quote:
Op zaterdag 26 januari 2013 01:16 schreef kutkloon7 het volgende:[..]
Riparius, heb je nog tips of leesvoer dat zou kunnen helpen? Ik vind het idee interessant, maar ik heb geen idee waar ik moet beginnen.
Uiteraard tips en literatuur genoeg, en ik zal daar t.z.t ook volledige opening van zaken over geven, maar als ik nu te veel los laat dan vind je, eventueel na wat googelen, oplossingen die al door anderen zijn bedacht in plaats van dat je zelf iets bedenkt en dat zou jammer zijn. Verder ben ik ook nog steeds benieuwd of er wellicht oplossingen worden gevonden die niet uit de literatuur bekend zijn (met name voor de derde integraal). Maar om er toch iets over te zeggen:
#1: Deze integraal werd in de 19e eeuw door een jonge Franse wiskundige behandeld in een artikel. Hij had er drie bladzijden voor nodig om de oplossing uiteen te zetten, maar al in het volgende nummer van hetzelfde tijdschrift reageerde er iemand die met een verbluffend simpele oplossing kwam in slechts drie regeltjes, en dat was best sneu voor de jonge wiskundige ...
Een aantal jaren geleden was dit ook een opgave op een wedstrijd voor wiskundestudenten (niet in Nederland, ook geen Olympiade) en daarbij werden door de deelnemers minstens vijf verschillende oplossingen gevonden, sommige erg gecompliceerd of ingenieus, maar ook de twee 'Franse' oplossingen of varianten daarop. Het kan zijn dat sommige deelnemers de literatuur kenden, maar het is uiteraard ook mogelijk dat bestaande oplossingen door deelnemers zelfstandig werden herontdekt. Hint: substitutie.
#2: Deze integraal werd al behandeld door Euler (en dat kan ik best zeggen, want het is ondoenlijk om alles wat Euler geschreven heeft door te nemen, en bovendien staat het in een tamelijk onbekend artikel in het Latijn, dat bij mijn weten ook nooit is vertaald). Euler gaf meteen twee oplossingen, ontwikkelde een nieuwe integratietechniek, en deed daar vervolgens nog veel meer mee (zoals altijd als hij goed op dreef is). Hint: misschien nog eens even
hier wat webcolleges doornemen, met name college 4 t/m 6.
#3: Zoals ik al
aangaf werd deze integraal in 1696 opgesteld door Leibniz als alternatieve formulering van het zogeheten Basel probleem: als je deze integraal kon evalueren, dan kende je ook de exacte som van de reeks 1/1
2 + 1/2
2 + 1/3
2 + ... Maar de directe evaluatie van de integraal liet op zich wachten, ook nadat Euler rond 1735 het Basel probleem op een andere manier had opgelost. Bram
vroeg zich af of er ten tijde van Euler een manier bestond om deze integraal te evalueren zonder gebruik te maken van de reeds gekende som van de bijbehorende Taylorreeks voor x = 1, en het antwoord daarop is ja. Een tamelijk onbekende tijdgenoot van Euler heeft al een oplossing aangegeven, waar echter complexe getallen aan te pas komen, en dat is opmerkelijk als je bedenkt dat de complexe functietheorie pas in de 19e eeuw echt tot ontwikkeling kwam. Het kan ook zonder complexe getallen, maar dat blijft wat moeizaam, vandaar dat ik geďnteresseerd ben in mogelijk elegantere oplossingen. Hint: dubbelintegraal.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 28-01-2013 18:30:15 ]