[Bčta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Dat is altijd zo in koordenvierhoeken. Teken er een cirkel omheen: de omtrekshoek is constant.

quote:

Op dinsdag 23 maart 2010 22:50 schreef thabit het volgende:
Dat is altijd zo in koordenvierhoeken. Teken er een cirkel omheen: de omtrekshoek is constant.

Grmbl, even over het hoofd gezien DEFC is natuurlijk ook een koordenvierhoek. Dan kan ik gewoon constante hoek gebruiken inderdaad. Dankjewel!

Ik probeer de Wetten van Mrogan te bewijzen, maar kom niet erg ver

Ik kom niet verder dan het complement weghalen door 1 - (vereniging van a_i). Hoe kan ik van ene vereniging een doorsnede maken?

Ik zou gewoon een element uit het linkerdeel nemen en bewijzen dat dat in het rechterdeel zit, en vice versa.

Hm, ik dacht het vorige keer op deze manier gedaan te hebben, maar oké! Ik weet alleen niet goed hoe ik dit moet noteren, hoe ik het nu heb staan:


Maar ik k anme voorstellen dat het op een iets meer wiskundige manier kan ipv die puntjes ;x

"Voor alle i geldt: e zit niet in A_i"

Beide notaties kom ik wel eens tegen, zijn ze eigenlijk allebei 'goed'?

Ah, oké. Maar die notatie is dan wel gewoon oké, en het gevolg ("voor alle i: e niet in A_i" -> "voor alle i: e zit in A_i^c") is wel triviaal toch?

quote:

Op woensdag 24 maart 2010 21:08 schreef GlowMouse het volgende:
Beide notaties kom ik wel eens tegen, zijn ze eigenlijk allebei 'goed'?
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]

Die tweede zou ik niet doen. Eerst allerlei symbolen gebruiken en ze achteraf pas introduceren is heel vervelend om te moeten lezen.

quote:

Op woensdag 24 maart 2010 21:08 schreef GlowMouse het volgende:
Beide notaties kom ik wel eens tegen, zijn ze eigenlijk allebei 'goed'?
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]

Ze worden allebei wel gebruikt, maar eigenlijk kom ik in artikelen in mijn vakgebied veel vaker een beschrijving in woorden tegen dan zulke constructies met logische symbolen, a la "for all $i \in \mathbb{N}$ we have $e_i \not\in A_i$".

quote:

Op woensdag 24 maart 2010 21:15 schreef Hanneke12345 het volgende:
Ah, oké. Maar die notatie is dan wel gewoon oké, en het gevolg ("voor alle i: e niet in A_i" -> "voor alle i: e zit in A_i^c") is wel triviaal toch?

Voor de volledigheid, wat je op regel 3 en 4 schrijft klopt semantisch niet, de $e$ weglaten voor de $\in$/$\not\in$ is voor zover ik weet geen geaccepteerd gebruik.

Bewijs dat de inhoud van een bol gelijk is aan:

Doormiddel van Integreren.

Wat doe ik fout?

Dus:


Maar dan kom ik uit op:


Wat dus niet klopt, ik mis een factor 2?

quote:

Op donderdag 25 maart 2010 12:22 schreef Siddartha het volgende:
Bewijs dat de inhoud van een bol gelijk is aan:
[ afbeelding ]
Doormiddel van Integreren.

Wat doe ik fout?
[ afbeelding ]
Dus:
[ afbeelding ]

Maar dan kom ik uit op:
[ afbeelding ]

Wat dus niet klopt, ik mis een factor 2?

Je hebt de functie

f(x) = √(r² - x²)

De grafiek hiervan is een halve cirkel in de kwadranten I en II, die bij wenteling om de x-as een bol met als middelpunt de oorsprong en straal r oplevert. Om nu het volume van deze bol te berekenen, moet je {f(x)}² integreren over het interval [-r,r] en het resultaat met π vermenigvuldigen. Jij integreert echter over het interval [0,r], zodat je het volume vindt van een halve bol met straal r.

Heb je trouwens de opgave over het berekenen van de oppervlakte van een bol met straal r nog uitgewerkt? Ik heb zo het idee van niet, anders had je geweten dat je over het interval [-r,r] moet integreren.

quote:

Op donderdag 25 maart 2010 14:14 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je hebt de functie

f(x) = √(r² - x²)

De grafiek hiervan is een halve cirkel in de kwadranten I en II, die bij wenteling om de x-as een bol met als middelpunt de oorsprong en straal r oplevert. Om nu het volume van deze bol te berekenen, moet je {f(x)}² integreren over het interval [-r,r] en het resultaat met π vermenigvuldigen. Jij integreert echter over het interval [0,r], zodat je het volume vindt van een halve bol met straal r.

Heb je trouwens de opgave over het berekenen van de oppervlakte van een bol met straal r nog uitgewerkt? Ik heb zo het idee van niet, anders had je geweten dat je over het interval [-r,r] moet integreren.

In het antwoordboekje staat het volgende:

En dat is gelijk aan 4/3Pir^3 (Volgens het antwoordboekje dan). Waarom klopt dat dan niet?

quote:

Op donderdag 25 maart 2010 14:47 schreef Siddartha het volgende:

[..]

In het antwoordboekje staat het volgende:
[ afbeelding ]
En dat is gelijk aan 4/3Pir^3 (Volgens het antwoordboekje dan). Waarom klopt dat dan niet?

Het antwoordenboekje klopt, hoewel ik het zelf niet zo zou opschrijven. Je hebt kennelijk de integraal niet correct uitgerekend.

quote:

Op donderdag 25 maart 2010 14:50 schreef Riparius het volgende:

[..]

Het antwoordenboekje klopt, hoewel ik het zelf niet zo zou opschrijven. Je hebt kennelijk de integraal niet correct uitgerekend.

Integraal van Pi(r^2 - x^2) is toch gewoon Pi r^2 - 1/3x^3 + c ?
Invullen voor x=r en vermenigvuldigen met 2 geeft dan 2/3 ipv 4/3.

quote:

Op donderdag 25 maart 2010 14:53 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Integraal van Pi(r^2 - x^2) is toch gewoon Pi r^2 - 1/3x^3 + c ?
Invullen voor x=r en vermenigvuldigen met 2 geeft dan 2/3 ipv 4/3.

Nee, dit klopt niet. Bovendien vind ik het jammer dat je kennelijk eerst in het antwoordenboekje kijkt en dan probeert na te doen wat daar wordt gedaan, anders was je nooit op het idee gekomen om de integraal over het interval [-r,r] te vervangen door tweemaal de integraal over het interval [0,r].

quote:

Op donderdag 25 maart 2010 14:56 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, dit klopt niet. Bovendien vind ik het jammer dat je kennelijk eerst in het antwoordenboekje kijkt en dan probeert na te doen wat daar wordt gedaan, anders was je nooit op het idee gekomen om de integraal over het interval [-r,r] te vervangen door tweemaal de integraal over het interval [0,r].

Verdomme, ik ben gewoon r^2 vergeten te integreren!
Stomme fout die ik vaak maak, helaas.

Ik kan je geruststellen dat ik eerst een hele tijd zelf over het antwoord heb nagedacht. Pas daarna zocht ik het antwoord op.

quote:

Op donderdag 25 maart 2010 15:07 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Verdomme, ik ben gewoon r^2 vergeten te integreren!
Stomme fout die ik vaak maak, helaas.

Ik kan je geruststellen dat ik eerst een hele tijd zelf over het antwoord heb nagedacht. Pas daarna zocht ik het antwoord op.

Inderdaad, een primitieve van {f(x)}² = r² - x² is r²x - 1/3∙x³. Integreren over [-r,r] en vermenigvuldigen met π geeft dan 4/3∙π∙r³ voor het volume van een bol met straal r. Heb je nu de oppervlakte van een bol met straal r ook kunnen berekenen via integratie?

quote:

Op donderdag 25 maart 2010 15:12 schreef Riparius het volgende:

[..]

Inderdaad, een primitieve van {f(x)}² = r² - x² is r²x - 1/3∙x³. Integreren over [-r,r] en vermenigvuldigen met π geeft dan 4/3∙π∙r³ voor het volume van een bol met straal r. Heb je nu de oppervlakte van een bol met straal r ook kunnen berekenen via integratie?

Ik kom tot dit:
f(x): y = Wortel(r^2 - x^2)
f'(x)= x / wortel(r^2-x^2)
Dat kwadrateren levert op(?):
x^2 (r^2 - x^2)^1,5

Invullen in de formule voor lengte geeft:
Primitiveer Wortel(1+(f'(x)^2 )
Maar hoe moet ik zoiets primitiveren?

quote:

Op donderdag 25 maart 2010 15:40 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Ik kom tot dit:
f(x): y = Wortel(r^2 - x^2)
f'(x)= x / wortel(r^2-x^2)
Dat kwadrateren levert op(?):
x^2 (r^2 - x^2)^1,5

Nee, dit gaat niet goed. Ik had het meeste werk trouwens al voor je gedaan. Kijk nog even hier. We hebben:


1 + (f'(x))² = r²/(r² - x²)

En dus:

√(1 + (f'(x))²) = r/√(r² - x²)

En dus:

f(x)∙√(1 + (f'(x))²) = r

Je krijgt dus een heel eenvoudige (constante) functie om te integreren! Kun je ook een meetkundige interpretatie geven van dit resultaat? En wat wordt nu de oppervlakte van een bol met straal r?

Weet iemand hoe je met http://www.wolframalpha.com/ de hoekfrequentie, periode en frequentie kan uitrekenen? Ik snap die sommen maar niet...

Hoe komen ze bij die vergelijking, ik zie de logica niet? Dus die onder de zin, via breuksplitsen krijgen we.

quote:

Op donderdag 25 maart 2010 16:00 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, dit gaat niet goed. Ik had het meeste werk trouwens al voor je gedaan. Kijk nog even hier. We hebben:


1 + (f'(x))² = r²/(r² - x²)

En dus:

√(1 + (f'(x))²) = r/√(r² - x²)

En dus:

f(x)∙√(1 + (f'(x))²) = r

Je krijgt dus een heel eenvoudige (constante) functie om te integreren! Kun je ook een meetkundige interpretatie geven van dit resultaat? En wat wordt nu de oppervlakte van een bol met straal r?

Oppervlakte van een bol is dus
4pi r^2

Ik bedacht me trouwens, is de omtrek niet gewoon de afgeleide van de inhoud?
Inhoud = 4/3Pi r^3
Inhoud '= 4Pi r^2 = Omtrek

quote:

Op donderdag 25 maart 2010 16:22 schreef GoodGawd het volgende:
[ afbeelding ]

Hoe komen ze bij die vergelijking, ik zie de logica niet? Dus die onder de zin, via breuksplitsen krijgen we.

Breuksplitsing is een standaardtechniek bij o.a. integreren. Het idee is dat je een breuk gaat schrijven als een som van een aantal breuken waarbij de noemer steeds één van de factoren is van de noemer van de oorspronkelijke breuk. Vervolgens moet je die deelbreuken weer gelijknamig maken om ze op te kunnen tellen. Dat is wat hier gebeurt. Tenslotte vermenigvuldig je beide leden van de vergelijking met de noemer van de oorspronkelijke breuk en stel je de coëfficiënten van de veeltermen in linker en rechter lid aan elkaar gelijk. Dit levert dan een stelsel lineaire vergelijkingen op in A, B, C ... dat je op kunt lossen om uiteindelijk te weten te komen hoe je de oorspronkelijke breuk kunt schrijven als een som van deelbreuken.

quote:

Op donderdag 25 maart 2010 16:24 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Oppervlakte van een bol is dus
4pi r^2

Inderdaad, dit klopt. De meetkundige interpretatie van die constante functie die je krijgt is dat de oppervlakte van een bol gelijk is aan de manteloppervlakte van een omgeschreven cilinder. En aangezien dit resultaat ook geldt als je integreert over een willekeurig deelinterval van [-r,r] zien we dus dat de oppervlakte van een willekeurig bolsegment ook gelijk is aan het corresponderende deel van de oppervlakte van de omgeschreven cilinder.

quote:

Ik bedacht me trouwens, is de oppervlakte niet gewoon de afgeleide van de inhoud?
Inhoud = 4/3Pi r^3
Inhoud '= 4Pi r^2 = Oppervlakte

Dat is een hele goede observatie. Als je een bol neemt met een straal r en een iets grotere concentrische bol met een straal r + Δr, dan kun je het verschil in volume benaderen door de oppervlakte O(r) van de bol te vermenigvuldigen met de dikte Δr van de 'schil'. En dus geldt:

V(r+Δr) - V(r) ≈ O(r)∙Δr

En dus ook:

(V(r+Δr) - V(r))/Δr ≈ O(r)

De benadering wordt beter naarmate we de dikte Δr van de 'schil' tot nul laten naderen, en dus geldt inderdaad:

V'(r) = O(r)

Voor een cirkel geldt iets dergelijks: als je de formule πr² voor de oppervlakte van een cirkel met straal r differentieert naar r krijg je 2πr, en dat is inderdaad de formule voor de omtrek van een cirkel met straal r.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 25-03-2010 18:05:40 ]