[Bčta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Vraagje over matrices:

Ik heb vijf vectoren waarbij de vraag is of ze een basis van R⁵ vormen, namelijk:
w¹: (2, 0, 2, 0, 2);
w²: (0, 4, 0, 4, 0);
w³: (2, -4, 6, -8, 10);
w⁴: (6, 2, 0, 2, 8);
w⁵: (10, 2, 8, -2, 20);

Ik wil nu gaan bewijzen of ze al dan niet lineair onafhankelijk zijn. Mijn docente zegt: w¹ + w² + w³ + w⁴ == w⁵, dus ze zijn lineair afhankelijk, dus vormen ze geen basis van R⁵. Kan ik inkomen.

Maar dat was pas toen ik de antwoorden bekeek, nadat ik net had bewezen dat de determinant van het systeem A = [w¹ w² w³ w⁴ w⁵] ongelijk is aan 0. Ik krijg dan namelijk: 2*4*6*2*20 + 6*2*2*4*10 - 2*4*6*2*10 - 8*-2*2*4*2 == 96*20 + 96*10 - 96*10 + 32*8 != 0. Nu zouden de vectoren dus opeens lineair onafhankelijk zijn.

Wat zie ik hier over het hoofd?

Ik zie niet hoe je de determinant berekent, hij moet 0 zijn.

quote:

Op zaterdag 19 januari 2013 17:50 schreef GlowMouse het volgende:
Ik zie niet hoe je de determinant berekent, hij moet 0 zijn.

Ja precies, daar gaat dus waarschijnlijk iets fout bij mij. Ik maak van de vectoren de kolommen van een 5x5 matrix. Die ziet er dan zo uit:



Of in upper triangular form:



[ Bericht 7% gewijzigd door wimjongil op 19-01-2013 18:14:21 ]

Je upper triangular form is fout.

quote:

Op zaterdag 19 januari 2013 18:02 schreef GlowMouse het volgende:
Je upper triangular form is fout.

Ik zie 'm. de onderste rij wordt helemaal 0 inderdaad. Maar heb ik bij de eerste ook een rekenfout gemaakt?

_{En hoe krijg ik die verdraaide latex-code goed?}

quote:

Op zaterdag 19 januari 2013 18:08 schreef wimjongil het volgende:

[..]

Ik zie 'm. de onderste rij wordt helemaal 0 inderdaad. Maar heb ik bij de eerste ook een rekenfout gemaakt?

welke eerste?

quote:

_{En hoe krijg ik die verdraaide latex-code goed?}

geen enters

quote:

Op zaterdag 19 januari 2013 18:13 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

welke eerste?

Mijn beginmatrix. Waar ik de berekening van de determinant in #201 heb gepost.

quote:

[..]

geen enters

Danku.

quote:

Op zaterdag 19 januari 2013 17:50 schreef GlowMouse het volgende:
Ik zie niet hoe je de determinant berekent

2*4*6*2*20 + 6*2*2*4*10 - 2*4*6*2*10 - 8*-2*2*4*2 is een onbegrijpelijke berekening.

quote:

Op zaterdag 19 januari 2013 18:17 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

2*4*6*2*20 + 6*2*2*4*10 - 2*4*6*2*10 - 8*-2*2*4*2 is een onbegrijpelijke berekening.

(a₁₁*a₂₂*a₃₃*a₄₄*a₅₅ +
a₂₁*a₃₂*a₄₃*a₅₄*a₁₅ +
a₃₁*a₄₂*a₅₃*a₁₄*a₂₅ +
a₄₁*a₅₂*a₁₃*a₂₄*a₃₅ +
a₅₁*a₁₂*a₂₃*a₃₄*a₄₅)

minus

(a₅₁*a₄₂*a₃₃*a₂₄*a₁₅ +
a₄₁*a₃₂*a₂₃*a₁₄*a₅₅ +
a₃₁*a₂₂*a₁₃*a₅₄*a₄₅ +
a₂₁*a₁₂*a₅₃*a₄₄*a₃₅ +
a₁₁*a₅₂*a₄₃*a₃₄*a₂₅)

Waarbij a_{rij, kolom}.

Bij mijn berekening had ik alle producten met een 0 erin al weggehaald.

Is dat een standaardformule ofzo?

quote:

Op zaterdag 19 januari 2013 19:22 schreef GlowMouse het volgende:
Is dat een standaardformule ofzo?

Ja, je vermenigvuldigt de diagonalen van linksboven naar rechtsonder en dan trek je daar de diagonale van linksonder naar rechtsboven vanaf. Zo is het ons geleerd iig.

Dat werkt alleen bij 3x3 he...

idd, zie http://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_Sarrus

quote:

Op zaterdag 19 januari 2013 20:14 schreef twaalf het volgende:
Dat werkt alleen bij 3x3 he...

Ah vandaar. Dom, maar dit verklaart wel waarom ik twee verschillende determinanten vond. Bedankt allebei!

Zou iemand mij misschien uit kunnen leggen hoe ik de coördinaten van de toppen van een functie bereken. ik heb de functie f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 2
Alvast bedankt

quote:

Op zondag 20 januari 2013 18:28 schreef mega-worstje het volgende:
Zou iemand mij misschien uit kunnen leggen hoe ik de coördinaten van de toppen van een functie bereken. ik heb de functie f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 2
Alvast bedankt

http://nl.wikipedia.org/w(...)C3.A9n_veranderlijke

quote:

Op zondag 20 januari 2013 18:28 schreef mega-worstje het volgende:
Zou iemand mij misschien uit kunnen leggen hoe ik de coördinaten van de toppen van een functie bereken. ik heb de functie f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 2
Alvast bedankt

Wat weet je over de helling in een top? Ofwel, wat is de waarde van de eerste afgeleide bij maxima/minima van de functie?

quote:

Op zondag 20 januari 2013 21:11 schreef Unsub het volgende:

[..]

Wat weet je over de helling in een top? Ofwel, wat is de waarde van de eerste afgeleide bij maxima/minima van de functie?

De vragensteller reageert al uren niet meer maar blijft wel online op FOK. Hij wacht dus kennelijk tot iemand het van a tot z voorkauwt. Geen energie in steken.

quote:

Op zondag 20 januari 2013 23:05 schreef Riparius het volgende:
De vragensteller reageert al uren niet meer maar blijft wel online op FOK. Hij wacht dus kennelijk tot iemand het van a tot z voorkauwt. Geen energie in steken.

... of hij heeft de checkbox "blijf ingelogd" aangevinkt staan .

Maar voor de vragensteller alvast een voorzetje.

-f(x) differentiëren a.k.a. afgeleide naar x berekenen
-afgeleide op nul herleiden en nulpunten berekenen
-tekenoverzicht afgeleide opstellen
-2de afgeleide berekenen en nulpunten berekenen
-checken of buigpunten samenvallen met lokale extrema

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

quote:

Op dinsdag 22 januari 2013 11:56 schreef Saind het volgende:

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

/edit
Laat maar! Te snel opgegeven

Teken hem eens; hij klopt niet.

Vraagje over kansrekenen.

Een enquętebureau weet uit ervaring dat één op de vier mensen wil meedoen aan een telefonische enquęte. Een medewerkster belt achter elkaar vier aselect gekozen nummers.
A) Bereken de kans dat iedereen mee wil doen.

Die heb ik zelf al uitgerekend, 0,25^4=0.00390625 en dat klopt. Maar de volgende vragen weet ik niet:
B) hoe groot is de kans dat er maar één persoon is die wil meewerken?
C) Bereken de kans dat hoogstens drie personen aan de enquęte willen meedoen.
D) Bereken de kans dat mistens twee personen willen meewerken.

Alvast bedankt voor het antwoord.

Sla je boek eens open bij de binomiale verdeling.

quote:

Op woensdag 23 januari 2013 15:00 schreef GlowMouse het volgende:
Sla je boek eens open bij de binomiale verdeling.

Het rare is dat het hoofdstuk over binomiale verdeling later wordt behandeld dan dit, dus daarom dacht ik er niet aan.

Heb een vraagje over mijn wiskunde opgaven (gaat over impliciete functies):

Ik moet de volgende 2 functies herschijven tot y=φi(x)

- f(x; y) = y - y^3 + x = 0 (voor de waarden -1, 0, 1 berekend d.m.v. f(0,y)=0)
- g(x,y) = 1/2x^2 - 1/2y^2 + 1/4y^4 =0 (voor waardes 4/3, 2/3 berekend d.m.v. f(4/9,y)=0)

Deze 'herschrijving' lukt me echter niet.. Hoe moet ik dit aanpakken?

BVD

Die tweede functie kan y niet uniek definiëren, aangezien het teken niet is gedefinieerd.

quote:

Op woensdag 23 januari 2013 17:09 schreef ozneod het volgende:
Heb een vraagje over mijn wiskunde opgaven (gaat over impliciete functies):

Ik moet de volgende 2 functies herschijven tot y=φi(x)

- f(x; y) = y - y^3 + x = 0 (voor de waarden -1, 0, 1 berekend d.m.v. f(0,y)=0)
- g(x,y) = 1/2x^2 - 1/2y^2 + 1/4y^4 =0 (voor waardes 4/3, 2/3 berekend d.m.v. f(4/9,y)=0)

Deze 'herschrijving' lukt me echter niet.. Hoe moet ik dit aanpakken?

BVD

Laat even zien wat je geprobeerd hebt, hoever je gekomen bent etc. Met toepassing van abc-formule of kwadraatafsplitsen zou het niet zo'n probleem moeten zijn.

Hint: (y - y³=y(1-y²), en als je z = ¹/₂y² substitueert kan je de tweede vergelijking omschrijven tot een tweedegraads vergelijking).

quote:

Op zondag 13 januari 2013 10:55 schreef thabit het volgende:

[..]

Gij zijt Vlaming?

...

Ik heb een goed cijfer gehaald, dank nogmaals! En op het tentamen werden het ook gewoon deelgroepen genoemd (wat ik eigenlijk ook beter vind klinken dan ondergroep).

quote:

Op vrijdag 7 december 2012 19:56 schreef Riparius het volgende:

[..]







Gelijk maar drie voorbeelden, naar ik vermoed in oplopende moeilijkheidsgraad, al is dat uiteraard een enigszins subjectieve beoordeling. Het is de bedoeling de waarde van deze integralen exact te bepalen zonder gebruik van elektronische (reken)hulpmiddelen. Numerieke benaderingen worden niet gevraagd, en losse antwoorden evenmin, wel een uitwerking waaruit de exacte waarde blijkt. En even voor de goede orde: alle opgaven zijn oplosbaar. De eerste opgave vond ik trouwens ook in een Vlaams schoolboek(!), moet je in Nederland eens om komen.

Riparius, heb je nog tips of leesvoer dat zou kunnen helpen? Ik vind het idee interessant, maar ik heb geen idee waar ik moet beginnen.

quote:

Op zaterdag 26 januari 2013 15:13 schreef thenxero het volgende:
Altijd leuk als je na 5 kantjes uitkomt op 0=0

Nog altijd beter dan iets wat niet klopt
Misschien dat ik vanavond nog even kijk, ik heb het eigenlijk druk maar ik ben toch keihard aan het soggen Dank voor je antwoord trouwens.

quote:

Op zaterdag 26 januari 2013 01:16 schreef kutkloon7 het volgende:

[..]

Riparius, heb je nog tips of leesvoer dat zou kunnen helpen? Ik vind het idee interessant, maar ik heb geen idee waar ik moet beginnen.

Uiteraard tips en literatuur genoeg, en ik zal daar t.z.t ook volledige opening van zaken over geven, maar als ik nu te veel los laat dan vind je, eventueel na wat googelen, oplossingen die al door anderen zijn bedacht in plaats van dat je zelf iets bedenkt en dat zou jammer zijn. Verder ben ik ook nog steeds benieuwd of er wellicht oplossingen worden gevonden die niet uit de literatuur bekend zijn (met name voor de derde integraal). Maar om er toch iets over te zeggen:

#1: Deze integraal werd in de 19e eeuw door een jonge Franse wiskundige behandeld in een artikel. Hij had er drie bladzijden voor nodig om de oplossing uiteen te zetten, maar al in het volgende nummer van hetzelfde tijdschrift reageerde er iemand die met een verbluffend simpele oplossing kwam in slechts drie regeltjes, en dat was best sneu voor de jonge wiskundige ...

Een aantal jaren geleden was dit ook een opgave op een wedstrijd voor wiskundestudenten (niet in Nederland, ook geen Olympiade) en daarbij werden door de deelnemers minstens vijf verschillende oplossingen gevonden, sommige erg gecompliceerd of ingenieus, maar ook de twee 'Franse' oplossingen of varianten daarop. Het kan zijn dat sommige deelnemers de literatuur kenden, maar het is uiteraard ook mogelijk dat bestaande oplossingen door deelnemers zelfstandig werden herontdekt. Hint: substitutie.

#2: Deze integraal werd al behandeld door Euler (en dat kan ik best zeggen, want het is ondoenlijk om alles wat Euler geschreven heeft door te nemen, en bovendien staat het in een tamelijk onbekend artikel in het Latijn, dat bij mijn weten ook nooit is vertaald). Euler gaf meteen twee oplossingen, ontwikkelde een nieuwe integratietechniek, en deed daar vervolgens nog veel meer mee (zoals altijd als hij goed op dreef is). Hint: misschien nog eens even hier wat webcolleges doornemen, met name college 4 t/m 6.

#3: Zoals ik al aangaf werd deze integraal in 1696 opgesteld door Leibniz als alternatieve formulering van het zogeheten Basel probleem: als je deze integraal kon evalueren, dan kende je ook de exacte som van de reeks 1/1² + 1/2² + 1/3² + ... Maar de directe evaluatie van de integraal liet op zich wachten, ook nadat Euler rond 1735 het Basel probleem op een andere manier had opgelost. Bram vroeg zich af of er ten tijde van Euler een manier bestond om deze integraal te evalueren zonder gebruik te maken van de reeds gekende som van de bijbehorende Taylorreeks voor x = 1, en het antwoord daarop is ja. Een tamelijk onbekende tijdgenoot van Euler heeft al een oplossing aangegeven, waar echter complexe getallen aan te pas komen, en dat is opmerkelijk als je bedenkt dat de complexe functietheorie pas in de 19e eeuw echt tot ontwikkeling kwam. Het kan ook zonder complexe getallen, maar dat blijft wat moeizaam, vandaar dat ik geďnteresseerd ben in mogelijk elegantere oplossingen. Hint: dubbelintegraal.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 28-01-2013 18:30:15 ]

quote:

Op zaterdag 26 januari 2013 19:15 schreef Riparius het volgende:

[..]

Top! Ik zou bij de helft van die webcolleges aanwezig moeten zijn (maar dat is helaas niet vaak gelukt, ik had een bizar druk semester en nog een vak op hetzelfde tijdstip, hopelijk heb ik functies en reekse wel gehaald).

Dit is al heel lang geleden maar... ik heb de matrix



Dus de kolomruimte is

Nu zou dit gelijk moeten zijn aan

Waarom?

Als je een matrix veegt, verandert de rijruimte niet.

quote:

Op zondag 27 januari 2013 23:55 schreef thenxero het volgende:
Als je de linker vector van de rechter afhaalt krijg je (-1,1,0,0). Een veelvoud van (-8,8,0,0). En drie keer de linker min twee keer de rechter geeft (3,-2,2,1).

Ah ok enkel een vereenvoudiging dus.

Hallo, ben bezig met massabalansen maar ik kom niet uit de volgende.



Hieruit haal ik dan de volgende 2 vergelijkingen:
0,1 F + 0,02 R = 0,05 W + 0,25 B
0,25 B = 0,30 E + 0,02 R

Met:
E = 100
Bereken W, F en R.

Ikzelf krijg:
0,1 F + 0,02 R = 0,05 W + 30 + 0,02 R
0,1 F = 0,05 W + 30

en dus krijg je: 0,05 W + 30 + 0,02 R = 0,05W + 30 + 0,02 R
Is 0.

Wat doe ik fout? volgens het antwoodmodel is F 310, W 210,5 en R 21,7

quote:

Op maandag 28 januari 2013 19:10 schreef Platina het volgende:
Hallo, ben bezig met massabalansen maar ik kom niet uit de volgende.

[ afbeelding ]

Wat doe ik fout?

Je probeert drie onbekenden te bepalen maar je hebt slechts twee (lineaire) vergelijkingen in die drie onbekenden opgesteld, dus zo gaat het niet: je mist nog een vergelijking. Kijk nog eens goed naar je plaatje ...

quote:

Op maandag 28 januari 2013 19:30 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je probeert drie onbekenden te bepalen maar je hebt slechts twee (lineaire) vergelijkingen in die drie onbekenden opgesteld, dus zo gaat het niet: je mist nog een vergelijking. Kijk nog eens goed naar je plaatje ...

Met B erbij heb ik zelfs 4 onbekenden.
Ik heb 3 uitgangen, maar als ik een vergelijking met W opstel herschrijf ik toch slechts dezelfde vergelijking als die met F er in?

Als ik de R stroom probeer te schrijven krijg ik:
0,02 R = -30 + 0,1 F - 0,05 W

Maar dit komt dan weer niet overeen met de F vergelijking.

quote:

Op maandag 28 januari 2013 19:42 schreef Platina het volgende:

[..]

Voor je verder gaat: wat is 0,5% omgezet naar een decimaal getal?

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 28-01-2013 20:34:40 ]

quote:

Op maandag 28 januari 2013 20:00 schreef Riparius het volgende:

[..]

Voor je verder gaat: wat is 0,5% omzet naar een decimaal getal?

Zo, ben lekker slordig bezig. Daar ontbreekt een 0, is natuurlijk 0,005

quote:

Op maandag 28 januari 2013 19:42 schreef Platina het volgende:

[..]

Met B erbij heb ik zelfs 4 onbekenden.

Inderdaad. Ik heb het idee dat er iets ontbreekt aan de opgave zoals je die hier geeft. Voor het systeem als geheel zou toch moeten gelden 0,1F = 0,005W + 0,3E, maar dat klopt niet met de antwoorden die je geeft.

quote:

Op maandag 28 januari 2013 20:30 schreef Riparius het volgende:

[..]

Inderdaad. Ik heb het idee dat er iets ontbreekt aan de opgave zoals je die hier geeft. Voor het systeem als geheel zou toch moeten gelden 0,1F = 0,005W + 0,3E, maar dat klopt niet met de antwoorden die je geeft.

Ik quote even uit mijn opgavenboek:

quote:

A liquid food product with a dry matter content of 10% is concentrated in a membrane system. After two steps (see figure) a dry matter content of 30% is obtained. It is required to make 100 kg of product (30% DS) per minute. Calculate the sizes of the feed stream F, the water stream W and the recycle stream R.

Tezamen met het plaatje de enige info die we gekregen hebben. Begin toch het idee te krijgen dat ik de docent even moet lastig gaan vallen dat dit niet op te lossen valt

quote:

Op maandag 28 januari 2013 20:45 schreef Platina het volgende:

[..]

Ik quote even uit mijn opgavenboek:

[..]

Tezamen met het plaatje de enige info die we gekregen hebben. Begin toch het idee te krijgen dat ik de docent even moet lastig gaan vallen dat dit niet op te lossen valt

De Engelse tekst van de opgave geeft toch wel een iets ander perspectief. De letters stellen massa's per eenheid van tijd voor, uitgedrukt in kilogram per minuut, en je kunt bedenken dat zowel de totale massa als de massa aan droge stof die per minuut het systeem in gaat gelijk moet zijn aan de totale massa resp. de totale massa aan droge stof die per minuut uit het systeem komt. Zo kun je dus meer vergelijkingen opstellen. Maar dan nog zou moeten gelden F = W + E, en dan impliceren je antwoorden dat E = 99,5 en niet E = 100 kg/min.

Voor het totale systeem (totale massa en massa aan droge stof) moet gelden:

F = W + E
0,1∙F = 0,005∙W + 0,3∙E

Oplossen van dit stelsel met E = 100 geeft F ≈ 310,526, W ≈ 210,526.

Kijken we dan naar het rechter deelsysteem, dan moet voor dit systeem (totale massa en massa aan droge stof) gelden:

B = R + E
0,25∙B = 0,3∙E + 0,02∙R

Oplossen van dit stelsel met E = 100 geeft B ≈ 121,739, R ≈ 21,739.

Zo zie je maar, als je maar lang genoeg nadenkt en de opgave goed leest kom je er uit. Maar dat had jij natuurlijk moeten doen, niet ik.

[ Bericht 4% gewijzigd door Riparius op 28-01-2013 23:27:18 ]