SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Easy. f(x) = 6x. f(x)-1 = x/6. m = 6, minv = 1/6. 6 * (1/6) = 1.quote:Op donderdag 7 augustus 2014 17:59 schreef Riparius het volgende:
[..]
De waarde van de afgeleide functie is (bij een reële functie van een reële variabele) niets anders dan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in een punt op de grafiek van de functie. Welnu, bij twee rechte lijnen die elkaars spiegelbeeld zijn bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x is het product van de richtingscoëfficiënten van die lijnen gelijk aan 1, mits de lijnen niet parallel zijn aan de coördinaatassen (bewijs dit).
Een raaklijn in een punt (x, y) op de grafiek van f gaat bij spiegeling in de lijn y = x over in de raaklijn in het punt (y, x) op de grafiek van f−1 zodat je dus direct ziet dat moet gelden
f'(x)·(f−1)'(y) = 1
oftewel, in de veel transparantere notatie van Leibniz
(dy/dx)·(dx/dy) = 1.
Dat is natuurlijk nog geen algemeen bewijs, een rechte lijn hoeft geen richtingscoëfficiënt 6 te hebben en hoeft ook niet door de oorsprong te gaan.quote:
[..]
Easy. f(x) = 6x. f(x)-1 = x/6. m = 6, minv = 1/6. 6 * (1/6) = 1.
f(x) = mx. f(x)-1 = x/m. m * (1/m) = 1. Ik weet dat ik de constante b mis, maar op het moment heb ik geen papier bij de hand. Ik kijk er morgen wel naar.quote:
[..]
Dat is natuurlijk nog geen algemeen bewijs, een rechte lijn hoeft geen richtingscoëfficiënt 6 te hebben en hoeft ook niet door de oorsprong te gaan.
Het is vast een kwestie van voorkeur, maar ik vind die meetkundige argumenten veel minder prettig dan een simpele toepassing van een kettingregel.quote:
[..]
De waarde van de afgeleide functie is (bij een reële functie van een reële variabele) niets anders dan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in een punt op de grafiek van de functie. Welnu, bij twee rechte lijnen die elkaars spiegelbeeld zijn bij spiegeling in de lijn met vergelijking y = x is het product van de richtingscoëfficiënten van die lijnen gelijk aan 1, mits de lijnen niet parallel zijn aan de coördinaatassen (bewijs dit).
Een raaklijn in een punt (x, y) op de grafiek van f gaat bij spiegeling in de lijn y = x over in de raaklijn in het punt (y, x) op de grafiek van f−1 zodat je dus direct ziet dat moet gelden
f'(x)·(f−1)'(y) = 1
oftewel, in de veel transparantere notatie van Leibniz
(dy/dx)·(dx/dy) = 1.
Riparius, ik heb 'm nu volledig uitgewerkt.
f(x) = mx+b
Hieruit blijkt dat de richtingscoëfficient 1/m is. m*(1/m) = 1.
f(x) = mx+b
Hieruit blijkt dat de richtingscoëfficient 1/m is. m*(1/m) = 1.
Tja, ik werk zelf graag met meetkundige argumenten om dingen te visualiseren. Uiteraard mag een bewijs in de analyse niet op meetkundige argumenten zijn gebaseerd, maar voor het begrip is het wel belangrijk om te laten zien wat een en ander meetkundig betekent. Als een leerling bijvoorbeeld niet begrijpt dat een waarde van een afgeleide functie de richtingscoëfficiënt voorstelt van de raaklijn in een punt op de grafiek van de oorspronkelijke functie, dan zal die leerling ook niet begrijpen waarom je (locale en globale) extrema van de functie op kunt sporen door de nulpunten van de afgeleide functie te bepalen, en dan verwordt differentiaalrekening tot het slaafs en mechanisch toepassen van een paar half begrepen of geheel niet begrepen regeltjes. Voorbeelden van dergelijk onbegrip hoef je niet ver te zoeken, dit forum staat er vol mee.quote:
[..]
Het is vast een kwestie van voorkeur, maar ik vind die meetkundige argumenten veel minder prettig dan een simpele toepassing van een kettingregel.
Uiteraard kun je volstaan met te zeggen dat uit (g ∘ f)' = (g' ∘ f) · f' en f ∘ f−1 = I volgt dat (f−1)' = (f' ∘ f−1)−1, waarbij f−1 de reciproke functie is van f maar (f' ∘ f−1)−1 de multiplicatieve inverse van f' ∘ f−1 voorstelt (!), maar hoe verhelderend denk je dat dit is voor een leerling die nog nauwelijks enig begrip heeft van differentiaalrekening?
Bij de differentiaalrekening blijkt met name de kettingregel vaak problemen op te leveren voor scholieren en (beginnende) studenten, en dat komt niet omdat die regel zo moeilijk zou zijn maar omdat er kennelijk het nodige schort aan de didactiek. Als je reële functies van reële variabelen opvat als afbeeldingen van een getallenlijn op een andere getallenlijn, dan kun je gemakkelijk laten zien dat de afgeleide een locale schaalfactor voorstelt en dat een samenstelling van afbeeldingen zo dus beantwoordt aan een vermenigvuldiging van locale schaalfactoren.
[ Bericht 2% gewijzigd door Riparius op 09-08-2014 00:10:09 ]
Hey,quote:
[..]
Tja, ik werk zelf graag met meetkundige argumenten om dingen te visualiseren. Uiteraard mag een bewijs in de analyse niet op meetkundige argumenten zijn gebaseerd, maar voor het begrip is het wel belangrijk om te laten zien wat een en ander meetkundig betekent. Als een leerling bijvoorbeeld niet begrijpt dat een waarde van een afgeleide functie de richtingscoëfficiënt voorstelt van de raaklijn in een punt op de grafiek van de oorspronkelijke functie, dan zal die leerling ook niet begrijpen waarom je (locale en globale) extrema van de functie op kunt sporen door de nulpunten van de afgeleide functie te bepalen, en dan verwordt differentiaalrekening tot het slaafs en mechanisch toepassen van een paar half begrepen of geheel niet begrepen regeltjes. Voorbeelden van dergelijk onbegrip hoef je niet ver te zoeken, dit forum staat er vol mee.
Uiteraard kun je volstaan met te zeggen dat uit (g ∘ f)' = (g' ∘ f) · f' en f ∘ f−1 = I volgt dat (f−1)' = (f' ∘ f−1)−1, waarbij f−1 de reciproke functie is van f maar (f' ∘ f−1)−1 de multiplicatieve inverse van f' ∘ f−1 voorstelt (!), maar hoe verhelderend denk je dat dit is voor een leerling die nog nauwelijks enig begrip heeft van differentiaalrekening?
Bij de differentiaalrekening blijkt met name de kettingregel vaak problemen op te leveren voor scholieren en (beginnende) studenten, en dat komt niet omdat die regel zo moeilijk zou zijn maar omdat er kennelijk het nodige schort aan de didactiek. Als je reële functies van reële variabelen opvat als afbeeldingen van een getallenlijn op een andere getallenlijn, dan kun je gemakkelijk laten zien dat de afgeleide een locale schaalfactor voorstelt en dat een samenstelling van afbeeldingen zo dus beantwoordt aan een vermenigvuldiging van locale schaalfactoren.
Zou jij shadowseer de beginselen van wiskunde willen uitleggen? Ik heb hem net een PM gestuurd met uitleg over het cartesisch coordinatenstelsel, en een beginnetje over variabelen en formules, en een opdracht waarbij het de bedoeling is dat hij de waardes van y voor x = 1 tot en met x = 6 uitrekent, met de formule y = 3x + 1. En dat hij de punten die volgen uit de formule aanstipt op het cartesisch assenstelsel, en dan een lijn trekt.
Jouw didactisch vermogen is een stuk beter dan de mijne.
Ik vraag dit namens shadowsheer, omdat hij dat fijner vindt.Lokquote voor shadowseer:
quote:
Ik heb zijn OP gelezen en ik voel er naar aanleiding van de lectuur daarvan niets voor om op dit verzoek in te gaan. Ik denk dat hij een psychiater nodig heeft, geen instructie in elementaire schoolwiskunde.quote:
[..]
Hey,
Zou jij shadowseer de beginselen van wiskunde willen uitleggen? Ik heb hem net een PM gestuurd met uitleg over het cartesisch coordinatenstelsel, en een beginnetje over variabelen en formules, en een opdracht waarbij het de bedoeling is dat hij de waardes van y voor x = 1 tot en met x = 6 uitrekent, met de formule y = 3x + 1. En dat hij de punten die volgen uit de formule aanstipt op het cartesisch assenstelsel, en dan een lijn trekt.
Jouw didactisch vermogen is een stuk beter dan de mijne.
Verder moeten mensen die vragen hebben die vragen hier zelf stellen, en niet via derden. Een hele tijd geleden was er hier ook een joker die - overigens hopeloos geformuleerde en nauwelijks begrijpelijke - vragen stelde namens zijn vriendin, en beweerde dat hij de antwoorden weer over zou brengen aan zijn vriendin. Op mijn vraag of zijn vriendin die vragen hier zelf niet kon stellen kwam geen bevredigend antwoord. Ik kan me voorstellen dat iemand bijvoorbeeld de Nederlandse taal niet machtig is of een lichamelijke handicap heeft waardoor hij of zij niet gebruik kan maken van een computer, maar dat was niet het geval. Volgens de vragensteller was zijn vriendin alleen niet in staat FOK te gebruiken, maar waarom dat zo was kwam niet uit de verf en wenste hij kennelijk ook niet duidelijk te maken. En dan houdt het voor mij op.
Eens. Het ligt alleen niet zo simpel voor hem, daar zit een reden achter. Het beste wat je dan kan doen, is iemand iets leren over iets wat hij vroeger interessant vond, neem ik aan.quote:
[..]
Ik heb zijn OP gelezen en ik voel er naar aanleiding van de lectuur daarvan niets voor om op dit verzoek in te gaan. Ik denk dat hij een psychiater nodig heeft, geen instructie in elementaire schoolwiskunde.
Verder moeten mensen die vragen hebben die vragen hier zelf stellen, en niet via derden. Een hele tijd geleden was er hier ook een joker die - overigens hopeloos geformuleerde en nauwelijks begrijpelijke - vragen stelde namens zijn vriendin, en beweerde dat hij de antwoorden weer over zou brengen aan zijn vriendin. Op mijn vraag of zijn vriendin die vragen hier zelf niet kon stellen kwam geen bevredigend antwoord. Ik kan me voorstellen dat iemand bijvoorbeeld de Nederlandse taal niet machtig is of een lichamelijke handicap heeft waardoor hij of zij niet gebruik kan maken van een computer, maar dat was niet het geval. Volgens de vragensteller was zijn vriendin alleen niet in staat FOK te gebruiken, maar waarom dat zo was kwam niet uit de verf en wenste hij kennelijk ook niet duidelijk te maken. En dan houdt het voor mij op.
Wie heeft een goede site met inhoud en opgaven in de analytische meetkunde? In het nieuwe schoolprogramma is daar het eea over opgenomen en ik wil me hier even in verdiepen.
kloep kloep
Wordt lastig. Ik kan je in ieder geval het oude Prisma Compendium Analytische meetkunde van C. van der Linden aanraden, waarin de vroegere stof van het middelbaar wordt behandeld. Verder bijvoorbeeld dit Amerikaanse schoolboek van bijna een eeuw geleden. Sites met specifiek opgaven over analytische meetkunde ken ik niet maar ik kwam een hele tijd geleden wel dit tegen, een vraagstuk over het bepalen van de vergelijkingen van de twee raaklijnen aan een gegeven cirkel waarbij de gebruikelijke methoden met de richtingscoëfficiënt m van de raaklijn als variabele falen voor één van beide raaklijnen om de eenvoudige reden dat één van de beide raaklijnen verticaal loopt. Kun je je leerlingen eens voorleggen en kijken of ze het probleem correct kunnen identificeren, en, belangrijker nog, of ze een algebraïsche aanpak kunnen bedenken die wél de vergelijkingen van beide raaklijnen oplevert.quote:
Wie heeft een goede site met inhoud en opgaven in de analytische meetkunde? In het nieuwe schoolprogramma is daar het eea over opgenomen en ik wil me hier even in verdiepen.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 12-08-2014 20:00:20 ]
http://www.fi.uu.nl/wiskrant/artikelen/264/264juni_broek.pdf
Niet echt een partij waar ik veel vertrouwen in heb (realistisch rekenen en contextwiskunde) maar het is interessant om te lezen.
http://www.ru.nl/publish/(...)13_ruud_stolwijk.ppt
Wat uitleg over het nieuwe programma (PP), blijkbaar mocht ook BON aan de tafel zitten wat ik toejuich.
Niet echt een partij waar ik veel vertrouwen in heb (realistisch rekenen en contextwiskunde) maar het is interessant om te lezen.
http://www.ru.nl/publish/(...)13_ruud_stolwijk.ppt
Wat uitleg over het nieuwe programma (PP), blijkbaar mocht ook BON aan de tafel zitten wat ik toejuich.
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
#NoDAPL
Dit artikel is inmiddels al zeven jaar oud. Het laatste stuk is vooral een pleidooi om weer wat aan vectoren te gaan doen op school, al dan niet in combinatie met klassieke analytische meetkunde, maar het lijkt er niet op dat daar gevolg aan is gegeven. Met vectoren gaan bewijzen van sommige stellingen uit de vlakke meetkunde, de stereometrie, de analytische meetkunde en ook uit de goniometrie (additietheorema's) heel elegant en eenvoudig, maar goed dat weet je zelf allang als je mij een beetje volgt (zie bijvoorbeeld het bewijs dat het hoogtepunt H, het zwaartepunt Z en het middelpunt van de omgeschreven cirkel O in een driehoek op één rechte liggen, de zogeheten rechte van Euler, en wel zo dat HZ : ZO = 2 : 1, en zie ook je eigen vraag over de transformatieformules bij rotatie van een cartesisch assenstelsel om de oorsprong).quote:
http://www.fi.uu.nl/wiskrant/artikelen/264/264juni_broek.pdf
Niet echt een partij waar ik veel vertrouwen in heb (realistisch rekenen en contextwiskunde) maar het is interessant om te lezen.
Je kunt hier het materiaal vinden dat in de pilots is en wordt gebruikt.quote:
Wie heeft een goede site met inhoud en opgaven in de analytische meetkunde? In het nieuwe schoolprogramma is daar het eea over opgenomen en ik wil me hier even in verdiepen.
Stel, je gooit met 3 dobbelstenen. Hoeveel combinaties heb je dan in totaal om 16 te krijgen? 5 + 5 + 6 is een voorbeeld.
Ik zou ze systematisch kunnen noteren, maar ik dacht dat er misschien een formule voor is?
Ik zou ze systematisch kunnen noteren, maar ik dacht dat er misschien een formule voor is?
Er moet tenminste één 6 bij zitten, anders kan het totaal van de aantallen ogen van de drie dobbelstenen niet groter zijn dan 15. En als je een 6 hebt voor één dobbelsteen, dan zal de som van de ogen van de beide andere dobbelstenen dus 10 moeten zijn, en dat kan alleen met één 6 en één 4 of met twee maal 5. Er zijn dus slechts twee combinaties mogelijk, namelijk één maal 6 met twee maal 5 en twee maal 6 met één maal 4.quote:
Stel, je gooit met 3 dobbelstenen. Hoeveel combinaties heb je dan in totaal om 16 te krijgen? 5 + 5 + 6 is een voorbeeld.
Nee, niet echt. Kijk eens naar partities.quote:Ik zou ze systematisch kunnen noteren, maar ik dacht dat er misschien een formule voor is?
Werk (x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6)3 uit. Dan is de coëfficiënt van x16 het antwoord.quote:
Stel, je gooit met 3 dobbelstenen. Hoeveel combinaties heb je dan in totaal om 16 te krijgen? 5 + 5 + 6 is een voorbeeld.
Ik zou ze systematisch kunnen noteren, maar ik dacht dat er misschien een formule voor is?
quote:
[..]
Werk (x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6)3 uit. Dan is de coëfficiënt van x16 het antwoord.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Daar heb je WolframAlpha voor en dan vind je 6 als coëfficiënt van x16. Maar dat is wel het aantal combinaties dat een totaal van 16 oplevert bij het werpen met drie dobbelstenen die zich van elkaar laten onderscheiden (bijvoorbeeld één rode, één groene en één blauwe). Als de drie dobbelstenen niet van elkaar zijn te onderscheiden heb je maar 2 combinaties die 16 opleveren omdat steeds twee van de drie dobbelstenen een gelijk aantal ogen hebben bij een worp die een totaal van 16 oplevert.quote:
Op
Ja dat begrijp ik. Ik snap alleen even niet de redenatie achter dit trucje.quote:
[..]
Daar heb je WolframAlpha voor en dan vind je 6 als coëfficiënt van x16. Maar dat is wel het aantal combinaties dat een totaal van 16 oplevert bij het werpen met drie dobbelstenen die zich van elkaar laten onderscheiden (bijvoorbeeld één rode, één groene en één blauwe). Als de drie dobbelstenen niet van elkaar zijn te onderscheiden heb je maar 2 combinaties die 16 opleveren omdat steeds twee van de drie dobbelstenen een gelijk aantal ogen hebben bij een worp die een totaal van 16 oplevert.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Deze techniek staat bekend als voortbrengende functies. Als f(n) het aantal mogelijkheden is om n ogen te gooien, dan is de voortbrengende machtreeks (of polynoom in dit geval) van f(n):quote:Op woensdag 20 augustus 2014 14:14 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Ja dat begrijp ik. Ik snap alleen even niet de redenatie achter dit trucje. [ afbeelding ]
Andere typen voortbrengende functies bestaan ook, maar laten we het simpel houden.
De voortbrengende functie voor 1 dobbelsteen is dan x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6.
Voor m dobbelstenen krijg je als voortbrengende functie (x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6)m. Dit kun je inzien door de haakjes uit te werken in dit product van m factoren: de factoren komen overeen met de dobbelstenen, en bij elke factor kies je een term xn die overeenkomt met de mogelijkheid dat er n ogen zijn bij die dobbelsteen. Het product van die termen is xn1+n2+...+nm, zo dat de exponent overeenkomt met de som van de ogen.
[ Bericht 0% gewijzigd door thabit op 20-08-2014 16:08:18 ]
Mooi, dan heb ik nog een sommetje voor je.quote:
Op Als je twee "gewone" dobbelstenen gooit ("gewoon" wil zeggen dat vlakken 1, 2, 3, 4, 5, en 6 ogen hebben), dan weet je hoe de verdeling van de som van de ogen is: je kunt op 1 manier 2 gooien, op 2 manieren 3, op 3 manieren 4, etc t/m op 1 manier 12.
Geef nu twee "ongewone" dobbelstenen (dwz wel met 6 vlakken, maar met andere ogenverdelingen) zo dat de som van de ogen van de twee dezelfde verdeling heeft als bij 2 gewone dobbelstenen.
