SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Hier kan ik wel wat mee. En dat bedoel ik idd.quote:Op woensdag 1 juli 2009 14:32 schreef Iblis het volgende:
[..]
\sigma typen. Of \varsigma als je de andere sigma wilt.En als je de hoofdletter wilt \Sigma. De truc is echter om LaTeX te leren, althans, wat wiskunde notatie betreft, ik zoek dat even voor je op!
Wat jij wilt is dus dit:
[ afbeelding ]
En ik heb dat zo getypt:
[ code verwijderd ]
Hmm, ik kan nog niet echt een handige guide vinden.
Daar heb ik bar weinig ervaring mee. Met sigma's ben ik ook slecht.quote:Op woensdag 1 juli 2009 14:39 schreef Iblis het volgende:
Een inductiebewijs lijkt me overigens goed te doen, heb je dat al geprobeerd?
Ik weet wel ongeveer wat ik wil, maar weet niet hoe ik het moet uitwerken.
Hier is een tutorial: http://www.forkosh.com/mimetextutorial.html
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Wat wil je dan?quote:Op woensdag 1 juli 2009 14:41 schreef Washington het volgende:
[..]
Daar heb ik bar weinig ervaring mee. Met sigma's ben ik ook slecht.
Ik weet wel ongeveer wat ik wil, maar weet niet hoe ik het moet uitwerken.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Nu, dan heb je twee zaken nodig: Een basisgeval, en een inductiehypothese. Kun je die formuleren?quote:
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
n=1 is mijn basisgeval. Ik heb laten zien dat dit klopt.
Nu n + 1:
Zo? Maar wat nu?
[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:25:44 ]
Nu n + 1:
Zo? Maar wat nu?
[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:25:44 ]
Nu treedt je inductiehypothese in werking. De truc is namelijk, en dat is essentieel, dat je nu wilt bewijzen dat als het geldt voor n dat het dán ook geldt voor n + 1. Dus bij deze stap wil je het voor n + 1 bewijzen, maar dan mag je dus aannemen dat het voor n inderdaad geldt. Als je dat gegeven toepast, dan kun je de som vereenvoudigen.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
We beginnen dus hiermee:
En splitsen nu de som, de laatste twee termen halen we eruit, om het zo te zeggen:
Nu echter kun je je inductie-hypothese toepassen. Je neemt namelijk aan dat voor n de gelijkheid al geldt, dus je kunt nu stellen dat je:
kunt toepassen, dat doen we dus, en we krijgen daarom:
Dat kunnen we even uitwerken:
Dus:
n + 1 = n + 1
Dat klopt.
Kortom, je hebt nu bewezen dat als het voor n geldt, dat het dan ook voor n+1 geldt. Met het basisgeval, n = 1, is nu je bewijs rond. Immers uit dit basisgeval en bovenstaande volgt dat het ook voor n = 2 geldt, en daar weer uit voor n = 3, enzovoort.
[ Bericht 0% gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:25:48 ]
En splitsen nu de som, de laatste twee termen halen we eruit, om het zo te zeggen:
Nu echter kun je je inductie-hypothese toepassen. Je neemt namelijk aan dat voor n de gelijkheid al geldt, dus je kunt nu stellen dat je:
kunt toepassen, dat doen we dus, en we krijgen daarom:
Dat kunnen we even uitwerken:
Dus:
n + 1 = n + 1
Dat klopt.
Kortom, je hebt nu bewezen dat als het voor n geldt, dat het dan ook voor n+1 geldt. Met het basisgeval, n = 1, is nu je bewijs rond. Immers uit dit basisgeval en bovenstaande volgt dat het ook voor n = 2 geldt, en daar weer uit voor n = 3, enzovoort.
[ Bericht 0% gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:25:48 ]
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Waar ik van een uitdrukking met som-teken naar n - (2n + 1) + (2n + 2) ga?
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Dat is hele truc van inductief bewijzen. Je zet een inductiebewijs namelijk zo op:
1) Basisstap (voor n = 1)
2) Inductiestap: Als het voor n geldt, dan geldt het ook voor n + 1.
(2) is dus de crux. Je zou ook kunnen zeggen: Aangenomen dat het voor n geldt, dán geldt het ook voor n + 1. In het bewijs voor stap 2 kun je dus aannemen dat de gelijkheid in het geval van n al geldt. En dat is wat ik doe.
Ik heb dus deze uitdrukking:
Mijn aanname is dat:
inderdaad geldt. En als ik dat toepas, dan krijg ik:
n - (2n + 1) + (2n + 2)
Dat lijkt misschien een beetje raar, want hoe heb ik nu echt wat bewezen? Zit ik niet gewoon aan te nemen wat ik moet bewijzen? Het antwoord daarop is Nee maar dat is alleen omdat je stap (1) hebt. Stap (2) op zich is niet voldoende als bewijs.
Want ik heb alleen nog maar bewezen dat als het voor een zekere n geldt (ik kan het niet vaak genoeg zeggen) dat het dan ook voor (n + 1) geldt. Dus stel het geldt voor n = 10, dan ook voor n = 11. (En dus dan ook voor n = 12).
En daarom heb ik stap 1 nodig. Dat is namelijk je beginnetje. Dan zeg je: Aha, kijk, het geldt inderdaad voor n = 1, dus mag ik op basis van (2) concluderen dat het voor n = 2 geldt. En dan kan mag ik op basis van (2) concluderen dat het voor n = 3 geldt, en zo kun je doorgaan natuurlijk.
[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:25:54 ]
1) Basisstap (voor n = 1)
2) Inductiestap: Als het voor n geldt, dan geldt het ook voor n + 1.
(2) is dus de crux. Je zou ook kunnen zeggen: Aangenomen dat het voor n geldt, dán geldt het ook voor n + 1. In het bewijs voor stap 2 kun je dus aannemen dat de gelijkheid in het geval van n al geldt. En dat is wat ik doe.
Ik heb dus deze uitdrukking:
Mijn aanname is dat:
inderdaad geldt. En als ik dat toepas, dan krijg ik:
n - (2n + 1) + (2n + 2)
Dat lijkt misschien een beetje raar, want hoe heb ik nu echt wat bewezen? Zit ik niet gewoon aan te nemen wat ik moet bewijzen? Het antwoord daarop is Nee maar dat is alleen omdat je stap (1) hebt. Stap (2) op zich is niet voldoende als bewijs.
Want ik heb alleen nog maar bewezen dat als het voor een zekere n geldt (ik kan het niet vaak genoeg zeggen) dat het dan ook voor (n + 1) geldt. Dus stel het geldt voor n = 10, dan ook voor n = 11. (En dus dan ook voor n = 12).
En daarom heb ik stap 1 nodig. Dat is namelijk je beginnetje. Dan zeg je: Aha, kijk, het geldt inderdaad voor n = 1, dus mag ik op basis van (2) concluderen dat het voor n = 2 geldt. En dan kan mag ik op basis van (2) concluderen dat het voor n = 3 geldt, en zo kun je doorgaan natuurlijk.
[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:25:54 ]
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Ah okay. Heel helder uitgelegd.
Maar je zegt dus
omdat je 2n + 2 hebt ?
[ Bericht 2% gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:25:58 ]
Maar je zegt dus
omdat je 2n + 2 hebt ?
[ Bericht 2% gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:25:58 ]
Ja, ik haal een paar termen uit dat somteken dus:
Dat doe ik natuurlijk expres zo, zodat ik die vervanging daarna makkelijk kan toepassen. Ik zou er ook eentje meer of minder uit kunnen halen, maar ja, dat is niet handig.
[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:26:00 ]
Dat doe ik natuurlijk expres zo, zodat ik die vervanging daarna makkelijk kan toepassen. Ik zou er ook eentje meer of minder uit kunnen halen, maar ja, dat is niet handig.
[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:26:00 ]
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Als je 'm nog niet gedaan hebt:
Is ook een klassieker om met volledige inductie te bewijzen. Kun je kijken of je het begrepen hebt.
[ Bericht 0% gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:26:03 ]
Is ook een klassieker om met volledige inductie te bewijzen. Kun je kijken of je het begrepen hebt.
[ Bericht 0% gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:26:03 ]
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Ik zou er dan nog wel een k bij typen.quote:Op woensdag 1 juli 2009 16:05 schreef Iblis het volgende:
Als je 'm nog niet gedaan hebt:
[ afbeelding ]
Is ook een klassieker om met volledige inductie te bewijzen. Kun je kijken of je het begrepen hebt.
Gefikst!quote:
[..]
Ik zou er dan nog wel een k bij typen.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Dank voor het beantwoorden van mijn vraag met die nCR! Ik heb mijn toets met een 8,8 gehaald en heb daarmee mijn propedeuse in de zak
Blues ain't nothing but a good man feeling bad...
P !quote:Op woensdag 1 juli 2009 19:03 schreef GoodGawd het volgende:
Dank voor het beantwoorden van mijn vraag met die nCR! Ik heb mijn toets met een 8,8 gehaald en heb daarmee mijn propedeuse in de zak
Gefeliciteerd.
GO LANCE !!!
Ik zou het heel anders aanpakken. Die factor (-1)k zorgt alleen voor een alternerend teken van de termen van je som, en het aantal termen is bovendien steeds even. Je kunt de som dan ook eenvoudig herschrijven als het verschil van twee sommen van rekenkundige rijen en vervolgens de gangbare somformule voor rekenkundige rijen toepassen.quote:Op woensdag 1 juli 2009 14:41 schreef Washington het volgende:
[..]
Daar heb ik bar weinig ervaring mee. Met sigma's ben ik ook slecht.
Ik weet wel ongeveer wat ik wil, maar weet niet hoe ik het moet uitwerken.
Hoi!
Ik heb even een vraag over modulorekenen, wat waarschijnlijk heel simpel is
Als vraag heb ik:
Bereken de rest van 2^100 modulo 7. Tip: 2³ modulo 7 = 1
en
Wat is de rest van 2 * 10^10 modulo 97
Zelf heb ik al wat geprobeerd, maar ik zie niet hoe je bijvoorbeeld van die 2³ modulo 7 naar het antwoord van 2^100 modulo 7 kan komen.
Alvast bedankt!
Ik heb even een vraag over modulorekenen, wat waarschijnlijk heel simpel is
Als vraag heb ik:
Bereken de rest van 2^100 modulo 7. Tip: 2³ modulo 7 = 1
en
Wat is de rest van 2 * 10^10 modulo 97
Zelf heb ik al wat geprobeerd, maar ik zie niet hoe je bijvoorbeeld van die 2³ modulo 7 naar het antwoord van 2^100 modulo 7 kan komen.
Alvast bedankt!
X1 = 0.3X1 + 0.25X2 + 0.2X3
X2 = 0.4X1 + 0.5X2 + 0.3X3
X3 = 0.3X1 + 0.25X2 + 0.25X3
X1 + X2 + X3 = 1
Hoe los ik bovenstaande (evenwichts)vergelijkingen op?
Ik zie het niet in
X2 = 0.4X1 + 0.5X2 + 0.3X3
X3 = 0.3X1 + 0.25X2 + 0.25X3
X1 + X2 + X3 = 1
Hoe los ik bovenstaande (evenwichts)vergelijkingen op?
Ik zie het niet in
"The name is Bond, James Bond"
Substitueren of rijreductie toepassen.quote:
X1 = 0.3X1 + 0.25X2 + 0.2X3
X2 = 0.4X1 + 0.5X2 + 0.3X3
X3 = 0.3X1 + 0.25X2 + 0.25X3
X1 + X2 + X3 = 1
Hoe los ik bovenstaande (evenwichts)vergelijkingen op?
Ik zie het niet in
Kijk eens naar 2^6. 2^6 = 1 (mod 7), wat toevallig. Geldt in het algemeen dat 2^(3n) = 1 (mod 7)?quote:Op woensdag 1 juli 2009 22:14 schreef CaptainCookie het volgende:
Hoi!
Ik heb even een vraag over modulorekenen, wat waarschijnlijk heel simpel is
Als vraag heb ik:
Bereken de rest van 2^100 modulo 7. Tip: 2³ modulo 7 = 1
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Wat moet ik waar substitueren?quote:Op woensdag 1 juli 2009 22:30 schreef GlowMouse het volgende:
[..]
Substitueren of rijreductie toepassen.
"The name is Bond, James Bond"
Ah, dus dan zou je kunnen zeggen dat 99 het hoogste cijfer in de buurt van de 100 is die deelbaar is door 3, waardoor er 1 bij de rest bijkomt (100-99=1)?quote:
Kijk eens naar 2^6. 2^6 = 1 (mod 7), wat toevallig. Geldt in het algemeen dat 2^(3n) = 1 (mod 7)?
X1 = 0.3X1 + 0.25X2 + 0.2X3
0 = -0.7X1 + 0.25X2 + 0.2X3
0 = X (-0.7 + 0.25X + 0.2X2)
dus:
X = 0 of (-0.7 + 0.25X + 0.2X2) = 0
Nu gewoon even (-0.7 + 0.25X + 0.2X2) exact oplossen of ABC toepassen.
X = 0, X = -2.5974, X = 1.347466
Rest moet nu ook wel lukken denk
0 = -0.7X1 + 0.25X2 + 0.2X3
0 = X (-0.7 + 0.25X + 0.2X2)
dus:
X = 0 of (-0.7 + 0.25X + 0.2X2) = 0
Nu gewoon even (-0.7 + 0.25X + 0.2X2) exact oplossen of ABC toepassen.
X = 0, X = -2.5974, X = 1.347466
Rest moet nu ook wel lukken denk
Die 1, 2 en 3 zijn subscripts.quote:
X1 = 0.3X1 + 0.25X2 + 0.2X3
0 = -0.7X1 + 0.25X2 + 0.2X3
0 = X (-0.7 + 0.25X + 0.2X2)
Kom kom, beetje zelf denken, je ziet X1 = 0.3X1 + 0.25X2 + 0.2X3 staan dus je haalt X1 naar links en je vervangt overal X1 door wat rechts staat. Daarna zelfde met X2, etc.quote:
Bijna goed.quote:Op woensdag 1 juli 2009 22:36 schreef CaptainCookie het volgende:
[..]
Ah, dus dan zou je kunnen zeggen dat 99 het hoogste cijfer in de buurt van de 100 is die deelbaar is door 3, waardoor er 1 bij de rest bijkomt (100-99=1)?
[ Bericht 0% gewijzigd door GlowMouse op 01-07-2009 22:52:43 ]
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Je hebt nog geen antwoord gegeven opquote:
[..]
Kan je nog een kleine hint geven
Indien waar: 2^99 = 1 (mod 7).quote:Geldt in het algemeen dat 2^(3n) = 1 (mod 7)?
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Ik dacht, laat ik een slim proberen te doen.. Niet voor herhaling vatbaar 
Ik blijf dan toch 3 onbekenden over houden hoor. Moet alles = 1 zijn?quote:Op woensdag 1 juli 2009 22:39 schreef GlowMouse het volgende:
[..]
Die 1, 2 en 3 zijn subscripts.
[..]
Kom kom, beetje zelf denken, je ziet X1 = 0.3X1 + 0.25X2 + 0.2X3 staan dus je vervangt overal X1 door wat rechts staat. Daarna zelfde met X2, etc.
"The name is Bond, James Bond"
Ja, dat geldt, maar hoe komt je dan verder?quote:
[..]
Je hebt nog geen antwoord gegeven op
[..]
Indien waar: 2^99 = 1 (mod 7).
X1 raak je in stap 1 anders al kwijt hoor.quote:
[..]
Ik blijf dan toch 3 onbekenden over houden hoor. Moet alles = 1 zijn?
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Als je weet waarom dat geldt dan kom je zelf ook wel verderquote:Op woensdag 1 juli 2009 22:44 schreef CaptainCookie het volgende:
[..]
Ja, dat geldt, maar hoe komt je dan verder?
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Fok it, ik kom er niet meer uit, bedankt iigquote:Op woensdag 1 juli 2009 22:44 schreef GlowMouse het volgende:
[..]
X1 raak je in stap 1 anders al kwijt hoor.
"The name is Bond, James Bond"
Bedankt, ik heb hemquote:
[..]
Als je weet waarom dat geldt dan kom je zelf ook wel verder
2^99 = 1 (mod 7) en 2 = 2 (mod 7). 2*1 is dan dus 2, dus het antwoord is 2
Ze gooien nu bij een andere vraag ineens 'het laatste cijfer' erin, zonder dat daar iets over gezegd wordt. Als vraag staat er dan bij:
Wat is het laatste cijfer van 3^100? Tip: het laatste cijfer van 3^4 is 1
Eerste stapje danquote:
[..]
Fok it, ik kom er niet meer uit, bedankt iig
(1) X1 = 0.3X1 + 0.25X2 + 0.2X3
(2) X2 = 0.4X1 + 0.5X2 + 0.3X3
(3) X3 = 0.3X1 + 0.25X2 + 0.25X3
(4) X1 + X2 + X3 = 1
Uit (1) volgt X1 = (5/14) X2 + (2/7) X3
Vul je dit in bij (2) krijg je X2 = (8/14)X2 + (29/70)X3
Kijk het even na en doe hetzelfde bij (3) en je bent X1 al kwijt.
[ Bericht 0% gewijzigd door GlowMouse op 01-07-2009 23:04:09 ]
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
