[Bèta wiskunde] Huiswerk-en-vragentopic

Twee dingen: hoe maak ik daar een matrix van die ik vervolgens kan oplossen voor c1?
En begin je met die vergelijkingen die jij opschrijft niet bij de 4000 nu?

quote:

Op vrijdag 15 oktober 2010 13:07 schreef Jac0bus het volgende:
Twee dingen: hoe maak ik daar een matrix van die ik vervolgens kan oplossen voor c1?

Net als bij elke andere regressie. Je wilt eps loodrecht op y-Ax hebben. Hier geldt x = [c0; c1].

quote:

En begin je met die vergelijkingen die jij opschrijft niet bij de 4000 nu?

Nee, je kunt de andere observaties goed gebruiken om een nauwkeurige schatting voor c0 te krijgen.

Danku, ik heb hem nu

Het lastigste aan de vraag was nou om te begrijpen wat ze met x_start bedoelen. Eerst geven ze die waarden vanaf x=0 een daarna lullen ze over het feit dat van x0 tot x=3000 alles plat is, terwijl de hoogtes toch echt iets anders vertelden.

Tennisballen dienen tussen de 56.5 en 58.3 gram te wegen. Een machine produceert tennisballen met een gemiddeld gewicht van 57.2 gram en een standaarddeviatie van 0.25 gram. Neem aan dat het gewicht van de tennisballen die de machine produceert normaal verdeeld is.

(a)
Bereken de kans dat de beschreven machine een tennisbal produceert die aan de gewichtsnorm voldoet.

Rond deze kans af op drie decimalen.
---
Is dat normalcdf(56.5, 58.3, 57.2, 0.25) = 0.997?

Ja.

quote:

Op woensdag 13 oktober 2010 20:09 schreef GlowMouse het volgende:
Dat Riparius √h als afschatting gebruikte, kan dat algemener?

Ja. Ik kan aantonen dat geldt:

0 < (x + h)^α - x^α < h^α voor x,h > 0 en 0 < α < 1.

Dan volgt eenvoudig dat f(x) = x^α uniform continu is op ℝ⁺ voor 0 < α < 1 aangezien dan voor elke ε > 0 een waarde δ = ε^1/α voldoet in de ε,δ definitie van uniforme continuïteit.

quote:

Op vrijdag 15 oktober 2010 19:32 schreef BasementDweller het volgende:

[..]

Dat is me niet meer gelukt. Heb het probleem op een andere manier aangepakt, waardoor je had |x^a - y^a|<|x-y| voor x,y>1 en 0<a<1. Ziet er wat trivialer uit, al wist ik hiervan ook niet hoe ik het kon bewijzen.

Dus ik ben wel benieuwd naar hoe je dit soort dingen kan bewijzen.

Om met dat laatste te beginnen: een additionele voorwaarde voor de geldigheid van je ongelijkheid is uiteraard dat x en y niet aan elkaar gelijk zijn. Zij f(x) = x^α op ℝ⁺ met 0 < α < 1. Volgens de middelwaardestelling is er nu een getal c tussen x en y (dus c ∈ (x, y) indien x < y resp. c ∈ (y, x) indien y < x) zodanig dat:

(1) | f(x) - f(y) | = | f'(c) |∙| x - y |

Nu is f'(x) = α∙x^α-1, en aangezien 0 < α < 1 en omdat voor x,y > 1 ook geldt c > 1 is dan 0 < f'(c) < α, en dus hebben we:

(2) | x^α - y^α | < α∙| x - y | voor x,y > 1, 0 < α < 1

En dus ook:

(3) | x^α - y^α | < | x - y | voor x,y > 1, 0 < α < 1

Ongelijkheid (2) is sterker dan de ongelijkheid (3) die je wilde afleiden, maar met geen van beide ongelijkheden kun je rechtstreeks de uniforme continuiteit van f(x) = x^α met 0 < α < 1 op ℝ⁺ aantonen. De functie f(x) is weliswaar uniform continu op ℝ⁺ maar niet Lipschitz continu op ℝ⁺.

Een functie f : D ↦ℝ heet Lipschitz continu indien er een L ≥ 0 is zodanig dat voor elke x,y ∈ D geldt:

(4) | f(x) - f(y) | ≤ L∙| x - y |

Deze voorwaarde houdt eenvoudig gezegd in dat de steilheid (stijgend of dalend) van de grafiek van f de waarde L niet kan overschrijden. Lipschitz continuïteit is stringenter dan uniforme continuïteit, want het is gemakkelijk in te zien dat een functie f : D ↦ℝ die Lipschitz continu is met L > 0 ook uniform continu is: voor elke ε > 0 voldoet dan de waarde δ = ε/L in de ε,δ definitie van uniforme continuïteit. (Als L = 0, dan is f een constante functie, en ook die is uniform continu). Het omgekeerde geldt echter niet, een functie die uniform continu is hoeft niet Lipschitz continu te zijn.

Het is eenvoudig in te zien dat f(x) = x^α met 0 < α < 1 niet Lipschitz continu is op ℝ⁺ omdat de afgeleide f'(x) = α∙x^α-1 onbeperkt toeneemt naarmate we x tot 0 laten naderen, zodat er geen L kan bestaan zodanig dat deze functie aan (4) voldoet op ℝ⁺. Nu is het echter ook zo dat f'(x) = α∙x^α-1 positief is en strict monotoon dalend op ℝ⁺, zodat we met behulp van de middelwaardestelling kunnen concluderen dat voor elke p > 0 geldt:

(5) | f(x) - f(y) | ≤ f'(p)∙| x - y | voor x,y ∈ (p, ∞)

De functie f(x) = x^α met 0 < α < 1 is dus wel Lipschitz continu (met L = f'(p)) op elk interval (p, ∞) met p > 0, maar niet op (0, ∞). Uiteraard impliceert dit dat f(x) = x^α met 0 < α < 1 ook uniform continu is op elk interval (p, ∞) met p > 0, maar daar kunnen we niet uit concluderen dat f(x) = x^α met 0 < α < 1 uniform continu is op (0, ∞).

Om de uniforme continuïteit van f(x) = x^α met 0 < α < 1 op ℝ⁺ te bewijzen kunnen we gebruik maken van de volgende ongelijkheid:

(6) 0 < (x + h)^α - x^α < h^α voor x,h > 0 en 0 < α < 1

Een algebraïsch bewijs van deze ongelijkheid is eenvoudig voor het speciale geval α = ½. Op grond van het merkwaardig product (a - b)∙(a + b) = a² - b² hebben we:

(7) (√(x + h) - √x)∙(√(x + h) + √x) = h

En dus:

(8) √(x + h) - √x = h/(√(x + h) + √x)

Nu is x,h > 0, en de functie f(x) = √x is strict monotoon stijgend, zodat √x < √(x + h) en dus:

(9) 0 < √(x + h) - √x

Ook is √(x + h) > √h en √x > 0 zodat:

(10) √(x + h) + √x > √h

En dus:

(11) 1/(√(x + h) + √x) < 1/√h

En dus:

(12) h/(√(x + h) + √x) < h/√h = √h

Uit (9), (8) en (12) volgt dan:

(13) 0 < √(x + h) - √x < √h

Hiermee is de juistheid van (6) voor α = ½ aangetoond. Eenvoudiger gaat het als je bedenkt dat (√(x + h))² = (√x)² + (√h)² zodat √(x + h), √x en √h de lengten van de zijden van een rechthoekige driehoek met hypotenusa √(x + h) kunnen voorstellen. In een driehoek is de lengte van een zijde kleiner dan de som van de lengten van de twee andere zijden, en in een rechthoekige driehoek is de hypotenusa langer dan elk van de rechthoekszijden, zodat direct volgt dat √x < √(x + h) < √x + √h, equivalent met (13).

Het algebraïsche bewijs van de juistheid van (6) voor α = ½ is niet te generaliseren, zodat we onze toevlucht moeten nemen tot een andere aanpak. Halen we in (x + h)^α - x^α een factor h^α buiten haakjes, dan hebben we:

(14) (x + h)^α - x^α = h^α∙∙((x/h + 1)^α - (x/h)^α)

Om nu een bovengrens van de factor tussen haakjes in het rechterlid van (14) te bepalen substitueren we z = x/h, waardoor de uitdrukking tussen haakjes overgaat in (z + 1)^α - z^α. We bekijken nu de functie:

(15) g(z) = (z + 1)^α - z^α

Duidelijk is dat g(0) = 1, en aangezien de machtsfunctie z^α strict monotoon stijgend is voor α > 0 hebben we (z + 1)^α > z^α en dus g(z) > 0 voor z > 0. Voor de afgeleide van g(z) hebben we:

(16) g'(z) = α∙(z + 1)^α-1 - α∙z^α-1

Aangezien α < 1 en dus α - 1 < 0 is de machtsfunctie z^α-1 strict monotoon dalend, zodat (z + 1)^α-1 < z^α-1 en dus g'(z) < 0 voor z > 0, aangezien α > 0.

De functie g(z) is dus strict monotoon dalend voor z > 0, en aangezien g(0) = 1 geldt g(z) < 1 voor z > 0. In combinatie met g(z) > 0 voor z > 0 hebben we dus:

(17) 0 < (z + 1)^α - z^α < 1 voor z > 0

Voor x,h > 0 is z = x/h > 0, en dus hebben we ook:

(18) 0 < (x/h + 1)^α - (x/h)^α < 1

Vermenigvuldiging van de leden van deze ongelijkheid met h^α > 0 geeft dan

(19) 0 < h^α∙((x/h + 1)^α - (x/h)^α) < h^α

En op grond van (14) dus:

(20) 0 < (x + h)^α - x^α < h^α voor x,h > 0 en 0 < α < 1

QED

Hebben we nu x₁, x₂ > 0 en is x₁ > x₂ dan kunnen we x + h = x₁ en x = x₂ substitueren in (20) en dus ook h = x₁ - x₂. Is omgekeerd x₁ < x₂ dan kunnen we x + h = x₂ en x = x₁ en daarmee h = x₂ - x₁ substitueren. Beide ongelijkheden die we zo krijgen zijn te combineren als:

(21) | x₁^α - x₂^α | < | x₁ - x₂ |^α voor x₁,x₂ > 0, x₁ ≠ x₂, 0 < α < 1

De restrictie x₁ ≠ x₂ is op te heffen omdat eenvoudig is in te zien dat de ongelijkheid (21) overgaat in een gelijkheid voor x₁ = x₂, alsmede voor x₁ = 0 of x₂ = 0 of α = 1. Ook reduceert het linkerlid tot 0 voor α = 0. Zo krijgen we uiteindelijk:

(22) | x₁^α - x₂^α | ≤ | x₁ - x₂ |^α voor x₁,x₂ ≥ 0, 0 ≤ α ≤ 1

Uit (22) volgt nu direct dat f(x) = x^α uniform continu is op (0, ∞) resp. [0, ∞) voor 0 < α ≤ 1 aangezien voor elke ε > 0 een waarde δ = ε^1/α voldoet in de ε,δ definitie van uniforme continuïteit. Voor α = 0 is ongelijkheid (22) niet te gebruiken om uniforme continuïteit te bewijzen omdat 1/α dan niet is gedefinieerd. Maar voor α = 0 hebben we f(x) = 1, en een constante functie is ook uniform continu.

Ongelijkheid (22) brengt tot uitdrukking dat f(x) = x^α met 0 ≤ α ≤ 1 op (0, ∞) resp. [0, ∞) Hölder continu is. Hölder continuïteit is een generalisatie van Lipschitz continuïteit. Een functie f : D ↦ℝ heet Hölder continu met exponent α indien er een L > 0 en een α ≥ 0 is zodanig dat voor elke x,y ∈ D geldt:

(23) | f(x) - f(y) | ≤ L∙| x - y |^α

Voor α = 1 is de functie Lipschitz continu, en voor α = 0 simpelweg begrensd. Een Hölder continue functie met α > 1 kan alleen een constante functie zijn. Iedere Hölder continue functie is ook uniform continu, maar het omgekeerde geldt niet. Nu rest je alleen nog aan te tonen dat f(x) = x^α niet uniform continu is op ℝ⁺ voor α < 0 of α > 1.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 17-10-2010 00:18:29 ]

quote:

Op zaterdag 16 oktober 2010 12:27 schreef BasementDweller het volgende:
Als je (3) hebt ben je toch klaar voor het interval [1,inf)? Neem e=d en dan heb je |x^a - y^a|<|x-y|< d = e ? Waarom haal je hier Lipschitz continuïteit erbij?

Om duidelijk te maken dat de uniforme continuïteit van f(x) = x^α, 0 < α <1 op ℝ⁺ niet via een Lipschitz-ongelijkheid kan worden aangetoond. In eerste instantie wilde je zelf ook via (6) feitelijk aantonen dat f(x) = x^α, 0 < α <1 Hölder continu is (en daarmee ook uniform continu) op ℝ⁺. Pas toen het niet lukte om (6) te bewijzen ben je uitgeweken naar een eenvoudiger Lipschitz-conditie die geldt op [1, ∞) maar waarvan je ook niet wist hoe dat was aan te tonen.

quote:

Op [0,1] is f continu, [0,1] is gesloten en begrensd dus daar is ie ook uniform c. Dus is f u.c. op (0,inf).

Dat is volkomen juist, en ik heb gezien dat het vaak ook zo wordt gedaan. Maar ik blijf het onelegant vinden om het domein op te moeten splitsen, vandaar dat ik uniforme continuïteit hier liever via Hölder continuïteit aantoon.

quote:

Bedankt nog voor de afleiding van (x+h)^a - x^a < h^a ! Het is helemaal duidelijk

Graag gedaan.

P.S. GlowMouse: Waarom is de FOK editor plotseling zo buggy? Ik had al - onverklaarbare - problemen met de SUP tags en nu kennelijk ook met QUOTE. Ik moet soms(!) een set nested tags toevoegen om alleen de binnenste set effectief te laten zijn.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 16-10-2010 20:47:31 ]

quote:

Op zaterdag 16 oktober 2010 18:20 schreef Riparius het volgende:

P.S. GlowMouse: Waarom is de FOK editor plotseling zo buggy? Ik had al - onverklaarbare - problemen met de SUP tags en nu kennelijk ook met QUOTE. Ik moet soms(!) een set nested tags toevoegen om alleen de binnenste set effectief te laten zijn.

heb je een voorbeeldpost?

quote:

Op zaterdag 16 oktober 2010 20:13 schreef GlowMouse het volgende:

[..]


heb je een voorbeeldpost?

Jazeker. Zie mijn lange post hierboven. Sommige SUP tags werken om onverklaarbare reden niet maar worden 'as is' weergegeven, terwijl dat bij precies dezelfde string een dag eerder (zie ook mijn post van vrijdag) nog wel werkte. Ik heb de strings vergeleken (zijn identiek) en ook met copy paste van de oudere in de nieuwe post gestopt, maar het helpt allemaal niets. Ik kan ook geen systematiek ontdekken, behalve dan dat bij de 'probleemgevallen' bij gebruik van twee sets nested tags de binnenste set wel werkt en de buitenste weer 'as is' wordt weergegeven. Heel irritant, vooral met wiskunde.

quote:

Op zaterdag 16 oktober 2010 20:22 schreef Riparius het volgende:

[..]

Jazeker. Zie mijn lange post hierboven. Sommige SUP tags werken om onverklaarbare reden niet maar worden 'as is' weergegeven, terwijl dat bij precies dezelfde string een dag eerder (zie ook mijn post van vrijdag) nog wel werkte. Ik heb de strings vergeleken (zijn identiek) en ook met copy paste van de oudere in de nieuwe post gestopt, maar het helpt allemaal niets. Ik kan ook geen systematiek ontdekken, behalve dan dat bij de 'probleemgevallen' bij gebruik van twee sets nested tags de binnenste set wel werkt en de buitenste weer 'as is' wordt weergegeven. Heel irritant, vooral met wiskunde.

het had te maken met intervals; als je nu je post edit en opnieuw opslaat, zou het goed moeten gaan

quote:

Op zaterdag 16 oktober 2010 20:38 schreef GlowMouse het volgende:

[..]


het had te maken met intervals; als je nu je post edit en opnieuw opslaat, zou het goed moeten gaan

Dank voor de snelle oplossing, posts zijn bewerkt en inderdaad is alles weer in orde.

Bewijs dmv inductie dat
2ⁿ<n! , voor n groter/gelijk 4.

Wat ik had:
Als dit geldt voor willekeurige n geldt dit ook voor n+1 groter/gelijk aan 4.
Inductiestap neem aan 2ⁿ<n!
bewijs dat 2^n+!<(n+1)!

(n+1)!=n!(n+1)
inductie:
>(n+1)2ⁿ
en verder snap ik niet hoe ik het krijg.
Ik neem aan dat ik van (n+1) op een of andere manier 2 moet maken maar waarom ik dat mag/kan doen zie ik niet.

[ Bericht 35% gewijzigd door Fingon op 16-10-2010 21:49:57 ]

Wat weet je al van inductie? Wat zal de eerste stap zijn?
Ik wil best meedenken, maar ik neem toch aan dat je hier al wel iets over hebt kunnen bedenken?

Wat ik had:
Als dit geldt voor willekeurige n geldt dit ook voor n+1 groter/gelijk aan 4.
Inductiestap neem aan 2n<n!
bewijs dat 2n+!<(n+1)!

(n+1)!=n!(n+1)
inductie:
>(n+1)2n
en verder snap ik niet hoe ik het krijg.
Ik neem aan dat ik van (n+1) op een of andere manier 2 moet maken maar waarom ik dat mag/kan doen zie ik niet.

je weet dat n+1 > 2.

ik ga me diep schamen :$.
bedankt

quote:

Op zaterdag 16 oktober 2010 22:02 schreef BasementDweller het volgende:

[..]

Als ik me zou schamen voor iedere keer dat ik iets simpels niet direct zie dan liep ik de hele dag met een rood hoofd rond . Nergens voor nodig dus

Nou dan komt er zo nog een stortvloed aan vragen

ok eerste:
Gegeven: B(n)=


i) Bewijs dat B(n+1) volgt uit B(n) voor n groter/gelijk 1
Ik voer dus eerst de nul stap uit met n=1 maar dan komt er dus al een ongelijkheid uit ( 1=/ 9/8)
voor hogere waardes hetzelfde, dus ik concludeer dat de stelling niet geldig is voor B(n) en dus ook niet kan gelden voor B(n+1)
ii) Voor welke waarden van n is B(n) waar?
aantal waardes ingevoerd maar komt dus altijd iets achter komma bij de rechterformule terwijl dat per definitie niet mogelijk is bij een som-formule van gehele getallen, maar hoe bewijs ik dat(al hoeft dat geloof ik niet volgens opgave)

tweede:
voor welke waarden van n geldt 2ⁿ⁺²>n²
grafiekje geschetst, krijg ik de waarde n groter/gelijk -1 (ik neem aan dat ze alleen gehele getallen vragen, dit moet alles zonder rekenmachine en 2ⁿ⁺²=n² kan ik niet oplossen op papier )
dit moet ik bewijzen dus dat is niet zo moeilijk leek me
2^(n+1)+2>(n+1)²
2^(n+1)+2=2*2ⁿ⁺²
inductie:
>2*n²
>n²

correct ja of nee? mist er iets bij m'n aanname van de waardes