Snaartheorie voor dummies

quote:

Op donderdag 20 januari 2011 16:43 schreef Haushofer het volgende:

[..]

91,6 wat?

quote:

Op zondag 24 juni 2012 22:09 schreef Haushofer het volgende:
Een reuzeschop, maar het leek me leuk om de uitspraak "we weten niet precies wat snaartheorie is" in historische context te plaatsen.

Toen Maxwell halverwege de 19e eeuw zijn vergelijkingen van het elektromagnetische veld opschreef, was het niet direct duidelijk dat deze vergelijkingen vergaande gevolgen had: ze spraken Newtons notie van ruimte en tijd tegen. Dit werd pas manifest toen men het elektrische en magnetische veld beschreven in termen van een ruimtetijd-vector, die de "vectorpotentiaal" wordt genoemd. Zo werden de symmetrieën van de speciale relativiteitstheorie expliciet gemaakt, en was het duidelijk dat Newtons notie van ruimte en tijd vervangen moesten worden. Uiteindelijk resulteerde dit in een ware paradigmaverschuiving in de fysica.

Met snaartheorie heb je soortgelijke gevallen gehad. Ik zei eerder dat supersymmetrie in de ruimtetijd cruciaal is voor snaartheorie, omdat anders het spectrum van deeltjes niet consistent lijkt te kunnen worden geinterpreteerd. In de oorspronkelijke formulering van snaartheorie is het nogal moeilijk om die supersymmetrie voor elkaar te krijgen: het kost je erg veel moeite, komt over als een waar wonder (je gebruikt onder andere een identiteit die door Carl Gustav Jacobi in 1829 een "aequatio identica satis abstrusa", een "obscure identiteit", werd genoemd), en het komt erg onnatuurlijk over om zo hard te moeten werken om zo'n symmetrie te zien. Dat doet je ergens denken aan die Maxwell-vergelijkingen. En inderdaad, Green en Schwarz kwamen later met een andere formulering van snaartheorie waarin supersymmetrie "manifest" wordt gemaakt: de theorie wordt zo opgeschreven dat die ruimtetijd-supersymmetrie (SUSY) er vanaf het begin in zit. Zo heb je twee formuleringen van dezelfde theorie.

Naast SUSY kent snaartheorie ook veel andere symmetrieën. Eentje daarvan noemen we T-dualiteit, waarbij de "T" voor "torus" staat. Wanneer je van al die dimensies (zeg, 10) er eentje een cirkel maakt met straal R, dan blijkt het spectrum van de theorie het onderscheid niet te zien tussen een cirkel met straal R en een cirkel met straal 1/R. Dit heeft te maken met hoe een snaar zich om zo'n cirkel kan winden, en heb je dus niet voor puntdeeltjes. Dat maakt T-dualiteit erg interessant. De implicaties van deze symmetrie zijn redelijk bizar: een snaar voelt het verschil niet tussen een verschrikkelijke kleine, opgerolde dimensie en een enorm uitgestrekte gesloten dimensie; vanuit het oogpunt van snaartheorie zijn deze 2 universa exact hetzelfde! T-dualiteit blijkt ook te gelden voor meer ingewikkelde compactificaties, op zogenaamde Calabi-Yau ruimtes. Dan noemen we de symmetrie "spiegelsymmetrie", en heeft voor belangrijke wiskundige inzichten gezorgd.

Maar ook hier geldt weer: je moet er even voor werken voordat je die symmetrie ziet; ze is niet "manifest". Een hot topic in snaartheorie tegenwoordig is "double field theory", waarin mensen die T-dualiteit manifest proberen te maken door snaartheorie weer te herformuleren. Net zoals je de Maxwellvergelijkingen kunt "herformuleren" zodat Einsteins symmetrieën van de rel.theorie manifest worden. Zo hoopt men nieuwe inzichten te verkrijgen in "stringy meetkunde", meetkunde die alleen tevoorschijn komt wanneer je met snaren of branen werkt.

quote:

Op maandag 25 juni 2012 09:24 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Het blijkt dus dat er nog al es symmetrieën in je theorie verstopt zitten, maar dat je die over het hoofd ziet omdat je de theorie onhandig hebt opgeschreven

Overigens hoop ik dat met de linkjes en de eerdere posts mijn post redelijk te begrijpen is, maar als dat niet zo is dan kun je altijd aangeven wat niet precies duidelijk is, mocht het je interesseren

quote:

Op zondag 24 juni 2012 22:09 schreef Haushofer het volgende:
Een reuzeschop, maar het leek me leuk om de uitspraak "we weten niet precies wat snaartheorie is" in historische context te plaatsen.

Toen Maxwell halverwege de 19e eeuw zijn vergelijkingen van het elektromagnetische veld opschreef, was het niet direct duidelijk dat deze vergelijkingen vergaande gevolgen had: ze spraken Newtons notie van ruimte en tijd tegen. Dit werd pas manifest toen men het elektrische en magnetische veld beschreven in termen van een ruimtetijd-vector, die de "vectorpotentiaal" wordt genoemd. Zo werden de symmetrieën van de speciale relativiteitstheorie expliciet gemaakt, en was het duidelijk dat Newtons notie van ruimte en tijd vervangen moesten worden. Uiteindelijk resulteerde dit in een ware paradigmaverschuiving in de fysica.

Met snaartheorie heb je soortgelijke gevallen gehad. Ik zei eerder dat supersymmetrie in de ruimtetijd cruciaal is voor snaartheorie, omdat anders het spectrum van deeltjes niet consistent lijkt te kunnen worden geinterpreteerd. In de oorspronkelijke formulering van snaartheorie is het nogal moeilijk om die supersymmetrie voor elkaar te krijgen: het kost je erg veel moeite, komt over als een waar wonder (je gebruikt onder andere een identiteit die door Carl Gustav Jacobi in 1829 een "aequatio identica satis abstrusa", een "obscure identiteit", werd genoemd), en het komt erg onnatuurlijk over om zo hard te moeten werken om zo'n symmetrie te zien. Dat doet je ergens denken aan die Maxwell-vergelijkingen. En inderdaad, Green en Schwarz kwamen later met een andere formulering van snaartheorie waarin supersymmetrie "manifest" wordt gemaakt: de theorie wordt zo opgeschreven dat die ruimtetijd-supersymmetrie (SUSY) er vanaf het begin in zit. Zo heb je twee formuleringen van dezelfde theorie.

Naast SUSY kent snaartheorie ook veel andere symmetrieën. Eentje daarvan noemen we T-dualiteit, waarbij de "T" voor "torus" staat. Wanneer je van al die dimensies (zeg, 10) er eentje een cirkel maakt met straal R, dan blijkt het spectrum van de theorie het onderscheid niet te zien tussen een cirkel met straal R en een cirkel met straal 1/R. Dit heeft te maken met hoe een snaar zich om zo'n cirkel kan winden, en heb je dus niet voor puntdeeltjes. Dat maakt T-dualiteit erg interessant. De implicaties van deze symmetrie zijn redelijk bizar: een snaar voelt het verschil niet tussen een verschrikkelijke kleine, opgerolde dimensie en een enorm uitgestrekte gesloten dimensie; vanuit het oogpunt van snaartheorie zijn deze 2 universa exact hetzelfde! T-dualiteit blijkt ook te gelden voor meer ingewikkelde compactificaties, op zogenaamde Calabi-Yau ruimtes. Dan noemen we de symmetrie "spiegelsymmetrie", en heeft voor belangrijke wiskundige inzichten gezorgd.

Maar ook hier geldt weer: je moet er even voor werken voordat je die symmetrie ziet; ze is niet "manifest". Een hot topic in snaartheorie tegenwoordig is "double field theory", waarin mensen die T-dualiteit manifest proberen te maken door snaartheorie weer te herformuleren. Net zoals je de Maxwellvergelijkingen kunt "herformuleren" zodat Einsteins symmetrieën van de rel.theorie manifest worden. Zo hoopt men nieuwe inzichten te verkrijgen in "stringy meetkunde", meetkunde die alleen tevoorschijn komt wanneer je met snaren of branen werkt.

quote:

Op dinsdag 31 juli 2012 17:54 schreef Haushofer het volgende:
Witten's public lecture over snaartheorie op Strings 2012.

Let met name op de eerste vraag uit het publiek op 43:40

quote:

Op dinsdag 31 juli 2012 17:54 schreef Haushofer het volgende:
Witten's public lecture over snaartheorie op Strings 2012.

Let met name op de eerste vraag uit het publiek op 43:40

quote:

Op woensdag 1 augustus 2012 13:18 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Witten zal er niet wakker van liggen

quote:

Op woensdag 26 september 2012 22:39 schreef Haushofer het volgende:
Die tien dimensies zijn nodig om de overgang van klassiek naar kwantummechanisch consistent te maken. In jip en janneke taal heeft de klassieke theorie (dus voordat je de theorie in overeenstemming brengt met de qm) een aantal vrijheidsgraden. Dit aantal mag niet veranderen na kwantiseren, omdat je anders opeens een andere theorie zou krijgen en niet slechts de regeltjes van de qm oplegt. In 3 of 10 dimensies is de zaak consistent, maar als je een ander aantal dimensies kiest krijg je een extra vrijheidsgraad die je theorie fundamenteel verandert.

Wiskundig gezien speelt de symmetrie genaamd "conforme symmetrie", die je alleen voor snaren hebt, een enorm belangrijke rol. Deze symmetrie raak je kwijt na het kwantiseren, mits je die 10 (of 3, maar dat vaak buiten beschouwing gelaten) dimensies kiest.

Wil je hier meer over weten, dan kun je op "conformal anomaly" googlen, maar da's nogal technisch

quote:

Ik was er al bang voor; ik begrijp er niks van

quote:

Op donderdag 27 september 2012 13:37 schreef Ravocs het volgende:

[..]

Het voorbeeld wat nu volgt heeft niets met string theory te maken, maar geeft misschien iets meer duidelijkheid over 'dimensies'.

Van welke dingen is de weerstand van een auto afhankelijk?

Ten eerste de luchtweerstand. De vorm van de auto (1), het materiaal waar de auto van gemaakt is (2), de luchttemperatuur (3), de samenstelling van de lucht (4), de snelheid van de auto (5).
Dan de rolweerstand. Het materiaal van de banden (1), het contactoppervlak van de banden met het wegdek (2), het materiaal van het wegdek (3), etc. etc.

Als ik dus een grafiek wil maken waarin ik alle variabelen tegen elkaar uitzet en als resultaat de weerstand wil hebben, heb ik dus al minstens 5+3+1 = 9 'dimensies' nodig. (die laatste voor de weerstand, het antwoord)

Hier kunnen we prima mee rekenen. Deze dimensies zijn niet echt te vergelijken met de dimensies het hiervoor over ging, maar misschien helpt dit je inbeeldingsvermogen.