[Centraal] Bèta huiswerk en vragen topic

quote:

Op dinsdag 17 oktober 2006 19:07 schreef midje het volgende:
nee dat is het.. ik dacht zelf iets met de grafiek die je van Fv en u kan tekenen. die gaat als het goed is rechtsschuin omhoog zegmaar. en dat je dan met die 0.5 de oppervlakte onder de grafiek kan berekenen en dat je daar ev uit haalt

Zo moet het ook De arbeid is F*s, oftewel Fv * u. Je berekent dus eigenlijk de oppervlakte van die grafiek.

Jopie: bij 1 t/m 3 de substitutieregel gebruiken (bij 3 evt eerst teller en noemer met e^x vermenigvuldigen), bij 4 een integraal maken waarbij je naar de tijd integreert en de hoeveelheid die binnenkomt in de integrand zetten.

midje: Als Fv ~ u dan is Fv recht evenredig met u (door de oorsprong dus), en kun je schrijven dat c = Fv/u.
We kunnen afleiden dat E_veer = 1/2 c u² (eenvoudig in te zien als oppervlak van een driehoek), substitueren levert E_veer = 1/2 Fv u.

[ Bericht 19% gewijzigd door GlowMouse op 17-10-2006 19:21:17 ]

quote:

Op dinsdag 17 oktober 2006 19:15 schreef GlowMouse het volgende:
Jopie: bij 1 t/m 3 de substitutieregel gebruiken (bij 3 evt eerst teller en noemer met e^x vermenigvuldigen), bij 4 een integraal maken waarbij je naar de tijd integreert en de hoeveelheid die binnenkomt in de integrand zetten.

Ik weet dat ik de substitutieregel moet gebruiken maar heb geen flauw idee hoe

ok volgende vraag. beetje lastig practicum dit.

Ik moet aantonen dat voor de warmte, die door de wrijvingskracht ontstaat geldt dat Q = f x m x g x X
daarin is f de wrijvingscoëfficiënt, m de massa van een schijf en X de afstand die de schijf aflegt wanneer hij met een bepaalde kracht weggeschoten wordt.

niemand...?

Jopie: ik zal de eerste voordoen. Neem u = x². Dan du/dx= 2x ofwel dx = 1/2x du. Invullen levert integraal 1/2sin(u) du. De primitieve is -1/2cos(u). Terugsubstitueren levert dat de primitieve van de oorspronkelijke functie -1/2cos(x²) is.

midje: kijk eens naar de definitie cq eenheid van de wrijvingscoëfficient.

quote:

Op dinsdag 17 oktober 2006 17:59 schreef Jopie_Pringle het volgende:
Mijn wiskundige inzicht laat me weer eens in de steek :


[afbeelding]


Alvast bedankt!

Je kunt alle drie de integralen simpel oplossen, zonder substitutie als je maar even de kettingregel in gedachten houdt.

1. x∙sin(x²) : Je weet dat de afgeleide van cos(x) gelijk is aan -sin(x). Dus proberen we eerst cos(x²). De afgeleide hiervan (kettingregel) is -2x∙sin(x²). Dat is bijna goed op een factor -½ na. De gezochte primitieve is dus -½∙cos(x²).

2. sin(2x)/(1 + cos²x): Je weet dat 1/x de afgeleide is van ln(x). Daarom proberen we hier eerst ln(1 + cos²x). De afgeleide hiervan (kettingregel) is 1/(1 + cos²x) ∙ 2cos(x) ∙ -sin(x). Nu is volgens een bekende goniometrische identiteit sin(2x) = 2∙sin(x)∙cos(x), dus zien we dat we weer bijna goed zitten, op een factor -½ na. De gezochte primitieve is dus -½∙ln(1 + cos²x).

3. 1/(e^x + e^-x). Hier vermenigvuldigen we eerst even teller en noemer van de breuk met e^x om zodoende e^-x = 1/e^x in de noemer kwijt te raken. We krijgen dan e^x / (e^2x + 1). Als je een beetje goed bent in het herkennen van patronen en ziet dat e^2x het kwadraat is van e^x dan kun je denken aan arctan(x), waarvan de afgeleide immers is: 1/(x² + 1). We proberen dus arctan(e^x) en dit levert via de kettingregel inderdaad de gewenste afgeleide op.

Voor de vierde opgave moet je eerst een vergelijking opstellen die aangeeft wat de nog openstaande oppervlakte is op een tijdstip t tijdens het dichtschuiven van de deksel. Vervolgens kun je dan berekenen hoeveel water er in de bak valt gedurende een heel klein tijdsinterval [t, t+Δt] waarbij je aanneemt dat de deksel in dit heel kleine tijdsinterval niet noemenswaardig verschuift. De hoeveelheid water in al deze deelintervalletjes moet je sommeren om de totale hoeveelheid water die in de bak valt te bepalen. Door Δt naar 0 te laten gaan verkrijg je dan een integraal en oplossing hiervan levert de totale hoeveelheid water die tijdens het dichtschuiven van de deksel in de bak valt. Nu mag je het verder weer even zelf proberen.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 17-10-2006 23:21:25 ]

quote:

Op dinsdag 17 oktober 2006 23:15 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je kunt alle drie de integralen simpel oplossen, zonder substitutie als je maar even de kettingregel in gedachten houdt.

Met die redenatie hoef je nooit te substitueren. Dit terwijl substitueren een integraal vaak zoveel eenvoudiger maakt.

quote:

Op dinsdag 17 oktober 2006 23:26 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

Met die redenatie hoef je nooit te substitueren. Dit terwijl substitueren een integraal vaak zoveel eenvoudiger maakt.

Nee dat beweer ik niet. Kijk maar eens hier voor de uitwerking van een integraal waarbij je er echt niet komt zonder (meervoudige) substitutie.

Zijn er hier ook mensen die ervaring hebben met mathematica.

Ik heb een stelsel vergelijkingen, waar ik de volgende oplossing uit moet destileren.
{{U}*v+{V}} = 0 en v =| 0

Ik weet dat het kan door het determinant te nemen, en dan oplossen voor v. Dit gaat prima voor een 12x12 matrix (in mijn geval) maar bij een 14x14 matrix gaat het al mis. Resultaten komen dan niet overheen met de verwachting. En ik wil hem nog gebruiken voor een 50x50

Iemand die kan helpen?

quote:

Op dinsdag 17 oktober 2006 23:15 schreef Riparius het volgende:
Je kunt alle drie de integralen simpel oplossen, zonder substitutie als je maar even de kettingregel in gedachten houdt.

Substitutie is het integrale equivalent van de kettingregel bij differentieren. En bovendien is het gebruik van de substitutie regel in de bovenstaande integralen veel gemakkelijker en sneller dan het "proberen" van de juiste functies. Wat jij hierboven in jouw antwoorden doet is in feite gewoon de substitutie regel toepassen in een wat minder rigoreuze vorm.

quote:

Op woensdag 18 oktober 2006 16:55 schreef FoRAiN het volgende:
Zijn er hier ook mensen die ervaring hebben met mathematica.

Ik heb een stelsel vergelijkingen, waar ik de volgende oplossing uit moet destileren.
{{U}*v+{V}} = 0 en v =| 0

Ik weet dat het kan door het determinant te nemen, en dan oplossen voor v. Dit gaat prima voor een 12x12 matrix (in mijn geval) maar bij een 14x14 matrix gaat het al mis. Resultaten komen dan niet overheen met de verwachting. En ik wil hem nog gebruiken voor een 50x50

Iemand die kan helpen?

Ik heb een beetje ervaring met Mathematica. Als ik je goed begrijp dan wordt er voor de grotere matrix wel een oplossing gevonden maar niet de juiste? Dan lijkt me, uitgaande van de weinige info die gegeven hebt, dat er problemen optreden met de numerieke nauwkeurigheid (wat een bekend fenomeen is voor grote stelsels en puur numerieke input). Ik meen eens gezien te hebben dat er een speciale methode, iets van "SparseArray" oid, is voor dit soort dingen die daarmee rekening houdt als je een ijle matrix hebt (dwz dat er relatief veel nulelementen in voorkomen), is dat idd het geval?

quote:

Op donderdag 19 oktober 2006 01:19 schreef keesjeislief het volgende:

[..]

Ik heb een beetje ervaring met Mathematica. Als ik je goed begrijp dan wordt er voor de grotere matrix wel een oplossing gevonden maar niet de juiste? Dan lijkt me, uitgaande van de weinige info die gegeven hebt, dat er problemen optreden met de numerieke nauwkeurigheid (wat een bekend fenomeen is voor grote stelsels en puur numerieke input). Ik meen eens gezien te hebben dat er een speciale methode, iets van "SparseArray" oid, is voor dit soort dingen die daarmee rekening houdt als je een ijle matrix hebt (dwz dat er relatief veel nulelementen in voorkomen), is dat idd het geval?

Dat is ie zeker zie hieronder.En mijn vermoeden was ook numerieke nauwkeurigheid.

quote:

Op dinsdag 17 oktober 2006 19:30 schreef midje het volgende:
ok volgende vraag. beetje lastig practicum dit.

Ik moet aantonen dat voor de warmte, die door de wrijvingskracht ontstaat geldt dat Q = f x m x g x X
daarin is f de wrijvingscoëfficiënt, m de massa van een schijf en X de afstand die de schijf aflegt wanneer hij met een bepaalde kracht weggeschoten wordt.

Hierin is mg de zwaartekracht en ook de normaal kracht (bij een horizontale baan), de wrijvingskracht is _{(onder voorwaarden bij benadering)} recht evenredig met de normaalkracht. En de arbeid verricht door de wrijvingskracht is warmte, deze arbeid is de integraal over het pad.

F_N = F_G = m g
F_wr = f F_N = f m g
Q = W = Integraal^X₀ (F_wr . dx) = f m g X

Mag ik er vanuitgaan dat bij de volgende opgave de partiële druk = 0,25 bar, aangezien de molfractie van één enkele stof (dus wanneer er geen reactie plaatsvindt) gewoon 1 is?

"bereken de absolute entropy S van de volgende systemen"
2,5 mol argon bij p = 0,25 bar

[ Bericht 43% gewijzigd door vliegtuigje op 19-10-2006 21:24:39 ]

quote:

Op donderdag 19 oktober 2006 10:46 schreef FoRAiN het volgende:

[..]

Dat is ie zeker zie hieronder.En mijn vermoeden was ook numerieke nauwkeurigheid.

[afbeelding]

Wat moet ik met dat grote kruiswoordraadsel? Heb je gekeken in de documentatie bij LinearSolve? Daar staat dat er speciaal voor ijle systemen twee methoden zijn, nl. "Multifrontal" en "Krylov" (versie 5.1), misschien dat je daarmee verder komt?

quote:

Op donderdag 19 oktober 2006 21:27 schreef keesjeislief het volgende:

[..]

Wat moet ik met dat grote kruiswoordraadsel? Heb je gekeken in de documentatie bij LinearSolve? Daar staat dat er speciaal voor ijle systemen twee methoden zijn, nl. "Multifrontal" en "Krylov" (versie 5.1), misschien dat je daarmee verder komt?

De kruiswoord puzzel, is de listdensityplot van mijn matrix.. een 0 is wit. Maar de oplossing is al gevonden.

quote:

Op vrijdag 20 oktober 2006 19:11 schreef FoRAiN het volgende:

[..]

De kruiswoord puzzel, is de listdensityplot van mijn matrix.. een 0 is wit. Maar de oplossing is al gevonden.

En die was?

quote:

Op vrijdag 20 oktober 2006 21:21 schreef keesjeislief het volgende:

[..]

En die was?

De oplossing is

LinearSolve[U,-V] ==> krijg je een n x n matrix waar U*x=-V
Eigenvalues[%] ==> hiermee krijg je de eigenwaarden van x
Min[Select[Cases[%,_Real],Positive]] ==> hiermee krijg je de laagste positive reeele antwoord

Eigenlijk best makkelijk, maar je moet er maar op komen

quote:

Op vrijdag 20 oktober 2006 22:07 schreef FoRAiN het volgende:

[..]

De oplossing is

LinearSolve[U,-V] ==> krijg je een n x n matrix waar U*x=-V
Eigenvalues[%] ==> hiermee krijg je de eigenwaarden van x
Min[Select[Cases[%,_Real],Positive]] ==> hiermee krijg je de laagste positive reeele antwoord

Eigenlijk best makkelijk, maar je moet er maar op komen

Ok, maar ik bedoelde eigenlijk of je hebt uitgevonden waarom het in eerste instantie fout ging voor grotere matrices?

Bij het hoofdstuk hogere afgeleiden van infinitesimaalrekening (1e jaars natuurkunde/wiskunde) kom ik niet uit de volgende vraag:

Leid af:

voor k >= 2.

Ik heb al geprobeerd (sinx)^k te schrijven als sinx * (sinx)^(k-1) en dan partieel integreren toe te passen, maar dat bood helaas geen soelaas.

Wie helpt me?

Voor k=2 staat er primitieve sin²x dx = -1/2 cos(x)sin(x) + 1/2x + c.
Als we het rechterlid differentieren, krijgen we 1/2-1/2 cos(2x). Dit lijkt me niet kloppen.

[ Bericht 0% gewijzigd door GlowMouse op 21-10-2006 20:01:43 ]

quote:

Op zaterdag 21 oktober 2006 19:50 schreef GlowMouse het volgende:
Voor k=2 staat er primitieve sin²x dx = -1/2 cos(x)sin(x) + 1/2x + c.
Als we het rechterlid differentieren, krijgen we 1/2-1/2 cos(2x). Dit lijkt me niet kloppen.

Het klopt WEL voor k=2. Je differentieert niet goed. De afgeleide van het rechterlid is:

-½∙-sin(x)∙sin(x) - ½∙cos(x)∙cos(x) + ½ = ½∙sin²(x) - ½∙cos²(x) + ½

Voor die ½ kun je schrijven ½∙cos²(x) + ½∙sin²(x). Zie je het nu?

quote:

Op zaterdag 21 oktober 2006 19:21 schreef Oscar_de_Grouch het volgende:
Bij het hoofdstuk hogere afgeleiden van infinitesimaalrekening (1e jaars natuurkunde/wiskunde) kom ik niet uit de volgende vraag:

Leid af:
[afbeelding]
voor k >= 2.

Ik heb al geprobeerd (sinx)^k te schrijven als sinx * (sinx)^(k-1) en dan partieel integreren toe te passen, maar dat bood helaas geen soelaas.

Wie helpt me?

Hint: maak gebruik van sin^k(x) = sin²(x)∙sin^k-2(x) = sin^k-2(x) - cos²(x)∙sin^k-2(x).

quote:

Op zaterdag 21 oktober 2006 20:16 schreef Riparius het volgende:
[..]
Het klopt WEL voor k=2. Je differentieert niet goed.

Ik begon te vroeg met omschrijven zodat je niet sin² niet direct terugzag. Het klopt wel, maar 1/2-1/2 cos(2x) is gelijk aan sin²x (op zich ook logisch uit de identiteit cos(2x) = 1-2sin²x).

quote:

Op zaterdag 21 oktober 2006 19:21 schreef Oscar_de_Grouch het volgende:
Bij het hoofdstuk hogere afgeleiden van infinitesimaalrekening (1e jaars natuurkunde/wiskunde) kom ik niet uit de volgende vraag:

Leid af:
[afbeelding]
voor k >= 2.

Ik heb al geprobeerd (sinx)^k te schrijven als sinx * (sinx)^(k-1) en dan partieel integreren toe te passen, maar dat bood helaas geen soelaas.

Wie helpt me?

Populaire vraag blijkbaar, zie hier.

quote:

Op woensdag 25 oktober 2006 23:03 schreef TomD het volgende:

[..]

Populaire vraag blijkbaar, zie hier.

Ach, het is gewoon een heel bekende (recursieve) formule uit de integraalrekening en altijd een goede oefening in het partieel integreren en het omgaan met goniometrische functies. Ik had trouwens een iets andere afleiding dan in de link die je geeft, als volgt:

Aangezien cos²(x) + sin²(x) = 1 hebben we sin^k(x) = sin^k-2(x)∙sin²(x) = sin^k-2(x) - sin^k-2(x)∙cos²(x) en dus:

(1) ∫ sin^k(x)∙dx = ∫ sin^k-2(x)∙dx - ∫ sin^k-2(x)∙cos²(x)∙dx

De eerste integraal in het rechterlid laten we staan, en de tweede gaan we nu herleiden met partiële integratie. De afgeleide van f(x)∙g(x) is f'(x)∙g(x) + f(x)∙g'(x), zodat:

∫ f'(x)∙g(x)∙dx = f(x)∙g(x) - ∫ f(x)∙g'(x)∙dx

De afgeleide van sin^k-1(x) (met k>1) is (k-1)∙sin^k-2(x)∙cos(x) (kettingregel), zodat omgekeerd (1/(k-1))∙sin^k-1(x) een primitieve is van sin^k-2(x)∙cos(x). We kiezen dus f'(x) = sin^k-2(x)∙cos(x) zodat f(x) = (1/(k-1))∙sin^k-1(x) en g(x) = cos(x) zodat g'(x) = -sin(x). We hebben dan:

∫ sin^k-2(x)∙cos²(x)∙dx = (1/(k-1))∙sin^k-1(x)∙cos(x) - ∫ (1/(k-1))∙sin^k-1(x)∙-sin(x)∙dx

Door de constante (1/(k-1)) en het minteken voor het integraalteken te brengen is dit te schrijven als:

(2) ∫ sin^k-2(x)∙cos²(x)∙dx = (1/(k-1))∙sin^k-1(x)∙cos(x) + (1/(k-1))∙∫ sin^k(x)∙dx

Substitutie van (2) in (1) levert nu:

∫ sin^k(x)∙dx = ∫ sin^k-2(x)∙dx - (1/(k-1))∙sin^k-1(x)∙cos(x) - (1/(k-1))∙∫ sin^k(x)∙dx

Brengen we nu de term met ∫ sin^k(x)∙dx uit het rechterlid over naar het linkerlid en bedenken we dat 1 + (1/(k-1)) = ((k-1)/(k-1)) + (1/(k-1)) = k/(k-1) dan hebben we:

k/(k-1)∙∫ sin^k(x)∙dx = -(1/(k-1))∙sin^k-1(x)∙cos(x) + ∫ sin^k-2(x)∙dx

Vermenigvuldiging van beide leden met (k-1)/k levert dan:

∫ sin^k(x)∙dx = -(1/k)∙sin^k-1(x)∙cos(x) + ((k-1)/k)∙∫ sin^k-2(x)∙dx

QED

beschouw een "functie" met een perfect vertikale raaklijn in punt a.
=>
f'( a) niet gedefinieerd is en limx->a f'( x) = +/- oneindig.

Nu, best voor mijn vraag is als je zo een functie grafisch voorstelt.
Mijn vraag, is zo iets wel een functie. Om een vertikale raaklijn te hebben heb je toch 2 (infenitesimaal dichte) punten nodig met dezelfde x-coördinaat?

Mijn redenering is vrij intuïtief, kan iemand mij een rationeel onderbouwd antwoord geven ? Dank!

quote:

Op zaterdag 28 oktober 2006 12:21 schreef Masanga het volgende:
beschouw een "functie" met een perfect vertikale raaklijn in punt a.
=>
f'( a) niet gedefinieerd is en limx->a f'( x) = +/- oneindig.

Nu, best voor mijn vraag is als je zo een functie grafisch voorstelt.
Mijn vraag, is zo iets wel een functie. Om een vertikale raaklijn te hebben heb je toch 2 (infinitesimaal dichte) punten nodig met dezelfde x-coördinaat?

Nee, dat is niet zo, want je kunt bijv. een functie hebben waarvan de grafiek een buigpunt heeft met een verticale raaklijn in het buigpunt.

Een bekend voorbeeld is de functie f(x) = x^1/3. Deze functie is continu in x=0 maar niet differentieerbaar in x=0. Zie hier.

iemand enig idee hoe ik de integraal van cos(x^(1/3)) uitreken? Ik moet het morgen inleveren, maar heb echt geen idee hoe ik dit oplos....

quote:

Op zondag 29 oktober 2006 21:38 schreef Asmodean het volgende:
iemand enig idee hoe ik de integraal van cos(x^(1/3)) uitreken? Ik moet het morgen inleveren, maar heb echt geen idee hoe ik dit oplos....

Je past eerst een substitutie toe, en wel z = x^1/3. Dan is x = z³ dus dx/dz = 3∙z². De integraal is daarmee herleid tot:

∫ 3∙z²∙cos(z)∙dz

Nu kun je (herhaald) gebruik maken van partiële integratie om deze integraal verder op te lossen. Hierbij kun je gebruik maken van:



en:

quote:

Op zondag 29 oktober 2006 21:56 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je past eerst een substitutie toe, en wel z = x^1/3. Dan is x = z³ dus dx/dz = 3∙z². De integraal is daarmee herleid tot:

∫ 3∙z²∙cos(z)∙dz

Nu kun je (herhaald) gebruik maken van partiële integratie om deze integraal verder op te lossen. Hierbij kun je gebruik maken van:

[afbeelding]

en:

[afbeelding]

ah, na een hele tijd van alles proberen is het nu eindelijk duidelijk. Hartelijk bedankt

Wie kan mij helpen met een vraagje over optimalisering?? Het gaat om 't volgende:

We hebben het systeem:

x'₁(t) = -x₁(t) + u(t)
x'₂(t) = x₁(t)

met 0 <= u(t) <= 1 voor alle t. Verder x₁(0) = x₂(0) = 0.

Nu is de vraag: Maximaliseer: 2 x₂(1) + x₁(1).

Dit moet gebeuren aan de hand van Pontryagin's minimum principe. Ik hb al wat zitten rekenen, maar dat heeft tot niets geleid.

Wie kan mij hiermee op weg helpen???

Even wat vraagjes:

Ik heb deze vergelijking:
3X^2 + 6x -16 = 0

Ik moet het algebraisch uitrekenen maar ik krijg het maar niet voor elkaar.

fp(x) = X^3 + 2px^2 + px

a. Bewijs dat elke functie fp ten hoogste 1 nulpunt heeft met een positieve waarde van x
b Voor welke waarden van p het fp precies 1 extreme waarde
c voor welke waarden van p heeft de grafiek van fp een buigpunt met daarin een horizontale raaklijn?

Heb nog nooit zoiets gehad met 2 variabelen, dus als iemand mij een beetje op weg kan helpen lukt het wel

quote:

Op maandag 30 oktober 2006 17:11 schreef HomerJ het volgende:
Even wat vraagjes:

Ik heb deze vergelijking:
3X^2 + 6x -16 = 0

Ik moet het algebraisch uitrekenen maar ik krijg het maar niet voor elkaar.

Je formulering algebraïsch uitrekenen is onduidelijk, maar ik neem aan dat je bedoelt dat je niet van de abc formule gebruik mag maken.

Welnu, je kunt dan de methode van kwadraatafsplitsing gebruiken (in het engels heet dat overigens completing the square, voor het geval je dat na wil zoeken op internet).We delen eerst beide leden door 3 om de factor van x² kwijt te raken en krijgen dan:

x² + 2x - 16/3 = 0

Nu de constante term naar het rechterlid overbrengen:

x² + 2x = 16/3

Nu halveer je de coefficiënt van x, kwadrateer je die en tel je die bij beide leden op. Waarom? Wel we hebben (x+1)² = x² + 2x + 1, dus als we nu bij beide leden 1 optellen dan kunnen we het linkerlid herschrijven als een kwadraat, dus:

x² + 2x = 16/3

x² + 2x +1 = 16/3 + 1

(x+1)² = 19/3

Nu kun je deze vergelijking verder wel zelf oplossen: (x+1) is gelijk aan plus of min de vierkantswortel uit 19/3.

quote:

fp(x) = X^3 + 2px^2 + px

a. Bewijs dat elke functie fp ten hoogste 1 nulpunt heeft met een positieve waarde van x
b Voor welke waarden van p het fp precies 1 extreme waarde
c voor welke waarden van p heeft de grafiek van fp een buigpunt met daarin een horizontale raaklijn?

Heb nog nooit zoiets gehad met 2 variabelen, dus als iemand mij een beetje op weg kan helpen lukt het wel

Je kunt een x buiten haakjes halen en de functie herschrijven als:

f_p(x) = x(x² + 2px + p)

Je ziet dat elke functie f_p een nulpunt heeft voor x=0. Om de (eventuele) overige nulpunten te bepalen moeten we het deel tussen haakjes gelijk aan nul nemen, dus:

x² + 2px + p = 0

Dit is gewoon een vierkantvergelijking, die je eenvoudig met kwadraatafsplitsing kunt behandelen. We hebben:

x² + 2px = -p

Kwadraat completeren door links en rechts p² op te tellen:

x² + 2px + p² = p² - p

Linkerlid herschrijven als kwadraat:

(x+p)² = p² - p

Nu kan een kwadraat (van een reëel getal) niet negatief zijn, en dus moet p² - p groter of gelijk aan 0 zijn. Deze uitdrukking is gelijk aan 0 als p=0 of als p=1 en positief als p<0 of als p>1. In dat geval hebben we als oplossingen van de vergelijking:

x₁ = -p + √(p² - p) en x₂ = -p - √(p² - p)

Nu kun je (hoop ik) inzien dat voor p > 1 beide wortels negatief zijn, en dat voor p<0 één wortel positief is en één wortel negatief. Daarmee is (a) beantwoord.

Voor (b) bepalen we eerst de afgeleide van f_p, die is:

f_p'(x) = 3x² + 4px + p

Als er precies 1 extreme waarde moet zijn, dan moet er dus ook precies één waarde van x zijn waarvoor geldt f_p'(x) = 0. Er wordt dus gevraagd voor welke waarde(n) van p de vergelijking

3x² + 4px + p = 0

precies één oplossing heeft. Dat is het geval als de discriminant D = b² - 4ac van deze vierkantsvergelijking gelijk is aan 0, dus:

(4p)² - 4∙3∙p = 0

16p² - 12p = 0

p(16p - 12) = 0

p = 0 of p = 3/4

Daarmee zijn we er nog niet, want voor een (locaal) minimum of maximum moet ook nog voldaan worden aan de voorwaarde dat de tweede afgeleide voor de betreffende waarde van x niet gelijk is aan nul, en daarover gaat dan ook het derde deel van je opgave.

Voor opgave (c) moet je ook de tweede afgeleide van f_p(x) bepalen, deze is:

f_p''(x) = 6x + 4p

In een buigpunt is de tweede afgeleide gelijk aan 0, dat is het geval als 6x + 4p = 0, dus x = -(2/3)∙p.

Maar nu wordt gevraagd naar buigpunten met een horizontale raaklijn, en dat betekent dat voor deze waarde van x ook de eerste afgeleide gelijk moet zijn aan 0. We substitueren dus x = -(2/3)∙p in f_p'(x) = 0 en krijgen dan:

3∙((-2/3)∙p)² + 4∙p∙((-2/3)∙p) + p = 0

(12/9)∙p² - (8/3)∙p² + p = 0

- (4/3)∙p² + p = 0

p(1 - (4/3)∙p) = 0

p = 0 of p = 3/4

Je ziet dat dit precies de waarden van p zijn waarvoor er één extreme waarde zou kunnen zijn. Maar aangezien we voor deze waarden van p een buigpunt hebben met een horizontale raaklijn is de conclusie dat er geen waarden van p zijn waarvoor de functie f_p(x) precies één extreme waarde bezit.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 30-10-2006 23:17:44 ]

Woh, dit is meer dan ik gehoopt had

Heel erg bedankt

is er iemand hier ook goed in differentiaal vergelijkingen, en dan met name vectoren?

hoi
ik heb een vraagje over deze functie:
f(x)=x^x
vraag 1: toon aan f is strict stijgend op [e^-1, oo) dit is niet moeilijk, gewoon afgeleide uitrekenen en kijken wanneer di e groter is dan nul .
vraag 2: als g de inverse is van f. laat zien dat
lim ( y --> oo) (g(y)ln(lny))/lny= 1
de hint is: begin met y=x^x dan
lny=xlnx.

alvast bedankt

Maar als je dat gewoon substitueert, dan rolt het antwoord het toch uit? y->oo is equivalent met x->oo.

mmm, ik dacht te moeilijk!
dus stel je moet bijv uitrekenen wat
lim ( y --> oo) (g(y)ln(lny))/lny
met g de inverse van lnx.
dan mag je gewoon subsitueren: y =x^x

thanks

quote:

Op dinsdag 31 oktober 2006 20:47 schreef teletubbies het volgende:
mmm, ik dacht te moeilijk!
dus stel je moet bijv uitrekenen wat
lim ( y --> oo) (g(y)ln(lny))/lny
met g de inverse van lnx.
dan mag je gewoon subsitueren: y =x^x

thanks

Als functie g de inverse is van functie f en je hebt y = f(x), dan is x = g(y).

Probleem is alleen dat je nu weer iets anders beweert dan vanmiddag, want toen zei je dat g de inverse was van de functie f(x) = x^x en nu zeg je dat g de inverse is van ln(x), maar dat is toch echt iets anders. Ik vraag me dus wel een beetje af of je weet waar je mee bezig bent.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 01-11-2006 00:48:15 ]

Een ogenschijnlijk simpel probleem, maar ik kom er niet uit en van mijn boek word ik helaas niet veel wijzer.

De vergelijking: x² + y² = 25
Dit wordt:
2x + 2yy' = 0
y' = -2x/2y = -x/y
dy/dx = -(x/y)

Nu moet ik de raaklijn weten in het punt (3,4). Dus invullen:
dy/dx = -3/4.

Ik snap echter totaal niet hoe het boek nu aan het volgende komt:

quote:

An equation of the tangent to the circle at (3,4) is therefore: y - 4 = -3/4(x-3) or 3x+4y = 25

Hoe komen ze nou aan de vergelijking voor die raaklijn?