Record grootste bekende priemgetal gebroken

Ik heb de grootste bekende lul , waar is mijn geld ?

quote:

Op woensdag 27 september 2006 09:06 schreef LocoLatino het volgende:
Ik heb de grootste bekende lul , waar is mijn geld ?

In 't ziekenfonds

quote:

Op woensdag 27 september 2006 02:24 schreef Riparius het volgende:

[..]

Lees je eigen quote nog eens goed door ...
[..]

Ik had deze kapitale fout gisteravond al gezien en reeds gecorrigeerd ! Mea Culpa. Ere wie Ere toekomt.

quote:

Ik begrijp niet precies wat je hier bedoelt. Dat moet je toch eens beter proberen uit te leggen.
[..]

Wat ik bedoel is dat het bovenste equidistante tweelingenpaar van een kwadraat ook weer de onderste van een hoger kwadraat kan zijn (met wellicht een andere afstand). Bij 17,19 is dit niet het geval omdat er geen kwadraat met equidistante tweelingpriemgetallen onder ligt.Mijn vermoeden is dat je dan via kwadraat 144 van 17,19 (start) naar 269, 271 kan springen en dan via een hoger kwadraat naar het volgende equidistante paar (zit op m'n werk dus kon de volgende zo gauw niet berekenen). Op deze wijze vorm je een keten.

quote:

Nee. Deze hypothese is heel gemakkelijk te weerleggen.Thabit heeft dat in feite al gedaan, maar ik zal het nog een keer eenvoudig proberen uit te leggen.

Dat was me reeds volkomen duidelijk, maar dank voor de opnieuw heldere uitleg. Ik denk dat je echter teveel in de tweelingen zat en daardoor mijn hypothese met deze bril geïnterpreteerd hebt. Mijn stelling is dat het alle kwadraten > 1 minstens één set van equidistante priemgetallen (dus enkele) om zich heen hebben. Ik had het woord "paar" niet moeten gebruiken...

quote:

(...)

De vraag rijst nu of er voor alle grotere drievouden ook een equidistant
paar priemtweelingen is. Om dit te onderzoeken heb ik mijn programma aangepast om niet slechts alle kwadraten van een drievoud maar alle drievouden zelf te testen en dit levert een zeer verrassend resultaat op.

Het blijkt dat er voor N = 48, 198, 201, 258, 348, 393, 453, 558, 573, 633, 678, 1623 en 2103 geen equidistant paar priemtweelingen is, maar ... dan lijkt het op te houden! Ik heb inmiddels alle drievouden tot 1 miljoen (!) getest, echter zonder nog een verder drievoud te vinden waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is.

De grote vraag is nu: is er een drievoud groter dan 2103 waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is?

Mijn programma is in staat veel grotere drievouden dan 999999 te testen, alleen gaat dit erg lang duren, vandaar dat ik dit niet heb gedaan. Het programma werkt met 32-bits signed integers, en kan dus overweg met getallen tot 2³¹ - 1 = 2147483647 (overigens een priemgetal van Mersenne!).

Om de snelheid van het programma nog wat te verhogen heb ik het algoritme waarmee het priem zijn van een getal wordt getest verbeterd. In eerste instantie testte ik gewoon op deelbaarheid door alle oneven getallen tot aan de vierkantswortel van het te testen getal, maar dat is niet echt efficient. Als een getal bijvoorbeeld niet deelbaar is door 3, dan hoef je niet meer te testen of het misschien deelbaar is door 9. Het is voldoende om te testen op deelbaarheid door priemfactoren. Om dit te realiseren bouwt het programma nu eerst een interne tabel op met alle priemgetallen tot 10⁵. Aangezien je niet verder hoeft te gaan dan de vierkantswortel uit het getal in kwestie is deze lijst voldoende om getallen tot 10¹⁰ op priem zijn te testen.
[..]

Zeer verrassend resultaat! Nu je een historisch bestand opbouwt van priemgetallen ben ik heel benieuwd naar de volgende hypothese:

Alle tweelingpriemgetallen zijn equidistant tov kwadraten van veelvouden van drie. Maw er bestaan geen tweelingpriemgetallen die niet aan deze voorwaarde voldoen. Als je jouw programma zou runnen dan zouden er gezien de relatief geringen afstanden die je meet, dus geen "widow twins" mogen overblijven onder zeg 99% van het hoogste kwadraat dat je berekend hebt.

quote:

Ik zou zeggen download hier de nieuwe versie van mijn programma, inclusief een lijst met de dichtstbijzijnde equidistante paren priemtweelingen voor alle drievouden tot 1 miljoen.

Leuk! Ga ik vanavond meteen doen.

[ Bericht 1% gewijzigd door Agno_Sticus op 27-09-2006 17:17:33 ]

quote:

Op woensdag 27 september 2006 14:32 schreef Agno_Sticus het volgende:

Wat ik bedoel is dat het bovenste equidistante tweelingenpaar van een kwadraat ook weer de onderste van een hoger kwadraat kan zijn (met wellicht een andere afstand). Bij 17,19 is dit niet het geval omdat er geen kwadraat met equidistante tweelingpriemgetallen onder ligt.Mijn vermoeden is dat je dan via kwadraat 144 van 17,19 (start) naar 269, 271 kan springen en dan via een hoger kwadraat naar het volgende equidistante paar (zit op m'n werk dus kon de volgende zo gauw niet berekenen). Op deze wijze vorm je een keten.
[..]

Ok. Nu begrijp ik het beter.

quote:

Dat was me reeds volkomen duidelijk, maar dank voor de opnieuw heldere uitleg. Ik denk dat je echter teveel in de tweelingen zat en daardoor mijn hypothese met deze bril geïnterpreteerd hebt. Mijn stelling is dat het alle kwadraten > 1 minstens één set van equidistante priemgetallen (dus enkele) om zich heen hebben. Ik had het woord "paar" niet moeten gebruiken...
[..]

Ah, ik begrijp het misverstand nu. Maar je had het steeds over priemtweelingen gehad, en het woord 'paar' maakte de verwarring compleet.

quote:

Zeer verrassend resultaat! Nu je een historisch bestand opbouwt van priemgetallen ben ik heel benieuwd naar de volgende hypothese:

Alle tweelingpriemgetallen zijn equidistant tov kwadraten van veelvouden van drie. Maw er bestaan geen tweelingpriemgetallen die niet aan deze voorwaarde voldoen. Als je jouw programma zou runnen dan zouden er gezien de relatief geringen afstanden die je meet, dus geen "widow twins" mogen overblijven onder zeg 99% van het hoogste kwadraat dat je berekend hebt.
[..]

In deze formulering is je hypothese niet juist, het is namelijk eenvoudig te bewijzen dat de priemtweeling (3,5) geen equidistant paar kan vormen met een andere priemtweeling t.o.v. een kwadraat van een drievoud.

Stel we hebben een drievoud 3n, dan is het kwadraat van dit drievoud (3n)² = 9n². De afstand van dit kwadraat tot de priemtweeling (3,5) bedraagt (9n² -5). De equidistante priemtweeling aan de andere zijde zou dan als eerste lid het getal 9n² + (9n² - 5) = 18n² - 5 moeten hebben. Maar (18n² -5, 18n² - 3) kan geen priemtweeling zijn aangezien het tweede getal van dit paar een drievoud is. Ergo, er bestaat geen priemtweeling die een equidistant paar vormt met (3,5) t.o.v. een kwadraat van een drievoud. Hetzelfde geldt trouwens voor alle drievouden, zoals eenvoudig is in te zien.

Maar goed, als we de 'orphan twins' (3,5) buiten beschouwing laten dan heb je een interessante hypothese. Om deze te testen met een computerprogramma zou je de omgekeerde benadering moeten gebruiken, dus niet uitgaan van kwadraten van drievouden, maar uitgaan van de priemtweelingen en daarbij steeds testen of er een kwadraat van een drievoud is waarbij er een equidistante priemtweeling is aan de andere zijde van dit kwadraat.

quote:

Leuk! Ga ik vanavond meteen doen.

Voorlopig wil ik nog even verder kijken of er misschien meer drievouden zijn waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is, want ik vind de distributie van de drievouden waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is toch wel uiterst merkwaardig. Zo merkwaardig dat ik me al heb afgevraagd of er misschien een bug in mijn programma zit, maar dat lijkt toch niet het geval. Ik heb ook al op het net gezocht of er misschien al onderzoek is gedaan naar equidistante paren priemtweelingen, maar ik heb tot nu toe niets kunnen vinden.

Om ook grotere drievouden binnen een redelijke tijd te kunnen onderzoeken wil ik eerst de efficiency van mijn programma verbeteren, want het programma voert nu nog veel onnodige priemtests uit.

Als we een getal N hebben met op een afstand k aan weerszijde twee priemtweelingen, dan hebben we het equidistante paar (N-k-2, N-k) en (N+k, N+k+2). We weten al dat N een drievoud moet zijn, maar ook over k is het een en ander te zeggen. Zo kan k geen drievoud zijn, want dan zouden N+k en N-k een drievoud zijn. En k mag bij deling door drie ook geen rest 1 hebben, want dan zouden N+k+2 en N-k-2 drievouden zijn. Dus moet k een getal zijn dat bij deling door 3 een rest 2 oplevert, ofwel:

k = 3i + 2, i=0,1,2...

Als N een even drievoud is, dan moet k oneven zijn, dus k = 5, 11, 17 ... en als N een oneven drievoud is, dan moet k even zijn, dus k = 2, 8, 14 ...

Momenteel test mijn programma nog alle waarden van k van 1 tot N-3, maar dat is dus overbodig, want slechts 1 op de 6 waarden van k hoeft te worden getest. Hier liggen dus mogelijkheden voor verbetering van de snelheid van het programma.

quote:

Op woensdag 27 september 2006 18:56 schreef Riparius het volgende:

In deze formulering is je hypothese niet juist, het is namelijk eenvoudig te bewijzen dat de priemtweeling (3,5) geen equidistant paar kan vormen met een andere priemtweeling t.o.v. een kwadraat van een drievoud.

Stel we hebben een drievoud 3n, dan is het kwadraat van dit drievoud (3n)² = 9n². De afstand van dit kwadraat tot de priemtweeling (3,5) bedraagt (9n² -5). De equidistante priemtweeling aan de andere zijde zou dan als eerste lid het getal 9n² + (9n² - 5) = 18n² - 5 moeten hebben. Maar (18n² -5, 18n² - 3) kan geen priemtweeling zijn aangezien het tweede getal van dit paar een drievoud is. Ergo, er bestaat geen priemtweeling die een equidistant paar vormt met (3,5) t.o.v. een kwadraat van een drievoud. Hetzelfde geldt trouwens voor alle drievouden, zoals eenvoudig is in te zien.

Ouch. Ik had (3,5) inderdaad over het hoofd gezien. Mooi bewijs overigens.

quote:

(...)
Als we een getal N hebben met op een afstand k aan weerszijde twee priemtweelingen, dan hebben we het equidistante paar (N-k-2, N-k) en (N+k, N+k+2). We weten al dat N een drievoud moet zijn, maar ook over k is het een en ander te zeggen. Zo kan k geen drievoud zijn, want dan zouden N+k en N-k een drievoud zijn. En k mag bij deling door drie ook geen rest 1 hebben, want dan zouden N+k+2 en N-k-2 drievouden zijn. Dus moet k een getal zijn dat bij deling door 3 een rest 2 oplevert, ofwel:

k = 3i + 2, i=0,1,2...

Als N een even drievoud is, dan moet k oneven zijn, dus k = 5, 11, 17 ... en als N een oneven drievoud is, dan moet k even zijn, dus k = 2, 8, 14 ...

Momenteel test mijn programma nog alle waarden van k van 1 tot N-3, maar dat is dus overbodig, want slechts 1 op de 6 waarden van k hoeft te worden getest. Hier liggen dus mogelijkheden voor verbetering van de snelheid van het programma.

Helder. Ik was tot een soortgelijke conclusie over k gekomen door naar simpelweg naar deelbaarheid van de afstandsgetallen in mijn spreadsheet te kijken. De beschreven deductieve manier is natuurlijk vele malen eleganter. Kleine correctie: k = 2 (i=0) hoef je ook niet te testen voor tweelingpriemgetallen.

Jij stelde eerder dat een mogelijke verklaring voor de ogenschijnlijke equidistantie van priemtweelingen rondom kwadraten kan liggen in de distributie-dichtheid van tweelingpriemen. Als dat inderdaad de verklaring is, dan zou je met een hele kleine wijziging in het programma, een run kunnen doen met de derde macht i.p.v. met een kwadraat en dan kijken of je daarbij hetzelfde resultaat krijgt.

quote:

Op woensdag 27 september 2006 23:51 schreef Agno_Sticus het volgende:

[..]

Ouch. Ik had (3,5) inderdaad over het hoofd gezien. Mooi bewijs overigens.
[..]

Helder. Ik was tot een soortgelijke conclusie over k gekomen door naar simpelweg naar deelbaarheid van de afstandsgetallen in mijn spreadsheet te kijken. De beschreven deductieve manier is natuurlijk vele malen eleganter. Kleine correctie: k = 2 (i=0) hoef je ook niet te testen voor tweelingpriemgetallen.

Dat begrijp ik niet. Neem N=9 en k=2, dan vinden we het equidistante paar priemtweelingen (5,7) en (11,13). Als ik echter k=2 zou overslaan, dan zou het programma toch ten onrechte beweren dat je bij N=9 geen equidistant paar priemtweelingen hebt?

quote:

Jij stelde eerder dat een mogelijke verklaring voor de ogenschijnlijke equidistantie van priemtweelingen rondom kwadraten kan liggen in de distributie-dichtheid van tweelingpriemen. Als dat inderdaad de verklaring is, dan zou je met een hele kleine wijziging in het programma, een run kunnen doen met de derde macht i.p.v. met een kwadraat en dan kijken of je daarbij hetzelfde resultaat krijgt.

Ja, maar dat lijkt me niet interessant. Ik heb tot nu toe alle drievouden tot 2 miljoen getest en nog steeds geen groter drievoud dan 2103 gevonden waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is. Het aantal derde machten van drievouden is - evenals kwadraten van drievouden - een (kleine) deelverzameling van alle drievouden en dus is de kans, evenals bij het testen van de kwadraten van drievouden, nihil dat je dan wel een drievoud (derde macht) vindt waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is.

quote:

Op donderdag 28 september 2006 00:12 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat begrijp ik niet. Neem N=9 en k=2, dan vinden we het equidistante paar priemtweelingen (5,7) en (11,13). Als ik echter k=2 zou overslaan, dan zou het programma toch ten onrechte beweren dat je bij N=9 geen equidistant paar priemtweelingen hebt?
[..]

Dat klopt. Maar 9 is dan ook de enige met afstand 2. Ik heb nooit een hoger getal met afstand 2 gevonden en volgens mij kun je ook bewijzen dat 9 de enige is.

quote:

Ja, maar dat lijkt me niet interessant. Ik heb tot nu toe alle drievouden tot 2 miljoen getest en nog steeds geen groter drievoud dan 2103 gevonden waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is. Het aantal derde machten van drievouden is - evenals kwadraten van drievouden - een (kleine) deelverzameling van alle drievouden en dus is de kans, evenals bij het testen van de kwadraten van drievouden, nihil dat je dan wel een drievoud (derde macht) vindt waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is.

Eens.

quote:

Op donderdag 28 september 2006 17:57 schreef Agno_Sticus het volgende:

[..]

Dat klopt. Maar 9 is dan ook de enige met afstand 2. Ik heb nooit een hoger getal met afstand 2 gevonden en volgens mij kun je ook bewijzen dat 9 de enige is.
[..]

Nee, dit klopt ook niet. Er zijn talloze oneven drievouden met een equidistant paar priemtweelingen op afstand 2. Enkele voorbeelden:

9: Twins ( 5, 7) en ( 11, 13) Afstand: 2
15: Twins ( 11, 13) en ( 17, 19) Afstand: 2
105: Twins ( 101, 103) en ( 107, 109) Afstand: 2
195: Twins ( 191, 193) en ( 197, 199) Afstand: 2
825: Twins ( 821, 823) en ( 827, 829) Afstand: 2

Maar waarschijnlijk bedoel je dat (5,7) en (11,13) het enige paar equidistante priemtweelingen is bij een kwadraat en dat is inderdaad juist en trouwens heel gemakkelijk te bewijzen.

Stel we hebben een paar equidistante priemtweelingen met afstand 2 tot een getal N, dan hebben we dus de paren (N-4, N-2) en (N+2, N+4).

Nu mag de rest van N bij deling door 5 niet gelijk zijn aan 1,2 of 3, want dan zouden resp. N+4, N-2 of N+2 een vijfvoud zijn en dus niet priem. De rest bij deling van N door 5 mag ook niet gelijk zijn aan 4, want dan is N-4 een vijfvoud. N moet dus in zijn algemeenheid zelf een vijfvoud zijn, en een vijfvoud kan geen kwadraat zijn van een drievoud. Er is echter één uitzondering op de eis dat de rest bij deling van N door vijf niet gelijk mag zijn aan 4, en dat is N=9, want in dit geval is N-4 = 5, en dat is weliswaar een vijfvoud, maar ook priem. Zodoende is (5,7) en (11,13) het enige paar priemtweelingen dat op afstand 2 ligt van een getal dat zelf geen vijfvoud is, en daarmee ook het enige stel op afstand 2 van een getal dat een kwadraat van een drievoud kan zijn. En natuurlijk is 9 het kwadraat van 3, maar dat is niet significant.

Ik denk dat je je teveel hebt vastgebeten in de gedachte dat er een bijzonder verband zou zijn tussen equidistante priemtweelingen en kwadraten, maar een dergelijk verband is tot nu toe niet aangetoond en als we kijken naar de eigenschappen van equidistante priemtweelingen die we tot nu toe hebben bewezen, dan ligt een dergelijk verband ook niet in de lijn der verwachting.

quote:

Op donderdag 28 september 2006 18:44 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, dit klopt ook niet. Er zijn talloze oneven drievouden met een equidistant paar priemtweelingen op afstand 2. Enkele voorbeelden:

9: Twins ( 5, 7) en ( 11, 13) Afstand: 2
15: Twins ( 11, 13) en ( 17, 19) Afstand: 2
105: Twins ( 101, 103) en ( 107, 109) Afstand: 2
195: Twins ( 191, 193) en ( 197, 199) Afstand: 2
825: Twins ( 821, 823) en ( 827, 829) Afstand: 2

Maar waarschijnlijk bedoel je dat (5,7) en (11,13) het enige paar equidistante priemtweelingen is bij een kwadraat en dat is inderdaad juist en trouwens heel gemakkelijk te bewijzen.

Stel we hebben een paar equidistante priemtweelingen met afstand 2 tot een getal N, dan hebben we dus de paren (N-4, N-2) en (N+2, N+4).

Nu mag de rest van N bij deling door 5 niet gelijk zijn aan 1,2 of 3, want dan zouden resp. N+4, N-2 of N+2 een vijfvoud zijn en dus niet priem. De rest bij deling van N door 5 mag ook niet gelijk zijn aan 4, want dan is N-4 een vijfvoud. N moet dus in zijn algemeenheid zelf een vijfvoud zijn, en een vijfvoud kan geen kwadraat zijn van een drievoud. Er is echter één uitzondering op de eis dat de rest bij deling van N door vijf niet gelijk mag zijn aan 4, en dat is N=9, want in dit geval is N-4 = 5, en dat is weliswaar een vijfvoud, maar ook priem. Zodoende is (5,7) en (11,13) het enige paar priemtweelingen dat op afstand 2 ligt van een getal dat zelf geen vijfvoud is, en daarmee ook het enige stel op afstand 2 van een getal dat een kwadraat van een drievoud kan zijn. En natuurlijk is 9 het kwadraat van 3, maar dat is niet significant.

Ik denk dat je je teveel hebt vastgebeten in de gedachte dat er een bijzonder verband zou zijn tussen equidistante priemtweelingen en kwadraten, maar een dergelijk verband is tot nu toe niet aangetoond en als we kijken naar de eigenschappen van equidistante priemtweelingen die we tot nu toe hebben bewezen, dan ligt een dergelijk verband ook niet in de lijn der verwachting.

Got it. Ik heb me inderdaad helemaal op kwadraten gefocused. Door de veelvouden van 3 te doorlopen krijg je natuurlijk een beter beeld dan door kwadraten te gebruiken. Ik ben in al mijn analyses met kwadraten kennelijk ook over de bijzondere reeks 3, 6, 48...2103 heen gesprongen. Wat kan dit rijtje overigens betekenen? Wordt het wellicht veroozaakt door het feit dat er bij kleinere getallen net even te weinig priemtweelingen zijn om deze drievouden equidistant te omringen?

quote:

Op donderdag 28 september 2006 18:44 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, dit klopt ook niet. Er zijn talloze oneven drievouden met een equidistant paar priemtweelingen op afstand 2. Enkele voorbeelden:

9: Twins ( 5, 7) en ( 11, 13) Afstand: 2
15: Twins ( 11, 13) en ( 17, 19) Afstand: 2
105: Twins ( 101, 103) en ( 107, 109) Afstand: 2
195: Twins ( 191, 193) en ( 197, 199) Afstand: 2
825: Twins ( 821, 823) en ( 827, 829) Afstand: 2

Maar waarschijnlijk bedoel je dat (5,7) en (11,13) het enige paar equidistante priemtweelingen is bij een kwadraat en dat is inderdaad juist en trouwens heel gemakkelijk te bewijzen.

Stel we hebben een paar equidistante priemtweelingen met afstand 2 tot een getal N, dan hebben we dus de paren (N-4, N-2) en (N+2, N+4).

Nu mag de rest van N bij deling door 5 niet gelijk zijn aan 1,2 of 3, want dan zouden resp. N+4, N-2 of N+2 een vijfvoud zijn en dus niet priem. De rest bij deling van N door 5 mag ook niet gelijk zijn aan 4, want dan is N-4 een vijfvoud. N moet dus in zijn algemeenheid zelf een vijfvoud zijn, en een vijfvoud kan geen kwadraat zijn van een drievoud. Er is echter één uitzondering op de eis dat de rest bij deling van N door vijf niet gelijk mag zijn aan 4, en dat is N=9, want in dit geval is N-4 = 5, en dat is weliswaar een vijfvoud, maar ook priem. Zodoende is (5,7) en (11,13) het enige paar priemtweelingen dat op afstand 2 ligt van een getal dat zelf geen vijfvoud is, en daarmee ook het enige stel op afstand 2 van een getal dat een kwadraat van een drievoud kan zijn. En natuurlijk is 9 het kwadraat van 3, maar dat is niet significant.

Ik moet mezelf even corrigeren, want bovenstaand bewijs is helaas niet in orde. Ik heb bewezen dat bij een paar equidistante priemtweelingen met afstand 2 tot een getal N het getal N altijd een vijfvoud moet zijn (behoudens N=9), en verder weten we dat N sowieso een drievoud moet zijn. Daar volgt uit dat N in ieder geval een vijftienvoud moet zijn, maar dat bewijst niet dat er verder geen (oneven) kwadraten zijn met een paar equidistante priemtweelingen op afstand 2, want je kunt tenslotte kwadraten hebben van 15-vouden...

Toch is het eenvoudig te bewijzen dat er behalve (5,7) en (11,13) verder geen paren equidistante priemtweelingen bestaan op afstand 2 van een kwadraat. Dat bewijs gaat als volgt.

Stel we hebben een paar equidistante priemtweelingen met afstand 2 tot een getal N, dan hebben we dus de paren (N-4, N-2) en (N+2, N+4). Als nu N het kwadraat is van een getal p, dan hebben we dus N = p². In dit geval is echter N-4 = p² - 4 = (p+2)(p-2) een samengesteld getal, en kan dus niet priem zijn, behalve als (p-2) = 1 en dus p = 3, waaruit volgt dat N = p² = 3² = 9 inderdaad het enige kwadraat is met een paar equidistante priemtweelingen op afstand 2. Quod Erat Demonstrandum.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 29-09-2006 02:42:17 ]

quote:

Op donderdag 28 september 2006 20:53 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik moet mezelf even corrigeren, want bovenstaand bewijs is helaas niet in orde. Ik heb bewezen dat bij een paar equidistante priemtweelingen met afstand 2 tot een getal N het getal N altijd een vijfvoud moet zijn (behoudens N=9), en verder weten we dat N sowieso een drievoud moet zijn. Daar volgt uit dat N in ieder geval een vijftienvoud moet zijn, maar dat bewijst niet dat er verder geen (oneven) kwadraten zijn met een paar equidistante priemtweelingen op afstand 2, want je kunt tenslotte kwadraten hebben van 15-vouden...

Toch is het eenvoudig te bewijzen dat er behalve (5,7) en (11,13) verder geen paren equidistante priemtweelingen bestaan op afstand 2 van een kwadraat. Dat bewijs gaat als volgt.

Stel we hebben een paar equidistante priemtweelingen met afstand 2 tot een getal N, dan hebben we dus de paren (N-4, N-2) en (N+2, N+4). Als nu N het kwadraat is van een getal p, dan hebben we dus N = p². In dit geval is echter N-4 = p² - 4 = (p+2)(p-2) een samengesteld getal, en kan dus niet priem zijn, behalve als (p-2) = 1 en dus p = 3, waaruit volgt dat N = p² = 3² = 9 inderdaad het enige kwadraat is met een paar equidistante priemtweelingen op afstand 2. Quod Erat Demonstrandum.

Hele elegante QED ! Zo'n bewijs ziet er bedriegelijk simpel uit, maar om het zelf ook af te kunnen leiden...

Het rijtje 3, 6, 48, 198, 201, 258, 348, 393, 453, 558, 573, 633, 678, 1623 en 2103 blijft me echter intrigeren. Het blijft de vraag of er drievouden > 2103 bestaan zonder een setje equidistante priemtweelingen. Is het wellicht mogelijk om voor bepaalde drievouden uit het rijtje te bewijzen dat er nooit equidistante priemtweelingen voor kunnen bestaan (op soortgelijke wijze als jouw bewijs voor uitzonderings kwadraat 9 hierboven) ?

[ Bericht 1% gewijzigd door Agno_Sticus op 30-09-2006 13:40:48 ]

quote:

Op zaterdag 30 september 2006 13:34 schreef Agno_Sticus het volgende:

[..]

Hele elegante QED ! Zo'n bewijs ziet er bedriegelijk simpel uit, maar om het zelf ook af te kunnen leiden...

Dit was dan ook echt heel simpel hoor.

quote:

Het rijtje 3, 6, 48, 198, 201, 258, 348, 393, 453, 558, 573, 633, 678, 1623 en 2103 blijft me echter intrigeren. Het blijft de vraag of er drievouden > 2103 bestaan zonder een setje equidistante priemtweelingen. Is het wellicht mogelijk om voor bepaalde drievouden uit het rijtje te bewijzen dat er nooit equidistante priemtweelingen voor kunnen bestaan (op soortgelijke wijze als jouw bewijs voor uitzonderings kwadraat 9 hierboven) ?

Ik begrijp welke kant je op wilt, maar nee, dat zal niet gaan. In bovenstaand bewijs ben ik niet uitgegaan van het gegeven dat 9 het enige kwadraat is met een paar equidistante priemtweelingen op afstand 2, maar dit volgt uit het feit dat p² - 4 = (p+2)(p-2) alleen priem kan zijn als (p-2) = 1. Maar je kunt niet een formeel bewijs leveren dat er bijv. voor het specifieke geval N=48 geen equidistant paar priemtweelingen is zonder daarbij op enige wijze het gegeven te betrekken dat N=48, want als je dat laatste niet doet en je slaagt toch in het bewijs dan heb je meteen een algemeen bewijs, en niet een bewijs voor het enkele geval N=48. Hetzelfde geldt mutatis mutandis voor het geval je een formeel bewijs voor een deel van bovenstaand rijtje zou willen geven zonder daarbij in je bewijsvoering een criterium te betrekken dat bepaalt op welk deel van het rijtje je bewijs betrekking heeft.

Er is vooralsnog geen enkele wetmatigheid te ontdekken in het rijtje drievouden waarvoor er geen equidistant paar priemtweelingen is, en ik zou dan ook niet weten hoe je zou moeten bewijzen dat dit de enige drievouden zijn waarvoor er geen equidistant paar priemtweelingen bestaat.

Eén ding staat wel vast: als jij er in slaagt een formeel bewijs te leveren dat er geen enkel drievoud groter dan 2103 is waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is, dan word je wereldberoemd, want in dat geval heb je namelijk tevens bewezen dat er oneindig veel priemtweelingen zijn. Immers: als er bij ieder drievoud groter dan 2103 een priemtweeling is die een equidistant paar vormt met een kleinere priemtweeling, dan kan er geen grootste priemtweeling zijn. Het vermoeden (want dat is het) dat er oneindig veel priemtweelingen zijn bestaat al eeuwen, maar tot op heden is niemand er in geslaagd dit te bewijzen.

quote:

Op zaterdag 30 september 2006 19:26 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dit was dan ook echt heel simpel hoor.
[..]

Dat zal best waar zijn voor iemand die kan spelen met de wiskundige taal. Zelf bezit ik dat vermogen niet en ben een tikje jaloers op mensen die hier zo gemakkelijk mee om kunnen gaan. Wiskunde is overigens de enige echt universele taal die hebben. Ook waarschijnlijk de taal waarmee we ooit (indien dit bestaat) met buitenaardse beschavingen kunnen communiceren. In de film "Contact" waren het trouwens de priemgetallen waarmee buitenaardse wezens contact probeerden te maken...

quote:

Ik begrijp welke kant je op wilt, maar nee, dat zal niet gaan. In bovenstaand bewijs ben ik niet uitgegaan van het gegeven dat 9 het enige kwadraat is met een paar equidistante priemtweelingen op afstand 2, maar dit volgt uit het feit dat p² - 4 = (p+2)(p-2) alleen priem kan zijn als (p-2) = 1. Maar je kunt niet een formeel bewijs leveren dat er bijv. voor het specifieke geval N=48 geen equidistant paar priemtweelingen is zonder daarbij op enige wijze het gegeven te betrekken dat N=48, want als je dat laatste niet doet en je slaagt toch in het bewijs dan heb je meteen een algemeen bewijs, en niet een bewijs voor het enkele geval N=48. Hetzelfde geldt mutatis mutandis voor het geval je een formeel bewijs voor een deel van bovenstaand rijtje zou willen geven zonder daarbij in je bewijsvoering een criterium te betrekken dat bepaalt op welk deel van het rijtje je bewijs betrekking heeft.

Er is vooralsnog geen enkele wetmatigheid te ontdekken in het rijtje drievouden waarvoor er geen equidistant paar priemtweelingen is, en ik zou dan ook niet weten hoe je zou moeten bewijzen dat dit de enige drievouden zijn waarvoor er geen equidistant paar priemtweelingen bestaat.

Eén ding staat wel vast: als jij er in slaagt een formeel bewijs te leveren dat er geen enkel drievoud groter dan 2103 is waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is, dan word je wereldberoemd, want in dat geval heb je namelijk tevens bewezen dat er oneindig veel priemtweelingen zijn. Immers: als er bij ieder drievoud groter dan 2103 een priemtweeling is die een equidistant paar vormt met een kleinere priemtweeling, dan kan er geen grootste priemtweeling zijn. Het vermoeden (want dat is het) dat er oneindig veel priemtweelingen zijn bestaat al eeuwen, maar tot op heden is niemand er in geslaagd dit te bewijzen.

Het rijtje is in elk geval redelijk overzichtelijk, alhoewel ik er (vooralsnog) ook geen enkel verband in kan ontdekken. Mijn vermoeden is dat het rijtje alleen maar bestaat omdat er simpelweg nog te weinig tweelingpriemgetallen zijn in de lagere getallen. De dichtheid is bij hogere getallen kennelijk voldoende om alle drievouden op te pikken. Heb even (in een VBA programmatje) geteld hoeveel equidistante tweelingpriemen er voor elk drievoud zijn en dit aantal loopt al vrij snel op (zonder patroon helaas).

Ik blijf speuren!

Dit heb ik nou altijd willen weten

quote:

Op zaterdag 30 september 2006 19:26 schreef Riparius het volgende:

Eén ding staat wel vast: als jij er in slaagt een formeel bewijs te leveren dat er geen enkel drievoud groter dan 2103 is waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is, dan word je wereldberoemd, want in dat geval heb je namelijk tevens bewezen dat er oneindig veel priemtweelingen zijn. Immers: als er bij ieder drievoud groter dan 2103 een priemtweeling is die een equidistant paar vormt met een kleinere priemtweeling, dan kan er geen grootste priemtweeling zijn. Het vermoeden (want dat is het) dat er oneindig veel priemtweelingen zijn bestaat al eeuwen, maar tot op heden is niemand er in geslaagd dit te bewijzen.

Wereldberoemd worden gaat ook wel lukken als je enige regelmaat in het rijtje van drievouden zonder equidistant paar priemgetallen kunt vinden.
Of als je kunt bewijzen dat ieder kwadraat (ten minste) twee equidistante priemgetallen heeft, want ook daarmee kun je bewijzen dat het aantal priemgetallen oneindig is.
4 -> (3,5)
9 -> (7,11)
16 -> (13,19)
25 -> (19,31)

Verder heb ik nog niet gekeken

quote:

Op zaterdag 30 september 2006 22:04 schreef Light het volgende:

[..]

Of als je kunt bewijzen dat ieder kwadraat (ten minste) twee equidistante priemgetallen heeft, want ook daarmee kun je bewijzen dat het aantal priemgetallen oneindig is.
4 -> (3,5)
9 -> (7,11)
16 -> (13,19)
25 -> (19,31)

Verder heb ik nog niet gekeken

Nee, hier maak je een denkfout. Zo kun je niet bewijzen dat er oneindig veel priemtweelingen zijn. Dat er oneindig veel priemgetallen zijn is 2300 jaar geleden al bewezen door Euclides, dus daar gaat het niet om.

quote:

Op zaterdag 30 september 2006 23:29 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, hier maak je een denkfout. Zo kun je niet bewijzen dat er oneindig veel priemtweelingen zijn. Dat er oneindig veel priemgetallen zijn is 2300 jaar geleden al bewezen door Euclides, dus daar gaat het niet om.

Ok, dan had ik het niet goed gelezen Ik ga niet nog een keer het werk van Euclides over doen

een vraagje van een simpel iemand..
als p1...pn allemaal priemgetallen zijn
dan is p1*...*pn+1 ook een priemgetal..
waarom maken ze hier geen gebruik van om nieuwe priemgetallen te vinden?

quote:

Op zondag 1 oktober 2006 00:10 schreef teletubbies het volgende:
een vraagje van een simpel iemand..
als p1...pn allemaal priemgetallen zijn
dan is p1*...*pn+1 ook een priemgetal..
waarom maken ze hier geen gebruik van om nieuwe priemgetallen te vinden?

Nee, je maakt een denkfout. Als p₁, p₂, ... p_n de eerste n priemgetallen zijn dan is p₁*p₂*...*p_n + 1 een getal dat in ieder geval niet door één van de priemgetallen p₁ t/m p_n deelbaar is omdat de rest dan telkens 1 is. Dat betekent dat dit nieuwe getal zelf een priemgetal kan zijn, maar dat hoeft niet, omdat het ook deelbaar kan zijn door een priemgetal groter dan p_n. Euclides maakte hiervan gebruik om te laten zien dat de aanname dat er een grootste priemgetal p_n zou zijn tot een tegenstrijdigheid voert.

quote:

Op zondag 1 oktober 2006 00:19 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, je maakt een denkfout. Als p₁, p₂, ... p_n de eerste n priemgetallen zijn dan is p₁*p₂*...*p_n + 1 een getal dat in ieder geval niet door één van de priemgetallen p₁ t/m p_n deelbaar is omdat de rest dan telkens 1 is. Dat betekent dat dit nieuwe getal zelf een priemgetal kan zijn, maar dat hoeft niet, omdat het ook deelbaar kan zijn door een priemgetal groter dan p_n. Euclides maakte hiervan gebruik om te laten zien dat de aanname dat er een grootste priemgetal p_n zou zijn tot een tegenstrijdigheid voert.

Helemaal juist. Ik heb overigens een tijdje geleden exact dezelfde denkfout gemaakt (en er dus veel van geleerd)!

quote:

Op zondag 1 oktober 2006 00:19 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, je maakt een denkfout. Als p₁, p₂, ... p_n de eerste n priemgetallen zijn dan is p₁*p₂*...*p_n + 1 een getal dat in ieder geval niet door één van de priemgetallen p₁ t/m p_n deelbaar is omdat de rest dan telkens 1 is. Dat betekent dat dit nieuwe getal zelf een priemgetal kan zijn, maar dat hoeft niet, omdat het ook deelbaar kan zijn door een priemgetal groter dan p_n. Euclides maakte hiervan gebruik om te laten zien dat de aanname dat er een grootste priemgetal p_n zou zijn tot een tegenstrijdigheid voert.

oh natuurlijk.. het kan zijn dat er dus een priemgetal bestaat groter dan pn en die (p1p2...pn +1) deelt,..goed gezien! merci.

De reeks van 15 drievouden zonder equidistante priemtweelingen blijft me intregeren.

De getallen 15 en 3 spelen ook een bijzondere rol in het standaardmodel van de elementaire deeltjes. Er zijn namelijk 3 generaties van telkens 4 fermionen (leptonen en quarks) waaruit alle materie is opgebouwd en daarnaast zijn er de bosonen (fotonen, gluonen, W⁺W^-Z⁰ en gravitonen) die alles bij elkaar houden. Van al deze deeltjes blijken er precies 15 een massa > 0 te hebben.

Dus toch maar eens een vergelijkingspoging gewaagd met een (volgens mij) verrassend hoge correlatie van 0,9. Deze kan nog verder omhoog als je bedenkt dat de massa van een quark niet nauwkeurig is vast te stellen omdat een quark niet geïsoleerd kan worden (hiervoor wordt het begrip opsluitingsenergie gebruikt).



Of is dit gewoon puur toeval ?