[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

X_1,2=(-(-2P) ± √((-2p)²-4*1*-6))) / 2*1

is vereenvoudigd (2p ± √ (2p²-(-24)) / 2

is vereenvoudigd p ± √(p²+12)

quote:

Op woensdag 30 september 2015 06:20 schreef nickname89 het volgende:
X_1,2=(-(-2P) ± √((-2p)²-4*1*-6))) / 2*1

is vereenvoudigd (2p ± √ (2p²-(-24)) / 2

is vereenvoudigd p ± √(p²+12)

Nee, dat is weer niet goed. Je hebt namelijk



en



en dus



Het is trouwens beter om deze vierkantsvergelijking op te lossen met behulp van kwadraatafsplitsing, dat geeft minder kans op dit soort fouten. We hadden



Van beide leden 2px aftrekken geeft



Nu kun je het linkerlid completeren tot een volkomen kwadraat door er p² bij op te tellen, maar dan moeten we dat rechts ook doen en krijgen we dus



Dit kunnen we schrijven als



en dus hebben we



zodat

Is duidelijk nu.
Samengevat;
1. Noemers wegwerken door *2 en *x
2. Uitschrijven naar vergelijk ax+bx+c=0
3. Invullen in abc formule.
4. Wortel uitwerken middels methode √ 24 = √ 6 *√ 4 waarna er staat 2*√ 6
5. Vervolgens delen door noemer, waarna je vergelijking goed is.

Dank je wel voor je uitleg. Je hebt me verlost van een breinbreker waar ik talloze uren naar gestaard heb.

In vraag vier van het CE in 2015 heb ik gevonden p+q=-6 en p+6q=-8

Alleen; hoe verder? Het correctievoorschrift laat niet zien hoe je deze vergelijkingen kunt oplossen?

quote:

Op woensdag 30 september 2015 16:11 schreef nickname89 het volgende:
Is duidelijk nu.
Samengevat;
1. Breuken wegwerken door *2 en *x
2. Uitschrijven naar vergelijking ax²+bx+c=0
3. Invullen in abc formule.
4. Wortel uitwerken middels methode √ 24 = √ 6 *√ 4 waarna er staat 2*√ 6
5. Vervolgens delen door noemer, waarna je oplosssing goed is.

Dank je wel voor je uitleg. Je hebt me verlost van een breinbreker waar ik talloze uren naar gestaard heb.

OK. Maar begrijp je de alternatieve oplossing van de vierkantsvergelijking middels kwadraatafsplitsing nu ook?

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 30-09-2015 20:55:09 ]

quote:

Op woensdag 30 september 2015 18:01 schreef Goldenrush het volgende:
In vraag vier van het CE in 2015 heb ik gevonden p+q=-6 en p+6q=-8

Alleen; hoe verder? Het correctievoorschrift laat niet zien hoe je deze vergelijkingen kunt oplossen?

Ik mag toch hopen dat het oplossen van een lineair stelsel van twee vergelijkingen in twee onbekenden nog steeds wordt onderwezen?

Hint: je kunt gebruik maken van het principe dat als A = B en tevens C = D dat dan ook geldt A − C = B − D. Trek de leden van je eerste vergelijking eens af van de leden van je tweede vergelijking, wat krijg je dan?

quote:

Op woensdag 30 september 2015 20:15 schreef Riparius het volgende:

[..]

OK. Maar begrijp je de alternatieve oplossing van de vierkantsvergelijking middels kwadraatafsplitsing nu ook?

Ja,
Ik heb op youtube een instructievideo van de wiskundeacademie bekeken over kwadraat afsplitsen, omdat de methode nieuw is voor mij. Ik snap het principe en de gedachte hierachter.

quote:

Op woensdag 30 september 2015 20:21 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik mag toch hopen dat het oplossen van een lineair stelsel van twee vergelijkingen in twee onbekenden nog steeds wordt onderwezen?

Hint: je kunt gebruik maken van het principe dat als A = B en tevens C = D dat dan ook geldt A − C = B − D. Trek de leden van je eerste vergelijking eens af van de leden van je tweede vergelijking, wat krijg je dan?

Had ik geprobeerd, maar dat levert q=-3 ^ p=-3 op terwijl je op q=-0,4 ^ p=-5,6 moet uitkomen.

quote:

Op woensdag 30 september 2015 18:09 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

Omdat het te makkelijk is.

p + q = -6
geeft p = -6 - q

p = -6 - q substitueren in die andere vergelijking en q uitrekenen

Dat lukt hier ook niet, want dan vind je p=p

quote:

Op donderdag 1 oktober 2015 17:33 schreef Goldenrush het volgende:

[..]

Had ik geprobeerd, maar dat levert q=-3 ^ p=-3 op terwijl je op q=-0,4 ^ p=-5,6 moet uitkomen.

Nee hoor, dan doe je iets fout. En echt, dit is brugklasalgebra. We hebben



en



Trek je nu de leden van de eerste vergelijking af van de leden van de tweede vergelijking, dan krijg je



en dus



en dat geeft



en daarmee



Nu is het niet moeilijk meer om ook p te bepalen, want we moeten immers hebben p + q = −6 zodat



en dus hebben we



Zie je?

-

[ Bericht 22% gewijzigd door RustCohle op 14-10-2015 15:59:02 ]

even via een foto, want had net alles ingevuld via mathtype, maar die verdwijnen als ik het kopieer naar het forum

quote:

Op woensdag 14 oktober 2015 22:49 schreef Silverdigger2 het volgende:
even via een foto, want had net alles ingevuld via mathtype, maar die verdwijnen als ik het kopieer naar het forum
[ afbeelding ]

Je probleem is dat je je goniometrische identiteiten niet goed kent.

Je hebt voor de cosinus van de dubbele hoek de volgende drie identiteiten (er zijn er meer, maar deze drie moet je echt kennen):

(1) cos 2α = cos²α − sin²α
(2) cos 2α = 2·cos²α − 1
(3) cos 2α = 1 − 2·sin²α

De tweede en de derde van deze identiteiten kun je overigens gemakkelijk uit de eerste afleiden met behulp van de identiteit

(4) cos²α + sin²α = 1

Hieruit volgt immers sin²α = 1 − cos²α en cos²α = 1 − sin²α, en door dit te substitueren in (1) krijg je resp. (2) en (3).

Welnu, je hebt

(5) x = 3·cos t
(6) y = 3·cos 2t

en met behulp van (2) vinden we dus direct dat

(7) y = 3·(2·(x/3)² − 1)

waarvoor we ook kunnen schrijven

(8) y = (6/9)·x² − 3

quote:

Op donderdag 15 oktober 2015 08:34 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je probleem is dat je je goniometrische identiteiten niet goed kent.

Je hebt voor de cosinus van de dubbele hoek de volgende drie identiteiten (er zijn er meer, maar deze drie moet je echt kennen):

(1) cos 2α = cos²α − sin²α
(2) cos 2α = 2·cos²α − 1
(3) cos 2α = 1 − 2·sin²α

De tweede en de derde van deze identiteiten kun je overigens gemakkelijk uit de eerste afleiden met behulp van de identiteit

(4) cos²α + sin²α = 1

Hieruit volgt immers sin²α = 1 − cos²α en cos²α = 1 − sin²α, en door dit te substitueren in (1) krijg je resp. (2) en (3).

Welnu, je hebt

(5) x = 3·cos t
(6) y = 3·cos 2t

en met behulp van (2) vinden we dus direct dat

(7) y = 3·(2·(x/3)² − 1)

waarvoor we ook kunnen schrijven

(8) y = (6/9)·x² − 3

Dankjewel

in de formulekaart voor de eindexamen staan inderdaad (1) (2) en (3) achter elkaar genoemd. Ik keek alleen naar (3) omdat die als laatste stond en probeerde met die regel verder te gaan.

at is de wiskundige betekenis van een relatieve verhouding onderling? Ik zie vele verhoudingen, maar ondanks dat interpreteer ik verschillende verhoudingen anders wat leidt tot verwarring. Is er iemand die hier duidelijkheid over kan scheppen?

Er zijn een aantal voorbeelden wat ik onduidelijk vind:

Stel dat je twee goederen hebt: X en Y. De prijs van goed x (Px) is ¤2 en de prijs van goed Y (Py) is ¤1.

De relatieve prijsverhouding Px/Py = 2. In eerste instantie zou ik zeggen dat dit betekent dat goed X dus 2x zo duur is dan goed Y.

Nu heb ik nog een andere situatie:

De wisselkoers tussen de Dollar en de Euro ( Dollar/Euro koers) is 0.88. Dit betekent dat je voor 1 dollar 0,88 euro krijgt. Desondanks betekent het ook dat naarmate de wisselkoers stijgt de dollar minder waard wordt. Als de wisselkoers daarentegen daalt dan stijgt de dollar in waarde.

Wat mijn vragen dus uiteindelijk zijn:

-Hoe komt het dat als Px/Py stijgt dat er geïmpliceerd wordt dat goed X duurder wordt ten opzichte van Y, terwijl dat als de wisselkoers (Dollar/Euro) stijgt dat er dan sprake is van een depreciatie van de dollar in plaats van een appreciatie?

-Hoe kan ik in één keer weten wat de betekenis is van een verhouding? Stel dat de wisselkoers euro/dollar = 1,14, hoe moet ik dat dan lezen? 1,14 euro per dollar? Hoe zie je dat en waaraan? Hetzelfde geldt voor Px/Py. Als Px/Py gelijk is aan 2, dan impliceert dat enerzijds dat goed X twee keer zo duur is dan Py, maar aan de andere kant in termen van wisselkoersen is het iets negatiefs? Kan iemand mij dit verklaren?

quote:

Op donderdag 15 oktober 2015 12:18 schreef RustCohle het volgende:
Wat is de wiskundige betekenis van een relatieve verhouding onderling? Ik zie vele verhoudingen, maar ondanks dat interpreteer ik verschillende verhoudingen anders wat leidt tot verwarring. Is er iemand die hier duidelijkheid in kan scheppen?

Er zijn een aantal voorbeelden wat ik onduidelijk vind:

Stel dat je twee goederen hebt: X en Y. De prijs van goed x (Px) is ¤2 en de prijs van goed Y (Py) is ¤1.

De relatieve prijsverhouding Px/Py = 2. In eerste instantie zou ik zeggen dat dit betekent dat goed X dus 2x zo duur is dan als goed Y.

Ik heb geen verstand van economie, maar dit lijkt me zonder meer juist.

quote:

Nu heb ik nog een andere situatie:

De wisselkoers tussen de Dollar en de Euro ( Dollar/Euro koers) is 0.88. Dit betekent dat je voor 1 dollar 0,88 euro krijgt. Desondanks betekent het ook dat naarmate de wisselkoers stijgt de dollar minder waard wordt. Als de wisselkoers daarentegen daalt dan stijgt de dollar in waarde.

Nee, als de verhouding $ : ¤ = 0,88 : 1 groter wordt dan wordt de US Dollar juist meer waard. Maar daarbij moet je bedenken dat het gaat om de waarde van de US Dollar ten opzichte van de waarde van de Euro op een gegeven moment. De waarde van de US Dollar ten opzichte van de Euro hoeft geen gelijke tred te houden met de waarde ten opzichte van het Britse Pond, om maar eens wat te noemen.

quote:

Wat mijn vragen dus uiteindelijk zijn:

-Hoe komt het dat als Px/Py stijgt dat er geïmpliceerd wordt dat goed X duurder wordt ten opzichte van Y, terwijl dat als de wisselkoers (Dollar/Euro) stijgt dat er dan sprake is van een depreciatie van de dollar in plaats van een appreciatie?

Dat laatste is niet waar. Als de verhouding $ : ¤ stijgt dan wordt de US Dollar juist meer waard ten opzichte van de Euro.

quote:

-Hoe kan ik in één keer weten wat de betekenis is van een verhouding? Stel dat de wisselkoers euro/dollar = 1,14, hoe moet ik dat dan lezen? 1,14 euro per dollar?

Nee, als je hiermee bedoelt ¤ : $ = 1,14 : 1, dan is het 1,14 US Dollar per Euro.

quote:

Hoe zie je dat en waaraan? Hetzelfde geldt voor Px/Py. Als Px/Py gelijk is aan 2, dan impliceert dat enerzijds dat goed X twee keer zo duur is dan Py, maar aan de andere kant in termen van wisselkoersen is het iets negatiefs? Kan iemand mij dit verklaren?[/b]

Ik denk dat je probleem zit in het feit dat je niet goed ziet dat a/b en b/a elkaars omgekeerde zijn, i.e. het product van deze grootheden is steeds 1. Als a/b stijgt, dan daalt b/a, en omgekeerd, als a/b daalt, dan stijgt b/a. Als dus de waarde van de Euro ten opzichte van de dollar (¤ : $) stijgt, dan daalt de waarde van de US Dollar ten opzichte van de Euro ($ : ¤), en omgekeerd, als als de waarde van van de US Dollar ten opzichte van de Euro ($ : ¤) stijgt, dan daalt de waarde van de Euro ten opzichte van de US Dollar (¤ : $).

quote:

Op donderdag 15 oktober 2015 13:30 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik heb geen verstand van economie, maar dit lijkt me zonder meer juist.

[..]

Nee, als de verhouding $ : ¤ = 0,88 : 1 groter wordt dan wordt de US Dollar juist meer waard. Maar daarbij moet je bedenken dat het gaat om de waarde van de US Dollar ten opzichte van de waarde van de Euro op een gegeven moment. De waarde van de US Dollar ten opzichte van de Euro hoeft geen gelijke tred te houden met de waarde ten opzichte van het Britse Pond, om maar eens wat te noemen.

[..]

Dat laatste is niet waar. Als de verhouding $ : ¤ stijgt dan wordt de US Dollar juist meer waard ten opzichte van de Euro.

[..]

Nee, als je hiermee bedoelt ¤ : $ = 1,14 : 1, dan is het 1,14 US Dollar per Euro.

[..]

Ik denk dat je probleem zit in het feit dat je niet goed ziet dat a/b en b/a elkaars omgekeerde zijn, i.e. het product van deze grootheden is steeds 1. Als a/b stijgt, dan daalt b/a, en omgekeerd, als a/b daalt, dan stijgt b/a. Als dus de waarde van de Euro ten opzichte van de dollar (¤ : $) stijgt, dan daalt de waarde van de US Dollar ten opzichte van de Euro ($ : ¤), en omgekeerd, als als de waarde van van de US Dollar ten opzichte van de Euro ($ : ¤) stijgt, dan daalt de waarde van de Euro ten opzichte van de US Dollar (¤ : $).

Zowel in de college-aantekeningen die uitgereikt zijn via het internet als in de benodigde literatuur staat toch aangegeven dat een stijging van ($ : ¤) resulteert in een depreciatie van de dollar ten opzichte van de euro.Heel vaag, aangezien ik hetzelfde als jou denk:

$ 1,50 / ¤ 1 = 1,5

Dat betekent dus dat ik met 1,5 euro 1 dollar kan kopen, naar mate de wisselkoers stijgt daalt de waarde van de euro ten opzichte van de dollar.

Maar.. wat zegt de literatuur?:



''(1,75 ¤ / $) is the exchange rate of ¤1,75 per dollar. A depreciation of the dollar against de euro is a fall in the euro price per dollar.''

quote:

Op donderdag 15 oktober 2015 15:58 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Zowel in de college-aantekeningen die uitgereikt zijn via het internet als in de benodigde literatuur staat toch aangegeven dat een stijging van ($ : ¤) resulteert in een depreciatie van de dollar ten opzichte van de euro.Heel vaag, aangezien ik hetzelfde als jou denk:

$ 1,50 / ¤ 1 = 1,5

Dat betekent dus dat ik met 1,5 euro 1 dollar kan kopen, naar mate de wisselkoers stijgt daalt de waarde van de euro ten opzichte van de dollar.

Dat is niet wat ik heb gezegd. Met $ : ¤ bedoelde ik de waarde van een dollar in verhouding tot de waarde van een euro en als die verhouding stijgt, dan stijgt uiteraard de waarde van een dollar ten opzichte van de waarde van een euro.

quote:

Maar.. wat zegt de literatuur?:

Ik denk dat ik je probleem zie. Met exchange rate $/¤ wordt hier bedoeld het aantal dollars dat je voor een euro krijgt, en als dat aantal toeneemt wordt de dollar uiteraard minder waard. Dat is iets anders dan ik met $ : ¤ bedoelde.

quote:

Op donderdag 15 oktober 2015 17:12 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat is niet wat ik heb gezegd. Met $ : ¤ bedoelde ik de waarde van een dollar in verhouding tot de waarde van een euro en als die verhouding stijgt, dan stijgt uiteraard de waarde van een dollar ten opzichte van de waarde van een euro.

[..]

Ik denk dat ik je probleem zie. Met exchange rate $/¤ wordt hier bedoeld het aantal dollars dat je voor een euro krijgt, en als dat aantal toeneemt wordt de dollar uiteraard minder waard. Dat is iets anders dan ik met $ : ¤ bedoelde.

Denk je? Dat zou een hoop verklaren!

$ : ¤ waar jij het over hebt is de breuk/wiskundige deling/verhouding tussen dollar en euro?

quote:

Op donderdag 15 oktober 2015 17:12 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat is niet wat ik heb gezegd. Met $ : ¤ bedoelde ik de waarde van een dollar in verhouding tot de waarde van een euro en als die verhouding stijgt, dan stijgt uiteraard de waarde van een dollar ten opzichte van de waarde van een euro.

[..]

Ik denk dat ik je probleem zie. Met exchange rate $/¤ wordt hier bedoeld het aantal dollars dat je voor een euro krijgt, en als dat aantal toeneemt wordt de dollar uiteraard minder waard. Dat is iets anders dan ik met $ : ¤ bedoelde.

quote:

Op donderdag 15 oktober 2015 20:06 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Denk je? Dat zou een hoop verklaren!

$ : ¤ waar jij het over hebt is de breuk/wiskundige deling/verhouding tussen dollar en euro?

Ik weet het niet meer... wat de literatuur bedoeld:











PPP = Purchasing power parity


Stukje uit de literatuur:

''If the dollar/pound exchange rate is 1,50, then that means $1,50 per pound. An increase in the price level of the dollar results in a depreciation of the dollar''

Heel vaag.. als ik het vergelijk met een compleet ander voorbeeld:

Stel dat je twee goederen kunt maken: bier en pizza. Om bier te maken kost het je 1 uur en om pizza te maken kost het je 2 uur.

De verhouding bier/pizza is dan 1/2. Dat betekent dus dat je 1/2 pizza kon maken in plaats van 1 bier.

Als ik dit vertaal naar wisselkoersen zou ik dus denken dat een dollar/pound exchange rate van 1,5 juist zou betekenen dat je 1,5 pound betaalt per dollar (aangezien de pound ook in de noemer zit.....)

[ Bericht 5% gewijzigd door RustCohle op 15-10-2015 22:23:52 ]

Find any local maxima or minima for the following function:

z=4x²-5xy+3y²+x³

ik heb eerst fx gedaan = 8x-5y+3x² en daarna fy=-5x+6y

Dit gelijkstellen aan 0 geeft natuurlijk x=0 & y=0 maar ook 5x=6y, oftewel x=1.2y. Nu geeft het boek als antwoord aan dat naast x & y = 0 ook x=-1.278 en y=-1.065 is. Als je dit invult in -5x+6y krijg je inderdaad 0, maar hoe kom je aan dit antwoord?

quote:

Op zaterdag 17 oktober 2015 12:01 schreef wihehin het volgende:
hoe kom je aan dit antwoord?

Substitueer x = 1,2y in f_x = 8x − 5y + 3x², stel gelijk aan nul en los vervolgens op naar y.

quote:

Op zaterdag 17 oktober 2015 12:01 schreef wihehin het volgende:
Find any local maxima or minima for the following function:

z=4x²-5xy+3y²+x³

ik heb eerst gedaaan f_x(x,y) = 8x - 5y + 3x² en daarna f_y(x,y) = -5x + 6y

De beide partiële afgeleiden gelijk stellen aan 0 geeft natuurlijk x = 0 & y = 0 maar ook 5x = 6y, oftewel x = 1.2y. Nu geeft het boek als antwoord aan dat naast x & y = 0 ook x = -1.278 en y= -1.065 is. Als je dit invult in -5x+6y krijg je inderdaad 0, maar hoe kom je aan dit antwoord?

Je hebt een stelsel van twee vergelijkingen in x en y, en dat stelsel is niet lineair en heeft inderdaad twee oplossingen, kijk maar.

Wat je moet doen is y = (5/6)·x substitueren in 8x − 5y + 3x² = 0. Dan krijg je een vierkantsvergelijking in x die je gemakkelijk op kunt lossen, want je kunt dan immers in het linkerlid een factor x buiten haakjes halen.