[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 01:49 schreef thenxero het volgende:
Ik kan het je nog sterker vertellen. Tot mijn spijt heb ik nooit op het VWO het bewijs gezien van de wortelformule. (Ja ok, ik had het wel gezien, maar alleen omdat ik er zelf op internet naar gezocht had, het kwam niet voor in het lesprogramma)

Idem voor mij. Kwadraatsplitsen (completing the square) werd niet behandeld op het VWO terwijl het nochtans een eenvoudige en nuttige (bijv. nodig voor het oplossen van bepaalde integralen) techniek is.

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 01:55 schreef thenxero het volgende:

[..]

Sowieso ben ik een voorstander van technieken leren in plaats van magische formules te leren.

Is daar discussie over mogelijk?
Pas wanneer je de technieken leert begrijp je wat je precies aan het doen is, als je direct formules toepast die uit de lucht komen vallen dan kan je nog wel leren hoe je ze correct gebruikt maar echt begrijpen wat je aan het doen bent...
Op de lange termijn levert het sowieso meer op als je grondig opbouwt.

quote:

Maar zelfs die laatste methode gaat in rap tempo ten onder, omdat iedereen tegenwoordig een app op zijn grafische rekenmachine zet waar je alleen nog maar de coëfficiënten in hoeft te stoppen. Het doet pijn in mijn hart als ik het zie.

Ik ben dat sterk met je eens, ik vind dat de leerlingen hiermee tekort wordt gedaan. Het is hun eigen schuld dat ze hieraan meedoen maar het is de verantwoordelijkheid van de leraren en de ambtenaren en de bewindslieden van het ministerie van OCW dat leerlingen hiertoe worden verleid.

Met heel mijn hart sta ik achter je mening. Maar het einde van het liedje is dat je als wiskundeleraar probeert om je leerlingen door het examen te loodsen en dan maak je andere keuzes.

Hoe het zou moeten wordt in de politiek bepaald, niet in de klas.

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 02:59 schreef Janneke141 het volgende:
Met heel mijn hart sta ik achter je mening. Maar het einde van het liedje is dat je als wiskundeleraar probeert om je leerlingen door het examen te loodsen en dan maak je andere keuzes.

Hoe het zou moeten wordt in de politiek bepaald, niet in de klas.

Je moet je maar afvragen of het anders kan. Een intelligente leerling kan zelf wel voor zijn verdieping zorgen.

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 00:18 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Misschien een beetje opportunistisch om 3 schooljaren in een jaar af te willen ronden wanneer je het toepassen van de ABC-formule al niet volgt.

Ik ben niet achterlijk en kan het allemaal prima volgen, ik stel mijn prioriteiten alleen anders. (Wil een medische studie gaan doen) De ABC formule wordt alleen aangeraden door mijn scheikunde boek (of gebruik de GRM plotfunctie staat er) en wordt in mijn wiskunde boek zelfs niet vermeld. Maar ik zal het bewijs eens even bestuderen.

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 01:55 schreef thenxero het volgende:

[..]

Sowieso ben ik een voorstander van technieken leren in plaats van magische formules te leren. Maar zelfs die laatste methode gaat in rap tempo ten onder, omdat iedereen tegenwoordig een app op zijn grafische rekenmachine zet waar je alleen nog maar de coëfficiënten in hoeft te stoppen. Het doet pijn in mijn hart als ik het zie.

Dan doet dit je ook vast pijn, een willekeurige pagina uit mijn bedroefde wiskunde boek, lees het gele stuk maar eens.

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 08:21 schreef BeyondTheGreen het volgende:

Dan doet dit je ook vast pijn, een willekeurige pagina uit mijn bedroefde wiskunde boek, lees het gele stuk maar eens. [ afbeelding ]

Zover ik weet is voor het bewijs van de productregel wel iets meer (achtergrond)kennis nodig, dan voor het afleiden van een wortelformule, dus maak je niet druk

Het bewijs van de product(- en quotiënt)regel volgt volgens mij uit limietstellingen, welke bij wiskunde B nog niet eens aan de orde komen. (zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Productregel_(afgeleide))

EDIT: moet wel zeggen dat ik dit erg jammer vind, aangezien je nu op de middelbare leert differentiëren door regeltjes en formules te gebruiken i.p.v. dat je kunt afleiden waarom de regels en formules kloppen..

[ Bericht 8% gewijzigd door Unsub op 28-12-2012 10:17:11 ]

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 10:08 schreef Unsub het volgende:

[..]

Zover ik weet is voor het bewijs van de productregel wel iets meer (achtergrond)kennis nodig, dan voor het afleiden van een wortelformule, dus maak je niet druk

Het bewijs van de product(- en quotiënt)regel volgt volgens mij uit limietstellingen, welke bij wiskunde B nog niet eens aan de orde komen. (zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Productregel_(afgeleide))

EDIT: moet wel zeggen dat ik dit erg jammer vind, aangezien je nu op de middelbare leert differentiëren door regeltjes en formules te gebruiken i.p.v. dat je kunt afleiden waarom de regels en formules kloppen..

Ik heb het bewijs van de productregel op havo 4 gekregen. Je kunt namelijk ook een bewijs geven, zoals Leibniz het gedaan heeft. Maar ik had ook iemand als docent die technische wiskunde had gestudeerd. Dankzij hem studeer ik nu theoretische wiskunde

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 01:55 schreef thenxero het volgende:

[..]

Sowieso ben ik een voorstander van technieken leren in plaats van magische formules te leren. Maar zelfs die laatste methode gaat in rap tempo ten onder, omdat iedereen tegenwoordig een app op zijn grafische rekenmachine zet waar je alleen nog maar de coëfficiënten in hoeft te stoppen. Het doet pijn in mijn hart als ik het zie.

Ik kende op de middelbare school het bewijs voor de ABC-formule uit mijn hoofd, maar gebruikte nog steeds een app op de GRM. Na duizend keer het met de hand gedaan te hebben, heb je het ook wel gezien

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 14:37 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Ik heb het bewijs van de productregel op havo 4 gekregen. Je kunt namelijk ook een bewijs geven, zoals Leibniz het gedaan heeft. Maar ik had ook iemand als docent die technische wiskunde had gestudeerd. Dankzij hem studeer ik nu theoretische wiskunde

Ik zie nu (technische wiskunde, jaar 1) pas het bewijs voor de productregel e.d. bij analyse.. Bij ons werd enkel bij wiskunde D ooit over niet-meetkundige bewijzen gesproken, maar dat vak heb ik dan weer niet gehad

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 14:37 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Ik heb het bewijs van de productregel op havo 4 gekregen. Je kunt namelijk ook een bewijs geven, zoals Leibniz het gedaan heeft. Maar ik had ook iemand als docent die technische wiskunde had gestudeerd. Dankzij hem studeer ik nu theoretische wiskunde

Getal & Ruimte rolt zelden zonder bewijs.

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 15:16 schreef Amoeba het volgende:
de productregel op havo 4 gekregen. Je kunt namelijk ook een bewijs geven, zoals Leibniz het gedaan heeft. Maar ik had ook iemand als docent die technische wiskunde had gestudeerd. Dankzij hem studeer ik nu theoretische wiskunde

Getal & Ruimte rolt zelden zonder bewijs.

We gebruikten geen Getal & Ruimte maar Moderne Wiskunde in de bovenbouw.

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 14:54 schreef Unsub het volgende:

[..]

Ik zie nu (technische wiskunde, jaar 1) pas het bewijs voor de productregel e.d. bij analyse.. Bij ons werd enkel bij wiskunde D ooit over niet-meetkundige bewijzen gesproken, maar dat vak heb ik dan weer niet gehad

Eindhoven toch?

Tot volgend jaar niggah

Riparius,

Ik kreeg een kanttekening bij mijn ingeleverde stuk bij het bewijs dat de stereografische projectie conform is bij deze regel:

PR is een raaklijn aan de bol. PR ligt in vlak r, en vlak r staat loodrecht op straal MP, dus vlak r staat loodrecht op vlak MNP. RP ligt in r, en RA in vlak MNP. Dus geldt:
RA ┴ RP → ∠WRP = 90º

Ik vertrouw op je geheugen, en anders staat een paar posts terug nog wel wat uitgebreids. Zeg maar als ik het op moet snorren.

Hoe moet ik dit dan wel correct formuleren?

[ Bericht 0% gewijzigd door Amoeba op 28-12-2012 16:12:00 ]

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 08:21 schreef BeyondTheGreen het volgende:
Dan doet dit je ook vast pijn, een willekeurige pagina uit mijn bedroefde wiskunde boek, lees het gele stuk maar eens. [ afbeelding ]

Och, voor een eerste introductie tot de product- en quotiëntformules is dit niet eens heel erg ihmo. Gewoon in Jip-en-Janneke-taal uitleggen wat de te volgen procedure is en dan even verderop in het hoofdstuk een mooi bewijs geven werkt prima over het algemeen.

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 01:49 schreef thenxero het volgende:
Ik kan het je nog sterker vertellen. Tot mijn spijt heb ik nooit op het VWO het bewijs gezien van de wortelformule. (Ja ok, ik had het wel gezien, maar alleen omdat ik er zelf op internet naar gezocht had, het kwam niet voor in het lesprogramma)

Same here. Nochthans is het bewijs ervan in 10 minuten uit te leggen. Zelfde met sinus- en cosinusregel; nooit in de les gehad, wel zelf in 10-20 minuten te doorgronden.

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 10:08 schreef Unsub het volgende:
Het bewijs van de product(- en quotiënt)regel volgt volgens mij uit limietstellingen, welke bij wiskunde B nog niet eens aan de orde komen. ( zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Productregel_(afgeleide) )

Ligt aan de methode die men volgt: In de boeken uit de Sigma-serie krijg je idd eerst differentiëren en de verschillende regels waarvoor het bewijs maar so-so is, voordat je 1 boek verder echt bij continuïteit, limieten, differentieerbaarheid en regels aankomt en het één en ander beter onderbouwd wordt.

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 17:28 schreef thenxero het volgende:

[..]

Als ik zelf middelbare schooldocent zou zijn zou ik wel oppervlakkig uitleggen wat een limiet is en daarmee een "bewijs" als op wikipedia geven (waar op zich niets mis mee is, alleen je gebruikt sommige eigenschappen van een limiet zonder bewijs).

Nouja, ik begrijp op zich ook wel dat docenten dat niet doen hoor, daar zit een groot deel van die kinderen echt niet op te wachten schat ik zo. Maar ik miste op de middelbare school ook wel een beetje passie van de docenten.

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 21:14 schreef thenxero het volgende:

[..]

Ik heb wel eens les gegeven aan een VWO klas en die waren juist doodstil en helemaal geboeid toen ik iets buiten het boek om vertelde. Dat valt in mijn ervaring dus reuze mee als je het maar weet te brengen.

Ja, dat bedoel ik ook een beetje. Voor een wiskundige zou het volgens mij nog beter zijn om eerst limieten te behandelen (maar ik begrijp op zich wel dat ze dat niet doen omdat je met afgeleiden bijvoorbeeld mooi maxima en minima kan behandelen). Dan nog vind ik dat de focus op de middelbare school wel erg veel op sommetjes maken lag. Je hoefde bijvoorbeeld niet te weten wanneer een punt x dat voldeed aan f'(x) = 0 precies een minimum of een maximum is, terwijl dat vrij eenvoudig is af te leiden (om maar even een voorbeeld te noemen wat me te binnen schiet).
Dat gegoochel met afgeleiden vond ik echt raar. Dat ze je vertelden wat de formule was voor de helling van een bepaalde functie en dat jij er maar mee moest rekenen.
En, wat ik nu ook nog nooit echt goed behandeld heb gezien is het verband tussen differentieren en integreren. In het wiskundeboek op de middelbare school werden ze gewoon als elkaars inverse gedefinieerd (het klopt natuurlijk door die willekeurige constante bij het integreren niet helemaal als ik het zo zeg, maar je begrijpt wat ik bedoel ).

Vroeger werd eerst continuïteit behandeld, vervolgens limieten en daarna pas differentiëren en integreren (in principe kan je ook eerst integreren behandelen maar meestal wordt eerst differentiëren behandeld). Ik zie geen goede reden om dat niet zo te doen. Het concept van continuïteit is vrij eenvoudig uit te leggen, het concept van limieten eveneens. Het rekenen met limieten is voor sommige mensen wel even slikken, in ieder geval zo gauw je wat moeilijkere opgaves krijgt, maar het concept is toch niet zo moeilijk?
Dat niet alle leerlingen dit aankunnen mag absoluut geen argument zijn om het te behandelen. Dan slagen maar wat minder leerlingen voor wiskunde B, big deal.

Ja, je hoeft niet elke keer opnieuw alles zelf af te leiden. Alsjeblieft niet! Je moet het wel ooit eens geleerd hebben voor de meest basale formules die je toepast.

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 08:21 schreef BeyondTheGreen het volgende:
Dan doet dit je ook vast pijn, een willekeurige pagina uit mijn bedroefde wiskunde boek, lees het gele stuk maar eens. [ afbeelding ]

Het begin alleen al.
Het lijkt me pedagogisch gezien niet erg handig om het verkeerd voor te doen, zelfs al corrigeer je daarna jezelf. Zijn er leraren actief op dit forum die hier anders over denken?
Dat het bewijs niet direct wordt gegeven valt gegeven de omstandigheden te billijken maar beter zou zijn als ze wel de concepten continuïteit en limieten behandelen en daarop voortbordurende het differentiëren correcter introduceren. In drie jaar tijd moet het toch wel lukken om dat beetje calculus en die wat apart gekozen meetkunde-onderwerpen (vergelijk het met wat er niet aan meetkunde wordt behandeld ) te behandelen.

[ Bericht 13% gewijzigd door Bram_van_Loon op 28-12-2012 23:30:53 ]

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 02:59 schreef Janneke141 het volgende:
Met heel mijn hart sta ik achter je mening. Maar het einde van het liedje is dat je als wiskundeleraar probeert om je leerlingen door het examen te loodsen en dan maak je andere keuzes.

Hoe het zou moeten wordt in de politiek bepaald, niet in de klas.

Ik weet niet in hoeverre je het de politiek mag noemen maar de invloed van de voorschriften voor de centrale examens is natuurlijk groot, het nadeel van centrale examens. In de USA noemen ze dit fenomeen "teaching to the test". Je kan het de leraar maar in beperkte mate kwalijk nemen.
De vraag is wellicht waarmee je minder kwaad doet? De normleerlingen tekort doen of de zwakke broeders niet doorheen het examen loodsen. Ik probeer altijd om met ieder goed mens empathie te hebben maar het is nu eenmaal wel zo dat het VWO het hoogste niveau van het middelbare onderwijs is wat we in Nederland hebben en dat het niet nodig is om voor wiskunde B te slagen om een VWO-diploma te behalen.

In Vlaanderen laten ze trouwens zien dat het ook zonder centrale examens prima kan gaan, daar worden scholen afgerekend op de successen, of gebrek hieraan, die oud-leerlingen hebben in het hoger onderwijs. Dat is ook een goed werkende methode, ik stel hiermee zeker niet dat die methode ook in Nederland goed zou werken! Je moet immers rekening houden met heel het systeem en niet met enkel een deel van het systeem.

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 22:26 schreef Bram_van_Loon het volgende:
Vroeger werd eerst continuïteit behandeld, vervolgens limieten en daarna pas differentiëren en integreren (in principe kan je ook eerst integreren behandelen maar meestal wordt eerst differentiëren behandeld).

Voor het bewijzen van de substitutie voor integralen en partieel integreren wordt de kettingregel en de productregel voor differentiëren gebruikt. De rigoureuze definitie van Riemann-integralen is vele moeilijker dan die van differentiëren, daarom is het natuurlijker om eerst te leren differentiëren. Je gebruikt bovendien afgeleiden (de middelwaardestelling), als ik me niet vergis, om de Hoofdstelling van de Integraalrekening te bewijzen.

quote:

Het concept van continuïteit is vrij eenvoudig uit te leggen, het concept van limieten eveneens.

Concept? De rigoureuze definities met epsions en delta's zijn te moeilijk voor op de middelbare school. Het basale concept wordt al behandeld bij de asymptoten van sommige functies en als het goed is, wordt het ook behandeld bij differentiëren (limiet van een hoekbenadering) en integreren (limiet van de Riemann-sommen).

quote:

Op woensdag 19 december 2012 23:02 schreef Riparius het volgende:
Daar mag je de komende tijd eens over gaan nadenken. Hiervoor heb je boldriehoeksmeting nodig. Op de site van het Nederlands schoolmuseum zijn voldoende boekjes te vinden over boldriehoeksmeting uit de tijd dat dat nog een schoolvak was.

Ik ga dit toch nader bestuderen. Het is uiteraard ook toegestaan om een gnomonische projectie te gebruiken voor mijn presentatie. Om vervolgens boldriehoeksmeetkunde te gebruiken om de hoek tussen 2 orthodromen te berekenen, om dit vervolgens te verifiëren met een projectie waarbij grootcirkels rechte lijnen zijn. Inclusief aha-zie-hier moment, en nog meer verdieping.

Aangeboden kansen nimmer afslaan.

quote:

Op vrijdag 28 december 2012 15:49 schreef Amoeba het volgende:
Riparius,

Ik kreeg een kanttekening bij mijn ingeleverde stuk bij het bewijs dat de stereografische projectie conform is bij deze regel:

PR is een raaklijn aan de bol. PR ligt in vlak r, en vlak r staat loodrecht op straal MP, dus vlak r staat loodrecht op vlak MNP. RP ligt in r, en RA in vlak MNP. Dus geldt:
RA ┴ RP → ∠WRP = 90º

Ik vertrouw op je geheugen, en anders staat een paar posts terug nog wel wat uitgebreids. Zeg maar als ik het op moet snorren.

Hoe moet ik dit dan wel correct formuleren?

Nogmaals. We hebben deze tekening:



ON staat loodrecht op het projectievlak, dus vlak MNA ook. RP ligt in het vlak MNP en raakvlak r, en RA in het projectievlak en vlak MNP. Ook geldt dat vlak r loodrecht op straal MP staat. Dus geldt:
RA ┴ RP → ∠WRP = 90º

Is dan deze redenatie correct?