quote:
Op dinsdag 2 juni 2009 09:36 schreef Haushofer het volgende:Dank, die neem ik binnenkort es even door

Is de (volledige) strekking van zijn stellingen door iemand met een redelijke wiskunde-achtegrond goed te begrijpen, of zijn ze ontzettend technisch?
Ik weet niet wat je logica-achtergrond is. In principe is het goed te begrijpen als je goed in wiskunde bent (en als Natuurkundige ben je dat wel), maar anderzijds is het een tak van wiskunde die veelal niet onderwezen wordt. Maar als je een beetje bekend bent me Peano-rekenkunde, en wel wat van logica hebt gehad, dan moet het, denk ik, uiteindelijk wel te bevatten zijn.
Wat echter essentieel is, is dat er een (subtiel) verschil is tussen zaken die
waar zijn, en zaken
die je kunt bewijzen. Idealiter wil je dat wat waar is, dat dat bewijsbaar is, en dat wat bewijsbaar is, dat dat waar is. Neem een stelling als p -> p. (Als p, dan p). Je kunt kijken of deze waar is door verschillende waarden van p in te vullen (0 en 1), voor 0 krijg je: 0 -> 0, en dat is waar, en voor 1 krijg je 1 - 1, dat is ook waar. Dit is dus in feite een tautologie (altijd waar). De vraag is echter: kun je deze stelling ook afleiden? In de propositielogica kan dat, je doet het als volgt: Neem aan dat p geldt, dan krijg je: 'p' onder aanname van 'p'. Trek daarna je aanname, en je krijgt p -> p.
Dit lijkt wat flauw, maar dat is het idee. Je kunt je wel voorstellen dat als je niet met genoeg axiomata begint, b.v. de regel ‘je mag een aanname intrekken’ niet geeft, dat je het bewijs voor p -> p nooit rondkrijgt. Als je semantiek, d.w.z. je interpretatie gelijk blijft, dan heb je nog steeds dat p -> p waar is, maar je het niet formeel kunt afleiden, je kunt er geen bewijs voor rond krijgen.
Anderzijds, als je regels te algemeen zijn, b.v. je hebt als regel uit 'a \/ b' volgt 'a', dan krijg je dat je dingen kunt afleiden die niet waar zijn. Dat levert een inconsistent systeem. Een systeem waarbij alles wat je kunt afleiden waar is noemt men ‘sound’, en waarbij alles wat waar is ook af te leiden is, noemt men complete (of volledig).
Gödel heeft voor de gewone propositielogica twee volledigheidsstellingen bewezen. Dat geeft de basis denk ik om zijn onvolledigheidsstellingen goed te begrijpen. Die propositielogica heb ik uit
logica voor informatica (of toen nog ‘voor informatici’) geleerd, en dat is een duidelijk en goed boek. (Van Benthem is een grootheid in de logica-wereld.) Bovendien wordt dat boek veel in het onderwijs gebruikt, dus je kunt het vast ergens in een de Slegte of Marktplaats 2e-hands vinden.
Dat echter zou ik wel als basiskennis willen aanraden om door te hebben hoe bewijsbaarheid en geldigheid precies van elkaar verschillen. Want dat is de crux van Gödels bewijs.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.