quote:
Op maandag 12 december 2011 23:51 schreef GeertJan88 het volgende:Ben dus met wiskunde bezig. En nu heb ik een tweetal formules gekregen om een vector door een vlak te bereken. Echter snap ik niet helemaal hoe deze formules te gebruiken. Zou iemand misschien de formule in kunnen vullen met een voorbeeld zodat ik dit als referentie kan gebruiken? Bedankt alvast!
[..]
en de 2e formule
[..]
Begin eens je quotes wat leesbaarder en correcter op te schrijven. En uit je vraagstelling proef ik een beetje dat je vooral een 'recept' wil hebben. Als je nu maar weet hoe je die formules in moet vullen dan ben je kennelijk tevreden. Maar dat is
niet goed. Je moet begrijpen
waarom die formules zijn zoals ze zijn en wat ze (meetkundig) voorstellen.
Eerste quote:
quote:
The equation of a plane (points P are on the plane with normal N and point P3 on the plane) can be written as N dot (P - P3) = 0
The equation of the line (points P on the line passing through points P1 and P2) can be written as
P = P1 + u (P2 - P1)
The intersection of these two occurs when
N dot (P1 + u (P2 - P1)) = N dot P3
De vectorvergelijking van het bedoelde vlak V door punt P
3 en loodrecht op vector
n is:
(1) V:
n∙(
p -
p3) = 0
Hierbij stelt het eindpunt P van vector OP =
p een willekeurig punt in het vlak V voor. Het is gemakkelijk in te zien waarom dit een vectorvoorstelling van het betreffende vlak is: als P in het vlak ligt, evenals het vaste punt P
3, dan is de verschilvector OP - OP
3 =
p -
p3 parallel aan lijnstuk PP
3 in het vlak V, zodat deze verschilvector
loodrecht op vector
n staat en het inproduct van
n en
p -
p3 dus gelijk is aan 0.
Tweede quote:
quote:
A plane can also be represented by the equation
A x + B y + C z + D = 0
where all points (x,y,z) lie on the plane.
Substituting in the equation of the line through points P1 (x1,y1,z1) and P2 (x2,y2,z2)
P = P1 + u (P2 - P1)
gives
A (x1 + u (x2 - x1)) + B (y1 + u (y2 - y1)) + C (z1 + u (z2 - z1)) + D = 0
Om dit te begrijpen moet je weten hoe je de vectorvoorstelling (1) van een vlak V omzet in een vergelijking in cartesische coördinaten. Stel dat we hebben:
(2)
n = (a,b,c)
en:
(3)
p3 = (x
3,y
3,z
3)
en zij
p = (x,y,z) weer de variabele vector. Dan volgt uit (1) dat het inproduct van
n en
p -
p3 voor elke vector
p = (x,y,z) met eindpunt in het betreffende vlak nul moet zijn, en dus:
(4) V: a(x - x
3) + b(y - y
3) + c(z - z
3) = 0
Door het uitwerken van de haakjes breng je deze cartesische vergelijking voor het vlak V gemakkelijk in de standaardvorm:
(5) V: ax + by + cz + d = 0
Voor een lijn l door de punten P
1 en P
2 hebben we met de vaste vectoren OP
1 =
p1 en OP
2 =
p2 een vectorvoorstelling:
(6) l:
p =
p1 + μ∙(
p2 -
p1)
waarbij μ de verzameling reële getallen doorloopt. Ook dit is weer eenvoudig in te zien. Aangezien P
1 en P
2 op l liggen, is de verschilvector
p2 -
p1 parallel aan lijn l, zodat l':
p = μ∙(
p2 -
p1) een vectorvoorstelling is van een lijn l' door de oorsprong en parallel aan l. Tellen we de vaste vector
p1 hierbij op (hetgeen resulteert in een translatie langs lijnstuk OP
1) dan krijgen we dus alle vectoren waarvan de eindpunten op lijn l liggen aangezien O op l' ligt en P
1 op l ligt terwijl l' parallel is aan l. Schrijven we nu (6) in coördinaatvorm, dan hebben we:
(7) l: (x,y,z) = (x
1 + μ(x
2-x
1), y
1 + μ(y
2-y
1), z
1 + μ(z
2-z
1))
Dit levert dus het volgende stelsel:
(8a) x = x
1 + μ(x
2-x
1)
(8b) y = y
1 + μ(y
2-y
1)
(8c) z = z
1 + μ(z
2-z
1)
Substitutie van (8a), (8b) en (8c) in de cartesische vergelijking (5) van vlak V levert een lineaire vergelijking in μ op, die ons dus vertelt voor welke waarde van μ lijn l vlak V snijdt (als althans lijn l niet evenwijdig loopt aan vlak V of in vlak V ligt). Door terugsubstitueren van de aldus gevonden waarde van μ in (8a), (8b) en (8c) verkrijgen we dan de cartesische coördinaten van het snijpunt van lijn l met vlak V.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 13-12-2011 07:29:19 ]