De fraaiste wiskundige bewijzen #1

Waarbij WFL nu vervangen dient te worden door F&L.

quote:

Op maandag 12 oktober 2009 15:55 schreef Pietverdriet het volgende:
Persoonlijk vind ik dit een prachtige fractal,
[ afbeelding ]

Brassica oleracea convar. botrytis var. botrytis

Overigens zijn er heel veel van zulke repeterende systemen in de natuur te vinden, varens zijn een ander bekend voorbeeld. Een manier om dat te formaliseren zijn Lindenmayersystemen.

Die systemen bestaan uit een voudige regels (stapje naar voren, draai een slag, stapje naar voren, trek een lijntje), en door die iteratief te doen krijg je fractals. Zie die Wikipedia pagina. Een voorbeeld zie hieronder:


^{Bron: Wikimedia Commons. Maker: Sakurambo. Licentie: CC-BY-SA.}

Het leuke is in feite dat dit heel simpele instructies zijn die zich genetisch ook gemakkelijk zouden laten coderen. Zo’n plant is dus heel compact weer te coderen. Maar toch oogt het resultaat vrij complex. Hierboven zie je ook dat de plant in feite kleinere kopieėn van zichzelf bevat aan de stam.

quote:

Op maandag 12 oktober 2009 16:06 schreef servus_universitas het volgende:
Echt fascinerend dat die in de natuur voorkomende patronen zich wiskundig laten beschrijven.

Als je ervan uitgaat dat ze zich ook genetisch moeten kunnen laten coderen op een vrij eenvoudige manier, dan is het toch al niet zo heel vreemd? Natuurlijk is er in ‘het echt’ altijd verstoring. Dus de ‘instructie’ (zo je wilt) is weliswaar simpelweg ‘groei’ maar zonlicht/wind/beesten/iets verstoort de boel.

Maar goed:


^{Bron: Wikimedia Commons. Maker: L. Shyamal. Licentie: CC-BY-SA.}

Van Wikipedia Fibonacci spiral (Fibonacci numbers in nature)

quote:

A model for the pattern of florets in the head of a sunflower was proposed by H. Vogel in 1979. This has the form



where n is the index number of the floret and c is a constant scaling factor; the florets thus lie on Fermat's spiral. The divergence angle, approximately 137.51°, is the golden angle, dividing the circle in the golden ratio. Because this ratio is irrational, no floret has a neighbor at exactly the same angle from the center, so the florets pack efficiently. Because the rational approximations to the golden ratio are of the form F(j):F(j + 1), the nearest neighbors of floret number n are those at n ± F(j) for some index j which depends on r, the distance from the center. It is often said that sunflowers and similar arrangements have 55 spirals in one direction and 89 in the other (or some other pair of adjacent Fibonacci numbers), but this is true only of one range of radii, typically the outermost and thus most conspicuous.

Het onderstreepte is de kern: evolutionair is het voordelig om zo dicht mogelijk opeen te pakken. En het resultaat is dus dat er zo’n wiskundig patroon uitkomt.

quote:

Op maandag 12 oktober 2009 16:17 schreef Haushofer het volgende:
Een ander prachtig voorbeeldje van een wiskundige structuur die mooie plaatjes opgeeft is de zogenaamde wortelstructuur van de 248-dimensionale Lie group E₈. Deze Lie groep wordt bijvoorbeeld in een heterotische supersnaartheorie of een 10-dimensionale N=1 supergravitatie theorie toegepast als ijkgroep.

[ afbeelding ]

Alhoewel het hier nog maar de vraag is of deze structuur in de natuur terug te vinden is

Het is natuurlijk wel aardig om dat patroon op je kleren te borduren als fysicus.

quote:

Op maandag 12 oktober 2009 16:20 schreef Twentsche_Ros het volgende:
Wat ook fraai is, is om bij een rekenmethode of een raadsel de ongeldigheid aannemelijk te maken, door een extreem voorbeeld te nemen.

Stel er zijn honderd deuren.
Je kiest een deur.
En de kwismaster is zo vriendelijk om 98 deuren te openen waarachter geen prijs blijkt te zijn. Ook nu zijn er twee deuren over. Is het nu ook nog 50:50?
Hmmm erg onwaarschijnlijk.

Daar zou ik niet zo zeker van zijn.

Zijn er evenveel breuken als gehele positieve getallen?

Een drieluik! Vandaag het eerste deel. Het idee voor vandaag is om te bewijzen dat er evenveel rationale getallen, ook wel bekend als breuken, zijn als natuurlijke getallen, d.w.z. de positieve gehele getallen.

Wat ‘evenveel’ is zullen we vandaag eveneens verduidelijken. Het volgende stuk is de Calkin-Wilf-reeks, en als laatste zullen we Cantors diagonaal-argument doen.

Deze aflevering is (hopelijk) goed te volgen ook al heb je nooit veel wiskunde gehad.

De natuurlijke getallen

We beginnen met de natuurlijke getallen, dit zijn de getallen 1, 2, 3, 4, 5 en zo voort. Deze verzameling wordt meestal aangeduid met een hoofdletter N (eigenlijk: ℕ):



_{Soms stopt men 0 er ook bij, maar ik vandaag niet.}

Deze verzameling bevat uiteraard oneindig veel getallen. Er is niet zoiets als ‘een grootste natuurlijk getal’. Alhoewel het er oneindig veel zijn, kunnen we ze toch systematisch opsommen. Je begint gewoon bij 1, en dan telkens eentje meer. Je komt nooit bij het eind, maar je kunt weet zeker dat je ook geen getal overslaat als je zo opsomt. En dat is belangrijk, daarom wordt deze verzameling aftelbaar oneindig genoemd.

De gehele getallen
Nu bekijken we de verzameling van alle gehele getallen, meestal aangeduid met een Z (ℤ) van het Duitse Zahlen. Je kunt je ℤ voorstellen als:



Nu beweer ik ‘er zijn evenveel gehele getallen als natuurlijke getallen’. Wat ‘evenveel’ inhoudt zal ik nog iets preciseren. Normaliter, bij eindige verzamelingen, zeg je b.v. {a, b, c} en {1, 2, 3} bevatten evenveel elementen omdat ze allebei 3 elementen bevatten. Maar ja, het is niet in een getal uit te drukken hoeveel elementen ℕ bevat, oneindig is geen getal immers.

‘Evenveel’ precies gemaakt
Daarom is er een iets algemenere definitie voor evenveel. Namelijk, twee verzamelingen bevatten evenveel elementen als er een 1:1 koppeling te vinden tussen de elementen van beide verzamelingen. Kortom, je kunt paartjes maken met één element uit de ene verzameling, en eentje uit de andere verzameling, waarbij alle elementen gebruikt, maar waarbij je geen enkel element dubbel gebruikt, bijvoorbeeld:



Hierboven zie je twee manieren om de verzamelingen {1,2,3} en {a,b,c} aan elkaar te koppelen. Ook zie je dat voor {1,2} en {a,b,c} niet zo’n koppeling te vinden is. Je komt er immers altijd eentje te kort. In dit voorbeeld kun je c niet koppelen.

In het geval van oneindige verzamelingen kan dit een soms een wat onverwacht resultaat geven, maar hopelijk is het toch redelijk logisch als je erover nadenkt. Neem b.v. de even natuurlijke getallen ({2,4,6,…}) en alle natuurlijke getallen:



Het is duidelijk dat die koppeling helemaal door te trekken. Elk even getal n wordt gekoppeld aan n/2 en elk natuurlijk getal m aan het even getal 2m. In deze zin zijn er dus evenveel gehele getallen als even getallen. Nu is duidelijk (hopelijk) wat ik met evenveel bedoel.

Een koppeling tussen ℕ en ℤ
Er zijn op die manier ook evenveel gehele getallen als natuurlijke getallen:



Het is ook duidelijk dat deze koppeling gewoon door te trekken is, bovenaan som je de natuurlijke getallen op, onderaan gaat het verder met -4, 4, -5, 5, -6, 6 enz.

Dus er zijn ook evenveel gehele getallen als natuurlijke getallen.

Er zijn evenveel breuken als natuurlijke getallen!
Nu komen we bij de volgende stap. De eerstvolgende grotere verzameling van getallen die wiskundigen gebruiken is Q (of ℚ), die bestaat uit alle breuken. Dus b.v. 3/5, 7/3, 1/8, 9/2, enz. Hieronder zie je alle positieve breuken systematisch opgesomd als een vierkant dat oneindig is naar twee kanten:



Het misschien nog wel duidelijk hoe je één rij of één kolom kunt koppelen aan de natuurlijke getallen, maar allemaal? Toch kan dit. Het volgende werkt duidelijk niet:



Want aan welk getal wordt 2/3 bijvoorbeeld gekoppeld? Dat is niet te zeggen. Want er zijn duidelijk oneindig veel breuken in de vorm 1/n. En 2/3 komt pas ‘daarna’. Maar ‘na oneindig’ is er niet veel, en al helemaal geen getal. Dus er moet iets slimmers bedacht worden.

En dat gaat zo (volg de blauwe lijn):



Je gaat dus systematisch de diagonalen af, dit levert de volgende koppeling:



En dit systeem is wél door te trekken. Op het plaatje staat al grofweg hoe het werkt.

Tot slot

Een nadeel van deze koppeling is dat je er dubbele vormen in hebt, zoals 4/4, 3/1 en 6/2. In een volgende post zullen we een heel slimme manier van opsommen zien, die zulke ‘dubbelen’ overslaat.

quote:

Op dinsdag 13 oktober 2009 20:09 schreef Burakius het volgende:
Het bewijs van de Fremant theorie natuurlijk! Helaas is dat niet ff te kopieėren en plakken

Met Fremant bedoel je Fermat?

quote:

Op dinsdag 13 oktober 2009 20:17 schreef Burakius het volgende:

[..]

Fermant Maar Fermat zou ook eens kunnen.

Fermat is al langsgekomen. D.w.z. dat aⁿ + bⁿ = cⁿ geen oplossingen heeft voor n > 2.

quote:

Op dinsdag 13 oktober 2009 21:43 schreef Burakius het volgende:
Ja het bewijs heeft toch wel een aantal jaren geduurd heb ik gehoord. Er is ook een boek over als ik het goed heb.

Misschien moet je toch even de topic doorlezen. Dan zul je ook ontdekken dat er een documentaire over is die op YouTube staat.