2 lijnen snijden elkaar n het oneindige

quote:

Op maandag 30 mei 2005 14:17 schreef Mikkie het volgende:
Wat een onzin.

Mja, in bekrompen wiskunde-voor-beginners-theoriën ja

quote:

Op maandag 30 mei 2005 13:20 schreef Oud_student het volgende:
"Maar snijden in het oneindige" is een wel heel poetische uitdrukking.
Je zou ook kunnen zeggen ze snijden elkaar als pinksteren en pasen samenvallen of met St. Juttemis. etc

beetje onlogisch om tijdens wiskundelessen poetische uidrukkingen te gebruiken, vind ik dan

quote:

Op maandag 30 mei 2005 14:17 schreef Mikkie het volgende:
Wat een onzin. Als lijnen evenwijdig aan elkaar lopen kúnnen ze elkaar niet snijden, anders zijn ze niet evenwijdig.

En zoals Placebeau ook reeds aangaf.
In de projectieve meetkunde kunnen twee evenwijdige lijnen elkaar snijden op de horizon.
In de volgende figuur is een kubus ABCD-EFGH getekend.
Vier ribben zijn verlengd en snijden elkaar twee aan twee op de horizon (de punten P en Q).


Alle lijnen naar de horizon zijn evenwijdig., en alle lijnen in een vlak loodrecht op de horizon snijden elkaar twee aan twee op de horizon.

In de volgende illustratie is het nog duidelijker.

Vier ribben van de kubus, verlengd snijden elkaar in één punt op de horizon.

Het leuke van de projectieve meetkunde is dat 'oneindigheid' zichtbaar gemaakt wordt door een horizon.
Er is een hele interessante meetkunde ontwikkeld die opbloeide vanaf de 16e eeuw en die zich bezig hield met het perspectief. Er zijn hele mooie meetkundige stellingen in deze tak van de wiskunde.

Een bron is hier, waarbij zelfs hyperbolische meetkunde (niet-Euclidische meetkunde) even toegelicht wordt (interessant in de ART)

in die tekeningen is het 3dimensionaal getekend.
de lijnen stellen evenwijdige lijnen voor, maar door de 3D manier van tekenen zijn ze niet meer evenwijdig geworden (op papier)

quote:

Op maandag 30 mei 2005 16:20 schreef M.Picanto het volgende:
in die tekeningen is het 3dimensionaal getekend.
de lijnen stellen evenwijdige lijnen voor, maar door de 3D manier van tekenen zijn ze niet meer evenwijdig geworden (op papier)

Het is dan ook projectief

Heeft zoals gezegd niets met poëzie te maken maar met projectieve meetkunde. Zie de uiterst leerzame posts van Placebeau. .

quote:

Op maandag 30 mei 2005 10:28 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Dat is zoiets als zeggen dat de limiet van een reeks oneindig is; er is geen limiet, maar die noem je dan maar oneindig. Vreemde bewoording idd.

Dat is niet helemaal waar, je kunt wel degelijk de limiet van een reeks op zinnige manier als oneindig defini"eren hoor en dat is niet hetzelfde als het niet hebben van een limiet (zoals bijv. bij een alternerende rij kan voorkomen).

quote:

Op maandag 30 mei 2005 19:54 schreef Koekepan het volgende:
Heeft zoals gezegd niets met poëzie te maken maar met projectieve meetkunde. Zie de uiterst leerzame posts van Placebeau. .

Dankje

alhoewel ik zelf wel het poëtische ervan inzie

Ik ook, maar ik vind dat je pas aan de poëzie mag beginnen als je de technische kant beheerst. .

quote:

Op maandag 30 mei 2005 19:54 schreef Koekepan het volgende:
Heeft zoals gezegd niets met poëzie te maken maar met projectieve meetkunde. Zie de uiterst leerzame posts van Placebeau. .

Helaas:

Vacuüm en ozon heet de bundel waarmee Yves Coussement (1978) in 2004 bij Meulenhoff | Manteau debuteerde als dichter. Zeven afdelingen – kortsluiting 7, blindganger, vacuüm en ozon, geurvlag, balzaal, ring, trilogie van het huis – wisselen elkaar, in een schijnbaar willekeurige volgorde, af en haken in de opeenvolging van telkens afzonderlijke, ontheemde gedichten een vervreemdende bundel in elkaar.


(knip)

Vormelijk is Vacuüm en ozon een bevestiging van de verscherpte ruimtelijkheid in de bundel, van de leegte en de overdaad. Titels en afdelingen worden op elke pagina in hun geheel aangereikt; alleen de blinde vlekken verbergen de juiste woorden. Alles valt af te leiden uit de plaatsing, verschillende parallelle lijnen verbinden gedichten met elkaar en hun afdeling, maar raken elkaar niet; ‘twee evenwijdige rechten snijden / elkaar in het oneindige.’

quote:

Op maandag 30 mei 2005 11:32 schreef Cheiron het volgende:
Mijn vriendin blijft vol houden dat haar leraar natuurkunde via een (geldende) berekening kon laten zien dat twee evenwijdige, parallel lopende lijnen elkaar in het oneindige snijden. Volgens mij geeft dat alleen maar aan dat die formules fout zijn. Maar volgens natuurkundige formules kan het dus wel. Logica geeft een andere uitkomst.

Die leraar heeft bewezen dat de lijnen elkaar nooit snijden. 'In het oneindige snijden' is namelijk hetzelfde als 'niet snijden'. Als dat anders zou zijn dan zou oneindig eindig wezen en dan is het niet oneindig meer.

Het is lang geleden, maar even uit het hoofd een methode:
Stel, je neemt twee lijnen Y=2 en Y=3. Vervolgens ga je op zoek naar de X die ervoor zorgt dat beide vergelijkingen aan elkaar gelijk worden, oftewel 2=3. Met een beetje spelen, bijv. met limieten, krijg je de oplossing dat het kan als de X oneindig groot is. Oneindig is echter geen getal.

Nog een manier is de discrete wiskunde waarmee je feitelijk aantoont dat iedere geldende oplossing impliceert dat de oplossing niet in het oneindige ligt, waarbij de stelling automatisch in contradictie is met zichzelf. Oftewel, er is geen oplossing.

quote:

Op maandag 30 mei 2005 20:00 schreef keesjeislief het volgende:

[..]

Dat is niet helemaal waar, je kunt wel degelijk de limiet van een reeks op zinnige manier als oneindig defini"eren hoor en dat is niet hetzelfde als het niet hebben van een limiet (zoals bijv. bij een alternerende rij kan voorkomen).

Mja, da's ook waar.

Het is trouwens mooi om es de Principia van Newton door te kijken. Hij maakt eigenlijk alleen maar gebruik van meetkundige bewijzen, terwijl hij wel wist hoe je moest differentieren toen hij het schreef. Kennelijk had Newton ook moeite met limiet- en infinitesimaalrekening. Maar dan met het idee an sich

quote:

Op maandag 30 mei 2005 16:12 schreef Yosomite het volgende:

[..]

En zoals Placebeau ook reeds aangaf.
In de projectieve meetkunde kunnen twee evenwijdige lijnen elkaar snijden op de horizon.

Interessante benadering, maar de horizon is een denkbeeldige limiet. Je kunt wel punten berekenen die op de horizon geprojecteerd worden (punten die exact op jouw ooghoogte zitten, of punten die zich zo ver weg bevinden dat ze door de limiet van het oplossend vermogen op de horizon geprojecteerd lijken), maar je kunt geen punten berekenen die zich daadwerkelijk in die horizon bevinden. Er is namelijk altijd een punt te bedenken dat nog dichter bij die horizon ligt.

Zelfs in projectie snijden lijnen elkaar niet in de horizon, tenzij je vals speelt met het oplossend vermogen. En dat is nou precies heel het eieren eten: oneindigheid als eindig voorstellen.

Het wordt hier allemaal veel moeilijker gemaakt dan het eigenlijk is. Twee parallelle rechten snijden elkaar per definitie niet, en het vijfde axioma van euclides is equivalent met zeggen dat er parallell rechten bestaan (zoals John Wallis bewees).
oneindig met limieten is geen meetkundige term, maar een analytische term. Hoe definieer je snijden op oneindig?
Ideeën die hier voorkomen stellen dat twee rechten snijden op oneindig als er een rij rechten L_i bestaat die een steeds kleinere hoek vormt met een van de twee parallelle rechten, zodat het snijpunt van L_i steeds verder op de andere rechte van het paar parallellen ligt. Maar dan neem je opnieuw een limiet van rechten, en heb je het duale probleem.

quote:

Op maandag 30 mei 2005 21:26 schreef Keromane het volgende:

[..]

Interessante benadering, maar de horizon is een denkbeeldige limiet. Je kunt wel punten berekenen die op de horizon geprojecteerd worden (punten die exact op jouw ooghoogte zitten, of punten die zich zo ver weg bevinden dat ze door de limiet van het oplossend vermogen op de horizon geprojecteerd lijken), maar je kunt geen punten berekenen die zich daadwerkelijk in die horizon bevinden. Er is namelijk altijd een punt te bedenken dat nog dichter bij die horizon ligt.

Zelfs in projectie snijden lijnen elkaar niet in de horizon, tenzij je vals speelt met het oplossend vermogen. En dat is nou precies heel het eieren eten: oneindigheid als eindig voorstellen.

Als je nou eens gewoon googlet op "projective geometry" en de gevonden links doorneemt, dan schiet het een stuk meer op.
Ik ga met uw aller welnemen even in thabit-modus. Grofweg is het volgende het geval: de n-dimensionale projectieve meetkunde over een algebraïsch afgesloten lichaam F (notatie: Pⁿ(F)) is gedefinieerd als de verzameling een-dimensionale deelruimten van de (n+1)-dimensionale vectorruimte Fⁿ⁺¹. Een equivalente definitie is: [...] de verzameling punten in Fⁿ⁺¹ verschillend van 0, onder de equivalentierelatie dat P ~ Q dan en slechts dan als P en Q een scalair veelvoud van elkaar zijn.
Nu heeft elke lijn in zeg de R² (het platte vlak) een unieke continuatie naar P²(R). Dit gaat op zo'n manier dat elk punt uit de R² correspondeert met een punt in P²(R), maar niet andersom: P²(R) is dus "groter" dan R². Twee niet-evenwijdige lijnen snijden elkaar nog steeds in P²(R) (en wel in een projectief punt dat correspondeert met een punt in de R²), maar twee evenwijdige lijnen snijden elkaar ook, echter dan in een punt dat niet correspondeert met een punt in de R²: een punt op oneindig.

[ Bericht 0% gewijzigd door Koekepan op 30-05-2005 23:35:59 ]

quote:

Op maandag 30 mei 2005 21:37 schreef McCarthy het volgende:

[..]

je bedoelt met oneindig kleine stukjes?

Ja, maar dat gaat lichtelijk offtopic.

Interessant trouwens, die meetkunde, Koekepan&placebeau

quote:

Op maandag 30 mei 2005 10:30 schreef McCarthy het volgende:

[..]

volgens brugklas VWO snijden ze elkaar in het oneindige

misschien zeiden ze dat om je oneindige veel vragen aan de leraar even te vermijden.
K zag vaak dat een leraar, wanneer hij zijn boodschap niet kan overbrengen doordat de leerling bijv. niet wil snappen, dan gaat ie even een kalmeerantwoord geven een soort fout antwoord..

later zul je zelf ontdekken of dat wel of niet zo was..

Zou mijn docent destijds iets hebben laten zien met evenwijdige lichtbundels die dankzij de kromming van de aarde en de zwaartekacht ofzo wel dichter op mekaar kwamen? Ik haat het dat ik dit niet meer precies weet

quote:

Op maandag 30 mei 2005 23:17 schreef MrTorture het volgende:
Zou mijn docent destijds iets hebben laten zien met evenwijdige lichtbundels die dankzij de kromming van de aarde en de zwaartekacht ofzo wel dichter op mekaar kwamen? Ik haat het dat ik dit niet meer precies weet

Lichtbundels volgen altijd het kortste pad door de ruimte en tijd. En die ruime en tijd worden gekromd door de zwaartekracht. Zodoende zullen de paden van de lichtbundels worden afgeweken door zwaartekracht.

Maar dat is meer natuurkunde dan wiskunde

quote:

Op maandag 30 mei 2005 23:20 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Lichtbundels volgen altijd het kortste pad door de ruimte en tijd. En die ruime en tijd worden gekromd door de zwaartekracht. Zodoende zullen de paden van de lichtbundels worden afgeweken door zwaartekracht.

Maar dat is meer natuurkunde dan wiskunde

Ja, weet ik volgens mij beweerde ik hier ergens al dat wiskundig gezien twee evenwijdigen elkaar niet snijden, maar natuurkundig gezien weer wel.

quote:

Op maandag 30 mei 2005 23:23 schreef MrTorture het volgende:

[..]

Ja, weet ik volgens mij beweerde ik hier ergens al dat wiskundig gezien twee evenwijdigen elkaar niet snijden, maar natuurkundig gezien weer wel.

Neenee, je haalt 2 dingen doormekaar !Het heeft niks te maken met het verschil tussen wiskunde of natuurkunde; het natuurkundige idee wat jij aanstipte heeft haar basis in de meetkunde, en dus zullen er dezelfde regels gelden.

Het heeft te maken met het paradox in de wiskunde. De axioma's die door Euklides bedacht zijn, waren niet helemaal waterdicht. Een van de stellingen is betracht te bewijzen met een cirkelredenatie. Later is die geprobeert te dichten en toen is de Non-euklidische wiskunde gevonden.
Het gaat ook nooit bewezen worden, maar het is nodig de rest uit te kunnen leggen. Alleen dit axioma klinkt een beetje vaag. Meer zin heb ik nu niet in typen, maar wat ik wel kwijt wil is dat de gevolgen van dit "lek" in de wiskunde, het laatste echte nieuws is geweest in die wiskunde. En de hele toren schud er nog steeds van.

Daar heeft het slechts zijdelings mee te maken, Miesjel. Bovendien (1) schudt de wiskunde er helemaal niet meer zo van en (2) zijn er sindsdien nog wel ernstigere "paradoxen" aan het licht gekomen.

quote:

Op maandag 30 mei 2005 23:27 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Neenee, je haalt 2 dingen doormekaar !Het heeft niks te maken met het verschil tussen wiskunde of natuurkunde; het natuurkundige idee wat jij aanstipte heeft haar basis in de meetkunde, en dus zullen er dezelfde regels gelden.

Dan blijft het uiterst vervelend dat mijn geheugen me in de steek laat Maar goed, Havo5 is inmiddels ook weer 8 jaar geleden... (ik mis een smiley met een grijze baard )

quote:

Op maandag 30 mei 2005 21:42 schreef Koekepan het volgende:

[..]

Als je nou eens gewoon googlet op "projective geometry" en de gevonden links doorneemt, dan schiet het een stuk meer op.
Ik ga met uw aller welnemen even in thabit-modus. Grofweg is het volgende het geval: de n-dimensionale projectieve meetkunde over een algebraïsch afgesloten lichaam F (notatie: Pⁿ(F)) is gedefinieerd als de verzameling een-dimensionale deelruimten van de (n+1)-dimensionale vectorruimte Fⁿ⁺¹. Een equivalente definitie is: [...] de verzameling punten in Fⁿ⁺¹ verschillend van 0, onder de equivalentierelatie dat P ~ Q dan en slechts dan als P en Q een scalair veelvoud van elkaar zijn.
Nu heeft elke lijn in zeg de R² (het platte vlak) een unieke continuatie naar P²(R). Dit gaat op zo'n manier dat elk punt uit de R² correspondeert met een punt in P²(R), maar niet andersom: P²(R) is dus "groter" dan R². Twee niet-evenwijdige lijnen snijden elkaar nog steeds in P²(R) (en wel in een projectief punt dat correspondeert met een punt in de R²), maar twee evenwijdige lijnen snijden elkaar ook, echter dan in een punt dat niet correspondeert met een punt in de R²: een punt op oneindig.

Dat is heel mooi uitgelegd, maar als jij een punt tekent en vervolgens stelt dat ie héél ver weg is, dan teken ik een punt op diezelfde plek en zeg ik dat ie nog veel verder weg ligt.

Je kunt niet iets tekenen dat oneindig ver weg ligt. Doe je dat wel dan teken ik een punt dat nog verder weg ligt. Kunnen we oneindig lang volhouden.

Wat wil je nu aantonen dan? Ik begrijp heus wel dat een letterlijk punt op oneindig niet bestaat, maar wel als je 'm zo definieert zoals in de projectieve meetkunde. Plus het feit dat zo'n oneindig punt dan opeens alle eigenschappen blijkt te bezitten die je intuïtief zou toeschrijven aan een punt op oneindig (ook al bestaat dat dus niet).

Misschien is het beter om je P(R) eens voor te stellen, de eendimensionale projectieve ruimte over R (de reële getallen), ook wel: de compactificatie van de reële rechte. De reële getallenlijn heeft als het ware twee "uiteindes", maar in P(R) plak je die aan elkaar, en het "laspunt" noem je het punt op oneindig. Het punt op oneindig ligt dus niet óp de rechte ergens ver weg, maar erbuiten. Je kunt het er echter aan vastplakken op een redelijk natuurlijke manier.
(Als je complexe getallen kent kun je het complexe vlak ook op die manier aanvullen met een punt op oneindig: dan krijg je een bol: de Riemannsfeer = P¹(C).)

quote:

Op dinsdag 31 mei 2005 00:06 schreef Keromane het volgende:

[..]

Dat is heel mooi uitgelegd, maar als jij een punt tekent en vervolgens stelt dat ie héél ver weg is, dan teken ik een punt op diezelfde plek en zeg ik dat ie nog veel verder weg ligt.

Je kunt niet iets tekenen dat oneindig ver weg ligt. Doe je dat wel dan teken ik een punt dat nog verder weg ligt. Kunnen we oneindig lang volhouden.

zoals al gezegd trouwens, bestaat afstand niet in het projectieve vlak, dus heel ver weg liggen en nog verder weg liggen zijn gewoon termen die je niet mag gebruiken
Een tweede punt is dat in het projectieve vlak er niet langer een verschil is tussen punten op oneindig en de andere punten, ze zijn evenwaardig. Dat is ook logisch, want de projectie van het gewone affiene (zo u wilt euclidische) vlak kan op veel manieren gebeuren naar het projectieve vlak, de keuze van de rechte op oneindig hangt volledig af van welke projectie je neemt. Het is wat vaag, maar simpel in te zien met tekeningen. Op het internet is er vast wel wat over te vinden.

quote:

Op dinsdag 31 mei 2005 00:20 schreef Koekepan het volgende:
Wat wil je nu aantonen dan? Ik begrijp heus wel dat een letterlijk punt op oneindig niet bestaat, maar wel als je 'm zo definieert zoals in de projectieve meetkunde. Plus het feit dat zo'n oneindig punt dan opeens alle eigenschappen blijkt te bezitten die je intuïtief zou toeschrijven aan een punt op oneindig (ook al bestaat dat dus niet).

Je kon de vraag 'wat wil je aantonen' ook eerder stellen.

Het is logisch dat wanneer je een niet bestaand punt als punt definieert deze de eigenschappen krijgt van een punt. Maakt niet uit, ik maak er niet zo'n punt van.

Een niet bestaand punt kun je niet definieren, je kunt hooguit een limiet benaderen. Dat is exact wat projectie doet. Je projecteert geen punt maar een limiet. Als je een punt definieert en dit tekent dan teken ik een punt wat erachter ligt. That's it.

In een 3D projectie van twee evenwijdige lijnen die naar een horizon lopen in een oneindig oplossend vermogen snijden die twee lijnen elkaar nog steeds niet. Ze naderen elkaar tot in het oneindige, en ze naderen tot in het oneindige de horizon. Op een afstand zie je een punt, hoe ver je ook inzoomt zie je een punt, maar het is geen punt. Op zich is dat best interessant om eens te bedenken, al gebruiken we in de praktijk natuurlijk gewoon verdwijnpunten en weten we ze nauwkeurig genoeg te bepalen op het 2D projectievlak om er van alles mee te doen.

Het is een 'the edge' idee: een denkbeeldig schaakbord waarbij de hoeken van de witte vlakken elkaar raken, en de hoeken van de zwarte vlakken elkaar ook raken. Hoe ver je ook inzoomt.

quote:

Op dinsdag 31 mei 2005 01:10 schreef placebeau het volgende:

[..]

zoals al gezegd trouwens, bestaat afstand niet in het projectieve vlak, dus heel ver weg liggen en nog verder weg liggen zijn gewoon termen die je niet mag gebruiken
Een tweede punt is dat in het projectieve vlak er niet langer een verschil is tussen punten op oneindig en de andere punten, ze zijn evenwaardig. Dat is ook logisch, want de projectie van het gewone affiene (zo u wilt euclidische) vlak kan op veel manieren gebeuren naar het projectieve vlak, de keuze van de rechte op oneindig hangt volledig af van welke projectie je neemt. Het is wat vaag, maar simpel in te zien met tekeningen. Op het internet is er vast wel wat over te vinden.

1. In projectie is er absoluut verschil tussen 'ver weg' en 'nog veel verder weg', maar dat heeft te maken met het oplossend vermogen. De 'projectieafstanden' zullen 0 naderen maar nooit 0 worden.
2. Wat ik in een andere reactie al aangaf, je projecteert een limiet. Geen punt.

3-dimensionaal moet het mogelijk zijn dat twee lijnen elkaar snijden en toch evenwijdig blijven... hangt van je visie af.

quote:

Op dinsdag 31 mei 2005 01:19 schreef Keromane het volgende:
Een niet bestaand punt kun je niet definieren, je kunt hooguit een limiet benaderen. Dat is exact wat projectie doet. Je projecteert geen punt maar een limiet. Als je een punt definieert en dit tekent dan teken ik een punt wat erachter ligt. That's it.

[...]

We praten een beetje langs elkaar heen, geloof ik. . Een oneindig punt bestaat niet in het platte vlak, zeg jij. Dat klopt helemaal. Ik leg een gerelateerd concept uit dat tevens ten grondslag ligt aan de misschien ongelukkig gekozen term "punt op oneindig". Dit zijn allemaal courante wiskundige definities, dus als je er bezwaren tegen hebt moet je niet bij mij zijn. .

quote:

Op dinsdag 31 mei 2005 01:32 schreef zoalshetis het volgende:
3-dimensionaal moet het mogelijk zijn dat twee lijnen elkaar snijden en toch evenwijdig blijven... hangt van je visie af.

2 lijnen komen zo dicht bij elkaar dat ze niet meer van elkaar te ondescheiden zijn, bij 3d tekening is dit vaak de horizon, maar in theorie blijven de lijnen van elkaar gescheiden, ook al is dit niet te zien.
het LIJKT dus alsof ze elkaar "raken" maar snijden doen ze niet, want na de horizon (het oneindig) kan je de lijn niet verder trekken.

quote:

Op dinsdag 31 mei 2005 08:50 schreef M.Picanto het volgende:

[..]

2 lijnen komen zo dicht bij elkaar dat ze niet meer van elkaar te ondescheiden zijn, bij 3d tekening is dit vaak de horizon, maar in theorie blijven de lijnen van elkaar gescheiden, ook al is dit niet te zien.
het LIJKT dus alsof ze elkaar "raken" maar snijden doen ze niet, want na de horizon (het oneindig) kan je de lijn niet verder trekken.

Ik heb geen enkel verstand van wiskunde en/of natuurkunde, maar dit is toch gewoon aan te duiden met dat voorbeeld van een treinrails ? Stel dat je een treinrails hebt, die helemaal om de aarde heen loopt. Hij heeft dus geen begin en geen einde. Als je ergens op de rails gaat staan, en je kijkt naar de horizon in de richting van de rails, dan zal het lijken alsof de metalen balken elkaar aan de horizon snijden.

In de werkelijkheid is dit niet zo, immers, die balken liggen gewoon parallel aan elkaar. Zou iemand naar dat snijpunt willen lopen, dan is hij eeuwig onderweg, omdat dat punt niet echt bestaat. Je ziet het alleen aan de horizon, en als je vooruit gaat lopen verplaatst de horizon zich naar achteren, en daarmee het zogenaamde snijpunt ook.

Lijkt me

quote:

Op dinsdag 31 mei 2005 09:10 schreef CoolGuy het volgende:

[..]

Ik heb geen enkel verstand van wiskunde en/of natuurkunde, maar dit is toch gewoon aan te duiden met dat voorbeeld van een treinrails ? Stel dat je een treinrails hebt, die helemaal om de aarde heen loopt. Hij heeft dus geen begin en geen einde. Als je ergens op de rails gaat staan, en je kijkt naar de horizon in de richting van de rails, dan zal het lijken alsof de metalen balken elkaar aan de horizon snijden.

In de werkelijkheid is dit niet zo, immers, die balken liggen gewoon parallel aan elkaar. Zou iemand naar dat snijpunt willen lopen, dan is hij eeuwig onderweg, omdat dat punt niet echt bestaat. Je ziet het alleen aan de horizon, en als je vooruit gaat lopen verplaatst de horizon zich naar achteren, en daarmee het zogenaamde snijpunt ook.

Lijkt me

juist, zo iets ongeveer bedoelde ik ook !!!

quote:

Op dinsdag 31 mei 2005 09:17 schreef M.Picanto het volgende:

[..]

juist, zo iets ongeveer bedoelde ik ook !!!

quote:

Op dinsdag 31 mei 2005 01:34 schreef Koekepan het volgende:

[..]

We praten een beetje langs elkaar heen, geloof ik. . Een oneindig punt bestaat niet in het platte vlak, zeg jij. Dat klopt helemaal. Ik leg een gerelateerd concept uit dat tevens ten grondslag ligt aan de misschien ongelukkig gekozen term "punt op oneindig". Dit zijn allemaal courante wiskundige definities, dus als je er bezwaren tegen hebt moet je niet bij mij zijn. .

Ik zei al, 'geen punt'. En je hebt verder ook helemaal gelijk. Wat ik wilde aangeven is dat dingen niet altijd zijn zoals ze lijken.

We leren op school bij perspectieftekenen dat lijnen naar elkaar toelopen in het verdwijnpunt. Daar kunnen we de rest van ons leven prima mee uit de voeten. Ook als we andere grafieken moeten tekenen. Maar als je het heel concreet bekijkt zie je een paradox: je kunt nooit exact de projectie van twee van dergelijke lijnen tekenen omdat ze in een oneindig oplossend vermogen oneindig naar elkaar toelopen. Dat verdwijnpunt wat je ziet is in wezen altijd de herhaling van wat je eerder hebt gezien: de naar elkaar toelopende lijnen, maar dan voorbij het oplossend vermogen.

Bovenstaande is niet meer dan een gedachtenexperiment. In de realiteit hebben we overal limieten om ons heen. De limiet van het oplossend vermogen is een heel belangrijke. In abstractie bestaat het 'verdwijnpunt' of 'punt op oneindig' concreet gezien niet, concreet bestaat het in abstractie wel. EN zo is het cirkeltje rond. Je kunt dergelijke punten vrij nauwkeurig definieren, zelfs exact omschrijven m.b.v. limieten/reeksen/vergelijkingen, en het krijgt inderdaad de eigenschappen van een punt.

Wiskunde is leuk.

Je kunt met bijv. de functie arctan(x) alle reeële getallen afbeelden naar het interval (-0.5pi, 0.5pi)
Je kunt de punten + en - oneindig uit de reeële getallen afbeelden naar -0.5pi resp 0.5pi en je krijgt het gesloten interval als afbeelding voor "alle" reeële getallen.
Maar ook dit is gekunsteld, want de functie bereikt "nooit" de waarde - of +0.5pi, maar komt daar willekeurig dicht bij.

Je schijnt ook oneindig langs elkaar heen te kunnen ouwehoeren, zonder dat het hout snijdt.

quote:

Op maandag 30 mei 2005 21:42 schreef Koekepan het volgende:

[..]

Als je nou eens gewoon googlet op "projective geometry" en de gevonden links doorneemt, dan schiet het een stuk meer op.
Ik ga met uw aller welnemen even in thabit-modus. Grofweg is het volgende het geval: de n-dimensionale projectieve meetkunde over een algebraïsch afgesloten lichaam F (notatie: Pⁿ(F)) is gedefinieerd als de verzameling een-dimensionale deelruimten van de (n+1)-dimensionale vectorruimte Fⁿ⁺¹. Een equivalente definitie is: [...] de verzameling punten in Fⁿ⁺¹ verschillend van 0, onder de equivalentierelatie dat P ~ Q dan en slechts dan als P en Q een scalair veelvoud van elkaar zijn.
Nu heeft elke lijn in zeg de R² (het platte vlak) een unieke continuatie naar P²(R). Dit gaat op zo'n manier dat elk punt uit de R² correspondeert met een punt in P²(R), maar niet andersom: P²(R) is dus "groter" dan R². Twee niet-evenwijdige lijnen snijden elkaar nog steeds in P²(R) (en wel in een projectief punt dat correspondeert met een punt in de R²), maar twee evenwijdige lijnen snijden elkaar ook, echter dan in een punt dat niet correspondeert met een punt in de R²: een punt op oneindig.

Inderdaad. mbv dit verhaal kan je ook inzien waarom het projectieve meetkunde heet, en wat het met die treinrails te maken heeft die naar elkaar toe lijken te lopen. Iets concreter:

Stel X is de driedimensionale ruimte (hoeft niet over een algebraisch afgesloten lichaam, neem bijvoorld de reele getallen).
Je oog is de oorsprong. Het projectieve vlak (laten we het P noemen) beschrijft eigenlijk de waarneming van de wereld X vanuit het gezichtspunt van dat oog (dus eigenlijk hoe je als mens de wereld ziet). Dus alle punten op een lijn door de oorsprong kunnen door dat oog niet worden onderscheiden. (kleine aanvulling: ons oog kijkt in 2 richtingen tegelijk, voor en achter.) Vandaar dat het logisch is om punten in P te definiëren als lijnen in X door de oorsprong. Deze punten (lijnen) vormen de basis bouwstenen voor de waarneming van ons oog.

Een lijn in P is dus een vlak in X door de oorsprong. En twee verschillende lijnen in P zijn dus 2 verschillende vlakken in X door de oorsprong. Twee zulke vlakken snijden elkaar altijd in een lijn in X door de oorsprong: dwz twee lijnen in P snijden elkaar altijd in een projectief punt.

Waarom heet het Projectief: Wel, neem een vlak V in X dat niet door de oorsprong gaat. Punten op V geven een vrij aardig beeld van de wereld zoals waargenomen door ons oog. Stel, een lijn in X door de oorsprong snijdt V. Dan kunnen we het projectieve punt dat deze lijn definiëert voorstellen door het snijpunt van de lijn met V. Je _projecteert_ dus de punten van X op V vanuit de oorsprong. Dit illustreert ook de opmerking uit de quote dat het projectieve vlak groter is dan het "gewone vlak". Het gewone vlak V "bevat" mbv die projectie bijna alle projectieve punten. Alleen als we een lijn in X door de oorsprong nemen die evenwijdig loopt aan V krijgen we een projectief punt dat niet in het gewone vlak ligt. Zulke punten "zien" we dus met ons oog als we in een richting evenwijdig aan V kijken (dus als we bijvoorbeeld naar het einde van de treinrails kijken)

Op die manier hebben we voor iedere kijkrichting evenwijdig aan V een "punt op oneindig" van ons projectieve vlak. Deze kijkrichtingen corresponderen met de richtingen van lijnen op V.

Even over het begrip "horizon". Tja, je zou dat in deze context kunnen gebruiken. Maar volgens mij bedoel je met horizon meestal de grens van zichtbare punten en punten op aarde die je niet meer kunt zien door het feit dat de aarde rond is. Dus punten achter de horizon kan je niet zien omdat er aarde voor zit. Dit is iets anders dan de lijn op oneindig op het projectieve vlak. Je zou dit kunnen modelleren door V te vervangen door een boloppervlak. Maarja, die horizon is meestal zo ver weg dat het voor ons oog ook min of meer neerkomt op vrijwel evenwijdig met het aardoppervlal (of V) kijken.

[ Bericht 0% gewijzigd door kluut op 31-05-2005 21:04:19 ]

Nog iets grappigs over projectieve meetkunde: Er bestaat een zgn dualiteit: Je kan de begrippen "punt" en "lijn" verwisselen. Dit kan op zo'n manier dat je op consistente wijze ook de uitspraken "de lijnen a en b snijden elkaar in punt c" en "de punten a en b liggen op de lijn c" kan verwisselen. Dit levert je een soort meta-wiskundig recept om stellingen over het projectieve vlak die over het snijden van lijnen en de liging van punten gaat te veranderen vertalen in nieuwe stellingen.

Voor voorbeelden, zie
http://mathworld.wolfram.com/DualityPrinciple.html

Eh ja, dat algebraïsch afgesloten was een nogal raar foutje. Mijn excuses. .

helemaal off topic maar ik geloof dat er hier wel mensen zijn die dit weten... Zie maar.

Jaren geleden ben ik eens aan de slag gegaan met 3D graphics, op de goeie oude Amiga met Amos Professional. Ik schreef simpele formules om 3D coordinaten om te zetten in 2D coordinaten zodat het 2D scherm perspectief te zien gaf. Het was vrij omslachtig wat ik deed: vanuit de Z-waarde van een 3D coordinaat liet ik de juiste 2D X en Y coordinaten berekenen. Kort gezegd: delen door de afstand (Z) waarbij het midden van het scherm (0,0) was, en ik de 'afstandseenheid' in een extra constante bepaalde. Door deze constante te veranderen veranderde overigens de view of depth. Erg leuk.

Het werkte prima, bijv. het plotten van een paar 3D kubussen terwijl je door die 3D wereld navigeerde. Voor elk coordinaat moest de computer heel eventjes rekenen. Een fractie van een seconde, maar met een handvol coordinaten zag je al gauw vertraging als je je standpunt veranderde. Niet geschikt om bijv. een spel mee te maken en ik geloof niet dat het veel had uitgemaakt als ik de functies naar machinetaal had omgezet.

Ik ben er nooit meer mee bezig geweest, maar indertijd ben ik er nog eens verder ingedoken en kwam ik uit op matrices. Een beetje boven m'n pet, maar toch interessant.

Is er iemand die me in basis kan uitleggen hoe 3D berekeningen in de praktijk gaan? Hoe kun je voor je coordinaten gaat uitrekenen bijv. bepalen of een coordinaat binnen het gezichtsveld gaat vallen? Als ik mijn 3D wereld roteerde werd elk coordinaat berekend, ook die buiten het gezichtsveld. Ik kan een oplossing bedenken waarbij je maar een fractie van het coordinaat uitrekent en al kan bepalen dat ie niet zichtbaar is, maar echte programmeurs kunnen (wat ik ervan begrepen heb) bijv. ook voorhand laten bepalen of een bepaald vlak tussen een aantal coordinaten zichtbaar zal zijn, of niet, of deels, of deels overlapt door een ander vlak.

Als dit allemaal te complex is om in een paar zinnen uit te leggen, never mind. Dit topic heeft me gewoon weer benieuwd gemaakt.

AMOS Professional was een soort modulair Basic. Een programmeeromgeving met standaard commando's, maar je kon ook functies en procedures schrijven en daarmee een programma. Vanuit de interpreter kon je een programma starten, maar je kon het ook compilen naar een executable.

Het is al lang geleden, maar je kon een scherm declareren van bijv 640 bij 480 en commando's plot (x,y),color of line (x1,y1,x2,y2),color o.i.d. geven. Zo kon je punten en lijnen laten tekenen.

De formule om 3D x,y,z om te zetten in 2D x,y was om de 3D x en y simpelweg te vermenigvuldigen met "een-Z-de" (1/Z), en de uitkomst te vermenigvuldigen met de 'eenheid constante' of hoe je het wilt noemen. Dat deed ik omdat 3D eenheden anders 'begonnen' met 1 pixel, in zeg maar je focus point. Dat je hiermee het view depth leuk kon veranderen (en dat er nota bene een soort focus point was) was een puur toevallige vinding. Oh ja, verder zat er ook nog een berekeningetje aan het begin om (0,0) vast te pinnen op het midden van het scherm ipv de linkerbovenhoek.

Al met al beslist niet ingewikkeld, het werkte heel leuk, maar navigatie door de 3D wereld impliceerde dat je bij elke stap of beweging in feite alle coordinaten van alle objecten moest aanpassen, of 'on the fly' extra terug moest berekenen. Bij rotatie kwam er nog leuke cirkelberekeningen bij waardoor de computer het helemaal gehad had. 1FPS was een utopia. Dan had je het alleen nog maar over een wereld waar er niets bewoog. Nou ja, al met al niet handig. Het topic nu rakelt herinneringen op.

Lineaire algebra zegt me niets. Even google'n.

-- edit: zegt me wel iets. HTS informatica. Matrices enzo, vector berekeningen. Ook al lang geleden. Ik kan me niet herinneren dat er gesproken werd over 3D berekeningen. Even verder lezen..

[ Bericht 6% gewijzigd door Keromane op 31-05-2005 23:52:23 ]

Bepaling of bepaalde pixels wel of niet getekend moeten worden gaat meestal aan de hand van zogenaamde z-buffers, waar de afstand van een polygoon tot de kijker in op wordt geslagen, zo kan bekeken worden of een bepaald polygoon achter een ander polygoon terecht komt en dus niet meer op het scherm getekend hoeft te worden. Natuurlijk zul je voor de translatie/rotatie/etc van objecten nog steeds de berekening uit moeten voeren, maar je zal zo wel optimalisaties kunnen bedenken. Daarbij is de projectie op het scherm vaak toch de meest arbeidsintensieve.

Z-buffers? Interessant. Ik was een tijdje geleden bezig met een opdracht waarin ik moest bepalen vanuit welke punten welke geluidsbronnen direct te horen waren (dus zonder er iets tussenzat). Dat speelde zich ook in 3D af. Ik heb toen een programma moeten schrijven dat voor elke mogelijke obstructie en voor elke geluidsbron uitrekende of de lijn ontvanger-bron de obstructie doorsneed. Iets zei me toen al dat dat effectiever kon. Misschien kun je ter lering en vermaak even uitleggen hoe zo'n z-buffer werkt, dan werkt mijn programma de volgende keer ook sneller. .

Ik wist het zelf niet helemaal precies meer, misschien heb je hier wat meer aan:

http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/gr/resources/07-bsp-zbuf-h.pdf

O ja, dat is redelijk voor de hand liggend ook nog wel. .