SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Dus het komt er, kort gezegd, op neer dat als je een functie f(x) ^ g(x) differentieert dat je het schijft als
exp(ln(f(x)^g(x)).
dit is ook exp(ln(f(x))*g(x)
en dan kan met de kettingregel en productregel via (standaardregels dus) f'(x) gevonden worden.
ik krijg dan
y= x^x
y= e^ln(x^x)
y= e^xlnx
y=e^u
u=xlnx met u'=lnx+1
y'=e^u * u'
y'=e^xlnx * (lnx+1)
Maar dit komt nog niet geheel overeen met de oplossing, toch?
exp(ln(f(x)^g(x)).
dit is ook exp(ln(f(x))*g(x)
en dan kan met de kettingregel en productregel via (standaardregels dus) f'(x) gevonden worden.
ik krijg dan
y= x^x
y= e^ln(x^x)
y= e^xlnx
y=e^u
u=xlnx met u'=lnx+1
y'=e^u * u'
y'=e^xlnx * (lnx+1)
Maar dit komt nog niet geheel overeen met de oplossing, toch?
kloep kloep
Ja, al zou ik op het einde die e^( x* ln(x) ) weer herschrijven als x^x.
Maar wat ik doorgaans doe is die formule van f^g rechtstreeks toe te passen, hoef ik niet altijd langs die e^.. te gaan.
Maar wat ik doorgaans doe is die formule van f^g rechtstreeks toe te passen, hoef ik niet altijd langs die e^.. te gaan.
Voor mij is het weer even oefenen; hoe herschrijf je dan e^xlnx weer als x^x?
ps: bedankt voor die formule; die zal denk ik zeer bruikbaar worden.
ps: bedankt voor die formule; die zal denk ik zeer bruikbaar worden.
kloep kloep
Ja, je moet iets meer haakjes gebruiken eigenlijk zoals e^(x ln x), doat ik goed weet wat waar staat, maar voor de rest lijkt het me goed.
En wat dat herschrijven betreft:
Je begint met:
y = x^x = exp(ln(x^x)) = exp(x ln(x))
Ofwel: y = exp(x ln(x)), maar ook x^x = exp(x ln(x)). Dat =-teken zegt dat dat allemaal aan elkaar gelijk is.
Dus als:
log(a^b) = b log(a), dan ook b log(a) = log(a^b) natuurlijk.
En wat dat herschrijven betreft:
Je begint met:
y = x^x = exp(ln(x^x)) = exp(x ln(x))
Ofwel: y = exp(x ln(x)), maar ook x^x = exp(x ln(x)). Dat =-teken zegt dat dat allemaal aan elkaar gelijk is.
Dus als:
log(a^b) = b log(a), dan ook b log(a) = log(a^b) natuurlijk.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Dan nog eens de formule toepassen op y=x^x
f=x f'=1
g=x g'=1
y' = f'*g*f^g-1 + ln(f)*g'*f^g
dan volgt
y'= 1*x*x^x-1 + ln(x)*1*x^x
y'= x*x^x-1 +x^xlnx
maar dit is nog niet het antwoord dat we zoeken; ik kan daar niet het antwoord van maken dat we in het begin hadden.
f=x f'=1
g=x g'=1
y' = f'*g*f^g-1 + ln(f)*g'*f^g
dan volgt
y'= 1*x*x^x-1 + ln(x)*1*x^x
y'= x*x^x-1 +x^xlnx
maar dit is nog niet het antwoord dat we zoeken; ik kan daar niet het antwoord van maken dat we in het begin hadden.
kloep kloep
Ik vind dit een beetje moelijk te volgen. Ik denk dat je dit bedoelt:quote:Op zaterdag 16 februari 2008 14:18 schreef Borizzz het volgende:
Dan nog eens de formule toepassen op y=x^x
f=x f'=1
g=x g'=1
y' = f'*g*f^g-1 + ln(f)*g'*f^g
dan volgt
y'= 1*x*x^x-1 + ln(x)*1*x^x
y'= x*x^x-1 +x^xlnx
maar dit is nog niet het antwoord dat we zoeken; ik kan daar niet het antwoord van maken dat we in het begin hadden.
f = x, f' = 1
g = x, g' = 1
y = x^x, en we schrijven dat als: exp(x ln(x) ), ofwel exp(g * ln(f) ). Nu zeggen we u = g ln(f).
Dan hebben we dus:
y = exp(u). Dan weten we:
y' = u'*exp(u), volgens de kettingregel.
u' = (g ln(f))', en dan productregel: = g'ln(f) + g/f, kortom:
y' = (g'ln(f) + g/f)*exp(u)
Nu vervangen we u weer:
y' = (g'ln(f) + g/f)*exp(g ln (f))
Nu vervangen we de f, g, f' en g':
y' = (1 * ln(x) + x/x)*exp(x ln(x))
y' = (ln(x) + 1)*exp(x ln(x))
En die rechter term is dus gelijk aan x^x, want exp(x ln(x)) = exp(ln(x)^x), en dan "vallen e en ln tegen elkaar weg", dus:
y' = (ln(x) +1)x^x
Wat jij precies doet bij "y' = f'*g*f^g-1 + ln(f)*g'*f^g " is me niet helemaal duidelijk. Volgens mij gaat de toepassing van de kettingregel niet helemaal goed.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Akkoord; ik heb m helemaal uitgewerkt en ik snap 'm. Bedankt!quote:Op zaterdag 16 februari 2008 14:10 schreef Iblis het volgende:
Ja, je moet iets meer haakjes gebruiken eigenlijk zoals e^(x ln x), doat ik goed weet wat waar staat, maar voor de rest lijkt het me goed.
En wat dat herschrijven betreft:
Je begint met:
y = x^x = exp(ln(x^x)) = exp(x ln(x))
Ofwel: y = exp(x ln(x)), maar ook x^x = exp(x ln(x)). Dat =-teken zegt dat dat allemaal aan elkaar gelijk is.
Dus als:
log(a^b) = b log(a), dan ook b log(a) = log(a^b) natuurlijk.
Wat alleen nog rest is het toepassen van de formule op y=x^x; dan kom ik (nog) niet uit op
y'= ln(x+1)* x^x
kloep kloep
Ik doe bij het toepassen van de formule niet meer dan invullen. er bestaat volgens zuiderbuur een formule om de afgeleide te vinden voor y="f^g; deze wordt weergegeven door y=f'' *g * f^(g-1) + ln(f)* g' * f^g
f=x f' =1 , g=x en g'=1 invullen levert
y' = 1*x*x^(x-1) + ln(x)*1*x^x
y'= x*x^(x-1) +x^xln(x)
Volgens mij zit hier dan geen fout in.
Dit moet nog wel y' = (ln(x)+1)* x^x worden. Hoe gaat dan die laatste omzetting?
[ Bericht 2% gewijzigd door Borizzz op 16-02-2008 15:00:56 ]
f=x f' =1 , g=x en g'=1 invullen levert
y' = 1*x*x^(x-1) + ln(x)*1*x^x
y'= x*x^(x-1) +x^xln(x)
Volgens mij zit hier dan geen fout in.
Dit moet nog wel y' = (ln(x)+1)* x^x worden. Hoe gaat dan die laatste omzetting?
[ Bericht 2% gewijzigd door Borizzz op 16-02-2008 15:00:56 ]
kloep kloep
x*x^(x-1) kun je vereenvoudigen, dit is x^x. Immers x * (x * x .... * x) (tussen haakjes staan x-1 factoren), geeft x^x in totaal.quote:Op zaterdag 16 februari 2008 14:41 schreef Borizzz het volgende:
Ik doe bij het toepassen van de formule niet meer dan invullen. er bestaat volgens zuiderbuur een formule om de afgeleide te vinden voor y="f^g; deze wordt weergegeven door y=f'' *g * f^(g-1) + ln(f)* g' * f^g
f=x f' =1 , g=x en g'=1 invullen levert
y' = 1*x*x^(x-1) + ln(x)*1*x^x
y'= x*x^(x-1) +x^xln(x)
Volgens mij zit hier dan geen fout in.
Dit moet nog wel y' = ln(x+1)* x^x worden. Hoe gaat dan die laatste omzetting?
Dan heb je dus:
x^x + x^xln(x)
Haal x^x buiten haakjes:
x^x(1 + ln(x))
En je bent er. ln(x + 1) is wat anders dan ln(x) + 1. Ik had die post van Zuiderbuur even over het hoofd gezien en was direct bij pagian 3 begonnen.
[edit]
Ah, je hebt zelf die typo al verbeterd.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Je hebt wel f'' geschreven terwijl het f' is, maar dat was vast een tikfoutje.quote:Op zaterdag 16 februari 2008 14:41 schreef Borizzz het volgende:
Ik doe bij het toepassen van de formule niet meer dan invullen. er bestaat volgens zuiderbuur een formule om de afgeleide te vinden voor y="f^g; deze wordt weergegeven door y=f'' *g * f^(g-1) + ln(f)* g' * f^g
Die is er volgens mij ook niet.quote:f=x f' =1 , g=x en g'=1 invullen levert
y' = 1*x*x^(x-1) + ln(x)*1*x^x
y'= x*x^(x-1) +x^xln(x)
Volgens mij zit hier dan geen fout in.
ln(x+1)?quote:Dit moet nog wel y' = ln(x+1)* x^x worden. Hoe gaat dan die laatste omzetting?
neen, dat moet toch ln(x) +1 zijn?
[ Bericht 4% gewijzigd door zuiderbuur op 16-02-2008 15:10:41 ]
Ik heb nog een oefening gedaan. Bij f(x)=2^2x kom ik uit op:
f(x)=e^ln(2^2x)
f(x)=e^2x(ln(2))
neem u=2xln(2) dan u' = 2ln(2)
f'(x) = e^u * u'
f'(x) = e^2xln(2) * 2ln(2)
f'(x)= 2^2x * ln(2) ; en volgens mij is hierin geen fout.
Maar antwoordenboek zegt f'(x) = ln(2) * 2^(2x+1).
Hoe gaat dat laatste stapje?
f(x)=e^ln(2^2x)
f(x)=e^2x(ln(2))
neem u=2xln(2) dan u' = 2ln(2)
f'(x) = e^u * u'
f'(x) = e^2xln(2) * 2ln(2)
f'(x)= 2^2x * ln(2) ; en volgens mij is hierin geen fout.
Maar antwoordenboek zegt f'(x) = ln(2) * 2^(2x+1).
Hoe gaat dat laatste stapje?
kloep kloep
Volgens mij wel.quote:Op zondag 17 februari 2008 12:24 schreef Borizzz het volgende:
Ik heb nog een oefening gedaan. Bij f(x)=2^2x kom ik uit op:
f(x)=e^ln(2^2x)
f(x)=e^2x(ln(2))
neem u=2xln(2) dan u' = 2ln(2)
f'(x) = e^u * u'
f'(x) = e^2xln(2) * 2ln(2)
f'(x)= 2^2x * ln(2) ; en volgens mij is hierin geen fout.
Het gaat goed tot: f'(x) = e^(2x ln(2)) * 2ln(2).Dan vervang je de linker factor weer door 2^2x, en krijg je:
2^2x * 2ln(2)
Maar jij hebt daar een twee verdoezeld!
En die 2 kun je samenbrengen met 2^2x (immers, 2 = 2^1):
En dan krijg je:
2^(2x + 1)*ln(2)
Wat overeenkomt met je antwoordenboek:
quote:Maar antwoordenboek zegt f'(x) = ln(2) * 2^(2x+1).
Hoe gaat dat laatste stapje?
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Overigens is deze opgave wel eenvoudiger op te lossen:
22x = (2^2)^x = 4x.
Gebruik nu de standaardafgeleide van nx die ln(n)nx is.
Dan krijg je:
ln(4) 4x als antwoord.
Dat dit hetzelfde is kun je als volgt zien:
ln(4) = ln(2*2) = ln(2) + ln(2) = 2ln(2).
Als alternatief kun je ervoor kiezen 22x niet te herschrijven maar gewoon de kettingregel te gebruiken:
dz/dx = dz/dy * dy/dx:
Neem: z = 2y; y = 2x.
Dan: dz/dy = ln(2) * 2y.
En: dy/dx = 2
Dus:
dz/dy * dy/dx = ln(2)*22x * 2 = ln(2)*22x + 1
[edit]
De truc met exp en ln die gebruikt wordt is vooral van belang als zowel grondterm als exponent van 'x' afhankelijk zijn. Dus xx bijvoorbeeld, of 3x5x. Als alleen de grondterm of alleen de exponent van x afhankelijk is, ben je meestal makkelijker af met de standaardafgeleiden.
22x = (2^2)^x = 4x.
Gebruik nu de standaardafgeleide van nx die ln(n)nx is.
Dan krijg je:
ln(4) 4x als antwoord.
Dat dit hetzelfde is kun je als volgt zien:
ln(4) = ln(2*2) = ln(2) + ln(2) = 2ln(2).
Als alternatief kun je ervoor kiezen 22x niet te herschrijven maar gewoon de kettingregel te gebruiken:
dz/dx = dz/dy * dy/dx:
Neem: z = 2y; y = 2x.
Dan: dz/dy = ln(2) * 2y.
En: dy/dx = 2
Dus:
dz/dy * dy/dx = ln(2)*22x * 2 = ln(2)*22x + 1
[edit]
De truc met exp en ln die gebruikt wordt is vooral van belang als zowel grondterm als exponent van 'x' afhankelijk zijn. Dus xx bijvoorbeeld, of 3x5x. Als alleen de grondterm of alleen de exponent van x afhankelijk is, ben je meestal makkelijker af met de standaardafgeleiden.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Oke; bedankt! Ik was al een heel eind. Gisteren op dit tijdstip had ik dit nog niet gekund
En inderdaad kan deze opgave eenvoudiger; maar ik wilde perse oefenen met die (voor mij nieuwe) manier van oplossen.
Vanavond ga ik kijken of ik f(x)=(x^2+1)^sin(x) kan oplossen op deze manier van overgaan op grondtal e; zie een voorbeeld van gisteren in dit topic.
En inderdaad kan deze opgave eenvoudiger; maar ik wilde perse oefenen met die (voor mij nieuwe) manier van oplossen.
Vanavond ga ik kijken of ik f(x)=(x^2+1)^sin(x) kan oplossen op deze manier van overgaan op grondtal e; zie een voorbeeld van gisteren in dit topic.
kloep kloep
Ik kom op één manier niet uit het volgende al is het maar een 1e orde; 
Opdracht 4: Bepaal de oplossing van de homogene DV (3.1) (dus met K=0) met behulp van de methode van scheiding van variabelen. Neem vervolgens als randvoorwaarde: y(0) = 40, en geef de oplossing voor y(t)
Opdracht 4: Bepaal de oplossing van de homogene DV (3.1) (dus met K=0) met behulp van de methode van scheiding van variabelen. Neem vervolgens als randvoorwaarde: y(0) = 40, en geef de oplossing voor y(t)
Ik weet niet wat je tau is, maar je krijgt met K=0quote:Op zondag 17 februari 2008 14:27 schreef dynamiet het volgende:
Ik kom op één manier niet uit het volgende al is het maar een 1e orde;
[ afbeelding ]
Opdracht 4: Bepaal de oplossing van de homogene DV (3.1) (dus met K=0) met behulp van de methode van scheiding van variabelen. Neem vervolgens als randvoorwaarde: y(0) = 40, en geef de oplossing voor y(t)
Beide kanten integreren levert
y(t) = A*e-(t+tau) op, waarbij ik voor het gemak de integratieconstante even heb omgeschreven naar A. y(0) = 40 geeft
40 = A*e-tau op, dus heb je tau nodig om A te verkrijgen.
Ik schrijf boeken over wetenschap en filosofie!
https://www.epsilon-uitga(...)e-tijd-materie/10996
https://www.spectrumboeke(...)k-niet-9789000386765
https://www.spectrumboeke(...)tronen-9789000395071
https://www.epsilon-uitga(...)e-tijd-materie/10996
https://www.spectrumboeke(...)k-niet-9789000386765
https://www.spectrumboeke(...)tronen-9789000395071
Ik zie niet hoe je hier scheiding van variabelen kunt gebruiken, ik dacht dat dat inhield dat je bij een d.v. die een functie in meer variabelen beschrijft je de oplossing probeert te schrijven als produkt van functies in de afzonderlijke variabelen. Je hebt hier maar 1 variabele en de d.v. is heel makkelijk direct op te lossen via een e-macht: y(t) = y(0)*eat, waarbij a = -1/tau.quote:Op zondag 17 februari 2008 14:27 schreef dynamiet het volgende:
Ik kom op één manier niet uit het volgende al is het maar een 1e orde;
[ afbeelding ]
Opdracht 4: Bepaal de oplossing van de homogene DV (3.1) (dus met K=0) met behulp van de methode van scheiding van variabelen. Neem vervolgens als randvoorwaarde: y(0) = 40, en geef de oplossing voor y(t)
heeft de hoop dat het allemaal stiekum toch nog goed komt...
Fotoboek
Fotoboek
Super man! dit is precies wat ik even nodig had!!quote:Op zondag 17 februari 2008 14:39 schreef Haushofer het volgende:
[..]
Ik weet niet wat je tau is, maar je krijgt met K=0tau*dy/dt + y = 0
[...]
Ohw, dan heb ik een rekenfoutje gemaakt. Ik kom op y~e-(t+tau) uit.quote:Op zondag 17 februari 2008 14:46 schreef keesjeislief het volgende:
[..]
Ik zie niet hoe je hier scheiding van variabelen kunt gebruiken, ik dacht dat dat inhield dat je bij een d.v. die een functie in meer variabelen beschrijft je de oplossing probeert te schrijven als produkt van functies in de afzonderlijke variabelen. Je hebt hier maar 1 variabele en de d.v. is heel makkelijk direct op te lossen via een e-macht: y(t) = y(0)*eat, waarbij a = -1/tau.
Ik schrijf boeken over wetenschap en filosofie!
https://www.epsilon-uitga(...)e-tijd-materie/10996
https://www.spectrumboeke(...)k-niet-9789000386765
https://www.spectrumboeke(...)tronen-9789000395071
https://www.epsilon-uitga(...)e-tijd-materie/10996
https://www.spectrumboeke(...)k-niet-9789000386765
https://www.spectrumboeke(...)tronen-9789000395071
Ik kom op hetzelfde als keesje uit, je integraal is waarschijnlijk fout gegaan.quote:Op zondag 17 februari 2008 15:00 schreef Haushofer het volgende:
[..]
Ohw, dan heb ik een rekenfoutje gemaakt. Ik kom op y~e-(t+tau) uit.
Bij jou geldt dat tau*dy/dt + y = tau*-t*y + y != 0.
Bij keesje geldt netjes dat tau*dy/dt + y = tau*-1/tau*y + y = 0.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
DV's zijn niet helemaal mijn ding, maar vooruit, ik kwam ook op de oplossing van keesje uit. Maar dit is toch geen scheiding van variabelen? Je hebt links een dy en rechts een y. Ik zou het zo verder doen:quote:Op zondag 17 februari 2008 14:39 schreef Haushofer het volgende:
[..]
Ik weet niet wat je tau is, maar je krijgt met K=0tau*dy/dt + y = 0 tau*dy=-y*dt
Beide kanten integreren levert
y(t) = A*e-(t+tau) op, waarbij ik voor het gemak de integratieconstante even heb omgeschreven naar A. y(0) = 40 geeft
40 = A*e-tau op, dus heb je tau nodig om A te verkrijgen.
tau dy = -y dt
tau (1/y)dy = -dt
Beide zijden integreren:
tau ln(y) = -t + C
ln(y) = (-t + C)/tau
y = exp(-t/tau + C/tau)
y = exp(-t/tau)*exp(C/tau)
Met y(0) = 40 kunnen we nu vinden dat:
40 = exp(0)*exp(C/tau), ofwel: exp(C/tau) = 40.
Ergo:
y = 40exp(-t/tau)
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Ja, klopt, ik heb een rekenfout gemaakt. Logisch ook, want het argument van de e-macht moet eenheidsloos zijn.quote:Op zondag 17 februari 2008 15:16 schreef GlowMouse het volgende:
[..]
Ik kom op hetzelfde als keesje uit, je integraal is waarschijnlijk fout gegaan.
Bij jou geldt dat tau*dy/dt + y = tau*-t*y + y != 0.
Bij keesje geldt netjes dat tau*dy/dt + y = tau*-1/tau*y + y = 0.
En dit is dan het scheiden van variabelenquote:Op zondag 17 februari 2008 15:40 schreef Iblis het volgende:
[..]
DV's zijn niet helemaal mijn ding, maar vooruit, ik kwam ook op de oplossing van keesje uit. Maar dit is toch geen scheiding van variabelen? Je hebt links een dy en rechts een y. Ik zou het zo verder doen:
tau dy = -y dt
tau (1/y)dy = -dt
Ik schrijf boeken over wetenschap en filosofie!
https://www.epsilon-uitga(...)e-tijd-materie/10996
https://www.spectrumboeke(...)k-niet-9789000386765
https://www.spectrumboeke(...)tronen-9789000395071
https://www.epsilon-uitga(...)e-tijd-materie/10996
https://www.spectrumboeke(...)k-niet-9789000386765
https://www.spectrumboeke(...)tronen-9789000395071
