[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

woensdag 8 oktober 2014 @ 22:14:22 #1

Anoonumos

Post hier weer al je vragen, passies, trauma's en andere dingen die je uit je slaap houden met betrekking tot de wiskunde.

Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!

Opmaak:
• met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg).

Links:
• http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren.
• http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search.
• http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie.
• http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is.
• http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc...

_OP

Handig:
Riparius heeft ooit een PDF geschreven over goniometrische identiteiten. Deze kun je hier downloaden:
www.mediafire.com/view/?2b214qltc7m3v0d

woensdag 8 oktober 2014 @ 22:25:47 #2

Hoplahopla

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 22:14 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

Laat zien dat de verdelingsfuncties hetzelfde zijn.
$\mathbb{P}(U \leq u) = u$
$\mathbb{P}(1- U \leq u) = \dots = u$
voor alle u in [0,1]

Bedankt voor de snelle reactie!

Maar ik begrijp dat er gevraagd wordt om de verdelingsfuncties gelijk te stellen. Echter snap ik niet hoe ik dat moet doen, want ik zie gewoon niet anders dan dat 1 - U negatieve getallen geeft en dat kan toch niet?

Kom maar konijntje, doe maar wiebelen wiebelen...

woensdag 8 oktober 2014 @ 22:27:13 #3

Janneke141

Green, green grass of home

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 22:25 schreef Hoplahopla het volgende:

[..]

Bedankt voor de snelle reactie!

Maar ik begrijp dat er gevraagd wordt om de verdelingsfuncties gelijk te stellen. Echter snap ik niet hoe ik dat moet doen, want ik zie gewoon niet anders dan dat 1 - U negatieve getallen geeft en dat kan toch niet?

Aangezien U ∈ [0,1], is 1-U nooit kleiner dan 0. Sterker nog, 1-U∈ [0,1]

Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)

woensdag 8 oktober 2014 @ 22:41:57 #4

Hoplahopla

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 22:27 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Aangezien U ∈ [0,1], is 1-U nooit kleiner dan 0. Sterker nog, 1-U∈ [0,1]

Misschien bekijk ik het te algebraïsch. Ik zie niet in hoe de functies identiek kunnen zijn. Ik snap dat de lijn hetzelfde patroon volgt, maar dan gespiegeld. Maar ik denk niet dat het hetzelfde is... U is niet gelijk aan U want f(U) = 1 en f(1-U) = -1.

Kom maar konijntje, doe maar wiebelen wiebelen...

woensdag 8 oktober 2014 @ 22:45:33 #5

Anoonumos

Dat U een kansdichtheid f heeft impliceert niet dat 1 - U een kansdichtheid 1 - f heeft. (Dat zou ook niet kunnen want dat is geen kansdichtheid)
Je moet laten zien dat U ook kansdichtheid f heeft.
Dat kan door te laten zien dat de verdelingsfuncties van U en 1-U hetzelfde zijn.

woensdag 8 oktober 2014 @ 22:48:46 #6

Super-B

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 21:53 schreef Riparius het volgende:

[..]

Weer hetzelfde advies: lees hier niet alleen de antwoorden op je eigen vragen, maar ook de antwoorden op vragen van je studiegenoten die vaak over precies dezelfde opgaven gaan.

Ik vermoed (c.q. weet bijna wel zeker) dat je probeert deze limiet te bepalen met behulp van de regel van L'Hôpital, maar dan heb je fouten gemaakt bij het differentiëren.

lim x --> 0

(-1/2(1+x) ^-3/2) / [ 2(1 + x + x²)^-1/2 + ( 1 + 2x)² ( -1/2) ( (1 + x + x²)^-3/2 ]

Er moest een 2 weg, welke ik nu weggehaald heb. De afgeleide klopt exact met wat er in het antwoordenboek staat.

woensdag 8 oktober 2014 @ 22:49:41 #7

GeschiktX

Goedenavond,

Ziet iemand de overgang van wat er links voor het = teken staat naar wat er rechts van het = teken staat?:

Wat mij onduidelijk is (de vraag heeft betrekking op de extreme punten) is x1 en x2... Ik vind het erg lastig om te weten wat voor getal x1 en x2 nou voorstellen en hoe ik dit moet invullen, want de functie maakt het er niet gemakkelijker op met wortels en al..

woensdag 8 oktober 2014 @ 22:53:43 #8

Bram_van_Loon

Jeff, we can!

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 22:49 schreef GeschiktX het volgende:
Goedenavond,

Ziet iemand de overgang van wat er links voor het = teken staat naar wat er rechts van het = teken staat?:

[ afbeelding ]

Wat mij onduidelijk is (de vraag heeft betrekking op de extreme punten) is x1 en x2... Ik vind het erg lastig om te weten wat voor getal x1 en x2 nou voorstellen en hoe ik dit moet invullen, want de functie maakt het er niet gemakkelijker op met wortels en al..

Ik neem aan dat jij geen moeite hebt met van rechts naar links te gaan. Doe dat dan eens en je zal er vanzelf achter komen hoe ze van links naar rechts gaan.

Die wortel maakt het in dit geval trouwens niet moeilijker.

[ Bericht 2% gewijzigd door Bram_van_Loon op 08-10-2014 22:59:22 ]

ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL

woensdag 8 oktober 2014 @ 22:55:55 #9

Riparius

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 21:00 schreef Aardappeltaart het volgende:
Eerste keer dat ik dit topic nodig heb tijdens mijn studie wiskunde. Bevalt erg goed.

Uit g(x)=ln(x+sqrt(x²+a²)) zijn afgeleide g'(x)= 1 / (sqrt(a²+x²) en die van d/dx artcan(x) = 1/sqrt(a²-x²) moet ik de primitieve van h(x)=sqrt(x²+a²) kunnen halen door middel van partiële integratie (ik vermoed op h(x). Ik zie alleen niet hoe, met welke keuzes dus. De delen van de vraag over het differentiëren van g(x) en de primitieve vinden van 1/h(x) zijn me gelukkig al gelukt. Op dit stuk loop ik echter vast. Iemand een tip of idee? Goniometrische substituties zijn dus niet de bedoeling. Alvast bedankt!

Om te beginnen zie ik een fout (en een typo). De afgeleide van arctan x naar x is 1/(1 + x²). Om √(x² + a²) te primitiveren met behulp van partiële integratie vat je de integrand op als het product van 1 en √(x² + a²) en dan krijg je

$\int \sqrt{x^2\,+\,a^2}\,\rm{d}x\,=\,x\sqrt{x^2\,+\,a^2}\,-\,\int \frac{x^2\rm{d}x}{\sqrt{x^2\,+\,a^2}}$

Nu hebben we ook

$\frac{x^2}{\sqrt{x^2\,+\,a^2}}\,=\,\frac{x^2\,+\,a^2\,-\,a^2}{\sqrt{x^2\,+\,a^2}}\,=\,\sqrt{x^2\,+\,a^2}\,-\,\frac{a^2}{\sqrt{x^2\,+\,a^2}}$

zodat we dus krijgen

$\int \sqrt{x^2\,+\,a^2}\,\rm{d}x\,=\,x\sqrt{x^2\,+\,a^2}\,-\,\int \sqrt{x^2\,+\,a^2}\,\rm{d}x\,+\,a^2\int \frac{\rm{d}x}{\sqrt{x^2\,+\,a^2}}$

en dit geeft

$\int \sqrt{x^2\,+\,a^2}\,\rm{d}x\,=\,\frac{1}{2}x\sqrt{x^2\,+\,a^2}\,+\,\frac{1}{2}a^2\int \frac{\rm{d}x}{\sqrt{x^2\,+\,a^2}}$

en dus

$\int \sqrt{x^2\,+\,a^2}\,\rm{d}x\,=\,\frac{1}{2}x\sqrt{x^2\,+\,a^2}\,+\,\frac{1}{2}a^2\,\ln(x\,+\,\sqrt{x^2\,+\,a^2})\,+\,C$

aangezien we al wisten dat

$\int \frac{\rm{d}x}{\sqrt{x^2\,+\,a^2}}\,=\,\ln(x\,+\,\sqrt{x^2\,+\,a^2})\,+\,C$

Er is overigens een interessante manier om deze laatste integraal met behulp van een substitutie te behandelen. Je mag zonder verlies van algemeenheid a > 0 veronderstellen, en als je nu

$x\,=\,\frac{1}{2}a\left(u\,-\,\frac{1}{u}\right)$

substitueert, waarin je dan u > 0 mag veronderstellen zodat

$u\,=\,\frac{x}{a}\,+\,\sqrt{(\frac{x}{a})^2\,+\,1}$

dan vind je dat de integraal reduceert tot

$\int \frac{\rm{d}u}{u}\,=\,\ln\,u\,+\,C$

aangezien

$\frac{1}{4}a^2\left(u\,-\,\frac{1}{u}\right)^2\,+\,a^2\,=\,\frac{1}{4}a^2\left(u\,+\,\frac{1}{u}\right)^2\$

en dus

$\sqrt{x^2\,+\,a^2}\,=\,\frac{1}{2}a\left(u\,+\,\frac{1}{u}\right)\,=\,\frac{1}{2}a\left(1\,+\,\frac{1}{u^2}\right)u$

terwijl

$\rm{d}x\,=\,\frac{1}{2}a\left(1\,+\,\frac{1}{u^2}\right)\rm{d}u$

Het is eenvoudig om het verband te zien tussen deze algebraïsche substitutie en de meer gebruikelijke hyperbolische substitutie om deze integraal te behandelen. Substitueren we namelijk

$u\,=\,e^t$

in

$x\,=\,\frac{1}{2}a\left(u\,-\,\frac{1}{u}\right)$

dan hebben we

$x\,=\,a\,\cdot\,\sinh\,t$

en daarmee

$t\,=\,\rm{arsinh} \left(\frac{x}{a}\right)$

en dan is ook

$\sqrt{x^2\,+\,a^2}\,=\,a\,\cdot\,\cosh\,t$

en

$\rm{d}x\,=\,a\,\cdot\,\cosh\,t\,\,\cdot\,\rm{d}t$

zodat de integraal reduceert tot

$\int \rm{d}t\,=\,t\,+\,C$

en we dus hebben

$\int \frac{\rm{d}x}{\sqrt{a^2\,+\,x^2}}\,=\,\rm{arsinh}\left(\frac{x}{a}\right)\,+\,C$

als tegenhanger van

$\int \frac{\rm{d}x}{\sqrt{a^2\,-\,x^2}}\,=\,\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)\,+\,C$

[ Bericht 8% gewijzigd door Riparius op 09-10-2014 20:30:17 ]

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

woensdag 8 oktober 2014 @ 22:59:22 #10

Hoplahopla

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 22:45 schreef Anoonumos het volgende:
Dat U een kansdichtheid f heeft impliceert niet dat 1 - U een kansdichtheid 1 - f heeft. (Dat zou ook niet kunnen want dat is geen kansdichtheid)
Je moet laten zien dat U ook kansdichtheid f heeft.
Dat kan door te laten zien dat de verdelingsfuncties van U en 1-U hetzelfde zijn.

De verdelingsfunctie van U is de volgende:
$F(u) = \left\{\begin{matrix} u & 0 \leq u \leq 1 \\ 0 & elders \end{matrix}$

Maar moet ik de 1 buiten de functie laten of niet? Dus 1 - f(u) is 1 - U ?

Kom maar konijntje, doe maar wiebelen wiebelen...

woensdag 8 oktober 2014 @ 22:59:24 #11

Janneke141

Green, green grass of home

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 22:49 schreef GeschiktX het volgende:
Goedenavond,

Ziet iemand de overgang van wat er links voor het = teken staat naar wat er rechts van het = teken staat?:

[ afbeelding ]

Wat mij onduidelijk is (de vraag heeft betrekking op de extreme punten) is x1 en x2... Ik vind het erg lastig om te weten wat voor getal x1 en x2 nou voorstellen en hoe ik dit moet invullen, want de functie maakt het er niet gemakkelijker op met wortels en al..

Als je links in de teller haakjes uitwerkt en de 8 buiten haakjes laat staat er 8(3x²+4-6x²)= 8(4-3x²). Via het merkwaardig product a²-b²=(a+b)(a-b) kom je aan de rechterkant uit.

En over die extreme waarden:
Je hebt de functie (8x)/(3x²+4) gedifferentieerd, en om de extreme waarden van die functie te vinden stel je de afgeleide gelijk aan 0. Immers, waar de afgeleide functie gelijk aan nul is, is de raaklijn horizontaal en dan heb je óf een extremum óf een buigpunt te pakken.
Om de nulpunten van je afgeleide te vinden is de ontbinding van de teller uit je post handig. Want voor welke twee waarden van x is de teller, en dus de breuk, gelijk aan 0?

Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)

woensdag 8 oktober 2014 @ 23:04:34 #12

GeschiktX

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 22:59 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Als je links in de teller haakjes uitwerkt en de 8 buiten haakjes laat staat er 8(3x²+4-6x²)= 8(4-3x²). Via het merkwaardig product a²-b²=(a+b)(a-b) kom je aan de rechterkant uit.

Tot zover was het mij wel gelukt, maar de merkwaardigheid ervan zie ik niet. Daar stoot ik mijzelf tegen de 'douchekop'.

woensdag 8 oktober 2014 @ 23:05:09 #13

Janneke141

Green, green grass of home

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 23:04 schreef GeschiktX het volgende:

[..]

Tot zover was het mij wel gelukt, maar de merkwaardigheid ervan zie ik niet. Daar stoot ik mijzelf tegen de 'douchekop'.

http://nl.wikipedia.org/wiki/Merkwaardig_product

Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)

woensdag 8 oktober 2014 @ 23:07:24 #14

GeschiktX

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 23:05 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

http://nl.wikipedia.org/wiki/Merkwaardig_product

Ja die ken ik allemaal... Dit was nog zelfs nog middelbare school wiskunde. Toch zie ik hem niet.. Het ziet er veel anders uit die 8(4-3x²).. dan ik gewend ben voor een merkwaardig product zoals bijv. (a-b)²

woensdag 8 oktober 2014 @ 23:10:02 #15

Janneke141

Green, green grass of home

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 23:07 schreef GeschiktX het volgende:

[..]

Ja die ken ik allemaal... Dit was nog zelfs nog middelbare school wiskunde. Toch zie ik hem niet.. Het ziet er veel anders uit die 8(4-3x²).. dan ik gewend ben voor een merkwaardig product zoals bijv. (a-b)²

Vergeet even de 8, en kijk alleen naar 4-3x². Dat is van de vorm a²-b², waarbij a=2 en b=x√3.
Je weet dat a²-b²=(a+b)(a-b), dus dan is ook, in dit geval:
4-3x² = (2+x√3)(2-x√3)

Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)

woensdag 8 oktober 2014 @ 23:13:50 #16

Anoonumos

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 22:59 schreef Hoplahopla het volgende:

[..]

De verdelingsfunctie van U is de volgende:
$F(u) = \left\{\begin{matrix} u & 0 \leq u \leq 1 \\ 0 & elders \end{matrix}$

Maar moet ik de 1 buiten de functie laten of niet? Dus 1 - f(u) is 1 - U ?

Noem dat F_U. De verdelingsfunctie van 1-U is dan (voor alle u in [0,1])
$F_{(1-U)} (u) = \mathbb{P}(1-U \leq u) = \mathbb{P}(-U \leq u -1) = \mathbb{P}(U \geq 1 -u) = \dots = u = F_U(u)$
Waar jij nog de laatste één a twee tussenstappen kan invullen.
Snap je het zo? Ik weet niet wat je bedoelt met je laatste vraag.

woensdag 8 oktober 2014 @ 23:17:19 #17

GeschiktX

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 23:10 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Vergeet even de 8, en kijk alleen naar 4-3x². Dat is van de vorm a²-b², waarbij a=2 en b=x√3.
Je weet dat a²-b²=(a+b)(a-b), dus dan is ook, in dit geval:
4-3x² = (2+x√3)(2-x√3)

Ohh wat oliedom van me.

Dankje.

Dit is dan zeker ook een merkwaardig product?

4x⁵ - 8x⁵ ?

woensdag 8 oktober 2014 @ 23:18:10 #18

Riparius

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 23:07 schreef GeschiktX het volgende:

[..]

Ja die ken ik allemaal... Dit was nog zelfs nog middelbare school wiskunde. Toch zie ik hem niet.. Het ziet er veel anders uit die 8(4-3x²).. dan ik gewend ben voor een merkwaardig product zoals bijv. (a-b)²

Om te beginnen: de term merkwaardig product is ergens in de 19e eeuw in het onderwijs geïntroduceerd. Niet omdat er iets 'merkwaardigs' mee aan de hand zou zijn, maar omdat ze het (be)merken waard zijn, oftewel omdat ze het waard zijn onthouden te worden. Dit klinkt nu een beetje ouderwets, en de term wordt door hedendaagse generaties vaak verkeerd begrepen, maar de term is blijven hangen en deze identiteiten heten nu eenmaal zo. En inderdaad moet je ze gewoon van buiten kennen, en dan niet alleen van links naar rechts maar ook van rechts naar links. En daarnaast moet je ze ook altijd kunnen herkennen en toepassen, anders heb je er tenslotte nog niets aan. En aan dat laatste schort het bij jou. Als je ziet

4 − 3x²

en je wil dit ontbinden in lineaire factoren (en ja, dat wil je, waarom eigenlijk?) dan moet je direct zien dat je dit op kunt vatten als een verschil van twee kwadraten, namelijk als

2² − (√3·x)²

en dus als

(2 − √3·x)(2 + √3·x)

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

woensdag 8 oktober 2014 @ 23:19:20 #19

Anoonumos

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 23:17 schreef GeschiktX het volgende:

[..]

Ohh wat oliedom van me. Dankje.

Dit is dan zeker ook een merkwaardig product?

4x⁵ - 8x⁵ ?

Dat is gewoon -4x⁵.

woensdag 8 oktober 2014 @ 23:19:28 #20

GeschiktX

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 23:18 schreef Riparius het volgende:

[..]

Om te beginnen: de term merkwaardig product is ergens in de 19e eeuw in het onderwijs geïntroduceerd. Niet omdat er iets 'merkwaardigs' mee aan de hand zou zijn, maar omdat ze het (be)merken waard zijn, oftewel omdat ze het waard zijn onthouden te worden. Dit klinkt nu een beetje ouderwets, en de term wordt door hedendaagse generaties vaak verkeerd begrepen, maar de term is blijven hangen en deze identiteiten heten nu eenmaal zo. En inderdaad moet je ze gewoon van buiten kennen, en dan niet alleen van links naar rechts maar ook van rechts naar links. En daarnaast moet je ze ook altijd kunnen herkennen en toepassen, anders heb je er tenslotte nog niets aan. En aan dat laatste schort het bij jou. Als je ziet

4 − 3x²

en je wil dit ontbinden in lineaire factoren (en ja, dat wil je, waarom eigenlijk?) dan moet je direct zien dat je dit op kunt vatten als een verschil van twee kwadraten, namelijk als

2² − (√3·x)²

en dus als

(2 − √3·x)(2 + √3·x)

Dit stuk schort bij mij, waardoor ik het laatste dus niet kan zien.

woensdag 8 oktober 2014 @ 23:19:53 #21

Riparius

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 23:17 schreef GeschiktX het volgende:

Dit is dan zeker ook een merkwaardig product?

4x⁵ - 8x⁵ ?

Nee. Bedenk zelf maar waarom niet.

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

woensdag 8 oktober 2014 @ 23:19:58 #22

GeschiktX

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 23:19 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

Dat is gewoon -4x⁵.

Klopt, maar als je dit wilt factoriseren, hoe doe je dit?

woensdag 8 oktober 2014 @ 23:21:05 #23

GeschiktX

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 23:19 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee. Bedenk zelf maar waarom niet.

Oeps verkeerde functie gekopieerd..

woensdag 8 oktober 2014 @ 23:22:24 #24

GeschiktX

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 23:19 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee. Bedenk zelf maar waarom niet.

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 23:19 schreef GeschiktX het volgende:

[..]

Klopt, maar als je dit wilt factoriseren, hoe doe je dit?

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 23:21 schreef GeschiktX het volgende:

[..]

Oeps verkeerde functie gekopieerd..

[ 4x ( x⁴ + 1 ) - 2x² 4x³ ]

ofwel

4x⁵ + 4x - 8x⁵

Het zou moeten resulteren tot:

4x( 1 + x² ) ( 1 + x) ( 1-x)

woensdag 8 oktober 2014 @ 23:23:24 #25

Bram_van_Loon

Jeff, we can!

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 23:19 schreef GeschiktX het volgende:

[..]

Dit stuk schort bij mij, waardoor ik het laatste dus niet kan zien.

Ik denk dat het een goede oefening voor jou is als je zelf eens (a+b)(a+b) , (a+b)(a-b) en (a-b)(a-b) uitrekent en er op let wat het patroon is. Je zou binnen een seconde moeten kunnen opdreunen wat er uit komt als a en b een ander ander getal zijn.

ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL

woensdag 8 oktober 2014 @ 23:23:44 #26

Riparius

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 23:19 schreef GeschiktX het volgende:

[..]

Klopt, maar als je dit wilt factoriseren, hoe doe je dit?

Die factoren staan al voor je neus, het is namelijk −4·x·x·x·x·x maar zo moet je dit natuurlijk niet opschrijven, Descartes heeft niet voor niets de notatie van een exponent met superscript bedacht.

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

woensdag 8 oktober 2014 @ 23:23:51 #27

Janneke141

Green, green grass of home

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 23:22 schreef GeschiktX het volgende:

[..]

[..]

[..]

[ 4x ( x⁴ + 1 ) - 2x² 4x³ ]

ofwel

4x⁵ + 4x - 8x⁵

Het zou moeten resulteren tot:

4x( 1 + x² ) ( 1 + x) ( 1-x)

Omslachtig, maar klopt wel

4x⁵ + 4x - 8x⁵

=-4x⁵ + 4x

=4x(1-x⁴)

= 4x(1+x²)(1-x²)

= 4x(1+x²)(1-x)(1+x)

Hetzelfde merkwaardig product als boven wordt twee keer gebruikt.

Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)

woensdag 8 oktober 2014 @ 23:27:13 #28

Aardappeltaart

Met slagroom

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 22:55 schreef Riparius het volgende:

De fout is inderdaad een typo, helaas. Omdat ik een nieuwe laptop heb is een werkende Mathtype niet meer beschikbaar en zo typen is enorm onoverzichtelijk. Tijd om misschien een LaTeX te gaan leren...

Fijn deze uitwerking, ik snap hem! Heel erg bedankt! Het blijkt dat ik dit spoor niet heb afgemaakt omdat ik bij het afleiden van de wortel vergat te compenseren met 2x, waardoor er geen kwadraat in de teller kwam, enz. Wat haat ik slordigheidsfouten zeg.

woensdag 8 oktober 2014 @ 23:28:37 #29

Bram_van_Loon

Jeff, we can!

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 23:23 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Omslachtig, maar klopt wel

4x⁵ + 4x - 8x⁵

=-4x⁵ + 4x

=4x(1-x⁴)

= 4x(1+x²)(1-x²)

= 4x(1+x²)(1-x)(1+x)

Hetzelfde merkwaardig product als boven wordt twee keer gebruikt.

@Geschikt
Hier zie je nu een goede demonstratie waarom het belangrijk is dat je het merkwaardige product direct herkent. Je ziet dan direct bij de derde regel van Janneke haar uitleg hoe je dat verder opschrijft waardoor je niet zelf hoeft te zoeken door willekeurig wat uit te proberen.

ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL

woensdag 8 oktober 2014 @ 23:29:47 #30

Hoplahopla

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 23:13 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

Noem dat F_U. De verdelingsfunctie van 1-U is dan (voor alle u in [0,1])
$F_{(1-U)} (u) = \mathbb{P}(1-U \leq u) = \mathbb{P}(-U \leq u -1) = \mathbb{P}(U \geq 1 -u) = \dots = u = F_U(u)$
Waar jij nog de laatste één a twee tussenstappen kan invullen.
Snap je het zo? Ik weet niet wat je bedoelt met je laatste vraag.

Ik zie het écht niet. Ben me er nu al een paar uur op aan het blindstaren...

Kom maar konijntje, doe maar wiebelen wiebelen...

woensdag 8 oktober 2014 @ 23:30:19 #31

Riparius

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 23:27 schreef Aardappeltaart het volgende:

[..]

De fout is inderdaad een typo, helaas. Omdat ik een nieuwe laptop heb is een werkende Mathtype niet meer beschikbaar en zo typen is enorm onoverzichtelijk. Tijd om misschien een LaTeX te gaan leren...

Werkt je registratiecode niet meer? Of heb je nu een ander besturingssysteem waarmee MathType niet meer werkt?

quote:
Fijn deze uitwerking, ik snap hem! Heel erg bedankt! Het blijkt dat ik dit spoor niet heb afgemaakt omdat ik bij het afleiden van de wortel vergat te compenseren met 2x, waardoor er geen kwadraat in de teller kwam, enz. Wat haat ik slordigheidsfouten zeg.

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

woensdag 8 oktober 2014 @ 23:33:03 #32

Anoonumos

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 23:29 schreef Hoplahopla het volgende:

[..]

Ik zie het écht niet. Ben me er nu al een paar uur op aan het blindstaren...

De ontbrekende stappen zie je niet, of begrijp je niet wat ik tot nu toe doe?

woensdag 8 oktober 2014 @ 23:34:04 #33

GeschiktX

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 23:28 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

@Geschikt
Hier zie je nu een goede demonstratie waarom het belangrijk is dat je het merkwaardige product direct herkent. Je ziet dan direct bij de derde regel van Janneke haar uitleg hoe je dat verder opschrijft waardoor je niet zelf hoeft te zoeken door willekeurig wat uit te proberen.

Ja inderdaad Bram_Van_Loon, het is zoals je in een post hiervoor al zei een kwestie voor mij om het goed in mijn hoofd te stampen. Ik zal er goed naar kijken!~

Vanaf de derde regel is het inderdaad al gelijk te zien... en dan is het een kwestie van het 'verkleinen' van de vierde macht naar tweede machten en dat dan weer verkleinen naar een 1e graad (1e exponent).

Ik wou bijna vragen waarom (1+x²) zo blijft staan, maar dat komt omdat beide plus is (neem ik aan?). Als het bijv x² - 1 was geweest, had (x+1) (x-1) gemogen toch?

woensdag 8 oktober 2014 @ 23:39:31 #34

Bram_van_Loon

Jeff, we can!

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 23:34 schreef GeschiktX het volgende:

[..]

Ja inderdaad Bram_Van_Loon, het is zoals je in een post hiervoor al zei een kwestie voor mij om het goed in mijn hoofd te stampen. Ik zal er goed naar kijken!~

Vanaf de derde regel is het inderdaad al gelijk te zien... en dan is het een kwestie van het 'verkleinen' van de vierde macht naar tweede machten en dat dan weer verkleinen naar een 1e graad (1e exponent).

Het is belangrijk om een beetje systematisch na te denken bij zoiets. Als je een vergelijking hebt van de vorm ax²+ bx + c, waar komen die a, b en c vandaan? Wat is het gevolg voor de a, b en c als je bij (d+e)(f+g) twee keer een - of 1 keer een - hebt in plaats van een plus? Kan a, b of c 0 zijn en wanneer gebeurt dat? Probeer voor jezelf eens alle variaties uit en je zal vanzelf inzien hoe het werkt zodat je niets van buiten hoeft te leren, in ieder geval niet voor de tweede graad. Bij de een duurt het langer dan bij de ander maar dat inzicht komt wel als je dat doet.

ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL

woensdag 8 oktober 2014 @ 23:42:19 #35

Aardappeltaart

Met slagroom

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 23:30 schreef Riparius het volgende:

[..]

Werkt je registratiecode niet meer? Of heb je nu een ander besturingssysteem waarmee MathType niet meer werkt?

[..]

Ik heb geen Word meer. Ik moet nog kijken of ik de code terug kan vinden en het kan installeren enzovoorts op Openoffice.

woensdag 8 oktober 2014 @ 23:49:57 #36

Riparius

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 23:34 schreef GeschiktX het volgende:

[..]

Ik wou bijna vragen waarom (1+x²) zo blijft staan, maar dat komt omdat beide plus is (neem ik aan?). Als het bijv x² - 1 was geweest, had (x+1) (x-1) gemogen toch?

Een som van twee kwadraten kun je niet schrijven als een product van reële lineaire factoren en daarom heeft bijvoorbeeld de vergelijking

$x^2\,+\,1\,=\,0$

ook geen oplossingen binnen R, de verzameling van alle reële getallen. Begrijp je het verband tussen het niet kunnen ontbinden van x² + 1 in reële factoren en het ontbreken van reële oplossingen van deze vergelijking?

Een som van twee oneven machten kun je overigens wel ontbinden, want als n oneven is dan heeft de som aⁿ + bⁿ een factor (a + b). Zo heb je bijvoorbeeld

$a^3\,+\,b^3\,=\,(a\,+\,b)(a^2\,-\,ab\,+\,b^2)$

Als je ook irrationale coëfficiënten toestaat, dan is een tweeterm als

$a^4\,+\,b^4$

wel te ontbinden in twee reële kwadratische veeltermen in a en b. Probeer nu zelf te bedenken hoe je dit zou ontbinden.

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

donderdag 9 oktober 2014 @ 00:46:31 #37

Riparius

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 22:48 schreef Super-B het volgende:

[..]

lim x --> 0

(-1/2(1+x) ^-3/2) / [ 2(1 + x + x²)^-1/2 + ( 1 + 2x)² ( -1/2) ( (1 + x + x²)^-3/2 ]

Er moest een 2 weg, welke ik nu weggehaald heb. De afgeleide klopt exact met wat er in het antwoordenboek staat.

Als je in dit quotiënt x = 0 invult, dan komt er

$\frac{(-\frac{1}{2})\,\cdot\,1}{2\,\cdot\,1\,+\,1\,\cdot\,(-\frac{1}{2})\,\cdot\,1}\,=\,\frac{-\,\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}\,=\,-\,\frac{1}{3}$

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

donderdag 9 oktober 2014 @ 06:00:51 #38

Hoplahopla

quote:
Op woensdag 8 oktober 2014 23:13 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

Noem dat F_U. De verdelingsfunctie van 1-U is dan (voor alle u in [0,1])
$F_{(1-U)} (u) = \mathbb{P}(1-U \leq u) = \mathbb{P}(-U \leq u -1) = \mathbb{P}(U \geq 1 -u) = \dots = u = F_U(u)$
Waar jij nog de laatste één a twee tussenstappen kan invullen.
Snap je het zo? Ik weet niet wat je bedoelt met je laatste vraag.

Voor mij verdwijnt die 1 op magische wijze. Ik kan me niet bedenken waarom dat gebeurt namelijk.

Ik vermoed dat de uitwerking op de puntjes iets in de trant van $1 - F_{(U)} (u)$ is, maar echt lekker voelt het niet aan.

Kom maar konijntje, doe maar wiebelen wiebelen...

donderdag 9 oktober 2014 @ 09:57:31 #39

Super-B

quote:
Op donderdag 9 oktober 2014 00:46 schreef Riparius het volgende:
[..]
Als je in dit quotiënt x = 0 invult, dan komt er
$\frac{(-\frac{1}{2})\,\cdot\,1}{2\,\cdot\,1\,+\,1\,\cdot\,(-\frac{1}{2})\,\cdot\,1}\,=\,\frac{-\,\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}\,=\,-\,\frac{1}{3}$

Hartstikke bedankt!

donderdag 9 oktober 2014 @ 14:23:20 #40

thenxero

quote:
Op donderdag 9 oktober 2014 06:00 schreef Hoplahopla het volgende:
[..]
Voor mij verdwijnt die 1 op magische wijze. Ik kan me niet bedenken waarom dat gebeurt namelijk.
Ik vermoed dat de uitwerking op de puntjes iets in de trant van $1 - F_{(U)} (u)$ is, maar echt lekker voelt het niet aan.

$1-F_U(u) = 1- P(U\leq u) = P(U>u) = P(U\geq u) \neq P(U\geq 1-u)$
(alleen als u=1/2 is het wel een gelijkheid)

Dus dat klopt inderdaad niet.

donderdag 9 oktober 2014 @ 18:36:12 #41

Super-B

Even een kleine vraagje:

Stel ik heb:

ax + by = c
en
dx + ey = f

Waar x dan vervolgens: (ce - bf) / (ae - bd) is..

Hoe bereken ik y?

Ik vulde gewoon x in één van de twee vergelijkingen ( ik deed het in de eerste) en ik kwam uit op het volgende:

y = (ace - abf) / (ae - bd) + by - c

Klopt dit?

donderdag 9 oktober 2014 @ 18:47:44 #42

Riparius

quote:
Op donderdag 9 oktober 2014 18:36 schreef Super-B het volgende:
Even een kleine vraagje:
Stel ik heb:
ax + by = c
en
dx + ey = f
Waar x dan vervolgens: (ce - bf) / (ae - bd) is..
Hoe bereken ik y?
Ik vulde gewoon x in één van de twee vergelijkingen ( ik deed het in de eerste) en ik kwam uit op het volgende:
y = (ace - abf) / (ae - bd) + by - c
Klopt dit?

Nee, dit klopt niet, en dat is ook onmiddellijk te zien. Subsitutie geeft namelijk

(ace - abf) / (ae - bd) + by - c = 0

en het is niet zo dat y hier steeds gelijk is aan nul, zodat het linkerlid van deze gelijkheid niet gelijk kan zijn aan y zoals jij hier beweert.

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

donderdag 9 oktober 2014 @ 18:48:56 #43

Janneke141

Green, green grass of home

quote:
Op donderdag 9 oktober 2014 18:36 schreef Super-B het volgende:
Even een kleine vraagje:
Stel ik heb:
ax + by = c
en
dx + ey = f
Waar x dan vervolgens: (ce - bf) / (ae - bd) is..
Hoe bereken ik y?
Ik vulde gewoon x in één van de twee vergelijkingen ( ik deed het in de eerste) en ik kwam uit op het volgende:
y = (ace - abf) / (ae - bd) + by - c
Klopt dit?

Je hebt 2 lineaire verbanden. Waar x dan vervolgens *iets* is. Hoezo is x dat? Hoe kom je aan die x?

Ik heb het niet nagerekend, maar het zal wel het evenwichtspunt zijn, oftewel de x-waarde van het snijpunt van die twee rechte lijnen. Dit soort dingen moet je vermelden in je post!. Áls dat zo is, dan kun je y uitrekenen door x in te vullen in één van beide vergelijkingen. Hebben we het niet over een evenwichtspunt, dan werkt het natuurlijk niet omdat er bij allebei wat anders uitkomt.

OK, we gaan invullen in de bovenste:
ax+by=c

a((ce - bf) / (ae - bd)) + by = c

(ace-abf)/(ae-bd) + by = c

even een onnodige tussenstap, behalve om je denkfout te laten zien
(ace-abf)/(ae-bd) + by - c = 0
Jij concludeert dat gedeelte links van het =-teken gelijk moet zijn aan y. Klopt niet, het is gelijk aan 0. Je eigen uitdrukking voor y hangt trouwens af van y, wat al niet handig is)
einde intermezzo

(ace-abf)/(ae-bd) + by = c

by = c - (ace-abf)/(ae-bd)

y = (c - (ace-abf)/(ae-bd))/b

Dat laatste verder netjes uitschrijven mag je zelf doen. Mag je daarna uittesten of er hetzelfde uitkomt als je de x-waarde invult in de onderste.

Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)

donderdag 9 oktober 2014 @ 19:12:42 #44

Super-B

quote:
Op donderdag 9 oktober 2014 18:48 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Je hebt 2 lineaire verbanden. Waar x dan vervolgens *iets* is. Hoezo is x dat? Hoe kom je aan die x?
Ik heb het niet nagerekend, maar het zal wel het evenwichtspunt zijn, oftewel de x-waarde van het snijpunt van die twee rechte lijnen. Dit soort dingen moet je vermelden in je post!. Áls dat zo is, dan kun je y uitrekenen door x in te vullen in één van beide vergelijkingen. Hebben we het niet over een evenwichtspunt, dan werkt het natuurlijk niet omdat er bij allebei wat anders uitkomt.
OK, we gaan invullen in de bovenste:
ax+by=c
a((ce - bf) / (ae - bd)) + by = c
(ace-abf)/(ae-bd) + by = c
even een onnodige tussenstap, behalve om je denkfout te laten zien
(ace-abf)/(ae-bd) + by - c = 0
Jij concludeert dat gedeelte links van het =-teken gelijk moet zijn aan y. Klopt niet, het is gelijk aan 0. Je eigen uitdrukking voor y hangt trouwens af van y, wat al niet handig is)
einde intermezzo
(ace-abf)/(ae-bd) + by = c
by = c - (ace-abf)/(ae-bd)
y = (c - (ace-abf)/(ae-bd))/b
Dat laatste verder netjes uitschrijven mag je zelf doen. Mag je daarna uittesten of er hetzelfde uitkomt als je de x-waarde invult in de onderste.

Ik moet er uiteindelijk (af - cd) / (ae - bd) van maken.... Ik zie het niet. Dat laatste stap maakt het mij dus lastig. Wat jij had, had ik dus ook, alleen had ik per ongeluk uit automatisme y = opgeschreven..

donderdag 9 oktober 2014 @ 19:18:04 #45

Janneke141

Green, green grass of home

quote:
Op donderdag 9 oktober 2014 19:12 schreef Super-B het volgende:
[..]
Ik moet er uiteindelijk (af - cd) / (ae - bd) van maken.... Ik zie het niet. Dat laatste stap maakt het mij dus lastig. Wat jij had, had ik dus ook, alleen had ik per ongeluk uit automatisme y = opgeschreven..

Tja, dit is algebra die ze in 2-vmbo-t zonder al te veel problemen uitvoeren.
Overigens, nog steeds onder het vermoeden dat het om een evenwichtspunt gaat, kan het natuurlijk ook anders:

quote:
ax + by = c
en
dx + ey = f

Schrijven in de vorm x=..., zodat we ze gelijk kunnen stellen met y als variabele, levert

x = (c-by)/a
en
x = (f-ey)/d

Gelijkstellen:
(c-by)/a = (f-ey)/d

dc-dby = af - aey

aey - dby = af - dc

(ae - db)y = af - dc

y = (af - cd)/(ae - bd)

Klaar.

Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)

donderdag 9 oktober 2014 @ 19:25:03 #46

Riparius

quote:
Op donderdag 9 oktober 2014 19:12 schreef Super-B het volgende:
[..]
Ik moet er uiteindelijk (af - cd) / (ae - bd) van maken.... Ik zie het niet. Dat laatste stap maakt het mij dus lastig. Wat jij had, had ik dus ook, alleen had ik per ongeluk uit automatisme y = opgeschreven..

De vraag is hoe je x hebt bepaald uit je lineaire stelsel. Als je dat zelfstandig kunt, dan kun je op dezelfde manier ook y bepalen.

Bedenk trouwens wel dat je lineaire stelsel uitsluitend een eenduidige oplossing heeft als

ae − bd ≠ 0

want delen door nul heeft geen betekenis. De waarde ae − bd heet de determinant van je lineaire stelsel. Is deze determinant gelijk aan nul, dan is je stelsel ofwel strijdig (dan zijn er geen oplossingen) ofwel onbepaald (dan zijn er oneindig veel oplossingen). Het is gemakkelijk in te zien waarom je deze drie mogelijkheden hebt: de twee lineaire vergelijkingen in x en y stellen elk een rechte lijn voor in een cartesisch coördinatenstelsel, en twee rechte lijnen kunnen elkaar snijden (één oplossing), evenwijdig lopen (geen oplossing) of geheel en al samenvallen (oneindig veel oplossingen).

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

donderdag 9 oktober 2014 @ 19:45:48 #47

Super-B

quote:
Op donderdag 9 oktober 2014 19:18 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Tja, dit is algebra die ze in 2-vmbo-t zonder al te veel problemen uitvoeren.
Overigens, nog steeds onder het vermoeden dat het om een evenwichtspunt gaat, kan het natuurlijk ook anders:
[..]
Schrijven in de vorm x=..., zodat we ze gelijk kunnen stellen met y als variabele, levert
x = (c-by)/a
en
x = (f-ey)/d
Gelijkstellen:
(c-by)/a = (f-ey)/d
dc-dby = af - aey
aey - dby = af - dc
(ae - db)y = af - dc
y = (af - cd)/(ae - bd)
Klaar.

Waarom mogen de noemers weg?

Ik kwam namelijk uit op

(( dc - dby) / ad ) - ((a - aey) / ad)

donderdag 9 oktober 2014 @ 19:48:29 #48

Janneke141

Green, green grass of home

quote:
Op donderdag 9 oktober 2014 19:45 schreef Super-B het volgende:
[..]
Waarom mogen de noemers weg?
Ik kwam namelijk uit op
(( dc - dby) / ad ) - ((a - aey) / ad)

Hoe vaak is je in dit topic al verteld dat je zorgvuldig moet zijn met het opschrijven van vergelijkingen en dus niet het =-teken en alles wat erachter staat moet vergeten?

Maar goed,

quote:
(c-by)/a = (f-ey)/d

dc-dby = af - aey

Vermenigvuldig links en rechts alles met a en d.

Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)

donderdag 9 oktober 2014 @ 20:24:27 #49

Super-B

quote:
Op donderdag 9 oktober 2014 19:48 schreef Janneke141 het volgende:
[..]
Hoe vaak is je in dit topic al verteld dat je zorgvuldig moet zijn met het opschrijven van vergelijkingen en dus niet het =-teken en alles wat erachter staat moet vergeten?
Maar goed,
[..]
Vermenigvuldig links en rechts alles met a en d.

Dus dan moet ik weer met ad vermenigvuldigen om zo de noemer weg te krijgen?

donderdag 9 oktober 2014 @ 20:50:42 #50

RustCohle

Hallo.. Ik heb een drietal vragen:

Voor de volgende twee functies moet ik de logaritmes differentiëren toepassen om y'/y te vinden:

f(x) = ((x+1) / (x-1) ) ^1/3

en

g(x) = √(x-2) (x²+1) (x⁴ + 6)

Ik kwam bij de afgeleide van g'(x) niet uit, laat staan g'(x) vinden met log. differentiëren. Bij die eerste deed ik het volgende:

y = ((x+1) / (x-1) ) ^1/3

ln y = ln (x+1)^1/3 - ln(x-1) ^1/3

y' / y = 1/3 * 1/(x+1) - 1/3 * 1/(x-1)

Mijn derde vraag is het volgende:

Hoe kan ik van de volgende functie het 'solven' voor P en vervolgens dP/dQ vinden:

Q = e^a P ^-b

Forum Opties
Forumhop:
Hop naar:	(afkorting, bv 'KLB')

» school, studie en onderwijs

» school, studie en onderwijs