[Centraal] Bèta huiswerk en vragen topic

quote:

Op donderdag 17 augustus 2006 18:10 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Maar waarom spreken ze dan over de raakruimte, en niet over de ruimte zelf? Ik kan daar trouwens ook niet zoveel over vinden in de door jou aangegeven dictaten

Dat komt ook omdat het dictaten zijn over groepentheorie en niet over differentiaalmeetkunde. . De raakruimte is een vectorruimte, heel mooi lineair en zo. De ruimte zelf zit weer een stuk ingewikkelder in elkaar. Nu is het zo dat je een hoop eigenschappen van de ingewikkelde Liegroep G kunt bestuderen door naar z'n raakruimte, de veel eenvoudigere Lie-algebra g, te kijken.

quote:

Mja, hier kan ik me dus weinig bij voorstellen. Wat is dan precies 'de raakruimte aan het eenheidselement van G'? Is dat dezelfde raakruimte als dat ze in differentiaalgeometrie gebruiken?

Dit is inderdaad dezelfde raakruimte als in de theorie van manifolds. Dit komt omdat een Lie groep G gedefinieerd is als een manifold G die ook een groepsstructuur bezit met de eigenschap dat de multiplicatie en inverse afbeeldingen differentieerbaar zijn.

quote:

Op donderdag 17 augustus 2006 17:06 schreef Haushofer het volgende:
Maar bij raakruimtes denk ik gelijk aan gekromde oppervlaktes. Nou snap ik dat er met manifolden wordt gewerkt en dergelijke, maar waarom wordt hier gesproken over raakruimtes? Doet dat pas ter sprake als je een metriek definieert op je manifold die niet constant is ofzo? ( daar de raakruimte in een punt van een manifold met constante metriek de gehele manifold is ) ? Of denk ik nou helemaal verkeerd?

Het lijkt er inderdaad op dat je de echte definitie van een manifold niet weet. Een manifold is namelijk een topologische ruimte X met daarbij een (maximale) atlas. Een atlas is een collectie van kaarten, met de eigenschap dat deze kaarten heel X overdekken. Een kaart is namelijk een tripel (U, h, U') waarbij U in X zit, U' in de R^n zit en waarbij h: U - > U' een homeomorfisme is. In wat simpele woorden betekent dit dat je een overdekking van X kan kiezen met de eigenschap dat elke open verzameling uit je overdekking homeomorf is met de euclidische ruimte.

Hoe zou je nu de raakruimte aan een punt p van je varieiteit X definieren. Je kan dit op een aantal verschillende manieren doen, namelijk via derivaties, via differentieren van krommen of met de ricci calculus. Ik zal hier de meest intuitieve methode uitleggen, namelijk die met de krommen.

Beschouw nu alle krommen g in X waarvoor geldt dat g(0) = p en beschouw een kaart (U,h,U') rondom p. Dan kunnen we de raakruimte definieren als de ruimte die bestaat uit equivalentieklassen van krommen die aan de equivalentierelatie g_1 ~ g_2 <=> d/dt ( h(g_1(p)) ) = d/dt ( h(g_2(p)) ). Dus je beschouwt twee krommen als equivalent als ze dezelfde raakvector hebben aan het punt p. Je kan ook bewijzen dat deze definitie van de raakruimte onafhankelijk is van de kaart die je kiest.

Als voorbeeld kunnen we X = R^n nemen en als atlas de kaart (R^n, id, R^n), Als we nu een submanifold bekijken van de R^n, bijvoorbeeld een 2-dimensionaal oppervlak, dan is de raakruimte aan een punt p van dat oppervlak gewoon de vectorruimte die bestaat uit alle raakvectoren aan het punt p.

[ Bericht 8% gewijzigd door Pietjuh op 17-08-2006 21:29:59 ]

In principe zijn manifolds en groepen twee totaal verschillende dingen, die echter bijelkaar komen in de theorie van de Liegroepen. Om Liegroepen te begrijpen moet je dus eerst zorgen dat je zowel differentiaalmeetkunde als groepentheorie kent.

Bepaal wortel i

i^1/2 = ?

ik kom hier niet echt uit.... er moet een reëel gedeelte en een imaginair gedeelte uitkomen.

Z = a + ib daar moet ik iets mee doen maar ik zit al een uur zo:

quote:

Op zondag 20 augustus 2006 17:30 schreef DaDude1987 het volgende:
Bepaal wortel i

i^1/2 = ?

ik kom hier niet echt uit.... er moet een reëel gedeelte en een imaginair gedeelte uitkomen.

Z = a + ib daar moet ik iets mee doen maar ik zit al een uur zo:

Je kunt het op 2 manieren aanpakken. Een manier is de zaak in poolcoordinaten schrijven. Een andere manier is de vergelijking z²=i uitwerken naar a en b en dit stelsel vergelijkingen in a en b oplossen. Bedenk wel dat er twee wortels van i zijn in het complexe vlak.

Ik ben bezig met het opstellen van een Mixed Integer Linear Programming model (MILP) en binnen dat kader stuit ik op het volgende probleem.

Stel er is een (onbekende) binaire vector met lengte 7. Nu wil ik de positie weten van de eerste (en de laatste) 1 in deze vector.

Voorbeeld:
X=[0 0 1 1 0 1 0].

Nu wil ik dus dat een variabele s de waarde 3 aanneemt (want de eerste 1 staat op positie 3).

De waarde van s moet dus volgen uit een aantal lineaire beperkingen, dus geen if/then statements of iets dergelijks.

Ik heb nog weinig LP-problemen gezien, maar ik denk dat zoiets wel werkt:
a = min( argmax(i in {1,2,3,..,7}) e_i^T * X )
Met e_i wordt de vector bedoeld met een 1 op de i-de positie, en voor de rest nullen.
Dit geldt desda e_a^T * X = 1+ SOM(n = 1 t/m a-1) e_n^T * X.

[ Bericht 8% gewijzigd door GlowMouse op 21-08-2006 16:20:11 (foutje eruitgehaald) ]

quote:

Op maandag 21 augustus 2006 13:15 schreef JedaiNait het volgende:
Ik ben bezig met het opstellen van een Mixed Integer Linear Programming model (MILP) en binnen dat kader stuit ik op het volgende probleem.

Stel er is een (onbekende) binaire vector met lengte 7. Nu wil ik de positie weten van de eerste (en de laatste) 1 in deze vector.

Voorbeeld:
X=[0 0 1 1 0 1 0].

Nu wil ik dus dat een variabele s de waarde 3 aanneemt (want de eerste 1 staat op positie 3).

De waarde van s moet dus volgen uit een aantal lineaire beperkingen, dus geen if/then statements of iets dergelijks.

Introduceer n (lengte van de vector) nieuwe 0/1-variabelen y_i die de waarde 1 heeft dan en slechts dan als i de eerste niet nul positie in x is. Voor variabele y_i heb je de volgende relaties:

Som(x).y_i <= x_i + ... + x_n
(alle enen moeten na positie i komen)

Deze kan alleen waar zijn als i <= s. Voorts heb je dan nog

y_i.((1-x_1) + ... + (1-x_i)) = y_i.(i - (x_1 + ... + x_i)) <= i - 1
(x_1 t/m x_i mogen niet allemaal nul zijn)

Dit is alleen waar als i >= s. Er wordt dus aan beide voorwaarden voldaan als i = s.

Je krijgt dus in totaal 2n vergelijkingen, hetgeen niet zo schokkend is als je met ILP's bezig bent. De positie van de laatste 1 kun je natuurlijk op soortgelijke wijze vinden.

Ik was volgens mij vergeten te vertellen dat de X ook al een beslissing variabele is. Deze methode werkt dus niet, want de beperkingen zijn nu niet lineair.

quote:

Op maandag 21 augustus 2006 15:23 schreef GlowMouse het volgende:
Ik heb nog weinig LP-problemen gezien, maar ik denk dat zoiets wel werkt:
a = min( argmax(i in {1,2,3,..,7}) e_i^T * X )
Met e_i wordt de vector bedoeld met een 1 op de i-de positie, en voor de rest nullen.
Dit geldt desda e_a^T * X = 1+ SOM(n = 1 t/m a-1) e_n^T * X.

Sorry, ik had je reactie even over het hoofd gezien. Maar je definitie van a is niet lineair en ik heb geen idee hoe ik die expressie zou kunnen lineariseren.

Ik begrijp de vraagstelling eerlijk gezegd niet helemaal. Zou je die wat preciezer kunnen formuleren?

quote:

Op dinsdag 22 augustus 2006 10:57 schreef thabit het volgende:
Ik begrijp de vraagstelling eerlijk gezegd niet helemaal. Zou je die wat preciezer kunnen formuleren?

Ik doe mijn best .

Eerst zal ik even de context vermelden waarbinnen ik werk. Binnen het kader van MILP ben ik bezig met het opstellen van een (rooster) model. Binnen dit model heb ik een binaire beslissingsmatrix X_bit, die de waarde 1 aanneemt als werknemer b op tijdstip t aan taak i werkt en anders 0 is. Nu is het zo dat sommige taken pas uitgevoerd kunnen worden nadat een andere taak afgerond is.

Oftewel ik heb het laatste tijdstip nodig waarop eraan taak i gewerkt wordt (maakt niet uit door welke werknemer) en het eerste tijdstip waarop er aan taak j gewerkt wordt. En dat eerste tijdstip moet kleiner zijn dan het tweede tijdstip.

Uit de matrix X_bit moet ik dus voor een i in de richting t kijken wat de laatste/eerste waarde is en daarvan het t-coordinaat vinden.

Bij mijn probleemstelling eerder heb ik dit geprobeerd te versimpelen, door niet uit te gaan van een matrix, maar van een vector, waarvan ik wilde weten op welke positie het eerste/laatste niet-nul component stond.

Dus:
Er is een beslissingsvector met op positie i de waarde 1 of 0. Ik wil met behulp van lineaire beperkingen er achter komen op welke positie de eerste en laatste 1 staan.

Ik ken het model natuurlijk niet precies, maar ik zou proberen om de variabelen zo te kiezen dat je iets als tijd(taak i ) <= tijd( taak j) hebt indien taak j na taak i uitgevoerd moet worden.

Juist! maar dan moet ik dus weten op welk tijdstip taak i wordt uitgevoerd, dus als Taak 1 op tijdstip 6 begint, moet ik een integer variabele s_i hebben, die de waarde 6 aanneemt...

Op dit moment heb ik alleen binaire variabelen die de waarde 1 aannemen als er op tijdstip t aan taak i gewerkt wordt. Dus kan ik met deze variabelen niet een vgl in de vorm tijd(taak i ) <= tijd( taak j) maken, aangezien ik tijd(taak i ) niet weet.

quote:

Op dinsdag 22 augustus 2006 13:29 schreef JedaiNait het volgende:
Juist! maar dan moet ik dus weten op welk tijdstip taak i wordt uitgevoerd, dus als Taak 1 op tijdstip 6 begint, moet ik een integer variabele s_i hebben, die de waarde 6 aanneemt...

Op dit moment heb ik alleen binaire variabelen die de waarde 1 aannemen als er op tijdstip t aan taak i gewerkt wordt. Dus kan ik met deze variabelen niet een vgl in de vorm tijd(taak i ) <= tijd( taak j) maken, aangezien ik tijd(taak i ) niet weet.

Moet je perse de variabelen gebruiken zoals jij ze genoemd hebt?

Zelf zou ik een variabele t_i gebruiken die staat voor het tijdstip waarop aan taak i begonnen wordt. Als taak j na taak i moet komen, dan heb je als eis dat t_j >= t_i + (tijd nodig voor taak i). Wellicht dat deze aanpak het beschrijven van de rest van het model lastiger maakt, maar volgens mij lukt het niet met je huidige manier.

Die aanpak heb ik ook aan gedacht, maar dan zijn er inderdaad andere beperkingen waar ik niet uit kom. Bijvoorbeeld alleen al de beperking dat alle taken uitgevoerd moeten worden.

Zou iemand mij kunnen helpen door uit te leggen hoe je het volgende oplost:

quote:

0.7a + 0.05b + 0.05c = A
0.1a + 0.9b + 0.15 = B
0.2a + 0.05b + 0.8c =C

A + B + C = 1

De oplossing is:

A = 0,143
B = 0,571
C = 0,286

Maar hoe je hier nu aankomt is mij onduidelijk (lang geleden dat ik deze stof heb gehad).

Tel op, vervang A+B+C door 1, kies een willekeurige a en b, en c ligt vast. Er zijn dus oneindig veel oplossingen.
De kunst is steeds om je gegevens te gebruiken. Hier ligt het dus voor de hand om A+B+C uit te werken in termen van a, b en c. Vervolgens houdt je één lineaire vergelijking over met drie onbekenden, dus heb je twee vrije variabelen.

quote:

Op woensdag 23 augustus 2006 16:44 schreef SlaggY het volgende:
Zou iemand mij kunnen helpen door uit te leggen hoe je het volgende oplost:
[..]

De oplossing is:

A = 0,143
B = 0,571
C = 0,286

Maar hoe je hier nu aankomt is mij onduidelijk (lang geleden dat ik deze stof heb gehad).

Je zoekt hier de stationaire verdeling van een overgangsmatrix, misschien dat je dat nog wat zegt?

Je houdt nu een lineair afhankelijk stelsel over, maar omdat je nog een extra voorwaarde achter de hand hebt, nl a+b+c = 1, mag je één vergelijking uit het stelsel weggooien en de extra voorwaarde toevoegen.

Dit nieuwe stelsel is wel lineair onafhankelijk en heeft als oplossing idd A = 0,143, B = 0,571, C = 0,286 .

Helemaal duidelijk. Dank jullie wel.

quote:

Op dinsdag 22 augustus 2006 15:32 schreef JedaiNait het volgende:
Die aanpak heb ik ook aan gedacht, maar dan zijn er inderdaad andere beperkingen waar ik niet uit kom. Bijvoorbeeld alleen al de beperking dat alle taken uitgevoerd moeten worden.

Kun je de precieze voorwaarden voor het probleem posten? (mag een taak onderbroken worden, mag er door meerdere werknemers aan gewerkt worden etc). Dan zal ik eens kijken of ik er een geschikt model bij kan verzinnen.