SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Dus het komt er, kort gezegd, op neer dat als je een functie f(x) ^ g(x) differentieert dat je het schijft als
exp(ln(f(x)^g(x)).
dit is ook exp(ln(f(x))*g(x)
en dan kan met de kettingregel en productregel via (standaardregels dus) f'(x) gevonden worden.
ik krijg dan
y= x^x
y= e^ln(x^x)
y= e^xlnx
y=e^u
u=xlnx met u'=lnx+1
y'=e^u * u'
y'=e^xlnx * (lnx+1)
Maar dit komt nog niet geheel overeen met de oplossing, toch?
exp(ln(f(x)^g(x)).
dit is ook exp(ln(f(x))*g(x)
en dan kan met de kettingregel en productregel via (standaardregels dus) f'(x) gevonden worden.
ik krijg dan
y= x^x
y= e^ln(x^x)
y= e^xlnx
y=e^u
u=xlnx met u'=lnx+1
y'=e^u * u'
y'=e^xlnx * (lnx+1)
Maar dit komt nog niet geheel overeen met de oplossing, toch?
kloep kloep
Ja, al zou ik op het einde die e^( x* ln(x) ) weer herschrijven als x^x.
Maar wat ik doorgaans doe is die formule van f^g rechtstreeks toe te passen, hoef ik niet altijd langs die e^.. te gaan.
Maar wat ik doorgaans doe is die formule van f^g rechtstreeks toe te passen, hoef ik niet altijd langs die e^.. te gaan.
Voor mij is het weer even oefenen; hoe herschrijf je dan e^xlnx weer als x^x?
ps: bedankt voor die formule; die zal denk ik zeer bruikbaar worden.
ps: bedankt voor die formule; die zal denk ik zeer bruikbaar worden.
kloep kloep
Ja, je moet iets meer haakjes gebruiken eigenlijk zoals e^(x ln x), doat ik goed weet wat waar staat, maar voor de rest lijkt het me goed.
En wat dat herschrijven betreft:
Je begint met:
y = x^x = exp(ln(x^x)) = exp(x ln(x))
Ofwel: y = exp(x ln(x)), maar ook x^x = exp(x ln(x)). Dat =-teken zegt dat dat allemaal aan elkaar gelijk is.
Dus als:
log(a^b) = b log(a), dan ook b log(a) = log(a^b) natuurlijk.
En wat dat herschrijven betreft:
Je begint met:
y = x^x = exp(ln(x^x)) = exp(x ln(x))
Ofwel: y = exp(x ln(x)), maar ook x^x = exp(x ln(x)). Dat =-teken zegt dat dat allemaal aan elkaar gelijk is.
Dus als:
log(a^b) = b log(a), dan ook b log(a) = log(a^b) natuurlijk.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Dan nog eens de formule toepassen op y=x^x
f=x f'=1
g=x g'=1
y' = f'*g*f^g-1 + ln(f)*g'*f^g
dan volgt
y'= 1*x*x^x-1 + ln(x)*1*x^x
y'= x*x^x-1 +x^xlnx
maar dit is nog niet het antwoord dat we zoeken; ik kan daar niet het antwoord van maken dat we in het begin hadden.
f=x f'=1
g=x g'=1
y' = f'*g*f^g-1 + ln(f)*g'*f^g
dan volgt
y'= 1*x*x^x-1 + ln(x)*1*x^x
y'= x*x^x-1 +x^xlnx
maar dit is nog niet het antwoord dat we zoeken; ik kan daar niet het antwoord van maken dat we in het begin hadden.
kloep kloep
Ik vind dit een beetje moelijk te volgen. Ik denk dat je dit bedoelt:quote:Op zaterdag 16 februari 2008 14:18 schreef Borizzz het volgende:
Dan nog eens de formule toepassen op y=x^x
f=x f'=1
g=x g'=1
y' = f'*g*f^g-1 + ln(f)*g'*f^g
dan volgt
y'= 1*x*x^x-1 + ln(x)*1*x^x
y'= x*x^x-1 +x^xlnx
maar dit is nog niet het antwoord dat we zoeken; ik kan daar niet het antwoord van maken dat we in het begin hadden.
f = x, f' = 1
g = x, g' = 1
y = x^x, en we schrijven dat als: exp(x ln(x) ), ofwel exp(g * ln(f) ). Nu zeggen we u = g ln(f).
Dan hebben we dus:
y = exp(u). Dan weten we:
y' = u'*exp(u), volgens de kettingregel.
u' = (g ln(f))', en dan productregel: = g'ln(f) + g/f, kortom:
y' = (g'ln(f) + g/f)*exp(u)
Nu vervangen we u weer:
y' = (g'ln(f) + g/f)*exp(g ln (f))
Nu vervangen we de f, g, f' en g':
y' = (1 * ln(x) + x/x)*exp(x ln(x))
y' = (ln(x) + 1)*exp(x ln(x))
En die rechter term is dus gelijk aan x^x, want exp(x ln(x)) = exp(ln(x)^x), en dan "vallen e en ln tegen elkaar weg", dus:
y' = (ln(x) +1)x^x
Wat jij precies doet bij "y' = f'*g*f^g-1 + ln(f)*g'*f^g " is me niet helemaal duidelijk. Volgens mij gaat de toepassing van de kettingregel niet helemaal goed.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Akkoord; ik heb m helemaal uitgewerkt en ik snap 'm. Bedankt!quote:Op zaterdag 16 februari 2008 14:10 schreef Iblis het volgende:
Ja, je moet iets meer haakjes gebruiken eigenlijk zoals e^(x ln x), doat ik goed weet wat waar staat, maar voor de rest lijkt het me goed.
En wat dat herschrijven betreft:
Je begint met:
y = x^x = exp(ln(x^x)) = exp(x ln(x))
Ofwel: y = exp(x ln(x)), maar ook x^x = exp(x ln(x)). Dat =-teken zegt dat dat allemaal aan elkaar gelijk is.
Dus als:
log(a^b) = b log(a), dan ook b log(a) = log(a^b) natuurlijk.
Wat alleen nog rest is het toepassen van de formule op y=x^x; dan kom ik (nog) niet uit op
y'= ln(x+1)* x^x
kloep kloep
Ik doe bij het toepassen van de formule niet meer dan invullen. er bestaat volgens zuiderbuur een formule om de afgeleide te vinden voor y="f^g; deze wordt weergegeven door y=f'' *g * f^(g-1) + ln(f)* g' * f^g
f=x f' =1 , g=x en g'=1 invullen levert
y' = 1*x*x^(x-1) + ln(x)*1*x^x
y'= x*x^(x-1) +x^xln(x)
Volgens mij zit hier dan geen fout in.
Dit moet nog wel y' = (ln(x)+1)* x^x worden. Hoe gaat dan die laatste omzetting?
[ Bericht 2% gewijzigd door Borizzz op 16-02-2008 15:00:56 ]
f=x f' =1 , g=x en g'=1 invullen levert
y' = 1*x*x^(x-1) + ln(x)*1*x^x
y'= x*x^(x-1) +x^xln(x)
Volgens mij zit hier dan geen fout in.
Dit moet nog wel y' = (ln(x)+1)* x^x worden. Hoe gaat dan die laatste omzetting?
[ Bericht 2% gewijzigd door Borizzz op 16-02-2008 15:00:56 ]
kloep kloep
x*x^(x-1) kun je vereenvoudigen, dit is x^x. Immers x * (x * x .... * x) (tussen haakjes staan x-1 factoren), geeft x^x in totaal.quote:Op zaterdag 16 februari 2008 14:41 schreef Borizzz het volgende:
Ik doe bij het toepassen van de formule niet meer dan invullen. er bestaat volgens zuiderbuur een formule om de afgeleide te vinden voor y="f^g; deze wordt weergegeven door y=f'' *g * f^(g-1) + ln(f)* g' * f^g
f=x f' =1 , g=x en g'=1 invullen levert
y' = 1*x*x^(x-1) + ln(x)*1*x^x
y'= x*x^(x-1) +x^xln(x)
Volgens mij zit hier dan geen fout in.
Dit moet nog wel y' = ln(x+1)* x^x worden. Hoe gaat dan die laatste omzetting?
Dan heb je dus:
x^x + x^xln(x)
Haal x^x buiten haakjes:
x^x(1 + ln(x))
En je bent er. ln(x + 1) is wat anders dan ln(x) + 1. Ik had die post van Zuiderbuur even over het hoofd gezien en was direct bij pagian 3 begonnen.
[edit]
Ah, je hebt zelf die typo al verbeterd.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Je hebt wel f'' geschreven terwijl het f' is, maar dat was vast een tikfoutje.quote:Op zaterdag 16 februari 2008 14:41 schreef Borizzz het volgende:
Ik doe bij het toepassen van de formule niet meer dan invullen. er bestaat volgens zuiderbuur een formule om de afgeleide te vinden voor y="f^g; deze wordt weergegeven door y=f'' *g * f^(g-1) + ln(f)* g' * f^g
Die is er volgens mij ook niet.quote:f=x f' =1 , g=x en g'=1 invullen levert
y' = 1*x*x^(x-1) + ln(x)*1*x^x
y'= x*x^(x-1) +x^xln(x)
Volgens mij zit hier dan geen fout in.
ln(x+1)?quote:Dit moet nog wel y' = ln(x+1)* x^x worden. Hoe gaat dan die laatste omzetting?
neen, dat moet toch ln(x) +1 zijn?
[ Bericht 4% gewijzigd door zuiderbuur op 16-02-2008 15:10:41 ]
Ik heb nog een oefening gedaan. Bij f(x)=2^2x kom ik uit op:
f(x)=e^ln(2^2x)
f(x)=e^2x(ln(2))
neem u=2xln(2) dan u' = 2ln(2)
f'(x) = e^u * u'
f'(x) = e^2xln(2) * 2ln(2)
f'(x)= 2^2x * ln(2) ; en volgens mij is hierin geen fout.
Maar antwoordenboek zegt f'(x) = ln(2) * 2^(2x+1).
Hoe gaat dat laatste stapje?
f(x)=e^ln(2^2x)
f(x)=e^2x(ln(2))
neem u=2xln(2) dan u' = 2ln(2)
f'(x) = e^u * u'
f'(x) = e^2xln(2) * 2ln(2)
f'(x)= 2^2x * ln(2) ; en volgens mij is hierin geen fout.
Maar antwoordenboek zegt f'(x) = ln(2) * 2^(2x+1).
Hoe gaat dat laatste stapje?
kloep kloep
Volgens mij wel.quote:Op zondag 17 februari 2008 12:24 schreef Borizzz het volgende:
Ik heb nog een oefening gedaan. Bij f(x)=2^2x kom ik uit op:
f(x)=e^ln(2^2x)
f(x)=e^2x(ln(2))
neem u=2xln(2) dan u' = 2ln(2)
f'(x) = e^u * u'
f'(x) = e^2xln(2) * 2ln(2)
f'(x)= 2^2x * ln(2) ; en volgens mij is hierin geen fout.
Het gaat goed tot: f'(x) = e^(2x ln(2)) * 2ln(2).Dan vervang je de linker factor weer door 2^2x, en krijg je:
2^2x * 2ln(2)
Maar jij hebt daar een twee verdoezeld!
En die 2 kun je samenbrengen met 2^2x (immers, 2 = 2^1):
En dan krijg je:
2^(2x + 1)*ln(2)
Wat overeenkomt met je antwoordenboek:
quote:Maar antwoordenboek zegt f'(x) = ln(2) * 2^(2x+1).
Hoe gaat dat laatste stapje?
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Overigens is deze opgave wel eenvoudiger op te lossen:
22x = (2^2)^x = 4x.
Gebruik nu de standaardafgeleide van nx die ln(n)nx is.
Dan krijg je:
ln(4) 4x als antwoord.
Dat dit hetzelfde is kun je als volgt zien:
ln(4) = ln(2*2) = ln(2) + ln(2) = 2ln(2).
Als alternatief kun je ervoor kiezen 22x niet te herschrijven maar gewoon de kettingregel te gebruiken:
dz/dx = dz/dy * dy/dx:
Neem: z = 2y; y = 2x.
Dan: dz/dy = ln(2) * 2y.
En: dy/dx = 2
Dus:
dz/dy * dy/dx = ln(2)*22x * 2 = ln(2)*22x + 1
[edit]
De truc met exp en ln die gebruikt wordt is vooral van belang als zowel grondterm als exponent van 'x' afhankelijk zijn. Dus xx bijvoorbeeld, of 3x5x. Als alleen de grondterm of alleen de exponent van x afhankelijk is, ben je meestal makkelijker af met de standaardafgeleiden.
22x = (2^2)^x = 4x.
Gebruik nu de standaardafgeleide van nx die ln(n)nx is.
Dan krijg je:
ln(4) 4x als antwoord.
Dat dit hetzelfde is kun je als volgt zien:
ln(4) = ln(2*2) = ln(2) + ln(2) = 2ln(2).
Als alternatief kun je ervoor kiezen 22x niet te herschrijven maar gewoon de kettingregel te gebruiken:
dz/dx = dz/dy * dy/dx:
Neem: z = 2y; y = 2x.
Dan: dz/dy = ln(2) * 2y.
En: dy/dx = 2
Dus:
dz/dy * dy/dx = ln(2)*22x * 2 = ln(2)*22x + 1
[edit]
De truc met exp en ln die gebruikt wordt is vooral van belang als zowel grondterm als exponent van 'x' afhankelijk zijn. Dus xx bijvoorbeeld, of 3x5x. Als alleen de grondterm of alleen de exponent van x afhankelijk is, ben je meestal makkelijker af met de standaardafgeleiden.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Oke; bedankt! Ik was al een heel eind. Gisteren op dit tijdstip had ik dit nog niet gekund
En inderdaad kan deze opgave eenvoudiger; maar ik wilde perse oefenen met die (voor mij nieuwe) manier van oplossen.
Vanavond ga ik kijken of ik f(x)=(x^2+1)^sin(x) kan oplossen op deze manier van overgaan op grondtal e; zie een voorbeeld van gisteren in dit topic.
En inderdaad kan deze opgave eenvoudiger; maar ik wilde perse oefenen met die (voor mij nieuwe) manier van oplossen.
Vanavond ga ik kijken of ik f(x)=(x^2+1)^sin(x) kan oplossen op deze manier van overgaan op grondtal e; zie een voorbeeld van gisteren in dit topic.
kloep kloep
Ik kom op één manier niet uit het volgende al is het maar een 1e orde; 
Opdracht 4: Bepaal de oplossing van de homogene DV (3.1) (dus met K=0) met behulp van de methode van scheiding van variabelen. Neem vervolgens als randvoorwaarde: y(0) = 40, en geef de oplossing voor y(t)
Opdracht 4: Bepaal de oplossing van de homogene DV (3.1) (dus met K=0) met behulp van de methode van scheiding van variabelen. Neem vervolgens als randvoorwaarde: y(0) = 40, en geef de oplossing voor y(t)
Ik weet niet wat je tau is, maar je krijgt met K=0quote:Op zondag 17 februari 2008 14:27 schreef dynamiet het volgende:
Ik kom op één manier niet uit het volgende al is het maar een 1e orde;
[ afbeelding ]
Opdracht 4: Bepaal de oplossing van de homogene DV (3.1) (dus met K=0) met behulp van de methode van scheiding van variabelen. Neem vervolgens als randvoorwaarde: y(0) = 40, en geef de oplossing voor y(t)
Beide kanten integreren levert
y(t) = A*e-(t+tau) op, waarbij ik voor het gemak de integratieconstante even heb omgeschreven naar A. y(0) = 40 geeft
40 = A*e-tau op, dus heb je tau nodig om A te verkrijgen.
Ik schrijf boeken over wetenschap en filosofie!
https://www.epsilon-uitga(...)e-tijd-materie/10996
https://www.spectrumboeke(...)k-niet-9789000386765
https://www.spectrumboeke(...)tronen-9789000395071
https://www.epsilon-uitga(...)e-tijd-materie/10996
https://www.spectrumboeke(...)k-niet-9789000386765
https://www.spectrumboeke(...)tronen-9789000395071
Ik zie niet hoe je hier scheiding van variabelen kunt gebruiken, ik dacht dat dat inhield dat je bij een d.v. die een functie in meer variabelen beschrijft je de oplossing probeert te schrijven als produkt van functies in de afzonderlijke variabelen. Je hebt hier maar 1 variabele en de d.v. is heel makkelijk direct op te lossen via een e-macht: y(t) = y(0)*eat, waarbij a = -1/tau.quote:Op zondag 17 februari 2008 14:27 schreef dynamiet het volgende:
Ik kom op één manier niet uit het volgende al is het maar een 1e orde;
[ afbeelding ]
Opdracht 4: Bepaal de oplossing van de homogene DV (3.1) (dus met K=0) met behulp van de methode van scheiding van variabelen. Neem vervolgens als randvoorwaarde: y(0) = 40, en geef de oplossing voor y(t)
heeft de hoop dat het allemaal stiekum toch nog goed komt...
Fotoboek
Fotoboek
Super man! dit is precies wat ik even nodig had!!quote:Op zondag 17 februari 2008 14:39 schreef Haushofer het volgende:
[..]
Ik weet niet wat je tau is, maar je krijgt met K=0tau*dy/dt + y = 0
[...]
Ohw, dan heb ik een rekenfoutje gemaakt. Ik kom op y~e-(t+tau) uit.quote:Op zondag 17 februari 2008 14:46 schreef keesjeislief het volgende:
[..]
Ik zie niet hoe je hier scheiding van variabelen kunt gebruiken, ik dacht dat dat inhield dat je bij een d.v. die een functie in meer variabelen beschrijft je de oplossing probeert te schrijven als produkt van functies in de afzonderlijke variabelen. Je hebt hier maar 1 variabele en de d.v. is heel makkelijk direct op te lossen via een e-macht: y(t) = y(0)*eat, waarbij a = -1/tau.
Ik schrijf boeken over wetenschap en filosofie!
https://www.epsilon-uitga(...)e-tijd-materie/10996
https://www.spectrumboeke(...)k-niet-9789000386765
https://www.spectrumboeke(...)tronen-9789000395071
https://www.epsilon-uitga(...)e-tijd-materie/10996
https://www.spectrumboeke(...)k-niet-9789000386765
https://www.spectrumboeke(...)tronen-9789000395071
Ik kom op hetzelfde als keesje uit, je integraal is waarschijnlijk fout gegaan.quote:Op zondag 17 februari 2008 15:00 schreef Haushofer het volgende:
[..]
Ohw, dan heb ik een rekenfoutje gemaakt. Ik kom op y~e-(t+tau) uit.
Bij jou geldt dat tau*dy/dt + y = tau*-t*y + y != 0.
Bij keesje geldt netjes dat tau*dy/dt + y = tau*-1/tau*y + y = 0.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
DV's zijn niet helemaal mijn ding, maar vooruit, ik kwam ook op de oplossing van keesje uit. Maar dit is toch geen scheiding van variabelen? Je hebt links een dy en rechts een y. Ik zou het zo verder doen:quote:Op zondag 17 februari 2008 14:39 schreef Haushofer het volgende:
[..]
Ik weet niet wat je tau is, maar je krijgt met K=0tau*dy/dt + y = 0 tau*dy=-y*dt
Beide kanten integreren levert
y(t) = A*e-(t+tau) op, waarbij ik voor het gemak de integratieconstante even heb omgeschreven naar A. y(0) = 40 geeft
40 = A*e-tau op, dus heb je tau nodig om A te verkrijgen.
tau dy = -y dt
tau (1/y)dy = -dt
Beide zijden integreren:
tau ln(y) = -t + C
ln(y) = (-t + C)/tau
y = exp(-t/tau + C/tau)
y = exp(-t/tau)*exp(C/tau)
Met y(0) = 40 kunnen we nu vinden dat:
40 = exp(0)*exp(C/tau), ofwel: exp(C/tau) = 40.
Ergo:
y = 40exp(-t/tau)
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Ja, klopt, ik heb een rekenfout gemaakt. Logisch ook, want het argument van de e-macht moet eenheidsloos zijn.quote:Op zondag 17 februari 2008 15:16 schreef GlowMouse het volgende:
[..]
Ik kom op hetzelfde als keesje uit, je integraal is waarschijnlijk fout gegaan.
Bij jou geldt dat tau*dy/dt + y = tau*-t*y + y != 0.
Bij keesje geldt netjes dat tau*dy/dt + y = tau*-1/tau*y + y = 0.
En dit is dan het scheiden van variabelenquote:Op zondag 17 februari 2008 15:40 schreef Iblis het volgende:
[..]
DV's zijn niet helemaal mijn ding, maar vooruit, ik kwam ook op de oplossing van keesje uit. Maar dit is toch geen scheiding van variabelen? Je hebt links een dy en rechts een y. Ik zou het zo verder doen:
tau dy = -y dt
tau (1/y)dy = -dt
Ik schrijf boeken over wetenschap en filosofie!
https://www.epsilon-uitga(...)e-tijd-materie/10996
https://www.spectrumboeke(...)k-niet-9789000386765
https://www.spectrumboeke(...)tronen-9789000395071
https://www.epsilon-uitga(...)e-tijd-materie/10996
https://www.spectrumboeke(...)k-niet-9789000386765
https://www.spectrumboeke(...)tronen-9789000395071
Hoii,
Als ik moet bewijzen dat Iedere lichaamsuitbreiding een transcendentiebasis heeft, dan moet ik gebruik maken van het lemma van Zorn. Maar om dat te doen, moet ik eerst geschikte ketens maken van algebraisch afhankelijke verzamelingen. Hoe zal ik een ordening definieren zodat ik het lemma van Zorn toepas?
Er kunnen problemen optreden zoals: wat moet je bijvoorbeeld doen met: {a,b,c} en {3a,b,c}? als a,b en c alg. onaf. elementen. Kan iemand even helpen?
Bedankt!
Als ik moet bewijzen dat Iedere lichaamsuitbreiding een transcendentiebasis heeft, dan moet ik gebruik maken van het lemma van Zorn. Maar om dat te doen, moet ik eerst geschikte ketens maken van algebraisch afhankelijke verzamelingen. Hoe zal ik een ordening definieren zodat ik het lemma van Zorn toepas?
Er kunnen problemen optreden zoals: wat moet je bijvoorbeeld doen met: {a,b,c} en {3a,b,c}? als a,b en c alg. onaf. elementen. Kan iemand even helpen?
Bedankt!
verlegen :)
Inclusie van verzamelingen.quote:Op zondag 17 februari 2008 21:25 schreef teletubbies het volgende:
Hoe zal ik een ordening definieren zodat ik het lemma van Zorn toepas?
Nog even doorgaan op het differentieren van gisteren:
als ik de afgeleide bepaal van f(x)=(x^2+1)^sin(x) dan vind ik:
f(x)=e^(sinx*ln(x^2+1))
met u = sinx*ln(x^2+1) dit heeft u'= cosx*ln(x^2+1)+(2xsinx/x^2+1)
en dus f'(x) = (x^2+1)^sinx * cosxln(x^2+1)* (2xsinx/x^2+1).
Ik heb even wat grotere stappen genomen, want de afleiding is analoog aan eerdere).
Met de regel y'= f'gf^g-1 + ln(f)g'f^g die eerder werd genoemd zou je dan hetzelfde antwoord moeten vinden, maar op deze manier wordt het f'(x)=2xsinx(x^2+1)^(sinx-1) + ln(x^2+1)cosx(x^2+1)^sinx
Of is dit reeds hetzelfde antwoord? En hoe moet dit dan herschreven worden?
als ik de afgeleide bepaal van f(x)=(x^2+1)^sin(x) dan vind ik:
f(x)=e^(sinx*ln(x^2+1))
met u = sinx*ln(x^2+1) dit heeft u'= cosx*ln(x^2+1)+(2xsinx/x^2+1)
en dus f'(x) = (x^2+1)^sinx * cosxln(x^2+1)* (2xsinx/x^2+1).
Ik heb even wat grotere stappen genomen, want de afleiding is analoog aan eerdere).
Met de regel y'= f'gf^g-1 + ln(f)g'f^g die eerder werd genoemd zou je dan hetzelfde antwoord moeten vinden, maar op deze manier wordt het f'(x)=2xsinx(x^2+1)^(sinx-1) + ln(x^2+1)cosx(x^2+1)^sinx
Of is dit reeds hetzelfde antwoord? En hoe moet dit dan herschreven worden?
kloep kloep
Je moet iets nauwkeuriger werken, want een + verandert bij jou zo in een *. Ook vergeet je veel haakjes.
De antwoorden zijn hetzelfde. De eerste term van de expressie van zuiderbuur kun je ook opschrijven als 2x/(x²+1)*(x²+1)^sin(x). Daarna kun je (x²+1)^sin(x) buiten haakjes halen.
De antwoorden zijn hetzelfde. De eerste term van de expressie van zuiderbuur kun je ook opschrijven als 2x/(x²+1)*(x²+1)^sin(x). Daarna kun je (x²+1)^sin(x) buiten haakjes halen.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Dat heeft ook een beetje te maken met het feit dat ik het moet intypen.
Maar de eerste term in zuiderbuursexpressie 2xsin(x)*(x^2+1)^sin(x) is toch niet gelijk aan 2x/(x²+1)*(x²+1)^sin(x). ?
Dan moet volgens mij 2xsin(x)/(x^2+1)*(x^2+1)^sin(x) zijn.
Maar de eerste term in zuiderbuursexpressie 2xsin(x)*(x^2+1)^sin(x) is toch niet gelijk aan 2x/(x²+1)*(x²+1)^sin(x). ?
Dan moet volgens mij 2xsin(x)/(x^2+1)*(x^2+1)^sin(x) zijn.
kloep kloep
Volgens mij klopt dat echt niet; mijn uitkomst is (netjes opgeschreven)
f'(x)= (x^2+1)^(sin(x)) * cos(x)*ln(x^2+1) * ((2xsin(x)/ (x^2+1))
Dit kan ik niet herschrijven tot de formule van zuiderbuur.
f'(x)= (x^2+1)^(sin(x)) * cos(x)*ln(x^2+1) * ((2xsin(x)/ (x^2+1))
Dit kan ik niet herschrijven tot de formule van zuiderbuur.
kloep kloep
Wat GlowMouse zei komt hier op neer:quote:Op maandag 18 februari 2008 12:38 schreef Borizzz het volgende:
Volgens mij klopt dat echt niet; mijn uitkomst is (netjes opgeschreven)
f'(x)= (x^2+1)^(sin(x)) * cos(x)*ln(x^2+1) * ((2xsin(x)/ (x^2+1))
Dit kan ik niet herschrijven tot de formule van zuiderbuur.
2x sin(x)(x^2+1)^(sinx-1) + ln(x^2+1)cos(x)(x^2+1)^sin(x)
Merk op dat (x^2 + 1)/(x^2 + 1) = 1.
Dan:
= 1*2x sin(x)(x^2+1)^(sinx-1) + ln(x^2+1)cos(x)(x^2+1)^sin(x)
Vervangen we die 1:
= (x^2 + 1)/(x^2 + 1) * 2x sin(x)(x^2+1)^(sinx-1) + ln(x^2+1)cos(x)(x^2+1)^sin(x)
Het is wat geknoei ivm de notatie, maar we hebben dus een x^2 + 1 in de teller en in de noemer, en ik breng even alles onder één noemer in de linker term:
= ((x^2 + 1)2x sin(x)(x^2+1)^(sinx-1))/(x^2 + 1) + ln(x^2+1)cos(x)(x^2+1)^sin(x)
Nu kunnen die (x^2 +1)*(x^2+1)^(sin(x) -1) samen nemen:
= (2x sin(x)(x^2+1)^(sin(x)))/(x^2 + 1) + ln(x^2+1)cos(x)(x^2+1)^sin(x)
Nu staat in beide termen (x^2 + 1)^(sin(x)), dus die halen we buiten haakjes:
= (x^2+1)^sin(x)*(2x sin(x)/(x^2 + 1) + ln(x^2 + 1)cos(x))
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
We beginnen met de formule van zuiderbuur, en voeren de stapjes uit zoals door mij omschreven (ik vergat eerst een sin(x) ja):
De tweede factor is jouw u', waar jij later een + door een * verving.
voortaan topic eerst f5'en
De tweede factor is jouw u', waar jij later een + door een * verving.
voortaan topic eerst f5'en
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Goed, dank aan jullie allemaal.
Voor mij is het echt lang geleden, inderdaad had ik met de kettingregel bij u' een foutje gemaakt.
Maar t is weer even wennen met alles nauwkeurig leren uitschrijven.
[ Bericht 22% gewijzigd door Borizzz op 18-02-2008 14:33:15 ]
Voor mij is het echt lang geleden, inderdaad had ik met de kettingregel bij u' een foutje gemaakt.
Maar t is weer even wennen met alles nauwkeurig leren uitschrijven.
[ Bericht 22% gewijzigd door Borizzz op 18-02-2008 14:33:15 ]
kloep kloep
Bij de theorie over substitutieregel met integreren snap ik iets niet.
Stel we zoeken de primitieve van f(x)=sin(sqrt(x)).
Dan pas je de substitutie y=sqrt(x) toe; dan y'= 1/ (2*sqrt(x))
sin(sqrt(x))dx = sin(sqrt(x))*2*sqrt(x)* 1/ (2*sqrt(x))
nu de substitutie uitvoeren (integratie grenzen etc neem je mee maar is voor nu ff niet belangrijk)
sin(sqrt(x))dx = sin(y) *2y dy. Waarom staat er niet nog 1/(2y) bij? want als je x in y omzet moet je die ook meenemen.... volgens mij moet er dan staan sin(y) * 2y * 1/(2y) dy
Maar daarna kun je met partieel integreren verder. Maar dat ene stapje volg ik niet, en het wordt vaker gebruikt...
Stel we zoeken de primitieve van f(x)=sin(sqrt(x)).
Dan pas je de substitutie y=sqrt(x) toe; dan y'= 1/ (2*sqrt(x))
sin(sqrt(x))dx = sin(sqrt(x))*2*sqrt(x)* 1/ (2*sqrt(x))
nu de substitutie uitvoeren (integratie grenzen etc neem je mee maar is voor nu ff niet belangrijk)
sin(sqrt(x))dx = sin(y) *2y dy. Waarom staat er niet nog 1/(2y) bij? want als je x in y omzet moet je die ook meenemen.... volgens mij moet er dan staan sin(y) * 2y * 1/(2y) dy
Maar daarna kun je met partieel integreren verder. Maar dat ene stapje volg ik niet, en het wordt vaker gebruikt...
kloep kloep
Als je zegt y = sqrt(x), dan: dy/dx = d sqrt(x)/dx = 1/(2*sqrt(x))quote:Op maandag 18 februari 2008 18:12 schreef Borizzz het volgende:
Bij de theorie over substitutieregel met integreren snap ik iets niet.
Stel we zoeken de primitieve van f(x)=sin(sqrt(x)).
Dan pas je de substitutie y=sqrt(x) toe; dan y'= 1/ (2*sqrt(x))
sin(sqrt(x))dx = sin(sqrt(x))*2*sqrt(x)* 1/ (2*sqrt(x))
nu de substitutie uitvoeren (integratie grenzen etc neem je mee maar is voor nu ff niet belangrijk)
sin(sqrt(x))dx = sin(y) *2y dy. Waarom staat er niet nog 1/(2y) bij? want als je x in y omzet moet je die ook meenemen.... volgens mij moet er dan staan sin(y) * 2y * 1/(2y) dy
Maar daarna kun je met partieel integreren verder. Maar dat ene stapje volg ik niet, en het wordt vaker gebruikt...
En nu komt de truc, dit lijkt obscuur maar het leidt wel tot wiskundig goede resultaten, en is een van de voordelen van Leibniz' notatie:
dy/dx = 1/(2*sqrt(x))
= dy = 1/(2*sqrt(x)) dx
Dus, als we mogen 1/(2*sqrt(x)) vervangen door dy, en dat is precies wat er gebeurt:
Je hebt:
sin(sqrt(x))*2*sqrt(x)* 1/ (2*sqrt(x))
En we vervangen sqrt(x) door y, en 1/(2*sqrt(x)) door dy, dan houd je over:
2sin(y)y dy
Dus die 1/(2sqrt(x)) die jij denkt te 'missen' "zit in de dy".
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
ok dus je zegt: sin(sqrt(x)) dx met subs y=sqrt (x) en dus dy = 1/(2sqrt(x)).
sin(sqrt(x)) dx = sin y * 2y *dy.
De 2y 'compenseert' voor het feit dat er ook dy staat; vermenigvuldigd moet het 1 opleveren.
sin(sqrt(x)) dx = sin y * 2y *dy.
De 2y 'compenseert' voor het feit dat er ook dy staat; vermenigvuldigd moet het 1 opleveren.
kloep kloep
Let op de dx!quote:Op maandag 18 februari 2008 18:36 schreef Borizzz het volgende:
ok dus je zegt: sin(sqrt(x)) dx met subs y=sqrt (x) en dus dy = 1/(2sqrt(x)) dx.
sin(sqrt(x)) dx = sin y * 2y *dy.
De 2y 'compenseert' voor het feit dat er ook dy staat; vermenigvuldigd moet het 1 opleveren.
Ja, zo zou je het kunnen zien. Het punt is dat je graag de substitutie y = sqrt(x) wilt kunnen maken, maar als je dat doet, dan krijg je dy = 1/(2sqrt(x)) dx. En aangezien je geen 1/(2sqrt(x)) hebt in je formule is die laatste substitutie niet te maken. Vandaar de truc met (2 sqrt(x))/(2 sqrt(x)) erin zetten – zodat die substitutie kan. En de mazzel is nu dat die factor die je overhoudt nu ook nog eens herschreven kan worden als 2y.
Want stel je hebt:
sin(x^2), en je zou y = x^2 doen, en dan dy = 2x dx. Nu kun je wel 2x/2x in je formule zetten, maar dan krijg je:
sin(x^2)2x/2x dx . En dan kun je zeggen y = x^2, en dan krijg je:
sin(y)1/2x dy
Iets waar je niets mee opschiet. De primitieve hiervan is dan ook niet heel simpel.
In het algemeen werkt substitutie als je zowel een factor als z'n afgeleide ziet in de integraal. Om nog op het vorige voorbeeld verder te gaan, stel je had:
sin(x^2)2x dx
Dan zie je x^2, én je ziet 2x. Als je nu zegt y = x^2, dan dy = 2x dx, dus je kunt er:
sin(y) dy van maken.
Dat is dus meestal wat je doet, zoeken of je zowel een factor als z'n afgeleide kunt vinden (want beide heb je nodig). In jouw geval introduceer je die afgeleide door een extra factor '1' te introduceren, die gelukkig uitkomt.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Ik heb een natuurkunde vraagje. Het is een tijd geleden dat ik met dot soort opgaven bezig ben geweest en het is allemaal een beetje ver weg gezakt :S Het gaat over iets electro-magnetisme-achtigs...
Consider a cubical volume of a uniform water sample, 10 cm on a side, in a constant magnetic field of 1 T, and at a temperature of 300 K.
a) Estimate the EMF (electromotive force) induced in a coil which has a constant magnetic field per unit current over the sample of 1 Gauss / A.
Heb geen idee meer hoe ik zoiets moet aanpakken. Ik weet nog dat de emf gelijk is aan de tijdsafgeleide van de flux (of zoiets) maar verder houdt het wel op...
Wie kan mij helpen?
EDIT: Ik het zelf het volgende bedacht. De flux wordt gegeven door het inproduct van het veld met een oppervlakte (of zoiets
). Dus het enige dat, in deze situatie, tijdsafhankelijk kan zijn is de hoek tussen het veld en het oppervlak. Maar hoe druk je die hoek uit? Of zit ik nu helemaal verkeerd?
[ Bericht 21% gewijzigd door Bioman_1 op 18-02-2008 20:20:57 ]
Consider a cubical volume of a uniform water sample, 10 cm on a side, in a constant magnetic field of 1 T, and at a temperature of 300 K.
a) Estimate the EMF (electromotive force) induced in a coil which has a constant magnetic field per unit current over the sample of 1 Gauss / A.
Heb geen idee meer hoe ik zoiets moet aanpakken. Ik weet nog dat de emf gelijk is aan de tijdsafgeleide van de flux (of zoiets) maar verder houdt het wel op...
Wie kan mij helpen?
EDIT: Ik het zelf het volgende bedacht. De flux wordt gegeven door het inproduct van het veld met een oppervlakte (of zoiets
). Dus het enige dat, in deze situatie, tijdsafhankelijk kan zijn is de hoek tussen het veld en het oppervlak. Maar hoe druk je die hoek uit? Of zit ik nu helemaal verkeerd?[ Bericht 21% gewijzigd door Bioman_1 op 18-02-2008 20:20:57 ]
Theories come and theories go. The frog remains
Hoe gaat dan het vinden van de volgende primitieven. Deels ben ik al een einde; maar ik weet niet zeker of ik op de goede weg zit.
A: f(x)= sin^2(x) ik kan zeggen f(x)=(0,5-0,5*cos(2x)) goniotrucendoos.
B: f(x)= sin^3(x) ;kan dit dan partieel met gegevens uit A?
C: f(x)=ln(x) / x; partieel met f'=1/x en g=ln(x); ik kom dan op ln^2(x)+1/x.
D: f(x)=sqrt(1+sqrt(x)) ; ik denk aan subs y=1+sqrt(x); dan kom ik op sqrt(y) * 2y dy. vervolgen met partieel integreren.
E: f(x)=sin(x+sin(x)); ik denk aan subs y=x + sin(x); maar dan heb ik dy=1+cos(x)dx en daar kom ik niet echt verder mee.
F: f(x)=sqrt(1-x^2); ik denk aan subs y=1-x^2, maar ook hier levert dit weinig op. Of moet ik in de richting van arcsin(x) denken?
sorry voor de vele vragen, maar deze boel moet ik echt opfrissen.
[ Bericht 12% gewijzigd door Borizzz op 18-02-2008 21:49:20 ]
A: f(x)= sin^2(x) ik kan zeggen f(x)=(0,5-0,5*cos(2x)) goniotrucendoos.
B: f(x)= sin^3(x) ;kan dit dan partieel met gegevens uit A?
C: f(x)=ln(x) / x; partieel met f'=1/x en g=ln(x); ik kom dan op ln^2(x)+1/x.
D: f(x)=sqrt(1+sqrt(x)) ; ik denk aan subs y=1+sqrt(x); dan kom ik op sqrt(y) * 2y dy. vervolgen met partieel integreren.
E: f(x)=sin(x+sin(x)); ik denk aan subs y=x + sin(x); maar dan heb ik dy=1+cos(x)dx en daar kom ik niet echt verder mee.
F: f(x)=sqrt(1-x^2); ik denk aan subs y=1-x^2, maar ook hier levert dit weinig op. Of moet ik in de richting van arcsin(x) denken?
sorry voor de vele vragen, maar deze boel moet ik echt opfrissen.
[ Bericht 12% gewijzigd door Borizzz op 18-02-2008 21:49:20 ]
kloep kloep
A klopt, primitiveren is nu eenvoudig.
B kan inderdaad, maar daarna moet je nog meer gonio omschrijven en flink doorschrijven
C ik kom met jouw partiele integratie op ln²(x) - integraal ln(x)/x dx. Hiermee kom je trouwens wel verder.
D met jouw substitutie kom ik op dx = 2*sqrt(x) dy = 2*(1-y) dy, en dan zie ik nog niet hoe ik bij jouw ding uitkom. Partieel integreren zou bij jouw ding niet meer hoeven: 2*y3/2 kun je direct primitiveren.
E ik zie niet hoe deze kan.
F Die substitutie is niet zo goed omdat je direct na substitueren een vervelende uitdrukking overhoudt. Goniometrische formules hebben een primitieve met in de noemer iets met een wortel en een x², misschien dat je hem daarnaartoe kunt omschrijven (kijk evt. hoe je ln(x) primitiveert, dit gaat vergelijkbaar).
B kan inderdaad, maar daarna moet je nog meer gonio omschrijven en flink doorschrijven
C ik kom met jouw partiele integratie op ln²(x) - integraal ln(x)/x dx. Hiermee kom je trouwens wel verder.
D met jouw substitutie kom ik op dx = 2*sqrt(x) dy = 2*(1-y) dy, en dan zie ik nog niet hoe ik bij jouw ding uitkom. Partieel integreren zou bij jouw ding niet meer hoeven: 2*y3/2 kun je direct primitiveren.
E ik zie niet hoe deze kan.
F Die substitutie is niet zo goed omdat je direct na substitueren een vervelende uitdrukking overhoudt. Goniometrische formules hebben een primitieve met in de noemer iets met een wortel en een x², misschien dat je hem daarnaartoe kunt omschrijven (kijk evt. hoe je ln(x) primitiveert, dit gaat vergelijkbaar).
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Ja, dat is de handigste manier, dan ben je je kwadraat kwijt en dan lukt het gemakkelijk.quote:Op maandag 18 februari 2008 21:17 schreef Borizzz het volgende:
Hoe gaat dan het vinden van de volgende primitieven
A: f(x)= sin^2(x) ik kan zeggen f(x)=(0,5-0,5*cos(2x)) goniotrucendoos.
Er zijn tal van manieren voor, maar de handigste is denk ik:quote:B: f(x)= sin^3(x) ;kan dit dan partieel met gegevens uit A?
sin3(x) = sin(x)(1 - cos2(x)). Subst y = cos(x), dan dy = -sin(x), dit geeft ons:
f(x) = (y^2 - 1)dy
En dat integreer je zo.
Partieel moet kunnen, maar je antwoord is fout. Substitutie is handiger: Zeg y = ln(x), dan dy = (1/x) dx, dus dan gaat je formule over in:quote:C: f(x)=ln(x) / x; partieel met f'=1/x en g=ln(x); ik kom dan op ln^2(x)+1/x.
y dy, en dan vind je 1/2y^2, of wel 1/2ln2(x).
Als je dat doet, dan dy = 1/(2sqrt(x)) en dan moet je weer die factor erin prutsen, dat is in dit geval nog wat lastiger. Ik zie zo even niet hoe. Ik denk dat er een beetje vernuftig gesplitst moet worden.quote:D: f(x)=sqrt(1+sqrt(x)) ; ik denk aan subs y=1+sqrt(x)
Deze zie ik even helemaal niet gebeuren.quote:E: f(x)=sin(x+sin(x)); ik denk aan subs y=x + sin(x)
Aan die substitutie heb je niets. Je krijgt dan dy = 2x dx, en zie dat maar eens erin te frummelen. Volgens mij moet je richting arcsin (waarvan de afgeleide) 1/(sqrt(1 + x^2)) is werken! Ik zal er nog eens over nadenken.quote:F: f(x)=sqrt(1-x^2); ik denk aan subs y=1-x^2
Nogmaals: Substitutie is handig op het moment dat je zowel een functie als z'n afgeleide in je integraal ziet staan. Als je dat niet ziet, moet je dat eerst voor elkaar krijgen.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
...en daarmee zit je gelijk op de goede weg: F(x) = 1/2 * x - 1/4 * sin(2x)quote:Op maandag 18 februari 2008 21:17 schreef Borizzz het volgende:
Hoe gaat dan het vinden van de volgende primitieven
A: f(x)= sin^2(x) ik kan zeggen f(x)=(0,5-0,5*cos(2x)) goniotrucendoos.
Naah, je kan beter eerstquote:B: f(x)= sin^3(x) ;kan dit dan partieel met gegevens uit A?
f(x) = sin3(x) =
f(x) = sin(x)*sin2
f(x) = sin(x) *(1 - cos2) =
f(x) = sin(x) - sin(x)*cos2
proberen en deze vervolgens tot
INT (sin(x) - sin(x)*cos2) d(x) =
INT (1 - cos2(x)) d(-cos(x)) =
-cos(x) + 1/3 * cos3(x) = F(x)
schrijven
Helaaschquote:C: f(x)=ln(x) / x; partieel met f'=1/x en g=ln(x); ik kom dan op ln^2(x)+1/x.
INT ln(x)/x dx = INT ln(x) d(ln(x)) = 1/2 * ln2|x| = F(x)
F(x) = sqrt(1-x2) + x*arcsin(x)quote:F: f(x)=sqrt(1-x^2); ik denk aan subs y=1-x^2
D en E kan ik je ff niet blij mee maken
D en E kunnen door de pc ook niet geprimitiveerd worden, wat vaak (maar niet altijd) een teken is dat de primitieve niet bestaat.
integraal ln(x)/x dx = ln²(x) - integraal ln(x)/x dx
dus integraal ln(x)/x dx = ln²(x)/2
Partieel is leuker zelfsquote:Partieel moet kunnen
integraal ln(x)/x dx = ln²(x) - integraal ln(x)/x dx
dus integraal ln(x)/x dx = ln²(x)/2
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
The Integrator geeft voor D:quote:Op maandag 18 februari 2008 22:03 schreef GlowMouse het volgende:
D en E kunnen door de pc ook niet geprimitiveerd worden, wat vaak (maar niet altijd) een teken is dat de primitieve niet bestaat.
[..]
Partieel is leuker zelfs
integraal ln(x)/x dx = ln²(x) - integraal ln(x)/x dx
dus integraal ln(x)/x dx = ln²(x)/2
[edit] Bah, die plaatjes blijven niet staan[/edit]
4/15(sqrt(x) + 1)^(3/2)*(3*sqrt(x) - 2)
Soms kun je door zoiets te differentiëren weer een hint krijgen hoe je je formule kunt herschrijven zodat je wel kutn substitueren.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Even brainstormen levert me dit op
sqrt(1 + sqrt(x)) =
sqrt(( sqrt(x) + x) / sqrt(x) ) = binnen het wortelteken teller en noemer met sqrt(x) vermenigvuldigen
sqrt (sqrt(x) + x) / sqrt(x) teller en noemer onder aparte worteltekens zetten
schrijf nu
INT (sqrt (sqrt(x) + x) / sqrt(x) ) dx als
INT (sqrt (sqrt(x) + sqrt(x)*sqrt(x)) d(1/2 * sqrt(x)) = wortelterm in de noemer voor de d gooien
1/2 * INT (sqrt (sqrt(x) + sqrt(x)*sqrt(x)) d(sqrt(x)) =
1/2 *INT (sqrt (u + u*u) du u voor sqrt(x) substitueren
[ Bericht 4% gewijzigd door harrypiel op 18-02-2008 22:23:53 ]
sqrt(1 + sqrt(x)) =
sqrt(( sqrt(x) + x) / sqrt(x) ) = binnen het wortelteken teller en noemer met sqrt(x) vermenigvuldigen
sqrt (sqrt(x) + x) / sqrt(x) teller en noemer onder aparte worteltekens zetten
schrijf nu
INT (sqrt (sqrt(x) + x) / sqrt(x) ) dx als
INT (sqrt (sqrt(x) + sqrt(x)*sqrt(x)) d(1/2 * sqrt(x)) = wortelterm in de noemer voor de d gooien
1/2 * INT (sqrt (sqrt(x) + sqrt(x)*sqrt(x)) d(sqrt(x)) =
1/2 *INT (sqrt (u + u*u) du u voor sqrt(x) substitueren
[ Bericht 4% gewijzigd door harrypiel op 18-02-2008 22:23:53 ]
Bij D: f(x)=sqrt(1+sqrt(x)) ; ik denk aan subs y=1+sqrt(x) heb ik het volgende gedaan
y=1+sqrt(x) dus dy= 1/(2*sqrt(x)) dx
ik schrijf nu
f(x)=sqrt(1+sqrt(x)) = sqrt(1+sqrt(x)) * 2sqrt(x) * 1/(2sqrt(x))
omdat y=1+sqrt(x) volgt 2sqrt(x)=2(y-1)
volgens mij krijg je dan sqrt(y) * 2y dy
maar dit is een beetje gegoochel uit de hoge hoed misschien maar iets beters kan ik niet verzinnen zo...
y=1+sqrt(x) dus dy= 1/(2*sqrt(x)) dx
ik schrijf nu
f(x)=sqrt(1+sqrt(x)) = sqrt(1+sqrt(x)) * 2sqrt(x) * 1/(2sqrt(x))
omdat y=1+sqrt(x) volgt 2sqrt(x)=2(y-1)
volgens mij krijg je dan sqrt(y) * 2y dy
maar dit is een beetje gegoochel uit de hoge hoed misschien maar iets beters kan ik niet verzinnen zo...
kloep kloep
Ik vind :quote:Op maandag 18 februari 2008 22:19 schreef Borizzz het volgende:
Bij D: f(x)=sqrt(1+sqrt(x)) ; ik denk aan subs y=1+sqrt(x) heb ik het volgende gedaan
y=1+sqrt(x) dus dy= 1/(2*sqrt(x)) dx
ik schrijf nu
f(x)=sqrt(1+sqrt(x)) = sqrt(1+sqrt(x)) * 2sqrt(x) * 1/(2sqrt(x))
omdat y=1+sqrt(x) volgt 2sqrt(x)=2(y-1)
volgens mij krijg je dan sqrt(y) * 2y dy
maar dit is een beetje gegoochel uit de hoge hoed misschien maar iets beters kan ik niet verzinnen zo...
Ik stel ook sqrt(x)+1=y, maar dan doe ik :
x =(y-1)^2
en vervolgens :
dx = 2*(y-1)*dy
(Het werkt hoor, Maple geeft me gelijk
)
Een primitieve van (2x+1) / (x^2+x) lijkt me ln(x^2+x) te zijn. Maar the integrator geeft iets heel anders...
kloep kloep
Bij mij geeft die ln(x) + ln(x + 1). En dat dat hetzelfde is volgt uit: log(ab) = log(a) + log(b), dus:quote:Op maandag 18 februari 2008 22:55 schreef Borizzz het volgende:
Een primitieve van (2x+1) / (x^2+x) lijkt me ln(x^2+x) te zijn. Maar the integrator geeft iets heel anders...
ln(x) + ln(x + 1) = ln(x(x + 1)) = ln(x^2 + x).
Waarbij ik ln en log even als synoniemen gebruik.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Klopt; al werkt y=1+sqrt(x) en daaruit volgnd 2*sqt(x) =2(y-1) en dy=1/(2sqrt(x) dx ook.quote:Op maandag 18 februari 2008 22:47 schreef zuiderbuur het volgende:
[..]
Ik vind :
[ afbeelding ]
Ik stel ook sqrt(x)+1=y, maar dan doe ik :
x =(y-1)^2
en vervolgens :
dx = 2*(y-1)*dy
(Het werkt hoor, Maple geeft me gelijk
Levert exact hetzelfde antwoord op.
kloep kloep
Hoe werk je dat v erder uit? Dan heb je dy = 1/(2sqrt(x)), prima.quote:Op maandag 18 februari 2008 23:05 schreef Borizzz het volgende:
[..]
Klopt; al werkt y=1+sqrt(x) en daaruit volgnd 2*sqt(x) =2(y-1) en dy=1/(2sqrt(x) dx ook.
Levert exact hetzelfde antwoord op.
Maar, in:
sqrt(sqrt(x) + 1)dx
Is géén factor 1/(2sqrt(x)) die je kunt vervangen. Hoe wil je dat doen? Hoe introduceer je die? Kun je je berekening tonen, want volgens mij gebeurt er iets illegaals.
De oplossing van zuiderbuur is erg vernuftig.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
ik had
y=1+sqrt(x)
dy=1/(2*sqrt(x)) dx
sqrt(x)=y-1
2*sqrt(x)=2(y-1)
sqrt(1+sqrt(x)) dx = sqrt(1+sqrt(x)) * 2*sqrt(x) * 1/(2*sqrt(x)) dx
substitutie toepassen
sqrt(y) * 2(y-1) * dy
uitwerken en integreren maar dacht ik....
y=1+sqrt(x)
dy=1/(2*sqrt(x)) dx
sqrt(x)=y-1
2*sqrt(x)=2(y-1)
sqrt(1+sqrt(x)) dx = sqrt(1+sqrt(x)) * 2*sqrt(x) * 1/(2*sqrt(x)) dx
substitutie toepassen
sqrt(y) * 2(y-1) * dy
uitwerken en integreren maar dacht ik....
kloep kloep
Ja. Dat is prima. D'oh.quote:Op maandag 18 februari 2008 23:23 schreef Borizzz het volgende:
ik had
y=1+sqrt(x)
dy=1/(2*sqrt(x)) dx
sqrt(x)=y-1
2*sqrt(x)=2(y-1)
sqrt(1+sqrt(x)) dx = sqrt(1+sqrt(x)) * 2*sqrt(x) * 1/(2*sqrt(x)) dx
substitutie toepassen
sqrt(y) * 2(y-1) * dy
uitwerken en integreren maar dacht ik....
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Kijk, nu heb ik in de afgelopen twee dagen toch aardig wat bijgeleerd Integreren en differentieren.
Thanks!
Integreren en differentieren.Thanks!
kloep kloep
Als je f(x)= (ln(x)/(x) dx integreert van vind je F(x)=ln^2(x) (via substitutie).
Hoe vind je dit met partiele integratie? Want deze moet m.i. ook kunnen.
Als je f=1/x neemt en g'=ln(x) dan vindt je dezelfde vorm terug achter het integraal teken, en lijk je niets op te schieten.
Hoe vind je dit met partiele integratie? Want deze moet m.i. ook kunnen.
Als je f=1/x neemt en g'=ln(x) dan vindt je dezelfde vorm terug achter het integraal teken, en lijk je niets op te schieten.
kloep kloep
Met substitutie:quote:Op dinsdag 19 februari 2008 13:47 schreef Borizzz het volgende:
Als je f(x)= (ln(x)/(x) dx integreert van vind je F(x)=ln^2(x) (via substitutie).
Hoe vind je dit met partiele integratie? Want deze moet m.i. ook kunnen.
Als je f=1/x neemt en g'=ln(x) dan vindt je dezelfde vorm terug achter het integraal teken, en lijk je niets op te schieten.
ln(x)/x dx = y dy => 1/2y2 => 1/2ln2(x). Niet ln2(x).
Met Part. Integratie:
∫ ln(x)/x dx = ln(x)2 - ∫ ln(x)/x dx
Zoals jij opmerkte. Dan volgt nu de truc. Breng: ∫ ln(x)/x dx naar de andere kant:
2 ∫ ln(x)/x dx = ln(x)2
Ofwel:
∫ ln(x)/x dx = 1/2 ln(x)2
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Voor mij ogenschijnlijk een waardeloos simpel sommetje, maar ik kom er ff niet uit.
1 spoor, 2 treinen, beide in dezelfde richting. De een rijdt met 40 m/s (1), de ander met 30 m/s (2). De afstand tussen beide is 250 m als (1) begint te remmen. Deze negatieve versnelling is - als het gevolg van warmworden van de remmen- gelijk aan de volgende functie van de tijd:
a (t) = -2 + 0,01t
a. Botsen ze?
b. Zo ja, waar en na hoeveel tijd. Zonee, waar stopt trein 1 en waar stopt trein 2?
Ik zou jullie erg dankbaar zijn als dit opgelost kan worden
1 spoor, 2 treinen, beide in dezelfde richting. De een rijdt met 40 m/s (1), de ander met 30 m/s (2). De afstand tussen beide is 250 m als (1) begint te remmen. Deze negatieve versnelling is - als het gevolg van warmworden van de remmen- gelijk aan de volgende functie van de tijd:
a (t) = -2 + 0,01t
a. Botsen ze?
b. Zo ja, waar en na hoeveel tijd. Zonee, waar stopt trein 1 en waar stopt trein 2?
Ik zou jullie erg dankbaar zijn als dit opgelost kan worden
Op zondag 30 mei 2004 22:06 schreef Croupouque het volgende:
"De slimste van FOK!", dat is net zoiets als 'de minst stinkende drol op de mesthoop'.
"De slimste van FOK!", dat is net zoiets als 'de minst stinkende drol op de mesthoop'.
Zie mijn uitleg; je moet de afgeleide van ln|x| , oftewel 1/x voor de d zetten en primitieveren tot precies ln|x| , zodat je INT ln|x| d(ln|x|) krijgt. Je kan eventueel substitutie toepassen en u voor ln|x| schijven als je denkt het overzicht te verliezen, maar strikt genomen is dat niet nodig.quote:Op dinsdag 19 februari 2008 13:47 schreef Borizzz het volgende:
Als je f(x)= (ln(x)/(x) dx integreert van vind je F(x)=ln^2(x) (via substitutie).
Hoe vind je dit met partiele integratie? Want deze moet m.i. ook kunnen.
Als je f=1/x neemt en g'=ln(x) dan vindt je dezelfde vorm terug achter het integraal teken, en lijk je niets op te schieten.
edit: iblis was me al voor.
Het gezwets dat hier stond kan weg. Maar nogmaals, wat is je eigen idee? Met integralen e.d. is het prima op te lossen, maar misschien is dat niet echt de bedoeling.quote:Op dinsdag 19 februari 2008 20:23 schreef thiamat het volgende:
Voor mij ogenschijnlijk een waardeloos simpel sommetje, maar ik kom er ff niet uit.
1 spoor, 2 treinen, beide in dezelfde richting. De een rijdt met 40 m/s (1), de ander met 30 m/s (2). De afstand tussen beide is 250 m als (1) begint te remmen. Deze negatieve versnelling is - als het gevolg van warmworden van de remmen- gelijk aan de volgende functie van de tijd:
a (t) = -2 + 0,01t
a. Botsen ze?
b. Zo ja, waar en na hoeveel tijd. Zonee, waar stopt trein 1 en waar stopt trein 2?
Ik zou jullie erg dankbaar zijn als dit opgelost kan worden
[ Bericht 11% gewijzigd door Iblis op 19-02-2008 21:16:51 ]
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Ik zou zeggen "ja", maar ik kom geen mooie vergelijking uit.quote:Op dinsdag 19 februari 2008 20:23 schreef thiamat het volgende:
Voor mij ogenschijnlijk een waardeloos simpel sommetje, maar ik kom er ff niet uit.
1 spoor, 2 treinen, beide in dezelfde richting. De een rijdt met 40 m/s (1), de ander met 30 m/s (2). De afstand tussen beide is 250 m als (1) begint te remmen. Deze negatieve versnelling is - als het gevolg van warmworden van de remmen- gelijk aan de volgende functie van de tijd:
a (t) = -2 + 0,01t
a. Botsen ze?
b. Zo ja, waar en na hoeveel tijd. Zonee, waar stopt trein 1 en waar stopt trein 2?
Ik zou jullie erg dankbaar zijn als dit opgelost kan worden
De treinen botsen volgens mij na 4.03 seconden (en ook nog eens 33.03 seconden en zelfs een derde keer na 562.93 seconden, maar dat heeft fysisch totaal geen betekenis
)
errr die treinen kunnen maar 1x batsen
tis een lineaire vergelijking, geen derdegraads
tis een lineaire vergelijking, geen derdegraads
Imperare sibi maximum imperium est
o wacht, ik lul poep.....quote:Op dinsdag 19 februari 2008 20:50 schreef de_priester het volgende:
errr die treinen kunnen maar 1x batsen
tis een lineaire vergelijking, geen derdegraads
zet gewoon even een leuke integraal op joh
wff.,...
Imperare sibi maximum imperium est
Heb ik ook gedaan, mijn resultaten zijn dan waarschijnlijk ook correct....alleen vraag ik me af of je dit wel met de hand kan doen...(de mooiste oefeningen worden met de hand gedaanquote:Op dinsdag 19 februari 2008 20:51 schreef de_priester het volgende:
[..]
o wacht, ik lul poep.....
zet gewoon even een leuke integraal op joh
wff.,...
)
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 | a (t) = -2 + 0,01t v (t) = -2t + 0,005t^2 + C1 (integreer a(t) naar t ) s(t) = -t^2 + (0,005/3)t^3+C1t+C2 (integreer v(t) naar t ) Trein 2 a(t) = 0 v(t) = C3 s(t) = C3t + C4 nu ff constanten invullen: C1 = 40 C2 = 250 C3 = 30 C4 = 0 Uitgaande dat je de positie van trein 2 op t=0 neemt: s=0 dusssss: s(t) = -t^2 + (0,005/3)t^3+40t+250 s(t) = 30t + 0 ofteweellll s(t) = -t^2 + (0,005/3)t^3+10t+250 |
dan ff de kleinste t invullen in andere formules en tadaaa
Imperare sibi maximum imperium est
Je maakt dezelfde fout als ik.quote:Op dinsdag 19 februari 2008 20:47 schreef zuiderbuur het volgende:
[..]
Ik zou zeggen "ja", maar ik kom geen mooie vergelijking uit.
De treinen botsen volgens mij na 4.03 seconden (en ook nog eens 33.03 seconden en zelfs een derde keer na 562.93 seconden, maar dat heeft fysisch totaal geen betekenis
De treinen rijden in dezelfde richting.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
In dezelfde richting, woopsquote:Op dinsdag 19 februari 2008 21:15 schreef Iblis het volgende:
[..]
Je maakt dezelfde fout als ik.
Ja, dat is duidelijk, nu vind ik netjes 25 s
Ik was ook met integralen aan het knoeien.. van versnelling naar snelheid naar plaats kon ik wel integreren maar ik wist niet goed wat te doen met de constanten.quote:Op dinsdag 19 februari 2008 20:46 schreef Iblis het volgende:
[..]
Het gezwets dat hier stond kan weg. Maar nogmaals, wat is je eigen idee? Met integralen e.d. is het prima op te lossen, maar misschien is dat niet echt de bedoeling.
De_Priester , bedankt! Hoe wist jij wel wat je met de constante's moest doen?
En nu ga ik me hard schamen.. maar wat moet er uit die laatste formule's komen? Het moge duidelijk zijn dat ik op een dood spoor zit bij deze opdracht
[ Bericht 14% gewijzigd door thiamat op 19-02-2008 21:38:15 ]
Op zondag 30 mei 2004 22:06 schreef Croupouque het volgende:
"De slimste van FOK!", dat is net zoiets als 'de minst stinkende drol op de mesthoop'.
"De slimste van FOK!", dat is net zoiets als 'de minst stinkende drol op de mesthoop'.
Op zich is dat logisch als je de fysische interpretatie erbij pakt, dan blijkt dat de integratieconstante de beginsnelheid is. Uitgebreid:quote:Op dinsdag 19 februari 2008 21:29 schreef thiamat het volgende:
[..]
Ik was ook met integralen aan het knoeien.. van versnelling naar snelheid naar plaats kon ik wel integreren maar ik wist niet goed wat te doen met de constanten.
De_Priester , bedankt! Hoe wist jij wel wat je met de constante's moest doen?
Je weet:
d v(t)/dt = a(t), ofwel v(t) = ∫ a(t) dt
Dat geeft het idee, maar a(t) geeft alléén de verandering van snelheid. Als je hebt dat v(t) = t^2 + 30, om maar eens iets buitensporings te noemen, dan zie je dat die beginsnelheid verdwijnt als je differentieert. De snelheidsverandering is 2t. Dat geldt echter ook voor t^2 + 15000. Terwijl op zich de daadwerkelijke snelheid heel ander is.
Als je het nu wiskundig bekijkt zeg je: Gegeven a(t) = - 2 + 0.01t, dan heb ik v(t) = -2t + 0.005t^2 + C. Waarbij C zo gekozen moet worden dat het overeenkomt met de snelheid op v(0), en die is gegeven, voor de trein is dat 40m/s. Je moet hebben:
40 = -2*0 + 0.005*0^2 + C => C = 40.
Zoiets wordt een randvoorwaarde genoemd, en dat is eigenlijk wat je integratieconstante bepaalt. Meestal is dat de beginsnelheid, maar het zou kunnen zijn dat je b.v. zoiets krijgt:
"Een automobilist rijdt met hoge snelheid over de weg, hij ziet in de verte een flitspaal, en trapt vol op de rem, na 10s komt hij langs de flitspaal met een snelheid van 40 m/s, en hij remde met a(t) = -2 + 0.01t. Bereken z'n oorspronkelijke snelheid.
Dan kom je dus weer op v(t) = -2t + 0.005t^2 + C, maar nu met het gegeven dat v(10) = 40. En dan krijg je dat C 59.5 moet zijn geweest (rekenfouten voorbehouden), ofwel dat hij 214km/h reed op t=0.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Het is met trouwens nog niet duidelijk of trein 1 nou de enige is die remt, of niet. Je zegt: "b. Zo ja, waar en na hoeveel tijd. Zonee, waar stopt trein 1 en waar stopt trein 2?"
Waarom zou trein 2 stoppen?
Ik zie het zo:
Trein 1 rijdt 2 achterop, ontdekt dat 250m voor trein 1, en begint te remmen. Trein 2 rijdt gewoon door, dus stopt niet. Knalt 1 erachterop, of niet? Dat is de vraag toch?
Waarom zou trein 2 stoppen?
Ik zie het zo:
Trein 1 rijdt 2 achterop, ontdekt dat 250m voor trein 1, en begint te remmen. Trein 2 rijdt gewoon door, dus stopt niet. Knalt 1 erachterop, of niet? Dat is de vraag toch?
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Dankje, erg verhelderend!quote:Op dinsdag 19 februari 2008 21:40 schreef Iblis het volgende:
[..]
Op zich is dat logisch als je de fysische interpretatie erbij pakt, dan blijkt dat de integratieconstante de beginsnelheid is. Uitgebreid:
Je weet:
d v(t)/dt = a(t), ofwel v(t) = ∫ a(t) dt
Dat geeft het idee, maar a(t) geeft alléén de verandering van snelheid. Als je hebt dat v(t) = t^2 + 30, om maar eens iets buitensporings te noemen, dan zie je dat die beginsnelheid verdwijnt als je differentieert. De snelheidsverandering is 2t. Dat geldt echter ook voor t^2 + 15000. Terwijl op zich de daadwerkelijke snelheid heel ander is.
Als je het nu wiskundig bekijkt zeg je: Gegeven a(t) = - 2 + 0.01t, dan heb ik v(t) = -2t + 0.005t^2 + C. Waarbij C zo gekozen moet worden dat het overeenkomt met de snelheid op v(0), en die is gegeven, voor de trein is dat 40m/s. Je moet hebben:
40 = -2*0 + 0.005*0^2 + C => C = 40.
Zoiets wordt een randvoorwaarde genoemd, en dat is eigenlijk wat je integratieconstante bepaalt. Meestal is dat de beginsnelheid, maar het zou kunnen zijn dat je b.v. zoiets krijgt:
"Een automobilist rijdt met hoge snelheid over de weg, hij ziet in de verte een flitspaal, en trapt vol op de rem, na 10s komt hij langs de flitspaal met een snelheid van 40 m/s, en hij remde met a(t) = -2 + 0.01t. Bereken z'n oorspronkelijke snelheid.
Dan kom je dus weer op v(t) = -2t + 0.005t^2 + C, maar nu met het gegeven dat v(10) = 40. En dan krijg je dat C 59.5 moet zijn geweest (rekenfouten voorbehouden), ofwel dat hij 214km/h reed op t=0.
Op zondag 30 mei 2004 22:06 schreef Croupouque het volgende:
"De slimste van FOK!", dat is net zoiets als 'de minst stinkende drol op de mesthoop'.
"De slimste van FOK!", dat is net zoiets als 'de minst stinkende drol op de mesthoop'.
het moet zijn: "waar is trein 2 op het moment dat trein 1 stil komt te staan" .. in het geval dat ze niet botsen natuurlijk.quote:Op dinsdag 19 februari 2008 21:42 schreef Iblis het volgende:
Het is met trouwens nog niet duidelijk of trein 1 nou de enige is die remt, of niet. Je zegt: "b. Zo ja, waar en na hoeveel tijd. Zonee, waar stopt trein 1 en waar stopt trein 2?"
Waarom zou trein 2 stoppen?
Ik zie het zo:
Trein 1 rijdt 2 achterop, ontdekt dat 250m voor trein 1, en begint te remmen. Trein 2 rijdt gewoon door, dus stopt niet. Knalt 1 erachterop, of niet? Dat is de vraag toch?
Op zondag 30 mei 2004 22:06 schreef Croupouque het volgende:
"De slimste van FOK!", dat is net zoiets als 'de minst stinkende drol op de mesthoop'.
"De slimste van FOK!", dat is net zoiets als 'de minst stinkende drol op de mesthoop'.
de_priester, of iemand anders natuurlijk, zou je nog even kunnen uitleggen hoe het dan verder gaat. Het lukt me zelfs na je mooie laatste formule's niet.
Op zondag 30 mei 2004 22:06 schreef Croupouque het volgende:
"De slimste van FOK!", dat is net zoiets als 'de minst stinkende drol op de mesthoop'.
"De slimste van FOK!", dat is net zoiets als 'de minst stinkende drol op de mesthoop'.
Ik kom nu op het volgende:
a1 = -2 + 0,01t
v1 = ∫a(t) dt = -2t + 0,005t2 + C
C wordt door de beginsnelheid gegeven, 40m/s, dus:
v1 = -2t + 0,005t2 + 40
s1 = ∫v(t) dt = 40t -t2 + (0,005)/3 t3
Merk op dat we de integratieconstante nu 0 kiezen, want ik kies zelf dat trein 1 op afstand 0 begint.
Voor s2 vinden we eigenlijk direct: 250 + 30t
Dan krijgen we als afstand tussen de twee treinen:
s2 - s1 = 250 - 10t + t2 - (0,005)/3 t3
We kunnen eerst oplossen wanneer trein 1 (vooropgesteld dat er niet gebotst wordt) stilstaat.
We kunnen 21.11s invullen in s1 en s2. Dan blijkt dat s1 op 414m is, en s2 op 883.4m. s1 heeft s2 dus niet ingehaald. Dat zegt strict-genomen niet dat ze niet botsen, maar aan de hand van de afgeleide van s1 (v1) is te zien dat op het interval van 0..21.11 de functie monotoon stijgend is. En dat geldt ook voor s2.
Als ze wel zouden botsen zou het moeilijker worden, want s2 - s1 is een derde graads vergelijking en die is weliswaar met de hand op te lossen met Cardano's manier, maar dat is niet triviaal.
a1 = -2 + 0,01t
v1 = ∫a(t) dt = -2t + 0,005t2 + C
C wordt door de beginsnelheid gegeven, 40m/s, dus:
v1 = -2t + 0,005t2 + 40
s1 = ∫v(t) dt = 40t -t2 + (0,005)/3 t3
Merk op dat we de integratieconstante nu 0 kiezen, want ik kies zelf dat trein 1 op afstand 0 begint.
Voor s2 vinden we eigenlijk direct: 250 + 30t
Dan krijgen we als afstand tussen de twee treinen:
s2 - s1 = 250 - 10t + t2 - (0,005)/3 t3
We kunnen eerst oplossen wanneer trein 1 (vooropgesteld dat er niet gebotst wordt) stilstaat.
We kunnen 21.11s invullen in s1 en s2. Dan blijkt dat s1 op 414m is, en s2 op 883.4m. s1 heeft s2 dus niet ingehaald. Dat zegt strict-genomen niet dat ze niet botsen, maar aan de hand van de afgeleide van s1 (v1) is te zien dat op het interval van 0..21.11 de functie monotoon stijgend is. En dat geldt ook voor s2.
Als ze wel zouden botsen zou het moeilijker worden, want s2 - s1 is een derde graads vergelijking en die is weliswaar met de hand op te lossen met Cardano's manier, maar dat is niet triviaal.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Erg bedankt hoor. 't Waren ook maar een paar inleidende sommetjes voor wat mechanica maar toch vreemd dat ik hier zo'n moeite mee had. Thermodynamica van onze atmosfeer gaat me vreemd genoeg beter af.quote:Op dinsdag 19 februari 2008 22:10 schreef Iblis het volgende:
Ik kom nu op het volgende:
a1 = -2 + 0,01t
v1 = ∫a(t) dt = -2t + 0,005t2 + C
C wordt door de beginsnelheid gegeven, 40m/s, dus:
v1 = -2t + 0,005t2 + 40
s1 = ∫v(t) dt = 40t -t2 + (0,005)/3 t3
Merk op dat we de integratieconstante nu 0 kiezen, want ik kies zelf dat trein 1 op afstand 0 begint.
Voor s2 vinden we eigenlijk direct: 250 + 30t
Dan krijgen we als afstand tussen de twee treinen:
s2 - s1 = 250 - 10t + t2 - (0,005)/3 t3
We kunnen eerst oplossen wanneer trein 1 (vooropgesteld dat er niet gebotst wordt) stilstaat.
We kunnen 21.11s invullen in s1 en s2. Dan blijkt dat s1 op 414m is, en s2 op 883.4m. s1 heeft s2 dus niet ingehaald. Dat zegt strict-genomen niet dat ze niet botsen, maar aan de hand van de afgeleide van s1 (v1) is te zien dat op het interval van 0..21.11 de functie monotoon stijgend is. En dat geldt ook voor s2.
Als ze wel zouden botsen zou het moeilijker worden, want s2 - s1 is een derde graads vergelijking en die is weliswaar met de hand op te lossen met Cardano's manier, maar dat is niet triviaal.
Op zondag 30 mei 2004 22:06 schreef Croupouque het volgende:
"De slimste van FOK!", dat is net zoiets als 'de minst stinkende drol op de mesthoop'.
"De slimste van FOK!", dat is net zoiets als 'de minst stinkende drol op de mesthoop'.
wil niet mierenneuken, op slakken zout strooien of andersoortig ongein doen, maar het zijn geen randvoorwaarden.quote:Op dinsdag 19 februari 2008 21:40 schreef Iblis het volgende:
Zoiets wordt een randvoorwaarde genoemd, en dat is eigenlijk wat je integratieconstante bepaalt.
Het is in feite een beginwaardeprobleem van een erg simpele differentiaalvergelijking.
Randvoorwaarden zijn bijvoorbeeld het domein: {(x,y),x>0,y>0} en het bereik
Imperare sibi maximum imperium est
overigens, waarom rijden die twee treinen überhaupt op datzelfde spoor op dat moment en waarom stopt juist de voorste? reken dat maar eens uit! 
Imperare sibi maximum imperium est
Je hebt gelijk. Mea culpa.quote:Op dinsdag 19 februari 2008 23:42 schreef de_priester het volgende:
[..]
wil niet mierenneuken, op slakken zout strooien of andersoortig ongein doen, maar het zijn geen randvoorwaarden.
Het is in feite een beginwaardeprobleem van een erg simpele differentiaalvergelijking.
Randvoorwaarden zijn bijvoorbeeld het domein: {(x,y),x>0,y>0} en het bereik
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Hey Iblis, hoe doe jij die geile integraaltekentjes?
Ik schrijf boeken over wetenschap en filosofie!
https://www.epsilon-uitga(...)e-tijd-materie/10996
https://www.spectrumboeke(...)k-niet-9789000386765
https://www.spectrumboeke(...)tronen-9789000395071
https://www.epsilon-uitga(...)e-tijd-materie/10996
https://www.spectrumboeke(...)k-niet-9789000386765
https://www.spectrumboeke(...)tronen-9789000395071
Ik copy-paste ze. B.v. van Integral sign. Maar & int; moet ook werken. ∫ x dx = 1/2x2.quote:Op woensdag 20 februari 2008 10:09 schreef Haushofer het volgende:
Hey Iblis, hoe doe jij die geile integraaltekentjes?
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Tovquote:Op woensdag 20 februari 2008 10:25 schreef Iblis het volgende:
[..]
Ik copy-paste ze. B.v. van Integral sign. Maar & int; moet ook werken. ∫ x dx = 1/2x2.
Totdat LaTeX hier wordt geïmplementeerd moeten we het hier maar mee doen, denk ik
Ik schrijf boeken over wetenschap en filosofie!
https://www.epsilon-uitga(...)e-tijd-materie/10996
https://www.spectrumboeke(...)k-niet-9789000386765
https://www.spectrumboeke(...)tronen-9789000395071
https://www.epsilon-uitga(...)e-tijd-materie/10996
https://www.spectrumboeke(...)k-niet-9789000386765
https://www.spectrumboeke(...)tronen-9789000395071
Nonsens, de term "randvoorwaarden" wordt vaak genoeg gebruikt om in het algemeen een set voorwaarden aan de rand van het domein van een d.v. aan te duiden.quote:Op dinsdag 19 februari 2008 23:42 schreef de_priester het volgende:
[..]
wil niet mierenneuken, op slakken zout strooien of andersoortig ongein doen, maar het zijn geen randvoorwaarden.
Het is in feite een beginwaardeprobleem van een erg simpele differentiaalvergelijking.
Randvoorwaarden zijn bijvoorbeeld het domein: {(x,y),x>0,y>0} en het bereik
heeft de hoop dat het allemaal stiekum toch nog goed komt...
Fotoboek
Fotoboek
Nog een paar integralen dan waar ik (nog) niet uitkom.
Per integraal zal ik mijn idee vermelden;
A: f(x) = sin^3(x)
f(x) = sin(x) * sin^2(x)
ik herschijf dit als f(x) = sin(x) * (0,5 - 0,5*cos(2x))
vervolgens uitvermenigvuldigen
f(x) = 0,5sin(x) - 0,5sin(x)cos(x)
vervolgens de regel: sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
f(x) = 0,5sin(x) - 0,25sin(x)
f(x) = 0,25sin(x)
maar ik weet niet zeker of deze stappen correct zijn.
B:f(x) = sin (x + sin(x))
ik deed de substitutie y=sin x met dy=cos(x)dx en x=arcsin(y)
ik hoopte dan dat de "sin" en "arcsin" elkaar ergens zouden gaan opheffen.
f(x) = sin (arcsin(y) + y )
en dan verder... misschien met de regel sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y ?
C: f(x) = sqrt(1-x^2)
Dit lijkt op iets in de richting van arcsin. Dus ik deed subs y= arcsin (x) met dy=1/(1-x^2) dx
Maar ook dan loop ik nog vast of zie ik iets over het hoofd?
Alvast bedankt!
Per integraal zal ik mijn idee vermelden;
A: f(x) = sin^3(x)
f(x) = sin(x) * sin^2(x)
ik herschijf dit als f(x) = sin(x) * (0,5 - 0,5*cos(2x))
vervolgens uitvermenigvuldigen
f(x) = 0,5sin(x) - 0,5sin(x)cos(x)
vervolgens de regel: sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
f(x) = 0,5sin(x) - 0,25sin(x)
f(x) = 0,25sin(x)
maar ik weet niet zeker of deze stappen correct zijn.
B:f(x) = sin (x + sin(x))
ik deed de substitutie y=sin x met dy=cos(x)dx en x=arcsin(y)
ik hoopte dan dat de "sin" en "arcsin" elkaar ergens zouden gaan opheffen.
f(x) = sin (arcsin(y) + y )
en dan verder... misschien met de regel sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y ?
C: f(x) = sqrt(1-x^2)
Dit lijkt op iets in de richting van arcsin. Dus ik deed subs y= arcsin (x) met dy=1/(1-x^2) dx
Maar ook dan loop ik nog vast of zie ik iets over het hoofd?
Alvast bedankt!
kloep kloep
Dit is fout. Het is cos(2x), en niet cos(x)quote:Op woensdag 20 februari 2008 19:53 schreef Borizzz het volgende:
ik herschijf dit als f(x) = sin(x) * (0,5 - 0,5*cos(2x))
vervolgens uitvermenigvuldigen
f(x) = 0,5sin(x) - 0,5sin(x)cos(x)
HJ 14-punt-gift.
Lijst met rukmateriaal!
Lijst met rukmateriaal!
A kan bijv. ook door te schrijven f(x) = sin(x) * sin^2(x) = sin(x)*(1-cos^2(x)) en dan te substitueren u(x) = cos(x).quote:Op woensdag 20 februari 2008 19:53 schreef Borizzz het volgende:
Nog een paar integralen dan waar ik (nog) niet uitkom.
Per integraal zal ik mijn idee vermelden;
A: f(x) = sin^3(x)
.
heeft de hoop dat het allemaal stiekum toch nog goed komt...
Fotoboek
Fotoboek
Hoe zie je die uitwerking dan voor je? ik zie m niet; omdat er nog een vermenigvuldiging in voorkomt.quote:Op woensdag 20 februari 2008 20:03 schreef keesjeislief het volgende:
[..]
A kan bijv. ook door te schrijven f(x) = sin(x) * sin^2(x) = sin(x)*(1-cos^2(x)) en dan te substitueren u(x) = cos(x).
kloep kloep
Hier gaat het al fout, want je verschrijft de 2x naar x.quote:Op woensdag 20 februari 2008 19:53 schreef Borizzz het volgende:
Nog een paar integralen dan waar ik (nog) niet uitkom.
Per integraal zal ik mijn idee vermelden;
A: f(x) = sin^3(x)
f(x) = sin(x) * sin^2(x)
ik herschijf dit als f(x) = sin(x) * (0,5 - 0,5*cos(2x))
vervolgens uitvermenigvuldigen
Hier gaat het weer mis. Je hebt 2*0.25 * sin(x)*cos(x), dus je krijgt: 0.25*sin(2x)quote:f(x) = 0,5sin(x) - 0,5sin(x)cos(x)
vervolgens de regel: sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
Maar ik had die al voorgedaan. Het makkelijkst is:
∫ sin3(x) dx = ∫ sin(x)(1 - cos2(x)) dx.
Zeg nu: y = cos(x). Dan dy = -sin(x) dx. Als we dat invullen krijgen we:
∫ y2 - 1 dy = 1/3 y3 - y, en dan substitueren we terug:
1/3 cos3(x) + cos(x).
B en C weet ik ook niet.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Oh ja, C kan zoals zo vaak met die dingen door de boel een beetje geschikt uit elkaar te trekken: 2*f(x) = 2*sqrt(1-x^2) = 2*(1-x^2)/sqrt(1-x^2) = (1-x^2)/sqrt(1-x^2) + sqrt(1-x^2) = 1/sqrt(1-x^2) - x^2/sqrt(1-x^2) + sqrt(1-x^2). Nu kun je de eerste term primitiveren tot arcsin(x) en de laatste twee termen samen tot x*sqrt(1-x^2), zodat je primitieve wordt (arcsin(x) + x*sqrt(1-x^2))/2. Ik doe dit vast op een onhandige manier hoor, het ziet er veel te getruct uit zo...quote:Op woensdag 20 februari 2008 19:53 schreef Borizzz het volgende:
C: f(x) = sqrt(1-x^2)
Dit lijkt op iets in de richting van arcsin. Dus ik deed subs y= arcsin (x) met dy=1/(1-x^2) dx
Maar ook dan loop ik nog vast of zie ik iets over het hoofd?
Alvast bedankt!
heeft de hoop dat het allemaal stiekum toch nog goed komt...
Fotoboek
Fotoboek
Nou ja, je krijgt dus, met u(x) = cos(x), dat du(x) = -sin(x)dx en dus ∫ sin(x)*(1-cos^2(x)) dx = ∫ (u^2(x)-1) du(x) = u^3(x) - u(x) = cos(x)^3 - cos(x).quote:Op woensdag 20 februari 2008 20:14 schreef Borizzz het volgende:
[..]
Hoe zie je die uitwerking dan voor je? ik zie m niet; omdat er nog een vermenigvuldiging in voorkomt.
Edit: oh, Iblis had hem ook al opgeschreven zie ik nu.
.
heeft de hoop dat het allemaal stiekum toch nog goed komt...
Fotoboek
Fotoboek
...
Sinus van een sinus? Heb ik nog nooit weten primitiverenquote:B:f(x) = sin (x + sin(x))
ik deed de substitutie y=sin x met dy=cos(x)dx en x=arcsin(y)
ik hoopte dan dat de "sin" en "arcsin" elkaar ergens zouden gaan opheffen.
f(x) = sin (arcsin(y) + y )
en dan verder... misschien met de regel sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y ?
, ben je zeker dat het niet sin(x) * (x+sin(x)) of zo is? 
Meerdere oplossingen voor deze. Dit is hoe ik het doe (is een beetje de algemene methode)quote:C: f(x) = sqrt(1-x^2)
Dit lijkt op iets in de richting van arcsin. Dus ik deed subs y= arcsin (x) met dy=1/(1-x^2) dx
Maar ook dan loop ik nog vast of zie ik iets over het hoofd?
Alvast bedankt!
Stel x= sin (t)
Nu is sqrt(1-x*x)=cos(t)
En dx= sin(t) d t
Dan moet je dus integreren :
cos(t)^2 * dt
of dus (1+cos(2*t))/2 * dt
Dat is t/2+sin(2*t)/4
Of arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x*x)/2
C vroeg je gisteren ook al: ∫sqrt(1-x²)dx = x*sqrt(1-x²) - 1/2* ∫ x/sqrt(1-x²)dx (partieel integreren met f'(x) = 1).
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
hardcore gonio integreren is niet mijn ding jammergenoeg. ik zie dat met omzetten van gonio functies altijd veel te laat
Imperare sibi maximum imperium est
En als er sqrt(1+x*x) of sqrt( x*x-1) staat moet je met de hyperbolische functies gaan werken.quote:Op woensdag 20 februari 2008 22:36 schreef de_priester het volgende:
hardcore gonio integreren is niet mijn ding jammergenoeg. ik zie dat met omzetten van gonio functies altijd veel te laat
Ik vind het best leuk, dit meezoeken naar integralen (je zou ervan schrikken hoe weinig wiskundigen dat zelf zitten te doen
)
Hoe komt je aan die substitutie? Ik kom uit op sin(x)=-dy/dx en na terug invullen 1/3y^3 -y terwijl jij op een + uitkomt. Waarvandaan in eens die + ?quote:Op woensdag 20 februari 2008 20:17 schreef Iblis het volgende:
[..]
Zeg nu: y = cos(x). Dan dy = -sin(x) dx. Als we dat invullen krijgen we:
∫ y2 - 1 dy = 1/3 y3 - y, en dan substitueren we terug:
1/3 cos3(x) + cos(x).
kloep kloep
Jij hebt gelijk, ik vergiste me gewoon.quote:Op woensdag 20 februari 2008 22:43 schreef Borizzz het volgende:
[..]
Hoe komt je aan die substitutie? Ik kom uit op sin(x)=-dy/dx en na terug invullen 1/3y^3 -y terwijl jij op een + uitkomt. Waarvandaan in eens die + ?
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Hoe krijg jij nu cos^(t) omgeschreven naar een cos(2*t) vorm?quote:Op woensdag 20 februari 2008 21:00 schreef zuiderbuur het volgende:
[..]
Sinus van een sinus? Heb ik nog nooit weten primitiveren
[..]
[\quote]
Nee, het is echt een sinus van een sinus
[quote]
Meerdere oplossingen voor deze. Dit is hoe ik het doe (is een beetje de algemene methode)
Stel x= sin (t)
Nu is sqrt(1-x*x)=cos(t)
En dx= sin(t) d t
Dan moet je dus integreren :
cos(t)^2 * dt
of dus (1+cos(2*t))/2 * dt
Dat is t/2+sin(2*t)/4
Of arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x*x)/2
Welke gonio formules zitten hier achter?
kloep kloep
Als die B werkelijk sinus van een sinus is, dan denk ik dat iemand met jou aan het sollen isquote:Op woensdag 20 februari 2008 22:57 schreef Borizzz het volgende:
[..]
Hoe krijg jij nu cos^(t) omgeschreven naar een cos(2*t) vorm?
Welke gonio formules zitten hier achter?
. Maple ziet in elk geval totaal geen oplossing.Voor die cosinussen en sinussen moet je de volgende formules kennen :
cos( 2 * t) = cos(t)^2-sin(t)^2 of nog =1-2*sin(t)^2=2*cos(t)^2-1
sin(2*t)=2*sin(t)*cos(t)
Moesten wij van onze leerkracht kunnen afdreunen, een week lang elke dag test.
Ach ja, die formules. Daar was ik nooit een ster in. Maar, er is uitkomst, namelijk Eulers formule:quote:Op woensdag 20 februari 2008 23:00 schreef zuiderbuur het volgende:
[..]
Als die B werkelijk sinus van een sinus is, dan denk ik dat iemand met jou aan het sollen is
Voor die cosinussen en sinussen moet je de volgende formules kennen :
cos( 2 * t) = cos(t)^2-sin(t)^2 of nog =1-2*sin(t)^2=2*cos(t)^2-1
sin(2*t)=2*sin(t)*cos(t)
Moesten wij van onze leerkracht kunnen afdreunen, een week lang elke dag test.
eiφ = cos φ + i sin φ
En die kan ik wel onthouden (en die is ook heel inzichtelijk af te leiden met een plaatje.)
Zo hebben we:
ei(a + b) = cos(a + b) + i sin(a + b) enerzijds, maar ook:
ei(a + b) = eia + ib = eiaeib = (cos a + i sin a)(cos b + i sin b = (cos a cos b- sin a sin b) + i(sin a cos b + cos a sin b)
En uit het reële en imaginaire deel lezen we nu direct af:
cos(a + b) = cos a cos b- sin a sin b
En:
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
En dan ben je al heel ver. Want neem a = b:
cos(2a) = cos2a - sin2a
sin(2a) = 2(sin a cos a)
Ook vind je zo dat:
sin a = 1/2i(eia - e-ia)
cos a = 1/2(eia + e-ia)
Wat direct geeft:
sin2 a = -1/4 * (e2ia - 2e0 + e-2ia)
= (1 - cos(2a))/2
Kortom. Op de middelbare school zouden ze die formule moeten leren.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Bij die laatste integraal schrijf je:
Dat is t/2+sin(2*t)/4
Of arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x*x)/2
Ik begrijp niet helemaal hoe je daar komt; je hebt de subsitutie x=sin(t) dus t=arcsin(x);
dus dat eerste stukje volg ik wel maar het tweede niet.
hoe kom je er dus bij dat 0,25sin(2t) gelijk is aan x*sqrt(1-x^2)/2 ?
[ Bericht 25% gewijzigd door Borizzz op 21-02-2008 13:21:02 ]
Dat is t/2+sin(2*t)/4
Of arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x*x)/2
Ik begrijp niet helemaal hoe je daar komt; je hebt de subsitutie x=sin(t) dus t=arcsin(x);
dus dat eerste stukje volg ik wel maar het tweede niet.
hoe kom je er dus bij dat 0,25sin(2t) gelijk is aan x*sqrt(1-x^2)/2 ?
[ Bericht 25% gewijzigd door Borizzz op 21-02-2008 13:21:02 ]
kloep kloep
