2 lijnen snijden elkaar n het oneindige

quote:

Op maandag 30 mei 2005 14:17 schreef Mikkie het volgende:
Wat een onzin.

Mja, in bekrompen wiskunde-voor-beginners-theoriën ja

quote:

Op maandag 30 mei 2005 13:20 schreef Oud_student het volgende:
"Maar snijden in het oneindige" is een wel heel poetische uitdrukking.
Je zou ook kunnen zeggen ze snijden elkaar als pinksteren en pasen samenvallen of met St. Juttemis. etc

beetje onlogisch om tijdens wiskundelessen poetische uidrukkingen te gebruiken, vind ik dan

quote:

Op maandag 30 mei 2005 14:17 schreef Mikkie het volgende:
Wat een onzin. Als lijnen evenwijdig aan elkaar lopen kúnnen ze elkaar niet snijden, anders zijn ze niet evenwijdig.

En zoals Placebeau ook reeds aangaf.
In de projectieve meetkunde kunnen twee evenwijdige lijnen elkaar snijden op de horizon.
In de volgende figuur is een kubus ABCD-EFGH getekend.
Vier ribben zijn verlengd en snijden elkaar twee aan twee op de horizon (de punten P en Q).


Alle lijnen naar de horizon zijn evenwijdig., en alle lijnen in een vlak loodrecht op de horizon snijden elkaar twee aan twee op de horizon.

In de volgende illustratie is het nog duidelijker.

Vier ribben van de kubus, verlengd snijden elkaar in één punt op de horizon.

Het leuke van de projectieve meetkunde is dat 'oneindigheid' zichtbaar gemaakt wordt door een horizon.
Er is een hele interessante meetkunde ontwikkeld die opbloeide vanaf de 16e eeuw en die zich bezig hield met het perspectief. Er zijn hele mooie meetkundige stellingen in deze tak van de wiskunde.

Een bron is hier, waarbij zelfs hyperbolische meetkunde (niet-Euclidische meetkunde) even toegelicht wordt (interessant in de ART)

in die tekeningen is het 3dimensionaal getekend.
de lijnen stellen evenwijdige lijnen voor, maar door de 3D manier van tekenen zijn ze niet meer evenwijdig geworden (op papier)

quote:

Op maandag 30 mei 2005 16:20 schreef M.Picanto het volgende:
in die tekeningen is het 3dimensionaal getekend.
de lijnen stellen evenwijdige lijnen voor, maar door de 3D manier van tekenen zijn ze niet meer evenwijdig geworden (op papier)

Het is dan ook projectief

Heeft zoals gezegd niets met poëzie te maken maar met projectieve meetkunde. Zie de uiterst leerzame posts van Placebeau. .

quote:

Op maandag 30 mei 2005 10:28 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Dat is zoiets als zeggen dat de limiet van een reeks oneindig is; er is geen limiet, maar die noem je dan maar oneindig. Vreemde bewoording idd.

Dat is niet helemaal waar, je kunt wel degelijk de limiet van een reeks op zinnige manier als oneindig defini"eren hoor en dat is niet hetzelfde als het niet hebben van een limiet (zoals bijv. bij een alternerende rij kan voorkomen).

quote:

Op maandag 30 mei 2005 19:54 schreef Koekepan het volgende:
Heeft zoals gezegd niets met poëzie te maken maar met projectieve meetkunde. Zie de uiterst leerzame posts van Placebeau. .

Dankje

alhoewel ik zelf wel het poëtische ervan inzie

Ik ook, maar ik vind dat je pas aan de poëzie mag beginnen als je de technische kant beheerst. .

quote:

Op maandag 30 mei 2005 19:54 schreef Koekepan het volgende:
Heeft zoals gezegd niets met poëzie te maken maar met projectieve meetkunde. Zie de uiterst leerzame posts van Placebeau. .

Helaas:

Vacuüm en ozon heet de bundel waarmee Yves Coussement (1978) in 2004 bij Meulenhoff | Manteau debuteerde als dichter. Zeven afdelingen – kortsluiting 7, blindganger, vacuüm en ozon, geurvlag, balzaal, ring, trilogie van het huis – wisselen elkaar, in een schijnbaar willekeurige volgorde, af en haken in de opeenvolging van telkens afzonderlijke, ontheemde gedichten een vervreemdende bundel in elkaar.


(knip)

Vormelijk is Vacuüm en ozon een bevestiging van de verscherpte ruimtelijkheid in de bundel, van de leegte en de overdaad. Titels en afdelingen worden op elke pagina in hun geheel aangereikt; alleen de blinde vlekken verbergen de juiste woorden. Alles valt af te leiden uit de plaatsing, verschillende parallelle lijnen verbinden gedichten met elkaar en hun afdeling, maar raken elkaar niet; ‘twee evenwijdige rechten snijden / elkaar in het oneindige.’

quote:

Op maandag 30 mei 2005 11:32 schreef Cheiron het volgende:
Mijn vriendin blijft vol houden dat haar leraar natuurkunde via een (geldende) berekening kon laten zien dat twee evenwijdige, parallel lopende lijnen elkaar in het oneindige snijden. Volgens mij geeft dat alleen maar aan dat die formules fout zijn. Maar volgens natuurkundige formules kan het dus wel. Logica geeft een andere uitkomst.

Die leraar heeft bewezen dat de lijnen elkaar nooit snijden. 'In het oneindige snijden' is namelijk hetzelfde als 'niet snijden'. Als dat anders zou zijn dan zou oneindig eindig wezen en dan is het niet oneindig meer.

Het is lang geleden, maar even uit het hoofd een methode:
Stel, je neemt twee lijnen Y=2 en Y=3. Vervolgens ga je op zoek naar de X die ervoor zorgt dat beide vergelijkingen aan elkaar gelijk worden, oftewel 2=3. Met een beetje spelen, bijv. met limieten, krijg je de oplossing dat het kan als de X oneindig groot is. Oneindig is echter geen getal.

Nog een manier is de discrete wiskunde waarmee je feitelijk aantoont dat iedere geldende oplossing impliceert dat de oplossing niet in het oneindige ligt, waarbij de stelling automatisch in contradictie is met zichzelf. Oftewel, er is geen oplossing.

quote:

Op maandag 30 mei 2005 20:00 schreef keesjeislief het volgende:

[..]

Dat is niet helemaal waar, je kunt wel degelijk de limiet van een reeks op zinnige manier als oneindig defini"eren hoor en dat is niet hetzelfde als het niet hebben van een limiet (zoals bijv. bij een alternerende rij kan voorkomen).

Mja, da's ook waar.

Het is trouwens mooi om es de Principia van Newton door te kijken. Hij maakt eigenlijk alleen maar gebruik van meetkundige bewijzen, terwijl hij wel wist hoe je moest differentieren toen hij het schreef. Kennelijk had Newton ook moeite met limiet- en infinitesimaalrekening. Maar dan met het idee an sich

quote:

Op maandag 30 mei 2005 16:12 schreef Yosomite het volgende:

[..]

En zoals Placebeau ook reeds aangaf.
In de projectieve meetkunde kunnen twee evenwijdige lijnen elkaar snijden op de horizon.

Interessante benadering, maar de horizon is een denkbeeldige limiet. Je kunt wel punten berekenen die op de horizon geprojecteerd worden (punten die exact op jouw ooghoogte zitten, of punten die zich zo ver weg bevinden dat ze door de limiet van het oplossend vermogen op de horizon geprojecteerd lijken), maar je kunt geen punten berekenen die zich daadwerkelijk in die horizon bevinden. Er is namelijk altijd een punt te bedenken dat nog dichter bij die horizon ligt.

Zelfs in projectie snijden lijnen elkaar niet in de horizon, tenzij je vals speelt met het oplossend vermogen. En dat is nou precies heel het eieren eten: oneindigheid als eindig voorstellen.

Het wordt hier allemaal veel moeilijker gemaakt dan het eigenlijk is. Twee parallelle rechten snijden elkaar per definitie niet, en het vijfde axioma van euclides is equivalent met zeggen dat er parallell rechten bestaan (zoals John Wallis bewees).
oneindig met limieten is geen meetkundige term, maar een analytische term. Hoe definieer je snijden op oneindig?
Ideeën die hier voorkomen stellen dat twee rechten snijden op oneindig als er een rij rechten L_i bestaat die een steeds kleinere hoek vormt met een van de twee parallelle rechten, zodat het snijpunt van L_i steeds verder op de andere rechte van het paar parallellen ligt. Maar dan neem je opnieuw een limiet van rechten, en heb je het duale probleem.

quote:

Op maandag 30 mei 2005 21:26 schreef Keromane het volgende:

[..]

Interessante benadering, maar de horizon is een denkbeeldige limiet. Je kunt wel punten berekenen die op de horizon geprojecteerd worden (punten die exact op jouw ooghoogte zitten, of punten die zich zo ver weg bevinden dat ze door de limiet van het oplossend vermogen op de horizon geprojecteerd lijken), maar je kunt geen punten berekenen die zich daadwerkelijk in die horizon bevinden. Er is namelijk altijd een punt te bedenken dat nog dichter bij die horizon ligt.

Zelfs in projectie snijden lijnen elkaar niet in de horizon, tenzij je vals speelt met het oplossend vermogen. En dat is nou precies heel het eieren eten: oneindigheid als eindig voorstellen.

Als je nou eens gewoon googlet op "projective geometry" en de gevonden links doorneemt, dan schiet het een stuk meer op.
Ik ga met uw aller welnemen even in thabit-modus. Grofweg is het volgende het geval: de n-dimensionale projectieve meetkunde over een algebraïsch afgesloten lichaam F (notatie: Pⁿ(F)) is gedefinieerd als de verzameling een-dimensionale deelruimten van de (n+1)-dimensionale vectorruimte Fⁿ⁺¹. Een equivalente definitie is: [...] de verzameling punten in Fⁿ⁺¹ verschillend van 0, onder de equivalentierelatie dat P ~ Q dan en slechts dan als P en Q een scalair veelvoud van elkaar zijn.
Nu heeft elke lijn in zeg de R² (het platte vlak) een unieke continuatie naar P²(R). Dit gaat op zo'n manier dat elk punt uit de R² correspondeert met een punt in P²(R), maar niet andersom: P²(R) is dus "groter" dan R². Twee niet-evenwijdige lijnen snijden elkaar nog steeds in P²(R) (en wel in een projectief punt dat correspondeert met een punt in de R²), maar twee evenwijdige lijnen snijden elkaar ook, echter dan in een punt dat niet correspondeert met een punt in de R²: een punt op oneindig.

[ Bericht 0% gewijzigd door Koekepan op 30-05-2005 23:35:59 ]

quote:

Op maandag 30 mei 2005 21:37 schreef McCarthy het volgende:

[..]

je bedoelt met oneindig kleine stukjes?

Ja, maar dat gaat lichtelijk offtopic.

Interessant trouwens, die meetkunde, Koekepan&placebeau

quote:

Op maandag 30 mei 2005 10:30 schreef McCarthy het volgende:

[..]

volgens brugklas VWO snijden ze elkaar in het oneindige

misschien zeiden ze dat om je oneindige veel vragen aan de leraar even te vermijden.
K zag vaak dat een leraar, wanneer hij zijn boodschap niet kan overbrengen doordat de leerling bijv. niet wil snappen, dan gaat ie even een kalmeerantwoord geven een soort fout antwoord..

later zul je zelf ontdekken of dat wel of niet zo was..

Zou mijn docent destijds iets hebben laten zien met evenwijdige lichtbundels die dankzij de kromming van de aarde en de zwaartekacht ofzo wel dichter op mekaar kwamen? Ik haat het dat ik dit niet meer precies weet

quote:

Op maandag 30 mei 2005 23:17 schreef MrTorture het volgende:
Zou mijn docent destijds iets hebben laten zien met evenwijdige lichtbundels die dankzij de kromming van de aarde en de zwaartekacht ofzo wel dichter op mekaar kwamen? Ik haat het dat ik dit niet meer precies weet

Lichtbundels volgen altijd het kortste pad door de ruimte en tijd. En die ruime en tijd worden gekromd door de zwaartekracht. Zodoende zullen de paden van de lichtbundels worden afgeweken door zwaartekracht.

Maar dat is meer natuurkunde dan wiskunde

quote:

Op maandag 30 mei 2005 23:20 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Lichtbundels volgen altijd het kortste pad door de ruimte en tijd. En die ruime en tijd worden gekromd door de zwaartekracht. Zodoende zullen de paden van de lichtbundels worden afgeweken door zwaartekracht.

Maar dat is meer natuurkunde dan wiskunde

Ja, weet ik volgens mij beweerde ik hier ergens al dat wiskundig gezien twee evenwijdigen elkaar niet snijden, maar natuurkundig gezien weer wel.

quote:

Op maandag 30 mei 2005 23:23 schreef MrTorture het volgende:

[..]

Ja, weet ik volgens mij beweerde ik hier ergens al dat wiskundig gezien twee evenwijdigen elkaar niet snijden, maar natuurkundig gezien weer wel.

Neenee, je haalt 2 dingen doormekaar !Het heeft niks te maken met het verschil tussen wiskunde of natuurkunde; het natuurkundige idee wat jij aanstipte heeft haar basis in de meetkunde, en dus zullen er dezelfde regels gelden.

Het heeft te maken met het paradox in de wiskunde. De axioma's die door Euklides bedacht zijn, waren niet helemaal waterdicht. Een van de stellingen is betracht te bewijzen met een cirkelredenatie. Later is die geprobeert te dichten en toen is de Non-euklidische wiskunde gevonden.
Het gaat ook nooit bewezen worden, maar het is nodig de rest uit te kunnen leggen. Alleen dit axioma klinkt een beetje vaag. Meer zin heb ik nu niet in typen, maar wat ik wel kwijt wil is dat de gevolgen van dit "lek" in de wiskunde, het laatste echte nieuws is geweest in die wiskunde. En de hele toren schud er nog steeds van.

Daar heeft het slechts zijdelings mee te maken, Miesjel. Bovendien (1) schudt de wiskunde er helemaal niet meer zo van en (2) zijn er sindsdien nog wel ernstigere "paradoxen" aan het licht gekomen.

quote:

Op maandag 30 mei 2005 23:27 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Neenee, je haalt 2 dingen doormekaar !Het heeft niks te maken met het verschil tussen wiskunde of natuurkunde; het natuurkundige idee wat jij aanstipte heeft haar basis in de meetkunde, en dus zullen er dezelfde regels gelden.

Dan blijft het uiterst vervelend dat mijn geheugen me in de steek laat Maar goed, Havo5 is inmiddels ook weer 8 jaar geleden... (ik mis een smiley met een grijze baard )