[Bèta wiskunde] huiswerk- en vragentopic

T is allemaal wel erg nieuw voor me. Nog maar ns goed doornemen allemaal.
Ik heb t nagegaan en ik kan t volgen tot a=b-1
maar je moet naar een eindoplossing, waarden van z... hoe kom je daar dan?
je had gesteld z=a +bi...

Ja. Over het hoofd gezien.
Nu ns netjes opschrijven allemaal
Bedankt voor je hulp ieg

quote:

Op woensdag 3 september 2008 10:40 schreef Greus het volgende:
Hallo,

Gelijk maar weer met de deur in huis. Als een elektrisch dipooltje in een uniform elektrisch veld wordt geplaatst schijnt het elektrisch dipooltje zich langs het elektrisch veld 'op te lijnen'. Hoe moet ik dit nu eigenlijk zien? Is het niet zo dat dit dipooltje zich als een slinger gaat gedragen en constant om zijn equilibrium heen oscilleert zonder deze ooit te bereiken? (We praten toch over een dipooltje, een object ter grootte van, zeg, een watermolecuul dat dus geen (?) last van wrijving zou mogen hebben...)

Bij voorbaat dank!

quote:

Op donderdag 4 september 2008 13:07 schreef Greus het volgende:

[..]

Is lang geleden voor me, maar ik doe een poging. Ik snap niet helemaal wat je met je beschrijving bedoelt overigens.

Neem es een dipool met lading Q en -Q en lengte L en een elektrisch veld E = (0,0,E_z). Zo'n dipool zal in zo'n elektrisch veld een koppel ondervinden, omdat er een kracht op Q is en een kracht op -Q. Dus de nettokracht is 0, maar het koppel t is niet 0! We hebben dan de krachten ( via E=F/Q )

F op Q is F₁=(0,0,E*Q)
F op -Q is F₂=(0,0,-E*Q)

Het koppel ten opzichte van het midden van de dipool is dan t = r x F. Als we even aannemen dat het elektrisch veld een hoek a maakt met de dipool, dan wordt het koppel gelijk aan

|t| = F*L*sin(a), t = F x L = Q*E x L = p x L

Het dipool zal dus gaan roteren, en het koppel is het sterkst als a=pi/2.

Is dit wat je zoekt?

Hoe los je deze op:
- 10 + 2 x ^1/3log (x - 1) = -8
:s

quote:

Op donderdag 4 september 2008 15:55 schreef miracle. het volgende:
Hoe los je deze op:
- 10 + 2 x ^1/3log (x - 1) = -8
:s

Kun je iets meer haakjes plaatsen? De notatie is me nu niet gehel duidelijk. En hebben we het over log-10 of over log-e? De vraag is met name of het 2x^(1/3) is of dat er meer in de exponent staat.

Die p is het zogenaamde dipoolmoment en geeft de mate van polariteit; het is gedefinieerd als
de som over Q*r. Tsja, en over die wrijving; wat mensen vaak doen is een wrijvingscoefficient invoeren, stellen dat de wrijving bijvoorbeeld evenredig is met de hoeksnelheid, en dat in je bewegingsvergelijkingen stoppen. De oplossing is dan erg eenvoudig te vinden door een algemene oplossing Ae^bt in te voeren en dan met de ABC formule op te lossen voor b. Als je kwadratische afhankelijkheden invult wordt de boel al gauw niet meer analytisch op te lossen. Dit geldt ook voor hogere orde afgeleiden.

In het ideale geval is het traagheidsmoment I nog wel simpel te berekenen met de integraal I = int r² dm, maar in het algemeen zal het een tensor zijn. Als je het molecuul als een staaf met lengte L en massa m ziet, kun je vrij eenvoudig narekenen dat hiervoor geldt dat I = mL²/12. Dat zou een erg ruwe benadering zijn. Vul een typische lengte en massa van een molecuul in en je krijgt een idee van de orde van grootte.

quote:

Op donderdag 4 september 2008 22:55 schreef GlowMouse het volgende:
Dipoolmoment heb ik nooit gekend, vandaar dat hij onbekend voorkomt
Een molecuul als een staaf, het is eerder een bol, maar de massa zit dan weer aardig centraal_{die 1/12mL² lijkt niet geheel ontoevallig op de variantie van een uniform verdeelde stochast}. De exacte waarden kan ik niet zo goed vinden, maar met wat proberen kom ik rond de f = 10₂₅/s, dat gaat vrij rap.

Maar jij hebt dus ook geen idee van het effect van wrijving op die schaal?

Nee. Ik denk ook dat de wrijving vrij miniem is. Het is ook vrij zinloos om daar bij stil te staan denk ik, want op moleculaire schalen is het al een behoorlijke aanname om een elektrisch veld uniform te nemen. De wrijvingstermen waar ik het over had zijn vaak luchtwrijvingstermen, waar je hier niks aan hebt. De wrijvingstermen hier zullen ten gevolge zijn van de divergentie van het elektrisch veld of ladingverplaatsingen en dergelijke.

Zover ik weet wordt de benadering van een molecuul als een langvormige keten vrij vaak gemaakt; bij dergelijke structuren heb je ook veel eerder die dipoolstructuur lijkt me. Bij rotatie-symmetrische moleculen zou ik niet zo gauw weten waarom je überhaupt een dipool zou hebben.

Dit is ook veel meer scheikunde/ fysische chemie, en ik moet zeggen dat mijn kennis wat dat betreft behoorlijk faalt

Kan iemand mij vertellen wat het verschil is tussen een liebig-koeler en een bolkoeler?

als je in het complexe vlak moet tekenen:
a) | z-2+i | > 2
hoe pak je dit dan aan?
ga je dan z-2+i =2 oplossen -> z=4-i?
of zien als een cirkel met straal 2 en middelpunt 2+i, en waar ligt dan het gevraagde gebied?

b) op deze heb ik helemaal nog geen idee: |z-i | < |z+1|

Kan iemand me verder helpen?

quote:

Op vrijdag 5 september 2008 16:36 schreef Borizzz het volgende:
als je in het complexe vlak moet tekenen:
a) | z-2+i | > 2
hoe pak je dit dan aan?
ga je dan z-2+i =2 oplossen -> z=4-i?
of zien als een cirkel met straal 2 en middelpunt 2+i, en waar ligt dan het gevraagde gebied?

b) op deze heb ik helemaal nog geen idee: |z-i | < |z+1|

Kan iemand me verder helpen?

Ik vind het zelf altijd wel makkelijk om expliciet even z= a + bi te schrijven. Dan heb je dus dat

z -2 + i = (a-2) + (b+1) i

wordt. De norm | z-2+i| wordt dan |(a-2) + (b+1)i| = ( (a-2)² + (b+1)² )^1/2. Dit stelt een cirkel in het punt a=2,b=-1 voor met een bepaalde straal. In jouw geval dus 2.

Dan moet je nog even kijken dat er wordt gevraagd "groter dan". De cirkel zelf behoort dus niet tot de verzameling, alleen wat daarbuiten ligt

Bij b) ook weer: uitschrijven in z=a+bi, en dan krijg je een vergelijking tussen a en b in het complexe vlak. In jouw geval dus

a² + (b-1)² < (a+1)² + b²

a² + b² - 2b + 1 < a² + 2a + 1 + b²

a²+ b² - 2b < a² + 2a + b²

-2b < 2a

-b<a

Makkelijk is om a= -b te tekenen in het (a,b) vlak. Het > teken geeft aan dat je het oppervlakte rechtsboven deze lijn moet hebben, als je de b-as ( imaginaire as) verticaal hebt getekend ( zoals gewoonlijk is )

[ Bericht 7% gewijzigd door Haushofer op 05-09-2008 17:13:59 ]

quote:

Op vrijdag 5 september 2008 17:13 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

Dat staat er heul niet!

quote:

Op vrijdag 5 september 2008 17:17 schreef GlowMouse het volgende:
Sorry, ik denk dat ik het gewoon verkeerd zag.

Dat denk ik ook! Meer koffie drinken, Mouse

Ik neem er ook nog maar eentje denk ik

quote:

Op vrijdag 5 september 2008 17:08 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Ik vind het zelf altijd wel makkelijk om expliciet even z= a + bi te schrijven. Dan heb je dus dat

z -2 + i = (a-2) + (b+1) i

wordt. De norm | z-2+i| wordt dan |(a-2) + (b+1)i| = ( (a-2)² + (b+1)² )^1/2. Dit stelt een cirkel in het punt a=2,b=-1 voor met een bepaalde straal. In jouw geval dus 2.

Tja dit volg ik nog niet. Ik kan het volgen tot (a-2) + (b+1)i . Je hebt dan z=a+bi ingevuld. Wat bedoel je met norm? En vanwaar die kwadraten?
En je vindt dan een cirkel met middelpunt 2-1i en staal 2? Hoe hoe weet je dan waar het groter dan gebied moet liggen...

Ik ken uit de analystische meetkunde alleen een afstand tussen 2 punten, en dan is dat inderdaad de wortel uit de som van de kwadraten. Maar ik bereken nu toch helemaal geen aftstand? Alleen iets met een ongelijkheid.

In het dictaat dat ik heb staat dat bijv. | z-(5+6i) opgevat moet worden als een cirkel met middelpunt 5+6i, ofwel a=5 en b=6
z-2+i wordt dan z-(2-1i) dus inderdaad een a=2 en een b=-1.
Op zich een mooie methode om z=a+bi in te voeren.

Maar in mijn opgaven vind ik 1 ding nog niet eenduidig. Bij a) komt er een cirkel uit; bij b) een rechte lijn.
a^2 + (b-1)^2 < (a+1)^2 + b^2 als antwoord kan je toch ook gaan zien als een 2 cirkels ofzo?
cirkel met a=0 en b=1 bij de ene en a=-1 en b=0 bij de andere?

quote:

Op vrijdag 5 september 2008 17:48 schreef Borizzz het volgende:
Ik ken uit de analystische meetkunde alleen een afstand tussen 2 punten, en dan is dat inderdaad de wortel uit de som van de kwadraten. Maar ik bereken nu toch helemaal geen aftstand? Alleen iets met een ongelijkheid.

Je kunt beter werken met x en y dan met a en b. De conventie is dat letters uit het begin van het alfabet worden gebruikt om constanten of bekende grootheden aan te geven, en letters uit het einde van het alfabet voor onbekende grootheden of variabelen (dat is bedacht door Descartes). Door z = x + iy te nemen krijg je bovendien een betere aansluiting bij wat je al weet uit de analytische meetkunde.

Ok. Nu de laatste opgave zelf, en dan denk ik dat ik het wel begrijp.
|z| < 2
a+bi < 2
a+b < 2 (hier laat je de i ineens weg? )
(a^2 + b^2)^0,5 < 2
cirkel met middelpunt in de oorsprong en straal 2.
gevraagde gebied ligt in de cirkel.

Klopt dit?

quote:

Op vrijdag 5 september 2008 18:08 schreef Borizzz het volgende:
Ok. Nu de laatste opgave zelf, en dan denk ik dat ik het wel begrijp.
|z| < 2
a+bi < 2

Dit klopt niet, want het heeft geen betekenis. Je kunt geen ongelijkheid hebben met complexe getallen.

quote:

a+b < 2 (hier laat je de i ineens weg? )

Nee, dat is ook onzin.

quote:

(a^2 + b^2)^0,5 < 2
cirkel met middelpunt in de oorsprong en straal 2.
gevraagde gebied ligt in de cirkel.

Klopt dit?

Je eindresultaat klopt weer wel, maar je redenering rammelt.

er werd aangeraden om in plaats van z, a+bi in te vullen.
dus bij z=2 krijg ik a+bi = 2
dan laat je de i weg
a+b -> (a^2 + b^2) ^0,5 =2
a=0 b=0, dus middelpunt oorsprong.

en hierboven liet Haushofer bij een andere opgave ook ineens de i weg: |(a-2) + (b+1)i| = ( (a-2)2 + (b+1)2 )1/2. Waarom is dat dan incorrect?

Ik heb inmiddels antwoord van een expert op mijn vraag over koelers

quote:

Op vrijdag 5 september 2008 18:27 schreef Borizzz het volgende:
er werd aangeraden om in plaats van z, a+bi in te vullen.
dus bij z=2 krijg ik a+bi = 2
dan laat je de i weg
a+b -> (a^2 + b^2) ^0,5 =2
a=0 b=0, dus middelpunt oorsprong.

en hierboven liet Haushofer bij een andere opgave ook ineens de i weg: |(a-2) + (b+1)i| = ( (a-2)2 + (b+1)2 )1/2. Waarom is dat dan incorrect?

Je begrijpt er (helaas) nog niet veel van. Begin nu eens te werken met z = x + yi, je noemt de assen van het coördinatenstelsel toch ook niet de A-as en B-as maar de X-as en Y-as? Haushofer weet wat hij doet en hij laat helemaal niet zomaar de i weg.

Als je hebt z = x + yi, dan is |z| = √(x² + y²).

Dus: als |z| = 2, dan is √(x² + y²) = 2 en dus:

x² + y² = 4

Dit is de vergelijking van een cirkel met als middelpunt de oorsprong en straal 2. Zie je het nu?

Goed dit kan ik volgen.
dan die b opgave
z=x+iy
opgave is z-2+i > 2
x+iy -2 +i > 2
x-2 + iy +i > 2
x-2 +i(y+1) > 2
(x-2)^2 +(y+1)^2 > 4
gebied met (2,-1 als oorsprong en r^2 =4, dus r=2.
maar ik begrijp niet waar die i blijft in dat laatste stukje...

Ik vind dat toch maar lastig allemaal. En dan te bedenken dat dit nog maar t begin is..
z = x +iy
|z| zou dus de afstand moeten voorstellen van de oorsprong naar het complexe getal in kwestie.
werkt dus met pythagoras
je krijgt dan de wortel uit x^2 + (iy)^2, dat wordt dan x^2 +i^2y^2 en dus x^2 - y^2, want i^2 =-1
en dat is weer raar want in het dictaat staat dat het x^2 +y^2 moet worden.
Of moet ik de i weer buiten beschouwing laten? Dr gaat nog een hoop fout.

dat is dan x-0 en y-0.
ik geloof dat ik het nu wel snap. dat stukje is meer analytische meetkunde dan complexe getallen.

Staat het er zo goed:

opgave is z-2+i > 2
x+iy -2 +i = 2
x-2 + iy +i = 2
x-2 +i(y+1) = 2
|x-2 +i(y+1) |=4
((x-2)^2 +(y+1)^2)^0,5 > 2
gebied met (2,-1 als oorsprong en r^2 =4, dus r=2.

quote:

Op vrijdag 5 september 2008 18:57 schreef Borizzz het volgende:
Ik vind dat toch maar lastig allemaal. En dan te bedenken dat dit nog maar t begin is..
z = x +iy
|z| zou dus de afstand moeten voorstellen van de oorsprong naar het complexe getal in kwestie.

Ja, het is gewoon een generalisatie van het begrip absolute waarde bij reële getallen. Zo is bijv. |-4| = 4 omdat de afstand van het punt dat het getal -4 representeert tot het punt dat 0 representeert op de reële getallenlijn gelijk is aan 4.

quote:

werkt dus met pythagoras
je krijgt dan de wortel uit x^2 + (iy)^2, dat wordt dan x^2 +i^2y^2 en dus x^2 - y^2, want i^2 =-1
en dat is weer raar want in het dictaat staat dat het x^2 +y^2 moet worden.
Of moet ik de i weer buiten beschouwing laten? Dr gaat nog een hoop fout.

Nee, dit laat mooi je begripsverwarring zien. Het complexe vlak is een grafische voorstelling van de complexe getallen, net zo goed als je de reële getallen voor kunt stellen als punten op een rechte lijn. De absolute waarde |z| van een complex getal z = x + yi is meetkundig te interpreteren als de afstand van het punt met coördinaten (x,y) in het complexe vlak dat het getal z representeert tot het punt met coördinaten (0,0) dat het getal 0 representeert. En die afstand is √(x² + y²).

wat moet ik dan doen met zo'n som
er staat | z-2+i | > 2
dus volgens mij een gebied gevraagd dat een op een afstand groter dan 2 van dat complexe getal afligt?

|x+iy -2 +i | = 2
| x-2 + iy +i |= 2
|x-2 +i(y+1)| = 2
|x-2 +i(y+1) |=2
((x-2)^2 +(y+1)^2)^0,5 > 2
gebied met (2,-1 als oorsprong en r^2 =4, dus r=2.

quote:

Op vrijdag 5 september 2008 18:57 schreef Borizzz het volgende:
Ik vind dat toch maar lastig allemaal. En dan te bedenken dat dit nog maar t begin is..
z = x +iy
|z| zou dus de afstand moeten voorstellen van de oorsprong naar het complexe getal in kwestie.
werkt dus met pythagoras
je krijgt dan de wortel uit x^2 + (iy)^2, dat wordt dan x^2 +i^2y^2 en dus x^2 - y^2, want i^2 =-1
en dat is weer raar want in het dictaat staat dat het x^2 +y^2 moet worden.
Of moet ik de i weer buiten beschouwing laten? Dr gaat nog een hoop fout.

Je ‘ziet’ het nog niet echt voor je denk ik. Een reëel getal kun je zien als een punt op een lijn. 3 zit drie eenheden van het 0-punt af, 4 zit 4-eenheden van het nulpunt af. Tel je ze op, dan kom je 7 eenheden van het nulpunt af. Dat is een visuele manier van voorstellen.

In het complexe vlak bestaat een getal uit een reëel en imaginair deel:



Je kunt, zoals in bovenstaande afbeelding, getallen dus tekenen in het vlak. Je kunt je nu afvragen ‘hoe ver ligt het getal van de oorsprong’. Neem 2 - i. Dat is simpelweg met Pythagoras uit te rekenen. √(2^2 + 1^2) = √5. Die afstand tot de oorsprong kun je dus prima met alleen reële getallen uitdrukken. Die afstand wordt de norm genoemd, en nooit negatief. Het getal -1 - 2i heeft ook een norm van √5.

Als je nu wilt weten voor welke getallen geldt dat de norm < 2 is, dan is het logisch dat deze op de cirkelschijf met straal 2 liggen (rand niet meegenomen).

Zonet gaf ik aan dat er dus twee getallen zijn met dezelfde norm. Maar het zijn duidelijk niet twee gelijke getallen, want de een maakt een andere hoek dan de ander. De hoek die een lijn vanaf een getal met de oorsprong maakt wordt het argument genoemd van het getal. Dit gaat, zoals je denk ik wel weet, tegen de klok in: het argument van 2 (op de reële positieve as) is 0, van 2i (dus recht omhoog op de imaginaire as) is 90 graden, ofwel 1/2pi, van -2 (negatieve reële as) is 180 graden, ofwel pi, etc.

Je kunt dus elk getal ook met z'n norm (ook wel modulus genoemd) en argument (of hoek) beschrijven. Het leuke van die vorm is dat vermenigvuldigen ermee een stuk visueler weergegeven kan worden:



Het plaatje is wat beroerd, maar ik kon even geen betere vinden. Wat je ziet is dat als je twee getallen vermenigvuldigt, de hoek van het product gelijk is aan de som van de hoeken van de factoren. En de norm is gelijk aan het product van de normen.

Ofwel, neem b.v. (3 + 4i) en (5 + 12i). Als je deze vermenigvuldigt krijg je (-33 + 56i). Dat lijkt misschien niet echt logisch, als je het tekent echter, wordt het duidelijker. Je weet dat |3 +4i| = √(3^2 + 4^2) = 5, en even zo dat |5 + 12i| = 13. Ofwel |-33 + 56i| moet 13 * 5 = 65 zijn: dat klopt. Je kunt zien dat de eerste twee getallen allebeide ‘rechtsboven’ zitten (beide positief) dus we verwachten dat het product ofwel rechtsboven, ofwel linksboven (reëel negatief, imaginair positief) uitkomt. Want elk argument is kleiner dan 90 graden.

Voor de hoek heb je gewoon arctan, dus arctan(4/3) (let wel, dit is dus gewoon alsof je geometrie doet, die i is niet van belang), en arctan(4/3) ~ 53 graden. arctan(12/5) ~ 67 graden, dus de som is 120 graden. Als je nu kijkt naar de hoek die (-33 + 56i) maakt, dan zie je dat dit inderdaad 180 - arctan(56/33) = 120 graden is.

Dit tekenen en voor je zien helpt enorm, zoals je vroeger met blokjes leerde rekenen: je ziet de som voor je en hebt enig benul ‘waar’ een getal zich bevindt en wat getallen doen als je ze vermenigvuldigt. Ook als je dan sommen met kwadraten moet oplossen zie je dat een kwadraat de lengte doet kwadrateren, en de hoek verdubbelt.

Dat de i soms verdwijnt is ook omdat je je dan niet zozeer met het complexe getal zelf bezighoudt, als wel met de afstand tot de oorsprong, of de hoek die het getal maakt (alhoewel dat op zich beschoudt een valide manier is om complexe getallen te definiëren).

Als je dit eenmaal ziet, dan roep je heel hard 'ooooooh!'; maar de laatste stap moet je altijd zelf maken. Dan zie je complexe getallen ook als één getal, niet als een paartje getallen (zoals je in het begin meestal doet).

Oooooh!
Dank je, Iblis (en zeker ook anderen) voor alle moeite die gedaan is. Nu is het begip complex getal al meer tastbaar.
Ik zal de sommen nu nog eens netjes uitwerken, en het dan even laten liggen tot morgen.
Volgende paragraaf gaat over `geconjugeerden` en daarna poolcoordinaten.

Was het nog niet duidelijk: je kunt het complexe vlak als R² bekijken. Een complex getal z = x + yi kun je dan bekijken als een vector v = (x,y) in R² . Het statement z = x + yi betekent "x in de reeële richting, y in de imaginaire richting. Het statement v = (x,y) betekent "x in de x-richting, y in de y-richting". Da's de reden waarom je die i weglaat in de afstanden berekenen

En nog een opmerking over complexe getallen: ze zijn zo ongelooflijk elegant, het is bijna ongepast. Je zou kunnen stellen dat het doel van complexe getallen is dat de vergelijking x² = -1 een oplossing heeft. Die oplossing noemen we i. Dat is feitelijk de aanname. i is in zekere zin bijzonder, want het gedraagt zich niet als een ‘normaal’ getal, maar je hebt gezien dat er vrij gemakkelijk mee te rekenen is door getallen in de vorm (a + bi) te gebruiken.

Wat nu, als je verder komt met complexe functietheorie hopelijk duidelijk wordt (maar in mijn ervaring wordt dit vak nog wel eens gegeven met de nadruk op formules manipuleren zonder dat je echt ziet wat er gebeurt), is dat dit een ontzettend elegante generalisatie is van de reële getallen.

Ik zei al in m'n vorige post dat je kwadrateren kon zien als verdubbelen van de hoek en het kwadrateren van de norm (lengte). Kijk nu wat de hoek van -1 is: 180 graden, ofwel pi radialen. De wortel hiervan moet dus wel 1/2pi radialen zijn (en lengte 1): dat getal noemen we i. Wat is de wortel van -i? We kunnen dezelfde truc gebruiken: de norm is 1, maar de hoek moet √3/2pi zijn, en als je dat tekent kom je zo op (-1/2√2 + 1/2√2i) uit. Dit idee geeft je dus in feite voor elke punt de mogelijkheid om een wortel te berekenen.

Ook de convergentie van machtreeksen is in het complexe vlak een stuk logischer dan op de reële getallen lijn, en het aantal oplossingen dat een polynoom heeft. Je kunt polynomen met reële coëfficiënten maken, b.v. 1 + x^2 = 0, die geen reële oplossing hebben: dat lukt je niet met complexe getallen.

In feite gaat het dus via de eenheidscirkel? Er zijn dan toch een heleboel getallen met afstand (norm) 1 tot de oorsprong.
Maar waar moet ik een hoek van 1 of -1 zien op de eenheidscirkel? Ik heb daar geen plaatje bij. Als je 2x rond gaat kom je uit op 2Pi radialen, of -2Pi radialen... (of 180 / -180 graden). Maar ik vat niet precies wat je bedoelt met een hoek van 1 of -1.
Dit begint wel wat te lijken op poolcoordinaten, dat is de volgende paragraaf.

Dit is het begin een van mijn laatste vakken in de wisk. opleiding: complexe functietheorie. Het wordt er allemaal in 8 weken doorgedrukt. Maar ik wil eerst dit goed inzien voordat ik verder ga.

(verkeerde knop gebruikt)