[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op zaterdag 17 april 2010 15:43 schreef leLe-- het volgende:

[..]

Dankjewel!
Ik begrijp het hele stappenplan, en ik kan hem ook toepassen maar zou je me nog kunnen uitleggen waarom je de afgeleide van van f(x) maal de afgeleide van u moet doen? want ik onthoud het dan veel beter als ik weet waarom.

Als je iets afweet van wat differentieren is, kan je de wiki-pagina bekijken:
http://nl.wikipedia.org/wiki/Kettingregel

Ik zou gewoon even wat tijd hierin investeren door steeds het stappenplan stap voor stap af te gaan (daarom heet het ook een stappenplan? ).

Vooral de eerste en laatste stap zijn cruciaal !

quote:

Op zaterdag 17 april 2010 15:41 schreef Riparius het volgende:

[..]

Laten we zeggen dat je hebt u = f(x) en y = g(u).

Dan is:

y = g(f(x))

Je wil nu de afgeleide vinden van de samengestelde functie g(f(x)), dus dy/dx.

We hebben:

u = f(x), dus du/dx = f'(x)

En ook:

y = g(u), dus dy/du = g'(u)

Nu is:

dy/dx = dy/du∙du/dx

En dus:

dy/dx = g'(u)∙f'(x)

Maar u = f(x), dus krijgen we:

dy/dx = g'(f(x))∙f'(x)

ik vat 'm helemaal bedankt voor jullie snelle en goede hulp!

quote:

Op zaterdag 17 april 2010 15:24 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

Als je iets wilt bewijzen, moet je geen aannames doen die je niet kunt onderbouwen. Kun je iets door naar de grootte van hoeken te kijken? De rest van je berekening is niet te volgen zonder plaatje maar wel juist.

Er zijn gelijke hoeken in elke driehoek, dus elke hoek is Pi /3.
Dus(vanuit een buitenste hoek gezien):
Sin 1/3pi = overstaand/a
Overstaand = 1/2a Wortel3
Dus 2 x overstaand = hoogte = a Wortel3

quote:

Op zaterdag 17 april 2010 15:54 schreef Gebraden_Wombat het volgende:
De makkelijkste manier is om de kettingregel voor het differentiëren van een functie f naar x zo op te schrijven:

Het is een manier, maar er valt over te twisten of het de makkelijkste manier is. Ik vind deze regel veel inzichtelijker: f(g(x))=f'(g(x)) g'(x)

quote:

Op zaterdag 17 april 2010 18:20 schreef BasementDweller het volgende:

[..]

Het is een manier, maar er valt over te twisten of het de makkelijkste manier is. Ik vind deze regel veel inzichtelijker: f(g(x))=f'(g(x)) g'(x)

Je bedoelt (f(g(x)))'=f'(g(x))∙g'(x). Maar je hebt gelijk dat iedereen die met de kettingregel te maken krijgt deze zou moeten kunnen gebruiken zonder een expliciete substitutie uit te voeren. Alleen is het wel goed het verband met de differentiaalnotatie en substitutie te laten zien, denk alleen maar aan de substitutieregel bij de integraalrekening, die in wezen de tegenhanger is van de kettingregel uit de differentiaalrekening.

quote:

Op zaterdag 17 april 2010 18:30 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je bedoelt (f(g(x)))'=f'(g(x))∙g'(x). Maar je hebt gelijk dat iedereen die met de kettingregel te maken krijgt deze zou moeten kunnen gebruiken zonder een expliciete substitutie uit te voeren. Alleen is het wel goed het verband met de differentiaalnotatie en substitutie te laten zien, denk alleen maar aan de substitutieregel bij de integraalrekening, die in wezen de tegenhanger is van de kettingregel uit de differentiaalrekening.

Ook daar geef ik ook de voorkeur aan de manier zonder substitutie. Ik vind dat het met substitutie onnodig ingewikkeld lijkt, en het is wiskundig niet eens correct om te zeggen dat dy/dx=du/dx dy/du omdat je de du'tjes tegen elkaar weg kan strepen. Dus ik zie de toegevoegde waarde van deze methode niet zo eigenlijk

quote:

Op zaterdag 17 april 2010 18:34 schreef BasementDweller het volgende:

[..]

Ook daar geef ik ook de voorkeur aan de manier zonder substitutie. Ik vind dat het met substitutie onnodig ingewikkeld lijkt, en het is wiskundig niet eens correct om te zeggen dat dy/dx=du/dx dy/du omdat je de du'tjes tegen elkaar weg kan strepen. Dus ik zie de toegevoegde waarde van deze methode niet zo eigenlijk

Je moet inderdaad wel duidelijk maken dat een differentiaalquotiënt geen 'gewoon' quotiënt is, maar een limiet van een differentiequotiënt. Operaties met 'losse' differentialen zijn dan ook symbolisch, en de rechtvaardiging van een regel als dy/dx = dy/du∙du/dx ligt dan ook besloten in het feit dat de limiet van Δy/Δx voor Δx → 0 gelijk is aan het product van de limieten van Δy/Δu en Δu/Δx aangezien Δy/Δx = Δy/Δu∙Δu/Δx.

De meerwaarde van het werken met (losse) differentialen ligt ondere andere in het feit dat verschillende manipulaties zo overzichtelijk blijven en je behoeden voor fouten. Als ik bijvoorbeeld in de integraal:

∫ f(x)dx

een substitutie x = g(t) uitvoer, dan heb ik:

dx/dt = g'(t),

en dus (symbolisch):

dx = g'(t)dt,

zodat:

∫ f(x)dx = ∫ f(g(t))g'(t)dt

Ook bij het oplossen van bepaalde differentiaalvergelijkingen kun je met voordeel met 'losse' differentialen werken, denk bijvoorbeeld aan de vaak toegepaste techniek van het scheiden van de variabelen van een DV. Tenslotte werken differentialen vaak het prettigst als je bijvoorbeeld een fysisch probleem vertaalt naar een DV.

quote:

Op zaterdag 17 april 2010 14:50 schreef Riparius het volgende:

[..]

De vierkantswordtel uit 1/4 is 1/2, aangezien (1/2)² = 1/4. En de vierkantswortel uit a² is a, als a niet negatief is. En aangezien (voor niet-negatieve p en q) ook geldt

√(p∙q) = √p∙√q

Hebben we dus:

√(a²/4) = √(a²)∙√(1/4) = a∙(1/2) = ½a,

En dus ook:

√(7∙a²/4) = ½a∙√7.

Maar let op: als a negatief is, dan is:

√(a²) = -a,

en dus ook:

√(7∙a²/4) = -½a∙√7.

ahh duidelijk, thnx

Hoe bewijs je dat het inverse beeld van elke open verzameling open is? Dus we hebben een functie f : X ->Y. Onze assumptie is dat B een open verzameling is in Y. We moeten bewijzen dat het inverse beeld onder f van B open is. Is het trouwens noodzakelijk dat de functie continu is voor deze stelling? Of geldt hij ook voor functies die niet continu zijn?

Je bedoelt dus dat deze uitspraak equivalent is met f is continu...

Je moet dit dus in 2 richtingen bewijzen. Maar wat zijn je asumpties dan? Aleen f is continu?

0,2x_a - 0,1x_b = c
-0,1x_a + 0,2x_b= c

x is gewoon gelijk bij beide, dat zie ik, maar hoe los ik het op? C maak ik gewoon 1 van. en dan?

quote:

Op zondag 18 april 2010 19:47 schreef One_conundrum het volgende:
0,2x_a - 0,1x_b = c
-0,1x_a + 0,2x_b= c

x is gewoon gelijk bij beide, dat zie ik, maar hoe los ik het op? C maak ik gewoon 1 van. en dan?

Je moet geen aannames doen, c is gewoon c. Vermenigvuldig beide leden van hetzij de eerste hetzij de tweede vergelijking met 2 en tel de leden van de vergelijkingen dan bij elkaar op.

quote:

Op zondag 18 april 2010 20:14 schreef thabit het volgende:

[..]

Dat is alleen voor deelverzamelingen van Rⁿ, maar daar ging de vraag niet over.

Het geldt voor metrische ruimten...dus hoeft niet specifiek Rn te zijn.

Zeg, hoe haal ik de afgeleide uit 5 wortel(x^2-8) ??

met de kettingregel

quote:

Op zondag 18 april 2010 20:41 schreef GlowMouse het volgende:
met de kettingregel

Volgens het antwoordenboekje komt er het volgende uit:
5x / wortel(x^2 - 8)

Hoe komen ze daar in godsnaam op? Ik kom heel anders uit

Laat eens zien wat je gedaan hebt?

Die x^2-8 = u
√u = u^1/2
Afgeleide daarvan is 1/2 * u^-1/2.
Herleiden: 1/2 * 1/√u = 1/2√u

Die afgeleide moet je dan vermenigvuldigen met de afgeleide van x^2 -8, dat is gewoon 2x
Dus als je dan u gewoon terugzet krijg je 2x/√x^2 -8.
En dat dan nog met 5 vermenigvuldigen
10x/5x^2 -8

Waar gaat het dan fout?

Herleiden: 1/2 * 1/√u = 1/(2√u)

Waar blijven die 2 en die wortel later in je uitwerking?

quote:

Op zondag 18 april 2010 21:24 schreef GlowMouse het volgende:
Herleiden: 1/2 * 1/√u = 1/(2√u)

Waar blijven die 2 en die wortel later in je uitwerking?

Da's een goede. Vanwaar die haakjes eigenlijk?