[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

zondag 10 juni 2012 @ 16:44:46 #1

Aardappel2610

Post hier weer al je vragen, passies, trauma's en andere dingen die je uit je slaap houden met betrekking tot de wiskunde.

Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!

Opmaak:
• met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg).

Links:
• http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren.
• http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search.
• http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie.
• http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is.
• http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc...

_OP

zondag 10 juni 2012 @ 16:44:56 #2

Aardappel2610

Ik heb (wederom) een vraagje over meetkunde (en nu wel in het goede topic).

De volgende koordenvierhoek is gegeven (tegen de klok in met punt A - D). De bogen BC, CD en DA zijn in de verhoudingen 1:3:5. De lijn AB ligt op het midden van de cirkel en bevat punt M.

Nu is het de bedoeling dat ik de hoeken uitrekenen van de koordenvierhoek. Maar ik kom niet verder aangezien ik niet weet waar ik moet beginnen/ik heb geen referentie.

zondag 10 juni 2012 @ 16:54:41 #3

Riparius

quote:
Op zondag 10 juni 2012 16:44 schreef Aardappel2610 het volgende:
Ik heb (wederom) een vraagje over meetkunde (en nu wel in het goede topic).

De volgende koordenvierhoek is gegeven (tegen de klok in met punt A - D). De bogen BC, CD en DA zijn in de verhoudingen 1:3:5. De lijn AB ligt op het midden van de cirkel en bevat punt M.

[ afbeelding ]

Nu is het de bedoeling dat ik de hoeken uitrekenen van de koordenvierhoek. Maar ik kom niet verder aangezien ik niet weet waar ik moet beginnen/ik heb geen referentie.

Wel nauwkeurig formuleren: kennelijk bedoel je dat zijde AB van je koordenvierhoek een middellijn is van de cirkel waarop de hoekpunten van de koordenvierhoek liggen.

Ken je de stelling dat een omtrekshoek op een cirkelboog gelijk is aan de helft van de middelpuntshoek op diezelfde cirkelboog?

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

zondag 10 juni 2012 @ 16:58:09 #4

Aardappel2610

Ja die stelling ben ik bekend mee. Ik heb al zitten kijken of ik daar iets mee kon, maar dat schoot niet op.

zondag 10 juni 2012 @ 17:06:38 #5

Riparius

quote:
Op zondag 10 juni 2012 16:58 schreef Aardappel2610 het volgende:
Ja die stelling ben ik bekend mee. Ik heb al zitten kijken of ik daar iets mee kon, maar dat schoot niet op.

Uiteraard schiet dat wél op. Kijk nog eens naar je figuur. Gegeven is (tegen de klok in) dat:

bg(BC) : bg(CD) : bg(DA) = 1 : 3 : 5

Nu hebben we ook nog (weer tegen de klok in) bg(AB), en dat is een halve cirkel, oftewel 180 graden, want AB is een middellijn van de cirkel. Maar die drie andere bogen die zich verhouden als 1 : 3 : 5 zijn samen ook 180 graden, want die vormen samen de andere helft van de cirkel. Nu kun je dus gemakkelijk uitrekenen hoe groot bg(BC), bg(CD) en bg(DA) zijn.

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

zondag 10 juni 2012 @ 17:30:45 #6

Amoeba

Floydiaan.

quote:
Op zondag 10 juni 2012 14:18 schreef Riparius het volgende:

[..]

Vergeet even die hoek waarover punt A om het centrum O is geroteerd op een tijdstip t > 0. Maak een tekening van een gelijkzijdige driehoek ABC met centrum O. Deze tekening kun je beschouwen als een momentopname van de positie van de punten A,B,C op een gegeven tijdstip. Nu weet je dat A in de richting van B beweegt, dus de snelheidsvector v (met aangrijppunt A) ligt langs AB. Teken ook deze vector. De lengte van v in je tekening is niet belangrijk, maar omwille van de overzichtelijkheid van je tekening kun je het best de lengte van v in je tekening kleiner nemen dan de helft van de lengte van AB. Nu ontbind je deze vector in twee onderling loodrechte componenten. De radiale component v_r ligt langs de radius OA en de transversale component v_θ staat daar loodrecht op. Bereken nu (exact) de lengtes van v_r en v_θ. Dit kun je doen omdat de lengte |v| = 2 van de snelheidvector v bekend is. De lengte |v_r| van de radiale component v_r vertelt je nu hoe snel de afstand van punt A tot het centrum O afneemt. En aangezien je al uit had gerekend dat OA = (5/3)∙√3 op tijdstip t = 0 kun je dan ook uitrekenen op welk tijdstip zou moeten gelden dat OA = 0.

Ach zo, nu snap ik het.
De hoek tussen v en v_r is uiteraard 30 graden, dus:

1/2∙√3 = v_r/v

v = 2 eenheden per seconde, cos(30°) is een getal zonder eenheid. Hieruit volgt direct dat v_r ook de eenheid eenheden per seconde heeft.

Maargoed, oplossen geeft v_r = √3
Een eenvoudige deling levert op dat het 5/3 seconden zal duren.

Maargoed, dit is een (inmiddels duidelijke) aanpak. Ik blijf echter wel zitten met de vraag hoe ik het dan via poolcoördinaten op had kunnen lossen (met r = r(θ))

Fervent tegenstander van het korps lasergamers.

zondag 10 juni 2012 @ 17:52:44 #7

Aardappel2610

quote:
Op zondag 10 juni 2012 17:06 schreef Riparius het volgende:

[..]

Uiteraard schiet dat wél op. Kijk nog eens naar je figuur. Gegeven is (tegen de klok in) dat:

bg(BC) : bg(CD) : bg(DA) = 1 : 3 : 5

Nu hebben we ook nog (weer tegen de klok in) bg(AB), en dat is een halve cirkel, oftewel 180 graden, want AB is een middellijn van de cirkel. Maar die drie andere bogen die zich verhouden als 1 : 3 : 5 zijn samen ook 180 graden, want die vormen samen de andere helft van de cirkel. Nu kun je dus gemakkelijk uitrekenen hoe groot bg(BC), bg(CD) en bg(DA) zijn.

Die zag ik niet, maar nu zie ik het wel en is het me gelukt. Bedankt!

zondag 10 juni 2012 @ 18:01:14 #8

Riparius

quote:
Op zondag 10 juni 2012 17:30 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ach zo, nu snap ik het.
De hoek tussen v en v_r is uiteraard 30 graden, dus:

1/2∙√3 = v_r/v

v = 2 eenheden per seconde, cos(30°) is een getal zonder eenheid. Hieruit volgt direct dat v_r ook de eenheid eenheden per seconde heeft.

Maargoed, oplossen geeft v_r = √3
Een eenvoudige deling levert op dat het 5/3 seconden zal duren.

Maargoed, dit is een (inmiddels duidelijke) aanpak. Ik blijf echter wel zitten met de vraag hoe ik het dan via poolcoördinaten op had kunnen lossen (met r = r(θ))

In eerste instantie heb ik het vraagstuk opgelost [link] door meetkundig af te leiden dat dr/dt = -√3, aangezien je dan geen vergelijking in poolcoördinaten hoeft op te stellen: als je eenmaal weet dat de afstand OA = r lineair afneemt met de tijd en je weet dat OA = (5/3)∙√3 voor t = 0 dan volgt direct dat OA = 0 voor t = 5/3 sec. Later [link] heb ik een afleiding gegeven voor een vergelijking in poolcoördinaten van de baan die punt A beschrijft. Je zou dan met behulp van integraalrekening de totale lengte van de (logaritmische) spiraal vanaf het startpunt van A uit kunnen rekenen, en dan moet je uiteraard op 10/3 uitkomen. De totale baanlengte wordt dan gegeven door:

∫₀^∞ √(r² + (dr/dθ)²)dθ,

waarin:

r = (5/3)∙√3∙e^-√3∙θ

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

zondag 10 juni 2012 @ 18:04:56 #9

Riparius

quote:
Op zondag 10 juni 2012 17:52 schreef Aardappel2610 het volgende:

[..]

Die zag ik niet, maar nu zie ik het wel en is het me gelukt. Bedankt!

OK. Als je het goed hebt gedaan moet je uitkomen op α = 40°, β = 80°, en dan uiteraard γ = 140° en δ = 100°, aangezien α + γ = β + δ = 180°.

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

zondag 10 juni 2012 @ 18:35:21 #10

Amoeba

Floydiaan.

Wat ik wel verbazend vind is dat hij in een rechte lijn er ongeveer 1,44 seconden over doet, en via deze weg 5/3 seconden. Dat is 'slechts' 15% langer.

Riparius:

"Het is heel eenvoudig om hiermee via
infinitesimalen een betrekking te vinden
tussen de hoek waarover punt A op een
gegeven moment is geroteerd vanaf het
beginpunt en de daarbij behorende straal."

En ik zocht me hier maar een ongeluk naar.
Wat ik me wel afvraag is of je zomaar mag stellen dat de radius lineair afneemt in de tijd, zonder dit toe te lichten.

× Alhoewel dit misschien wel duidelijk is aangezien v constant is en de driehoek altijd gelijkzijdig blijft. Je bent wel leerzaam trouwens, die anekdotes over de geschiedenis van de wiskunde zijn zeer interessant.

Fervent tegenstander van het korps lasergamers.

zondag 10 juni 2012 @ 18:54:44 #11

Riparius

quote:
Op zondag 10 juni 2012 18:35 schreef Amoeba het volgende:
Wat ik wel verbazend vind is dat hij in een rechte lijn er ongeveer 1,44 seconden over doet, en via deze weg 5/3 seconden. Dat is 'slechts' 15% langer.

Riparius:

"Het is heel eenvoudig om hiermee via
infinitesimalen een betrekking te vinden
tussen de hoek waarover punt A op een
gegeven moment is geroteerd vanaf het
beginpunt en de daarbij behorende straal."

En ik zocht me hier maar een ongeluk naar.
Wat ik me wel afvraag is of je zomaar mag stellen dat de radius lineair afneemt in de tijd, zonder dit toe te lichten.

Deze opmerking begrijp ik niet, ik heb immers bewezen dat dr/dt = -√3.

quote:
× Alhoewel dit misschien wel duidelijk is aangezien v constant is en de driehoek altijd gelijkzijdig blijft. Je bent wel leerzaam trouwens, die anekdotes over de geschiedenis van de wiskunde zijn zeer interessant.

Aardig om nog even te vermelden is dat de rectificatie (lengtebepaling) van de logaritmische spiraal voor het eerst werd gevonden door Torricelli (1608-1647), zonder gebruik van infinitesimaalrekening, aangezien die toen nog niet bestond. De methode die Torricelli gebruikte was equivalent met de vectormethode die je nu hebt gezien, alleen kende Torricelli het begrip vector nog niet. Iets later werden logaritmische oftewel equiangulaire spiralen uitvoerig bestudeerd door Jacob Bernoulli (1654-1705), die daarbij ook het begrip poolcoördinaten introduceerde. Bernoulli was zo gefascineerd door de eigenschappen van deze spiraal, dat hij in zijn testament vast had laten leggen dat er een logaritmische spiraal op zijn grafmonument moest komen, met als motto eadem mutata resurgo. Helaas wist de steenhouwer niet wat nou eigenlijk een logaritmische spiraal was, want de spiraal op het monument leek veel meer op een archimedische spiraal. De steen bestaat nog steeds en is te zien in Basel (foto).

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

zondag 10 juni 2012 @ 18:58:52 #12

Amoeba

Floydiaan.

quote:
Op zondag 10 juni 2012 18:54 schreef Riparius het volgende:

[..]

Deze opmerking begrijp ik niet, ik heb immers bewezen dat dr/dt = -√3.
SPOILER
Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Maar in mijn oplossing is dat niet bewezen. Daarmee heb ik dus het idee dat mijn berekening (die uiteraard niet helemaal van mij is) niet waterdicht is.

Fervent tegenstander van het korps lasergamers.

zondag 10 juni 2012 @ 19:09:03 #13

Riparius

quote:
Op zondag 10 juni 2012 18:58 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Maar in mijn oplossing is dat niet bewezen. Daarmee heb ik dus het idee dat mijn berekening (die uiteraard niet helemaal van mij is) niet waterdicht is.

Toch wel. Gegeven is namelijk dat |v| = 2 constant is, en aangezien v langs AB ligt en ∠OAB = 30° ook constant is volgt dat de lengte |v_r| van de radiale component v_r langs OA eveneens constant is, en wel |v_r| = √3.

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

zondag 10 juni 2012 @ 19:13:59 #14

superky

Hallo,

Graag wil ik een vraag stellen over het isoleren van een variabele. Het gaat dan over een opdracht en die luidt: maak uit de volgende vergelijking a vrij.

$\frac{R}{aS}=P$

Nou had ik het antwoord wel goed maar toch zit ik te twijfelen of mijn berekening goed is. Ik laat nu zien hoe ik het stapsgewijs heb aangepakt.

$\left ( \frac{R}{aS} \right )\cdot S = P\cdot S$

$\frac{R}{a}\cdot a= P\cdot S R$

$a= \frac{R}{PS}$

Mijn vraag is: hoe kan ik in de enelaatste stap weten dat PS een noemer wordt en R een teller en niet andersom? Verder wil ik graag vragen of ik mijn berekeningen op de juiste manier heb berekend, omdat ik dit soort wiskunde nooit heb gekregen.

Graag wacht ik op uw reactie. Alvast bedankt voor uw antwoord.

Groet,

superky

zondag 10 juni 2012 @ 19:18:41 #15

Riparius

quote:
Op zondag 10 juni 2012 19:13 schreef superky het volgende:
Hallo,

Graag wil ik een vraag stellen over het isoleren van een variabele. Het gaat dan over een opdracht en die luidt: maak uit de volgende vergelijking a vrij.

$\frac{R}{aS}=P$

Je doet het fout. In je tweede stap vereenvoudig je het linkerlid en vermenigvuldig je daar met a, maar vermenigvuldig je het rechterlid plotseling met R, en dat deugt natuurlijk niet. Als je links met een bepaalde factor vermenigvuldigt of door een bepaalde factor deelt, dan moet je dat rechts ook doen.

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

zondag 10 juni 2012 @ 19:19:29 #16

thenxero

Had ik ook maar een knopje zodat ik domme posts van mezelf kon verwijderen, net als Glowmouse

zondag 10 juni 2012 @ 19:28:35 #17

-J-D-

quote:
Op zondag 10 juni 2012 19:19 schreef thenxero het volgende:
Had ik ook maar een knopje zodat ik domme posts van mezelf kon verwijderen, net als Glowmouse

Voor hem is die knop dan juist weer overbodig

I asked God for a bike, but I know God doesn't work that way.
So I stole a bike and asked for forgiveness.

zondag 10 juni 2012 @ 19:47:00 #18

thenxero

quote:
Op zondag 10 juni 2012 19:28 schreef -J-D- het volgende:

[..]

Voor hem is die knop dan juist weer overbodig

Hij maakte er net gebruik van, maar dat is dus niet meer te achterhalen

zondag 10 juni 2012 @ 19:49:47 #19

Amoeba

Floydiaan.

quote:
Op zondag 10 juni 2012 19:09 schreef Riparius het volgende:

[..]

Toch wel. Gegeven is namelijk dat |v| = 2 constant is, en aangezien v langs AB ligt en ∠OAB = 30° ook constant is volgt dat de lengte |v_r| van de radiale component v_r langs OA eveneens constant is, en wel |v_r| = √3.

Achja, uiteraard. Mijn excuses.

quote:
Op zondag 10 juni 2012 19:19 schreef thenxero het volgende:
Had ik ook maar een knopje zodat ik domme posts van mezelf kon verwijderen, net als Glowmouse

Je zou ze kunnen bewerken naar een ., maar dan kunnen moderators je originele reactie nog zien.

Fervent tegenstander van het korps lasergamers.

zondag 10 juni 2012 @ 19:52:53 #20

Amoeba

Floydiaan.

quote:
Op zondag 10 juni 2012 19:13 schreef superky het volgende:
Hallo,

Graag wil ik een vraag stellen over het isoleren van een variabele. Het gaat dan over een opdracht en die luidt: maak uit de volgende vergelijking a vrij.

$\frac{R}{aS}=P$

Nou had ik het antwoord wel goed maar toch zit ik te twijfelen of mijn berekening goed is. Ik laat nu zien hoe ik het stapsgewijs heb aangepakt.

$\left ( \frac{R}{aS} \right )\cdot S = P\cdot S$

$\frac{R}{a}\cdot a= P\cdot S R$

$a= \frac{R}{PS}$

Mijn vraag is: hoe kan ik in de enelaatste stap weten dat PS een noemer wordt en R een teller en niet andersom? Verder wil ik graag vragen of ik mijn berekeningen op de juiste manier heb berekend, omdat ik dit soort wiskunde nooit heb gekregen.

Graag wacht ik op uw reactie. Alvast bedankt voor uw antwoord.

Groet,

superky

Je moet weten dat:

$\frac{x}{y} = r$

y = $\frac{x}{r}$

Fervent tegenstander van het korps lasergamers.

zondag 10 juni 2012 @ 19:55:24 #21

Unsub

Unidentified subject.

quote:
Op zondag 10 juni 2012 19:52 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Je moet weten dat:

$\frac{x}{y} = r$

y = $\frac{x}{r}$

En als je niet meer weet hoe het zat, kun je het altijd nog beredeneren aan de hand van een cijfervoorbeeld. Bijvoorbeeld: 6/2=3 --> 2=6/3, en 6 = 2*3

26"
Fading slowly.

zondag 10 juni 2012 @ 20:12:07 #22

superky

quote:
Op zondag 10 juni 2012 19:55 schreef Unsub het volgende:

[..]

En als je niet meer weet hoe het zat, kun je het altijd nog beredeneren aan de hand van een cijfervoorbeeld. Bijvoorbeeld: 6/2=3 --> 2=6/3, en 6 = 2*3

Ja ik had ook een cijfervoorbeeld gebruikt maar toch kom ik er nog steeds niet uit. Wilt u of iemand anders dan de juiste werkwijze stapsgewijs uitleggen? U mag het zeggen, want ik weet het echt nog steeds niet. Ik ben vandaag ongeveer vanaf 09:30 hiermee bezig. Niet alleen met deze vergelijking maar ook met andere vergelijkingen die er anders uit zien. En die ik moet isoleren.

Daarom wil ik ook er maar één vergelijking hier laten zien anders wordt het denk ik te veel? Graag wacht ik op uw reactie. Alvast bedankt voor uw antwoord.

Groet,

superky

zondag 10 juni 2012 @ 20:24:34 #23

Amoeba

Floydiaan.

quote:
Op zondag 10 juni 2012 20:12 schreef superky het volgende:

[..]

Ja ik had ook een cijfervoorbeeld gebruikt maar toch kom ik er nog steeds niet uit. Wilt u of iemand anders dan de juiste werkwijze stapsgewijs uitleggen? U mag het zeggen, want ik weet het echt nog steeds niet. Ik ben vandaag ongeveer vanaf 09:30 hiermee bezig. Niet alleen met deze vergelijking maar ook met andere vergelijkingen die er anders uit zien. En die ik moet isoleren.

Daarom wil ik ook er maar één vergelijking hier laten zien anders wordt het denk ik te veel? Graag wacht ik op uw reactie. Alvast bedankt voor uw antwoord.

Groet,

superky

R/(aS) = P
P*S = R/a
R/(P*S) = a

Fervent tegenstander van het korps lasergamers.

zondag 10 juni 2012 @ 20:24:43 #24

thenxero

R/(AS) = P

Beide kanten keer A:

R/S = PA

Beide kanten delen door P:

R/(PS) = A

zondag 10 juni 2012 @ 22:29:56 #25

Amoeba

Floydiaan.

quote:
Op zondag 10 juni 2012 16:54 schreef Riparius het volgende:

[..]

Wel nauwkeurig formuleren: kennelijk bedoel je dat zijde AB van je koordenvierhoek een middellijn is van de cirkel waarop de hoekpunten van de koordenvierhoek liggen.

Ken je de stelling dat een omtrekshoek op een cirkelboog gelijk is aan de helft van de middelpuntshoek op diezelfde cirkelboog?

Ik zie trouwens niet in waarom je die stelling zou gebruiken.
We weten allemaal dat bij een bepaalde hoek een bepaalde booglengte hoort. De verhouding tussen de 3 bogen is gegeven. ∠A hoort dan bij bg(BC)+bg(CD) = 4x
(Trouwens een halve cirkel staat tot 9x, levert een simpele som op)
∠C staat op bg(AB)+bg(AD) = 14x

14x + 4x = 180° (koordenvierhoek)
x = 10°

Hieruit volgt dat ∠A = 40° (en dus ∠C = 140°)

Op dezelfde wijze vallen hoeken ∠B en ∠D te berekenen.

Of maak ik hier nu een idiote fout?

Fervent tegenstander van het korps lasergamers.

Forum Opties
Forumhop:
Hop naar:	(afkorting, bv 'KLB')

» school, studie en onderwijs

» school, studie en onderwijs