[Bèta wiskunde] huiswerk- en vragentopic

quote:

Op vrijdag 5 september 2008 18:08 schreef Borizzz het volgende:
Ok. Nu de laatste opgave zelf, en dan denk ik dat ik het wel begrijp.
|z| < 2
a+bi < 2

Dit klopt niet, want het heeft geen betekenis. Je kunt geen ongelijkheid hebben met complexe getallen.

quote:

a+b < 2 (hier laat je de i ineens weg? )

Nee, dat is ook onzin.

quote:

(a^2 + b^2)^0,5 < 2
cirkel met middelpunt in de oorsprong en straal 2.
gevraagde gebied ligt in de cirkel.

Klopt dit?

Je eindresultaat klopt weer wel, maar je redenering rammelt.

er werd aangeraden om in plaats van z, a+bi in te vullen.
dus bij z=2 krijg ik a+bi = 2
dan laat je de i weg
a+b -> (a^2 + b^2) ^0,5 =2
a=0 b=0, dus middelpunt oorsprong.

en hierboven liet Haushofer bij een andere opgave ook ineens de i weg: |(a-2) + (b+1)i| = ( (a-2)2 + (b+1)2 )1/2. Waarom is dat dan incorrect?

Ik heb inmiddels antwoord van een expert op mijn vraag over koelers

quote:

Op vrijdag 5 september 2008 18:27 schreef Borizzz het volgende:
er werd aangeraden om in plaats van z, a+bi in te vullen.
dus bij z=2 krijg ik a+bi = 2
dan laat je de i weg
a+b -> (a^2 + b^2) ^0,5 =2
a=0 b=0, dus middelpunt oorsprong.

en hierboven liet Haushofer bij een andere opgave ook ineens de i weg: |(a-2) + (b+1)i| = ( (a-2)2 + (b+1)2 )1/2. Waarom is dat dan incorrect?

Je begrijpt er (helaas) nog niet veel van. Begin nu eens te werken met z = x + yi, je noemt de assen van het coördinatenstelsel toch ook niet de A-as en B-as maar de X-as en Y-as? Haushofer weet wat hij doet en hij laat helemaal niet zomaar de i weg.

Als je hebt z = x + yi, dan is |z| = √(x² + y²).

Dus: als |z| = 2, dan is √(x² + y²) = 2 en dus:

x² + y² = 4

Dit is de vergelijking van een cirkel met als middelpunt de oorsprong en straal 2. Zie je het nu?

Goed dit kan ik volgen.
dan die b opgave
z=x+iy
opgave is z-2+i > 2
x+iy -2 +i > 2
x-2 + iy +i > 2
x-2 +i(y+1) > 2
(x-2)^2 +(y+1)^2 > 4
gebied met (2,-1 als oorsprong en r^2 =4, dus r=2.
maar ik begrijp niet waar die i blijft in dat laatste stukje...

Ik vind dat toch maar lastig allemaal. En dan te bedenken dat dit nog maar t begin is..
z = x +iy
|z| zou dus de afstand moeten voorstellen van de oorsprong naar het complexe getal in kwestie.
werkt dus met pythagoras
je krijgt dan de wortel uit x^2 + (iy)^2, dat wordt dan x^2 +i^2y^2 en dus x^2 - y^2, want i^2 =-1
en dat is weer raar want in het dictaat staat dat het x^2 +y^2 moet worden.
Of moet ik de i weer buiten beschouwing laten? Dr gaat nog een hoop fout.

dat is dan x-0 en y-0.
ik geloof dat ik het nu wel snap. dat stukje is meer analytische meetkunde dan complexe getallen.

Staat het er zo goed:

opgave is z-2+i > 2
x+iy -2 +i = 2
x-2 + iy +i = 2
x-2 +i(y+1) = 2
|x-2 +i(y+1) |=4
((x-2)^2 +(y+1)^2)^0,5 > 2
gebied met (2,-1 als oorsprong en r^2 =4, dus r=2.

quote:

Op vrijdag 5 september 2008 18:57 schreef Borizzz het volgende:
Ik vind dat toch maar lastig allemaal. En dan te bedenken dat dit nog maar t begin is..
z = x +iy
|z| zou dus de afstand moeten voorstellen van de oorsprong naar het complexe getal in kwestie.

Ja, het is gewoon een generalisatie van het begrip absolute waarde bij reële getallen. Zo is bijv. |-4| = 4 omdat de afstand van het punt dat het getal -4 representeert tot het punt dat 0 representeert op de reële getallenlijn gelijk is aan 4.

quote:

werkt dus met pythagoras
je krijgt dan de wortel uit x^2 + (iy)^2, dat wordt dan x^2 +i^2y^2 en dus x^2 - y^2, want i^2 =-1
en dat is weer raar want in het dictaat staat dat het x^2 +y^2 moet worden.
Of moet ik de i weer buiten beschouwing laten? Dr gaat nog een hoop fout.

Nee, dit laat mooi je begripsverwarring zien. Het complexe vlak is een grafische voorstelling van de complexe getallen, net zo goed als je de reële getallen voor kunt stellen als punten op een rechte lijn. De absolute waarde |z| van een complex getal z = x + yi is meetkundig te interpreteren als de afstand van het punt met coördinaten (x,y) in het complexe vlak dat het getal z representeert tot het punt met coördinaten (0,0) dat het getal 0 representeert. En die afstand is √(x² + y²).

wat moet ik dan doen met zo'n som
er staat | z-2+i | > 2
dus volgens mij een gebied gevraagd dat een op een afstand groter dan 2 van dat complexe getal afligt?

|x+iy -2 +i | = 2
| x-2 + iy +i |= 2
|x-2 +i(y+1)| = 2
|x-2 +i(y+1) |=2
((x-2)^2 +(y+1)^2)^0,5 > 2
gebied met (2,-1 als oorsprong en r^2 =4, dus r=2.

quote:

Op vrijdag 5 september 2008 18:57 schreef Borizzz het volgende:
Ik vind dat toch maar lastig allemaal. En dan te bedenken dat dit nog maar t begin is..
z = x +iy
|z| zou dus de afstand moeten voorstellen van de oorsprong naar het complexe getal in kwestie.
werkt dus met pythagoras
je krijgt dan de wortel uit x^2 + (iy)^2, dat wordt dan x^2 +i^2y^2 en dus x^2 - y^2, want i^2 =-1
en dat is weer raar want in het dictaat staat dat het x^2 +y^2 moet worden.
Of moet ik de i weer buiten beschouwing laten? Dr gaat nog een hoop fout.

Je ‘ziet’ het nog niet echt voor je denk ik. Een reëel getal kun je zien als een punt op een lijn. 3 zit drie eenheden van het 0-punt af, 4 zit 4-eenheden van het nulpunt af. Tel je ze op, dan kom je 7 eenheden van het nulpunt af. Dat is een visuele manier van voorstellen.

In het complexe vlak bestaat een getal uit een reëel en imaginair deel:



Je kunt, zoals in bovenstaande afbeelding, getallen dus tekenen in het vlak. Je kunt je nu afvragen ‘hoe ver ligt het getal van de oorsprong’. Neem 2 - i. Dat is simpelweg met Pythagoras uit te rekenen. √(2^2 + 1^2) = √5. Die afstand tot de oorsprong kun je dus prima met alleen reële getallen uitdrukken. Die afstand wordt de norm genoemd, en nooit negatief. Het getal -1 - 2i heeft ook een norm van √5.

Als je nu wilt weten voor welke getallen geldt dat de norm < 2 is, dan is het logisch dat deze op de cirkelschijf met straal 2 liggen (rand niet meegenomen).

Zonet gaf ik aan dat er dus twee getallen zijn met dezelfde norm. Maar het zijn duidelijk niet twee gelijke getallen, want de een maakt een andere hoek dan de ander. De hoek die een lijn vanaf een getal met de oorsprong maakt wordt het argument genoemd van het getal. Dit gaat, zoals je denk ik wel weet, tegen de klok in: het argument van 2 (op de reële positieve as) is 0, van 2i (dus recht omhoog op de imaginaire as) is 90 graden, ofwel 1/2pi, van -2 (negatieve reële as) is 180 graden, ofwel pi, etc.

Je kunt dus elk getal ook met z'n norm (ook wel modulus genoemd) en argument (of hoek) beschrijven. Het leuke van die vorm is dat vermenigvuldigen ermee een stuk visueler weergegeven kan worden:



Het plaatje is wat beroerd, maar ik kon even geen betere vinden. Wat je ziet is dat als je twee getallen vermenigvuldigt, de hoek van het product gelijk is aan de som van de hoeken van de factoren. En de norm is gelijk aan het product van de normen.

Ofwel, neem b.v. (3 + 4i) en (5 + 12i). Als je deze vermenigvuldigt krijg je (-33 + 56i). Dat lijkt misschien niet echt logisch, als je het tekent echter, wordt het duidelijker. Je weet dat |3 +4i| = √(3^2 + 4^2) = 5, en even zo dat |5 + 12i| = 13. Ofwel |-33 + 56i| moet 13 * 5 = 65 zijn: dat klopt. Je kunt zien dat de eerste twee getallen allebeide ‘rechtsboven’ zitten (beide positief) dus we verwachten dat het product ofwel rechtsboven, ofwel linksboven (reëel negatief, imaginair positief) uitkomt. Want elk argument is kleiner dan 90 graden.

Voor de hoek heb je gewoon arctan, dus arctan(4/3) (let wel, dit is dus gewoon alsof je geometrie doet, die i is niet van belang), en arctan(4/3) ~ 53 graden. arctan(12/5) ~ 67 graden, dus de som is 120 graden. Als je nu kijkt naar de hoek die (-33 + 56i) maakt, dan zie je dat dit inderdaad 180 - arctan(56/33) = 120 graden is.

Dit tekenen en voor je zien helpt enorm, zoals je vroeger met blokjes leerde rekenen: je ziet de som voor je en hebt enig benul ‘waar’ een getal zich bevindt en wat getallen doen als je ze vermenigvuldigt. Ook als je dan sommen met kwadraten moet oplossen zie je dat een kwadraat de lengte doet kwadrateren, en de hoek verdubbelt.

Dat de i soms verdwijnt is ook omdat je je dan niet zozeer met het complexe getal zelf bezighoudt, als wel met de afstand tot de oorsprong, of de hoek die het getal maakt (alhoewel dat op zich beschoudt een valide manier is om complexe getallen te definiëren).

Als je dit eenmaal ziet, dan roep je heel hard 'ooooooh!'; maar de laatste stap moet je altijd zelf maken. Dan zie je complexe getallen ook als één getal, niet als een paartje getallen (zoals je in het begin meestal doet).

Oooooh!
Dank je, Iblis (en zeker ook anderen) voor alle moeite die gedaan is. Nu is het begip complex getal al meer tastbaar.
Ik zal de sommen nu nog eens netjes uitwerken, en het dan even laten liggen tot morgen.
Volgende paragraaf gaat over `geconjugeerden` en daarna poolcoordinaten.

Was het nog niet duidelijk: je kunt het complexe vlak als R² bekijken. Een complex getal z = x + yi kun je dan bekijken als een vector v = (x,y) in R² . Het statement z = x + yi betekent "x in de reeële richting, y in de imaginaire richting. Het statement v = (x,y) betekent "x in de x-richting, y in de y-richting". Da's de reden waarom je die i weglaat in de afstanden berekenen

En nog een opmerking over complexe getallen: ze zijn zo ongelooflijk elegant, het is bijna ongepast. Je zou kunnen stellen dat het doel van complexe getallen is dat de vergelijking x² = -1 een oplossing heeft. Die oplossing noemen we i. Dat is feitelijk de aanname. i is in zekere zin bijzonder, want het gedraagt zich niet als een ‘normaal’ getal, maar je hebt gezien dat er vrij gemakkelijk mee te rekenen is door getallen in de vorm (a + bi) te gebruiken.

Wat nu, als je verder komt met complexe functietheorie hopelijk duidelijk wordt (maar in mijn ervaring wordt dit vak nog wel eens gegeven met de nadruk op formules manipuleren zonder dat je echt ziet wat er gebeurt), is dat dit een ontzettend elegante generalisatie is van de reële getallen.

Ik zei al in m'n vorige post dat je kwadrateren kon zien als verdubbelen van de hoek en het kwadrateren van de norm (lengte). Kijk nu wat de hoek van -1 is: 180 graden, ofwel pi radialen. De wortel hiervan moet dus wel 1/2pi radialen zijn (en lengte 1): dat getal noemen we i. Wat is de wortel van -i? We kunnen dezelfde truc gebruiken: de norm is 1, maar de hoek moet √3/2pi zijn, en als je dat tekent kom je zo op (-1/2√2 + 1/2√2i) uit. Dit idee geeft je dus in feite voor elke punt de mogelijkheid om een wortel te berekenen.

Ook de convergentie van machtreeksen is in het complexe vlak een stuk logischer dan op de reële getallen lijn, en het aantal oplossingen dat een polynoom heeft. Je kunt polynomen met reële coëfficiënten maken, b.v. 1 + x^2 = 0, die geen reële oplossing hebben: dat lukt je niet met complexe getallen.

In feite gaat het dus via de eenheidscirkel? Er zijn dan toch een heleboel getallen met afstand (norm) 1 tot de oorsprong.
Maar waar moet ik een hoek van 1 of -1 zien op de eenheidscirkel? Ik heb daar geen plaatje bij. Als je 2x rond gaat kom je uit op 2Pi radialen, of -2Pi radialen... (of 180 / -180 graden). Maar ik vat niet precies wat je bedoelt met een hoek van 1 of -1.
Dit begint wel wat te lijken op poolcoordinaten, dat is de volgende paragraaf.

Dit is het begin een van mijn laatste vakken in de wisk. opleiding: complexe functietheorie. Het wordt er allemaal in 8 weken doorgedrukt. Maar ik wil eerst dit goed inzien voordat ik verder ga.

(verkeerde knop gebruikt)

Ik vind complexe analyse nog steeds bijzonder mooi. De Cauchy-Riemann vergelijkingen, de continue structuur van holomorfe functies, contourintegratie waarbij je alleen het residu hoeft uit te rekenen... en het komt kneiterhard terug in alles wat met quantummechanica te maken heeft

quote:

Op zaterdag 6 september 2008 10:28 schreef GlowMouse het volgende:
Caucy

Dat stond er heul niet!



Eerst maar es een kopje koffie

c * r^t = 3 * (c * r^(t-1)) - 2^t
Ik moet uit deze vergelijking halen wat c en r zijn, t is dus variabel. Maar ik kom er echt niet uit...Iemand die me kan helpen?

Ah je kunt natuurlijk gewoon voor t getallen proberen inderdaad...
Voor t=3 klopt ie wel hoor, cr³ = 3cr²-8 16=24-8 Je vergat de r

Bedankt

Daar was ik zelf al achter Bedankt

quote:

Op zaterdag 6 september 2008 10:27 schreef Haushofer het volgende:
Ik vind complexe analyse nog steeds bijzonder mooi. De Cauchy-Riemann vergelijkingen, de continue structuur van holomorfe functies, contourintegratie waarbij je alleen het residu hoeft uit te rekenen...

Inderdaad, en je hebt er echt eenvoudige zaken die helemaal kapot gaan in het reële geval (elke analytische afbeelding van C naar C is surjectief bijvoorbeeld).

quote:

en het komt kneiterhard terug in alles wat met quantummechanica te maken heeft

Het probleem is dat je als wiskundige met de toepassingen soms niet in contact komt.

Vraagje uit interesse : in een metrische ruimte zijn de topologisch compacte deelruimten (dus die waarvan elke open bedekking een eindige deelbedekking heeft) juist die gesloten en begrensde ruimten.
Maar in een algemene topologische ruimte zou het niet zo zijn dat een compacte deelruimte gesloten moet zijn, maar wel in een Hausdorffruimte. Ik zoek een tegenvoorbeeld en een bewijs van het tweede, maar ik zie het niet meer (ik heb het ooit begrepen )

quote:

Op zondag 7 september 2008 15:31 schreef zuiderbuur het volgende:

[..]

Inderdaad, en je hebt er echt eenvoudige zaken die helemaal kapot gaan in het reële geval (elke analytische afbeelding van C naar C is surjectief bijvoorbeeld).
[..]

Het probleem is dat je als wiskundige met de toepassingen soms niet in contact komt.

Om met Feynman's woorden te spreken:

quote:

Physics is to math what sex is to masturbation

Je topologievraag kan ik niet echt beantwoorden; het beetje topologie wat ik ken pas ik vrijwel altijd toe op deelverzamelingen van Rⁿ. Ik meende juist dat een topologische compacte ruimte die Hausdorff is ook altijd gesloten en begrensd is, maar daar ben ik niet zo zeker van; misschien geldt dit alleen voor bepaalde deelruimtes. Thabit weet het vast wel

Vraagje:
Met vectoren. Wat is de afstand tot de oorsprong (delta) van de lijn y=x+1.

Ik heb x*u₁+y*u₂=delta met u₁²+u₂²=1 als guidance. (Of y= -(u₁/u₂)x + delta/u₂ met wederom u₁²+u₂²=1)

Wie kan mij helpen met dit vraagstuk, ik kom er zelf namelijk nogal hard niet uit.

quote:

Op zondag 7 september 2008 17:35 schreef Leso_Varen het volgende:
Vraagje:
Met vectoren. Wat is de afstand tot de oorsprong (delta) van de lijn y=x+1.

Ik heb x*u₁+y*u₂=delta met u₁²+u₂²=1 als guidance. (Of y= -(u₁/u₂)x + delta/u₂ met wederom u₁²+u₂²=1)

Wie kan mij helpen met dit vraagstuk, ik kom er zelf namelijk nogal hard niet uit.

Om je toch een beetje verder het te laten zoeken : schrijf eens de expliciete formule op die je nodig hebt. Je moet inderdaad een vergelijking zoeken van de rechte met u1 en u2 waarvoor de som van de kwadraten is. En dan moet je nog iets doen natuurlijk doen met het punt waarvoor je de afstand tot de rechte wil weten.

quote:

Op zondag 7 september 2008 15:44 schreef Haushofer het volgende:


Je topologievraag kan ik niet echt beantwoorden; het beetje topologie wat ik ken pas ik vrijwel altijd toe op deelverzamelingen van Rⁿ. Ik meende juist dat een topologische compacte ruimte die Hausdorff is ook altijd gesloten en begrensd is, maar daar ben ik niet zo zeker van; misschien geldt dit alleen voor bepaalde deelruimtes. Thabit weet het vast wel

Een bewijs heb ik al ondertussen gevonden (hier onderaan).
Ik heb nog geen tegenvoorbeeld echter.

Inmiddels heb ik de paragraaf over poolcoordinaten en complexe getallen ook gedaan.
Ik zet even een uitwerking van een som hieronder en mijn uitleg/interpretatie erbij.
Zou iemand kunnen aangeven of dit een beetje correct is?

oplossen: z^2=2i
eerst kies je z=2i en die schrijf je om in zijn poolcoordinaten.
modulus =2
argument=0,5Pi
dus z=2 (cos(0,5Pi) + i sin(0,5Pi)

z^2 =2i kun je dan omschrijven in
r^2(cos(2a)+isin(2a) = 2 cos(0,5Pi) + i sin (0,5Pi)
dus r^2=2 en dus r=wortel (2)
2a=0,5Pi +k*2Pi en dus a=0,25Pi +k*Pi.

Er bestaan 2 oplossingen. van deze oplossingen (complexe getallen) heb ik nu een modulus en een bijbehorend argument gevonden. Deze kan ik in de poolnotatie zetten en uitrekenen. Dan vind ik een x+iy vorm van de oplossing.

oplossing 1: met r=wortel (2) en a=0,25Pi vind ik
wortel(2) * (cos(0,25Pi) + isin(0,25Pi)) = 1+ i

oplossing 2 met r=wortel (2) en a=1,25Pi vind ik
wortel(2) * (cos(1,25Pi) + isin(1,25Pi)) = -1 - i

Kan het zijn dat ik ergens nog een foutje heb zitten, en klopt het een beetje hierboven?

Ja, dus dan zou je 2i even anders moeten noemen...
maar is het verder oke?

quote:

Op zondag 7 september 2008 18:25 schreef Borizzz het volgende:
Inmiddels heb ik de paragraaf over poolcoordinaten en complexe getallen ook gedaan.
Ik zet even een uitwerking van een som hieronder en mijn uitleg/interpretatie erbij.
Zou iemand kunnen aangeven of dit een beetje correct is?

oplossen: z^2=2i
eerst kies je z=2i en die schrijf je om in zijn poolcoordinaten.
modulus =2
argument=0,5Pi
dus z=2 (cos(0,5Pi) + i sin(0,5Pi)

z^2 =2i kun je dan omschrijven in
r^2(cos(2a)+isin(2a)) = 2 (cos(0,5Pi) + i sin (0,5Pi))
dus r^2=2 en dus r=wortel (2)
2a=0,5Pi +k*2Pi en dus a=0,25Pi +k*Pi.

Er bestaan 2 oplossingen. van deze oplossingen (complexe getallen) heb ik nu een modulus en een bijbehorend argument gevonden. Deze kan ik in de poolnotatie zetten en uitrekenen. Dan vind ik een x+iy vorm van de oplossing.

Je bent erg onzorgvuldig met je haakjes, dat moet beter. Maar verder is het wel goed. Je begrijpt dat je nu gebruik hebt gemaakt van de formule van De Moivre?

In mijn schrift gebruik ik grote haakjes, kleine haakjes, rechte haakjes.
Als je het inptypt is een foutje snel gemaakt.
De Moivre pas ik idd toe om vergelijkingen op te lossen, maar je kunt met poolcoordinaten ook goniometrische relaties laten zien.

Vanavond ga ik nog even terug naar de stof van gisteren om te kijken. Ik zal dan nog even iets posten om te kijken of ik het een beetje begrepen heb allemaal.

Ik snap 1 stapje niet in de uitwerking van een opgave, een tikfout of ben ik gewoon dom?

Hier komt ie:

Re ((z-zi)/z) < 0 <-> Re ((x+yi-2i)/(x+yi))

Mij lijkt z = x+yi gewoon vervangen, maar dan komt er toch niet dit uit, of zie ik wat over het hoofd?

edit: mocht het niet duidelijk zijn, onderdeeltje in complexe analyse

quote:

Op zondag 7 september 2008 20:06 schreef McGilles het volgende:
Ik snap 1 stapje niet in de uitwerking van een opgave, een tikfout of ben ik gewoon dom?

Hier komt ie:

Re ((z-zi)/z) < 0 <-> Re ((x+yi-2i)/(x+yi))

Mij lijkt z = x+yi gewoon vervangen, maar dan komt er toch niet dit uit, of zie ik wat over het hoofd?

edit: mocht het niet duidelijk zijn, onderdeeltje in complexe analyse

Hier klopt van alles niet. Om te beginnen is (z-zi)/z = 1 - i, en het reële deel daarvan is 1, en dus nooit kleiner dan 0. Maar je bedoelt misschien (z-2i)/z ... Gewoon de breuk uitwerken door teller en noemer met x-yi te vermenigvuldigen, dan kun je het herleiden tot een standaardvorm van de gedaante a+bi.

quote:

Op zondag 7 september 2008 20:14 schreef Riparius het volgende:

[..]

Hier klopt van alles niet. Om te beginnen is (z-zi)/z = 1 - i, en het reële deel daarvan is 1, en dus nooit kleiner dan 0. Maar je bedoelt misschien (z-2i)/z ... Gewoon de breuk uitwerken door teller en noemer met x-yi te vermenigvuldigen, dan kun je het herleiden tot een standaardvorm van de gedaante a+bi.

Dus gewoon een tikfout...
Word ik zo gek van, zeker bij een nieuw vak. Ben in het verleden uren bezig geweest met lineaire algebra door de vele tikfouten in de stof.

Als het (z-2i)/z is, dan gaat het wel lukken ja, even uit mijn hoofd kom ik dan op (x^2+y^2-2y)/(x^2+y^2) < 0 en dat is simpel op te lossen.

Bedankt voor de bevestiging, kan ik tenminste met 100% zekerheid doorwerken!