[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op woensdag 19 december 2012 21:13 schreef Riparius het volgende:

[..]

De specs zeggen natuurlijk niets over de mogelijkheid om met Unicode te werken, dat is bij Windows al standaard vanaf XP geïntroduceerd eind 2001, en Linux is ook al heel lang op Unicode gebaseerd. Alleen duurt het kennelijk vele jaren voordat dat soort dingen een beetje doordringen tot sommige mensen. Anno 2012 zijn er nog hele volksstammen die blijven pielen met MS-DOS codes uit de jaren '80 van de vorige eeuw.

[..]

Dat lijkt me correct, hoewel sfeer dacht ik in het Nederlands niet zo'n gebruikelijk woord is. In een document waarnaar je eerder linkte wordt gesproken van de projectie van een bol of de aardbol of het aardoppervlak op een plat vlak, het woord sfeer komt in dat hele document niet voor.

Dit was ook zijn (principiële) bezwaar; het is geen gebruikelijk woord. Echter vond hij zinnen zoals "Echter is er genoeg materie in de diversiteit der cilindrische projecties om een vullend werkstuk te creëeren." onzinnig, te moeilijk en vooral niet doen. Even een opsomming van mijn zinnen waarin ik 'sfeer' gebruik:
Ik wil echter maar een klein deel van dit onderwerp behandelen, namelijk de projecties van een sfeer op een tweedimensionaal vlak.

Nu behandel ik enkel de situaties waarvoor geldt dat het te projecteren oppervlak een sfeer betreft.
Beetje dubbelop, maar dit is beperking 1.

De cilindrische projectie beschrijft een methode om de sfeer af te beelden op een plat vlak met behulp van de cilinder.

Deze projecties zijn geen directe projecties van de sfeer op een mantel om de bol.

Op de kaart worden ook de grootcirkels, op een sfeer aangeduid met meridianen, als rechte lijnen weergegeven. (Deze zin ga ik wijzigen in het aardoppervlak, immers meridianen komen niet per definitie voor op een sfeer maar juist op het aardoppervlak oid..)

Stel dat we een willekeurig punt op de sfeer nemen,

Ik zou je natuurlijk een keer het document kunnen sturen, dat je het een keer doorleest wanneer je zin hebt. Ik moet eerst nog legio wijzingen en addities doorvoeren, dus nu nog niet. Ik stelde je hulp met de Mercatorprojectie zeer op prijs, dus misschien dat je nogmaals wat tijd voor me vrij kunt maken?

quote:

Op woensdag 19 december 2012 21:29 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Dit was ook zijn (principiële) bezwaar; het is geen gebruikelijk woord.

Ja, dat is ook mijn bezwaar. Je kunt je het beste houden aan de gebruikelijke terminologie in serieuze (wetenschappelijke) publicaties in het Nederlands over jouw specifieke onderwerp. Ik heb zelf de indruk dat het woord sfeer in het Nederlands vooral in een strict wiskundige contekst wordt gebruikt, zoals in het begrip Riemann-sfeer.

quote:

Echter vond hij zinnen zoals "Echter is er genoeg materie in de diversiteit der cilindrische projecties om een vullend werkstuk te creëeren." onzinnig, te moeilijk en vooral niet doen.

Deze zin loopt niet lekker, is niet echt goed Nederlands, en klinkt ook wat te hoogdravend. Maak er iets van als de literatuur over de verschillende cilinderprojecties biedt voldoende materiaal voor een uitgebreid werkstuk.

quote:

Even een opsomming van mijn zinnen waarin ik 'sfeer' gebruik:
Ik wil echter maar een klein deel van dit onderwerp behandelen, namelijk de projecties van een sfeer op een tweedimensionaal vlak.

Nu behandel ik enkel de situaties waarvoor geldt dat het te projecteren oppervlak een sfeer betreft.
Beetje dubbelop, maar dit is beperking 1.

De cilindrische projectie beschrijft een methode om de sfeer af te beelden op een plat vlak met behulp van de cilinder.

Deze projecties zijn geen directe projecties van de sfeer op een mantel om de bol.

Op de kaart worden ook de grootcirkels, op een sfeer aangeduid met meridianen, als rechte lijnen weergegeven. (Deze zin ga ik wijzigen in het aardoppervlak, immers meridianen komen niet per definitie voor op een sfeer maar juist op het aardoppervlak oid..)

Stel dat we een willekeurig punt op de sfeer nemen,

Ik zou je natuurlijk een keer het document kunnen sturen, dat je het een keer doorleest wanneer je zin hebt. Ik moet eerst nog legio wijzingen en addities doorvoeren, dus nu nog niet. Ik stelde je hulp met de Mercatorprojectie zeer op prijs, dus misschien dat je nogmaals wat tijd voor me vrij kunt maken?

Ik wil je werkstuk t.z.t. best doornemen, maar dat kan dan pas ruim na de feestdagen.

quote:

Op woensdag 19 december 2012 21:48 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ja, dat is ook mijn bezwaar. Je kunt je het beste houden aan de gebruikelijke terminologie in serieuze (wetenschappelijke) publicaties in het Nederlands over jouw specifieke onderwerp. Ik heb zelf de indruk dat het woord sfeer in het Nederlands vooral in een strict wiskundige contekst wordt gebruikt, zoals in het begrip Riemann-sfeer.

[..]

Deze zin loopt niet lekker, is niet echt goed Nederlands, en klinkt ook wat te hoogdravend. Maak er iets van als de literatuur over de verschillende cilinderprojecties biedt voldoende materiaal voor een uitgebreid werkstuk.

[..]

Ik wil je werkstuk t.z.t. best doornemen, maar dat kan dan pas ruim na de feestdagen.

Volgens deze URL: http://nl.wikipedia.org/wiki/Sfeer_(wiskunde) is aanname nog niet eens zo slecht. Je spreekt van een strikt wiskundige definitie, op zich wel een aardigheidje dat mijn werkstuk ook over een wiskundig onderwerp gaat. Nu even zonder satire, raad je het me aan om het te vervangen door boloppervlak, of iets in die trend? Of is het correct genoeg om te laten staan, afgezien van het dagelijkse gebruik?

Ik maak een aantekening. Ik houd van hoogdravende zinnen, maar ik zie zo even niet in wat er precies (taalkundig) niet goed aan is. Kun je dit nader toelichten?

Inderdaad, na de feestdagen pas. Het doel is om mijn werkstuk medio februari af te hebben, met mijn begeleidend docent heb ik afgesproken dat ik eind januari een conceptversie inlever, en ik loop ruim op schema. Onze laatste ontmoeting was dinsdag jongstleden, met de toen doorgenomen stof vond hij dat ik me op 80% bevond met voldoende vwo-diepgang.

Echter sprak hij ook over iets 'persoonlijks', vooral bij de stereografische projectie. Is het mogelijk dat ik de GPS coördinaten van (bijvoorbeeld) Eindhoven (E), Amsterdam(A) en Venlo (V) opzoek, uit deze coördinaten de hoek AEV afleidt, en dit bijvoorbeeld met een (Mercator)kaart van Nederland bevestig?

Ofwel, de hoek die deze 3 plaatsen met elkaar maken op het aardoppervlak is dus gelijk aan de hoek die loxodromen met elkaar maken, als ik het goed begrepen heb. Maar hoe haal ik deze hoek eruit?

Zo'n 'toepassing' moest ik gebruiken voor mijn presentatie/werkstuk om te laten zien dat mijn werkstuk authentiek is.

[ Bericht 0% gewijzigd door Amoeba op 19-12-2012 22:22:21 ]

quote:

Op woensdag 19 december 2012 22:05 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Volgens deze URL: http://nl.wikipedia.org/wiki/Sfeer_(wiskunde) is aanname nog niet eens zo slecht. Je spreekt van een strikt wiskundige definitie, op zich wel een aardigheidje dat mijn werkstuk ook over een wiskundig onderwerp gaat. Nu even zonder satire, raad je het me aan om het te vervangen door boloppervlak, of iets in die trend? Of is het correct genoeg om te laten staan, afgezien van het dagelijkse gebruik?

Op grond van het artikel waarnaar je linkte en artikelen in de Nederlandse Wikipedia had ik de indruk dat het woord sfeer niet zo gebruikelijk is in Nederlandstalige publicaties over cartografie. Dat het een courante wiskundige term is weet ik ook wel, maar zoals gezegd kun je het beste aansluiting zoeken bij wat in de literatuur over jouw specifieke onderwerp gebruikelijk is, en dat zul je toch echt zelf na moeten gaan, ik ken de literatuur over cilindrische kaartprojecties niet.

quote:

Ik maak een aantekening. Ik houd van hoogdravende zinnen, maar ik zie zo even niet in wat er precies (taalkundig) niet goed aan is. Kun je dit nader toelichten?

- materie in de diversiteit kun je zo niet laten staan, dat zou diversiteit in de materie moeten zijn, maar dan nog is het gebruik van het woord materie hier niet correct. Het woord materie wordt gebruikt in de fysica, en ook wel om het geheel aan te duiden van een bepaald onderwerp, zoals in: dit is een moeilijke materie. Materie duidt een niet-telbare kwantiteit aan, bij discrete (telbare) kwantiteiten gebruik je het woord materiaal. Je kunt bijvoorbeeld niet zeggen het NIOD heeft veel materie over de Tweede Wereldoorlog, dat moet zijn veel materiaal (of: veel documentatie).

- der klinkt hier wat archaïsch hoewel het niet fout is. Naamvallen van lidwoorden zijn wel courant in gezegdes en staande uitdrukkingen, en uiteraard in citaten van oudere teksten of titels van geraadpleegde oudere publicaties.

- een vullend werkstuk kun je zo niet laten staan, het gebruik van een actief deelwoord is hier in ieder geval fout. Het werkstuk zelf vult niets, jij stelt een werkstuk met een rijke inhoud in het vooruitzicht. Een goed gevuld werkstuk kan echter ook niet, dat klinkt als een blik rijk gevulde erwtensoep of iets anders uit een folder van de plaatselijke supermarkt.

- creëeren moet creëren zijn.

quote:

Inderdaad, na de feestdagen pas. Het doel is om mijn werkstuk medio februari af te hebben, met mijn begeleidend docent heb ik afgesproken dat ik eind januari een conceptversie inlever, en ik loop ruim op schema. Onze laatste ontmoeting was dinsdag jongstleden, met de toen doorgenomen stof vond hij dat ik me op 80% bevond met voldoende vwo-diepgang.

Echter sprak hij ook over iets 'persoonlijks', vooral bij de stereografische projectie. Is het mogelijk dat ik de GPS coördinaten van (bijvoorbeeld) Eindhoven (E), Amsterdam(A) en Venlo (V) opzoek, uit deze coördinaten de hoek AEV afleidt, en dit bijvoorbeeld met een (Mercatorkaart) van Nederland bevestig?

Dat lijkt me niet moeilijk, geografische coördinaten van plaatsen op aarde zijn gemakkelijk op te zoeken via Google Maps.

quote:

Ofwel, de hoek die deze 3 plaatsen met elkaar maken op het aardoppervlak is dus gelijk aan de hoek die loxodromen met elkaar maken, als ik het goed begrepen heb. Maar hoe haal ik deze hoek eruit?

Daar mag je de komende tijd eens over gaan nadenken. Hiervoor heb je boldriehoeksmeting nodig. Op de site van het Nederlands schoolmuseum zijn voldoende boekjes te vinden over boldriehoeksmeting uit de tijd dat dat nog een schoolvak was.

quote:

Zo'n 'toepassing' moest ik gebruiken voor mijn presentatie/werkstuk om te laten zien dat mijn werkstuk authentiek is.

Ah zo, en daarom vraag je mij even om het op te lossen?

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 19-12-2012 23:21:39 ]

quote:

Op woensdag 19 december 2012 22:05 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik maak een aantekening. Ik houd van hoogdravende zinnen, maar ik zie zo even niet in wat er precies (taalkundig) niet goed aan is. Kun je dit nader toelichten?

Dit is geen hoogdravende zin hoor. Een zin is niet hoogdravend als de zin niet prettig leest. Schrijf je je werkstuk om gelezen te worden of niet?

Boldriehoeksmeting, staat genoteerd.

Neen, niet direct oplossen, ik vroeg me af of dit mogelijk was. Prima opgelost zo

En er rijst direct een vraag op. Bij sferische trigonometrie worden lijnstukken vervangen door geodeten. Maar op mijn kaart zijn juist de loxodromen rechte lijnen, als ik dan de hoek op de kaart opmeet, moet die dan niet equivalent zijn aan de hoek de de loxodromen maken op de sfeer? Bij de bolmeetkunde gaat men juist met orthodromen werken, zo zegt het Wikipedia artikel.

Er staat slechts 1 vraag

[ Bericht 53% gewijzigd door Amoeba op 19-12-2012 23:48:09 ]

quote:

Op woensdag 19 december 2012 23:37 schreef Amoeba het volgende:
Boldriehoeksmeting, staat genoteerd.

Neen, niet direct oplossen, ik vroeg me af of dit mogelijk was. Prima opgelost zo

En er rijst direct een vraag op. Bij sferische trigonometrie worden lijnstukken vervangen door geodeten. Maar op mijn kaart zijn juist de loxodromen rechte lijnen, als ik dan de hoek op de kaart opmeet, moet die dan niet equivalent zijn aan de hoek de de loxodromen maken op de sfeer? Bij de bolmeetkunde gaat men juist met orthodromen werken, zo zegt het Wikipedia artikel.

Er staat slechts 1 vraag

Ah, op deze manier. Je had het over de hoek Amsterdam - Eindhoven - Venlo op het aardoppervlak, en dan denk ik toch automatisch aan een boldriehoek. Maar de zijden hiervan zijn inderdaad geen loxodromen. Als je ∠AEV op je kaartprojectie wil berekenen, dan bereken je eerst de cartesische coördinaten A(x₁;y₁), E(x₂;y₂) en V(x₃;y₃) van de drie punten op je kaart en dan kun je ∠AEV op de kaart berekenen. Bij een Mercatorprojectie is dit dan inderdaad de hoek tussen de loxodromen EA en EV.

quote:

Op donderdag 20 december 2012 01:10 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ah, op deze manier. Je had het over de hoek Amsterdam - Eindhoven - Venlo op het aardoppervlak, en dan denk ik toch automatisch aan een boldriehoek. Maar de zijden hiervan zijn inderdaad geen loxodromen. Als je ∠AEV op je kaartprojectie wil berekenen, dan bereken je eerst de cartesische coördinaten A(x₁;y₁), E(x₂;y₂) en V(x₃;y₃) van de drie punten op je kaart en dan kun je ∠AEV op de kaart berekenen. Bij een Mercatorprojectie is dit dan inderdaad de hoek tussen de loxodromen EA en EV.

Ik vroeg me af of het niet mogelijk was om dit andersom te doen, dus eerst de hoek die de loxodromen op het aardoppervlak met elkaar maken te berekenen met behulp van de bol, en dan een aha-momentje genereren door even heel intelligent met een Mercatorkaart aan te tonen dat dit juist is. Dat is wat mijn docent vroeg, althans. Het is natuurlijk ook gewoon 'goed' om eerst de Mercatorkaart hiervoor te gebruiken, en dan alsnog op basis van de bewezen conformiteit te stellen dat dit dan de hoek tussen loxodromen AE en EV moet zijn. Maar dan mis ik dat ziehiertada momentje waarmee ik in een klap de authenticiteit en de garantie op een goed cijfer veilig stel.

Met authenticiteit bedoel ik natuurlijk dat ik het niet doodleuk van internet gekopieerd heb, maar er zelf ook moeite in gestoken heb en dergelijke. En beter gezegd, dat ik het bovenal begrepen heb.

Ik ga deze (na)middag beginnen aan het corrigeren van het werkstuk, heb nog flink wat kanttekeningen gekregen met kleine verbeterpuntjes, veelal taalkundig en wat gevraagde explicitering.

thanks modje, maar gare layout van fok na edits ofzo

[ Bericht 91% gewijzigd door Amoeba op 20-12-2012 13:34:50 ]

En ik zat even na te denken over het bewijs van de equivalentie van de orthografische cilinderprojectie van Lambert.

Aangenomen dat voor een punt (λ;φ) geldt dat de cartesische coördinaten (x;y) luiden:

x = Rλ
y = Rsin(φ)

Als ik dan uitga van 'jouw methode' om aan te tonen dat het product van de schaalfactoren constant moet zijn om de equivalentie te bewijzen dan kom ik ongeveer op dit uit.

s_h(λ;φ) = Δx/Δa

waarbij a de beweging over de bol is
Δx = RΔλ
Δa = Rcos(φ)*Δλ

Hierbij neem ik in acht dat de lengte v/d parallelcirkel gelijk is aan:
Rcosφ, waarbij φ de breedtegraad is.

ofwel s_h(λ;φ) = Δx/Δa = (RΔλ)/(Rcos(φ)*Δλ) = 1/cosφ = secφ

Nu s_v(λ;φ) = Δy/Δa, waarbij a wederom de beweging over de aardbol is, deze keer in verticale richting.

Δa = RΔλ
Alleen Δy vind ik moeilijk af te leiden. Ik kom wel op iets gaars uit dat:

Δy = R(tan(φ+Δφ) - tan(φ))

Of is dit dan weer niet algebraïsch te bewijzen, maar juist meetkundig? Ik las ergens iets dat het eenvoudig was om aan te tonen dat een smalle ring tussen 2 parallellen dezelfde oppervlakte op de kaart heeft als op de bol. Maar dit klopt toch niet, aangezien deze ring toch veel groter wordt, en niet smaller?

quote:

Op donderdag 20 december 2012 13:34 schreef Amoeba het volgende:
En ik zat even na te denken over het bewijs van de equivalentie van de orthografische cilinderprojectie van Lambert.

Wat je hier doet klopt niet. Voor de orthografische cilinderprojectie van Lambert hebben we:

x = s₀∙R∙λ
y = s₀∙R∙sin φ

De afbeelding in horizontale richting is hierbij hetzelfde als bij de Mercatorprojectie, en de formule voor de afbeelding in verticale richting had ik hier al afgeleid.

Voor de horizontale schaling s_h(λ;φ) van een punt met geografische coördinaten (λ;φ) had ik verder hier al afgeleid dat we hebben:

s_h(λ;φ) = s₀∙sec φ

Nu de verticale schaalfactor s_v(λ;φ) voor het punt met geografische coördinaten (λ;φ) bij de orthografische cilinderprojectie van Lambert. Voor de (georiënteerde) afstand a tot de evenaar gemeten langs een meridiaan hebben we a = R∙φ en dus da/dφ = R en dus dφ/da = 1/R. De verticale schaalfactor wordt dus:

s_v(λ;φ) = dy/da = dy/dφ ∙ dφ/da = s₀∙R∙cos φ ∙ (1/R) = s₀∙cos φ

En voor het product van de horizontale en verticale schaalfactoren voor het punt met geografische coördinaten (λ;φ) hebben we dus:

s_h(λ;φ)∙s_v(λ;φ) = s₀∙sec φ ∙ s₀∙cos φ = s₀²

Het product van de horizontale en verticale schaalfactoren is dus onafhankelijk van λ en φ en daarmee een constante, zodat er sprake is van een equivalente oftewel oppervlaktegetrouwe projectie, QED.

quote:

Of is dit dan weer niet algebraïsch te bewijzen, maar juist meetkundig? Ik las ergens iets dat het eenvoudig was om aan te tonen dat een smalle ring tussen 2 parallellen dezelfde oppervlakte op de kaart heeft als op de bol. Maar dit klopt toch niet, aangezien deze ring toch veel groter wordt, en niet smaller?

Uiteraard kunnen we hetzelfde ook meetkundig bewijzen, en het aardige is dat dat al heel lang geleden is gedaan door Archimedes. Hij bewees namelijk dat de oppervlakte van een bolsegment gelijk is aan de oppervlakte van de projectie van dat bolsegment (of: bolschijf) op een omgeschreven cilinder van de bol als de as van de omgeschreven cilinder loodrecht op de snijvlakken van het bolsegment staat. Een consequentie hiervan is dat de oppervlakte van de gehele bol dus ook gelijk is aan de manteloppervlakte van de omgeschreven cilinder. Heb je een bol met straal r, dan heeft de mantel van de omgeschreven cilinder een omtrek 2πr en een hoogte 2r, zodat de oppervlakte van de bol dus gelijk is aan 2πr∙2r = 4πr².

Je idee dat de oppervlakte van een gebied op aarde tussen twee parallellen niet gelijk zou zijn aan de projectie daarvan op een omgeschreven cilinder met de as loodrecht op de vlakken van de parallellen klopt gewoon niet. Denk daar maar eens over na.

quote:

Op donderdag 20 december 2012 12:14 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik vroeg me af of het niet mogelijk was om dit andersom te doen, dus eerst de hoek die de loxodromen op het aardoppervlak met elkaar maken te berekenen met behulp van de bol, en dan een aha-momentje genereren door even heel intelligent met een Mercatorkaart aan te tonen dat dit juist is. Dat is wat mijn docent vroeg, althans.

Dit is veel minder eenvoudig dan je denkt, en omdat je al de mist ingaat met het berekenen van wat eenvoudige schaalfactoren denk ik dat je hier beter niet aan kunt beginnen. Ik heb wel een artikeltje voor je waar je eens naar zou kunnen kijken, maar de site van de MAA ligt momenteel plat, dus ik kan het artikel nu ook niet tevoorschijn toveren.

quote:

Het is natuurlijk ook gewoon 'goed' om eerst de Mercatorkaart hiervoor te gebruiken, en dan alsnog op basis van de bewezen conformiteit te stellen dat dit dan de hoek tussen loxodromen AE en EV moet zijn. Maar dan mis ik dat ziehiertada momentje waarmee ik in een klap de authenticiteit en de garantie op een goed cijfer veilig stel.

Ik begrijp het, maar je krijgt niets voor niets.

quote:

Met authenticiteit bedoel ik natuurlijk dat ik het niet doodleuk van internet gekopieerd heb, maar er zelf ook moeite in gestoken heb en dergelijke. En beter gezegd, dat ik het bovenal begrepen heb.

Als je dingen van mij overneemt kopieer je ook van internet. Had je daar al eens bij stilgestaan?

quote:

Ik ga deze (na)middag beginnen aan het corrigeren van het werkstuk, heb nog flink wat kanttekeningen gekregen met kleine verbeterpuntjes, veelal taalkundig en wat gevraagde explicitering.

Riparius; had jij een (hele) tijd terug een mooie post met een bewijs van 1+1 gelijk is aan 2?
Daar staat me iets van bij namelijk.

Oh, en bestaan er eigenlijk wel wiskunde vragen waar je geen antwoord op hebt? Zijn er gebieden in de wiskunde waar je minder affiniteit mee hebt?

quote:

Op donderdag 20 december 2012 21:31 schreef Borizzz het volgende:
Riparius; had jij een (hele) tijd terug een mooie post met een bewijs van 1+1 gelijk is aan 2?
Daar staat me iets van bij namelijk.

Dat was van Iblis. En nee, ik ben niet Iblis.

quote:

Oh, en bestaan er eigenlijk wel wiskunde vragen waar je geen antwoord op hebt? Zijn er gebieden in de wiskunde waar je minder affiniteit mee hebt?

Reken maar dat er vragen zijn waar ik geen antwoord op kan geven. Ik vind zelf dat ik maar betrekkelijk weinig wiskunde ken. En dat kan ook niet anders, want ik heb in een dictaat eens gelezen dat er veel meer wiskunde is dan in een mensenhoofd past. Vond ik wel een mooie gedachte.

Oh was dat Iblis. Jammer dat hij er niet meer is. Ook aan hem heb ik destijds veel gehad.
Inderdaad een zeer mooie gedachte. Maar ook filosofisch van aard. Je bent nooit uitgeleerd in de wiskunde; er valt altijd weer iets nieuws te ontdekken. Schitterend toch?

quote:

Op donderdag 20 december 2012 21:13 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dit is veel minder eenvoudig dan je denkt, en omdat je al de mist ingaat met het berekenen van wat eenvoudige schaalfactoren denk ik dat je hier beter niet aan kunt beginnen. Ik heb wel een artikeltje voor je waar je eens naar zou kunnen kijken, maar de site van de MAA ligt momenteel plat, dus ik kan het artikel nu ook niet tevoorschijn toveren.

[..]

Ik begrijp het, maar je krijgt niets voor niets.

[..]

Als je dingen van mij overneemt kopieer je ook van internet. Had je daar al eens bij stilgestaan?

[..]

Ik bedoelde klakkeloos 1 op 1. Ik denk niet dat er van een vwo'er verwacht mag worden dat hij iets nieuws uitvindt, daar moet een promovendus zich maar mee bezighouden.

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Excuses, post gemist.

quote:

Je idee dat de oppervlakte van een gebied op aarde tussen twee parallellen niet gelijk zou zijn aan de projectie daarvan op een omgeschreven cilinder met de as loodrecht op de vlakken van de parallellen klopt gewoon niet. Denk daar maar eens over na.

Stel dat ik de 2 bovenste parallellen nabij de noordpool zou nemen, en de ring zou projecteren. Dan krijg je toch een omtrek (zie de rek op de orthografische projectie in horizontale richting) van 2piR? Dit terwijl de lengte van de parallel toch veel kleiner is, vanwege zijn geografische breedte.

Daarom komt mij dit enigszins 'raar' voor.
En ik was al op de helft... En zo eenvoudig vind ik de afleiding van de verticale schaalfactor niet.

quote:

Op donderdag 20 december 2012 22:04 schreef Bram_van_Loon het volgende:
Van ... = 1/cos(x) = sec(x) zou ik gewoon ... = 1/cos(x) of ... = sec(x) maken.

Dit doet vrij weinig af aan een juist of onjuist antwoord Bram, sorry. Sterker nog, ik zou een 1/cos(x) = sec(x) zien als een vereenvoudiging, dus 'verplicht'. We laten x/x^2 toch ook niet staan wanneer we ook 1/x kunnen schrijven?

[ Bericht 7% gewijzigd door Amoeba op 20-12-2012 22:28:27 ]

Van ... = 1/cos(x) = sec(x) zou ik gewoon ... = 1/cos(x) of ... = sec(x) maken.

quote:

Op donderdag 20 december 2012 21:31 schreef Borizzz het volgende:
Riparius; had jij een (hele) tijd terug een mooie post met een bewijs van 1+1 gelijk is aan 2?
Daar staat me iets van bij namelijk.

Oh, en bestaan er eigenlijk wel wiskunde vragen waar je geen antwoord op hebt? Zijn er gebieden in de wiskunde waar je minder affiniteit mee hebt?

quote:

Op dinsdag 28 oktober 2008 22:20 schreef Iblis het volgende:

[..]

Neem de lege verzameling: {}. Definieer nu een recursieve relatie van een lijst waarbij we de opvolger van element k, zeg S(k), definiëren als S(k) = k ∪ {k}. Dan hebben we de volgende lijst: {}, {{}}, {{}, {{}} }, etc. Nu noemen we het eerste element 0. Het tweede 1, en het derde 2. Aldus construeren wij de natuurlijke getallen vanuit de lege verzameling. De symbolen gaan verder als 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, maar dit is in feite arbitrair. Doch voor nu nemen we de gebruikelijke notatie aan.

Dan zijn er nog wat definities. Zij x een natuurlijk getal, en zijn y en z dit ook. Dan, x = x, x = y dan en slechts dan y = x, verder x = y en y = z, dan x = z en als laatste, als x een natuurlijk getal is en x = x', dan is x' ook een natuurlijk getal.

Voorts stipuleren we dat {} (noemen wij ook 0) een natuurlijk getal is, en dat S(k), waarbij k een natuurlijk getal is, ook een natuurlijk getal is. Verder nemen wij aan dat er geen k is zodanig dat S(k) = {}, en ook dat als S(x) = z, en S(y) = z, dat dan x = y. (Omgekeerd volgt natuurlijk direct uit de voorgaande axiomata).

Voor het gemak duiden we de verzameling van natuurlijke getallen aan met N, dan definiëren we + : N x N -> N, met als basisstap:

+(x, {}) = x (1)
En als recursie:
+(x, S(y)) = S(+(x, y)) (2)

Soms gebruiken we ook de infix-notatie en schrijven we derhalve x + y voor +(x, y).
Let op dat deze uiteenzetting niet helemaal formeel is, maar afdoende om het idee over te brengen.

Beschouw nu: 1 + 1, ofwel +({{}}, {{}}), dit voldoet niet aan (1), dus we moeten (2) toepassen, en dit zegt dat het gelijk is aan S(+({{}}, {})). De binnenste + kan nu weer nader beken worden, en deze voldoet wel aan (1). Dit geeft dat +({{}}, {}) gelijk is aan {{}}. Dat maakt dat de vergelijking vereenvoudigt tot S({{}}), wat per definitie van S gelijk is aan {{},{{}}}, of wel 2. QED.

Dit vanuit de set-theoretische constructie van de natuurlijke getallen, en de axiomata van Peano-Arithmetica. Een minstens zo elegant bewijs kan gegeven worden middels Church-numerals in de Lambda-calculus. Uiteindelijk komt het natuurlijk meer neer op een afspraak die wij maken hoe wij bepaalde verzamelingen (of lambda-functie-expressies) kort aanduiden met een cijfer, en de opvolgingsrelatie die wij daarin veronderstellen, dat volgt dat de som van 1 + 1 inderdaad gelijk is aan de opvolger van 1. Dit correspondeert redelijk met een discreet model van dingen in de werkelijkheid. Alhoewel je zou kunnen beargumenteren dat 1 druppel samen met 1 druppel weer één druppel is, en dat bovenstaande dit niet accuraat modelleert. Voor zulke vragen, in tegen stelling tot axiomatische afleidingen moet je denk ik in een WFL topic zijn, en je zou de Principia Mathematica er eens op na kunnen slaan.

Ik ben ook wel benieuwd naar het bewijs van 1+1=2. Was dat wellicht met surreële getallen? Daarmee kan je dat soort "stellingen" wel bewijzen.

edit: oh ik zie nu dat ie hierboven al staat

[ Bericht 34% gewijzigd door thenxero op 20-12-2012 23:27:44 ]

quote:

Op donderdag 20 december 2012 22:02 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik bedoelde klakkeloos 1 op 1. Ik denk niet dat er van een vwo'er verwacht mag worden dat hij iets nieuws uitvindt, daar moet een promovendus zich maar mee bezighouden.

Dat moet je nooit zeggen. Don't sell yourself short. Ik moest toen ik dit las meteen denken aan de ontdekking van de toen 10-jarige Penny Drastik. Tot voor kort werd gedacht dat de minimale zijde van een vierkant dat je kunt verdelen in 5 rechthoekige driehoeken waarvan de zijden pythagoreïsche tripletten vormen een lengte 9000 moest hebben, maar Penny dacht daar toch anders over en kwam op de proppen met maar liefst 12 kleinere vierkanten die zich zo laten verdelen. Ze denkt ook dat het kleinste zo te verdelen vierkant een zijde 1248 moet hebben, en tot nu toe heeft niemand haar bevindingen kunnen weerleggen. Hier kun je er meer over lezen. Ook goed leesvoer voor achterlijke FOKkers die anno 2012 nog beweren dat wiskunde niets is voor meisjes.

quote:

Stel dat ik de 2 bovenste parallellen nabij de noordpool zou nemen, en de ring zou projecteren. Dan krijg je toch een omtrek (zie de rek op de orthografische projectie in horizontale richting) van 2piR? Dit terwijl de lengte van de parallel toch veel kleiner is, vanwege zijn geografische breedte.

Je vergeet te bedenken dat het aardoppervlak niet parallel loopt aan de cilinder waarop je projecteert. Naarmate je dichter bij de polen komt, correspondeert met een vaste afstand in verticale richting op de projectie een steeds grotere afstand in verticale richting (langs een meridiaan) op het aardoppervlak.

Probeer maar eens met behulp van integraalrekening af te leiden dat de oppervlakte van een bolsegment inderdaad gelijk is aan de oppervlakte van de projectie van dat segment op een omgeschreven cilinder waarvan de as loodrecht staat op de snijvlakken van het bolsegment.

Aanwijzing: heb je de grafiek van een functie y = f(x) met f(x) ≥ 0 op een interval [a,b], dan is de manteloppervlakte van het omwentelingslichaam verkregen door de grafiek van f op het interval [a,b] rond de x-as te wentelen gelijk aan:

2π∙∫_a^b f(x)∙√(1 + (f'(x))²)dx

Kies een r > 0 en f(x) = √(r² - x²) op [-r,r]. De grafiek van deze functie is uiteraard een halve cirkel met middelpunt in de oorsprong en straal r, zodat je bij wenteling om de x-as een bol krijgt met straal r. Je kunt nu integreren over een interval [p, p+h] met -r ≤ p < p+h ≤ r en dan zul je zien dat de oppervlakte van een bolsegment met hoogte h gelijk is aan 2πrh, en dus onafhankelijk van p en daarmee onafhankelijk van de positie van het segment in de bol.

quote:

Dit doet vrij weinig af aan een juist of onjuist antwoord Bram, sorry. Sterker nog, ik zou een 1/cos(x) = sec(x) zien als een vereenvoudiging, dus 'verplicht'. We laten x/x^2 toch ook niet staan wanneer we ook 1/x kunnen schrijven?

De secans en cosecans worden tegenwoordig op het vasteland van Europa vrijwel niet meer gebruikt. In de VS (en in mindere mate in het Verenigd Koninkrijk) wel, en daar is een heel banale reden voor: meestal schrijft men daar sin^-1x en cos^-1x voor resp. arcsin x en arccos x, zodat de multiplicatieve inversen van sin x en cos x dus niet zo kunnen worden genoteerd en men daarom maar csc x en sec x handhaaft. Om dezelfde reden is de cotangens nog altijd 'populair' in de VS omdat men tan^-1x schrijft voor arctan x. Uiteraard zou men er beter aan doen de misleidende notaties voor de inversen van de goniometrische functies (in 1813 geïntroduceerd door de Britse wiskundige en astronoom J.F.W. Herschel, 1792-1871) eindelijk eens af te schaffen.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 21-12-2012 03:56:26 ]

Bedankt nog voor de uitleg van de vergelijkingen ik heb er een 10 voor gehaalt!!

quote:

Op donderdag 20 december 2012 22:54 schreef thenxero het volgende:
Ik ben ook wel benieuwd naar het bewijs van 1+1=2. Was dat wellicht met surreële getallen? Daarmee kan je dat soort "stellingen" wel bewijzen.

edit: oh ik zie nu dat ie hierboven al staat

De geïnteresseerden in 1+1=2 kan ik aanraden om eens dit artikel te lezen. Het enige wat je nodig hebt is verzamelingen en een gezonde dosis logica. Daarmee worden getallen geconstrueerd waaruit allerlei basale eigenschappen zijn af te leiden. Ik vond het erg leuk om te lezen .

quote:

Ook goed leesvoer voor achterlijke FOKkers die anno 2012 nog beweren dat wiskunde niets is voor meisjes.

Helaas denken ook veel meisjes dat nog.

quote:

Op vrijdag 21 december 2012 13:16 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Helaas denken ook veel meisjes dat nog.

Ik denk dat dit komt door de manier waarop wiskunde aan hen gepresenteerd wordt op het middelbaar onderwijs. Rijtjes sommen maken die uiteindelijk tot niets leiden. Als die Riparius zijn definitie van waardeloze wiskunde-educatie is, dan geef ik hem gelijk. Zeker in de eerste 4 jaar kom je binnen het vak wiskunde niets tegen dat je inspireert om verder te gaan. En daarnaast zal de diepgang ook wel missen, alhoewel je dat wel toe kunt schrijven aan het bovenstaande en iets van onwil.

Riparius, ik ga je post nog een keer doornemen, vandaag weinig tijd. Knap wat Penny heeft gepresteerd, je hebt gelijk over mijn uitspraak.

Misschien hier iemand die hier uit komt?

Laat zien via het minimalisatie probleem



dat een eigenwaarde voor A bestaat.

(A een symmetrische n-bij-n matrix , x een kolomvector)