusregel; nooit in de les gehad, wel zelf in 10-20 minuten te doorgronden.

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 10:08 schreef Unsub het volgende:
Het bewijs van de product(- en quotiënt)regel volgt volgens mij uit limietstellingen, welke bij wiskunde B nog niet eens aan de orde komen. ( zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Productregel_(afgeleide) )

Ligt aan de methode die men volgt: In de boeken uit de Sigma-serie krijg je idd eerst differentiëren en de verschillende regels waarvoor het bewijs maar so-so is, voordat je 1 boek verder echt bij continuïteit, limieten, differentieerbaarheid en regels aankomt en het één en ander beter onderbouwd wordt.

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 17:28 schreef thenxero het volgende:

[..]

Als ik zelf middelbare schooldocent zou zijn zou ik wel oppervlakkig uitleggen wat een limiet is en daarmee een "bewijs" als op wikipedia geven (waar op zich niets mis mee is, alleen je gebruikt sommige eigenschappen van een limiet zonder bewijs).

Nouja, ik begrijp op zich ook wel dat docenten dat niet doen hoor, daar zit een groot deel van die kinderen echt niet op te wachten schat ik zo. Maar ik miste op de middelbare school ook wel een beetje passie van de docenten.

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 21:14 schreef thenxero het volgende:

[..]

Ik heb wel eens les gegeven aan een VWO klas en die waren juist doodstil en helemaal geboeid toen ik iets buiten het boek om vertelde. Dat valt in mijn ervaring dus reuze mee als je het maar weet te brengen.

Ja, dat bedoel ik ook een beetje. Voor een wiskundige zou het volgens mij nog beter zijn om eerst limieten te behandelen (maar ik begrijp op zich wel dat ze dat niet doen omdat je met afgeleiden bijvoorbeeld mooi maxima en minima kan behandelen). Dan nog vind ik dat de focus op de middelbare school wel erg veel op sommetjes maken lag. Je hoefde bijvoorbeeld niet te weten wanneer een punt x dat voldeed aan f'(x) = 0 precies een minimum of een maximum is, terwijl dat vrij eenvoudig is af te leiden (om maar even een voorbeeld te noemen wat me te binnen schiet).
Dat gegoochel met afgeleiden vond ik echt raar. Dat ze je vertelden wat de formule was voor de helling van een bepaalde functie en dat jij er maar mee moest rekenen.
En, wat ik nu ook nog nooit echt goed behandeld heb gezien is het verband tussen differentieren en integreren. In het wiskundeboek op de middelbare school werden ze gewoon als elkaars inverse gedefinieerd (het klopt natuurlijk door die willekeurige constante bij het integreren niet helemaal als ik het zo zeg, maar je begrijpt wat ik bedoel ).

Vroeger werd eerst continuïteit behandeld, vervolgens limieten en daarna pas differentiëren en integreren (in principe kan je ook eerst integreren behandelen maar meestal wordt eerst differentiëren behandeld). Ik zie geen goede reden om dat niet zo te doen. Het concept van continuïteit is vrij eenvoudig uit te leggen, het concept van limieten eveneens. Het rekenen met limieten is voor sommige mensen wel even slikken, in ieder geval zo gauw je wat moeilijkere opgaves krijgt, maar het concept is toch niet zo moeilijk?
Dat niet alle leerlingen dit aankunnen mag absoluut geen argument zijn om het te behandelen. Dan slagen maar wat minder leerlingen voor wiskunde B, big deal.

Ja, je hoeft niet elke keer opnieuw alles zelf af te leiden. Alsjeblieft niet! Je moet het wel ooit eens geleerd hebben voor de meest basale formules die je toepast.

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 08:21 schreef BeyondTheGreen het volgende:
Dan doet dit je ook vast pijn, een willekeurige pagina uit mijn bedroefde wiskunde boek, lees het gele stuk maar eens. [ afbeelding ]

Het begin alleen al.
Het lijkt me pedagogisch gezien niet erg handig om het verkeerd voor te doen, zelfs al corrigeer je daarna jezelf. Zijn er leraren actief op dit forum die hier anders over denken?
Dat het bewijs niet direct wordt gegeven valt gegeven de omstandigheden te billijken maar beter zou zijn als ze wel de concepten continuïteit en limieten behandelen en daarop voortbordurende het differentiëren correcter introduceren. In drie jaar tijd moet het toch wel lukken om dat beetje calculus en die wat apart gekozen meetkunde-onderwerpen (vergelijk het met wat er niet aan meetkunde wordt behandeld ) te behandelen.

[ Bericht 13% gewijzigd door Bram_van_Loon op 28-12-2012 23:30:53 ]

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 02:59 schreef Janneke141 het volgende:
Met heel mijn hart sta ik achter je mening. Maar het einde van het liedje is dat je als wiskundeleraar probeert om je leerlingen door het examen te loodsen en dan maak je andere keuzes.

Hoe het zou moeten wordt in de politiek bepaald, niet in de klas.

Ik weet niet in hoeverre je het de politiek mag noemen maar de invloed van de voorschriften voor de centrale examens is natuurlijk groot, het nadeel van centrale examens. In de USA noemen ze dit fenomeen "teaching to the test". Je kan het de leraar maar in beperkte mate kwalijk nemen.
De vraag is wellicht waarmee je minder kwaad doet? De normleerlingen tekort doen of de zwakke broeders niet doorheen het examen loodsen. Ik probeer altijd om met ieder goed mens empathie te hebben maar het is nu eenmaal wel zo dat het VWO het hoogste niveau van het middelbare onderwijs is wat we in Nederland hebben en dat het niet nodig is om voor wiskunde B te slagen om een VWO-diploma te behalen.

In Vlaanderen laten ze trouwens zien dat het ook zonder centrale examens prima kan gaan, daar worden scholen afgerekend op de successen, of gebrek hieraan, die oud-leerlingen hebben in het hoger onderwijs. Dat is ook een goed werkende methode, ik stel hiermee zeker niet dat die methode ook in Nederland goed zou werken! Je moet immers rekening houden met heel het systeem en niet met enkel een deel van het systeem.

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 22:26 schreef Bram_van_Loon het volgende:
Vroeger werd eerst continuïteit behandeld, vervolgens limieten en daarna pas differentiëren en integreren (in principe kan je ook eerst integreren behandelen maar meestal wordt eerst differentiëren behandeld).

Voor het bewijzen van de substitutie voor integralen en partieel integreren wordt de kettingregel en de productregel voor differentiëren gebruikt. De rigoureuze definitie van Riemann-integralen is vele moeilijker dan die van differentiëren, daarom is het natuurlijker om eerst te leren differentiëren. Je gebruikt bovendien afgeleiden (de middelwaardestelling), als ik me niet vergis, om de Hoofdstelling van de Integraalrekening te bewijzen.

quote:

Het concept van continuïteit is vrij eenvoudig uit te leggen, het concept van limieten eveneens.

Concept? De rigoureuze definities met epsions en delta's zijn te moeilijk voor op de middelbare school. Het basale concept wordt al behandeld bij de asymptoten van sommige functies en als het goed is, wordt het ook behandeld bij differentiëren (limiet van een hoekbenadering) en integreren (limiet van de Riemann-sommen).

quote:

Op woensdag 19 december 2012 23:02 schreef Riparius het volgende:
Daar mag je de komende tijd eens over gaan nadenken. Hiervoor heb je boldriehoeksmeting nodig. Op de site van het Nederlands schoolmuseum zijn voldoende boekjes te vinden over boldriehoeksmeting uit de tijd dat dat nog een schoolvak was.

Ik ga dit toch nader bestuderen. Het is uiteraard ook toegestaan om een gnomonische projectie te gebruiken voor mijn presentatie. Om vervolgens boldriehoeksmeetkunde te gebruiken om de hoek tussen 2 orthodromen te berekenen, om dit vervolgens te verifiëren met een projectie waarbij grootcirkels rechte lijnen zijn. Inclusief aha-zie-hier moment, en nog meer verdieping.

Aangeboden kansen nimmer afslaan.

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 15:49 schreef Amoeba het volgende:
Riparius,

Ik kreeg een kanttekening bij mijn ingeleverde stuk bij het bewijs dat de stereografische projectie conform is bij deze regel:

PR is een raaklijn aan de bol. PR ligt in vlak r, en vlak r staat loodrecht op straal MP, dus vlak r staat loodrecht op vlak MNP. RP ligt in r, en RA in vlak MNP. Dus geldt:
RA ┴ RP → ∠WRP = 90º

Ik vertrouw op je geheugen, en anders staat een paar posts terug nog wel wat uitgebreids. Zeg maar als ik het op moet snorren.

Hoe moet ik dit dan wel correct formuleren?

Nogmaals. We hebben deze tekening:



ON staat loodrecht op het projectievlak, dus vlak MNA ook. RP ligt in het vlak MNP en raakvlak r, en RA in het projectievlak en vlak MNP. Ook geldt dat vlak r loodrecht op straal MP staat. Dus geldt:
RA ┴ RP → ∠WRP = 90º

Is dan deze redenatie correct?

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 03:03 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Je moet je maar afvragen of het anders kan. Een intelligente leerling kan zelf wel voor zijn verdieping zorgen.

Daar heb je wel een punt. Maar, wat er nu in het WO wel wordt gedaan, is wat ze (in mijn functies en reeksen-dictaat) noemen 'luikjes openzetten': verwijzen naar interessante stof (dat kan heel concreet zijn, bijvoorbeeld in de vorm van de titel van een boek, of heel losjes, door bijvoorbeeld alleen een term als 'complexe functietheorie' te noemen). Als de term dan genoemd wordt en er een voorbeeld van een mooi bewijs of zelfs alleen maar een mooi resultaat, kan dat een leerling motiveren om er iets over op te zoeken.

Ik geloof niet dat dat ooit gebeurd is op de middelbare school. Daardoor wordt het vak voor zowel leraar (hij krijgt bijvoorbeeld niet de kans om wiskunde te laten zien die hij mooi vindt, en moet met ongemotiveerde leerlingen werken) als leerling (wiskunde wordt onnodig saai en vervelend) minder leuk en leerzaam. Ook mis ik creativiteit op de middelbare school. Het gebeurt nu op de universiteit regelmatig dat ik opgaven niet snap, op de middelbare school was 95% van de sommen routinewerk.

In het WO vind ik vaak de manier van presentatie weer doorslaan naar het andere uiterste. Vooral bij vakken die verwant zijn met de analyse, vind ik de dictaten vaak slecht leesbaar. De stellingen en bewijzen mogen van mij wel wat meer aangevuld worden met voorbeelden in tekstuele uitleg. Dit is natuurlijk ook wel een beetje persoonlijke voorkeur, maar ik denk dat het veel mensen zou helpen met het begrijpen van de stof. Wat ik vaak zie is dat je een heel dictaat hebt met interessante en handige wiskunde, maar dat mensen maar 10% echt goed gebruiken, puur omdat je door de vorm waarin de stof wordt gepresenteerd veel moeite moet doen om de stof echt te doorgronden.

Ik vind het altijd wel een leuke discussie. Er is natuurlijk altijd veel aan te merken op wiskunde op de middelbare school, maar volgens mij is een goed leerboek schrijven en goed wiskundeles geven ook gewoon erg moeilijk. Er zitten mensen met een verschillend intellect, een verschillende motivatie en interesse en met nog genoeg andere vakken. Dan moet je keuzes maken: wat behandel je, leg je dingen intuitief uit, leer je de leerlingen goede formele bewijzen te geven of probeer je de focus te leggen op inzicht, etcetera.

[ Bericht 13% gewijzigd door kutkloon7 op 30-12-2012 03:56:32 ]

Ik vraag me het volgende af:
Als de Laplace-integraal absoluut convergeert, dan convergeert hij ook betrekkelijk.
Maar als die Laplace-integraal betrekkelijk convergeert, convergeert hij dan absoluut? (voor een bepaald complex getal s)

Ik krijg dit vermoeden, omdat men als men het gebied van absolute convergentie bepaalt, men in de werkelijkheid er een berekening staat voor betrekkelijke convergentie. Dus ik vraag me af of het gebied van absolute convergentie hier samenvalt met het gebied van (gewone) convergentie.

Ik heb deze integraal op twee manieren geprobeerd, en de tweede manier is waarschijnlijk fout(ik doe waarschijnlijk iets fout bij het partieel integreren) maar ik zie niet wat er precies fout gaat, kan iemand mij helpen?

1:



stel
dan wordt de integraal



2:



Ik wil het tweede stuk (met kwadraat in noemer) dus eerst integreren, dan kom ik uit op


weer u substitutie, u= (2x+1)/3 ,


(moet ik hierboven trouwens kettingsregel gebruiken omdat u van x afhangt? dit heb ik gedaan)
hier maak ik denk ik ook de fout, omdat het arctan gedeelte van het antwoord wel hetzelfde is, zie alleen niet waarom


kan iemand mij uitleggen waar ik de fout in ga? danku !

[ Bericht 3% gewijzigd door jabbahabba op 04-01-2013 23:57:08 ]

Je moet deze integraal helemaal niet partieel integreren. Wat je wèl moet doen is van de integrand de teller zodanig schrijven dat daar de afgeleide van de noemer maal een constante factor plus of min een extra éénterm komt te staan. Dan kan je de breuk opsplitsen in 2 stukken, waarvan de linkerbreuk middels ∫ p(2ax+b)/(ax²+bx+c) dx = ln|ax²+bx+c| integreren en de rechterbreuk ∫ e/(ax²+bx+c) dx middels de arctangens-formule te integreren valt. Een breuk met kwadratisch polynoom in de noemer direct met de arctangens-formule integreren werkt alleen als a.) het polynoom geen nulpunten heeft en b.) er alleen een constante in de teller staat.

Concreet gezegd mbt tot jouw post; je schreef onder 2.:

∫ (8x+3)/(4x²+4x+10) dx =

∫ (8x+3)
------------------------ dx
((2x+1)/3)²+1)

terwijl je had moeten schrijven
∫ (8x+3)/(4x²+4x+10) dx=
∫ (8x+4-1)/(4x²+4x+10) dx=
∫ (8x+4)/(4x²+4x+10) dx - ∫ 1/(4x²+4x+10) dx

Dan kom je idd uit op de oplossing die onder 1. vermeld staat.

quote:

Op vrijdag 4 januari 2013 23:43 schreef jabbahabba het volgende:

kan iemand mij uitleggen waar ik de fout in ga? danku !

-2∙∫ arctan(u)du = -2∙u∙arctan(u) + 2∙∫ (u/(u² + 1))∙du = -2u∙arctan(u) + ln(u² + 1) + C

Bedenk verder dat ln(1/9) een constante is evenals ln(2) en dat je de absoluutstrepen hier weg mag laten aangezien u² + 1 > 0. Dan vind je uiteindelijk dit, hoewel het duidelijk is dat je tweede methode niet bepaald handig is.

BETAAAA!

quote:

Op zaterdag 5 januari 2013 02:19 schreef Riparius het volgende:

[..]

-2∙∫ arctan(u)du = -2∙u∙arctan(u) + 2∙∫ (u/(u² + 1))∙du = -2u∙arctan(u) + ln(u² + 1) + C

Bedenk verder dat ln(1/9) een constante is evenals ln(2) en dat je de absoluutstrepen hier weg mag laten aangezien u² + 1 > 0. Dan vind je uiteindelijk dit, hoewel het duidelijk is dat je tweede methode niet bepaald handig is.

Oké, dankje! Dat dat constantes zijn had ik helemaal over het hoofd gezien

maar je moet dus bij het differentieren van arctan(u) (2e gedeeltje partieel integreren) niet de kettingregel(nog keer du/dx) toepassen ? waarom niet?

[ Bericht 3% gewijzigd door jabbahabba op 05-01-2013 03:39:04 ]

quote:

Op zaterdag 5 januari 2013 00:14 schreef VanishedEntity het volgende:
Je moet deze integraal helemaal niet partieel integreren. Wat je wèl moet doen is van de integrand de teller zodanig schrijven dat daar de afgeleide van de noemer maal een constante factor plus of min een extra éénterm komt te staan. Dan kan je de breuk opsplitsen in 2 stukken, waarvan de linkerbreuk middels ∫ p(2ax+b)/(ax²+bx+c) dx = ln|ax²+bx+c| integreren en de rechterbreuk ∫ e/(ax²+bx+c) dx middels de arctangens-formule te integreren valt. Een breuk met kwadratisch polynoom in de noemer direct met de arctangens-formule integreren werkt alleen als a.) het polynoom geen nulpunten heeft en b.) er alleen een constante in de teller staat.

Concreet gezegd mbt tot jouw post; je schreef onder 2.:

∫ (8x+3)/(4x²+4x+10) dx =

∫ (8x+3)
------------------------ dx
((2x+1)/3)²+1)

terwijl je had moeten schrijven
∫ (8x+3)/(4x²+4x+10) dx=
∫ (8x+4-1)/(4x²+4x+10) dx=
∫ (8x+4)/(4x²+4x+10) dx - ∫ 1/(4x²+4x+10) dx

Dan kom je idd uit op de oplossing die onder 1. vermeld staat.

Deze oplossing had ik al gevonden ik snapte alleen niet waarom de tweede methode niet werkte.

quote:

Een breuk met kwadratisch polynoom in de noemer direct met de arctangens-formule integreren werkt alleen als a.) het polynoom geen nulpunten heeft en b.) er alleen een constante in de teller staat.

Waarom is dit ?

[ Bericht 8% gewijzigd door jabbahabba op 05-01-2013 03:34:48 ]

quote:

Op zaterdag 5 januari 2013 03:24 schreef jabbahabba het volgende:

[..]

Oké, dankje! Dat dat constantes zijn had ik helemaal over het hoofd gezien

maar je moet dus bij het differentieren van arctan(u) (2e gedeelte partieel integreren) niet de kettingregel (nog keer du/dx) toepassen ? waarom niet?

Uit je vraag proef ik dat je niet precies begrijpt hoe substitutie van een variabele bij integreren werkt. Als je hebt:

u = (2x + 1)/3

dan is:

du/dx = 2/3

en dus:

du = (2/3)∙dx

en dus:

dx = (3/2)∙du

Na de substitutie is u de variabele van je integrand en werk je hiermee om partieel te integreren. Dat u hier afhangt van x doet niet ter zake. Je differentieert arctan(u) namelijk naar u, en niet naar x om te vinden dat ∫ arctan(u)∙du = u∙arctan(u) - ∫ (u/(u² + 1))∙du.

Wanneer je werkt met bepaalde integralen, dan moet je bij een substitutie van de variabele van de integrand uiteraard ook nog de grenzen van het interval waarover je integreert aanpassen aan de nieuwe variabele, maar dat is hier niet aan de orde.

quote:

Op zaterdag 5 januari 2013 05:27 schreef Riparius het volgende:

[..]
Uit je vraag proef ik dat je niet precies begrijpt hoe substitutie van een variabele bij integreren werkt. Als je hebt:

Dit is inderdaad zo, dankjewel voor de hulp!

Heren
ik ben op zoek naar een goed boek om meetkunde te oefenen, liefst een die van vooraf aan begint. Daar ben ik naar op zoek om mijn kans op slagen bij Euclidische meetkunde volgend jaar te vergroten.
Iemand aanraders?

Ik heb weer een vraagje over chaos!

Bij de bifurcatiediagram van de logistieke vergelijking:



wordt er gezegd dat de zwarte punten evenwichtsstanden zijn of punten waarbij een periodieke orbit is. Ik snap dat bij r<3 het de evenwichtspunten voorstelt, en dat bij voor 3<r<3,5 (ongeveer) het de periodieke schommelingen zijn, maar in het chaos gedeelte verlies ik het. Zijn het dan nog steeds periodieke schommelingen, of stellen al die stipjes gewoon de mogelijke waarden voor?

samengevat; wat stellen alle stipjes in de chaos regio van de bifurcatiediagram voor?

quote:

Op zaterdag 5 januari 2013 03:26 schreef jabbahabba het volgende:
[..]

Waarom is dit ?

Laten we ze even nalopen voor de aardigheid.

In het geval van (ax²+bx+c)/(dx²+ex+f) of elke variant daarop waarbij de teller van hogere machtsgraad is dan de noemer kan je dmv polynoomstaartdeling de breuk zover uitdelen, dat je iig op zn minst een constante a/e plus een breuk in vorm van (gx+h)/(dx²+ex+f) over zult houden.

In het geval van (kx+m)/(nx²+px+q) kan je de afgeleide van de noemer maal een factor in de teller krijgen door bij de laatste een geschikte extra constante term toe te voegen. Concreter gezegd, (kx+m)/(nx²+px+q) is dan te schrijven als (s2nx+sp±t)/(nx²+px+q) oftewel s(2nx+p)/(nx²+px+q) ± t/(nx²+px+q), waarvan de linkerbreuk volgens de regel
∫s(2nx+p)/(nx²+px+q) dx = s∫(2nx+p)/(nx²+px+q) dx = s*ln|nx²+px+q| te integreren is. Immers ∫ f '(x)/f(x) dx = ln|f(x)|

Blijft over de t/(nx²+px+q) uit het vorige voorbeeld, en dan is het een kwestie van kijken of de noemer nulpunten heeft.

-In het geval van 2 nulpunten is t/(nx²+px+q) te schrijven als t/w(x+α)(x+β) en dien je breuksplitsen toe te passen.
-In het geval van 1 nulpunt is t/(nx²+px+q) te schrijven als t/z(x+ε)² en komt de machtsregel van het differentiëren om de hoek kijken. In dit geval dus d(-t/z(x+ε))/dx = t/z(x+ε)² .
-In het geval van geen nulpunten moet je omzien naar de arctangens-formule voor het integreren van uitdrukkingen in de vorm van 1/(ax²+bx+c). De functie is dan net als de afgeleide van arctanx oftewel 1/(x²+1) nl. gedefinieerd voor elke x in ℜ

[ Bericht 0% gewijzigd door VanishedEntity op 06-01-2013 22:37:35 ]

Hoe bereken je de integraal van x*3^(x^2) ?
Ik dacht ik pak het zo aan:
U = x^2 /2
DU = x dx
dan hou je 3^(2u) du over.

Dan hou je volgens http://www.numberempire.com/integralcalculator.php:
3^u/(2*ln(u)) over, maar ik snap niet hoe het nou werkt met die 2.

wolfram zegt trouwens iets anders die geeft:
9^u / ln(9)

[ Bericht 75% gewijzigd door jabbahabba op 07-01-2013 02:03:59 ]

quote:

Op maandag 7 januari 2013 01:34 schreef MouzurX het volgende:
Hoe bereken je de integraal van x*3^(x^2) ?
Ik dacht ik pak het zo aan:
u = x^2 /2
du = x dx
dan hou je 3^(2u) du over.

Dan hou je volgens http://www.numberempire.com/integralcalculator.php:
3^u/(2*ln(u)) over, maar ik snap niet hoe het nou werkt met die 2.

Nee. De site je geeft levert dan

3^(2*u)/(2*ln(3))

als primitieve. Gebruik trouwens niet de kreet overhouden, want dan lijkt het net of je alleen een uitdrukking hebt herleid.

quote:

Wolfram zegt trouwens iets anders die geeft:
9^u / ln(9)

Dit is niet iets anders maar precies hetzelfde. Je hebt namelijk 3^2u = (3²)^u = 9^u en 2∙ln(3) = ln(3²) = ln(9).

Het is het handigst om 3^x² = e^x²∙ln(3) meteen om te zetten naar een eenvoudige e-macht door

u = x²∙ln(3)

te substitueren, zodat

du/dx = 2x∙ln(3)

en dus

x∙dx = (2∙ln(3))^-1∙du

zodat we krijgen:

∫ x∙3^x²∙dx = (2∙ln(3))^-1∙∫ e^u∙du = (2∙ln(3))^-1∙e^u + C = (2∙ln(3))^-1∙3^x² + C

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 07-01-2013 13:45:25 ]

quote:

Op zaterdag 5 januari 2013 23:15 schreef thenxero het volgende:
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html

Die heb ik, en ga ik gebruiken. Ben meer op zoek naar een lesboek, wat opgaven, enzovoorts. Internet mag ook.

quote:

Op maandag 7 januari 2013 15:48 schreef Quir het volgende:

[..]

Die heb ik, en ga ik gebruiken. Ben meer op zoek naar een lesboek, wat opgaven, enzovoorts. Internet mag ook.

Neem eens een kijkje op de site van het Nederlands Schoolmuseum. Daar vind je erg veel (oude) Nederlandse schoolboeken (met veel opgaven) over vlakke meetkunde, uit de tijd dat dit nog echt een apart vak was.

Engelstalige (oude) schoolboeken over vlakke meetkunde zijn er natuurlijk ook te kust en te keur. Zoek daarvoor eens op archive.org.

Voor wat meer gevorderde boeken over Euclidische meetkunde kan ik je deze titels aanbevelen:

Coxeter, Geometry Revisited
Coxeter, Introduction to Geometry
Bottema, Hoofdstukken uit de elementaire meetkunde
Johnson, Advanced Euclidean Geometry
Altshiller-Court, College Geometry

[ Bericht 3% gewijzigd door Riparius op 07-01-2013 17:42:42 ]

e^sin(x) / e ^{- sin(x)} = e^2sin(x)

klopt? Komt voort uit uitwerking op van een tentamen:

C'(x) * e ^{- sin(x)} = e^sin(x)

de algemene regel is: a^p / a^q = a^{p - q}

Want als ik met deze regel kijkt klopt 't niet right.

quote:

Op maandag 7 januari 2013 18:09 schreef GoodGawd het volgende:
e^sin(x) / e ^{- sin(x)} = e^2sin(x)

klopt? Komt voort uit uitwerking op van een tentamen:

C'(x) * e ^{- sin(x)} = e^sin(x)

de algemene regel is: a^p / a^q = a^{p - q}

Want als ik met deze regel kijkt klopt 't niet right.

Wat is je vraag nu? Je eerste regel klopt gewoon.

quote:

Op maandag 7 januari 2013 18:09 schreef GoodGawd het volgende:
e^sin(x) / e ^{- sin(x)} = e^2sin(x)

klopt? Komt voort uit uitwerking op van een tentamen:

C'(x) * e ^{- sin(x)} = e^sin(x)

de algemene regel is: a^p / a^q = a^{p - q}

Want als ik met deze regel kijkt klopt 't niet right.

e^sin(x) / e ^{- sin(x)} = e^{sin(x)- -sin(x)} = e^{sin(x)+sin(x)} = e^2sin(x)
bedoel je dit?

quote:

Op maandag 7 januari 2013 19:30 schreef Unsub het volgende:

[..]

e^sin(x) / e ^{- sin(x)} = e^{sin(x)- -sin(x)} = e^{sin(x)+sin(x)} = e^2sin(x)
bedoel je dit?

Jou moest ik nog even hebben. Vanuit school wordt mij gevraagd of ik zin heb om naar een meeloopdag bij de TU/e te gaan. Dan loop je 1 dag met een eerstejaars mee. Ik moest direct aan jou denken. Kan dat met jou?

quote:

Op maandag 7 januari 2013 19:35 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Jou moest ik nog even hebben. Vanuit school wordt mij gevraagd of ik zin heb om naar een meeloopdag bij de TU/e te gaan. Dan loop je 1 dag met een eerstejaars mee. Ik moest direct aan jou denken. Kan dat met jou?

Haha, dat kan zeker met mij, maar normaal worden meelopers willekeurig verdeeld over de meeloopstudenten. Dit is op zich niet zo erg, omdat je bij een meeloopdag toch (bijna) alle actieve studenten wel ziet/spreekt.
Je kan misschien wel bij je aanmelding wel vermelden dat je een voorkeur hebt voor een meeloopstudent?

quote:

Op maandag 7 januari 2013 19:30 schreef Unsub het volgende:

[..]

e^sin(x) / e ^{- sin(x)} = e^{sin(x)- -sin(x)} = e^{sin(x)+sin(x)} = e^2sin(x)
bedoel je dit?

Ja, ik had gewoon weer een hersen storing. Merci.