[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Ik zie het niet (van regel 1 naar 2)

Aha.. sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

[ Bericht 13% gewijzigd door Alxander op 30-04-2011 18:55:05 ]

Geen huiswerk vraag maar gezien de bovenstaande post:
Snappen de meeste VWO wiskunde B/D'ers waarom bijvoorbeeld sin(A+B) gelijk staat aan SinACosB + CosASinB? Ik heb, dankzij falend onderwijs, nooit iets over sin/cos/tan gehad en zie vaak mensen met dit soort regels komen. Hoor je al die regels te snappen? Of is het een kwestie van de regels stampen en toepassen?

(Wil wellicht zelf Wiskunde B/D doen dus vraag dit uit interesse)

quote:

Op zaterdag 30 april 2011 23:39 schreef JohnSpek het volgende:
Geen huiswerk vraag maar gezien de bovenstaande post:
Snappen de meeste VWO wiskunde B/D'ers waarom bijvoorbeeld sin(A+B) gelijk staat aan SinACosB + CosASinB? Ik heb, dankzij falend onderwijs, nooit iets over sin/cos/tan gehad en zie vaak mensen met dit soort regels komen. Hoor je al die regels te snappen? Of is het een kwestie van de regels stampen en toepassen?

(Wil wellicht zelf Wiskunde B/D doen dus vraag dit uit interesse)

Wiskunde gaat over begrijpen, niet over stampen. Als je dat laatste doet of zelfs maar denkt dat je dat moet doen dan ben je verkeerd bezig. Dit neemt natuurlijk niet weg dat je een zekere routine moet verwerven en dat je een bepaalde parate kennis moet hebben. De additietheorema's uit de goniometrie horen daar zeker bij. Als je de formules voor cos(α+β) en sin(α+β) uit het hoofd kent dan kun je trouwens heel veel andere goniometrische identiteiten daar gemakkelijk uit afleiden, zodat het lonend is in ieder geval deze identiteiten te kennen. Overigens, als je iets van complexe getallen weet dan is het niet eens nodig de formules voor cos(α+β) en sin(α+β) uit het hoofd te kennen omdat je ze dan gemakkelijk af kunt leiden. Aangezien bij vermenigvuldiging van twee complexe getallen het argument van het product gelijk is aan de som van de argumenten van de factoren geldt:

cos(α+β) + i∙sin(α+β) = (cos α + i∙sin α)(cos β + i∙sin β)

Uitwerken van de haakjes in het rechterlid en gelijkstellen van de reële en imaginaire delen in linker en rechterlid levert dan meteen de bekende identiteiten.

X = 5. Prima begrijp ik.


(het is X^-2, maar krijg dat niet voor elkaar)

Hoe bereken ik dit?


Zelfde voor deze...

quote:

Op zondag 1 mei 2011 21:30 schreef Self-Catering het volgende:
[ afbeelding ]

X = 5. Prima begrijp ik.

[ afbeelding ]
(het is X^-2, maar krijg dat niet voor elkaar)

Hoe bereken ik dit?

[ afbeelding ]
Zelfde voor deze...

x = 32 ^ (3/5)

quote:

Op zondag 1 mei 2011 21:44 schreef Nelis89 het volgende:

[..]

x = 32 ^ (3/5)

x = (1/225) ^ (-1/2)

Ik heb ook nog steeds deze:

Deze komt met tips van andere nog steeds met de ABC formule uit.

Ps. Alles tussen haakjes staat tot de macht to..

quote:

Op zondag 1 mei 2011 22:18 schreef Self-Catering het volgende:
Ik heb ook nog steeds deze: [ afbeelding ]

Deze komt met tips van andere nog steeds met de ABC formule uit.

Ps. Alles tussen haakjes staat tot de macht to..

16=2^4, hieruit volgt x^2-3x-24=4, dat wordt x^2-3x-28=0, ontbinden in factoren geeft (x+4)(x-7)=0, dat geeft als oplossingen x=-4 en x=7.

quote:

Op zaterdag 30 april 2011 23:39 schreef JohnSpek het volgende:
Geen huiswerk vraag maar gezien de bovenstaande post:
Snappen de meeste VWO wiskunde B/D'ers waarom bijvoorbeeld sin(A+B) gelijk staat aan SinACosB + CosASinB? Ik heb, dankzij falend onderwijs, nooit iets over sin/cos/tan gehad en zie vaak mensen met dit soort regels komen. Hoor je al die regels te snappen? Of is het een kwestie van de regels stampen en toepassen?

(Wil wellicht zelf Wiskunde B/D doen dus vraag dit uit interesse)

Ik vond wiskunde B zelf voor het grootste deel begrijpen, alleen bij de goniometrische formules kregen we zo'n overload (alle verdubbelingsformules, afgeleiden, somformules etc. moesten we kennen) dat het makkelijker was om uit je hoofd te leren dan om allemaal te beredeneren.
(bij een wiskunde toets moest je dat wel allemaal in één keer weten, bij ons waren de wiskundetoetsen altijd vrij lang ten opzichte van de tijd die je ervoor had).

Verder was eigenlijk bijna alles begrijpen ipv leren, alleen bij differentiëren en integreren moesten we wat dingen echt leren voor zover ik me kan herinneren.

Heb zelf op de middelbare school niet echt bewijzen gehad van Goniometrische formules. Die formules van Mollweide/Simpson kwamen we overigens ook echt sporadisch tegen. Nu met mijn studie Econometrics kom ik ook weinig sinussen en cosinussen tegen, maar moest even mijn examentraining voorbereiden voor morgen..

Ik zit nu met iets waar ik finaal in vastloop. Ik moet van de volgende functie de afgeleide bepalen:

Tot zover geen probleem, namelijk:

Echter dien ik dan te bepalen bij welke waarde van p de vergelijking f' = 0 geen oplossing heeft en dan snap ik het even niet meer. Het antwoord is het bereik van de negatieve wortel van 2 keer 3 tot zijn positieve tegenhanger.

Wanneer heeft een kwadratische vergelijking geen oplossing?

Hint: discriminant

quote:

Op maandag 2 mei 2011 19:43 schreef thenxero het volgende:
Wanneer heeft een kwadratische vergelijking geen oplossing?

Hint: discriminant

De discriminant is negatief in dit geval, dus er is geen oplossing. Maar het moet op één of andere manier toch op te lossen zijn? Hoe moet ik anders aan het antwoord komen?

quote:

Op maandag 2 mei 2011 21:50 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

De discriminant is negatief in dit geval, dus er is geen oplossing. Maar het moet op één of andere manier toch op te lossen zijn? Hoe moet ik anders aan het antwoord komen?

Schrijf de discriminant eens uit, let daarbij op de p .

quote:

Op maandag 2 mei 2011 21:54 schreef M.rak het volgende:

[..]

Schrijf de discriminant eens uit, let daarbij op de p .

quote:

Op maandag 2 mei 2011 21:56 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

?

quote:

Op maandag 2 mei 2011 21:58 schreef M.rak het volgende:

[..]

?

Ja dat zet me even aan het denken, aangezien ik de materie niet zo heel goed beheers.

quote:

Op maandag 2 mei 2011 21:58 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

Ja dat zet me even aan het denken, aangezien ik de materie niet zo heel goed beheers.

Je weet de formule voor de discriminant? Die moet je nu toepassen op de formule die je eerder hebt gegeven. Schrijf deze eens op, en probeer voor jezelf te bedenken wat dit betekent.

quote:

Op maandag 2 mei 2011 21:50 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

De discriminant is negatief in dit geval, dus er is geen oplossing. Maar het moet op één of andere manier toch op te lossen zijn? Hoe moet ik anders aan het antwoord komen?

Het feit dat een kwadratische vergelijking geen oplossing heeft betekent niet dat jij het vraagstuk niet op kunt lossen, dat zijn twee heel verschillende dingen.

Een kwadratische veelterm in een variabele x heeft de algemene gedaante:

(1) ax² + bx + c

Hierbij neem ik aan dat a,b en c reële grootheden zijn. Tevens mogen we a ongelijk aan nul veronderstellen, aangezien je anders geen kwadratische term zou hebben.

De discriminant D van deze kwadratische veelterm is:

(2) D = b² - 4ac

De waarde van D is bepalend voor het aantal (reële) nulpunten van veelterm (1). Indien D negatief is, dan heeft (1) geen (reële) nulpunten.

De kwadratische veelterm die je nu hebt is:

(3) f'_p(x) = 3x² + 2px + 6

De vraag is nu voor welke waarde(n) van p f'_p(x), en dus de kwadratische veelterm in (3), geen nulpunten heeft.

Uit een vergelijk van (3) met de algemene gedaante (1) van een kwadratische veelterm zie je dat hier geldt a = 3, b = 2p en c = 6. In overeenstemming met (2) is de discriminant van (3) dus:

(4) D = (2p)² - 4*3*6 = 4p² - 72

Het vraagstuk is nu herleid tot de vraag voor welke waarde(n) van p de uitdrukking 4p² - 72 negatief is. Bedenk nu zelf eens hoe je deze laatste vraag oplost. Hint: bepaal eerst voor welke waarde(n) van p de uitdrukking 4p² - 72 gelijk is aan nul.

Ik moet voor datastructuren een algoritme schrijven waar we te maken hebben met een recursieve functie:
f is gedefinieerd van 2 tot een zeker natuurlijk getal m>2:
f(2) = a
f_n = f_n-1 + ceiling(f_n-1 / b)
(Waarin ceiling een functie is die afrondt naar het dichtbijzijnde natuurlijke getal dat gelijk aan of groter dan het argument is _{wat een zin})

Ik vroeg me af of je zo'n recursieve functie kunt benaderen met een niet-recursieve functie, dat zou namelijk erg kunnen helpen (hoewel het me onwaarschijnlijk lijkt dat dat de oplossing is die de docent voor ogen heeft, als het al kan)

BETA-genieën; de volgende vraag. Echt superveel waardering als jullie hier zouden kunnen helpen.. ik heb geen flauw idee of ik dit goed doe..

[Blijkbaar staat fok.nl geen grote hoeveelheden spaties toe, bij de voorgestelde oplossingen moeten die spaties in de regels boven en onder 'SIGMA' er dus bij worden gedacht... Die regels waarin extra spaties moeten worden 'gedacht' zijn nu dikgedrukt]

Ik weet in principe wel hoe de som notatie werkt, en kan al zeg ik het zelf ook wel redelijk logisch nadenken, maar heb helaas nooit wiskunde B gehad, en loop nu toch echt goed vast. Ik zal eerst uitleggen waar ik een (sigma) som-formule voor wil hebben:

We hebben voor 5 mensen (i=5), over een periode van 10 jaar (t=10), waardes voor een bepaalde variabele genaamd A(i,t). Niet voor alle jaren is er voor iedere persoon een waarde van A bekend.

PART I
Nu wordt voor iedere persoon -individueel- de reeks A geïndexeerd. Laten we de nieuwe variabele IA(i,t) (IA = 'Index A') noemen. Per persoon wordt de gemiddelde waarde van A over de gehele periode gelijkgesteld aan 100. (Let op: aangezien dus niet voor alle personen over de gehele periode waardes van A bekend zijn, kun je de som van alle A-waardes van een bepaalde persoon niet simpelweg door 10 delen om het gemiddelde te krijgen. ~ik weet niet of delen door 'n' voldoet, of dat dat sigma-notatie-technisch incorrect is??)

PART II
Nadat de variabele IA(i,t) gecreëerd is, introduceren we de variabele B(t). B is gelijk aan een gewogen gemiddelde van de variabele IA in jaar t. De weights van IA(i,t) in B(t) hangen af van de waardes van weer een andere variabele: C(i,t). Als 'in jaar 5 de C-waarde voor persoon 1 gelijk is aan 8' (oftewel C(1,5)=8), en de som van alle C's in dat jaar gelijk is aan 80 (oftewel C(1,5)+C(2,5)+C(3,5)+...+C(10,5)=80), dan is het gewicht van IA(1,5) in B(5) 10% (=8/80).

Hopelijk is het probleem zo in ieder geval duidelijk (ik heb in ieder geval al veel vereenvoudigd...) De bedoeling is om uiteindelijk 1 som formule voor dit gehele verhaal te krijgen, maar het opsplitsen in twee problemen ligt hier uiteraard voor de hand en mag ook. (Uiteindelijk kunnen ze dan misschien nog worden samengevoegd, al wordt dan -ben ik bang- het een groot probleem dat sommige '"n's" betrekking hebben op i en andere op t)

OPLOSSING PART I
Mijn poging (geen flauw idee of dit correct is);

n
IA(i,t) = A(i,t) / { { SIGMA [ A(i,t) ] } / n } x 100
t=1

OPLOSSING PART II
Met betrekking tot PART II, klopt de formule zo??; (laat je vooral niet op het verkeerde been zetten door wat ik aan het doen ben, ik ben echt een leek..)

n n
B(t) = SIGMA [ IA(i,t) * { C(i,t) / SIGMA [ C(i,t) ] }
i=1 i=1

Klopt dat zo? Of zou ik bijvoorbeeld onder de tweede SIGMA niet 'i=1' maar gewoon 'i' moeten zetten (omdat het om een SIGMA binnen een SIGMA gaat)??

ALLES SAMENVOEGEN
Dan krijg je dit: probleem is nu alleen misschien dat sommige "n's" betrekking heb op i, en andere op t???

n n n
B(t) = SIGMA [ {{ A(i,t) / { { SIGMA [ A(i,t) ] } / n } x 100 }} * { C(i,t) / SIGMA [ C(i,t) ] }
i=1 t=1 i=1

Alvast heeeeeeeel erg veel dank en respect voor de slimmerik die dit weet op te lossen!

MrMiguel, probeer er in word (of latex) iets fatsoenlijks van te maken en gooi dan hier een printscreen neer. Dit leest echt heel erg matig. Als je een mooie printscreen neerplempt wil ik me er wel over buigen.

//herschreven:

Het enige wat mijn paper erbij heeft is dat de phases een functie van de tijd zijn en als uitkomst naast 'delta Theta' (dus d Theta_i / d t)) nog een breuk '1/2pi' staan.

Kan helaas het paper niet op internet vinden...

Mijn issues zijn:
Hoe teken ik een lijn met behulp van phase/frequency/amplitude als de phase varieert? Tenminste, ik hoop dat ik Kuramoto goed doe :| bij mij gaan de phases steeds hoger en hoger.
voor de eerste 4 stappen, 6 oscillators diens phases op de tijdstippen:
0 1.4144 5.3829 6.9669
0 2.5284 6.2316 8.2936
5.1191 8.2058 10.1751 13.1296
5.6913 8.8670 10.6988 14.3709
0.7979 2.6108 5.2027 8.9379
5.7389 10.4320 13.0786 15.7821

Tenminste, in begin zijn ze nog zeer chaotisch, maar uiteindelijk is er een stabiel patroon, maar het fluctueert enorm nog altijd, terwijl in de paper het naar één lijn toe gaat (frequency tegenover tijd).

// nog een update:
als ze met allemaal dezelfde frequencies beginnen en de phases zijn schommelend, krijg ik alleen een rechte lijn als ik delta tijd iets van 0.001 of kleiner neem. Zodra ik verschillende frequencies probeer echter, krijg ik mega hoeveelheid schommelingen...

[ Bericht 12% gewijzigd door koffiegast op 04-05-2011 22:58:01 ]

quote:

Geen huiswerk vraag maar gezien de bovenstaande post:
Snappen de meeste VWO wiskunde B/D'ers waarom bijvoorbeeld sin(A+B) gelijk staat aan SinACosB + CosASinB? Ik heb, dankzij falend onderwijs, nooit iets over sin/cos/tan gehad en zie vaak mensen met dit soort regels komen. Hoor je al die regels te snappen? Of is het een kwestie van de regels stampen en toepassen?

(Wil wellicht zelf Wiskunde B/D doen dus vraag dit uit interesse)

Hier een bewijsje.
http://www.khanacademy.or(...)cos-b?p=Trigonometry
http://www.khanacademy.or(...)sin-b?p=Trigonometry

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 01:10 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Hier een bewijsje.
http://www.khanacademy.or(...)cos-b?p=Trigonometry
http://www.khanacademy.or(...)sin-b?p=Trigonometry

Die bewijzen met behulp van rechthoekige driehoeken vind ik niet fraai, omdat ze uitsluitend gelden voor scherpe hoeken α en β, terwijl er in de figuren bovendien vanuit wordt gegaan dat ook α+β een scherpe hoek is. De additietheorema's gelden echter voor willekeurige hoeken (rotaties), zowel positief als negatief. Er is een veel fraaier bewijs mogelijk met vectoren en de eenheidscirkel dat wél geldt voor willekeurige hoeken (rotaties), maar ik vind zo gauw geen webpagina waar dat goed wordt uitgelegd.

Ze zijn vrij makkelijk te bewijzen met de e-macht

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 09:17 schreef thenxero het volgende:
Ze zijn vrij makkelijk te bewijzen met de e-macht

Dat lijkt maar zo. Als je, zoals op de middelbare school gebeurt, de goniometrische functies meetkundig definieert aan de hand van de eenheidscirkel, dan zou je eerst nog complexe getallen en de formules van De Moivre en Euler moeten behandelen (en afleiden) alvorens je daarmee dan de additietheorema's aantoont. Maar afgezien daarvan dat je dan didactisch een enorme omweg hebt gemaakt begeef je je dan in een cirkelredenering (no pun intended), want om te laten zien dat bij vermenigvuldiging van twee complexe getallen de argumenten optellen heb je dan ook al van de additietheorema's voor de cosinus en sinus gebruik gemaakt. Ik heb daar een hele tijd geleden op dit forum ook al eens op gewezen.

Kan iemand mij verklaren waarom de afgeleide van x keer e^x = (1+x) keer e^x?

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 13:46 schreef Pipo1234 het volgende:
Kan iemand mij verklaren waarom de afgeleide van x keer e^x gelijk is aan (1+x) keer e^x?

Pas de productregel toe om xe^x te differentiëren naar x en haal dan bij het resultaat e^x buiten haakjes.

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 13:56 schreef Riparius het volgende:

[..]

Pas de productregel toe om xe^x te differentiëren naar x en haal dan bij het resultaat e^x buiten haakjes.

x keer e^x keer (1) = 1x keer e^x... waarom moet die e^x eruit gehaald worden?

Even iets tussendoor: Hoe kan ik van de wortel van 4,5 naar 1,5 keer de wortel van 2 komen? Aangezien het antwoord daarmee komt en het feitelijk hetzelfde is. Is het trouwens zo dat een negatieve wortel niet mag. Dus op de volgende wijze: -SRT(2) (en dus niet de wortel van een negatief getal).

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 14:37 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

x keer e^x keer (1) = 1x keer e^x... waarom moet die e^x eruit gehaald worden?

Je kent de productregel? Deze toepassen op de functie levert .

quote:

Even iets tussendoor: Hoe kan ik van de wortel van 4,5 naar 1,5 keer de wortel van 2 komen? Aangezien het antwoord daarmee komt en het feitelijk hetzelfde is.

quote:

Is het trouwens zo dat een negatieve wortel niet mag. Dus op de volgende wijze: -SRT(2) (en dus niet de wortel van een negatief getal).

Dat klopt, de wortel van een negatief getal bestaat niet (niet in de reële getallen in ieder geval).

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 14:37 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

x keer e^x keer (1) = 1x keer e^x... waarom moet die e^x eruit gehaald worden?

wordt enkel gedaan om het eenvoudiger op te schrijven e^x + x*e^x = e^x * (1+x)
beetje hetzelfde als een breuk vereenvoudigen 2/4 is niet fout als antwoord maar toch schrijf je dan altijd 1/2 op

quote:

Even iets tussendoor: Hoe kan ik van de wortel van 4,5 naar 1,5 keer de wortel van 2 komen?

quote:

Aangezien het antwoord daarmee komt en het feitelijk hetzelfde is. Is het trouwens zo dat een negatieve wortel niet mag. Dus op de volgende wijze: -SRT(2) (en dus niet de wortel van een negatief getal).

Wortel van een negatief getal bestaat niet (enkel complex), maar je kan wel min de wortel van een positief getal hebben.

niet: wortel(-4)
wel: - wortel(4)

Bedankt voor alle verhelderende antwoorden!

quote:

Op woensdag 4 mei 2011 10:47 schreef thabit het volgende:
f_n is ongeveer f_n-1 * (1 + 1/b). In elk geval zit het tussen f_n-1 * (1 + 1/b) en f_n-1 * (1 + 1/b) + 1. Dus f_n zal ongeveer a * (1 + 1/b)^n-2 zijn. Dat is in elk geval een ondergrens. Voor een bovengrens moet je de recursie f_n = 1 + f_n-1 * (1 + 1/b) oplossen. Dat doe je door eerst een c te vinden zdd deze vergelijking tot f_n - c = (1 + 1/b) * (f_n-1 - c) herleidt.

Bedankt! Daar kan ik denk ik wel wat mee

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 13:03 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat lijkt maar zo. Als je, zoals op de middelbare school gebeurt, de goniometrische functies meetkundig definieert aan de hand van de eenheidscirkel, dan zou je eerst nog complexe getallen en de formules van De Moivre en Euler moeten behandelen (en afleiden) alvorens je daarmee dan de additietheorema's aantoont. Maar afgezien daarvan dat je dan didactisch een enorme omweg hebt gemaakt begeef je je dan in een cirkelredenering (no pun intended), want om te laten zien dat bij vermenigvuldiging van twee complexe getallen de argumenten optellen heb je dan ook al van de additietheorema's voor de cosinus en sinus gebruik gemaakt. Ik heb daar een hele tijd geleden op dit forum ook al eens op gewezen.

De formule van Euler kan ook eenvoudig bewezen worden met calculus en wat basisalgebra, zie http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula#Using_calculus .
Het enige resultaat dat je daarvoor nodig hebt is dat d/dx e^ix = i e^ix.... Dit feit volgt direct uit de machtreeks van e^ix. We kunnen e^ix definiëren als die machtreeks, waardoor we ook geen kennis van Taylorreeksen nodig hebben.
Het enige wat je dus moet doen is e^ix definiëren als een machtreeks, toch? Op die manier zitten we niet in een cirkelredenering.

edit: ik bedenk me wel dat je nog uniforme convergentie moet aantonen om termgewijs te differentiëren, waardoor het toch wel iets gecompliceerder wordt. Niet echt stof voor de middelbare school. Aan de andere kant hebben ze bij mij op de middelbare school ook nooit aangetoond dat d/dx e^kx = k e^x voor reële k, dus ze zouden het ook gewoon als onbewezen stelling kunnen poneren.

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 18:07 schreef thenxero het volgende:

[..]

De formule van Euler kan ook eenvoudig bewezen worden met calculus en wat basisalgebra, zie http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula#Using_calculus .

Met die bewijzen voor de formule van Euler die in het Wikipedia artikel worden opgevoerd is ook van alles mis, lees de - inmiddels zeer omvangrijke - discussie er maar eens op na. Er is overigens een bewijs mogelijk zonder differentiaal- of integraalrekening uitgaande van een definitie van exp(z) als de limiet van (1 + z/n)ⁿ voor n naar oneindig, maar uitgerekend dat bewijs staat niet in het engelstalige Wikipedia artikel.

quote:

Het enige resultaat dat je daarvoor nodig hebt is dat d/dx e^ix = i e^ix.... Dit feit volgt direct uit de machtreeks van e^ix. We kunnen e^ix definiëren als die machtreeks, waardoor we ook geen kennis van Taylorreeksen nodig hebben.

Toch wel, want als je exp(z) definieert aan de hand van een machtreeks, dan moet je wel aantonen dat die reeks convergeert voor elke z uit C.

quote:

Het enige wat je dus moet doen is e^ix definiëren als een machtreeks, toch? Op die manier zitten we niet in een cirkelredenering.

edit: ik bedenk me wel dat je nog uniforme convergentie moet aantonen om termgewijs te differentiëren, waardoor het toch wel iets gecompliceerder wordt. Niet echt stof voor de middelbare school.

Inderdaad. En dan blijft didactisch het bezwaar dat je wel een enorme omweg maakt om de additietheorema's te bewijzen. Feitelijk moet je dan ook cos(z) en sin(z) definiëren als (exp(iz)+exp(-iz))/2 resp. (exp(iz)-exp(-iz))/2i waarmee de formule van Euler tot een tautologie wordt. Niet geschikt voor een elementaire behandeling van de goniometrie op school.

quote:

Aan de andere kant hebben ze bij mij op de middelbare school ook nooit aangetoond dat d/dx e^kx = k e^x voor reële k, dus ze zouden het ook gewoon als onbewezen stelling kunnen poneren.

Nee, dan heb je een slechte docent gehad. Dit volgt onmiddellijk met behulp van de kettingregel.

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 18:29 schreef Riparius het volgende:
Nee, dan heb je een slechte docent gehad. Dit volgt onmiddellijk met behulp van de kettingregel.

Dat je er een k voor zet komt inderdaad door de kettingregel, maar dat de afgeleide van e^x gelijk is aan e^x is bij mij nooit bewezen. Volgens mij werd e^x geïntroduceerd als lim (1+x/n)^n, en daarvoor zou dan toevallig gelden dat d/dx e^x = e^x , maar dat is niet helemaal duidelijk.

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 19:34 schreef thenxero het volgende:

[..]

Dat je er een k voor zet komt inderdaad door de kettingregel, maar dat de afgeleide van e^x gelijk is aan e^x is bij mij nooit bewezen. Volgens mij werd e^x geïntroduceerd als lim (1+x/n)^n, en daarvoor zou dan toevallig gelden dat d/dx e^x = e^x , maar dat is niet helemaal duidelijk.

Voorlaatste regel moet starten met lim_h→0

[ Bericht 3% gewijzigd door Nelis89 op 05-05-2011 21:35:36 ]

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 19:34 schreef thenxero het volgende:

[..]

Dat je er een k voor zet komt inderdaad door de kettingregel, maar dat de afgeleide van e^x gelijk is aan e^x is bij mij nooit bewezen. Volgens mij werd e^x geïntroduceerd als lim (1+x/n)^n, en daarvoor zou dan toevallig gelden dat d/dx e^x = e^x , maar dat is niet helemaal duidelijk.

De elementaire behandelingen hiervan verschillen nogal. Soms wordt eerst ln x geïntroduceerd via de nog ontbrekende primitieve van x^-1 en dan is e^x uiteraard de inverse functie. Via de kettingregel is dan ook duidelijk dat e^x zichzelf als afgeleide heeft. Het is ook mogelijk te beginnen met de afgeleide van ^glog x via de definitie van de afgeleide, dat dan aanleiding geeft (via een substitutie h = kx) tot het beschouwen van de limiet voor k→0 van (1+k)^1/k, en daarmee de introductie van het getal e. De afgeleide van ^glog x blijkt dan x^-1∙^glog e te zijn, waarmee de speciale status van de natuurlijke logaritme ook meteen duidelijk wordt, immers voor g = e reduceert dit tot x^-1. Daarna is de behandeling van de afgeleide van de exponentiële functie a^x niet moeilijk meer en komt de bijzondere status van e^x ook niet uit de lucht vallen.

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 20:31 schreef Nelis89 het volgende:

[..]

[ afbeelding ]

Je doet hier iets wat niet klopt. e^h is niet gelijk aan lim _h→0 (1+h) = 1.

Om aannemelijk te maken dat lim_h→0 (e^h - 1)/h = 1 zou je wel een substitutie e^h - 1 = k en dus h = ln(1+k) kunnen gebruiken.

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 20:53 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je doet hier iets wat niet klopt. e^h is niet gelijk aan lim _h→0 (1+h) = 1.

Om aannemelijk te maken dat lim_h→0 (e^h - 1)/h = 1 zou je wel een substitutie e^h - 1 = k en dus h = ln(1+k) kunnen gebruiken.

h is gedefineerd als 1/n dus klopt wel

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 21:07 schreef Nelis89 het volgende:

[..]

h is gedefineerd als 1/n dus klopt wel

Nee, het klopt echt niet. e^h is niet gelijk aan lim_h→0 (1+h) = 1, want dan zou e^h gelijk zijn aan de constante 1 en dat is niet zo. Dit is slechte didactiek (en slechte wiskunde).

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 21:12 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, het klopt echt niet. e^h is niet gelijk aan lim_h→0 (1+h) = 1, want dan zou e^h gelijk zijn aan de constante 1 en dat is niet zo. Dit is slechte didactiek (en slechte wiskunde).

lim_h→0 e^h = lim_h→0 (1+h)
h = 1/n
lim_n→∞ e^1/n = lim_n→∞ (1+1/n) = 1

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 21:22 schreef Nelis89 het volgende:

[..]

lim_h→0 e^h = lim_h→0 (1+h)
h = 1/n
lim_n→∞ e^1/n = lim_n→∞ (1+1/n) = 1

Dit is juist, maar het verandert niets aan mijn bezwaren. Wat je hierboven bij de bepaling van de afgeleide van e^x doet is niet correct.

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 21:28 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dit is juist, maar het verandert niets aan mijn bezwaren. Wat je hierboven bij de bepaling van de afgeleide van e^x doet is niet correct.

Jaja, zit 1 keer een klein foutje in. Voorlaatste regel moet starten met lim h→0

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 21:33 schreef Nelis89 het volgende:

[..]

Jaja, zit 1 keer een klein foutje in. Voorlaatste regel moet starten met lim h→0

Nee, er zit een principieel probleem in je afleiding. Je vervangt in feite e^h door 1 + h en probeert dat te legitimeren door erop te wijzen dat:

lim _h→0 e^h = lim _h→0 (1 + h) = 1.

Maar dit maakt de substitutie niet legitiem. Laat ik een tegenvoorbeeld geven. Ik kan ook zeggen dat geldt:

lim _h→0 cos h = lim _h→0 (1 + h) = 1.

Als ik nu jouw redenering volg, dan zou de limiet voor h→0 van (cos h - 1)/h dus evenzo gelijk zijn aan de limiet voor h→0 van (1 + h - 1)/h = h/h, oftewel 1. Maar dát klopt niet, want de limiet voor h→0 van (cos h - 1)/h is gelijk aan 0.

Nog maar een poging:

De volgende Matlab code heb ik geschreven:

Dat de code niet efficient is boeit me niet zo, dat kan ik wel versnellen van zelf.
Wat het probleem atm is, is dat ik niets vergelijkbaars krijg zoals in mijn paper. Je hebt daar namelijk een frequentie (y) tegenover tijd (x) en binnen de halve seconde gaan alle lijnen naar elkaar. Mogelijk teken ik gewoon de lijnen niet goed... op het moment gaan de lijnen vanzelf wel interacteren, maar krijg je nog steeds duidelijk golven te zien, alhoewel stabiel.

Dit is echt een raadsel voor me: Wat is de afgeleide van ln(x)²? Ik weet dat de afgeleide van ln(x) = 1/x, maar deze krijg ik niet in beeld.

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 22:24 schreef thabit het volgende:

[..]

Kettingregel toepassen.

Dan krijg ik: 2 ln(x)... nou zie ik net dat dit wel een deel van antwoord is, maar niet alles.

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 22:21 schreef Pipo1234 het volgende:
Dit is echt een raadsel voor me: Wat is de afgeleide van ln(x)²? Ik weet dat de afgeleide van ln(x) gelijk is aan 1/x, maar deze krijg ik niet in beeld.

Twee mogelijkheden:

1. Schrijf ln(x)∙ln(x) en gebruik de productregel

2. Schrijf [ln(x)]² en gebruik de kettingregel.

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 22:26 schreef Riparius het volgende:

[..]

Twee mogelijkheden:

1. Schrijf ln(x)∙ln(x) en gebruik de productregel

2. Schrijf [ln(x)]² en gebruik de kettingregel.

Die van de kettingregel is mijn niet helemaal duidelijk, maar met de productregel ben ik aan het goede antwoord gekomen.

Bedankt!

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 22:29 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

Die van de kettingregel is mij niet helemaal duidelijk, maar met de productregel ben ik aan het goede antwoord gekomen.

Bedankt!

Begrijp je de kettingregel wel?

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 22:25 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

Dan krijg ik: 2 ln(x)... nou zie ik net dat dit wel een deel van antwoord is, maar niet alles.

Het begin is inderdaad goed, maar wat je nog vergeet is de afgeleide van ln(x) zelf. De definitie van de kettingregel is:

Wat hier eigenlijk staat is dat je een deel van je functie gelijk stelt aan u. In dit geval zal dat worden u=ln(x), de functie wordt dan dus u².
De afgeleide wordt nu de afgeleide van je functie met u maal de afgeleide van u zelf. De afgeleide van de functie met u is 2u, de afgeleide van u zelf is 1/x. Dit geeft dus 2u/x=2*ln(x)/x.

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 22:30 schreef Riparius het volgende:

[..]

Begrijp je de kettingregel wel?

Jahoor, alleen niet dusdanig dat ik deze zo kan differentiëren.

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 22:32 schreef M.rak het volgende:

[..]

Ik zie hem nu ook ja. Ik vergiste mij in de inhoud van u. Ik dacht namelijk dat u = x, maar in wezen is u natuurlijk ln(x). Beginnersfout zal ik maar zeggen.

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 22:33 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

Jahoor, alleen niet dusdanig dat ik deze zo kan differentiëren.

En als ik nu zeg dat in overeenstemming met de kettingregel de afgeleide van [ln(x)]ⁿ gelijk is aan:

n∙[ln(x)]^n-1∙x^-1

Begrijp je het dan wel?

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 22:38 schreef Riparius het volgende:

[..]

En als ik nu zeg dat in overeenstemming met de kettingregel de afgeleide van [ln(x)]ⁿ gelijk is aan:

n∙[ln(x)]^n-1∙x^-1

Begrijp je het dan wel?

Dat zou uiteindelijk dus n*ln(x) / x worden, aangezien x negatief is en die n'en de afgeleide van de u vormen.

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 22:47 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

Dat zou uiteindelijk dus n*ln(x) / x worden, aangezien x negatief is en die n'en de afgeleide van de u vormen.

Nee, je begrijpt het dus duidelijk niet. En nee, x is niet negatief (dan is ln(x) niet reëel).

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 22:47 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

Dat zou uiteindelijk dus n*ln(x) / x worden, aangezien x negatief is en die n'en de afgeleide van de u vormen.

Het idee van de kettingregel is dat je die gebruikt bij samengestelde functies, oftwel functies die op zichzelf weer een functie bevatten.

In jouw geval is de functie van de form f(x) = x². Echter, bij jou wordt geen x gekwadrateerd, maar een ln(x), wat op zichzelf ook weer een functie is.

De kettingregel zegt dan dat je eerst het feit negeert dat die ln(x) er staat en net doet alsof je een kwadratische formule moet differentieren.
Daarom krijg je in eerste instantie 2*ln(x) (2 in de macht ervoor, de macht wordt met 1 verkleind).
Vervolgens moet je nu nog wel kijken naar die ln(x), omdat we die in eerste instantie 'vergeten' zijn. Ter compensatie moeten we dan nog vermenigvuldigen met die ln(x) welke gelijk is aan 1/x.

Totaal krijgen we dus: 2ln(x) * 1/x = 2ln(x)/x

Schrijf ln(x) gewoon als 'U' o.i.d. dat helpt 't overzichtelijker houden.

Ik zit met een een probleem met de rekenkundige rij. Het volgende:



Bij de rechter som heb ik:
70 x 68 + 0,5 x 70 x (70-1) x 7 = 21665 (is niet goed)

Bij de linker:
30 x 15 + 0,5 x 30 x (30-1) x 8 = 3930 (is ook niet goed)

Andere komen wel uit

quote:

Op vrijdag 6 mei 2011 14:23 schreef thabit het volgende:
Zijn er specifieke formules die je probeert toe te passen of doe je lukraak maar wat?

Sn = N x A + 0,5 x N x (N -1) x V

A = startwaarde
V = vaste verschil
N = aantal termen

quote:

Op vrijdag 6 mei 2011 14:41 schreef thabit het volgende:
Die linker klopt gewoon. En bij de rechter zou ik het aantal termen nog maar even natellen.

60 termen

Klopt het antwoordenmodel dus niet..

meer dan 60.

quote:

Op vrijdag 6 mei 2011 14:57 schreef GlowMouse het volgende:
meer dan 60.

61?

...?

61

70-10 = 60

En die ene term komt van de 70e term?

quote:

Op vrijdag 6 mei 2011 15:14 schreef Self-Catering het volgende:
70-10 = 60

En die ene term komt van de 70e term?

Die is omdat je niet bij 11 begint maar bij 10. Bij de linker begin je bij 1 met tellen, daarom komt het daar mooi rond uit .

quote:

Op vrijdag 6 mei 2011 14:31 schreef Self-Catering het volgende:

[..]

Sn = N x A + 0,5 x N x (N -1) x V

A = startwaarde
V = vaste verschil
N = aantal termen

Je maakt het jezelf onnodig moeilijk. De som van een aantal opeenvolgende termen van een rekenkundige rij is gelijk aan het gemiddelde van de eerste en de laatste term vermenigvuldigd met het aantal termen.

Voor de linkersom hebben we dus:

((15+247)/2)*30 = 131*30 = 3930

En voor de rechtersom:

((68+488)/2)*61 = 278*61 = 16958

quote:

Op vrijdag 22 april 2011 10:15 schreef -J-D- het volgende:
[ afbeelding ]

Ik vind dit een boeiende vraag, alleen heb ik geen idee hoe ik moet beginnen.
Kan iemand me op weg helpen? Dan kan ik dan zien of ik genoeg intellect heb om het verder op te kunnen lossen

Heb je dit vraagstuk nog op kunnen lossen? Ik kom op 1/3 + (√3)/2π, wat neerkomt op ca. 60,9%. Ik vind het alleen geen goed idee de uitwerking te geven, omdat ik zag dat het vraagstuk deel uitmaakt van een Pythagoras Olympiade waarvan de inzendtermijn nog loopt tot 30 juni 2011.

quote:

Op zaterdag 7 mei 2011 13:51 schreef Riparius het volgende:

[..]

Heb je dit vraagstuk nog op kunnen lossen? Ik kom op 1/3 + (√3)/2π, wat neerkomt op ca. 60,9%. Ik vind het alleen geen goed idee de uitwerking te geven, omdat ik zag dat het vraagstuk deel uitmaakt van een Pythagoras Olympiade waarvan de inzendtermijn nog loopt tot 30 juni 2011.

Ben er nog niet aan toegekomen. Het komt idd uit dat boekje.

quote:

Op zaterdag 7 mei 2011 13:51 schreef Riparius het volgende:

[..]

Heb je dit vraagstuk nog op kunnen lossen? Ik kom op 1/3 + (√3)/2π, wat neerkomt op ca. 60,9%. Ik vind het alleen geen goed idee de uitwerking te geven, omdat ik zag dat het vraagstuk deel uitmaakt van een Pythagoras Olympiade waarvan de inzendtermijn nog loopt tot 30 juni 2011.

Leuke vraag, ik kom op hetzelfde antwoord. .

quote:

Op zaterdag 7 mei 2011 16:06 schreef keesjeislief het volgende:

[..]

Leuke vraag, ik kom op hetzelfde antwoord. .

Fijn om te horen, dan vertrouw ik erop dat mijn uitwerking correct is (maar daar was ik toch al van overtuigd).

@Riparius

quote:

Die bewijzen met behulp van rechthoekige driehoeken vind ik niet fraai, omdat ze uitsluitend gelden voor scherpe hoeken α en β, terwijl er in de figuren bovendien vanuit wordt gegaan dat ook α+β een scherpe hoek is. De additietheorema's gelden echter voor willekeurige hoeken (rotaties), zowel positief als negatief. Er is een veel fraaier bewijs mogelijk met vectoren en de eenheidscirkel dat wél geldt voor willekeurige hoeken (rotaties), maar ik vind zo gauw geen webpagina waar dat goed wordt uitgelegd.

Tja, dat is inderdaad een nadeel van dit bewijs.

Je zou mij er plezier mee doen als je hier nog eens het bewijs zou plaatsen, of door een link te geven of door plaatjes in te scannen of met Paint of iets dergelijks zelf een bewijs te tekenen. Als je er eens tijd voor hebt natuurlijk.

quote:

Op zaterdag 7 mei 2011 18:29 schreef Bram_van_Loon het volgende:
@Riparius

[..]

Tja, dat is inderdaad een nadeel van dit bewijs.

Je zou mij er plezier mee doen als je hier nog eens het bewijs zou plaatsen, of door een link te geven of door plaatjes in te scannen of met Paint of iets dergelijks zelf een bewijs te tekenen. Als je er eens tijd voor hebt natuurlijk.

Hier staat een eenvoudig bewijs met vectoren, ik weet niet of dat ook het bewijs is wat Riparius bedoelde (het staat een stukje boven het tweede plaatje). Er is wel nog een ding wat ik niet zo snel zie, waarom is de cosinus van de hoek in dit bewijs gelijk aan cos(y-x)?

Edit: Ik zie het al, ik dacht dat x en y voor de x- en y-coördinaten stonden, maar ze staan gewoon voor de hoeken in dit geval.

De stochastische vector (X,Y) is tweedimensionaal normaal verdeeld met gelijke varianties. Ik wil laten zien dat X+Y en X-Y onafhankelijke stochasten zijn.

Ik had al bedacht dat X+Y en X-Y normaal verdeeld zijn, omdat iedere lineaire combinatie van normaal verdeelde stochasten weer normaal verdeeld is. Sterker nog, X+Y is N(m₁+m₂, s₁²+s₂²) verdeeld en X-Y is N(m₁-m₂, s₁²+s₂²) verdeeld (s_i staat voor de standaard deviatie en m_i voor het gemiddelde).
Ik kan dus de kansdichtheidsfunctie van zowel X+Y als X-Y opschrijven. Hoe kan ik de joint distributie van X+Y, X-Y bepalen? (met als doel te controleren of f_X+Y,X-Y = f_X+Y * f_X-Y om zo te laten zien dat ze onafh zijn). Of is er een betere aanpak?

Dat kan, gegeven de pdf van de vector (X,Y) mbv de jacobiaan, zie http://en.wikipedia.org/w(...)_change_of_variables

Hmm, bedankt. Ik heb het uiteindelijk maar met covariantie gedaan, dat lijkt me toch wat eenvoudiger .

http://en.wikipedia.org/w(...)ot_imply_independent

quote:

Op zondag 8 mei 2011 19:39 schreef GlowMouse het volgende:
http://en.wikipedia.org/w(...)ot_imply_independent

Ik heb gekeken naar de random vector (X+Y,X-Y), welke jointly normally distributed is.

quote:

Suppose two random variables X and Y are jointly normally distributed. That is the same as saying that the random vector (X, Y) has a multivariate normal distribution. It means that the joint probability distribution of X and Y is such that for any two constant (i.e., non-random) scalars a and b, the random variable aX + bY is normally distributed. In that case if X and Y are uncorrelated, i.e., their covariance cov(X, Y) is zero, then they are independent.

Als A en B elk afzonderlijk normaal verdeeld zijn, dan is de vector (A, B) niet automatisch jointly normally distributed, zoals je citaat al aangeeft.

quote:

Op vrijdag 22 april 2011 10:15 schreef -J-D- het volgende:
[ afbeelding ]

Ik vind dit een boeiende vraag, alleen heb ik geen idee hoe ik moet beginnen.
Kan iemand me op weg helpen? Dan kan ik dan zien of ik genoeg intellect heb om het verder op te kunnen lossen

Ik vond sommige andere leuker, bijvoorbeeld:

quote:

Ernst heeft acht emmers: vier van het merk hamé en vier van het merk delta. Hoewel Ernst de emmers niet met het blote oog uit elkaar kan houden, weet hij dat een emmer van hamé in (bovenop) een emmer van delta past, maar niet andersom. Bovendien passen twee emmers van dezelfde soort natuurlijk wel in elkaar.Hoe kan Ernst in zo weinig mogelijk zetten alle emmers identificeren? Een zet bestaat uit het op elkaar zetten van twee emmers (geen stapeltjes); het uit elkaar halen van twee emmers mag zo vaak als je wilt.

Ik heb nu ook het vak datastructuren, wat veel over algoritmes gaat. Daar wordt altijd een algoritme besproken in termen van best-case, average-case en worst-case. In deze vraag wordt gevraagd om het snelste algoritme (want dat is het als het ware) voor een probleem. Ik neem even aan dat hier gevraagd wordt om het algoritme met de beste worst-case performance (oh wat klink ik geleerd ).
Stel dat je een mogelijke oplossing hebt voor dit of een dergelijk probleem. Is er dan een manier om dit te bewijzen, of moet je dit soort vraagstukken puur op intuïtie oplossen?
(Om dezelfde reden als Riparius zijn redenering bij zijn antwoord op de vraag over een muis op een tafel niet postte, post ik mijn antwoord nu niet: de vraag komt uit de Pytagoras olympiade en daarvoor kan men nog tot juni antwoorden opsturen)

quote:

Op zondag 8 mei 2011 22:57 schreef thabit het volgende:
In de wiskunde is de bedoeling uiteraard dat je het bewijst, minibeer.

Doet me denken aan deze post van je, die ik laatst bij het aanmaken van een reeks tegenkwam.

quote:

Op zondag 8 mei 2011 22:51 schreef GlowMouse het volgende:
Als A en B elk afzonderlijk normaal verdeeld zijn, dan is de vector (A, B) niet automatisch jointly normally distributed, zoals je citaat al aangeeft.

In dit geval wel, ga maar na.

Ik begrijp dat men er in het algemeen naar streeft algoritmes te bewijzen, maar dat is toch niet altijd mogelijk? Als het wel mogelijk is, is er een bepaalde manier voor die vaak wordt toegepast?
Of, wat concreter, ik heb een vermoeden voor het probleem dat ik net postte. Kan ik op een makkelijke manier uitvogelen of het inderdaad de snelste manier is?
(voor zover ik weet kan je alleen ontkrachten dat het algoritme het snelst mogelijke is door een sneller algoritme te geven en van beide de performance te berekenen)

Sorry als ik veel vage vragen stel, als ik dingen niet goed begrijp vraag ik er soms maar wat op los

quote:

Op zaterdag 7 mei 2011 18:29 schreef Bram_van_Loon het volgende:
@Riparius

[..]

Je zou mij er plezier mee doen als je hier nog eens het bewijs zou plaatsen, of door een link te geven of door plaatjes in te scannen of met Paint of iets dergelijks zelf een bewijs te tekenen. Als je er eens tijd voor hebt natuurlijk.

Het maken van een mooi plaatje (niet met Paint maar met iets als Cabri) laat ik graag aan anderen over omdat het prepareren van deze post mij al voldoende tijd kost, maar ook zonder plaatje zal het hopelijk duidelijk zijn. Vreemd genoeg kan ik nergens op het web een goede uiteenzetting vinden van het bewijs dat mij voor ogen staat.

Eerst wat inleidende opmerkingen over vectoren en de definitie van de sinus en cosinus aan de hand van de eenheidscirkel.

Kiezen we een punt O in het platte vlak en twee vectoren OA = a en OB = b die geen van beide de nulvector zijn en niet in elkaars verlengde liggen, dan kunnen we elke willekeurige andere vector OP = p in dat platte vlak uitdrukken als een lineaire combinatie van a en b, en wel op een eenduidige manier. Er is dan precies één geordend paar reële getallen (λ;μ) zodanig dat:

(1) p = λ∙a + μ∙b

We noemen de set {a, b} nu een basis voor de vectorruimte bestaande uit alle vectoren in het platte vlak. Het geordende paar (λ;μ) noemen we dan de coördinaten van vector p ten opzichte van de basis {a, b}.

Hebben we al een assenstelsel met cartesische coördinaten, dan vormen de vectoren met lengte één langs de positieve x-as resp. de positieve y-as de vectorbasis voor deze coördinaten. Aangezien deze vectoren een lengte één hebben spreken we van eenheidsvectoren en duiden we deze aan met e_x resp. e_y. De vectorbasis {e_x , e_y} wordt ook wel een orthonormale basis genoemd omdat de beide vectoren niet alleen een lengte één hebben maar tevens loodrecht op elkaar staan. Merk nog op dat de oriëntatie van het paar {e_x, e_y} zodanig is dat de eerste vector e_x bij een rotatie over 90 graden in positieve zin (i.e. tegen de wijzers van de klok in) overgaat in de tweede vector e_y.

Bij een elementaire behandeling worden de sinus en cosinus van een hoek in eerste instantie geïntroduceerd als verhoudingen tussen de rechthoekszijden en de schuine zijde (hypotenusa) in een rechthoekige driehoek. Aangezien de lengten van overeenkomstige zijden van gelijkvormige driehoeken evenredig met elkaar zijn, hangen deze verhoudingen uitsluitend af van de hoeken van de rechthoekige driehoek. De aldus geïntroduceerde begrippen sinus en cosinus hebben echter uitsluitend betekenis voor scherpe hoeken.

De zogeheten eenheidscirkel (een cirkel met middelpunt in de oorsprong van een cartesisch assenstelsel en met een straal één) maakt het nu mogelijk de begrippen sinus en cosinus uit te breiden naar willekeurige hoeken (rotaties), zowel in positieve zin (tegen de wijzers van de klok in) als in negatieve zin (met de wijzers van de klok mee).

Kiezen we een willekeurig punt P(x_P; y_P) op de eenheidscirkel, maar dan wel in het eerste kwadrant, en laten we vanuit P een loodlijn neer op de x-as, en noemen we het voetpunt van deze loodlijn Q, dan is driehoek OPQ een rechthoekige driehoek met een rechte hoek in hoekpunt Q en een hypotenusa OP.

Noemen we hoek QOP α, dan is de sinus van hoek α gelijk aan de overstaande rechthoekszijde QP gedeeld door de schuine zijde OP, dus:

(2) sin α = sin ∠QOP = QP : OP = y_P : 1 = y_P

En de cosinus van hoek α is gelijk aan de aanliggende rechthoekszijde OQ gedeeld door de schuine zijde OP, dus:

(3) cos α = cos ∠QOP = OQ : OP = x_P : 1 = x_P

We zien nu dat cos α en sin α gelijk zijn aan de coördinaten x_P resp. y_P van het punt P(x_P;y_P). Dit is uiteraard niet verrassend maar een direct gevolg van het feit dat de straal van de gekozen cirkel, en daarmee de lengte van de hypotenusa OP van driehoek OPQ, gelijk is aan één. Maar dit biedt wel een mogelijkheid om cos α en sin α betekenis te geven voor een willekeurige hoek (rotatie) α zowel in positieve als in negatieve zin.

Aangezien ∠QOP = α gaat het punt met coördinaten (1;0) over in punt P(x_P;y_P) bij een rotatie rond de oorprong over een hoek α. We kunnen nu afspreken (definiëren) dat we ook bij een rotatie om de oorsprong van punt (1;0) over een willekeurige hoek α de coördinaten x_P en y_P van het beeldpunt P(x _P;y_P) zullen beschouwen als de cosinus resp. de sinus van α. Anders gezegd, het punt met coördinaten (1;0) gaat bij een rotatie om de oorsprong over een willekeurige hoek α over in het punt met de coördinaten (cos α ; sin α).

Dan nu het bewijs van de additietheorema's. Het punt met coordinaten (1;0) is het eindpunt van de eenheidvector e_x, en dus kunnen we het beeldpunt (cos α ; sin α) van (1;0) bij rotatie over een hoek α opvatten als het eindpunt van een vector e_x' die het beeld is van vector e_x bij een rotatie over een hoek α. Aldus hebben we:

(4) e_x' = cos α∙e_x + sin α∙e_y

Nu gaat bij rotatie om de oorsprong over een (willekeurige) hoek α niet alleen de eenheidsvector e_x over in een beeldvector e_x', maar evenzo gaat de eenheidsvector e_y over in een vector e_y', zodat we kunnen zeggen dat de vectorbasis {e_x, e_y} bij rotatie over een hoek α overgaat in de (eveneens orthonormale) vectorbasis {e_x', e_y'}.

Nu hebben we middels (4) vector e_x' uitgedrukt als een lineaire combinatie van e_x en e_y, maar we kunnen ook e_y' uitdrukken in e_x en e_y. Dit gaat als volgt.

Bij rotatie om de oorsprong over een hoek van 90 graden tegen de wijzers van de klok in (i.e. in positieve zin) gaat vector e_x over in vector e_y en gaat vector e_y over in vector -e_x. Aldus kunnen we zeggen dat de vectorbasis {e_x, e_y} bij rotatie over 90 graden in positieve zin overgaat in de (eveneens orthonormale) vectorbasis {e_y, -e_x}. Kiezen we nu {e_y, -e_x} als basis waarbij de eerste vector e_y van deze basis bij een rotatie over een hoek α overgaat in een beeldvector e_y', dan geldt dus analoog aan (4) en conform de definitie van de cosinus en de sinus:

(5) e_y' = cos α∙e_y + sin α∙(-e_x)

En aangezien sin α∙(-e_x) = -sin α∙e_x kunnen we hiervoor ook schrijven:

(6) e_y' = cos α∙e_y - sin α∙e_x

Roteren we vervolgens vector e_x' over een (willekeurige) hoek β en noemen we het beeld van e_x' bij deze rotatie e_x'', dan kunnen we e_x'' op twee verschillende manieren uitdrukken in e_x en e_y.

Om te beginnen kunnen we bedenken dat e_x' het beeld is van e_x bij rotatie over een hoek α en dat e_x'' weer het beeld is van e_x' bij rotatie over een hoek β. Aldus is e_x'' het beeld van e_x bij rotatie over een hoek α+β, zodat naar analogie van (4) en in overeenstemming met de definitie van cosinus en sinus geldt:

(7) e_x'' = cos(α+β)∙e_x + sin(α+β)∙e_y

We kunnen echter e_x'' ook uitdrukken in de vectorbasis {e_x', e_y'}. Aangezien de eerste vector e_x' van deze basis bij rotatie over een hoek β overgaat in e_x'' geldt naar analogie van (4) en in overeenstemming met de definitie van cosinus en sinus:

(8) e_x'' = cos β∙e_x' + sin β∙e_y'

Maar nu hadden we e_x' en e_y' al uitgedrukt in e_x en e_y. Substitutie van (4) en (6) in (8) levert:

(9) e_x'' = cos β∙(cos α∙e_x + sin α∙e_y) + sin β∙(cos α∙e_y - sin α∙e_x)

Uitwerken van het rechterlid van (9) en hergroeperen van de termen met e_x en e_y geeft:

(10) e_x'' = (cos α∙cos β - sin α∙sin β)∙e_x + (sin α∙cos β + cos α∙sin β)∙e_y

Nu weten we echter dat elke vector, en dus ook e_x'', op precies één manier is uit te drukken als een lineaire combinatie van de basisvectoren {e_x, e_y}. Uit (7) en (10) volgt dus:

(11a) cos(α+β) = cos α∙cos β - sin α∙sin β
(11b) sin(α+β) = sin α∙cos β + cos α∙sin β

QED

Toegift: aangezien (11a) en (11b) gelden voor willekeurige rotaties in zowel positieve als negatieve zin en aangezien α-β = α+(-β) geldt ook:

(11a) cos(α-β) = cos α∙cos(-β) - sin α∙sin(-β)
(11b) sin(α-β) = sin α∙cos(-β) + cos α∙sin(-β)

Een rotatie van het punt (1;0) over een hoek -β is equivalent met een rotatie van het punt (1;0) over een hoek β gevolgd door een spiegeling in de x-as. En aangezien bij spiegeling in de x-as een punt met coördinaten (x_P;y_P) overgaat in een punt met coördinaten (x_P;-y_P) volgt dat geldt:

(12) cos(-β) = cos β en sin(-β) = -sin β

Substitutie van (12) in (11a) en (11b) levert dan:

(13a) cos(α-β) = cos α∙cos β + sin α∙sin β
(13b) sin(α-β) = sin α∙cos β - cos α∙sin β

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 09-05-2011 14:49:55 ]

quote:

Op zondag 8 mei 2011 23:21 schreef thabit het volgende:

[..]

In het algemeen is het bij algoritmen behoorlijk lastig om aan te tonen dat ze zo snel mogelijk zijn in het slechtste geval. Maar bij dit soort Pythagoraspuzzeltjes mag je ervan uitgaan dat het wel op een vrij eenvoudige manier kan.

Ik neem niet aan dat het de bedoeling is dat je in dat soort puzzels een bewijs geeft? Het is namelijk de enige vraag uit die links waarbij ik echt vastloop als ik een bewijs moet geven. Zie jij wel hoe het zou moeten dan?

quote:

Op maandag 9 mei 2011 00:35 schreef thabit het volgende:

[..]

Ja, bij dit soort puzzels is altijd de bedoeling om een bewijs te geven, tenzij uit de vraagstelling heel duidelijk is dat dat niet hoeft. Als je daadwerkelijk de snelste methode hebt gevonden, dan is het in dit geval zelfs heel makkelijk te bewijzen dat het niet sneller kan.

Jammer, dan ben ik gewoon aan het falen

ik denk dat ik het al wat beter begrijp, bedankt in ieder geval . Nog even kijken of ik een bewijs kan maken, als het lukt zal ik hem morgen wel ff posten.

hallo,

Ik ben bezig met oefenen voor me wiskunde B examens en loop vast op het volgende:
In het correctie voorschrift staat dat je van "f'(x)=2cos x ⋅ (1+ sin x) + 2sin x ⋅cos x" dit "f'(x)=2cos x + 4cos x ⋅sin x" kan maken. Alleen ik weet niet hoe???

heb je de haakjes om (1+sin x) al geprobeerd weg te werken?

Ja, dan krijg ik f'(x)=2cos x * 2cos x * sin x + 2sin x * cos x
En dat kan je ook schrijven als f'(x)=4cos x * sin x + 2sin x * cos x
En nu?