[Centraal] Bèta huiswerk en vragen topic

quote:

Op donderdag 17 augustus 2006 18:10 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Maar waarom spreken ze dan over de raakruimte, en niet over de ruimte zelf? Ik kan daar trouwens ook niet zoveel over vinden in de door jou aangegeven dictaten

Dat komt ook omdat het dictaten zijn over groepentheorie en niet over differentiaalmeetkunde. . De raakruimte is een vectorruimte, heel mooi lineair en zo. De ruimte zelf zit weer een stuk ingewikkelder in elkaar. Nu is het zo dat je een hoop eigenschappen van de ingewikkelde Liegroep G kunt bestuderen door naar z'n raakruimte, de veel eenvoudigere Lie-algebra g, te kijken.

quote:

Mja, hier kan ik me dus weinig bij voorstellen. Wat is dan precies 'de raakruimte aan het eenheidselement van G'? Is dat dezelfde raakruimte als dat ze in differentiaalgeometrie gebruiken?

Dit is inderdaad dezelfde raakruimte als in de theorie van manifolds. Dit komt omdat een Lie groep G gedefinieerd is als een manifold G die ook een groepsstructuur bezit met de eigenschap dat de multiplicatie en inverse afbeeldingen differentieerbaar zijn.

quote:

Op donderdag 17 augustus 2006 17:06 schreef Haushofer het volgende:
Maar bij raakruimtes denk ik gelijk aan gekromde oppervlaktes. Nou snap ik dat er met manifolden wordt gewerkt en dergelijke, maar waarom wordt hier gesproken over raakruimtes? Doet dat pas ter sprake als je een metriek definieert op je manifold die niet constant is ofzo? ( daar de raakruimte in een punt van een manifold met constante metriek de gehele manifold is ) ? Of denk ik nou helemaal verkeerd?

Het lijkt er inderdaad op dat je de echte definitie van een manifold niet weet. Een manifold is namelijk een topologische ruimte X met daarbij een (maximale) atlas. Een atlas is een collectie van kaarten, met de eigenschap dat deze kaarten heel X overdekken. Een kaart is namelijk een tripel (U, h, U') waarbij U in X zit, U' in de R^n zit en waarbij h: U - > U' een homeomorfisme is. In wat simpele woorden betekent dit dat je een overdekking van X kan kiezen met de eigenschap dat elke open verzameling uit je overdekking homeomorf is met de euclidische ruimte.

Hoe zou je nu de raakruimte aan een punt p van je varieiteit X definieren. Je kan dit op een aantal verschillende manieren doen, namelijk via derivaties, via differentieren van krommen of met de ricci calculus. Ik zal hier de meest intuitieve methode uitleggen, namelijk die met de krommen.

Beschouw nu alle krommen g in X waarvoor geldt dat g(0) = p en beschouw een kaart (U,h,U') rondom p. Dan kunnen we de raakruimte definieren als de ruimte die bestaat uit equivalentieklassen van krommen die aan de equivalentierelatie g_1 ~ g_2 <=> d/dt ( h(g_1(p)) ) = d/dt ( h(g_2(p)) ). Dus je beschouwt twee krommen als equivalent als ze dezelfde raakvector hebben aan het punt p. Je kan ook bewijzen dat deze definitie van de raakruimte onafhankelijk is van de kaart die je kiest.

Als voorbeeld kunnen we X = R^n nemen en als atlas de kaart (R^n, id, R^n), Als we nu een submanifold bekijken van de R^n, bijvoorbeeld een 2-dimensionaal oppervlak, dan is de raakruimte aan een punt p van dat oppervlak gewoon de vectorruimte die bestaat uit alle raakvectoren aan het punt p.

[ Bericht 8% gewijzigd door Pietjuh op 17-08-2006 21:29:59 ]

In principe zijn manifolds en groepen twee totaal verschillende dingen, die echter bijelkaar komen in de theorie van de Liegroepen. Om Liegroepen te begrijpen moet je dus eerst zorgen dat je zowel differentiaalmeetkunde als groepentheorie kent.

Bepaal wortel i

i^1/2 = ?

ik kom hier niet echt uit.... er moet een reëel gedeelte en een imaginair gedeelte uitkomen.

Z = a + ib daar moet ik iets mee doen maar ik zit al een uur zo:

quote:

Op zondag 20 augustus 2006 17:30 schreef DaDude1987 het volgende:
Bepaal wortel i

i^1/2 = ?

ik kom hier niet echt uit.... er moet een reëel gedeelte en een imaginair gedeelte uitkomen.

Z = a + ib daar moet ik iets mee doen maar ik zit al een uur zo:

Je kunt het op 2 manieren aanpakken. Een manier is de zaak in poolcoordinaten schrijven. Een andere manier is de vergelijking z²=i uitwerken naar a en b en dit stelsel vergelijkingen in a en b oplossen. Bedenk wel dat er twee wortels van i zijn in het complexe vlak.

Ik ben bezig met het opstellen van een Mixed Integer Linear Programming model (MILP) en binnen dat kader stuit ik op het volgende probleem.

Stel er is een (onbekende) binaire vector met lengte 7. Nu wil ik de positie weten van de eerste (en de laatste) 1 in deze vector.

Voorbeeld:
X=[0 0 1 1 0 1 0].

Nu wil ik dus dat een variabele s de waarde 3 aanneemt (want de eerste 1 staat op positie 3).

De waarde van s moet dus volgen uit een aantal lineaire beperkingen, dus geen if/then statements of iets dergelijks.

Ik heb nog weinig LP-problemen gezien, maar ik denk dat zoiets wel werkt:
a = min( argmax(i in {1,2,3,..,7}) e_i^T * X )
Met e_i wordt de vector bedoeld met een 1 op de i-de positie, en voor de rest nullen.
Dit geldt desda e_a^T * X = 1+ SOM(n = 1 t/m a-1) e_n^T * X.

[ Bericht 8% gewijzigd door GlowMouse op 21-08-2006 16:20:11 (foutje eruitgehaald) ]

quote:

Op maandag 21 augustus 2006 13:15 schreef JedaiNait het volgende:
Ik ben bezig met het opstellen van een Mixed Integer Linear Programming model (MILP) en binnen dat kader stuit ik op het volgende probleem.

Stel er is een (onbekende) binaire vector met lengte 7. Nu wil ik de positie weten van de eerste (en de laatste) 1 in deze vector.

Voorbeeld:
X=[0 0 1 1 0 1 0].

Nu wil ik dus dat een variabele s de waarde 3 aanneemt (want de eerste 1 staat op positie 3).

De waarde van s moet dus volgen uit een aantal lineaire beperkingen, dus geen if/then statements of iets dergelijks.

Introduceer n (lengte van de vector) nieuwe 0/1-variabelen y_i die de waarde 1 heeft dan en slechts dan als i de eerste niet nul positie in x is. Voor variabele y_i heb je de volgende relaties:

Som(x).y_i <= x_i + ... + x_n
(alle enen moeten na positie i komen)

Deze kan alleen waar zijn als i <= s. Voorts heb je dan nog

y_i.((1-x_1) + ... + (1-x_i)) = y_i.(i - (x_1 + ... + x_i)) <= i - 1
(x_1 t/m x_i mogen niet allemaal nul zijn)

Dit is alleen waar als i >= s. Er wordt dus aan beide voorwaarden voldaan als i = s.

Je krijgt dus in totaal 2n vergelijkingen, hetgeen niet zo schokkend is als je met ILP's bezig bent. De positie van de laatste 1 kun je natuurlijk op soortgelijke wijze vinden.

Ik was volgens mij vergeten te vertellen dat de X ook al een beslissing variabele is. Deze methode werkt dus niet, want de beperkingen zijn nu niet lineair.

quote:

Op maandag 21 augustus 2006 15:23 schreef GlowMouse het volgende:
Ik heb nog weinig LP-problemen gezien, maar ik denk dat zoiets wel werkt:
a = min( argmax(i in {1,2,3,..,7}) e_i^T * X )
Met e_i wordt de vector bedoeld met een 1 op de i-de positie, en voor de rest nullen.
Dit geldt desda e_a^T * X = 1+ SOM(n = 1 t/m a-1) e_n^T * X.

Sorry, ik had je reactie even over het hoofd gezien. Maar je definitie van a is niet lineair en ik heb geen idee hoe ik die expressie zou kunnen lineariseren.

Ik begrijp de vraagstelling eerlijk gezegd niet helemaal. Zou je die wat preciezer kunnen formuleren?

quote:

Op dinsdag 22 augustus 2006 10:57 schreef thabit het volgende:
Ik begrijp de vraagstelling eerlijk gezegd niet helemaal. Zou je die wat preciezer kunnen formuleren?

Ik doe mijn best .

Eerst zal ik even de context vermelden waarbinnen ik werk. Binnen het kader van MILP ben ik bezig met het opstellen van een (rooster) model. Binnen dit model heb ik een binaire beslissingsmatrix X_bit, die de waarde 1 aanneemt als werknemer b op tijdstip t aan taak i werkt en anders 0 is. Nu is het zo dat sommige taken pas uitgevoerd kunnen worden nadat een andere taak afgerond is.

Oftewel ik heb het laatste tijdstip nodig waarop eraan taak i gewerkt wordt (maakt niet uit door welke werknemer) en het eerste tijdstip waarop er aan taak j gewerkt wordt. En dat eerste tijdstip moet kleiner zijn dan het tweede tijdstip.

Uit de matrix X_bit moet ik dus voor een i in de richting t kijken wat de laatste/eerste waarde is en daarvan het t-coordinaat vinden.

Bij mijn probleemstelling eerder heb ik dit geprobeerd te versimpelen, door niet uit te gaan van een matrix, maar van een vector, waarvan ik wilde weten op welke positie het eerste/laatste niet-nul component stond.

Dus:
Er is een beslissingsvector met op positie i de waarde 1 of 0. Ik wil met behulp van lineaire beperkingen er achter komen op welke positie de eerste en laatste 1 staan.

Ik ken het model natuurlijk niet precies, maar ik zou proberen om de variabelen zo te kiezen dat je iets als tijd(taak i ) <= tijd( taak j) hebt indien taak j na taak i uitgevoerd moet worden.

Juist! maar dan moet ik dus weten op welk tijdstip taak i wordt uitgevoerd, dus als Taak 1 op tijdstip 6 begint, moet ik een integer variabele s_i hebben, die de waarde 6 aanneemt...

Op dit moment heb ik alleen binaire variabelen die de waarde 1 aannemen als er op tijdstip t aan taak i gewerkt wordt. Dus kan ik met deze variabelen niet een vgl in de vorm tijd(taak i ) <= tijd( taak j) maken, aangezien ik tijd(taak i ) niet weet.

quote:

Op dinsdag 22 augustus 2006 13:29 schreef JedaiNait het volgende:
Juist! maar dan moet ik dus weten op welk tijdstip taak i wordt uitgevoerd, dus als Taak 1 op tijdstip 6 begint, moet ik een integer variabele s_i hebben, die de waarde 6 aanneemt...

Op dit moment heb ik alleen binaire variabelen die de waarde 1 aannemen als er op tijdstip t aan taak i gewerkt wordt. Dus kan ik met deze variabelen niet een vgl in de vorm tijd(taak i ) <= tijd( taak j) maken, aangezien ik tijd(taak i ) niet weet.

Moet je perse de variabelen gebruiken zoals jij ze genoemd hebt?

Zelf zou ik een variabele t_i gebruiken die staat voor het tijdstip waarop aan taak i begonnen wordt. Als taak j na taak i moet komen, dan heb je als eis dat t_j >= t_i + (tijd nodig voor taak i). Wellicht dat deze aanpak het beschrijven van de rest van het model lastiger maakt, maar volgens mij lukt het niet met je huidige manier.

Die aanpak heb ik ook aan gedacht, maar dan zijn er inderdaad andere beperkingen waar ik niet uit kom. Bijvoorbeeld alleen al de beperking dat alle taken uitgevoerd moeten worden.

Zou iemand mij kunnen helpen door uit te leggen hoe je het volgende oplost:

quote:

0.7a + 0.05b + 0.05c = A
0.1a + 0.9b + 0.15 = B
0.2a + 0.05b + 0.8c =C

A + B + C = 1

De oplossing is:

A = 0,143
B = 0,571
C = 0,286

Maar hoe je hier nu aankomt is mij onduidelijk (lang geleden dat ik deze stof heb gehad).

Tel op, vervang A+B+C door 1, kies een willekeurige a en b, en c ligt vast. Er zijn dus oneindig veel oplossingen.
De kunst is steeds om je gegevens te gebruiken. Hier ligt het dus voor de hand om A+B+C uit te werken in termen van a, b en c. Vervolgens houdt je één lineaire vergelijking over met drie onbekenden, dus heb je twee vrije variabelen.

quote:

Op woensdag 23 augustus 2006 16:44 schreef SlaggY het volgende:
Zou iemand mij kunnen helpen door uit te leggen hoe je het volgende oplost:
[..]

De oplossing is:

A = 0,143
B = 0,571
C = 0,286

Maar hoe je hier nu aankomt is mij onduidelijk (lang geleden dat ik deze stof heb gehad).

Je zoekt hier de stationaire verdeling van een overgangsmatrix, misschien dat je dat nog wat zegt?

Je houdt nu een lineair afhankelijk stelsel over, maar omdat je nog een extra voorwaarde achter de hand hebt, nl a+b+c = 1, mag je één vergelijking uit het stelsel weggooien en de extra voorwaarde toevoegen.

Dit nieuwe stelsel is wel lineair onafhankelijk en heeft als oplossing idd A = 0,143, B = 0,571, C = 0,286 .

Helemaal duidelijk. Dank jullie wel.

quote:

Op dinsdag 22 augustus 2006 15:32 schreef JedaiNait het volgende:
Die aanpak heb ik ook aan gedacht, maar dan zijn er inderdaad andere beperkingen waar ik niet uit kom. Bijvoorbeeld alleen al de beperking dat alle taken uitgevoerd moeten worden.

Kun je de precieze voorwaarden voor het probleem posten? (mag een taak onderbroken worden, mag er door meerdere werknemers aan gewerkt worden etc). Dan zal ik eens kijken of ik er een geschikt model bij kan verzinnen.

quote:

Op donderdag 24 augustus 2006 10:12 schreef Wolfje het volgende:

[..]

Kun je de precieze voorwaarden voor het probleem posten? (mag een taak onderbroken worden, mag er door meerdere werknemers aan gewerkt worden etc). Dan zal ik eens kijken of ik er een geschikt model bij kan verzinnen.

Nou alle precieze voorwaarden wordt wat lastig, want dan moet ik je een rapport van 80 pagina's sturen en dat lijkt me ook niet echt de bedoeling. Wel kan ik het belangrijkste samenvatten:

Zoals gezegd betreft het een rooster probleem, waarbij het aantal werknemers geminimaliseerd dient te worden, onder de volgende voorwaarden:

Niet iedere werknemer mag iedere taak uitvoeren

Sommige taken mogen door meerdere werknemers uitgevoerd worden, soms kan/moet doet tegelijkertijd, soms kan/moet dat achter elkaar

Sommige taken moeten 24 uur per dag uitgevoerd worden

Sommige taken moeten worden uitgevoerd nadat een andere taak voltooid is

Sommige taken moeten op specifieke tijdstippen uitgevoerd worden

Sommige taken mogen/moeten onderbroken worden

Alle taken moeten volledig uitgevoerd worden

Er moet rekening gehouden worden met personele eisen als recht op pauze en dergelijk

Momenteel heb ik een model met als basis de binaire variabele X_bidt, die de waarde 1 aanneemt als bemanningslid b op dag d, tijdstip t aan taak i werkt. Een alternatief is om de binaire variabele Y_biw te gebruiken, met Y_biw=1 als werknemer b aan taak i werkt volgens werkwijze w (bv twee uur werken aan de taak, 4 uur niet werken aan de taak en vervolgens weer 2 uur werken aan de taak) en s_bi is het tijdstip waarop werknemer b aan taak i begint. Sommige beperkingen zijn in het ene model makkelijker te modelleren en andere juist weer in het andere model. In principe kunnen beide modellen gecombineerd worden, want uit Y en s kan X afgeleid worden. Probleem daarvan is echter dat het aantal variabelen nogal groot wordt.

[edit]:
Momenteel probeer ik het volgende, ik gebruik de variabelen Y en s zoals hierboven beschreven, en ik voeg daaraan toe binaire variabelen Z_bt die 1 zijn als werknemer b op tijdstip t aan het werk is.

[ Bericht 5% gewijzigd door JedaiNait op 24-08-2006 11:45:43 ]

quote:

Op donderdag 24 augustus 2006 11:20 schreef JedaiNait het volgende:

[..]

Momenteel heb ik een model met als basis de binaire variabele X_bidt, die de waarde 1 aanneemt als bemanningslid b op dag d, tijdstip t aan taak i werkt. Een alternatief is om de binaire variabele Y_biw te gebruiken, met Y_biw=1 als werknemer b aan taak i werkt volgens werkwijze w (bv twee uur werken aan de taak, 4 uur niet werken aan de taak en vervolgens weer 2 uur werken aan de taak) en s_bi is het tijdstip waarop werknemer b aan taak i begint. Sommige beperkingen zijn in het ene model makkelijker te modelleren en andere juist weer in het andere model. In principe kunnen beide modellen gecombineerd worden, want uit Y en s kan X afgeleid worden. Probleem daarvan is echter dat het aantal variabelen nogal groot wordt.

[edit]:
Momenteel probeer ik het volgende, ik gebruik de variabelen Y en s zoals hierboven beschreven, en ik voeg daaraan toe binaire variabelen Z_bt die 1 zijn als werknemer b op tijdstip t aan het werk is.

Je zult inderdaad alles mee moeten nemen. Een werknemer die op tijdstip t met een taak begint, kan niet tegelijkertijd ergens anders ingezet worden. Als er een voorgeschreven werkwijze is, zul je die mee moeten nemen (beschikbaarheid op tijdstip t+1..n en voldoen aan invulling van taak op tijdstippen t)

Zomaar wat vraagjes:

Is er een bijzondere reden dat je specifiek de hoeveelheid personeel moet minimaliseren i.p.v. de meer gebruikelijke totale personeelskosten?

Is er bij jouw probleem nog sprake van een echte minimum looptijd en deadlines? Wordt er nog rekening gehouden met effecten van 'verstoringen' zoals zieke werknemers, defecte apparatuur, etc.?

quote:

Op donderdag 24 augustus 2006 11:20 schreef JedaiNait het volgende:
Momenteel probeer ik het volgende, ik gebruik de variabelen Y en s zoals hierboven beschreven, en ik voeg daaraan toe binaire variabelen Z_bt die 1 zijn als werknemer b op tijdstip t aan het werk is.

Dit is mij inmiddels redelijk gelukt, er is alleen een restrictie waar ik niet uit kom. Ik hoop dat iemand (Wolfje?) me hier mee kan helpen .

Ik heb nu:
data
Q_biwt=1 wanneer werknemer b op tijdstip t bezig is met taak i, volgens werkwijze w, hierbij moet tijdstip 1 gezien worden als het tijdstip waarop de taak begint (duidelijk, niet...?).

beslissingsvariabelen
Y_biw = 1 als werknemer b aan taak i werkt volgens werkwijze w, anders 0
s_bi, integer variabele, geeft het tijdstip aan waarop werknemer b aan taak i begint
Z_bt=1 als werknemer b op tijdstip t aan het werk is

Neem ik nu het product Y_biw Q_biwt, dan ontstaat er een binaire vector die aangeeft volgens welk e werkwijze werknemer b aan taak i werkt. Deze moet dus gecorrigeerd worden met behulp van s_bi om duidelijk te maken hoe het 'echte' rooster eruit ziet.

Zoals gezegd zit ik momenteel nog met 1 probleem. Een werknemer kan namelijk niet twee taken tegelijk uitvoeren. Hoe modelleer ik die restrictie gebruik makend van bovenstaande data en variabelen. Als er nieuwe variabelen gedefinieerd moeten worden is dat opzich geen probleem, echter ik wil geen variabelen met zowel index b,i,w en t, aangezien er dan erg veel variabelen (denk aan honderden miljoenen) gedefineerd worden en dit de oplosbaarheid van het model niet bepaald ten goede zal komen (vooral de combinatie i en t moet vermeden worden).

quote:

Op donderdag 24 augustus 2006 14:22 schreef cjs het volgende:

[..]

Je zult inderdaad alles mee moeten nemen. Een werknemer die op tijdstip t met een taak begint, kan niet tegelijkertijd ergens anders ingezet worden. Als er een voorgeschreven werkwijze is, zul je die mee moeten nemen (beschikbaarheid op tijdstip t+1..n en voldoen aan invulling van taak op tijdstippen t)

Zomaar wat vraagjes:

Is er een bijzondere reden dat je specifiek de hoeveelheid personeel moet minimaliseren i.p.v. de meer gebruikelijke totale personeelskosten?

Ja, het gaat om de bemanning van een schip en naast salaris zijn er ook 'kosten' in de vorm van aantal slaapplaatsen op het schip, deze zijn van veel grotere invloed, dus in principe gaat het om de hoeveelheid personeel.

quote:

Is er bij jouw probleem nog sprake van een echte minimum looptijd en deadlines?

Wat bedoel je hiermee? Dat een taak voor een bepaald tijdstip voltooid moet zijn? In dat geval: ja.

quote:

Wordt er nog rekening gehouden met effecten van 'verstoringen' zoals zieke werknemers, defecte apparatuur, etc.?

Vooralsnog niet, maar de verwachting is dat er voldoende gaten in de planning overblijven om zulke problemen op te vangen.

[ Bericht 3% gewijzigd door JedaiNait op 24-08-2006 14:54:07 ]

Ik denk niet dat ik je hiermee kan helpen, JedaiNait. Het probleem is te complex om er iets zinnigs over te kunnen zeggen op korte termijn. Ik neem aan dat je al gekeken hebt naar modellen voor standaard roosterproblemen?

Eerlijk gezegd heb ik geen standaard modellen kunnen vinden...

Maar bedankt voor de moeite!

ik moet x(x^2+y^4)^(1/2) integreren daar komt (1/3)*(x^2+y^4)^(3/2) uit maar ik weet niet hoe ze er aan komen?

wie weet welke stappen ze gevolgd hebben.

die ^(3/2) snap ik nog maar ik heb geen idee hoe ze aan de 1/3 zijn gekomen en waar de eerste x heen is

quote:

Op vrijdag 25 augustus 2006 15:48 schreef icecreamfarmer_NL het volgende:
ik moet x(x^2+y^4)^(1/2) integreren daar komt (1/3)*(x^2+y^4)^(3/2) uit maar ik weet niet hoe ze er aan komen?

wie weet welke stappen ze gevolgd hebben.

die ^(3/2) snap ik nog maar ik heb geen idee hoe ze aan de 1/3 zijn gekomen en waar de eerste x heen is

De truuk hier is de omgekeerde kettingregel te gebruiken: de factor x is (op een factor 2 na) de afgeleide van de factor (x^2+y^4)^(1/2).

quote:

Op vrijdag 25 augustus 2006 15:56 schreef thabit het volgende:

[..]

De truuk hier is de omgekeerde kettingregel te gebruiken: de factor x is (op een factor 2 na) de afgeleide van de factor (x^2+y^4)^(1/2).

klopt maar dat soort trucjes krijgen wij niet.

verder is het mij nog steeds niet helemaal duidelijk

Okee, je ziet dus (x^2+y^4)^(1/2), waarbij je de factor x negeert omdat dat ergens al een afgeleid van is. Je begint met dat te primitiveren op de naieve manier: een primitieve van x^a is x^a+1/(a+1), dus zal er hier wel ongeveer iets met (x^2+y^4)^(1+1/2)/(1+1/2) = 2/3*(x^2+y^4)^(3/2). Als je dat gaat differentieren blijk je er nog een factor 2 naast de zitten dus die moet je weghalen en zo kom je op het antwoord.

quote:

Op vrijdag 25 augustus 2006 16:16 schreef thabit het volgende:
Okee, je ziet dus (x^2+y^4)^(1/2), waarbij je de factor x negeert omdat dat ergens al een afgeleid van is. Je begint met dat te primitiveren op de naieve manier: een primitieve van x^a is x^a+1/(a+1), dus zal er hier wel ongeveer iets met (x^2+y^4)^(1+1/2)/(1+1/2) = 2/3*(x^2+y^4)^(3/2). Als je dat gaat differentieren blijk je er nog een factor 2 naast de zitten dus die moet je weghalen en zo kom je op het antwoord.

nee ik zie er nog een x voor zitten het is x(x^2+y^4)^(1/2).

quote:

Op vrijdag 25 augustus 2006 16:28 schreef icecreamfarmer_NL het volgende:

[..]

nee ik zie er nog een x voor zitten het is x(x^2+y^4)^(1/2).

Het idee is dus dat die x bij het differentieren vanzelf zal verschijnen, omdat 2x de afgeleide is van x^2. Daarom concentreer je je op die andere factor.

quote:

Op vrijdag 25 augustus 2006 16:37 schreef thabit het volgende:

[..]

Het idee is dus dat die x bij het differentieren vanzelf zal verschijnen, omdat 2x de afgeleide is van x^2. Daarom concentreer je je op die andere factor.

ah

Het is misschien verstandig om je in de substitutieregel te verdiepen, dan kun je ook makkelijk vergelijkbare opgaven maken.

Substitueer a = x²+y⁴. Er geldt da/dx = 2x (dus dx = da/(2x))
integraal x(x²+y⁴)^1/2 dx =
integraal x a^1/2 da/(2x) =
integraal 1/2 a^1/2 da.
Die primitieve is makelijk, dat is gewoon 1/3a^3/2. Vul nu a weer in en klaar: 1/3(x²+y⁴)^3/2

Op vergelijkbare manier gaat dan bijvoorbeeld de primitieve van ln(x)/x.

[ Bericht 0% gewijzigd door GlowMouse op 25-08-2006 19:28:18 (typo) ]

quote:

Op vrijdag 25 augustus 2006 17:42 schreef GlowMouse het volgende:
Het is misschien verstandig om je in de substitutieregel te verdiepen, dan kun je ook makkelijk vergelijkbare opgaven maken.

Substitueer a = x²+y⁴. Er geldt da/dx = 2x (dus dx = da/(2x))
integraal x(x²+y⁴)^1/2 dx =
integraal x a^1/2 da/(2x) =
integraal 1/2 a^1/2 da.
Die primitieve is makelijk, dat is gewoon 1/3a^3/2. Vul nu a weer in en klaar: 1/3(x²+y⁴)^3/2

Op vergelijkbare manier gaat dan bijvoorbeeld de primitieve van ln(x)/x.

ja die heb ik gehad maar het kwam niet in me op

Even een vraagje.. had al een topic hierover maar die is gesloten en de laatste uitleg daar snapte ik niet zo...
Het gaat over verhoudingen.
Verhouding: 4 : 5. Dan moet je het eerste getal en tweede getal weten en het verschil tussen die twee getallen is 200.
Hoe kom je achter die twee getallen?
Voorbeeld met oplossing voor de duidelijkheid: 8:3 1e getal is 160 tweede getal is 60 en het verschil is 100 (hierbij weet je dus alleen de het verschil 100)
Hoe ben je dus aan die twee getallen gekomen?

En dan nog 1 ding over zo'n som:
Je weet de verhouding dit keer niet maar wel het eerste en tweede getal.
Het eerste getal is 750, het tweede getal is 1750. Wat is dus de verhouding?

quote:

De verhouding tussen a en b is a/b. In jouw voorbeeld 750/1750, wat je kunt vereenvoudigen tot 3/7 (deel teller en noemer door 250). De verhouding is dus 3 : 7.
Voor het verschil: stel de getallen zijn a en b, het verschil is dan a-b. Je weet dus a/b en a-b. Er geldt dat a = (a/b)*b. Dit invullen in a-b levert dat (a/b)*b-b gegeven is. Dit is nog maar een vergelijking van één onbekende.
Voorbeeldje voor het verschil: 10 : 3 en verschil 14. Er geldt a/b = 10/3 en a-b = (a/b)*b-b = 14. Combineren levert 10/3*b - b = 10/3*b - 3/3*b = 7/3*b = 14. Ofwel b = 3/7*14 = 6. Omdat a-b=14 volgt nu dat a=20.

Wat is er dan precies onduidelijk? Een volledig nieuwe uitleg lijkt me niet zinvol, je kunt beter proberen dit te snappen. Als je een stap niet snapt, kun je over die stap uitleg vragen.

quote:

Op zondag 27 augustus 2006 14:26 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

Wat is er dan precies onduidelijk? Een volledig nieuwe uitleg lijkt me niet zinvol, je kunt beter proberen dit te snappen. Als je een stap niet snapt, kun je over die stap uitleg vragen.

Nou al dat a/b -b-b gedoe enz... die lerares legde het toch echt een stuk makkelijker uit en het is veel simpeler dan dit a/b dinges. Maarja kga nu naar een andere school dus ik kan het haar niet meer vragen.. vandaar.
Doppelganger had die ene som iig zo uitgelegd dat ik dat begreep.. dus ik hoop nog dat hij zich hier laat zien..

a en b stellen de twee getallen voor. Als je dat eenmaal inziet, kun je dit soort trucs veel makkelijker onthouden. Door het alleen aanleveren van manieren om zoiets uit te rekenen, weet je zeker dat je het over 3 jaar niet meer kunt.
Maar goed, de versie zonder a/b's:
De verhouding tussen twee getallen is gewoon getal1 : getal2. De verhouding tussen 50 en 100 is dus 50 : 100. Nu noteer je dit nooit zo, maar probeer je links en rechts door een zo groot mogelijk getal te delen. In dit geval probeer je bijvoorbeeld eerst door 2 te delen: 25 : 50. Nu zie je dat je nog door 25 kunt delen: 1 : 2. Verder delen lukt nu niet meer, dus de verhouding kan het beste genoteerd worden door 1 : 2.
edit:
Verhouding 8 : 3, verschil 100.
Het ene getal is 3/(8-3)*100, het andere getal 100 + het ene getal. 60 en 160 dus. Merk op dat je het grootste en het kleinste getal van de verhouding altijd op de juiste positie houdt.
Een andere aanpak die je misschien logischer lijkt maar op hetzelfde neerkomt is deze: het verschil tussen 8 en 3 is 5. Door beide getallen met 20 te vermenigvuldigen wordt het verschil 20x zo groot (dus netjes 100). 8*20=160, 3*20 = 60. Je ziet dat je dezelfde uitkomst krijgt (wat ook logisch is). Als je ook negatieve getallen kent, zie je dat het verschil tussen 3 en 8 gelijk is aan -5. Als je dit met -20 vermenigvuldigt, krjg je weer een verschil van 100. -160 en -60 vormen dus ook een oplossing.

[ Bericht 17% gewijzigd door GlowMouse op 27-08-2006 16:26:19 ]

Help!

Ik interpreteer de vraag als 'Voor welke x is de afgeleide van f, gedefinieerd door f(x) = (x^4+8x²+16)/(4x), gelijk aan 0?'. De functie heb ik verkregen door uitvermenigvuldigen.

Dat gaat met de quotiëntregel. Een quotiënt is gelijk aan 0 wanneer de teller gelijk is aan 0 en de noemer ongelijk is aan 0 (zodat het quotiënt gedefinieerd is). 'NAT-TAN = 0' en 'noemer² != 0'. Ofwel:
NAT-TAN = 12x^4 + 32x²-64 = 0
16x² != 0
We zien dat de tweede voorwaarde geen belemmering vormt. Dus alle x die voldoen aan 12x^4 + 32x²-64 = 0 zijn goed. Met differentieren is te zien dat dit voor twee x'en het geval is.

quote:

Op zondag 27 augustus 2006 21:57 schreef GlowMouse het volgende:
Ik interpreteer de vraag als 'Voor welke x is de afgeleide van f, gedefinieerd door f(x) = (x^4+8x²+16)/(4x), gelijk aan 0?'. De functie heb ik verkregen door uitvermenigvuldigen.

Dat gaat met de quotiëntregel. Een quotiënt is gelijk aan 0 wanneer de teller gelijk is aan 0 en de noemer ongelijk is aan 0 (zodat het quotiënt gedefinieerd is). 'NAT-TAN = 0' en 'noemer² != 0'. Ofwel:
NAT-TAN = 12x^4 + 32x²-64 = 0
16x² != 0
We zien dat de tweede voorwaarde geen belemmering vormt. Dus alle x die voldoen aan 12x^4 + 32x²-64 = 0 zijn goed. Met differentieren is te zien dat dit voor twee x'en het geval is.

Super, super, super! Ik blijf maar over mijn fout heenzien. Dank.

even een vraagje een makkie maar ik kom er niet uit.

hoe kom ik van 1/(1-((e^x)/(1+e^x))) naar 1+e^x

quote:

Op maandag 28 augustus 2006 19:57 schreef icecreamfarmer_NL het volgende:
even een vraagje een makkie maar ik kom er niet uit.

hoe kom ik van 1/(1-((e^x)/(1+e^x))) naar 1+e^x

Schrijf de tweede 1 als (1+e^x) / (1+e^x). Dan volgt de rest vanzelf.