[Bèta wiskunde] huiswerk- en vragentopic

Ik vind complexe analyse nog steeds bijzonder mooi. De Cauchy-Riemann vergelijkingen, de continue structuur van holomorfe functies, contourintegratie waarbij je alleen het residu hoeft uit te rekenen... en het komt kneiterhard terug in alles wat met quantummechanica te maken heeft

quote:

Op zaterdag 6 september 2008 10:28 schreef GlowMouse het volgende:
Caucy

Dat stond er heul niet!



Eerst maar es een kopje koffie

c * r^t = 3 * (c * r^(t-1)) - 2^t
Ik moet uit deze vergelijking halen wat c en r zijn, t is dus variabel. Maar ik kom er echt niet uit...Iemand die me kan helpen?

Ah je kunt natuurlijk gewoon voor t getallen proberen inderdaad...
Voor t=3 klopt ie wel hoor, cr³ = 3cr²-8 16=24-8 Je vergat de r

Bedankt

Daar was ik zelf al achter Bedankt

quote:

Op zaterdag 6 september 2008 10:27 schreef Haushofer het volgende:
Ik vind complexe analyse nog steeds bijzonder mooi. De Cauchy-Riemann vergelijkingen, de continue structuur van holomorfe functies, contourintegratie waarbij je alleen het residu hoeft uit te rekenen...

Inderdaad, en je hebt er echt eenvoudige zaken die helemaal kapot gaan in het reële geval (elke analytische afbeelding van C naar C is surjectief bijvoorbeeld).

quote:

en het komt kneiterhard terug in alles wat met quantummechanica te maken heeft

Het probleem is dat je als wiskundige met de toepassingen soms niet in contact komt.

Vraagje uit interesse : in een metrische ruimte zijn de topologisch compacte deelruimten (dus die waarvan elke open bedekking een eindige deelbedekking heeft) juist die gesloten en begrensde ruimten.
Maar in een algemene topologische ruimte zou het niet zo zijn dat een compacte deelruimte gesloten moet zijn, maar wel in een Hausdorffruimte. Ik zoek een tegenvoorbeeld en een bewijs van het tweede, maar ik zie het niet meer (ik heb het ooit begrepen )

quote:

Op zondag 7 september 2008 15:31 schreef zuiderbuur het volgende:

[..]

Inderdaad, en je hebt er echt eenvoudige zaken die helemaal kapot gaan in het reële geval (elke analytische afbeelding van C naar C is surjectief bijvoorbeeld).
[..]

Het probleem is dat je als wiskundige met de toepassingen soms niet in contact komt.

Om met Feynman's woorden te spreken:

quote:

Physics is to math what sex is to masturbation

Je topologievraag kan ik niet echt beantwoorden; het beetje topologie wat ik ken pas ik vrijwel altijd toe op deelverzamelingen van Rⁿ. Ik meende juist dat een topologische compacte ruimte die Hausdorff is ook altijd gesloten en begrensd is, maar daar ben ik niet zo zeker van; misschien geldt dit alleen voor bepaalde deelruimtes. Thabit weet het vast wel

Vraagje:
Met vectoren. Wat is de afstand tot de oorsprong (delta) van de lijn y=x+1.

Ik heb x*u₁+y*u₂=delta met u₁²+u₂²=1 als guidance. (Of y= -(u₁/u₂)x + delta/u₂ met wederom u₁²+u₂²=1)

Wie kan mij helpen met dit vraagstuk, ik kom er zelf namelijk nogal hard niet uit.

quote:

Op zondag 7 september 2008 17:35 schreef Leso_Varen het volgende:
Vraagje:
Met vectoren. Wat is de afstand tot de oorsprong (delta) van de lijn y=x+1.

Ik heb x*u₁+y*u₂=delta met u₁²+u₂²=1 als guidance. (Of y= -(u₁/u₂)x + delta/u₂ met wederom u₁²+u₂²=1)

Wie kan mij helpen met dit vraagstuk, ik kom er zelf namelijk nogal hard niet uit.

Om je toch een beetje verder het te laten zoeken : schrijf eens de expliciete formule op die je nodig hebt. Je moet inderdaad een vergelijking zoeken van de rechte met u1 en u2 waarvoor de som van de kwadraten is. En dan moet je nog iets doen natuurlijk doen met het punt waarvoor je de afstand tot de rechte wil weten.

quote:

Op zondag 7 september 2008 15:44 schreef Haushofer het volgende:


Je topologievraag kan ik niet echt beantwoorden; het beetje topologie wat ik ken pas ik vrijwel altijd toe op deelverzamelingen van Rⁿ. Ik meende juist dat een topologische compacte ruimte die Hausdorff is ook altijd gesloten en begrensd is, maar daar ben ik niet zo zeker van; misschien geldt dit alleen voor bepaalde deelruimtes. Thabit weet het vast wel

Een bewijs heb ik al ondertussen gevonden (hier onderaan).
Ik heb nog geen tegenvoorbeeld echter.

Inmiddels heb ik de paragraaf over poolcoordinaten en complexe getallen ook gedaan.
Ik zet even een uitwerking van een som hieronder en mijn uitleg/interpretatie erbij.
Zou iemand kunnen aangeven of dit een beetje correct is?

oplossen: z^2=2i
eerst kies je z=2i en die schrijf je om in zijn poolcoordinaten.
modulus =2
argument=0,5Pi
dus z=2 (cos(0,5Pi) + i sin(0,5Pi)

z^2 =2i kun je dan omschrijven in
r^2(cos(2a)+isin(2a) = 2 cos(0,5Pi) + i sin (0,5Pi)
dus r^2=2 en dus r=wortel (2)
2a=0,5Pi +k*2Pi en dus a=0,25Pi +k*Pi.

Er bestaan 2 oplossingen. van deze oplossingen (complexe getallen) heb ik nu een modulus en een bijbehorend argument gevonden. Deze kan ik in de poolnotatie zetten en uitrekenen. Dan vind ik een x+iy vorm van de oplossing.

oplossing 1: met r=wortel (2) en a=0,25Pi vind ik
wortel(2) * (cos(0,25Pi) + isin(0,25Pi)) = 1+ i

oplossing 2 met r=wortel (2) en a=1,25Pi vind ik
wortel(2) * (cos(1,25Pi) + isin(1,25Pi)) = -1 - i

Kan het zijn dat ik ergens nog een foutje heb zitten, en klopt het een beetje hierboven?

Ja, dus dan zou je 2i even anders moeten noemen...
maar is het verder oke?

quote:

Op zondag 7 september 2008 18:25 schreef Borizzz het volgende:
Inmiddels heb ik de paragraaf over poolcoordinaten en complexe getallen ook gedaan.
Ik zet even een uitwerking van een som hieronder en mijn uitleg/interpretatie erbij.
Zou iemand kunnen aangeven of dit een beetje correct is?

oplossen: z^2=2i
eerst kies je z=2i en die schrijf je om in zijn poolcoordinaten.
modulus =2
argument=0,5Pi
dus z=2 (cos(0,5Pi) + i sin(0,5Pi)

z^2 =2i kun je dan omschrijven in
r^2(cos(2a)+isin(2a)) = 2 (cos(0,5Pi) + i sin (0,5Pi))
dus r^2=2 en dus r=wortel (2)
2a=0,5Pi +k*2Pi en dus a=0,25Pi +k*Pi.

Er bestaan 2 oplossingen. van deze oplossingen (complexe getallen) heb ik nu een modulus en een bijbehorend argument gevonden. Deze kan ik in de poolnotatie zetten en uitrekenen. Dan vind ik een x+iy vorm van de oplossing.

Je bent erg onzorgvuldig met je haakjes, dat moet beter. Maar verder is het wel goed. Je begrijpt dat je nu gebruik hebt gemaakt van de formule van De Moivre?

In mijn schrift gebruik ik grote haakjes, kleine haakjes, rechte haakjes.
Als je het inptypt is een foutje snel gemaakt.
De Moivre pas ik idd toe om vergelijkingen op te lossen, maar je kunt met poolcoordinaten ook goniometrische relaties laten zien.

Vanavond ga ik nog even terug naar de stof van gisteren om te kijken. Ik zal dan nog even iets posten om te kijken of ik het een beetje begrepen heb allemaal.

Ik snap 1 stapje niet in de uitwerking van een opgave, een tikfout of ben ik gewoon dom?

Hier komt ie:

Re ((z-zi)/z) < 0 <-> Re ((x+yi-2i)/(x+yi))

Mij lijkt z = x+yi gewoon vervangen, maar dan komt er toch niet dit uit, of zie ik wat over het hoofd?

edit: mocht het niet duidelijk zijn, onderdeeltje in complexe analyse

quote:

Op zondag 7 september 2008 20:06 schreef McGilles het volgende:
Ik snap 1 stapje niet in de uitwerking van een opgave, een tikfout of ben ik gewoon dom?

Hier komt ie:

Re ((z-zi)/z) < 0 <-> Re ((x+yi-2i)/(x+yi))

Mij lijkt z = x+yi gewoon vervangen, maar dan komt er toch niet dit uit, of zie ik wat over het hoofd?

edit: mocht het niet duidelijk zijn, onderdeeltje in complexe analyse

Hier klopt van alles niet. Om te beginnen is (z-zi)/z = 1 - i, en het reële deel daarvan is 1, en dus nooit kleiner dan 0. Maar je bedoelt misschien (z-2i)/z ... Gewoon de breuk uitwerken door teller en noemer met x-yi te vermenigvuldigen, dan kun je het herleiden tot een standaardvorm van de gedaante a+bi.

quote:

Op zondag 7 september 2008 20:14 schreef Riparius het volgende:

[..]

Hier klopt van alles niet. Om te beginnen is (z-zi)/z = 1 - i, en het reële deel daarvan is 1, en dus nooit kleiner dan 0. Maar je bedoelt misschien (z-2i)/z ... Gewoon de breuk uitwerken door teller en noemer met x-yi te vermenigvuldigen, dan kun je het herleiden tot een standaardvorm van de gedaante a+bi.

Dus gewoon een tikfout...
Word ik zo gek van, zeker bij een nieuw vak. Ben in het verleden uren bezig geweest met lineaire algebra door de vele tikfouten in de stof.

Als het (z-2i)/z is, dan gaat het wel lukken ja, even uit mijn hoofd kom ik dan op (x^2+y^2-2y)/(x^2+y^2) < 0 en dat is simpel op te lossen.

Bedankt voor de bevestiging, kan ik tenminste met 100% zekerheid doorwerken!

Goed. Even een soort samenvatting van volgens mij de belangrijkste dingen. Als er nog fouten in zitten dan hoor ik het graag.

Complexe getallen
Complexe getallen stellen een (x,y) plaats voor in het complexe vlak. Soort vector.Hierin zijn ze anders dan reele getallen. Het complexe vlak heeft een reeele as (horizontaal) en een imaginaire as (verticaal).
Complexe getallen onstaan met de afspraak i^2=-1 en kunnen weer gegeven worden op twee manieren:
Manier 1:z=x+iy met x=Re(z) en iy=Im(z).
Manier 2: poolvorm: z=r(cos(a) + isin(a))
r is hierbij de modulus, (ook wel norm genoemd) en het staat voor de afstand van het complexe getal naar de oorsprong. Dit wordt tevens aangeduid met |z|. De modulus is wortel (x^2 + y^2).
a is het argument van het complexe getal en staat voor de hoek (meersal tussen 0 en 2Pi)
Complexe getalen vermenigvuldigen levert op r1r2 voor de modulus en a1+a2 voor het argument.

Tekenen in het complexe vlak
Ik zet hier de opgaven van gister nog even.

1. | z-(5-6i) |=3
Hier wordt gevraagd naar alle complexe getallen die een afstand 3 hebben ten opzichte van 5+6i.
Dit is en cirkel met straal 3 rondom 5+6i

2. |z| < 2
Dit kun je noteren als |z-(0+0i)|<2 en dan zie je dat je een cirkel moet hebben met staal 2 rondom de oorsprong. Gevraagd gebied is dan binnen in de cirkel.

3. |z-2+1| >2
Dit kun je noteren als |z-(2-i)|>2
Dus een cirkel met staal 2 rondom 2-i. Gevraagd gebied ligt buiten de cirkel.

4. |z-i| < |z+1|
Dit kun je noteren als |z-(0+i)| < |z-(-1+0i)
Dus gevraagd is het gebied waarin de afstand naar i kleiner is dan naar -1. Grenslijn ligt als je dit tekent op y=-x. Gevraagd gebied is dan rechtsboven van de lijn.

Vergelijkingen oplossen met poolcoördinaten en de Moivre is verder wel gelukt.
Kloppen de opgaven nu een beetje?

Tja, sorry voor taalgebruik. Ik ben ook maar n amateurtje, en sinds een week weet ik wat complexe getallen uberhaupt zijn... ±'