[Centraal] Bèta huiswerk en vragen topic

quote:

Op dinsdag 27 juni 2006 09:58 schreef Enigmatic het volgende:
Ik zou hem doorsnijden is S, vervolgens aan de linkerkant met een momentenvergelijking reactiekracht A berekenen. Met behulp van een verticaal krachtenevenwicht kun je vervolgens bepalen wat de kracht moet zijn die rechts van het scharnier werkt. Dan een momentenvergelijking opstellen rondom punt B en je vindt Rc. En uit het verticale evenwicht volgt dan logischerwijs je reactiekracht in B.

Moet je dan niet eerst de kracht in het scharnierpunt weten?

quote:

Op dinsdag 27 juni 2006 14:17 schreef Coldplaya het volgende:

[..]

Moet je dan niet eerst de kracht in het scharnierpunt weten?

Nee, dat hoeft niet, want deze kracht draagt niet bij aan het moment om het scharnier.

hee hee.. ik heb geen specifieke vragen . maar goed...
de vraag is: het vak algebra ( je weet wel ringen groepen, euuh.. etc.. ) ..
hoe kan je het best leren/begrijpen? en waar liggen de moeilijkheden om het te begrijpen?..
moet je veel lezen of meer oefenen? mmm wat is jullie ervaring ermee?

merci

quote:

Op donderdag 29 juni 2006 21:42 schreef teletubbies het volgende:
hee hee.. ik heb geen specifieke vragen . maar goed...
de vraag is: het vak algebra ( je weet wel ringen groepen, euuh.. etc.. ) ..
hoe kan je het best leren/begrijpen? en waar liggen de moeilijkheden om het te begrijpen?..
moet je veel lezen of meer oefenen? mmm wat is jullie ervaring ermee?

merci

Oefenen, oefenen, oefenen. Dat is de enige manier waarop je inzicht krijgt in de abstracties.

kort en krachtig..:) okey

Ik ben bezig met wat lineaire algebra, en daarbij loop ik vast op twee bewijzen.

1) Bewijs dat de determinant van een positief definiete matrix A altijd positief is.
2) Bewijs dat de kleinste eigenwaarde van een hoofddeelmatrix van een symmetrische matrix A groter is dantenminste zo groot is als de kleinste eigenwaarde van A.

Bij 1 kan ik bedenken dat det(A) het product is van de eigenwaarden, en dat de som van eigenwaarden positief moet zijn (omdat het spoor van een pd-matrix positief is). Maar hiermee ben ik er nog niet, want met eigenwaarden -1 en 5 is de som positief, maar de determinant niet.
Bij 2 heb ik als hint om te kijken naar A-λI. Maar met de determinant hiervan kom ik ook niet verder als ik de laatste rij/kolom weghaal. Omdat hoofddeelmatrices van een pd-matrix ook pd zijn, is het voldoende te bewijzen als alleen de laatste rij/kolom weggaan, de rest volgt uit inductie.

edit: 1 is inmiddels bewezen met de stelling dat de eigenwaarden van een pd-matrix allemaal positief zijn. Het product is daarmee ook positief.

[ Bericht 4% gewijzigd door GlowMouse op 03-07-2006 13:38:40 ]

Volgens mij kun je hier wel handig de vertaalslag symmetrische matrices <-> symmetrische bilineaire vormen gebruiken. Als A een nxn symmetrische matrix is en V=R^n, dan kun je A zien als een symmetrische bilineaire afbeelding VxV->R, gegeven door A(x,y) := <x,Ay> waarbij <,> het standaardinproduct is. Er geldt dan dat lambda de kleinste eigenwaarde is dan en slechts dan als voor alle x in V de ongelijkheid A(x,x) >= lambda<x,x> geldt.

Zij A een symmetrische positief definiete nxn matrix. Neem B de (n-1)x(n-1) matrix verkregen door verwijdering van de laatste rij en kolom van A.
Zij y in IR^n-1, neem x de vector [y 0]
B(y,y) = A(x,x) >= λ<x,x>. Dus de kleinste eigenwaarde van B is tenminste zo groot als λ

quote:

Er geldt dan dat lambda de kleinste eigenwaarde is dan en slechts dan als voor alle x in V de ongelijkheid A(x,x) >= lambda<x,x> geldt.

Symmetrische bilineaire vormen zie ik vandaag voor het eerst en misschien zie ik wat over het hoofd, maar klopt deze bewering wel? Voor iedere symmetrische pd-matrix geldt per definitie dat A(x,x)>0, zodat de ongelijkheid bij λ=-1 altijd zal gelden. Toch kan -1 geen kleinste eigenwaarde zijn, omdat de eigenwaarde van een pd-matrix altijd positief is. Voor het bewijs van deze stelling is dit echter irrelevant.

[ Bericht 3% gewijzigd door GlowMouse op 04-07-2006 00:22:18 (typo) ]

Ja, ik bedoelde natuurlijk lambda <= de kleinste eigenwaarde desda A(x,x) >= lambda<x,x> voor alle x. Dat het lemma'tje geldt kun je inzien door te gebruiken dat een symmetrische matrix altijd diagonaliseerbaar is met behulp van een orthogonale matrix.

quote:

Dat het lemma'tje geldt kun je inzien door te gebruiken dat een symmetrische matrix altijd diagonaliseerbaar is met behulp van een orthogonale matrix.

Toch even een poging wagen, omdat daar nu de essentie van het bewijs zit. Stel A is een symmetrische nxn matrix, dan geldt A=PDP^-1 waarbij de kolommen van P orthogonaal zijn, en D een diagonaalmatrix is. Hieruit volgt dat A en D similar zijn, en dus hetzelfde karakteristiek polynoom hebben, en dus dezelfde eigenwaarden hebben.
D(x,x) is per definitie gelijk aan d_1,1*x₁²+d_2,2*x₂²+...+d_n,n*x_n² Omdat de eigenwaarden op de diagonaal staan, moet wel gelden dat
D(x,x) >= λ<x,x>, met λ de kleinste eigenwaarde.
Achteraf niet zo'n heel lastig bewijs. Bedankt voor de hulp. Mocht ik er nog achterkomen hoe het met A-λI kan, zal ik het nog wel even posten.

quote:

Op maandag 3 juli 2006 16:05 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

Toch even een poging wagen, omdat daar nu de essentie van het bewijs zit. Stel A is een symmetrische nxn matrix, dan geldt A=PDP^-1 waarbij de kolommen van P orthogonaal zijn, en D een diagonaalmatrix is. Hieruit volgt dat A en D similar zijn, en dus hetzelfde karakteristiek polynoom hebben, en dus dezelfde eigenwaarden hebben.
D(x,x) is per definitie gelijk aan d_1,1*x₁²+d_2,2*x₂²+...+d_n,n*x_n² Omdat de eigenwaarden op de diagonaal staan, moet wel gelden dat
D(x,x) >= λ<x,x>, met λ de kleinste eigenwaarde.
Achteraf niet zo'n heel lastig bewijs. Bedankt voor de hulp. Mocht ik er nog achterkomen hoe het met A-λI kan, zal ik het nog wel even posten.

Zie je ook waar je in het bewijs gebruik maakt van de orthogonaliteit van P?

quote:

Zie je ook waar je in het bewijs gebruik maakt van de orthogonaliteit van P?

Ik gebruik alleen dat hij inverteerbaar is, maar dat zit eigenljik al in de stelling dat 'als een nxn matrix A symmetrisch is, dan is A orthogonaal diagonaliseerbaar'.

quote:

Op maandag 3 juli 2006 16:27 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

Ik gebruik alleen dat hij inverteerbaar is, maar dat zit eigenljik al in de stelling dat 'als een nxn matrix A symmetrisch is, dan is A orthogonaal diagonaliseerbaar'.

Je bewijs gebruikt het wel degelijk. Je gebruikt namelijk dat als D(x,x) >= lambda<x,x> voor alle x, dat dat dan ook voor A geldt. Dit volgt uit de twee identiteiten D(x,x) = A(Px,Px) en <Px,Px> = <x,x> en om die aan te tonen heb je nodig dat P orthogonaal is.

Dat stuk ontbrak zelfs nog in mijn bewijs, en daar had ik ook niet aan gedacht. daarvoor moet P zelfs orthonormaal zijn, maar dat is geen probleem. In ieder geval weer bedankt

quote:

Op maandag 3 juli 2006 17:39 schreef GlowMouse het volgende:
Dat stuk ontbrak zelfs nog in mijn bewijs, en daar had ik ook niet aan gedacht. daarvoor moet P zelfs orthonormaal zijn, maar dat is geen probleem. In ieder geval weer bedankt

De terminologie is inderdaad wat verwarrend: P orthogonaal betekent dat de kolomvectoren (equivalent: de rijvectoren) een orthonormale basis vormen.

een vraagje.. mmm
veel programmeertalen kunnen randomgetallen genereren mbv van bepaalde algoritmes....
maar hoe willekeurig zijn die randomgetallen? hoe kan je ze eigenlijk maken?

quote:

Op maandag 3 juli 2006 21:35 schreef teletubbies het volgende:
een vraagje.. mmm
veel programmeertalen kunnen randomgetallen genereren mbv van bepaalde algoritmes....
maar hoe willekeurig zijn die randomgetallen? hoe kan je ze eigenlijk maken?

Dat is moeilijk te zeggen. Er zijn tests voor 'randomness'. Je wilt b.v. dat er geen correlatie in zit. B.v. tussen de verschillen van de getallen, of herhalingen, je moet niet aan de hand van eerder gegenereerde getallen kunnen voorspellen wat het volgende getal wordt.

Een flauw voorbeeld is b.v. Pi. 3,1415962653... Als je ergens midden in Pi begint (wat iemand niet zo herkent), dan is die reeks random. Maar, wel regenereerbaar. En dat is een makke van veel random reeksen. Als je de generator niet 'seedt', dan geeft het altijd dezelfde reeks (maar soms ook wel makkelijk!). En ook seeden met hetzelfde getal geeft dezelfde 'random' reeks.

Alhoewel praktisch voelt het natuurlijk niet echt als willekeurig als je zo'n reeks na believen kunt regeneren, zulke generatoren worden dan ook 'pseudo-random' genoemt. Deels omdat ze voorspelbaar zijn mits je het algoritme weet (zonder dat is het wel heel lastig en statistisch gezien kunnen die reeksen heel goed willekeurig lijken), maar ook omdat, aangezien het bereik van getallen slechts eindig is, zo'n randomgenerator altijd weer in een toestand moet komen waar hij al inzat, en dan gaat het op dezelfde wijze verder.

Algoritmes staan op Wikipedia. Het bekendste is denk ik echter Von Neumanns methode, waarbij je gegeven een getal de middelste cijfers neemt, dat kwadrateert, en dan weer een random getal hebt. Dus stel dat 01234321 je eerste random getal is, dan kwadrateer je daarna 2343 en krijg je 05489649 als getal, en 4896 als volgende seed. Merk op dat 0000 nogal snel in rondjes loopt.

Gebaseerd op hardware en user-input zijn er betere generatoren te maken. Die gebruiken b.v. metingen over het netwerkverkeer, of de muisbewegingen van de gebruiker, of fluctuaties in je CPU-temperatuur als inputbron van randomness.

Ik zit hier met een probleem waar ik niet uit kom

Lineaire basis vergelijking:

x = c(onstante)

Exponentiele basisvergelijking:

grondtal^exp1 = grondtal^exp2

exp1 = exp2 => x = c en eventueel x = d

Dit begrijp ik dus al niet

Dan hier 2 voorbeelden:

2^x = 2^3.x+2 => x = 3 . x + 2 => x – 3 . x = 2 => -2 . x = 2 => x = -1
2^x2 = 2^3.x-2 => x² => 3 . x - 2 => x² - 3 . x + 2 = 0 => x = 1 & x = 2

En dit begrijp ik al helemaal niet

quote:

Op maandag 3 juli 2006 22:43 schreef flyin-hawk het volgende:


2^x = 2^3.x+2 => x = 3 . x + 2 => x – 3 . x = 2 => -2 . x = 2 => x = -1
2^x2 = 2^3.x-2 => x² => 3 . x - 2 => x² - 3 . x + 2 = 0 => x = 1 & x = 2

Als beide kanten van het =teken aan elkaar gelijk moeten zijn, dan moeten de machten ook hetzelfde zijn, aangezien de grondtallen gelijk zijn.
2^x = 2^3.x+2
betekent dus dat de machten x en 3x+2 gelijk moeten zijn.
Anders komt er nooit aan beide kanten hetzelfde getal uit.
Dit volgt uit een rekenregel uit je boek a[sup]p=a[sub]qdan p=q

x = 3x + 2 is een lineaire vergelijking die je op zou moeten kunnen lossen vermoed ik.
beide kanten -3x doen.
krijg je -2x = 2
delen door -1
levert op x = -1

Die 2e is hetzelfde, alleen is het niet lineair maar kwadratisch. Dat kan dus 2 oplossingen opleveren.
Snap je het oplossen van een kwadratische vergelijking?

quote:

Op maandag 3 juli 2006 22:43 schreef flyin-hawk het volgende:
Ik zit hier met een probleem waar ik niet uit kom

Lineaire basis vergelijking:

x = c(onstante)

Exponentiele basisvergelijking:

grondtal^exp1 = grondtal^exp2

exp1 = exp2 => x = c en eventueel x = d

Dit begrijp ik dus al niet

Dan hier 2 voorbeelden:

2^x = 2^3.x+2 => x = 3 . x + 2 => x – 3 . x = 2 => -2 . x = 2 => x = -1
2^x2 = 2^3.x-2 => x² => 3 . x - 2 => x² - 3 . x + 2 = 0 => x = 1 & x = 2

En dit begrijp ik al helemaal niet

Ik snap niet helemaal wat het probleem is. Maar ik probeer gewoon 2^x = 2^3.x+2 uit te leggen, misschien dat je het dan ziet.

2^x wil zeggen, 2*2*2*...*2 en dat dan x keer. 2^3x+2 wil zeggen: 2*2*2*...*2 en dat dan precies 3x + 2 keer. Wanneer is die eerste 2*2*2*...*2 gelijk aan die tweede 2*2*2*...*2? Als er precies evenveel keren '2' als factor staat. Immers, een ongelijk aantal betekent dat het nooit gelijk kan zijn.

Het aantal keren '2' wordt gegeven door de exponenten, dus daarom moeten – als de grondtallen gelijk zijn – de exponenten ook gelijk zijn om de gelijkheid te laten kloppen.

Derhalve moet je dus oplossen: x = 3x+2. Want als dat geldt zijn de exponenten gelijk, en dus automatisch de gehele vergelijking omdat je al weet dat de grondtallen gelijk zijn. Dat gaat gewoon volgens het traditionele vergelijkingen oplossen. x = 3x + 2 geeft dan inderdaad x = -1. Als je dat dan invult zie je dat je inderdaad krijgt:
2^x = 2^-1 aan de linkerkant, en 2^3x+2 = 2^-3+2 = 2^-1 aan de rechterkant, dus: 2^-1 = 2^-1. En dat klopt als een zwerende vinger.

Jean Meslier

quote:

Op maandag 3 juli 2006 22:58 schreef -J-D- het volgende:
Jean Meslier

quote:

Op maandag 3 juli 2006 22:55 schreef Iblis het volgende:

Ik snap niet helemaal wat het probleem is. Maar ik probeer gewoon 2^x = 2^3.x+2 uit te leggen, misschien dat je het dan ziet.

2^x wil zeggen, 2*2*2*...*2 en dat dan x keer. 2^3x+2 wil zeggen: 2*2*2*...*2 en dat dan precies 3x + 2 keer. Wanneer is die eerste 2*2*2*...*2 gelijk aan die tweede 2*2*2*...*2? Als er precies evenveel keren '2' als factor staat. Immers, een ongelijk aantal betekent dat het nooit gelijk kan zijn.

Het aantal keren '2' wordt gegeven door de exponenten, dus daarom moeten – als de grondtallen gelijk zijn – de exponenten ook gelijk zijn om de gelijkheid te laten kloppen.

Derhalve moet je dus oplossen: x = 3x+2. Want als dat geldt zijn de exponenten gelijk, en dus automatisch de gehele vergelijking omdat je al weet dat de grondtallen gelijk zijn. Dat gaat gewoon volgens het traditionele vergelijkingen oplossen. x = 3x + 2 geeft dan inderdaad x = -1. Als je dat dan invult zie je dat je inderdaad krijgt:
2^x = 2^-1 aan de linkerkant, en 2^3x+2 = 2^-3+2 = 2^-1 aan de rechterkant, dus: 2^-1 = 2^-1. En dat klopt als een zwerende vinger.

Het begint te dagen! Morgenochtend vroeg zal ik er nog eens naar kijken dan snap ik het denk ik nog beter. Alvast super bedankt!

Ja, graag gedaan

quote:

Op maandag 3 juli 2006 23:16 schreef -J-D- het volgende:
Ja, graag gedaan

ja jij ook vriendelijk bedankt

quote:

Op maandag 3 juli 2006 22:43 schreef flyin-hawk het volgende:
grondtal^exp1 = grondtal^exp2

exp1 = exp2 => x = c en eventueel x = d

Stel 2^x+4 = 2^3x
Dan moet wel gelden dat x+4 = 3x (ofwel x=2). Maar stel nou dat 0^x+4 = 0^3x. Elke x zal dan voldoen (waarom?), dus vandaar de toevoeging 'eventueel x=d'. Bij de gevallen waarbij het grondtal -1, 0 of 1 is, moet je dus opletten.

Overigens schrijf je vrijwel nooit 3.x, maar altijd 3x. Vooral op de computer ziet het er raar uit.

- reactie op JD -
Verkeerde stukje gequote en tekst uit zijn verband gerukt, was meer bedoeld op:

quote:

2^x = 2^3.x+2 => x = 3 . x + 2 => x – 3 . x = 2 => -2 . x = 2 => x = -1
2^x2 = 2^3.x-2 => x² => 3 . x - 2 => x² - 3 . x + 2 = 0 => x = 1 & x = 2

[ Bericht 23% gewijzigd door GlowMouse op 04-07-2006 00:07:10 ]

eventueel x=d staat er ook omdat je mogelijk 2 oplossing hebt bij een kwadratische vergelijking.
Als de ene macht x² is en de ander -4x - 4 of zo, dan krijg je mogelijkerwijs 2 oplossingen.

quote:

Op maandag 3 juli 2006 23:58 schreef -J-D- het volgende:
eventueel x=d staat er ook omdat je mogelijk 2 oplossing hebt bij een kwadratische vergelijking.
Als de ene macht x² is en de ander -4x - 4 of zo, dan krijg je mogelijkerwijs 2 oplossingen.

Ik snap het! De andere heb ik nu ook opgelost. Bedankt!

quote:

Op maandag 3 juli 2006 21:55 schreef Iblis het volgende:

[..]

Dat is moeilijk te zeggen. Er zijn tests voor 'randomness'. Je wilt b.v. dat er geen correlatie in zit. B.v. tussen de verschillen van de getallen, of herhalingen, je moet niet aan de hand van eerder gegenereerde getallen kunnen voorspellen wat het volgende getal wordt.

Een flauw voorbeeld is b.v. Pi. 3,1415962653... Als je ergens midden in Pi begint (wat iemand niet zo herkent), dan is die reeks random. Maar, wel regenereerbaar. En dat is een makke van veel random reeksen. Als je de generator niet 'seedt', dan geeft het altijd dezelfde reeks (maar soms ook wel makkelijk!). En ook seeden met hetzelfde getal geeft dezelfde 'random' reeks.

Alhoewel praktisch voelt het natuurlijk niet echt als willekeurig als je zo'n reeks na believen kunt regeneren, zulke generatoren worden dan ook 'pseudo-random' genoemt. Deels omdat ze voorspelbaar zijn mits je het algoritme weet (zonder dat is het wel heel lastig en statistisch gezien kunnen die reeksen heel goed willekeurig lijken), maar ook omdat, aangezien het bereik van getallen slechts eindig is, zo'n randomgenerator altijd weer in een toestand moet komen waar hij al inzat, en dan gaat het op dezelfde wijze verder.

Algoritmes staan op Wikipedia. Het bekendste is denk ik echter Von Neumanns methode, waarbij je gegeven een getal de middelste cijfers neemt, dat kwadrateert, en dan weer een random getal hebt. Dus stel dat 01234321 je eerste random getal is, dan kwadrateer je daarna 2343 en krijg je 05489649 als getal, en 4896 als volgende seed. Merk op dat 0000 nogal snel in rondjes loopt.

Gebaseerd op hardware en user-input zijn er betere generatoren te maken. Die gebruiken b.v. metingen over het netwerkverkeer, of de muisbewegingen van de gebruiker, of fluctuaties in je CPU-temperatuur als inputbron van randomness.

jouw 'flauwe voorbeeld''is opzich niet zo flauw..
bij zo'n experiment, als je ene naald gooit tussen twee rechte lijnen heeeeeeeel vaaak, kun je een benadering vinden voor het getal pi.
Dat vind ik op zich raar, maar goed..als je gooit..dan gooi je toch 'willekeurig'?

quote:

Op woensdag 5 juli 2006 18:54 schreef teletubbies het volgende:
jouw 'flauwe voorbeeld''is opzich niet zo flauw..
bij zo'n experiment, als je ene naald gooit tussen twee rechte lijnen heeeeeeeel vaaak, kun je een benadering vinden voor het getal pi.
Dat vind ik op zich raar, maar goed..als je gooit..dan gooi je toch 'willekeurig'?

Maar juist door dat willekeurig gooien krijg je pi. Als je wilt, kan ik die kans wel wiskundig afleiden. Pi sluipt erin door naar de hoek te kijken die de naald maakt.
Afleiding staat hier al

[ Bericht 13% gewijzigd door GlowMouse op 05-07-2006 20:28:38 ]

Kan iemand mij helpen bij het volgende probleem. Ik weet niet zo goed waar ik moet beginnen.

Gevraagd worden de oplegreacties, de M-V-N-T lijn, de hoekverdraaiing in K12 en K32 en de zakking in K2

Van de opgave heb ik een plaatje bijgevoegd.


ik ben benieuwd naar de reacties!

Waarom geldt voor iedere singuliere nxn matrix A dat Aⁿ in span{A,A²,A³,...,A^n-1} zit?
Ik heb nog geen idee hoe ik hieraan moet beginnen. In ieder geval weet ik dat Det(Aⁿ)=0, en dat Aⁿ dezelfde eigenvectoren heeft als A.
Stel ik heb Aⁿ = c1A + c2A² + .. + c(n-1)A^n-1
dan Aⁿ - c(n-1)A^n-1 - ... - c2A² - c1A = 0
dus A(A^n-1-c(n-1)A^n-2-...-c2A - c1I) = 0
Als A=0 gaat dit altijd op, anders moet A^n-1-c(n-1)A^n-2-...-c2A - c1I = 0. Hoe dit verder kan helpen weet ik nog niet, maar de oplossing zoek ik in deze richting.

Ik heb hier een paar vragen over evolutie:

1) Wat zijn ringsoorten?

2) Waarom leggen vogels eieren (evolutionair verklaard)?

3) Waarom krijgt een zwaarlijvig vogelvrouwtje vaker mannetjes?

4) Waarom jutten olifantenvrouwtjes de mannetjes op te vechten?
a) omdat ze dan zien wie het sterkst is
b) omdat ze dan zien wie de beste vader is
c) omdat ze dan zien wie het beste zaad heeft

5) Wat zou er volgens Stephen Jay Gould gebeuren als je de band der evolutie heel vaak terug zou spoelen en weer afspelen?

6) Is er verschil in intellegentie (volgens wetenschappers) tussen mensenrassen?

7) Darwinisme had voor hetzelfde geld:
a) Mendelisme geheten
b) Spencerisme geheten
c) Wallacisme geheten

Het is intelligentie Coldplaya.

En is dit een manier om andere mensen jouw opdracht te laten maken?

De enige vraag die ik heb is wie er eerder was: De kip of het ei.

quote:

Op zaterdag 8 juli 2006 12:50 schreef 205_Lacoste het volgende:


Het is intelligentie Coldplaya.

Klopt. Ik was even in de war met het Engelse intelligence.

quote:

En is dit een manier om andere mensen jouw opdracht te laten maken?

Nee. Maar wat is het doel van dit topic denk je?

quote:

De enige vraag die ik heb is wie er eerder was: De kip of het ei.

De kip stamt af van dinosauriërs, waarvan het ei een product is. Maar dat is weer een heel andere discussie. Mijn vraag was wat nu precies het evolutionaire nut is van dit ei en waarom de zoogdieren er een andere methode op nahouden. Aangezien je het antwoord niet direct geeft, neem ik aan dat je het niet hebt

quote:

Op zaterdag 8 juli 2006 13:03 schreef Coldplaya het volgende:

[..]

Klopt. Ik was even in de war met het Engelse intelligence.

Ook het Engelse "intelligence" is gewoon met een i waar jij een e gebruikte. Een zeer slap excuus voor een dergelijke fout. Je had beter kunnen zeggen dat het een typefout betrof.

Maar inderdaad, over het kip en ei verhaal heb ik geen uitleg. Dat is niet mijn kopje soep zal ik maar zeggen.

quote:

Op zaterdag 8 juli 2006 00:36 schreef GlowMouse het volgende:
Waarom geldt voor iedere singuliere nxn matrix A dat Aⁿ in span{A,A²,A³,...,A^n-1} zit?
Ik heb nog geen idee hoe ik hieraan moet beginnen. In ieder geval weet ik dat Det(Aⁿ)=0, en dat Aⁿ dezelfde eigenvectoren heeft als A.
Stel ik heb Aⁿ = c1A + c2A² + .. + c(n-1)A^n-1
dan Aⁿ - c(n-1)A^n-1 - ... - c2A² - c1A = 0
dus A(A^n-1-c(n-1)A^n-2-...-c2A - c1I) = 0
Als A=0 gaat dit altijd op, anders moet A^n-1-c(n-1)A^n-2-...-c2A - c1I = 0. Hoe dit verder kan helpen weet ik nog niet, maar de oplossing zoek ik in deze richting.

Heb je al wat over minimale afbeeldingen en dergelijke gehad? Het makkelijke antwoord is namelijk dat elke lineaire afbeelding geannuleerd wordt door zijn karakteristiek polynoom, dwz p(A) = 0. Jouw afbeelding is singulier en heeft dus det(A)=0, maar dit is precies p_0. Zodoende krijg je dus de gewenste afhankelijkheidsrelatie.

Het wat moeilijkere antwoord weet ik ook niet precies, maar dan moet je iets doen met het product (A-lambda_1)...(A- lambda_r), waarbij de lambda_i de eigenwaarden zijn. Uit deze samenstelling moet dan ook 0 komen, maar daarvan weet ik de details niet.

Dat is de stelling van Cayley-Hamilton.
Als p(A)=0, dan (A-λ₁I)*(A-λ₂I)*..*(A-λ_kI)=0.
Expanderen kan geven dat A^n-1-c(n-1)A^n-2-...-c2A - c1I = 0, maar dan mag het aantal eigenvectoren niet groter zijn dan n-1. De determinant is het product van de eigenwaarden, dus één ew is alvast 0. Maar verder ken ik geen stelling die het aantal eigenwaarden limiteert.

quote:

Op zaterdag 8 juli 2006 14:12 schreef GlowMouse het volgende:
Dat is de stelling van Cayley-Hamilton.
Als p(A)=0, dan (A-λ₁I)*(A-λ₂I)*..*(A-λ_kI)=0.
Expanderen kan geven dat A^n-1-c(n-1)A^n-2-...-c2A - c1I = 0, maar dan mag het aantal eigenvectoren niet groter zijn dan n-1. De determinant is het product van de eigenwaarden, dus één ew is alvast 0. Maar verder ken ik geen stelling die het aantal eigenwaarden limiteert.

Het karakteristiek polynoom heeft graad hooguit n, dus dan krijg je iets als A^n + lagere machten van A = 0. Herschrijven geeft dan A^n = som_{i=1}^{n-1}c_i A^ i, ofwel: A^n zit in het opspansel .

Jaaaaaa toch, bedankt
Ik heb nu dus:
Zij A een nxn matrix met karakteristiek polynoom p(x).
Er geldt P(A) = (A-λ₁I)*(A-λ₂I)*..*(A-λ_kI) = 0.
Expanderen geeft c₁A+c₂A²+c₃A³+...+c_nAⁿ + c_n+1I = 0.
Dus Aⁿ = -c₁/c_nA - c₂/c_nA² - ... - c_n-1/c_nA^n-1 - c_n+1/c_n.
Er geldt c_n+1=0 omdat c_n+1 het product is van alle eigenwaarden, en dat is weer gelijk aan de determinant van A

[ Bericht 42% gewijzigd door GlowMouse op 08-07-2006 16:24:44 (dus toch :) thx) ]

quote:

Op zaterdag 8 juli 2006 14:33 schreef GlowMouse het volgende:
Jaaaaaa toch, bedankt
Ik heb nu dus:
Zij A een nxn matrix met karakteristiek polynoom p(x).
Er geldt P(A) = (A-λ₁I)*(A-λ₂I)*..*(A-λ_kI) = 0.
Expanderen geeft c₁A+c₂A²+c₃A³+...+c_nAⁿ
Dus Aⁿ = -c₁/c_nA - c₂/c_nA² - ... - c_n-1/c_nA^n-1. Dat A singulier moet zijn, heb ik nu niet eens gebruikt.

Als je dat product verkeerd uitwerkt heb je inderdaad niet nodig dat A singulier moet zijn .

quote:

Op dinsdag 11 juli 2006 11:04 schreef Haushofer het volgende:
Hoi, had een 7 voor mn programmeren, dus iedereen die me op weg heeft geholpen, ontzettend bedankt !

Namens iedereen (om een stormloop te voorkomen. ) Gefeliciteerd met je resultaat!