[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

zondag 11 mei 2014 @ 16:11:05 #151

Anoonumos

quote:
Op zondag 11 mei 2014 16:09 schreef Super-B het volgende:

[..]

Differentiëren kan ik, op de quotiëntregel na.

Snap je dat

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x}$

De afgeleide van e^x is in het punt x = 0 en dus gelijk aan e⁰ = 1 ?

zondag 11 mei 2014 @ 16:11:11 #152

Super-B

quote:
Op zondag 11 mei 2014 13:53 schreef Anoonumos het volgende:
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = e^0 = 1$
Want die limiet is de afgeleide van e^x in x = 0, en de afgeleide van e^x is e^x.

Daaruit volgt voor elke b:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{b x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \ b \cdot \frac{e^{b x} - 1}{bx} = b \cdot e^0 = b$

En dus voor elke a:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x \ln a}- 1}{x} = \ln a$

Ik snap niet waar de b * vandaan komt en de bx?

zondag 11 mei 2014 @ 16:11:27 #153

Super-B

quote:
Op zondag 11 mei 2014 16:11 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

Snap je dat

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x}$

De afgeleide van e^x is in het punt x = 0 en dus gelijk aan e⁰ = 1 ?

Dat begrijp ik.

zondag 11 mei 2014 @ 16:11:48 #154

nodig

ZOEEEEEFF

quote:
Op zondag 11 mei 2014 16:10 schreef Viezze het volgende:

[..]

Deze kroon ik tot de rekenregel van de dag

SPOILER
Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Op maandag 1 juli 2013 18:51 schreef Spatieloos het volgende:
http://vocaroo.com/i/s0UHSJjg0hd5 :@

zondag 11 mei 2014 @ 16:14:11 #155

nodig

ZOEEEEEFF

quote:
Op zondag 11 mei 2014 16:09 schreef Super-B het volgende:

[..]

Differentiëren kan ik, op de quotiëntregel na.

Die is niet zo heel moeilijk, vind ik.

Op maandag 1 juli 2013 18:51 schreef Spatieloos het volgende:
http://vocaroo.com/i/s0UHSJjg0hd5 :@

zondag 11 mei 2014 @ 16:16:47 #156

Anoonumos

quote:
Op zondag 11 mei 2014 16:11 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ik snap niet waar de b * vandaan komt en de bx?

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{bx} - 1}{x}$

Vermenigvuldig teller en noemer met b

$\lim_{x \to 0} b \cdot \frac{e^{bx} - 1}{bx}$

Maar dit is hetzelfde als

$b \cdot \lim_{x \to 0} \frac{e^{bx} - 1}{bx} = b \cdot \lim_{bx \to 0} \frac{e^{bx} - 1}{bx}$

En die limiet is ook weer de afgeleide van e^x in het punt x = 0 want je kan schrijven y = bx en dan wordt het

$\lim_{bx \to 0} \frac{e^{bx} - 1}{bx} = \lim_{y \to 0} \frac{e^{y} - 1}{y} = 1$

De conclusie is dus

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{bx} - 1}{x} = b \cdot 1 = b$

zondag 11 mei 2014 @ 16:21:15 #157

Super-B

quote:
Op zondag 11 mei 2014 16:16 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{bx} - 1}{x}$

Vermenigvuldig teller en noemer met b

$\lim_{x \to 0} b \cdot \frac{e^{bx} - 1}{bx}$

Maar dit is hetzelfde als

$b \cdot \lim_{x \to 0} \frac{e^{bx} - 1}{bx} = b \cdot \lim_{bx \to 0} \frac{e^{bx} - 1}{bx}$

En die limiet is ook weer de afgeleide van e^x in het punt x = 0 want je kan schrijven y = bx en dan wordt het

$\lim_{bx \to 0} \frac{e^{bx} - 1}{bx} = \lim_{y \to 0} \frac{e^{y} - 1}{y} = 1$

De conclusie is dus

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{bx} - 1}{x} = b \cdot 1 = b$

Hoe kom je tot de conclusie b * 1 en vervolgens dat het antwoord b is? Ik zie hem niet. Evenals de functie met de y waaruit 1 volgt, waaraan zie je dat?

zondag 11 mei 2014 @ 16:23:54 #158

RustCohle

quote:
Op zondag 11 mei 2014 16:09 schreef Alrac4 het volgende:

[..]

Het eerste deel van je antwoord is goed, dus dat stuk neem ik niet mee. Dan kun je jouw antwoord omschrijven:

$\frac{1}{2}*(x+1)^{-1/2}*ln(x) = \frac{1}{2}*\frac{1}{(x+1)^{1/2}}*ln(x) = \frac{1}{2}*\frac{1}{\sqrt{x+1}}*ln(x) = \frac{ln(x)}{2\sqrt{x+1}}$

Toppie. Wat doe ik aan deze fout?

Ln x * x^(1/3)

1/x * x^(1/3) + ln x * 1/3x^(-2/3)

1/3 + ln 1/3x^(1/3)

echter hoort die 1/3x gewoon x te zijn, maar geen idee waarom.

zondag 11 mei 2014 @ 16:29:25 #159

Anoonumos

quote:
Op zondag 11 mei 2014 16:21 schreef Super-B het volgende:

[..]

Hoe kom je tot de conclusie b * 1 en vervolgens dat het antwoord b is? Ik zie hem niet. Evenals de functie met de y waaruit 1 volgt, waaraan zie je dat?

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = e^0= 1$
Omdat het de afgeleide van e^x in het punt x = 0 is.

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{bx} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} b \cdot \frac{e^{bx} - 1}{bx} = b \cdot \lim_{x \to 0} \frac{e^{bx} - 1}{bx} = b \cdot \lim_{bx \to 0} \frac{e^{bx} - 1}{bx} = b \cdot \lim_{y \to 0} \frac{e^{y} - 1}{y} = b \cdot 1 = b$

Die limiet met y volgt dus uit die limiet bovenaan deze post (of je nou x of y gebruikt maakt niks uit)
En ik gebruik dat x -> 0 hetzelfde is als bx -> 0 omdat b toch een constante is.
Goed dat je het probeert te begrijpen maar het is vrij lastig en je hoeft het niet zelf te kunnen op je toets.
Ik denk niet dat ik dit geleerd heb op het vwo.

zondag 11 mei 2014 @ 16:38:05 #160

Super-B

quote:
Op zondag 11 mei 2014 16:29 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = e^0= 1$
Omdat het de afgeleide van e^x in het punt x = 0 is.

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{bx} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} b \cdot \frac{e^{bx} - 1}{bx} = b \cdot \lim_{x \to 0} \frac{e^{bx} - 1}{bx} = b \cdot \lim_{bx \to 0} \frac{e^{bx} - 1}{bx} = b \cdot \lim_{y \to 0} \frac{e^{y} - 1}{y} = b \cdot 1 = b$

Die limiet met y volgt dus uit die limiet bovenaan deze post (of je nou x of y gebruikt maakt niks uit)
En ik gebruik dat x -> 0 hetzelfde is als bx -> 0 omdat b toch een constante is.
Goed dat je het probeert te begrijpen maar het is vrij lastig en je hoeft het niet zelf te kunnen op je toets.
Ik denk niet dat ik dit geleerd heb op het vwo.

Oh oke gelukkig. Nee maar ik snap niet hoe je kan zien dat het uiteindelijk b * 1 is?

zondag 11 mei 2014 @ 16:40:38 #161

nodig

ZOEEEEEFF

Oké,
Bepaal de tweede afgeleide van $x\sqrt{x-1}$

Dus ik kom bij de 1e afgeleide tot:
$\frac{x}{2}(x-1)^{-\frac{1}{2}}+(x-1)^{\frac{1}{2}}$

Maar nu moet ik naar de tweede afgeleide:
$\frac{3x-4}{4(x-1)\sqrt{x-1}}$

Hoe doe ik dit?

Op maandag 1 juli 2013 18:51 schreef Spatieloos het volgende:
http://vocaroo.com/i/s0UHSJjg0hd5 :@

zondag 11 mei 2014 @ 16:40:52 #162

Anoonumos

quote:
Op zondag 11 mei 2014 16:38 schreef Super-B het volgende:

[..]

Oh oke gelukkig. Nee maar ik snap niet hoe je kan zien dat het uiteindelijk b * 1 is?

$\displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{e^{y} - 1}{y} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = e^0= 1$

(Met die eerste gelijkheid bedoel ik dat het niet uitmaakt welke variabele je gebruikt)
En dus

$b \cdot \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{e^{y} - 1}{y} = b \cdot 1 = b$

zondag 11 mei 2014 @ 16:41:44 #163

RustCohle

Ln x^(1/2) * (1-x^2)

ln x(1-x^2) / 2Wx - ln-2x^(3/2) + 2x^2

ik doe wat fout aan de rechterkant...

Ik deed aan de rechterkant dit:

Ln * x^(1/2) * (1-x^2) * -2x
Ln * x^(1/2) * -2x + 2x^2

zo kom ik aan de rechterkant.

zondag 11 mei 2014 @ 16:43:18 #164

Alrac4

quote:
Op zondag 11 mei 2014 16:23 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Toppie. Wat doe ik aan deze fout?

Ln x * x^(1/3)

1/x * x^(1/3) + ln x * 1/3x^(-2/3)

1/3 + ln 1/3x^(1/3)

echter hoort die 1/3x gewoon x te zijn, maar geen idee waarom.

Ik begrijp niet helemaal wat je doet tussen de tweede en derde stap. Probeer dit eens iets beter uit te schrijven.

Verder, maak in je posts duidelijk wanneer je een afgeleide neemt en wanneer je je functie omschrijft dus:
f(x) = ln(x)+x^2
f '(x) = 1/x + 2x

En niet:
ln(x)+x^2
1/x + 2x

zondag 11 mei 2014 @ 16:43:33 #165

Super-B

quote:
Op zondag 11 mei 2014 16:40 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

$\displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{e^{y} - 1}{y} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = e^0= 1$

(Met die eerste gelijkheid bedoel ik dat het niet uitmaakt welke variabele je gebruikt)
En dus

$b \cdot \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{e^{y} - 1}{y} = b \cdot 1 = b$

Ik zie het licht bij het eindantwoord gewoon niet. Hoe kom je aan e^0 en b = 1 ? Ik kan dat gewoon niet zien. De rest is mij wel geheel duidelijk, evenals het variabele dat kan veranderen.

zondag 11 mei 2014 @ 16:45:42 #166

Anoonumos

quote:
Op zondag 11 mei 2014 16:40 schreef nodig het volgende:
Oké,
Bepaal de tweede afgeleide van $x\sqrt{x-1}$

Dus ik kom bij de 1e afgeleide tot:
$\frac{x}{2}(x-1)^{-\frac{1}{2}}+(x-1)^{\frac{1}{2}}$

Maar nu moet ik naar de tweede afgeleide:
$\frac{3x-4}{4(x-1)\sqrt{x-1}}$

Hoe doe ik dit?

$(x-1)^{\frac{3}{2}} = (x-1)^{\frac{1}{2}} \cdot (x-1) = \sqrt{x-1} (x-1)$
Helpt dit?

zondag 11 mei 2014 @ 16:49:58 #167

Anoonumos

quote:
Op zondag 11 mei 2014 16:43 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ik zie het licht bij het eindantwoord gewoon niet. Hoe kom je aan e^0 en b = 1 ? Ik kan dat gewoon niet zien. De rest is mij wel geheel duidelijk, evenals het variabele dat kan veranderen.

Niet b = 1 maar 1 * b = b.

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = e^0 = 1$

Die limiet is de afgeleide van e^x in het punt x = 0. (Definitie van de afgeleide)
De afgeleide van e^x is e^x.
Dus de afgeleide van e^x in het punt x = 0 is e⁰ en er geldt e⁰ = 1.

zondag 11 mei 2014 @ 16:51:05 #168

RustCohle

quote:
Op zondag 11 mei 2014 16:43 schreef Alrac4 het volgende:

[..]

Ik begrijp niet helemaal wat je doet tussen de tweede en derde stap. Probeer dit eens iets beter uit te schrijven.

Verder, maak in je posts duidelijk wanneer je een afgeleide neemt en wanneer je je functie omschrijft dus:
f(x) = ln(x)+x^2
f '(x) = 1/x + 2x

En niet:
ln(x)+x^2
1/x + 2x

De functie is -->

x^(1/2) ln (1-x²)

Hiervan moet ik de afgeleide weten en ik herschreef de functie als:

ln x^(1/2) * (1-x²)

Hierop pas ik de productregel toe, dus:

1/x^(1/2) * (1-x²) + ln x^(1/2) * -2x (1-x²)

Dit wordt:

1/x^(1/2) * (1-x²) + ln x^(1/2) * -2x + 2x³)

1-x² / x^(3/2) + ln x^(1/2) * -2x + 2x³)

zondag 11 mei 2014 @ 16:51:50 #169

Riparius

quote:
Op zondag 11 mei 2014 13:53 schreef Anoonumos het volgende:
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = e^0 = 1$
Want die limiet is de afgeleide van e^x in x = 0, en de afgeleide van e^x is e^x.

Dat klopt uiteraard, maar om aan te tonen dat f(x) = e^x zichzelf als afgeleide heeft wordt meestal gebruik gemaakt van de 'standaardlimiet'

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{e^{h} - 1}{h} = 1$

en dan beland je dus in een cirkelredenatie als je je weer gaat beroepen op de afgeleide van f(x) = e^x in het punt x = 0 om deze limiet te rechtvaardigen ...

Je zou dus eerst deze limiet aan moeten tonen zonder gebruik te maken van de afgeleide van f(x) = e^x.

quote:
Daaruit volgt voor elke b:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{b x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \ b \cdot \frac{e^{b x} - 1}{bx} = b \cdot e^0 = b$

En dus voor elke a:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x \ln a}- 1}{x} = \ln a$

Wellicht was het verhelderend geweest als je hierbij even had opgemerkt dat e^b = a equivalent is met b = ln a.

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

zondag 11 mei 2014 @ 16:55:36 #170

nodig

ZOEEEEEFF

quote:
Op zondag 11 mei 2014 16:45 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

$(x-1)^{\frac{3}{2}} = (x-1)^{\frac{1}{2}} \cdot (x-1) = \sqrt{x-1} (x-1)$
Helpt dit?

Nee. Die -4 in de teller kan ik nog wel beredeneren. Maar waar die 3x vandaan komt en waar het 2e gedeelte gelaten wordt is me een raadsel.

Op maandag 1 juli 2013 18:51 schreef Spatieloos het volgende:
http://vocaroo.com/i/s0UHSJjg0hd5 :@

zondag 11 mei 2014 @ 16:56:57 #171

Super-B

quote:
Op zondag 11 mei 2014 16:49 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

Niet b = 1 maar 1 * b = b.

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = e^0 = 1$

Die limiet is de afgeleide van e^x in het punt x = 0. (Definitie van de afgeleide)
De afgeleide van e^x is e^x.
Dus de afgeleide van e^x in het punt x = 0 is e⁰ en er geldt e⁰ = 1.

Oke.. x = 0? Waaraan zie je dat in de functie... Waar ik in de war van raak is dat als de functie geen x had maar -3x dat het dan opeens -3 wordt?!

zondag 11 mei 2014 @ 16:59:01 #172

Anoonumos

quote:
Op zondag 11 mei 2014 16:51 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat klopt uiteraard, maar om aan te tonen dat f(x) = e^x zichzelf als afgeleide heeft wordt meestal gebruik gemaakt van de 'standaardlimiet'

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{e^{h} - 1}{h} = 1$

en dan beland je dus in een cirkelredenatie als je je weer gaat beroepen op de afgeleide van f(x) = e^x in het punt x = 0 om deze limiet te rechtvaardigen ...

Je zou dus eerst deze limiet aan moeten tonen zonder gebruik te maken van de afgeleide van f(x) = e^x.

Ja, daar heb je gelijk in.
Ik begrijp het wel dat mensen in de war raken als je op deze manier in een halve pagina het getal e introduceert, zonder docent.

zondag 11 mei 2014 @ 17:02:13 #173

RustCohle

quote:
Op zondag 11 mei 2014 16:51 schreef RustCohle het volgende:

[..]

De functie is -->

x^(1/2) ln (1-x²)

Hiervan moet ik de afgeleide weten en ik herschreef de functie als:

ln x^(1/2) * (1-x²)

Hierop pas ik de productregel toe, dus:

1/x^(1/2) * (1-x²) + ln x^(1/2) * -2x (1-x²)

Dit wordt:

1/x^(1/2) * (1-x²) + ln x^(1/2) * -2x + 2x³)

1-x² / x^(3/2) + ln x^(1/2) * -2x + 2x³)

Dit is hartstikke fout. Ik kan niet meer verder. Kan iemand hem even doen voor me? Helaas heeft het antwoordenboek alleen een antwoord staan en geen uitwerking.

zondag 11 mei 2014 @ 17:02:27 #174

Alrac4

quote:
Op zondag 11 mei 2014 16:51 schreef RustCohle het volgende:

[..]

De functie is -->

x^(1/2) ln (1-x²)

Hiervan moet ik de afgeleide weten en ik herschreef de functie als:

ln x^(1/2) * (1-x²)

Hierop pas ik de productregel toe, dus:

1/x^(1/2) * (1-x²) + ln x^(1/2) * -2x (1-x²)

Dit wordt:

1/x^(1/2) * (1-x²) + ln x^(1/2) * -2x + 2x³)

1-x² / x^(3/2) + ln x^(1/2) * -2x + 2x³)

Volgens mij gaat het helemaal in het begin al fout
$x^{1/2}*ln(1-x^2) \ne ln(x^{1/2})*(1-x^2)$

zondag 11 mei 2014 @ 17:05:00 #175

RustCohle

quote:
Op zondag 11 mei 2014 17:02 schreef Alrac4 het volgende:

[..]

Volgens mij gaat het helemaal in het begin al fout
$x^{1/2}*ln(1-x^2) \ne ln(x^{1/2})*(1-x^2)$

Ik dacht dat je dat mocht omdraaien omdat het vermenigvuldiging is en de volgorde niet uitmaakt

Forum Opties
Forumhop:
Hop naar:	(afkorting, bv 'KLB')

» school, studie en onderwijs

» school, studie en onderwijs