[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Geen huiswerk vraag maar gezien de bovenstaande post:
Snappen de meeste VWO wiskunde B/D'ers waarom bijvoorbeeld sin(A+B) gelijk staat aan SinACosB + CosASinB? Ik heb, dankzij falend onderwijs, nooit iets over sin/cos/tan gehad en zie vaak mensen met dit soort regels komen. Hoor je al die regels te snappen? Of is het een kwestie van de regels stampen en toepassen?

(Wil wellicht zelf Wiskunde B/D doen dus vraag dit uit interesse)

Hier een bewijsje.
http://www.khanacademy.or(...)cos-b?p=Trigonometry
http://www.khanacademy.or(...)sin-b?p=Trigonometry

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 01:10 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Hier een bewijsje.
http://www.khanacademy.or(...)cos-b?p=Trigonometry
http://www.khanacademy.or(...)sin-b?p=Trigonometry

Die bewijzen met behulp van rechthoekige driehoeken vind ik niet fraai, omdat ze uitsluitend gelden voor scherpe hoeken α en β, terwijl er in de figuren bovendien vanuit wordt gegaan dat ook α+β een scherpe hoek is. De additietheorema's gelden echter voor willekeurige hoeken (rotaties), zowel positief als negatief. Er is een veel fraaier bewijs mogelijk met vectoren en de eenheidscirkel dat wél geldt voor willekeurige hoeken (rotaties), maar ik vind zo gauw geen webpagina waar dat goed wordt uitgelegd.

Ze zijn vrij makkelijk te bewijzen met de e-macht

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 09:17 schreef thenxero het volgende:
Ze zijn vrij makkelijk te bewijzen met de e-macht

Dat lijkt maar zo. Als je, zoals op de middelbare school gebeurt, de goniometrische functies meetkundig definieert aan de hand van de eenheidscirkel, dan zou je eerst nog complexe getallen en de formules van De Moivre en Euler moeten behandelen (en afleiden) alvorens je daarmee dan de additietheorema's aantoont. Maar afgezien daarvan dat je dan didactisch een enorme omweg hebt gemaakt begeef je je dan in een cirkelredenering (no pun intended), want om te laten zien dat bij vermenigvuldiging van twee complexe getallen de argumenten optellen heb je dan ook al van de additietheorema's voor de cosinus en sinus gebruik gemaakt. Ik heb daar een hele tijd geleden op dit forum ook al eens op gewezen.

Kan iemand mij verklaren waarom de afgeleide van x keer e^x = (1+x) keer e^x?

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 13:46 schreef Pipo1234 het volgende:
Kan iemand mij verklaren waarom de afgeleide van x keer e^x gelijk is aan (1+x) keer e^x?

Pas de productregel toe om xe^x te differentiëren naar x en haal dan bij het resultaat e^x buiten haakjes.

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 13:56 schreef Riparius het volgende:

[..]

Pas de productregel toe om xe^x te differentiëren naar x en haal dan bij het resultaat e^x buiten haakjes.

x keer e^x keer (1) = 1x keer e^x... waarom moet die e^x eruit gehaald worden?

Even iets tussendoor: Hoe kan ik van de wortel van 4,5 naar 1,5 keer de wortel van 2 komen? Aangezien het antwoord daarmee komt en het feitelijk hetzelfde is. Is het trouwens zo dat een negatieve wortel niet mag. Dus op de volgende wijze: -SRT(2) (en dus niet de wortel van een negatief getal).

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 14:37 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

x keer e^x keer (1) = 1x keer e^x... waarom moet die e^x eruit gehaald worden?

Je kent de productregel? Deze toepassen op de functie levert .

quote:

Even iets tussendoor: Hoe kan ik van de wortel van 4,5 naar 1,5 keer de wortel van 2 komen? Aangezien het antwoord daarmee komt en het feitelijk hetzelfde is.

quote:

Is het trouwens zo dat een negatieve wortel niet mag. Dus op de volgende wijze: -SRT(2) (en dus niet de wortel van een negatief getal).

Dat klopt, de wortel van een negatief getal bestaat niet (niet in de reële getallen in ieder geval).

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 14:37 schreef Pipo1234 het volgende:

[..]

x keer e^x keer (1) = 1x keer e^x... waarom moet die e^x eruit gehaald worden?

wordt enkel gedaan om het eenvoudiger op te schrijven e^x + x*e^x = e^x * (1+x)
beetje hetzelfde als een breuk vereenvoudigen 2/4 is niet fout als antwoord maar toch schrijf je dan altijd 1/2 op

quote:

Even iets tussendoor: Hoe kan ik van de wortel van 4,5 naar 1,5 keer de wortel van 2 komen?

quote:

Aangezien het antwoord daarmee komt en het feitelijk hetzelfde is. Is het trouwens zo dat een negatieve wortel niet mag. Dus op de volgende wijze: -SRT(2) (en dus niet de wortel van een negatief getal).

Wortel van een negatief getal bestaat niet (enkel complex), maar je kan wel min de wortel van een positief getal hebben.

niet: wortel(-4)
wel: - wortel(4)

Bedankt voor alle verhelderende antwoorden!

quote:

Op woensdag 4 mei 2011 10:47 schreef thabit het volgende:
f_n is ongeveer f_n-1 * (1 + 1/b). In elk geval zit het tussen f_n-1 * (1 + 1/b) en f_n-1 * (1 + 1/b) + 1. Dus f_n zal ongeveer a * (1 + 1/b)^n-2 zijn. Dat is in elk geval een ondergrens. Voor een bovengrens moet je de recursie f_n = 1 + f_n-1 * (1 + 1/b) oplossen. Dat doe je door eerst een c te vinden zdd deze vergelijking tot f_n - c = (1 + 1/b) * (f_n-1 - c) herleidt.

Bedankt! Daar kan ik denk ik wel wat mee

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 13:03 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat lijkt maar zo. Als je, zoals op de middelbare school gebeurt, de goniometrische functies meetkundig definieert aan de hand van de eenheidscirkel, dan zou je eerst nog complexe getallen en de formules van De Moivre en Euler moeten behandelen (en afleiden) alvorens je daarmee dan de additietheorema's aantoont. Maar afgezien daarvan dat je dan didactisch een enorme omweg hebt gemaakt begeef je je dan in een cirkelredenering (no pun intended), want om te laten zien dat bij vermenigvuldiging van twee complexe getallen de argumenten optellen heb je dan ook al van de additietheorema's voor de cosinus en sinus gebruik gemaakt. Ik heb daar een hele tijd geleden op dit forum ook al eens op gewezen.

De formule van Euler kan ook eenvoudig bewezen worden met calculus en wat basisalgebra, zie http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula#Using_calculus .
Het enige resultaat dat je daarvoor nodig hebt is dat d/dx e^ix = i e^ix.... Dit feit volgt direct uit de machtreeks van e^ix. We kunnen e^ix definiëren als die machtreeks, waardoor we ook geen kennis van Taylorreeksen nodig hebben.
Het enige wat je dus moet doen is e^ix definiëren als een machtreeks, toch? Op die manier zitten we niet in een cirkelredenering.

edit: ik bedenk me wel dat je nog uniforme convergentie moet aantonen om termgewijs te differentiëren, waardoor het toch wel iets gecompliceerder wordt. Niet echt stof voor de middelbare school. Aan de andere kant hebben ze bij mij op de middelbare school ook nooit aangetoond dat d/dx e^kx = k e^x voor reële k, dus ze zouden het ook gewoon als onbewezen stelling kunnen poneren.

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 18:07 schreef thenxero het volgende:

[..]

De formule van Euler kan ook eenvoudig bewezen worden met calculus en wat basisalgebra, zie http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula#Using_calculus .

Met die bewijzen voor de formule van Euler die in het Wikipedia artikel worden opgevoerd is ook van alles mis, lees de - inmiddels zeer omvangrijke - discussie er maar eens op na. Er is overigens een bewijs mogelijk zonder differentiaal- of integraalrekening uitgaande van een definitie van exp(z) als de limiet van (1 + z/n)ⁿ voor n naar oneindig, maar uitgerekend dat bewijs staat niet in het engelstalige Wikipedia artikel.

quote:

Het enige resultaat dat je daarvoor nodig hebt is dat d/dx e^ix = i e^ix.... Dit feit volgt direct uit de machtreeks van e^ix. We kunnen e^ix definiëren als die machtreeks, waardoor we ook geen kennis van Taylorreeksen nodig hebben.

Toch wel, want als je exp(z) definieert aan de hand van een machtreeks, dan moet je wel aantonen dat die reeks convergeert voor elke z uit C.

quote:

Het enige wat je dus moet doen is e^ix definiëren als een machtreeks, toch? Op die manier zitten we niet in een cirkelredenering.

edit: ik bedenk me wel dat je nog uniforme convergentie moet aantonen om termgewijs te differentiëren, waardoor het toch wel iets gecompliceerder wordt. Niet echt stof voor de middelbare school.

Inderdaad. En dan blijft didactisch het bezwaar dat je wel een enorme omweg maakt om de additietheorema's te bewijzen. Feitelijk moet je dan ook cos(z) en sin(z) definiëren als (exp(iz)+exp(-iz))/2 resp. (exp(iz)-exp(-iz))/2i waarmee de formule van Euler tot een tautologie wordt. Niet geschikt voor een elementaire behandeling van de goniometrie op school.

quote:

Aan de andere kant hebben ze bij mij op de middelbare school ook nooit aangetoond dat d/dx e^kx = k e^x voor reële k, dus ze zouden het ook gewoon als onbewezen stelling kunnen poneren.

Nee, dan heb je een slechte docent gehad. Dit volgt onmiddellijk met behulp van de kettingregel.

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 18:29 schreef Riparius het volgende:
Nee, dan heb je een slechte docent gehad. Dit volgt onmiddellijk met behulp van de kettingregel.

Dat je er een k voor zet komt inderdaad door de kettingregel, maar dat de afgeleide van e^x gelijk is aan e^x is bij mij nooit bewezen. Volgens mij werd e^x geïntroduceerd als lim (1+x/n)^n, en daarvoor zou dan toevallig gelden dat d/dx e^x = e^x , maar dat is niet helemaal duidelijk.

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 19:34 schreef thenxero het volgende:

[..]

Dat je er een k voor zet komt inderdaad door de kettingregel, maar dat de afgeleide van e^x gelijk is aan e^x is bij mij nooit bewezen. Volgens mij werd e^x geïntroduceerd als lim (1+x/n)^n, en daarvoor zou dan toevallig gelden dat d/dx e^x = e^x , maar dat is niet helemaal duidelijk.

Voorlaatste regel moet starten met lim_h→0

[ Bericht 3% gewijzigd door Nelis89 op 05-05-2011 21:35:36 ]

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 19:34 schreef thenxero het volgende:

[..]

Dat je er een k voor zet komt inderdaad door de kettingregel, maar dat de afgeleide van e^x gelijk is aan e^x is bij mij nooit bewezen. Volgens mij werd e^x geïntroduceerd als lim (1+x/n)^n, en daarvoor zou dan toevallig gelden dat d/dx e^x = e^x , maar dat is niet helemaal duidelijk.

De elementaire behandelingen hiervan verschillen nogal. Soms wordt eerst ln x geïntroduceerd via de nog ontbrekende primitieve van x^-1 en dan is e^x uiteraard de inverse functie. Via de kettingregel is dan ook duidelijk dat e^x zichzelf als afgeleide heeft. Het is ook mogelijk te beginnen met de afgeleide van ^glog x via de definitie van de afgeleide, dat dan aanleiding geeft (via een substitutie h = kx) tot het beschouwen van de limiet voor k→0 van (1+k)^1/k, en daarmee de introductie van het getal e. De afgeleide van ^glog x blijkt dan x^-1∙^glog e te zijn, waarmee de speciale status van de natuurlijke logaritme ook meteen duidelijk wordt, immers voor g = e reduceert dit tot x^-1. Daarna is de behandeling van de afgeleide van de exponentiële functie a^x niet moeilijk meer en komt de bijzondere status van e^x ook niet uit de lucht vallen.

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 20:31 schreef Nelis89 het volgende:

[..]

[ afbeelding ]

Je doet hier iets wat niet klopt. e^h is niet gelijk aan lim _h→0 (1+h) = 1.

Om aannemelijk te maken dat lim_h→0 (e^h - 1)/h = 1 zou je wel een substitutie e^h - 1 = k en dus h = ln(1+k) kunnen gebruiken.

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 20:53 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je doet hier iets wat niet klopt. e^h is niet gelijk aan lim _h→0 (1+h) = 1.

Om aannemelijk te maken dat lim_h→0 (e^h - 1)/h = 1 zou je wel een substitutie e^h - 1 = k en dus h = ln(1+k) kunnen gebruiken.

h is gedefineerd als 1/n dus klopt wel

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 21:07 schreef Nelis89 het volgende:

[..]

h is gedefineerd als 1/n dus klopt wel

Nee, het klopt echt niet. e^h is niet gelijk aan lim_h→0 (1+h) = 1, want dan zou e^h gelijk zijn aan de constante 1 en dat is niet zo. Dit is slechte didactiek (en slechte wiskunde).

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 21:12 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, het klopt echt niet. e^h is niet gelijk aan lim_h→0 (1+h) = 1, want dan zou e^h gelijk zijn aan de constante 1 en dat is niet zo. Dit is slechte didactiek (en slechte wiskunde).

lim_h→0 e^h = lim_h→0 (1+h)
h = 1/n
lim_n→∞ e^1/n = lim_n→∞ (1+1/n) = 1

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 21:22 schreef Nelis89 het volgende:

[..]

lim_h→0 e^h = lim_h→0 (1+h)
h = 1/n
lim_n→∞ e^1/n = lim_n→∞ (1+1/n) = 1

Dit is juist, maar het verandert niets aan mijn bezwaren. Wat je hierboven bij de bepaling van de afgeleide van e^x doet is niet correct.

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 21:28 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dit is juist, maar het verandert niets aan mijn bezwaren. Wat je hierboven bij de bepaling van de afgeleide van e^x doet is niet correct.

Jaja, zit 1 keer een klein foutje in. Voorlaatste regel moet starten met lim h→0

quote:

Op donderdag 5 mei 2011 21:33 schreef Nelis89 het volgende:

[..]

Jaja, zit 1 keer een klein foutje in. Voorlaatste regel moet starten met lim h→0

Nee, er zit een principieel probleem in je afleiding. Je vervangt in feite e^h door 1 + h en probeert dat te legitimeren door erop te wijzen dat:

lim _h→0 e^h = lim _h→0 (1 + h) = 1.

Maar dit maakt de substitutie niet legitiem. Laat ik een tegenvoorbeeld geven. Ik kan ook zeggen dat geldt:

lim _h→0 cos h = lim _h→0 (1 + h) = 1.

Als ik nu jouw redenering volg, dan zou de limiet voor h→0 van (cos h - 1)/h dus evenzo gelijk zijn aan de limiet voor h→0 van (1 + h - 1)/h = h/h, oftewel 1. Maar dát klopt niet, want de limiet voor h→0 van (cos h - 1)/h is gelijk aan 0.

Nog maar een poging:

De volgende Matlab code heb ik geschreven:

Dat de code niet efficient is boeit me niet zo, dat kan ik wel versnellen van zelf.
Wat het probleem atm is, is dat ik niets vergelijkbaars krijg zoals in mijn paper. Je hebt daar namelijk een frequentie (y) tegenover tijd (x) en binnen de halve seconde gaan alle lijnen naar elkaar. Mogelijk teken ik gewoon de lijnen niet goed... op het moment gaan de lijnen vanzelf wel interacteren, maar krijg je nog steeds duidelijk golven te zien, alhoewel stabiel.

Dit is echt een raadsel voor me: Wat is de afgeleide van ln(x)²? Ik weet dat de afgeleide van ln(x) = 1/x, maar deze krijg ik niet in beeld.