[Bèta wiskunde] Huiswerk-en-vragentopic

Ja, een ondergrens van een uitdrukking A is een uitdrukking B die altijd een waarde heeft die kleiner is dan de waarde van A.

Herstel: kleiner dan of gelijk aan.

Misschien in OP even linjke erbij?

http://www.wolframalpha.com

Heleboel sites van wolfram staan er al, maar dit lijkt me zo de geavanceerdste rekenmachine die er bestaat

je mag die x wel zelf kiezen, dus kies hem slim

Dan doe je alsof het een vast punt is.

waar komt dat vandaan?

quote:

Op dinsdag 12 oktober 2010 22:57 schreef BasementDweller het volgende:
(y+d₁)^a - y^a >= ay^a-1 y^a - y^a = ay^2a-1 - y^a

Lijkt niet te kloppen voor d₁ -> 0.

Laat anders de afleiding zien

quote:

Op dinsdag 12 oktober 2010 23:25 schreef BasementDweller het volgende:
Als ik nou nog met y had moeten vermenigvuldigen, krijg ik een makkelijkere uitdrukking.

(y+d₁)^a - y^a >= ay^a d₁ - y^a = y^a (a d₁ -1) >= y^a (d₁ -1)...

Klopt niet, vul maar in: a = 2, d₁ = 2, y = 8.

Ik weet dat dit niet echt een wiskunde vraag is maar weet iemand hier hét standaard wiskunde boek voor Itō's lemma? Hetgeen wat meest gebruikt wordt op bijv. quantitative finance of econometrie studies? Het continu werken tussen verschillende boeken breekt me een beetje op.

quote:

Op dinsdag 12 oktober 2010 22:35 schreef BasementDweller het volgende:
Wat me een beetje verwart met die raaklijn, is dat je hem in een variabel punt x wil... dus de rico hangt af van de x.

De rico is iig: a x^a-1...

quote:

Ik probeer te bewijzen dat x^a uniform continu is op het domein van alle positieve reële getallen, als a=0 of a=1, en anders niet.

Ik denk dat je iets probeert te bewijzen wat sowieso niet klopt. Je kunt gemakkelijk afleiden dat voor x, h > 0 geldt:

| √(x+h) - √x | < √h

Maar dan volgt dat f(x) = x^a wél uniform continu is op ℝ⁺ voor a = ½, in tegenspraak met wat je probeert te bewijzen.

Voor a > 1 kun je gebruik maken van de gegeneraliseerde ongelijkheid van Bernoulli om te laten zien dat f(x) = x^a dan inderdaad niet uniform continu is op ℝ⁺.

quote:

Op woensdag 13 oktober 2010 02:01 schreef sitting_elfling het volgende:
Ik weet dat dit niet echt een wiskunde vraag is maar weet iemand hier hét standaard wiskunde boek voor Itō's lemma? Hetgeen wat meest gebruikt wordt op bijv. quantitative finance of econometrie studies? Het continu werken tussen verschillende boeken breekt me een beetje op.

Ik doe niks in de finance-richting, maar weet wel dat Ito's lemma in Tilburg bij veel vakken terugkomt, zonder dat bij die vakken hetzelfde boek gebruikt wordt (vaak dictaten, slides of college-aantekeningen). Bij dit vak staat wel een boek, maar de kwaliteit van dat boek ken ik niet.

Ik zit hier maar te kloten met deze vraag, misschien iemand die me kan helpen.

We hebben een test met drugs, de ontwikkelaar zegt dat de drug in 80% van de gevallen werkt.
we proberen nu die claim te ontzenuwen en geven 20 mensen de drug. Y is # mensen bij wie de drug werkt. We testen H₀ : p=0.8 tegen H_a: P<0.8
Neem aan dat het verwerpingsgebied [y<13] is.

b) vind α

Mijn gedachtengang tot nu toe:
Y = binomiaal verdeeld (n=20, p=0.8)
ik moet de kans vinden dat H_o verworpen wordt terwijl die eigenlijk wel correct is.
dat is hier dus P(Y<13), echter ik moet dit zonder een GR berekenen dus algebraïsch, dat wordt natuurlijk een enorme som(dus niet de bedoeling).
Echter heb ik ook geleerd dat een binomiale verdeling te benaderen is met een normale verdeling, die hier dan zou zijn:
Y=normaal verdeeld(mu=n*p=16 en s²=n*p*(1-p)=20*0.8*0.2=3.2)
Met continuiteitscorrectie zou ik dan hierin moeten berekenen P(Y<12.5)
Het enige hulpmiddel wat ik wel heb is een tabel met alle uitkomsten van de standaardnormale verdeling,
dus P(Y<12.5) standaardiseren geeft
P(Z<12.5-16/√(3.2) )= P(Z<-1.96) = P(Z>1.96)
P(Z>1.96)= 0.025
Echter niet correct want als ik ''cheat'' en binomcdf(20, 0.8, 12) gebruik krijg ik 0.032.

Verder moet ik later ook nog ß berekenen en die probeer ik op soortgelijke manier maar dat gaat dus ook niet goed.
Ergens zit hier dus een fout, kan iemand mij verlichten.

Je methode is geheel correct. De afwijking komt omdat het een benadering is.

Beide kun je met de definitie bewijzen.

hoe dan

Ah ja, met de extra stelling van continuïteit op een gesloten en begrensd interval erbij Maar heb je wel eens aangetoond dat die functie continu is op [0,10], of verschuif je alleen het probleem?

quote:

Op woensdag 13 oktober 2010 17:37 schreef BasementDweller het volgende:
Als je laat zien dat |x^a - y^a| < | x-y | < d voor x,y>1 en 0=<a=<1, dan heb je bewezen dat ie uniform continu is op [1, inf) . Omdat [0,10] gesloten en begrensd is, is die daar ook uniform continu, en dan ook op (0,10]. Dus dan is ie ook unif cont op (0,inf).

Ik moet alleen nog bewijzen dat |x^a - y^a| < | x-y | , als dat kan.

Laat eerst eens zien hoe je denkt te bewijzen dat f(x) = x^a met 0 < a < 1 uniform continu is op een gesloten interval met ondergrens 0 ...

Dat Riparius √h als afschatting gebruikte, kan dat algemener?

Stel je voor dat je als eindverantwoordelijke moet je kiezen tussen twee procedures voor de aanpak van de uitbraak van een dodelijke ziekte.

Als je voor procedure 1 kiest, worden 250 mensen gered. Als je voor procedure 2 kiest, is er kans van 2/3 dat niemand wordt gered, maar een kans van 1/3 dat er 750 mensen worden gered.

Wat is het verwachte aantal mensen dat wordt gered met beide procedures?

Voor procedure 1:

Voor procedure 2:
------------
Ik denk bij allebei 250, maar is dat niet wat te voor de hand liggend?

Door de makkelijkheid werd ik aan het twijfelen gebracht Maar het was uiteraard goed.

Ik had het al eens eerder gevraagd geloof ik, maar ik probeer het een en ander over differentiaalvergelijkingen te leren, en ik loop steeds weer tegen het rekenen met differentiaalvormen aan. In geen van de boeken die ik heb staat dit goed uitgelegd (ik heb: differential equations for dummies en ordinary differential equations).

De eerste heeft nog wel alle regels voor differentiëren erbij gezet, maar niks over integreren (terwijl dat volgens mij van meer belang is dan differentiëren, maargoed) of het rekenen met differentiaalvormen, laat staan over het integreren van differentiaalvormen.

Maargoed. Ik heb zelf al gezocht, maar blijkbaar zijn er meerdere soorten differentiaalvormen, want de sites waar ik bij uitkwam, leken niet veel met met differentiaalvergelijkingen te maken te hebben.
Een voorbeeld dat bijvoorbeeld gebruikt wordt is:

En als je dat integreert zou je krijgen:


Maar ik begrijp dus niet hoe het precies werkt. De rechterkant is me volgens mij wel duidelijk:
dt is de afgeleide van t, dus de integraal daarvan is weer t.
De linkerkant is me niet duidelijk. De integraal van 1/x is ln(x), maar het is me niet duidelijk waarom dat er nu ook uitkomt...

Links naar verdere uitleg worden ook zeer gewaardeerd .

dt is niet de afgeleide van t. Je begint met dx/x = dt, en zet links en rechts een integraal teken ervoor. De integraal van 1 dt zonder grenzen is de primitieve, en de primitieve van 1 is t. Links krijg je de primitieve van 1/x, en dat is ln(x).

quote:

Op woensdag 13 oktober 2010 23:43 schreef GlowMouse het volgende:
dt is niet de afgeleide van t. Je begint met dx/x = dt, en zet links en rechts een integraal teken ervoor. De integraal van 1 dt zonder grenzen is de primitieve, en de primitieve van 1 is t. Links krijg je de primitieve van 1/x, en dat is ln(x).

Ok. Dussss dt en dx zijn gewoon 1? kan je gewoon beschouwen als 1 bij het integreren?
En dankje voor de snelle reactie .

Nee, integraal dt is integraal 1 dt.

Ik moet nu wel opeens aan een mop over 2 wiskundigen en een serveerster denken.

quote:

Op donderdag 14 oktober 2010 00:04 schreef thabit het volgende:
Ik moet nu wel opeens aan een mop over 2 wiskundigen en een serveerster denken.

nu ken ik hem ook

quote:

Op woensdag 13 oktober 2010 23:58 schreef BasementDweller het volgende:
dt en dx zijn niet 1... dt en dx geven in feite aan over welke variabele je integreert.

Je kan het zo zien:
dt is een infinitesimaal klein stukje van t. En integreren is in feite het optellen van al deze kleine stukjes, en dan krijg je weer t.

Ah. Dus als je iets integreert wat vermenigvuldigd is met dt en je wil dat integreren, dan integreer je het eigenlijk ten opzichte van t (ik weet niet wat de juiste term is, maar het klinkt wel ok ).
Wat als je nou

wil integreren? Ik heb de uitkomst hier wel staan:

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Maar het is me nog steeds niet helemaal duidelijk. (Mis ik iets wat duidelijk zou moeten worden ofzo?)
ze hadden dit wat beter moeten behandelen op de middelbare school zeg...

[ Bericht 1% gewijzigd door minibeer op 14-10-2010 12:44:39 ]

Ik begrijp dat die notatie vragen oproept idd. Het is eigenlijk een overblijfsel uit de tijd dat men was begonnen met rekenen met 'infinitesimalen' zonder er een exacte definitie voor te hebben. Een manier om er tegenaan te kijken is te zeggen dat dy/dt de afgeleide van y is, als functie van t. Oftewel y'(t). Dus de opgave kun je zien als y'(t)/(y(t)-b/a), en als je dit integreert kom je uit op ln|y(t)-b/a|.

quote:

Op woensdag 13 oktober 2010 23:29 schreef minibeer het volgende:

Maargoed. Ik heb zelf al gezocht, maar blijkbaar zijn er meerdere soorten differentiaalvormen, want de sites waar ik bij uitkwam, leken niet veel met met differentiaalvergelijkingen te maken te hebben.

Misschien heb je hier wat aan (om mee te beginnen). En lees ook de Wikipedia artikelen over de notatie van Leibniz en andere notaties die je tegen kunt komen.

quote:

Een voorbeeld dat bijvoorbeeld gebruikt wordt is:
[ afbeelding ]
En als je dat integreert zou je krijgen:
[ afbeelding ]

Maar ik begrijp dus niet hoe het precies werkt.

Links naar verdere uitleg worden ook zeer gewaardeerd .

Scheiding van variabelen. Een standaardtechniek voor het oplossen van sommige typen DV's. Je zou ook kunnen schrijven:

dx/dt = x

Dan beschouwen we t als onafhankelijke variabele en x als afhankelijke variabele. Nu is het makkelijk te zien wat de oplossingen zijn van deze DV, want dat moet een functie zijn die zichzelf als afgeleide heeft, en dat is de exponentiële functie, vermenigvuldigd met een constante. Dus hebben we:

x = c∙e^t

quote:

Op donderdag 14 oktober 2010 00:12 schreef GlowMouse het volgende:

[..]


nu ken ik hem ook

ik niet

quote:

Op donderdag 14 oktober 2010 00:39 schreef DuTank het volgende:

[..]

ik niet

Lees dit tijdschrift maar eens.

quote:

Op donderdag 14 oktober 2010 00:55 schreef Riparius het volgende:

[..]

Lees dit tijdschrift maar eens.

Moet dat echt?

quote:

Op donderdag 14 oktober 2010 00:37 schreef Riparius het volgende:

[..]

Misschien heb je hier wat aan (om mee te beginnen). En lees ook de Wikipedia artikelen over de notatie van Leibniz en andere notaties die je tegen kunt komen.
[..]

Scheiding van variabelen. Een standaardtechniek voor het oplossen van sommige typen DV's. Je zou ook kunnen schrijven:

dx/dt = x

Dan beschouwen we t als onafhankelijke variabele en x als afhankelijke variabele. Nu is het makkelijk te zien wat de oplossingen zijn van deze DV, want dat moet een functie zijn die zichzelf als afgeleide heeft, en dat is de exponentiële functie, vermenigvuldigd met een constante. Dus hebben we:

x = c∙e^t

Die wikipedia(edit: wikibooks, handige site btw) is inderdaad handiger dan ik dacht (meestal verwarren die mij alleen maar meer )
eerst die maar doorlezen, dan kijken wat ik van die boeken snap.
En hartelijk dank voor de hulp natuurlijk !

[ Bericht 1% gewijzigd door minibeer op 14-10-2010 13:08:19 ]

quote:

Op donderdag 14 oktober 2010 00:37 schreef Riparius het volgende:
Scheiding van variabelen. Een standaardtechniek voor het oplossen van sommige typen DV's. Je zou ook kunnen schrijven:

dx/dt = x

Dan beschouwen we t als onafhankelijke variabele en x als afhankelijke variabele. Nu is het makkelijk te zien wat de oplossingen zijn van deze DV, want dat moet een functie zijn die zichzelf als afgeleide heeft, en dat is de exponentiële functie, vermenigvuldigd met een constante. Dus hebben we:

x = c∙e^t

Ik snap het nu wat beter, ik zou het zelf zo doen:

dx/dt = x
delen door x
1/x * dx/dt = 1
vermenigvuldigen met dt
1/x dx = 1 dt
beide kanten primitiveren
ln(x) = t + c
x = e^(c+t) = e^c*e*t
dan noem je ipv c, e^c de constante (oftwel je substitueert c voor e^c wat eigenlijk niet mag maar omdat c elk getal kan zijn en we de eerdere waarde toch niet nodig hebben maakt het niet uit)
x = c*e^t


(om maar even te laten zien dat jullie inspangen wel enig nut hebben )

Maar, ik snap bijvoorbeeld dit stukje van de wikibook nog niet:
"

Substituting y=xv which is the same as substituting v=y/x:


Now
"

Die laatste stap
ze vervangen dy door iets met dv erin geloof ik, maar het is me niet helemaal duidelijk hoe en waarom...

quote:

Op donderdag 14 oktober 2010 13:30 schreef minibeer het volgende:

[..]

Ik snap het nu wat beter, ik zou het zelf zo doen:

dx/dt = x
delen door x
1/x * dx/dt = 1
vermenigvuldigen met dt
1/x dx = 1 dt
beide kanten primitiveren
ln(x) = t + c
x = e^(c+t) = e^c*e*t
dan noem je ipv c, e^c de constante (oftwel je substitueert c voor e^c wat eigenlijk niet mag maar omdat c elk getal kan zijn en we de eerdere waarde toch niet nodig hebben maakt het niet uit)
x = c*e^t


(om maar even te laten zien dat jullie inspangen wel enig nut hebben )

Toch een kanttekening: je vindt zo niet alle oplossingen van de DV, want e^c kan niet negatief zijn (voor een reële c), terwijl de algemene oplossing van de gedaante x = c∙e^t is, waarin c ook heel goed negatief kan zijn.

Dit komt omdat je bij het primitiveren van 1/x geen rekening hebt gehouden met mogelijke negatieve waarden van x, want ln(x) is binnen ℝ alleen gedefinieerd voor positieve waarden van x. Als x echter negatief is, dan kun je ln(-x) nemen als primitieve van 1/x, immers volgens de kettingregel is de afgeleide van ln(-x) gelijk aan 1/(-x)∙(-1) = 1/x, zoals gewenst.

We kunnen beide gevallen (x > 0 en x < 0) samen nemen door ln |x| te noteren als primitieve van 1/x. Dan vind je dus met bovenstaande methode |x| = e^c∙e^t en dus x = e^c∙e^t óf x = -e^c∙e^t. Nu heb je wel alle oplossingen, afgezien van de triviale oplossing x = 0.

quote:

Maar, ik snap bijvoorbeeld dit stukje van de wikibook nog niet:
"[ afbeelding ]

Substituting y=xv which is the same as substituting v=y/x:
[ afbeelding ]

Now
[ afbeelding ]"

Die laatste stap
ze vervangen dy door iets met dv erin geloof ik, maar het is me niet helemaal duidelijk hoe en waarom...

Hier wordt dy/dx herleid tot een uitdrukking in x (als onafhankelijke variabele) en v (als functie van x) door de productregel toe te passen op y = x∙v. In de notatie van Leibniz wordt dat:

dy/dx = d(x∙v)/dx = dx/dx∙v + x∙dv/dx = v + x∙dv/dx

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 14-10-2010 19:17:14 ]

quote:

Op donderdag 14 oktober 2010 01:18 schreef DuTank het volgende:

[..]

Moet dat echt?

Wel als je die grap van de twee wiskundigen en de blonde serveerster wil lezen. (Hint: blz. 25).

Nu ben ik een dictaat aan het doornemen over het bepalen van de breukspanning van brosse materialen waarbij de breukspanning nogal uiteen loopt in de proefserie. Ze gaan bepalen met een Weibull analyse. Geen idee waar dat allemaal nog meer voor gebruikt wordt maar ik kom het volgende tegen en snap er vrij weinig van

http://dl.dropbox.com/u/8845842/weibull.jpg

Dat is toch gewoon complete wiskundige onzinnigheid.. m/m = 1 en e^ln(x) = x..

Of kan ik me maar beter uitschrijven?

quote:

Op donderdag 14 oktober 2010 15:58 schreef Riparius het volgende:

[..]

Toch een kanttekening: je vindt zo niet alle oplossingen van de DV, want e^c kan niet negatief zijn (voor een reële c), terwijl de algemene oplossing van de gedaante x = c∙e^t is, waarin c ook heel goed negatief kan zijn.

Dit komt omdat je bij het primitiveren van 1/x geen rekening heb gehouden met mogelijke negatieve waarden van x, want ln(x) is binnen ℝ alleen gedefinieerd voor positieve waarden van x. Als x echter negatief is, dan kun je ln(-x) nemen als primitieve van 1/x, immers volgens de kettingregel is de afgeleide van ln(-x) gelijk aan 1/(-x)∙(-1) = 1/x, zoals gewenst.

We kunnen beide gevallen (x > 0 en x > 0) samen nemen door ln |x| te noteren als primitieve van 1/x. Dan vind je dus met bovenstaande methode |x| = e^c∙e^t en dus x = e^c∙e^t óf x = -e^c∙e^t. Nu heb je wel alle oplossingen, afgezien van de triviale oplossing x = 0.
[..]

Hier wordt dy/dx herleid tot een uitdrukking in x (als onafhankelijke variabele) en v (als functie van x) door de productregel toe te passen op y = x∙v. In de notatie van Leibniz wordt dat:

dy/dx = d(x∙v)/dx = dx/dx∙v + x∙dv/dx = v + x∙dv/dx

ik denk dat ik het snap, harstikke bedankt man

quote:

Op donderdag 14 oktober 2010 17:16 schreef Robin__ het volgende:
Nu ben ik een dictaat aan het doornemen over het bepalen van de breukspanning van brosse materialen waarbij de breukspanning nogal uiteen loopt in de proefserie. Ze gaan bepalen met een Weibull analyse. Geen idee waar dat allemaal nog meer voor gebruikt wordt maar ik kom het volgende tegen en snap er vrij weinig van

http://dl.dropbox.com/u/8845842/weibull.jpg

Dat is toch gewoon complete wiskundige onzinnigheid.. m/m = 1 en e^ln(x) = x..

Of kan ik me maar beter uitschrijven?

Ik kan geen chocola maken van je scan, niet alleen omdat ik niets weet over Weibull analyse maar ook door het ontbreken van context, maar duidelijk is dat formule (12) een tautologie is (die niet pleit voor de intelligentie van de auteur van je scan). Maar goed, deze meneer Weibull heeft zelf heel wat intelligentere dingen opgeschreven en er is ook een Wikipedia artikel over de naar hem genoemde Weibull distributie. Zijn originele artikelen (uit 1939 en 1951) zijn ook - legaal - online beschikbaar, die vind je hier en hier.

En uitschrijven zou ik nu zeker niet doen, het jaar is pas begonnen ...

Maar ik zal het topic niet verder vervuilen, bedank voor het antwoord en het opzoeken van de wiki pagina's

[ Bericht 59% gewijzigd door Robin__ op 15-10-2010 12:49:23 ]

Q/(1-x)-Q = Q*x/(1-x)

Hoe maak ik deze wat simpeler ? Ik snap der weinig van...

quote:

Op vrijdag 15 oktober 2010 11:23 schreef One_conundrum het volgende:
Q/(1-x)-Q = Q*x/(1-x)

Hoe maak ik deze wat simpeler ? Ik snap der weinig van...

Vermenigvuldig beide kanten met (1-x), dan krijg je Q-Q*(1-x)=Q*x. Dat is Q-Q+Q*x=Q*x. Q-Q=0, Q=Q ?

Hehe, als je het zo zegt klinkt het best logisch jaa.

En ik had nog een lange vergelijking en daarvan rest dit stukje nog. Ik dacht; beide kanten *1 , Maar ik snap niet echt hoe die *1 de rechterkant zo verandert...

1/a = (N-1)/2 +1 naar

a = 2/(N+1) (dit moet het worden)

quote:

Op vrijdag 15 oktober 2010 11:41 schreef One_conundrum het volgende:
Hehe, als je het zo zegt klinkt het best logisch jaa.

En ik had nog een lange vergelijking en daarvan rest dit stukje nog. Ik dacht; beide kanten *1 , Maar ik snap niet echt hoe die *1 de rechterkant zo verandert...

1/a = (N-1)/2 +1 naar

a = 2/(N+1) (dit moet het worden)

als je *1 doet gaat er natuurlijk helemaal niks gebeuren! om 'a' los te krijgen kan je het volgende ezelsbruggetje gebruiken: 6/2=3... Hoe kom je aan 2?

Iemand enig idee? Een normale least-squares oplossen is eenvoudig: x^= (A^TA)^-1A^Ty. Hier echter snap ik uberhaupt de vraag niet eens.

quote:

Op vrijdag 15 oktober 2010 12:06 schreef FedExpress het volgende:

[..]

als je *1 doet gaat er natuurlijk helemaal niks gebeuren! om 'a' los te krijgen kan je het volgende ezelsbruggetje gebruiken: 6/2=3... Hoe kom je aan 2?

Geen pons asinorum ...

Elementaire algebra:

1/a = (N - 1)/2 + 1

1/a = (N - 1)/2 + 2/2

1/a = (N - 1 + 2)/2

1/a = (N + 1)/2

a = 2/(N + 1)

Zelfde principe als bij die andere opgave. Als je een breuk en een andere grootheid bij elkaar op wil tellen, maak je van die grootheid eerst een gelijknamige breuk. In dit voorbeeld heeft de breuk 2 als noemer, dus maak ik van die 1 eerst ook een breuk met 2 als noemer, namelijk 2/2. Is echt lagere school werk.

Ik snap wat je bedoelt met die ebrug. ik wil dus 6 door 3 dus; a = 1 / (N-1)/2 +1 ?

Hoe versimpel ik de rechterkant dan nog?

edit;

Haha, lagere school zelfs...

quote:

Op vrijdag 15 oktober 2010 12:22 schreef One_conundrum het volgende:
Ik snap wat je bedoelt met die ebrug. ik wil dus 6 door 3 dus; a = 1 / (N-1)/2 +1 ?

Hoe versimpel ik de rechterkant dan nog?

edit;

Haha, lagere school zelfs...

Je wil nu kennelijk iets wat niet klopt. Je kunt niet zomaar de inverse nemen van beide leden als je aan de rechterkant nog een tweeterm hebt en dan alleen de eerste term inverteren.

Mjaa, ik probeer wat te doen met de tips die ik krijg... Ga volgende periode ook wiskunde vak volgen. Dat zou moeten helpen...

quote:

Op vrijdag 15 oktober 2010 12:30 schreef One_conundrum het volgende:
Mjaa, ik probeer wat te doen met de tips die ik krijg... Ga volgende periode ook wiskunde vak volgen. Dat zou moeten helpen...

Waar heb je die wiskunde voor nodig? Dit had je al jaren geleden moeten weten.

Dat weet ik... Het is een combi van nooit nodig gehad en A12 op de havo. Nu stop met mezelf verdedigen als je het niet erg vind..

quote:

Op vrijdag 15 oktober 2010 12:39 schreef One_conundrum het volgende:
Dat weet ik... Het is een combi van nooit nodig gehad en A12 op de havo. Nu stop met mezelf verdedigen als je het niet erg vind..

Goed, maar nu heb je het kennelijk wel nodig, alleen waarvoor? En welk niveau wil je bereiken?

quote:

Op vrijdag 15 oktober 2010 12:18 schreef Jac0bus het volgende:
[ afbeelding ]

Iemand enig idee? Een normale least-squares oplossen is eenvoudig: x^= (A^TA)^-1A^Ty. Hier echter snap ik uberhaupt de vraag niet eens.

Je hebt de volgende vergelijkingen:
51.4 = c0 + eps1
51.3 = c0 + eps2
51.5 = c0 + c1 * 1000 + eps3
51.8 = c0 + c1 * 3000 + eps4
52.0 = c0 + c1 * 5000 + eps5

quote:

Op vrijdag 15 oktober 2010 12:47 schreef GlowMouse het volgende:

[..]


Je hebt de volgende vergelijkingen:
51.4 = c0 + eps1
51.3 = c0 + eps2
51.5 = c0 + c1 * 1000 + eps3
51.8 = c0 + c1 * 3000 + eps4
52.0 = c0 + c1 * 5000 + eps5

wat zijn die eps dan?

De errorterm, je hebt natuurlijk nooit gelijkheid.

Twee dingen: hoe maak ik daar een matrix van die ik vervolgens kan oplossen voor c1?
En begin je met die vergelijkingen die jij opschrijft niet bij de 4000 nu?

quote:

Op vrijdag 15 oktober 2010 13:07 schreef Jac0bus het volgende:
Twee dingen: hoe maak ik daar een matrix van die ik vervolgens kan oplossen voor c1?

Net als bij elke andere regressie. Je wilt eps loodrecht op y-Ax hebben. Hier geldt x = [c0; c1].

quote:

En begin je met die vergelijkingen die jij opschrijft niet bij de 4000 nu?

Nee, je kunt de andere observaties goed gebruiken om een nauwkeurige schatting voor c0 te krijgen.

Danku, ik heb hem nu

Het lastigste aan de vraag was nou om te begrijpen wat ze met x_start bedoelen. Eerst geven ze die waarden vanaf x=0 een daarna lullen ze over het feit dat van x0 tot x=3000 alles plat is, terwijl de hoogtes toch echt iets anders vertelden.

Tennisballen dienen tussen de 56.5 en 58.3 gram te wegen. Een machine produceert tennisballen met een gemiddeld gewicht van 57.2 gram en een standaarddeviatie van 0.25 gram. Neem aan dat het gewicht van de tennisballen die de machine produceert normaal verdeeld is.

(a)
Bereken de kans dat de beschreven machine een tennisbal produceert die aan de gewichtsnorm voldoet.

Rond deze kans af op drie decimalen.
---
Is dat normalcdf(56.5, 58.3, 57.2, 0.25) = 0.997?

Ja.

quote:

Op woensdag 13 oktober 2010 20:09 schreef GlowMouse het volgende:
Dat Riparius √h als afschatting gebruikte, kan dat algemener?

Ja. Ik kan aantonen dat geldt:

0 < (x + h)^α - x^α < h^α voor x,h > 0 en 0 < α < 1.

Dan volgt eenvoudig dat f(x) = x^α uniform continu is op ℝ⁺ voor 0 < α < 1 aangezien dan voor elke ε > 0 een waarde δ = ε^1/α voldoet in de ε,δ definitie van uniforme continuïteit.

quote:

Op vrijdag 15 oktober 2010 19:32 schreef BasementDweller het volgende:

[..]

Dat is me niet meer gelukt. Heb het probleem op een andere manier aangepakt, waardoor je had |x^a - y^a|<|x-y| voor x,y>1 en 0<a<1. Ziet er wat trivialer uit, al wist ik hiervan ook niet hoe ik het kon bewijzen.

Dus ik ben wel benieuwd naar hoe je dit soort dingen kan bewijzen.

Om met dat laatste te beginnen: een additionele voorwaarde voor de geldigheid van je ongelijkheid is uiteraard dat x en y niet aan elkaar gelijk zijn. Zij f(x) = x^α op ℝ⁺ met 0 < α < 1. Volgens de middelwaardestelling is er nu een getal c tussen x en y (dus c ∈ (x, y) indien x < y resp. c ∈ (y, x) indien y < x) zodanig dat:

(1) | f(x) - f(y) | = | f'(c) |∙| x - y |

Nu is f'(x) = α∙x^α-1, en aangezien 0 < α < 1 en omdat voor x,y > 1 ook geldt c > 1 is dan 0 < f'(c) < α, en dus hebben we:

(2) | x^α - y^α | < α∙| x - y | voor x,y > 1, 0 < α < 1

En dus ook:

(3) | x^α - y^α | < | x - y | voor x,y > 1, 0 < α < 1

Ongelijkheid (2) is sterker dan de ongelijkheid (3) die je wilde afleiden, maar met geen van beide ongelijkheden kun je rechtstreeks de uniforme continuiteit van f(x) = x^α met 0 < α < 1 op ℝ⁺ aantonen. De functie f(x) is weliswaar uniform continu op ℝ⁺ maar niet Lipschitz continu op ℝ⁺.

Een functie f : D ↦ℝ heet Lipschitz continu indien er een L ≥ 0 is zodanig dat voor elke x,y ∈ D geldt:

(4) | f(x) - f(y) | ≤ L∙| x - y |

Deze voorwaarde houdt eenvoudig gezegd in dat de steilheid (stijgend of dalend) van de grafiek van f de waarde L niet kan overschrijden. Lipschitz continuïteit is stringenter dan uniforme continuïteit, want het is gemakkelijk in te zien dat een functie f : D ↦ℝ die Lipschitz continu is met L > 0 ook uniform continu is: voor elke ε > 0 voldoet dan de waarde δ = ε/L in de ε,δ definitie van uniforme continuïteit. (Als L = 0, dan is f een constante functie, en ook die is uniform continu). Het omgekeerde geldt echter niet, een functie die uniform continu is hoeft niet Lipschitz continu te zijn.

Het is eenvoudig in te zien dat f(x) = x^α met 0 < α < 1 niet Lipschitz continu is op ℝ⁺ omdat de afgeleide f'(x) = α∙x^α-1 onbeperkt toeneemt naarmate we x tot 0 laten naderen, zodat er geen L kan bestaan zodanig dat deze functie aan (4) voldoet op ℝ⁺. Nu is het echter ook zo dat f'(x) = α∙x^α-1 positief is en strict monotoon dalend op ℝ⁺, zodat we met behulp van de middelwaardestelling kunnen concluderen dat voor elke p > 0 geldt:

(5) | f(x) - f(y) | ≤ f'(p)∙| x - y | voor x,y ∈ (p, ∞)

De functie f(x) = x^α met 0 < α < 1 is dus wel Lipschitz continu (met L = f'(p)) op elk interval (p, ∞) met p > 0, maar niet op (0, ∞). Uiteraard impliceert dit dat f(x) = x^α met 0 < α < 1 ook uniform continu is op elk interval (p, ∞) met p > 0, maar daar kunnen we niet uit concluderen dat f(x) = x^α met 0 < α < 1 uniform continu is op (0, ∞).

Om de uniforme continuïteit van f(x) = x^α met 0 < α < 1 op ℝ⁺ te bewijzen kunnen we gebruik maken van de volgende ongelijkheid:

(6) 0 < (x + h)^α - x^α < h^α voor x,h > 0 en 0 < α < 1

Een algebraïsch bewijs van deze ongelijkheid is eenvoudig voor het speciale geval α = ½. Op grond van het merkwaardig product (a - b)∙(a + b) = a² - b² hebben we:

(7) (√(x + h) - √x)∙(√(x + h) + √x) = h

En dus:

(8) √(x + h) - √x = h/(√(x + h) + √x)

Nu is x,h > 0, en de functie f(x) = √x is strict monotoon stijgend, zodat √x < √(x + h) en dus:

(9) 0 < √(x + h) - √x

Ook is √(x + h) > √h en √x > 0 zodat:

(10) √(x + h) + √x > √h

En dus:

(11) 1/(√(x + h) + √x) < 1/√h

En dus:

(12) h/(√(x + h) + √x) < h/√h = √h

Uit (9), (8) en (12) volgt dan:

(13) 0 < √(x + h) - √x < √h

Hiermee is de juistheid van (6) voor α = ½ aangetoond. Eenvoudiger gaat het als je bedenkt dat (√(x + h))² = (√x)² + (√h)² zodat √(x + h), √x en √h de lengten van de zijden van een rechthoekige driehoek met hypotenusa √(x + h) kunnen voorstellen. In een driehoek is de lengte van een zijde kleiner dan de som van de lengten van de twee andere zijden, en in een rechthoekige driehoek is de hypotenusa langer dan elk van de rechthoekszijden, zodat direct volgt dat √x < √(x + h) < √x + √h, equivalent met (13).

Het algebraïsche bewijs van de juistheid van (6) voor α = ½ is niet te generaliseren, zodat we onze toevlucht moeten nemen tot een andere aanpak. Halen we in (x + h)^α - x^α een factor h^α buiten haakjes, dan hebben we:

(14) (x + h)^α - x^α = h^α∙∙((x/h + 1)^α - (x/h)^α)

Om nu een bovengrens van de factor tussen haakjes in het rechterlid van (14) te bepalen substitueren we z = x/h, waardoor de uitdrukking tussen haakjes overgaat in (z + 1)^α - z^α. We bekijken nu de functie:

(15) g(z) = (z + 1)^α - z^α

Duidelijk is dat g(0) = 1, en aangezien de machtsfunctie z^α strict monotoon stijgend is voor α > 0 hebben we (z + 1)^α > z^α en dus g(z) > 0 voor z > 0. Voor de afgeleide van g(z) hebben we:

(16) g'(z) = α∙(z + 1)^α-1 - α∙z^α-1

Aangezien α < 1 en dus α - 1 < 0 is de machtsfunctie z^α-1 strict monotoon dalend, zodat (z + 1)^α-1 < z^α-1 en dus g'(z) < 0 voor z > 0, aangezien α > 0.

De functie g(z) is dus strict monotoon dalend voor z > 0, en aangezien g(0) = 1 geldt g(z) < 1 voor z > 0. In combinatie met g(z) > 0 voor z > 0 hebben we dus:

(17) 0 < (z + 1)^α - z^α < 1 voor z > 0

Voor x,h > 0 is z = x/h > 0, en dus hebben we ook:

(18) 0 < (x/h + 1)^α - (x/h)^α < 1

Vermenigvuldiging van de leden van deze ongelijkheid met h^α > 0 geeft dan

(19) 0 < h^α∙((x/h + 1)^α - (x/h)^α) < h^α

En op grond van (14) dus:

(20) 0 < (x + h)^α - x^α < h^α voor x,h > 0 en 0 < α < 1

QED

Hebben we nu x₁, x₂ > 0 en is x₁ > x₂ dan kunnen we x + h = x₁ en x = x₂ substitueren in (20) en dus ook h = x₁ - x₂. Is omgekeerd x₁ < x₂ dan kunnen we x + h = x₂ en x = x₁ en daarmee h = x₂ - x₁ substitueren. Beide ongelijkheden die we zo krijgen zijn te combineren als:

(21) | x₁^α - x₂^α | < | x₁ - x₂ |^α voor x₁,x₂ > 0, x₁ ≠ x₂, 0 < α < 1

De restrictie x₁ ≠ x₂ is op te heffen omdat eenvoudig is in te zien dat de ongelijkheid (21) overgaat in een gelijkheid voor x₁ = x₂, alsmede voor x₁ = 0 of x₂ = 0 of α = 1. Ook reduceert het linkerlid tot 0 voor α = 0. Zo krijgen we uiteindelijk:

(22) | x₁^α - x₂^α | ≤ | x₁ - x₂ |^α voor x₁,x₂ ≥ 0, 0 ≤ α ≤ 1

Uit (22) volgt nu direct dat f(x) = x^α uniform continu is op (0, ∞) resp. [0, ∞) voor 0 < α ≤ 1 aangezien voor elke ε > 0 een waarde δ = ε^1/α voldoet in de ε,δ definitie van uniforme continuïteit. Voor α = 0 is ongelijkheid (22) niet te gebruiken om uniforme continuïteit te bewijzen omdat 1/α dan niet is gedefinieerd. Maar voor α = 0 hebben we f(x) = 1, en een constante functie is ook uniform continu.

Ongelijkheid (22) brengt tot uitdrukking dat f(x) = x^α met 0 ≤ α ≤ 1 op (0, ∞) resp. [0, ∞) Hölder continu is. Hölder continuïteit is een generalisatie van Lipschitz continuïteit. Een functie f : D ↦ℝ heet Hölder continu met exponent α indien er een L > 0 en een α ≥ 0 is zodanig dat voor elke x,y ∈ D geldt:

(23) | f(x) - f(y) | ≤ L∙| x - y |^α

Voor α = 1 is de functie Lipschitz continu, en voor α = 0 simpelweg begrensd. Een Hölder continue functie met α > 1 kan alleen een constante functie zijn. Iedere Hölder continue functie is ook uniform continu, maar het omgekeerde geldt niet. Nu rest je alleen nog aan te tonen dat f(x) = x^α niet uniform continu is op ℝ⁺ voor α < 0 of α > 1.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 17-10-2010 00:18:29 ]

quote:

Op zaterdag 16 oktober 2010 12:27 schreef BasementDweller het volgende:
Als je (3) hebt ben je toch klaar voor het interval [1,inf)? Neem e=d en dan heb je |x^a - y^a|<|x-y|< d = e ? Waarom haal je hier Lipschitz continuïteit erbij?

Om duidelijk te maken dat de uniforme continuïteit van f(x) = x^α, 0 < α <1 op ℝ⁺ niet via een Lipschitz-ongelijkheid kan worden aangetoond. In eerste instantie wilde je zelf ook via (6) feitelijk aantonen dat f(x) = x^α, 0 < α <1 Hölder continu is (en daarmee ook uniform continu) op ℝ⁺. Pas toen het niet lukte om (6) te bewijzen ben je uitgeweken naar een eenvoudiger Lipschitz-conditie die geldt op [1, ∞) maar waarvan je ook niet wist hoe dat was aan te tonen.

quote:

Op [0,1] is f continu, [0,1] is gesloten en begrensd dus daar is ie ook uniform c. Dus is f u.c. op (0,inf).

Dat is volkomen juist, en ik heb gezien dat het vaak ook zo wordt gedaan. Maar ik blijf het onelegant vinden om het domein op te moeten splitsen, vandaar dat ik uniforme continuïteit hier liever via Hölder continuïteit aantoon.

quote:

Bedankt nog voor de afleiding van (x+h)^a - x^a < h^a ! Het is helemaal duidelijk

Graag gedaan.

P.S. GlowMouse: Waarom is de FOK editor plotseling zo buggy? Ik had al - onverklaarbare - problemen met de SUP tags en nu kennelijk ook met QUOTE. Ik moet soms(!) een set nested tags toevoegen om alleen de binnenste set effectief te laten zijn.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 16-10-2010 20:47:31 ]

quote:

Op zaterdag 16 oktober 2010 18:20 schreef Riparius het volgende:

P.S. GlowMouse: Waarom is de FOK editor plotseling zo buggy? Ik had al - onverklaarbare - problemen met de SUP tags en nu kennelijk ook met QUOTE. Ik moet soms(!) een set nested tags toevoegen om alleen de binnenste set effectief te laten zijn.

heb je een voorbeeldpost?

quote:

Op zaterdag 16 oktober 2010 20:13 schreef GlowMouse het volgende:

[..]


heb je een voorbeeldpost?

Jazeker. Zie mijn lange post hierboven. Sommige SUP tags werken om onverklaarbare reden niet maar worden 'as is' weergegeven, terwijl dat bij precies dezelfde string een dag eerder (zie ook mijn post van vrijdag) nog wel werkte. Ik heb de strings vergeleken (zijn identiek) en ook met copy paste van de oudere in de nieuwe post gestopt, maar het helpt allemaal niets. Ik kan ook geen systematiek ontdekken, behalve dan dat bij de 'probleemgevallen' bij gebruik van twee sets nested tags de binnenste set wel werkt en de buitenste weer 'as is' wordt weergegeven. Heel irritant, vooral met wiskunde.

quote:

Op zaterdag 16 oktober 2010 20:22 schreef Riparius het volgende:

[..]

Jazeker. Zie mijn lange post hierboven. Sommige SUP tags werken om onverklaarbare reden niet maar worden 'as is' weergegeven, terwijl dat bij precies dezelfde string een dag eerder (zie ook mijn post van vrijdag) nog wel werkte. Ik heb de strings vergeleken (zijn identiek) en ook met copy paste van de oudere in de nieuwe post gestopt, maar het helpt allemaal niets. Ik kan ook geen systematiek ontdekken, behalve dan dat bij de 'probleemgevallen' bij gebruik van twee sets nested tags de binnenste set wel werkt en de buitenste weer 'as is' wordt weergegeven. Heel irritant, vooral met wiskunde.

het had te maken met intervals; als je nu je post edit en opnieuw opslaat, zou het goed moeten gaan

quote:

Op zaterdag 16 oktober 2010 20:38 schreef GlowMouse het volgende:

[..]


het had te maken met intervals; als je nu je post edit en opnieuw opslaat, zou het goed moeten gaan

Dank voor de snelle oplossing, posts zijn bewerkt en inderdaad is alles weer in orde.

Bewijs dmv inductie dat
2ⁿ<n! , voor n groter/gelijk 4.

Wat ik had:
Als dit geldt voor willekeurige n geldt dit ook voor n+1 groter/gelijk aan 4.
Inductiestap neem aan 2ⁿ<n!
bewijs dat 2^n+!<(n+1)!

(n+1)!=n!(n+1)
inductie:
>(n+1)2ⁿ
en verder snap ik niet hoe ik het krijg.
Ik neem aan dat ik van (n+1) op een of andere manier 2 moet maken maar waarom ik dat mag/kan doen zie ik niet.

[ Bericht 35% gewijzigd door Fingon op 16-10-2010 21:49:57 ]

Wat weet je al van inductie? Wat zal de eerste stap zijn?
Ik wil best meedenken, maar ik neem toch aan dat je hier al wel iets over hebt kunnen bedenken?

Wat ik had:
Als dit geldt voor willekeurige n geldt dit ook voor n+1 groter/gelijk aan 4.
Inductiestap neem aan 2n<n!
bewijs dat 2n+!<(n+1)!

(n+1)!=n!(n+1)
inductie:
>(n+1)2n
en verder snap ik niet hoe ik het krijg.
Ik neem aan dat ik van (n+1) op een of andere manier 2 moet maken maar waarom ik dat mag/kan doen zie ik niet.

je weet dat n+1 > 2.

ik ga me diep schamen :$.
bedankt

quote:

Op zaterdag 16 oktober 2010 22:02 schreef BasementDweller het volgende:

[..]

Als ik me zou schamen voor iedere keer dat ik iets simpels niet direct zie dan liep ik de hele dag met een rood hoofd rond . Nergens voor nodig dus

Nou dan komt er zo nog een stortvloed aan vragen

ok eerste:
Gegeven: B(n)=


i) Bewijs dat B(n+1) volgt uit B(n) voor n groter/gelijk 1
Ik voer dus eerst de nul stap uit met n=1 maar dan komt er dus al een ongelijkheid uit ( 1=/ 9/8)
voor hogere waardes hetzelfde, dus ik concludeer dat de stelling niet geldig is voor B(n) en dus ook niet kan gelden voor B(n+1)
ii) Voor welke waarden van n is B(n) waar?
aantal waardes ingevoerd maar komt dus altijd iets achter komma bij de rechterformule terwijl dat per definitie niet mogelijk is bij een som-formule van gehele getallen, maar hoe bewijs ik dat(al hoeft dat geloof ik niet volgens opgave)

tweede:
voor welke waarden van n geldt 2ⁿ⁺²>n²
grafiekje geschetst, krijg ik de waarde n groter/gelijk -1 (ik neem aan dat ze alleen gehele getallen vragen, dit moet alles zonder rekenmachine en 2ⁿ⁺²=n² kan ik niet oplossen op papier )
dit moet ik bewijzen dus dat is niet zo moeilijk leek me
2^(n+1)+2>(n+1)²
2^(n+1)+2=2*2ⁿ⁺²
inductie:
>2*n²
>n²

correct ja of nee? mist er iets bij m'n aanname van de waardes