Wat is jouw favoriete priemgetal?

11.

_{Ik dacht tenminste dat dat een priemgetal was.}

quote:

---

Op maandag 8 december 2003 21:13 schreef Qix het volgende:
Wat is jouw favoriete priemgetal?

---

Twee.

Omdat het zo heerlijk banaal klinkt.

13

k heb een nieuwe!

2^20996011 -1 (met 6.320.430 cijfers)

Grootste priemgetal tot nu toe ontdekt...

7

1

quote:

---

Op maandag 8 december 2003 21:16 schreef Zwansen het volgende:
k heb een nieuwe!

2^20996011 -1 (met 6.320.430 cijfers)

Grootste priemgetal tot nu toe ontdekt...

---

Waar je je mee bezig kan houden zeg. Ach, het zal vast ergens nuttig voor zijn.

13

1 ?

wat is een priemgetal?

Ik twijfel nog.

quote:

---

Op maandag 8 december 2003 21:17 schreef Ype het volgende:

[..]

Waar je je mee bezig kan houden zeg. Ach, het zal vast ergens nuttig voor zijn.

---

Profiel Ype:

Studierichting: Psychologie

Laten we het niet over nuttig zijn hebben... Met je mickey mouse opleiding!

2, het kleinste en het enige even priemgetal!

quote:

---

Op maandag 8 december 2003 21:22 schreef Qix het volgende:

[..]

Een priemgetal is een natuurlijk getal dat alleen door 1 en door zichzelf deelbaar is.

---

voorbeeld?

quote:

---

Op maandag 8 december 2003 21:23 schreef Just-Dennis het volgende:

[..]

voorbeeld?

---

.

quote:

---

Op maandag 8 december 2003 21:23 schreef De-oneven-2 het volgende:

[..]

.

---

Alle getallen zijn toch deelbaar door zichzelf

_{ik heb priemgetallen nooit genapt}

quote:

---

Op maandag 8 december 2003 21:23 schreef Just-Dennis het volgende:

[..]

voorbeeld?

---

Man! En jij bent Systeembeheerder?

quote:

---

Op maandag 8 december 2003 21:23 schreef Just-Dennis het volgende:

[..]

voorbeeld?

---

OMG

Lees het topic!

Doe dan maar 17

[Dit bericht is gewijzigd door brighton op 08-12-2003 21:26]

quote:

---

Op maandag 8 december 2003 21:25 schreef Zwansen het volgende:

[..]

Man! En jij bent Systeembeheerder?

---

Ik leg net uit dat ik van priemgetallen nog nooit wat gesnapt heb

zucht.............

quote:

---

Op maandag 8 december 2003 21:26 schreef Just-Dennis het volgende:

[..]

Ik leg net uit dat ik van priemgetallen nog nooit wat gesnapt heb

zucht.............

---

Van computers dus ook niet! En wat valt er te snappen aan een getal die alleen deelbaar is door 1 en door zichzelf?

nerd

quote:

---

Op maandag 8 december 2003 21:22 schreef Zwansen het volgende:

[..]

Profiel Ype:

Studierichting: Psychologie

Laten we het niet over nuttig zijn hebben... Met je mickey mouse opleiding!

---

Een studie waar men zich richt op de vraag waarom mensen zich richten op vragen waarvan men zich zou kunnen afvragen waarom men zich daarop richt is per definitie nuttig

quote:

---

Op maandag 8 december 2003 21:27 schreef Zwansen het volgende:

[..]

Van computers dus ook niet! En wat valt er te snappen aan een getal die alleen deelbaar is door 1 en door zichzelf?

---

Geen idee eigenlijk, misschien vind ik priemgetallen wel niet zo nuttig dan

Ik ga wel weer ff verder

quote:

---

Op maandag 8 december 2003 21:28 schreef Qix het volgende:

[..]

Voorbeeld: 14 is niet priem, want het is deelbaar door 2 en 7 (delen door 1 en delen door jezelf telt niet mee)

Voorbeeld: 19 is priem, want het is alleen door 1 en 19 deelbaar.

---

Dank u

quote:

---

Op maandag 8 december 2003 21:28 schreef Ype het volgende:

[..]

Een studie waar men zich richt op de vraag waarom mensen zich richten op vragen waarvan men zich zou kunnen afvragen waarom men zich daarop richt is per definitie nuttig

---

Dat vraag ik me af!

Ook al is 69 geen priemgetal, het blijft toch een fijn nummertje...

7 dan denk ik toch maar...

quote:

---

Op maandag 8 december 2003 21:30 schreef Zwansen het volgende:

[..]

Dat vraag ik me af!

---

Kom maar langs voor een hersenscan dan

Een priemgetal: een getal dat bestaat uit gaatjes gemaakt met een priem!

Mijn favo priemgetal is: 11

aangezien ik op 11 juni 1977 om 4.11 geboren ben en 11 het gekkegetal is.

quote:

---

Op maandag 8 december 2003 21:34 schreef Mistermind het volgende:
Een priemgetal: een getal dat bestaat uit gaatjes gemaakt met een priem!

---

HAHAHAHAHAHA!

quote:

---

Op maandag 8 december 2003 21:39 schreef Qix het volgende:
Er zijn oneindig veel priemgetallen. Dit werd al bewezen door Euclides.

---

Klein kunstje, je kunt namelijk ook oneindig lang door blijven prikken.

13

vrijdag de 13, geboortedag natuurlijk...

284.267671 is mijn favoriete priemgetal...

ik zou 36 willen zeggen want dat is een heerlijk getal, maar dat is geen priemgetal dus laat dan maar zitten

11

13.... mijn geluksnummer, en eveneens mijn gelukspriemgetal

Kun je niet gewoon een getal nemen wat eindigt op een 3 .

dus 1<paar miljard nullen>3. want de volgende getallen zijn ook priemgetallen

3, 13, 23, [strike]33[/strike], 43, 53, 63, 73, 83, [strike]93[/strike]

[strike]...toch [/strike]

Laat maar

[Dit bericht is gewijzigd door Keys op 08-12-2003 22:43]

helaas, u gaat niet door voor de koelkast.

quote:

---

Op maandag 8 december 2003 22:40 schreef Keys het volgende:
Kun je niet gewoon een getal nemen wat eindigt op een 3 .

dus 1<paar miljard nullen>3. want de volgende getallen zijn ook priemgetallen

3, 13, 23, [strike]33[/strike], 43, 53, 63, 73, 83, [strike]93[/strike]

[strike]...toch [/strike]

Laat maar

---

33 kan je delen door 11..... of moest dat nou persee gedeeld door 10 of minder.

een priemgetal is een getal dat alleen door zichzelf (en 1) te delen is. Dus als het door een ander GEHEEL getal gedeeld kan worden is het helaas pindakaas.

11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Maar eigenlijk is 37 het.

Ik ga voor 23 (dat ben ik)
En is 2003 eigenlijk een priemgetal? Het is in iedergeval niet deelbaar door 2,3,4,5,7,9 of 11 en dat betekent dat je meestal hard op weg bent naar een priemgetal...

17

Doe mij maar 5. Das het beste

163 is natuurlijk ook een leuk priemgetal.

quote:

---

Op maandag 8 december 2003 23:53 schreef jaha het volgende:
Ik ga voor 23 (dat ben ik)
En is 2003 eigenlijk een priemgetal? Het is in iedergeval niet deelbaar door 2,3,4,5,7,9 of 11 en dat betekent dat je meestal hard op weg bent naar een priemgetal...

---

Is inderdaad een priemgetal. Je hoeft overigens niet te controleren of het deelbaar is door 4 of 9, aangezien dit geen priemgetallen zijn. Je hoeft sowieso niet verder te controleren dan 43.

Ik vind 3 wel mooi en bijbels. Is tevens het argument. Een klassieke drieslag dus.
* daniel_hoenderdos gniffelt autistisch in zichzelf.

53, Herbie.

quote:

---

Op maandag 8 december 2003 21:26 schreef Just-Dennis het volgende:

[..]

Ik leg net uit dat ik van priemgetallen nog nooit wat gesnapt heb

zucht.............

---

Bastard Systems Manager from Hell

quote:

---

Op maandag 8 december 2003 23:43 schreef thabit het volgende:

* P_thabit     > 1111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111

* Met extra spaties om de Fok!-layout te beschermen.

---

Bewijs * P_thabit is priem: * P_thabit = (10¹⁰³¹-1) / 9 zie een gecontroleerd Primality Certificate hiervoor.

N.B. de vorm (10^k-1) / 9 levert slechts sporadisch een priemgetal op namelijk voor:

k = {2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, ?)

Mijn favoriete prime is * P_{the.moderator} = 131 en is de som van drie opeenvolgende priemgetallen:

* P_{the.moderator} = 131 = 41 + 43 + 47

[Dit bericht is gewijzigd door the.moderator op 09-12-2003 13:57]

Kan iemand mij een formule aangeven om de reeks {b}niet{/b}-priemgetallen in één klap te vinden

{sub}uitlokpost {/sub}

[Dit bericht is gewijzigd door Mobious op 09-12-2003 13:45]

quote:

---

Op dinsdag 9 december 2003 13:30 schreef Mobious het volgende:
Kan iemand mij een formule aangeven om de reeks {b}niet{/b}-priemgetallen in één klap te vinden

{sub}uitlokpost {/sub}

---

Alle even getallen m.u.v. het getal 2

quote:

---

Op dinsdag 9 december 2003 14:01 schreef the.moderator het volgende:

[..]

Alle even getallen m.u.v. het getal 2

---

Alleen dit is niet volledig. En ik ben eigenlijk op zoek naar de volledige verzameling van {b}niet{/b}-priemgetallen.

quote:

---

Op dinsdag 9 december 2003 10:19 schreef the.moderator het volgende:

[..]

Bewijs * P_thabit is priem: * P_thabit = (10¹⁰³¹-1) / 9 zie een gecontroleerd Primality Certificate hiervoor.

N.B. de vorm (10^k-1) / 9 levert slechts sporadisch een priemgetal op namelijk voor:

k = {2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, ?)

Mijn favoriete prime is * P_{the.moderator} = 131 en is de som van drie opeenvolgende priemgetallen:

* P_{the.moderator} = 131 = 41 + 43 + 47

---

Heel leuk, maar er is (sinds kort!) een deterministische primaliteitstest, polynomiaal in log(p). Zie www.cse.iitk.ac.in/news/primality.html

quote:

---

Op maandag 8 december 2003 23:59 schreef thabit het volgende:
163 is natuurlijk ook een leuk priemgetal.

---

Reken namelijk maar eens e^{wortel(163)Pi} uit.

quote:

---

Op dinsdag 9 december 2003 14:38 schreef thabit het volgende:

[..]

Heel leuk, maar er is (sinds kort!) een deterministische primaliteitstest, polynomiaal in log(p). Zie www.cse.iitk.ac.in/news/primality.html

---

Bedankt voor die link, die zocht ik net.

Een deterministisch algoritme is natuurlijk helemaal perfekt, zeker als het geen gebruik maakt van (nog) onbewezen hypothesen (Riemann etc.). Ik had AKS reeds als MatLab en/of Maple programma voorbij zien komen en wilde dat gebruiken om de primality van jouw priemgetal te testen. Toen ik zag dat jouw priemgetal al in 1993 was getest, dacht ik laat maar waaien.

ik vind persoonlijk 31337 op afstand het stoerste priemgetal, de reden hoef ik niet uit te leggen toch?

quote:

---

Op dinsdag 9 december 2003 18:56 schreef Mirion het volgende:
ik vind persoonlijk 31337 op afstand het stoerste priemgetal, de reden hoef ik niet uit te leggen toch?

---

En deze dan: 61511?
oftewel: 6 15 11 -> F O K

quote:

---

Op maandag 8 december 2003 23:44 schreef thabit het volgende:
Maar eigenlijk is 37 het.

---

hier idem.

quote:

---

Op dinsdag 9 december 2003 18:41 schreef the.moderator het volgende:

[..]

Bedankt voor die link, die zocht ik net.

Een deterministisch algoritme is natuurlijk helemaal perfekt, zeker als het geen gebruik maakt van (nog) onbewezen hypothesen (Riemann etc.). Ik had AKS reeds als MatLab en/of Maple programma voorbij zien komen en wilde dat gebruiken om de primality van jouw priemgetal te testen. Toen ik zag dat jouw priemgetal al in 1993 was getest, dacht ik laat maar waaien.

---

Het algoritme is helemaal deterministisch en polynomiaal. Alleen hoe polynomiaal het is (dus in welke macht van log(p) het loopt) hangt af van de Riemannhypothese.

quote:

---

Op dinsdag 9 december 2003 10:19 schreef the.moderator het volgende:

[..]

Bewijs * P_thabit is priem: * P_thabit = (10¹⁰³¹-1) / 9 zie een gecontroleerd Primality Certificate hiervoor.

N.B. de vorm (10^k-1) / 9 levert slechts sporadisch een priemgetal op namelijk voor:

k = {2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, ?)

Mijn favoriete prime is * P_{the.moderator} = 131 en is de som van drie opeenvolgende priemgetallen:

* P_{the.moderator} = 131 = 41 + 43 + 47

---

Uit dat certificaat, heb je ook enig idee hoe lang het duurt voordat een amd 1800 (10^153 2116208870 1542399127 8431667808 3614392172 9429590138 7715486473 4579255348 5904479698 0526236853-1)/9 heeft uitgerekend?

Ik heb twee favoriete priemgetallen:
41 en 43.

Mooie getallen.

quote:

---

Op woensdag 10 december 2003 00:19 schreef Visitor.Q het volgende:

[..]

Uit dat certificaat, heb je ook enig idee hoe lang het duurt voordat een amd 1800 (10^153 2116208870 1542399127 8431667808 3614392172 9429590138 7715486473 4579255348 5904479698 0526236853-1)/9 heeft uitgerekend?

---

Behoorlijk snel want je mag het modulo N doen. Lukt makkelijk binnen een halve seconde.

quote:

---

Op woensdag 10 december 2003 00:19 schreef Visitor.Q het volgende:

[..]

Uit dat certificaat, heb je ook enig idee hoe lang het duurt voordat een amd 1800 (10^153 2116208870 1542399127 8431667808 3614392172 9429590138 7715486473 4579255348 5904479698 0526236853-1)/9 heeft uitgerekend?

---

Ik zou dan niet de vorm (10^k-1) / 9 gebruiken, want de kans dat dat ook een priemgetal zou zijn is redelijk klein, gegeven dat er voor 2 < k < 86453 maar 7 priemgetallen gevonden zijn en als je 1 ook meerekent, zoals sommige wiskundigen doen, 8 priemgetallen in totaal.

Ik zou dan voorstellen om het gegeven priemgetal in de vorm (2^P+3) te proberen.

maar ik snap niet waarom 1 geen priemgetal is?

je kan het alleen maar doorzichzelf en 1 delen toch?

Volgens mij heeft het meer met ontbinding in factoren te maken...

Priemgetallen bestaan alleen uit zichzelf tot de macht 1.

Het getal 1 zou je tot elke macht als factor kunnen toevoegen.

17

quote:

---

Op maandag 8 december 2003 21:13 schreef Qix het volgende:
Wat is jouw favoriete priemgetal?

---

Waarom zou ik een favoriet priemgetal moeten hebben...

163 is heerlijk.
Het voelt zo 'niet priem'. Ik heb altijd de neiging om te kijken of het echt niet door 13 of 17 te delen is...

23

Fantastische topic! Hoelang heb ik een leegte in mijn leven ervaren doordat ik mijn favoriete priemetje (koosnaampje) niet kon delen.

quote:

---

Op dinsdag 9 december 2003 14:41 schreef thabit het volgende:

Reken namelijk maar eens e^{wortel(163)Pi} uit.

---

262537412640768743,99999999999925007259719818568887935385633733699086270753741 037821064791011860731295118134618606450419308388794975386404490572871447719681 485232243203911647829148864228272013117831706501045222687801444841770346969463 355707681723887681000923706539519386506362757657888558223948114276912100830886 651107284710623465811298183012459132836100064982665923651726178830863710786452 195528154274665109611001472502097904639381778712575009803657792230643121651131 087380599298242335584945612399567699978435964864096003266482443521306491599303 270530753256568618388265483309802846696242873884751844436838530734115044469478 840059464469131682120592946054542163754891890060150356872862933140063632268146 351612163764864131429342351600214180513528287731960179813917884407150662994919 093496277396207234135302557578180281180210206340974993923837290330361739816633 600322612620886664117180538328558970002735722645233287010649586367726698687384 859165698266261741988551156844303327351231032433075727331649536152620482684798 306053981003157759802511144595774183596489094220203477196778483082245007019118 206108478776225735878584402319091953216420763414005680399431546526673794350216 992134747713261128519133178491606658068403489787814431322679410839519360265028 960726537291276226938242717551278279653750700784001190019241713358327134701518 756952318950577522896149682821650782166855605218622283761511045290704651981350 624064015699555055607723527235898359267993820905324184058912744801439474570950 647586555194756066347107978366612927647920909687903131865554282732062606593248 413261523705890098275370715373630772580812755826920872591581902005039751192726 281420515295848284628604840714806749933756897548169897911661250320738399632947 197475066080743912282251610298715312153928673289056455168511094510850241868813 357753938319988751316257344799941108118740096770682577450950592795177900534229 227625135157671393352553508698193649538153388239870759679764768250913442427211 537562946093572780028074511889735844312259940735819* _{met dank aan Ramanujan (1887-1920)}

mijn favoriete getal is een beetje complex:

------------------------------------
Jawel, ik sta bekend als fenomeen
tenminste onder mathematici
En in wiskundig aangelegde kringen

mijn naam, als u het weten wilt, is i
ik zit in allerlei berekeningen
en aan het einde hef ik mij weer op

U vraagt niet, denk ik, om verhandelingen
Maar wenst dat ik mezelf nu eens ontpop
Welnu, ik ben de wortel uit -1

Ik functioneer, ofschoon ik niet besta,
denk daar maar eens langdurig over na.
-----------------------------------------------------------

Heerlijk priemgetal. Alleen deelbaar door i en 1.....

quote:

---

Op woensdag 10 december 2003 21:55 schreef Qix het volgende:

Het leuke is, elektrotechnici gebruiken niet de letter i maar de letter j (althans op de TU/e). Dat doen ze omdat i al voor stroomsterkte gebruikt wordt. Je hebt dus een nickname.

---

Jippie nog meer TU/e mensen! Groetjes uit het hoofdgebouw

37 natuurlijk

Jup, Ik ook elektrotechniek op de TU/e. Maar de meeste mensen snappen het niet als ik meteen over j begin..... 1e jaars hier.... Wie is u, heer qix?

quote:

---

Op woensdag 10 december 2003 21:55 schreef Qix het volgende:

[..]

Het leuke is, elektrotechnici gebruiken niet de letter i maar de letter j (althans op de TU/e). Dat doen ze omdat i al voor stroomsterkte gebruikt wordt. Je hebt dus een nickname.

---

Dat doen ze niet alleen op de TU/e. Da's algemeen.

is idd algemeen, zelfs matlab kent j als imaginair getal. (dus even rekening mee houden, om te checken of je niet toevallig vergeet een j te declareren als je die als variabele gebruikt).

Als ik dan toch een favoriet priemgetal moet hebben, laat het dan 7 zijn

quote:

---

Op woensdag 10 december 2003 00:19 schreef Visitor.Q het volgende:

Uit dat certificaat, heb je ook enig idee hoe lang het duurt voordat een amd 1800 (10^153 2116208870 1542399127 8431667808 3614392172 9429590138 7715486473 4579255348 5904479698 0526236853-1)/9 heeft uitgerekend?

---

Geen idee, maar wel heeeeeel erg lang, want jouw "priem?"getal is ongeveer 10 ^{Googol / 65269200} / 9

quote:

---

Op woensdag 10 december 2003 00:31 schreef thabit het volgende:

Behoorlijk snel want je mag het modulo N doen. Lukt makkelijk binnen een halve seconde.

---

Wat een snelle computer heb jij thabit?! Het lukt mij zelfs niet om het testgetal van Visitor.Q in mijn virtuele PC geheugen van 2x120Gb ingevoerd te krijgen.

Zelfs als ik i.p.v. de formule (10^k-1) / 9 de meer geschikte formule (2^P+3) gebruik, kom ik heel wat geheugen te kort bij k of P = 153 2116208870 1542399127 8431667808 3614392172 9429590138 7715486473 4579255348 5904479698 0526236853. Als het een nieuw priemgetal zou opleveren, dan zou het ook gelijk het aller allerlangste bekende priemgetal zijn! (2^P+3)    > 3P/10 >> 6.320.430 cijfers.

quote:

---

Frontpage: Student ontdekt grootste priemgetal ooit
_{Gepost door Arno (Nolius) - donderdag 11 december 2003 @ 18:59 - Bron: Planet.nl}

Een 26-jarige student heeft het grootste priemgetal ter wereld ontdekt. Michael Shafer uit het Amerikaanse Michigan achterhaalde het priemgetal met maar liefst 6.320.430 cijfers.

De student deed de ontdekking met behulp van een gewone Dell-computer van de Michigan State University. Hij gebruikte een programma waarbij de software van een groot aantal computer aan elkaar werd gekoppeld.

Inmiddels loopt er al acht jaar een project om nieuwe priemgetallen te zoeken. De computer van Shafer maakt deel uit van dat 'Great Internet Mersenne Prime Search-project'. Het doel van het project is het vinden van een priemgetal met meer dan tien miljoen cijfers. De gelukkige die daarin slaagt, ontvangt 100.000 dollar. Een voormalige deelnemer van het project ontving in 2000 al 50.000 dollar voor het vinden van het eerste priemtal met meer dan één miljoen getallen.

---

Voor de berekening in 2 jaar van 't langste priemgetal, met 6.320.430 cijfers, waren meer dan 200.000 computers nodig. Hoeveel computers zijn er nodig zijn voor * Priem_Visitor.Q = 10 ^{Googol / 65269200} / 9 ?!

[Dit bericht is gewijzigd door the.moderator op 12-12-2003 00:28]

Beter opletten, the.moderator. Als N=(10¹⁰³¹-1)/9, dan is die exponent van Visitor.Q een factor van N-1. Voor het priemcertificaat is die berekening nodig modulo N. En dat kan makkelijk uit worden gerekend.

quote:

---

Op vrijdag 12 december 2003 01:14 schreef thabit het volgende:
Beter opletten, the.moderator. Als N=(10¹⁰³¹-1)/9, dan is die exponent van Visitor.Q een factor van N-1. Voor het priemcertificaat is die berekening nodig modulo N. En dat kan makkelijk uit worden gerekend.

---

Verklaar je nader, want ik ben niet geļntereseerd in jouw N maar in P = (2^N+3) of in P = (10^N-1) / 9 en ik zie niet hoe ik die bij die laatste vorm gemakkelijk kan reduceren. Bedenk wel dat het het langste (grootste) bekende priemgetal zou opleveren. Of wordt als eis aan het grootste priemgetal gesteld dat het niet de vorm nnnnnnn...n, met in dit geval n=1, mag hebben? Dat alle cijfers het zelfde zijn heeft verder niets met primality te maken, maar met het gebruikte decimale talstelsel. Primality en modulo's zijn onafhankelijk van het gebruikte talstelsel.

Het is gebaseerd op de (p-1)-priemtest. We kennen allemaal de kleine stelling van Fermat: als p een priemgetal is en a is niet deelbaar door p, dan geldt:
a^p-1=1 mod p.
Nu kun je je afvragen, is er ook een g zodanig dat p-1 de kleinste waarde van k is waarvoor
g^k=1 mod p.
Het antwoord op deze vraag is: ja, behoorlijk veel g's zelfs.

De grap is nu, dat als je zo'n g hebt gevonden, dat je dan ook meteen hebt bewezen dat p priem is. De vraag is alleen: hoe weet je dat je zo'n g te pakken hebt? Dat doen we als volgt: ten eerste moeten we laten zien dat
g^p-1=1 mod p.
En vervolgens moeten we laten zien dat g^(p-1)/q niet 1 mod p is, voor elke priemfactor q van p-1.

We moeten dus behoorlijk hoge machten kunnen uitrekenen, modulo p. Dat kan heel snel.

2

Een priemgetal is een getal dat uitsluitend deelbaar is door 1 en door zichzelf. 10 is dus géén priemgetal: je kunt het niet alleen delen door 1 en 10, maar ook door 2 en 5. 11 is wel een priemgetal: je kunt het immers alléén delen door 1 en 11. Hieronder vind je de eerste 1 000 priemgetallen...

0002 0003 0005 0007 0011 0013 0017 0019 0023 0029 0031 0037
0041 0043 0047 0053 0059 0061 0067 0071 0073 0079 0083 0089
0097 0101 0103 0107 0109 0113 0127 0131 0137 0139 0149 0151
0157 0163 0167 0173 0179 0181 0191 0193 0197 0199 0211 0223
0227 0229 0233 0239 0241 0251 0257 0263 0269 0271 0277 0281
0283 0293 0307 0311 0313 0317 0331 0337 0347 0349 0353 0359
0367 0373 0379 0383 0389 0397 0401 0409 0419 0421 0431 0433
0439 0443 0449 0457 0461 0463 0467 0479 0487 0491 0499 0503
0509 0521 0523 0541 0547 0557 0563 0569 0571 0577 0587 0593
0599 0601 0607 0613 0617 0619 0631 0641 0643 0647 0653 0659
0661 0673 0677 0683 0691 0701 0709 0719 0727 0733 0739 0743
0751 0757 0761 0769 0773 0787 0797 0809 0811 0821 0823 0827
0829 0839 0853 0857 0859 0863 0877 0881 0883 0887 0907 0911
0919 0929 0937 0941 0947 0953 0967 0971 0977 0983 0991 0997
1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069
1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163
1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249
1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321
1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439
1447 1451 1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511
1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583 1597 1601
1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657 1663 1667 1669 1693
1697 1699 1709 1721 1723 1733 1741 1747 1753 1759 1777 1783
1787 1789 1801 1811 1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877
1879 1889 1901 1907 1913 1931 1933 1949 1951 1973 1979 1987
1993 1997 1999 2003 2011 2017 2027 2029 2039 2053 2063 2069
2081 2083 2087 2089 2099 2111 2113 2129 2131 2137 2141 2143
2153 2161 2179 2203 2207 2213 2221 2237 2239 2243 2251 2267
2269 2273 2281 2287 2293 2297 2309 2311 2333 2339 2341 2347
2351 2357 2371 2377 2381 2383 2389 2393 2399 2411 2417 2423
2437 2441 2447 2459 2467 2473 2477 2503 2521 2531 2539 2543
2549 2551 2557 2579 2591 2593 2609 2617 2621 2633 2647 2657
2659 2663 2671 2677 2683 2687 2689 2693 2699 2707 2711 2713
2719 2729 2731 2741 2749 2753 2767 2777 2789 2791 2797 2801
2803 2819 2833 2837 2843 2851 2857 2861 2879 2887 2897 2909
2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969 2971 2999 3001 3011 3019
3023 3037 3041 3049 3061 3067 3079 3083 3089 3109 3119 3121
3137 3163 3167 3169 3181 3187 3191 3203 3209 3217 3221 3229
3251 3253 3257 3259 3271 3299 3301 3307 3313 3319 3323 3329
3331 3343 3347 3359 3361 3371 3373 3389 3391 3407 3413 3433
3449 3457 3461 3463 3467 3469 3491 3499 3511 3517 3527 3529
3533 3539 3541 3547 3557 3559 3571 3581 3583 3593 3607 3613
3617 3623 3631 3637 3643 3659 3671 3673 3677 3691 3697 3701
3709 3719 3727 3733 3739 3761 3767 3769 3779 3793 3797 3803
3821 3823 3833 3847 3851 3853 3863 3877 3881 3889 3907 3911
3917 3919 3923 3929 3931 3943 3947 3967 3989 4001 4003 4007
4013 4019 4021 4027 4049 4051 4057 4073 4079 4091 4093 4099
4111 4127 4129 4133 4139 4153 4157 4159 4177 4201 4211 4217
4219 4229 4231 4241 4243 4253 4259 4261 4271 4273 4283 4289
4297 4327 4337 4339 4349 4357 4363 4373 4391 4397 4409 4421
4423 4441 4447 4451 4457 4463 4481 4483 4493 4507 4513 4517
4519 4523 4547 4549 4561 4567 4583 4591 4597 4603 4621 4637
4639 4643 4649 4651 4657 4663 4673 4679 4691 4703 4721 4723
4729 4733 4751 4759 4783 4787 4789 4793 4799 4801 4813 4817
4831 4861 4871 4877 4889 4903 4909 4919 4931 4933 4937 4943
4951 4957 4967 4969 4973 4987 4993 4999 5003 5009 5011 5021
5023 5039 5051 5059 5077 5081 5087 5099 5101 5107 5113 5119
5147 5153 5167 5171 5179 5189 5197 5209 5227 5231 5233 5237
5261 5273 5279 5281 5297 5303 5309 5323 5333 5347 5351 5381
5387 5393 5399 5407 5413 5417 5419 5431 5437 5441 5443 5449
5471 5477 5479 5483 5501 5503 5507 5519 5521 5527 5531 5557
5563 5569 5573 5581 5591 5623 5639 5641 5647 5651 5653 5657
5659 5669 5683 5689 5693 5701 5711 5717 5737 5741 5743 5749
5779 5783 5791 5801 5807 5813 5821 5827 5839 5843 5849 5851
5857 5861 5867 5869 5879 5881 5897 5903 5923 5927 5939 5953
5981 5987 6007 6011 6029 6037 6043 6047 6053 6067 6073 6079
6089 6091 6101 6113 6121 6131 6133 6143 6151 6163 6173 6197
6199 6203 6211 6217 6221 6229 6247 6257 6263 6269 6271 6277
6287 6299 6301 6311 6317 6323 6329 6337 6343 6353 6359 6361
6367 6373 6379 6389 6397 6421 6427 6449 6451 6469 6473 6481
6491 6521 6529 6547 6551 6553 6563 6569 6571 6577 6581 6599
6607 6619 6637 6653 6659 6661 6673 6679 6689 6691 6701 6703
6709 6719 6733 6737 6761 6763 6779 6781 6791 6793 6803 6823
6827 6829 6833 6841 6857 6863 6869 6871 6883 6899 6907 6911
6917 6947 6949 6959 6961 6967 6971 6977 6983 6991 6997 7001
7013 7019 7027 7039 7043 7057 7069 7079 7103 7109 7121 7127
7129 7151 7159 7177 7187 7193 7207 7211 7213 7219 7229 7237
7243 7247 7253 7283 7297 7307 7309 7321 7331 7333 7349 7351
7369 7393 7411 7417 7433 7451 7457 7459 7477 7481 7487 7489
7499 7507 7517 7523 7529 7537 7541 7547 7549 7559 7561 7573
7577 7583 7589 7591 7603 7607 7621 7639 7643 7649 7669 7673
7681 7687 7691 7699 7703 7717 7723 7727 7741 7753 7757 7759
7789 7793 7817 7823 7829 7841 7853 7867 7873 7877 7879 7883
7901 7907 7919

En zo gaat het nog een tijdje door want zoals de Griekse meetkundige Euclides al rond 300 voor Christus aantoonde: het aantal priemgetallen is oneindig. Ze worden trouwens wel steeds 'zeldzamer'. Zo is bijvoorbeeld 25 procent van alle cijfers tussen 1 en 100 een priemgetal, maar als je kijkt naar de getallen 1 t/m 1 000 dan zakt dat percentage naar 17. En van de cijfers tussen 1 en 1 000 000 is nog slechts 7 procent deelbaar door één en zichzelf.

_bron

quote:

---

Op vrijdag 12 december 2003 02:16 schreef thabit het volgende:
Het is gebaseerd op de (p-1)-priemtest. We kennen allemaal de kleine stelling van Fermat: als p een priemgetal is en a is niet deelbaar door p, dan geldt:
a^p-1=1 mod p.
Nu kun je je afvragen, is er ook een g zodanig dat p-1 de kleinste waarde van k is waarvoor
g^k=1 mod p.
Het antwoord op deze vraag is: ja, behoorlijk veel g's zelfs.

De grap is nu, dat als je zo'n g hebt gevonden, dat je dan ook meteen hebt bewezen dat p priem is. De vraag is alleen: hoe weet je dat je zo'n g te pakken hebt? Dat doen we als volgt: ten eerste moeten we laten zien dat
g^p-1=1 mod p.
En vervolgens moeten we laten zien dat g^(p-1)/q niet 1 mod p is, voor elke priemfactor q van p-1.

We moeten dus behoorlijk hoge machten kunnen uitrekenen, modulo p. Dat kan heel snel.

---

Exact zover was ik ook al en pas als het over groepentheorie gaat moet ik afhaken.

Je stelde in je eerdere post dat Visitor.Q (en jij dus ook) de primality van zijn getal binnen 1 seconde zou kunnen bepalen. Je had hem dus ook gelijk kunnen zeggen of het priem was (na eerst zelf $1.000.000,- opgestreken te hebben als het idd priem was).

Mag ik daaruit afleiden dat het - helaas pindakaas - inderdaad geen priem was?

Het langste priemgetal dat vorige maand was ontdekt is ( 2 ^20996011 - 1 ) en met dezelfde logica is dat dan ook snel te bepalen, alleen was de kans - dat het priem is - veel minder klein.

[Dit bericht is gewijzigd door the.moderator op 12-12-2003 03:27]

1, alleen maar deelbaar door 1 en zichzelf

241

4

quote:

---

Op zaterdag 13 december 2003 07:26 schreef JaWi het volgende:
4

---

2^13,466,917 - 1

EDIT:
btw, als je snel $100,000 wil verdienen, dan moet je een 10 miljoen cijferig priemgetal zien te ontdekken .
_{Have fun}

3 ... kep hem trouwens nog niet gezien in deze thread ... vreemd

[wel gezien, maar niet als los getal ]

Omdat the.moderator nogal loopt te klagen over het lage niveau van WFL, mag hij laten zien dat zijn niveau wel hoog genoeg is door het volgende eenvoudige sommetje op te lossen:

a) Zij a,n>1 en N=(aⁿ-1)/(a-1). Bewijs dat als n geen priemgetal is, dat N dan ook geen priemgetal is.

b) Zij a>1, p priem en N=(a^p-1)/(a-1). Laat zien dat alle delers van N de gedaante kp of kp+1 hebben.

Edit: foutje verbeterd.

[Dit bericht is gewijzigd door thabit op 13-12-2003 21:22]

Heeft er iemand hier al een priemgetal met 10 miljoen decimalen?

quote:

---

Op zaterdag 13 december 2003 13:28 schreef Leiram het volgende:
Heeft er iemand hier al een priemgetal met 10 miljoen decimalen?

---

Ja wacht ff, ik ben bezig

quote:

---

Op maandag 8 december 2003 21:16 schreef Bioslock het volgende:
7

---

Oja, 2 is mijn favo priemgetal

Het is het enigste even priemgetal namelijk

quote:

---

Op zaterdag 13 december 2003 14:05 schreef Me_Wesley het volgende:
Oja, 2 is mijn favo priemgetal

Het is het enigste even priemgetal namelijk

---

2 is the oddest prime.

Michigan State University graduate student Michael Shafer stands next to the computer in East Lansing, Mich., Wednesday, Dec. 3, 2003 he used to discover the worlds highest prime number. Shafer ran a Dell Dimension PC with 2 gigahertz of memory and an Intel Pentium 4 microprocessor in his office for 19 days until Nov. 17, when he glanced at the screen at 2:30 p.m. and saw 'New Mersenne prime found.' The number is 6,320,430 digits long and would need 1,400 to 1,500 pages to write out. (AP Photo/Michigan State University, Greg L. Kohuth)

13

Maar da's sowieso mijn favoriete getal

Dit is mijn favoriete priem

quote:

---

Op maandag 8 december 2003 21:28 schreef Just-Dennis het volgende:

[..]

Geen idee eigenlijk, misschien vind ik priemgetallen wel niet zo nuttig dan

Ik ga wel weer ff verder

---

Laat jezelf even ontslaan als systeembeheerder, wil je? Je bent er blijkbaar niet van op de hoogte dat priemgetallen door hun ondeelbaarheid een onmisbaar element vormen in cryptografie en daarmee jouw pc'tjes beschermen tegen de boze buitenwereld.

Hihi.

One.

quote:

---

Op zaterdag 13 december 2003 13:11 schreef thabit het volgende:
a) Zij a,n>1 en N=(aⁿ-1)/(a-1). Bewijs dat als n geen priemgetal is, dat N dan ook geen priemgetal is.

b) Zij a>1, p priem en N=(a^p-1)/(a-1). Laat zien dat alle delers van N de gedaante kp of kp+1 hebben.

---

KP. .

2

quote:

---

Op woensdag 17 december 2003 19:57 schreef Koekepan het volgende:
KP. .

---

125976895450330105020494309574824311455993416085351835952254670125654987689
083515602212400968028285361325441271583233254811504653010763167123735258651
223797623392168097752904174121031793027766749883270131702229942984844394149
386141469236151464053203849301316774118671933087756585357447262487190654037
114810118642352146088706158424094693146114488637156816570292677968196327523
012010875567866137704610554959335850058929413976069101429767323404583564854
828291042054102615218246754603586353188862990529489720723784562992849697477
851949674499472633577784600840730542270632372308573862087868012176373249446
071764064058201315319242434805555451075151859547651927121451554795786023853
642248011842056001818692085289670633662434434237963360482574004972907875893
795774564139846253964750557261083366582544778267753655854004516485291984069
227982534801882639875735243814139761859976740903614383300776007640602879886
776451060696950192685474337560217722801456673504766585339594202214986116171
839848399529321311217504574314623727784867403638943909356397548795460505395
781567056690146345502254952233911362464420761736131062023409653833540487998
295787428536268747609573194990589952585284058978406612371425447432039473118
242332718966808523385318546746710849171861091272207252470562642242593727097
871110063852394002273177286535115268249200180376713447682216016738872018116
273341803334492004921645687859123784269412899800784483155912339308539368668
807933038384576412491897416260897238990465481682071284158496846173252789328
618622512214627650931542584898931886886039492274475887949616084062719223538
358005653738372935422217395612489591373385198645998355370672802198211220540
831165529170860779249091078198026760261418715271639823146051357841009765921
182804421467332078278639820153068805189398472900287029222609101030332699112
203653971967358352828566973911710159905429577162539180954521754020988752410
211257746635034013461597207864738708767984851946560307460134849915416231609
087243482132232052496957174116650790359084627875586064675273836290397197574
310752981277220988572746902808990793228734980082274371137307192824119743050
622210281169289767003562894491249795978412259101008930776188845654202212560
492368213133592023599841052353115789907023847286461213418263901928758856525
439357468850778332805523777007269552986068105608381801811743152270429743927
941116902383140124063213612153416287893503642751709933637437102541100756489
025584429283189792630014302710294532516976303712725544173466881115305637639
410019589682085175777092266358270611849150672156730584687693167068067138185
432018032593233165155681267257025930719323749406494658957045433948545914046
337259063528526630469498309817860207835900608382592015337428444298981165755
562349450705336655742413201018179236511314516865737986281478143425695001813
449727417244061211724610359080366830343486621850422162277299360902812155023
322838088759335702011204455377187605926596061340672778485858468291438194417
434213701248283905372855826212518402467936584957575275228939960411425861080
164773636469510842631898133678428537092960924420809211844044168426745271372
156403199469970321865541585381551941384658373808775520710641177141867928594
244076370302432825689880873349834120052337836247367331079539396439665431536
471779221968022310622211284188227719564320260044258681807005826027279595603
544609106114149884056567041183826315019889383503479789079909631632211131663
443152362741653169608627330468429408931922417786081764095963467440453218950
919430944055964690616493177372172261351723398275258049264311308562864719901
371695337904297343964973980234547414257598489387686994584076944984408657011
011748789337658108389979446513772852093231972903173654311994575269726462303
832878583224491777720012824718408410361908793947532849080672666271590745707
782934050385843270396056561442796263181479142714175862035060680016004146613
243621813351836811799318542765546190851259110816651560880499596845080979908
269304588461092774909606350698503854199807221352382437389128133616780256178
402620949309676657104686877422851786738183498984174331551726532673689170228
672241706109562120955469266999194248926906028706610137712580338421065759622
866743744491995280581892520373167249180998445308799003023624833768481977240
191017102501135028569929946033958865363280370705433521573812352700244942482
092605845042946977350825042750192384411307125008902097973440837832059548479
795567743196506515678098097713533894070876947268520220308864038261587968204
164393962891876799581130309635108487708585531932540261671828017612110415980
896237802762290670746432992079960798419404003163609174289872171279560242852
353719974151340360307237166264153409593942573967002572429933177616388125791
197844474746993870339780097183109582805426929959004533531042129127737212138
619100565159533744353469455272227314726509496869198789075259382710910825883
840130883557943921436319741852766343809212694621086950446068073787590593664
572277600195871516135135163178426315624289888783118520198805427051552687046
262806571246149211438979100542020044617912497445132619073782816309346656305
647885925675732739231933225600268139905788736836555039473450589856465558367
183253299520435758593978355730589264871887750210273355461507518249351491378
434877713699194863403436165035053750006508320184612381105867146131657747376
248716402355504508622921530054135474815326541078522077667105034214042367979
853806251728981592558771642213856420450848442328295757050085097896047843543
314352201245345054476965792094058151844528301429185395913660598134049294595
198992377291766896420140488235181880605491832180900405160455836010682350342
746380916733813826177351360388134662874194257991409606162878395803013478920
018375366394039888777570644629711052534193844513243045964873212590094545708
414156194633848447767379111800474793245567463639305193132431382738979783967
620782337456939578351766032962729953996032832797667355475881284667549098320
853051381729361370433641626070572212602962888291165512478892700453509214930
009428099543023737118829147453121506306045624634787111987588519889848343265
171940547827850847074807949461936625589930865864079372592963594176573817022
284162919162881986337389540141734670636504366236080861193284664208016112808
166188714994846028512433384825227020468077280504721256511237820270887476112
635497755785405995406673156681465627255164142016529922048001868395881116808
763807238707017058296572112151983362402094505538052680925621230689973801366
752150289408935342909980087415290627799396507439802450057578927173204624522
345916850122667211769822144053114331140181561518167202200920227907693428534
144898285892326474386611675418470169089758202554246368649443992314926887775
749025729655084280448373313590151154202707398176725371950020335200796262736
300835330686462871780552026043415576384165182700366040466500405328903369278
126888264156706423317699318253367159488287972864483379089582567081603805461
679551065228088191141430534041106063256277281229777273933957391236693407679
363499818947065817399277873991054200988453856094043856251423332801437242380
478973378376530944906650592169824320640263516611364742295925339966279885453
838260751098419711578333264950868243124386122575741982968334125846958398636
217680767812770963651086384494230433207131976377602846587385225979751440161
403967392837038523331757619588479971034601303089408886317197558519400025953
036576190804530540016823068149242230794412957391164182336906041892016833939
335949685967038106868869533838291204135400432576172314870537082642284898584
162536389847593742294579729222298276682700886725072143674289891646413139249
966723874257277801185840450632277187179829300950644446849826016245345312670
516435573047594888395724306806295619078797020279164252963150932064834329442
070423314692982188423002906699460217017830263257790814957835781212116337287
444409066250648117367017756915202244973313754934931459121675540863642209813
096843883657466329596321768228388644636402628312997035043212292379157713696
321279291355640538590727992346057251708402496859454400882317160838130765622
639207553136703230466156897611589634202756476412563802255646784397269924460
710861803798135161498413638779050133900510345127728020736046442342194936395
951828206249075612757981603332059910912980439615146437287611818729977252201
706211115521126343435279349931689368798148881371964386236032022670474529863
781122623842276556252966242506258139482326003453937259146756122837877866678
048995064051021128993456828147005353786036623489943567913327321848232376217
921413435347458402533910108484102728853103919314291083497006285908018554183
303641596106857877009038556065761083782530673083045855083335432244175501416
853645467596939502056306896503067938939247542398597559594341054895492247716
839797261193095459719768414184441510861715004789594130827035731521394791184
740677382300751508285895670856261780326222872061864104158940209556182699352
377736782237127123244026187793310778566127214678934765422735361660813968328
397288244199373814363126160086130425431431423256763262792717672074831137932
108563111703400273271654637282515436567707385518911119810233702876469963717
713103201222391743382334012838110705395318915262058185792032338107481461196
849733938113790510603655528671462087586271432431557542848078055166654283434
930680536494125844984903541927144511123343415442300496017975176868232828492
499403842642862758149804494864727247794033364495301417378750558260150254867
885472499515375788349420580752524625002748839369867019630559292555379482670
778139638613311060531576451610087084054122546639906728883830143616105423359
536040834481352606299586709704974363122794642636576738942699436239613198816
471179492626635797782146018257054238006124689461304243862900644463083364603
546952252518356052685338311305714562851794334177175272924038347811366893086
823372722966311766236055871281455051902438843264569106192203435373226904032
767689142716784662745975690148724596188379413076313776286395731872896858376
572865125896812011908145443613947524851017407255563542143556325503822543775
666721080379852109274846127947278479964048287573766328296223189489238612145
678939129276107684476664273948850686133263107173530896027429774999119192374
643283416097152395762582614866080635012058529378690892323649930385165820978
847049076399266132660398097237966595487942689293442162351326927905263423373
392081912906898246073786375839444292908126730325812945677119349060628305520
641476770552603796246007160048634604203149647321247318020609587731294966862
261457476989812837412418825955168848933061940296641631026273624101261420450
110848227601214160553481033373143327129848425177240145590380492889413674369
275589896715937410022701149703199850368246884677390649568519526914260486037
019209003277649249065971018636652959987462755220085153977754694088437473674
084422357697498897160507161545697896077226423472620463804907357941616850041
226350601644310873201001455167994409707895396810868799692676590479832286225
823419221986912075899277491716514357104555241539657346021290288486751739858
744431077941762632453576991400625732506218605700762805513393409528559772560
981325144987373868594665219368123329781702592653548103599671167254575894405
859325986903180544018441400083137567871160249854244240113500891603097884604
801069527715425656668816548775442520613777702394302892975400703685123415603
425668024663588518018942400906655997241994264031691939387830890562821363596
796072433865549816013912806978986910576271412061657746682371835919284276766
365680594975081829611890871343192574791083126197606187974446328757303560740
327456147424860359079213364551312241693242577260386625931332173344975323411
781055997015481480018605526952269624910373752545308706667633173910193722194
134588597462930416112721231281050404219703528452789768573833788116300371760
028820918073975186120125258338717030556433326035874896009850982730091038393
919755063612713163666550240380558952092287192675268952244082820880866441213
469486176181719970685718925822173745765018300278283205834203929991947637282
426356197539487482627799325956475010917430845632079219544149254502069323070
431149949252908950308844793638775436533970511852368172584630083205383366383
042001907304216078655743738021308068474333892749028167190798453927312636153
481082428065206660054660140273188952099447841477445588503794133105302691486
134766194543233945842121891816839967514876120248961000435430895368033842385
663199999108938935939894291630398237386995512044896310994412592612371635055
515943847598195671266403563059520152150457579285349030397567474722740850164
610020829288737648422643620383941191542106460364111719259875188798786993396
476695153472001976158928771959631364428881125432945219861789315835452863707
251884114882308597096082851894167184738945276677884876502488352833052144405
537101611643985785461427329281803592886635751663260447507089968894743096109
356003069159022834408171181488911823611111145206851414817125332330236253252
474427505623558499986028361859152312962678994397602391418708653444250169038
720428924184063328865438208543732866602274028256671954232969778035073734193
798664300727129319431159618464184371342438762257941137796059976627310967535
661893707922492019631817573051541343562438759689867099395821893409490849979
002326647534262874799770223778743912136808195375334602521823936164816052482
046909094507634806837636556560557178774055240579829921218556247376073932323
902445761174012179589384431672116827093968429991952041986294568306439110704
805082233650303862570872610007094531802588715432276236446062445781345474425
626569357630840744037618493942416337619779310928904455932585882780313849586
593089748311696634412875652131448089923418168276736773980508925844129213647
278951517001626737894950959266223488117765623096980880008624148171635750981
137231300092170470830357598830153616410758237040001716966416951149651416898
205893295064732872022301535035323550189875385064983132409913713393250533376
787314535390436191960398714472946302473646883321370033430155731095033966128
698846461767135933000476235809839550211814663286675919105422386302125779354
063681072090014019297116762882861529261117086548665051786967979874820628385
297071944602670420224767302182145322506735105602667512232328358305707672365
422741187640613190610072312004772415479922652712722682172224364143500029897
866817884339937704599240066315978206415481195008852078843644595773354101008
624962061163683883498868535781466278936681994218435492259107126623848626836
257504698890061252272321111485997233210121398992656065693651788213689290989
927237118186380231330764717884323403213585498120555647201946209021161166204
901842725338091419685816215928808407986382546131607781092138021649423085307
923070955476316585785250742138494046831806502504198043232196915872361937124
587295465377546493585250835044476495625420645128547817290403465774154632775
687067748550803130075998705774589543194307796365703671935513599431523965242
734930024416762946331520942772452474733368304675453339302322957776036265056
996330388641266836405628411491513713998199438270329585228520694198389874920
087546292025308510022246112058158434207150945153319332637705541523732418997
706851382860056162486980258985618797575526151056470945739164786411049742994
160674136441343711446060329827932291535845339478656133700491543319912131426
814483520976120012182910849350916057288405183360943836366044355201178599226
003273306945983386808045609218248778678891054510413058847496888667790258959
766342201793082303355050410373375872690958771745718166715961713838103367864
677942126775697025869235525641835083205404770277235881976392866069967666341
924484261404959773833612874522191486974221859354484554627805055422983601426
841702955852457204077701425278699635515350644886318590734746006679363055980
880592663880618899638281215228540439650574223248080354435829486281519130803
319164685498817393003010873696609223597902591937009959254157129426358408521
479892666310330412020990633173783845192145316960388158573683533175773138795
346523513893385030899638534833296230085712424164265974048699272786549607168
121124900549197861716892084821520864650796060848158664597522126227896775422
638740966167516683584233237835727892719311101353174677524871142071274579788
297650805053054668164254284236788456408745081697608861227144453402534789491
844546692111484427843444438418371306581834961122889742815881783639200363332
180320868441616532009422366274293512902313661910660893896111252358529192482
181471640888967273526051437806731042279574358700631853837774239589135936653
552774598198518104963558708251555814960771978332884003615024230256139067864
352908191297607414349143439913723078470350884322140905058750164953028589617
478960887127314090847107271372633888997204380188792224352171573299054545663
016754453704617109198900023811495864697692915500711312137245312418082054862
155232243243947394056226632749439778313619413257043346040482510837716058011
885379727537867118486136217487276395695304487774278197929125852385026679169
985778264675094839835158354312420013899878440336130907396558464503098804064
212413499525500157079783188461055948719827936773286189294701133898654672981
358268566309217617556795376873585886232021042909314688761899822200161816306
518348923733988320716125761718591286762791799094886640690376315555039773165
181930131543381090677543740279818327064759635540512113334758395779920951603
469468372329632700400581859205510895665735806659436955658698357477829545097
002023323930705471134153993188347367910744493942507302372274039671570086884
550090634807225609991490949726374913517955119942449283818029973939064664531
061186051816451931451030494953367847598664032309020478180657990026815740547
333598916529399457434441780452217256931042106064750241791437438695356530096
470965910462621818331980379906587115628611050385409750579075123637639201637
517165154048898705580814059448120055614040125840791245631477973560975061214
566059105984664129224968746412500393571884574210464983020597452518901829752
153484773729731744146118728386479336852171450761908258991155456973030810664
825657341084915783230974030450783447129999860669749013296773350031719808775
019207965890003512229863355931252432066509719014074524483410164625625843988
045879158656283921714684770796558491718665058705730030127651457778471268619
202805367731570846983818723609344195373593067292886571402730315981997830787
984722657667870731005845851074191022836883950498682033840677449440054029924
634950077145567389584595156227583123150551269514510068217868449311293609028
649305390398994744434953631133608735586448304695662459513576878266778152808
816911465649846729575361847567650982455696382570474625667922236742367832523
419037181044724509887003460765052427474538577192073951985582546375345504304
897952662182987069820015369336371694110239465369344245876833243001727727750
663338534922959178427497943285137238898873191966206083016271413373122215751
601809945273590815365550625662110081595502492215726257386718569606768148897
674800335284933679893867026286171564791246109274220601240494935978334736691
860867289527905812882163707568520431959237342214587893909875297248565066032
857536399417158180111435356413936307174494278901004618638624138646080252536
453746989319366223159244235173537195018673588615373963415357125217731274065
715306657928366723150026024635185744053043997765558622883447144053206889337
288396502108975295326972580653828556134176218146235199387434163603634220167
835154516759208371288520383841859070963457425621189740941620217731115461829
375860228129386392997421208374933939693525489658494022005000702932873315836
021831936799331210112652206361019549853130218725069781116050807871658376631
091151422214055870760329404528350167276257507435977358942432921841733359707
500985711356678995901099722175647822478175904829617308155250296740947223101
913824225441704719265251286703119206190413339282190051154701134493328357956
956715336259033605320488824540032551252886705001996843994983664228173625477
377506450415000287558242612429912323306859372916576681857423020881688138750
348575139860950380015731648132421740502965234957483124374581369314058909824
073533735367239365406350408801881177917838055722332697741639120256970595884
083095834620115951092880956994202665754685865624479400735356039238656962884
972510373722215650246546882883102130043427895291331771962833592722257776438
830031209153075945580277122411033422388586329908185342656584792314897238586
218752423857563038397772813363447420448158529286579925084348647713162101043
278151365078874363183710726580112134437184381928036622599770538939393445621
537261243067713290698147992029210986490088087292138928820671560518493551438
705015786878702698604304367579543735028338551384515962861114945607048436504
176358380129975832566375177366214171298277316807374518000300857212959172846
831411594349239699673902065320448343335160254065368840407641724604744919567
291873658659262641198284900267347651112379720140017241428707028816982551359
458915876236407834720040283227202325585965160476926082935393383617936226797
007031904237640370301880087297663322031744125218506705795377711496641525229
803589047502156677262801670685955218723588143202263375706145249054450559672
374396228071808792901703065258317481643287836077929807847384522101775070952
008585383726087865193347074617704795169323500913943349527025175168639952880
810405885575507182808075919210534495118157589807932940136649254501767334845
885336516368442893975136476069517192137449582199183542250282164463776133538
923695384704665454433228521992124586223867269114968948246480107694539828812
631054235119611535848175450487390158078740144321824557087734144870538823758
698501288453398060629683893813031939479920561076967382975423671088624150964
125629708939848256399008373676324264634136904301617160746392772396802243739
469716930129196891276233131155746914258563611007189468873503759791333561989
833978572877857161902817960261075871247221417230495135001992719803004598816
479338400884118831958774121204356965908973605414409421647071121111936177490
590302250553515666020741138990112111552371435075958805929841579414248843653
619145909603198433343247341710077381058875923960698572485892210199968567510
410219110689131682067601017660652135342651539513120775959484899007662845148
120117193548520390626453055443518668484637729113161008375577970250222837981
819875978206790167443349875500289567563660907683799006238940715940601405922
236272390771014147464656009596933282070370058345385501400363268236216249967
218108543739346072451606151975515721705456111952498345432009818124938739969
230770919528916811508259749661347892930567625323260711302952014811391627278
774638594802604197035280516272966586753803769255467474944009034465518012140
139336716713708617064321100256327060806695895863769105631574224328236602135
097852716304880328274269503768489204415577650785023081130417881150509245826
007619551828922200834232678357881638521860584537513159198469692139935187581
319312774232032770805039130721552902648574977948966348261415863466753434921
732967404586438103900116062345910322682068484697208844342182441450491593234
859533833256319663972385049979641456666632826172695870700557408404526857565
562113759965333943146507863338482879256357944277296601654704359709145666805
511585054797830910608913417360275719335608948486412090700318883720522809442
662569989314219396067312159481454430186633402653257925301270254520023284998
143268215131743469790771827466724776379085428853928236704322779485240677264
191781884467894157615524112731473659262000733589312180001464042938755955957
065001273096396500582300478304599370493621927517134690372845475132126408171
033670909535926409397862970437521371278665791371133106471630188192985187322
189890708127359427274836695185871787170678802796424435707878126857028475575
048978691824170236028277625915823043570261860848054460918040249571823013635
261185949562990045738500980977543121776184003945035567846902962278960713872
460838271337757922412821081591530869409302974629462847091743707635545280567
066119022881438890835873407494802104409131032561095829833492376993096116051
520913596388647311127152822748982741768379126498491224075347563838183810113
695334751978797680404689925210000081897872850228216663737198026679022271152
605766372422525478763691393860467028704768112768585277276913415089300215899
028692120636133465721433622723366751514001597583888529974838573903717555294
903939082628959342483971036895472259106992387426060580408390271395643320393
893286541814285420400461315400455087613381161368197900086111205121700770531
407269644464185302358653944365402554348631573175525181810479571801450489058
881286798401408461907340818521480305089464367213541264776188873460950664855
021821523819662100087123515633580061489001953684329593779393694361762026622
176596908703448325038650021242846664771049798598273394646962679658762994232
263123262963016216312839091582314933977225482853238603277040515010009989013
819253846771994256103850406304586964340393743213570577730256147495651566921
785868252333110123109476343291444275926958968057465702303695883767466640728
859850702084040051297348131916254645020407011139291834078817762620496530915
284631214368214027981478797844811782911383013909524167396299359079468584881
666068485120884726115869949566268218625508061166096801415971613335531879112
514681685853299235556103464993838303302636801400040390172491963585413717364
421784310275835634980964403695504677955798603770013099944563459158062884331
068808912141511673743680489630411651340578307873859472876719338804849514027
146293480268503690249556680440422665840140098241395384423979321702841552295
144499648245253993021828358709280420190603676923072128797061036183011572135
854460359056582490871568180824250281432696089211132849956198925460857116748
606316606815453083951404618265775717077897499690647997561967434897053492160
803141338615301980219722740848429928907337305031487310430468409579977723007
666904243333218589052588591988784320862400584951466726540569401812864363139
449773952929343405044342403452523899604541148958057087255702225471244489407
158871303200438596793804894583349984221189704064739610927230995916898084530
260749654829116841208538260358631037651759365822235381133393940714353138926
511356106967934144004452851916173815265080501179675065880381425627920147048
366026711044136248194612255100167179358139011876320761017975986543052012369
377745461949389475186243457812539387290280376660678019668685032211398343209
149153888576565742478456363256313646028224119042291515704989329124438849345
109432154676960610845645284499537609046284781310259067502391869726907918791
382462141641648337407160011215100622152957035116161733929786675110187178799
071244532182447277253201431025868192954645717191522308893658763887946775013
611736573454297796476173365066238320331728926618471014816519611848491748517
480492059916671732271944754731428162657115627465012747130099194988330926129
192677617136697852237679297919657898059610086731774181025332439841783534097
250021889962944253016188531255579943002036873661909912925099656193587707862
352567994747024107457728418100003928757969156583076161781830120623990153452
704384443276872774361751637845109897623600429419317961042007596359428684051
452046673231116079819759313880713850089635849758413040559178593853268030021
977927608606900789017090805587037749770478264321963470357803678134384744001
959914904120953715911714119816680588725865763691764110867799630364610038040
484641953863227301046529325230648398635490917430710485200986949411858993283
361606522780216967145415237780608094355092978175080042659159131074358941433
370513704320428307008081475404490684572415983242865584450764414161976460634
259887015055896452645923113974104663134430516981867438309503848916376401149
622348817985741647241854173531403293950499543073058445214401673441157777352
966387201543725135419820041596594444237034213732820175079980498445362157346
068570537795161435241445287325511063270448098858376600294254061872608209923
999629413126758438071837685275011242928376813906634125321549244361731334307
204093823220627482433197711186973538424663297325801528574240913127821070261
140791263987259460634773201788804225590483486504546428202229553977344462349
999959789593251492996632180093208141490037058382216498178424229577765041156
861355545667356816925697089826854841616385701935522078897621800717688713137
585395479001749545244306558332928304629949630366179966511508720163869448238
449062025177378050343927665858783948483494494034488952391517475502534894280
358962962402621314090120784416020826273629896800603173830479906532023016045
567891475541683545461636191117831389221604561525781188277213369102976393387
774852681187298512313664341815096110610335869640938476042941899040036499152
228844454879300936065049343683771121230381172811886723259467014385344641591
118435696405224962044540942832453188040235567411439887560660993010100570636
015373394224806771994942973792766519366947355832821192219313269789513261083
378918897725521231948323081788205825939837115754281933979249590950837000943
450456032418469118659297495292462319462876579826960484131891659537278166296
574718996390003967009169435267230135885537647897171332088202427756122292517
836527278121681157253837010686182250440036260709585662843692943814405552067
865740431263691169209338226090174728948989835757340908568013484717398754284
025774461209001561840367986052891244506706616099364036076424566159813047141
207440998795031347374059256555738573770809332019746498859953582975064937854
334566760784174697993052976636470234042659129253931762704848435210117406125
858234930487526061253291780281549008797904986616931912042923522512280082906
918731306181242395868114346385388034707843694693395891393532577644810599092
106367623488791564821175559684484993899449264677586668761893090451665696217
922923564701048741570461684746714498834831375789661817993265028928660956701
012747034963210366838853929201526671756212290010374957736380091975535151477
617329529585085007132629905710922824137083532117720098333547210353370720303
810527618951279577943439648231058239755153877936767589186511665567591161417
136504018773281422780596599993045035327944299733499152021659048909544273770
251689382747351121487310339945229579141049591991017754095507116479638312007
810285380365070398972265049813568577358645388274373692395820881872008369588
493293528820763711039428758280129476060618917081676815989260018321055479882
108915046409698856893253435811845004665383924038299798407798360277785816851
831378589226729320496018146039293062178385893335287874871457483076602419413
894936265129301429436133743614564831448626281156677680737930972121121575719
302683095697655100937201194401896721906917840972413154249925265375650941402
720448137018651909855026591948120684944940120417561073517547689235134088404
228272138652758214871950856585574577278010158531909857292555708867327238743
055923902911462379092319674011970002117082085610798325003197379120553754222
457858762638654269719548804159847888151607598277695557528807224361748048936
083555972523495713775006050683288983237680261699219343989051095198113893400
875718988075248603751131062768876025898411520776568212097758131656003315187
959176840309734283929941529168085107380024970991504483682948784188021130925
782197434755460610632051196589111456676209888818534384112878210787630256603
266059119114660474764255124692361415425344973507706609430343096046517161062
067673449344283968363684569490768449930035395747229036046893380029621786194
805165533434451231986024390231669549724333584918075920411254781058015972756
699333586226613928164329384630797375940119244457105774230889691810373646492
547592669748876777164501265366488448749321047667064045434694067129157923859
251705154820860064631513436676748933023608140461071330450733631448181893774
163989602038442523042999739627353493175624611535309175738284106598446238332
221062933129950398698464862503499434157892993259292251120936049295816761971
584127786525790432826844743550315110481841386313259739266996324041858730093
556380530549852523811885118046028341365322166763745094059331498927087727423
301826537663957722559951735762734472004209411199869604274305924127344412582
680241915870674360376094613959162565805300605290952325345102048214337615933
827306039899130674229445020482980911723666321624912766954157565628591132916
645411230788962252300624140834282723209985537921083490536455159070792378200
676710003692451334163958846043083743975608081861044724948802690022999111090
191431413224329912164125126549423566053601266032539711925804772658473992569
650617314029749345317111343527624801789132082122867147398108025839506740577
048143875495121787820059363540270797235036051535588039125187418617027909172
913998083443053284486402222544218085136827791544797351276349565065106678240
095759013460310325909367319817985118717226798509837385184440666065896879495
284106491532678946463860716212369231608091651938693288634096155175109469176
457102389330175937220461282930385901691977346983966417976035456634943113753
717781434589792728954784678356916954995871201619939555732860451679474956871
632132424793451513478785047232473789719486119777968736706116310296937540576
964832053616286644530543091188549996675150291820762638716879787541243309967
693894136801807979309769779760777853928318570654713279355522583978964297632
573950791492119899059432313965015650360878433548025981192118506729016653104
058177533869956648356869173769640411322917245582861996838100171738509770456
419289992118660981105567270874694154467741677680806863338924060166783524501
096245774214118421071210961241199946591790372918669880994144577788709653118
555093279976341307526373742982529491418924639233203678049985758065001817787
763875294337047034468875119816051634619910593709292119863642705576411886294
348939337677887256760149505785946268140172677319229978965713665135639536358
057542383976379845067467265468204997112261760564430504786592526689250745034
888179136623621124983945840549134258356447170898534006375481151127946768700
684268181097481210719490083468888252387239421750679606006617777496517973088
038101556241160436388689289727903742150134136547602185405349660325006526059
391685384717861889899600416674232944700959551228393177583868752451427347883
379050778726631732263215645585718455273656961174499082685888896377053028339
855102588686635438273918917113164885098596334644197162306609563965803690883
725899774389892384752756166226485325642259998030271069199680258588253416607
838714395036343091424945780644384396599105798249435108918177156493379065474
652790393661445519412880652209663371259319355667644133934645770027004215727
979092579505276076350458021892004056987979820815199726159364549919931881445
270074735591530810604667797324670510925982945667674816117534097604060367859
940768018897918751395792412997355581853155742229845732828457768260475631174
103198795460559862628255512536079505957005006373962299848754555750628699610
518771749692290719563865141256531633080773103260132929038088251376232684461
402528722774696917353965684279451359367081206732143804605060770821483789930
350747186137080941688190702901779868786456466301238145157375348938788161506
263017859952228037519665654578528021344721430034975568784771231043069121148
519157157602958999713395008658458913026681065620111682663715174602994046351
136610306682509971054063119015925971680959000063862275947497420869001769772
486878543840691464717129887283535837093911595092938020309109518271302526334
807063421695153891982276736025481404819927535861804823106919937335519471103
482541334004675863468845458060217303230530502767661436910426292952267407754
661486986797218321445317611837533813150006962110344048073532609212929138993
024956529390619850233489295181540553576669960031390619233489109348047946939
549904056850959333239409026876608070613091115588889368058841461731436581738
947350198059186223616390882931393729051747469304590070614604513794696478922
731851530182422800907979862710121455219398804596704181306254959185769840160
869757170220299963793801560514016008836360091438810621795836454809372306292
756757227634734578105942852519314786688075797044290311365668542299037241234
037706585886397604825125070868381580902148860319057142438904050437082079165
352406894380133841746624106515904559688383626045587650275176652741591053100
337593969591026699527031925118950311090998100765201439733042699466099078256
334278625208125516336002462237690820839444570431443595153434687563942668694
534432497786182370970827766953824463894333828818523574631980755653312279123
547190717981667277732306353449738385441243533059469376701005068130199414063
578896144146690452065238170167507686147589079552219801392101930173928577445
058158755360391626448784297711939098497964804764148110541855893971869519853
988146258663723593382576252112898168413783639591457444996045912442593370777
101879215496796742198973800372339925363007687611148344108499118426900055721
309114882387145983048543009714573909584490856385427333881823376590495457194
028773470786285652966895014440906955562055507410251188930879554393113101886
701266380794345015743276866776325878117572814264180984703237464714200590107
142282245525088175861370731994090533910213066298815067691947573538456641107
248667248996347179247954109090203761674705276804805982047205247696421267912
554626930592642454029612894674168373778222322131112151551324268755580385687
839210013683351596592132889108235312285614366225046600203017264977520217069
953749414425500561346057745985230954269593695774571745061687043250271387756
184572492323565985208846458674354931362175789773042262024989675502647824697
654054165106108651679020763338800597503023490981330016008800499323244356157
019675863362157529976646516513955757467656980719014681485050626660036043848
236454662779687456168658379742198753354505145047754905557109408451660042320
763452146964152976838482617958007161329694679088328396911152045107293071979
422590864359616298645018389565716121259121166026763555680953939370934481353
721628930937030496736480724289945879826598848637292457509800005144239256627
675271744155629176861949749102405317692698181860289230707928915796153463221
187114840287068282151541748764100445408164630847109137429258455558289734022
641307224074096834753140931281549234072744966755765128244867003959011132109
572584211293153585871678105755006444238322268222383407831709951943800189513
919214535581309922148354287297164219283756128722543705208211851527202497104
461107288407738789465947366378080406933361629510651992814385282245923532870
127394860515180891005241332556767972659127036568338737070636898389027288814
460896336369743473784765382934711721026262959088747471209492720565661005838
742955740837280252613015299132806586444320807160791567711637818495614965684
322815605370824647879992668211295510668591071544023868032114308594643631105
427447085243550045246532563948541705686496958351579041214601184656956547408
831887723474838779688914536165099368109800584226903148693567058220974983186
150688606631603830312949573830845800913318171611867400492462478241724686412
019380138878332945271896963975183795691873771269734982465483814839282342007
520430457595250178418113183405607100320919347847456372509582551401430253078
849173670631280868397818177627470866376609191680118553941066051889433858652
978558090467701579411932769562787847149812289035175014088990571364646603562
937446556418004537954816491528382671930018413209365102394690555752867798666
114915085503514527896693102677886884490570341232270103095272806318566354359
967305550319388057800215053697876207676919716755759613377962927587161253514
121087651982665370587850102170856918941019766239919529255152675275718978835
944100210752036584321190454703439704969446270303041616972343127469826998783
792451223547575727320492214685699418456072949279616222346233279700832619347
931956378152400780485136009414810878433041594193125446935490907176531765701
369077856109714984385247228271671144011124765242099783985795312584264215690
466301688097010143156937619260563298123636253790680078951665769632698567865
916114233219858990977717833214659412963090338211762543800602051741552423992
562734249798170221304571463832747909026914947543738577131004598106765243433
397373082688564196466770680612159666878770693768977083975098604331039882510
798229554661234306680171892870177178494582088813526127657987140934741509609
488226759890999427759194326398440094638578069102406414343060966115533527472
701751042958712107055173307087159253271610971812256875704266636763486746755
136779980781365984009434933272709347173055338491805015181788158087451341449
814227375285706166463758248643638965787347475413350953786331071747350094239
561465848603811415849211131261453172948130814216065326748687195405127533160
523040656561474294828241532112532173117657523227097606406190362579333876302
141518607194635036648525647375688706086407161912762881185143151786983825553
674074727595063009435178736094391483629066748036717872008274201511194985249
609814844892296651244603517577488888678046489525396377359978110523285116582
849140292645808346306399962336530228893592348764809297813837330557953512645
205894114619058605833636877951543230036579714374493410927767219031799203832
132454281246743410639986950686862756714860319862579438053510016598234706461
953771880598555735888764119461846352371486888439408564364773630625146505451
382239690189340586878133957379557275929051848673122693997042480705346947949
069125841636566152045203189283823902347844320166457511385291286385840758940
142626164136149592130350339284052834481395686162950348709556893520434372584
032861045746091165760236715882005317143193417659914097914040540826327300917
882927129482826362788189739443282443922142236254524646650410421545411167490
390892702379961302557343040680542144621743395885886415087224989037279011008
661670853753051239954858642676085534900393483053416791044171594632061958552
984877133942859416218340018684697740859891620126816028778806163151971735449
967533548680549004307153357304132829220870953043992827387331306099784405797
944843609290380111515271545756743681371527856013183733980134579451966081725
006556351146389218257299309473843812070796921980553892715159125878288913418
306982229880941427428457125752989975451339327299131866871479418526182575577
195027792067155391701331022309664967794616047198907166694840115562986801050
805393159306255052685243065869960276124050948656307009715676818570461430421
853755456616433482769439086263432581731074799610701883625301413636137357033
751646566978642067512944417971751129503202512310523492022549136978204316506
937731015383090725348051802476285863514130580500559951807045573435195049734
777618103087175522182338596895148815710392050908416767614940107814233688780
495326489098187808711296445292767822613494941049512258342961120626592411288
268132464562827061072018851649044245802553738336806717201306246551096232458
438208098062035571288683210263874913358537211375813782139123059458646854107
395130928810580117438613921747989100514462166056926322030003237857883233595
751799659887265139122239696058569167933764564118232712399330587084530783467
324167554449543819987712438767720465869744262842270225445259114748942561847
902447748868308065047034538472450763890800506943674378200572902404719908846
182378965424796875539854176523827624398817888530084310037219262653749710337
666841317844237765735582370479957143665576629460681947818193844120335913211
544086432951988323681930602366100766690250872124117568190528771001749019945
285767488900937474272073783976706226031810810457364044253712840924761235991
879282993939805823121044729750109691649079926240105699156569560336436489873
929020236210098884466592242437145505345896619887322162128705780342722529084
365346351521170044168978876368088831849012855962155979142651307309600380138

quote:

---

Op donderdag 18 december 2003 14:25 schreef Tha_Ramsush het volgende:
125976895450330105020494309574824311455993416085351835952254670125654987689
083515602212400968028285361325441271583233254811504653010763167123735258651
223797623392168097752904174121031793027766749883270131702229942984844394149
386141469236151464053203849301316774118671933087756585357447262487190654037
114810118642352146088706158424094693146114488637156816570292677968196327523
012010875567866137704610554959335850058929413976069101429767323404583564854
828291042054102615218246754603586353188862990529489720723784562992849697477
851949674499472633577784600840730542270632372308573862087868012176373249446
071764064058201315319242434805555451075151859547651927121451554795786023853
642248011842056001818692085289670633662434434237963360482574004972907875893
795774564139846253964750557261083366582544778267753655854004516485291984069
227982534801882639875735243814139761859976740903614383300776007640602879886
776451060696950192685474337560217722801456673504766585339594202214986116171
839848399529321311217504574314623727784867403638943909356397548795460505395
781567056690146345502254952233911362464420761736131062023409653833540487998
295787428536268747609573194990589952585284058978406612371425447432039473118
242332718966808523385318546746710849171861091272207252470562642242593727097
871110063852394002273177286535115268249200180376713447682216016738872018116
273341803334492004921645687859123784269412899800784483155912339308539368668
807933038384576412491897416260897238990465481682071284158496846173252789328
618622512214627650931542584898931886886039492274475887949616084062719223538
358005653738372935422217395612489591373385198645998355370672802198211220540
831165529170860779249091078198026760261418715271639823146051357841009765921
182804421467332078278639820153068805189398472900287029222609101030332699112
203653971967358352828566973911710159905429577162539180954521754020988752410
211257746635034013461597207864738708767984851946560307460134849915416231609
087243482132232052496957174116650790359084627875586064675273836290397197574
310752981277220988572746902808990793228734980082274371137307192824119743050
622210281169289767003562894491249795978412259101008930776188845654202212560
492368213133592023599841052353115789907023847286461213418263901928758856525
439357468850778332805523777007269552986068105608381801811743152270429743927
941116902383140124063213612153416287893503642751709933637437102541100756489
025584429283189792630014302710294532516976303712725544173466881115305637639
410019589682085175777092266358270611849150672156730584687693167068067138185
432018032593233165155681267257025930719323749406494658957045433948545914046
337259063528526630469498309817860207835900608382592015337428444298981165755
562349450705336655742413201018179236511314516865737986281478143425695001813
449727417244061211724610359080366830343486621850422162277299360902812155023
322838088759335702011204455377187605926596061340672778485858468291438194417
434213701248283905372855826212518402467936584957575275228939960411425861080
164773636469510842631898133678428537092960924420809211844044168426745271372
156403199469970321865541585381551941384658373808775520710641177141867928594
244076370302432825689880873349834120052337836247367331079539396439665431536
471779221968022310622211284188227719564320260044258681807005826027279595603
544609106114149884056567041183826315019889383503479789079909631632211131663
443152362741653169608627330468429408931922417786081764095963467440453218950
919430944055964690616493177372172261351723398275258049264311308562864719901
371695337904297343964973980234547414257598489387686994584076944984408657011
011748789337658108389979446513772852093231972903173654311994575269726462303
832878583224491777720012824718408410361908793947532849080672666271590745707
782934050385843270396056561442796263181479142714175862035060680016004146613
243621813351836811799318542765546190851259110816651560880499596845080979908
269304588461092774909606350698503854199807221352382437389128133616780256178
402620949309676657104686877422851786738183498984174331551726532673689170228
672241706109562120955469266999194248926906028706610137712580338421065759622
866743744491995280581892520373167249180998445308799003023624833768481977240
191017102501135028569929946033958865363280370705433521573812352700244942482
092605845042946977350825042750192384411307125008902097973440837832059548479
795567743196506515678098097713533894070876947268520220308864038261587968204
164393962891876799581130309635108487708585531932540261671828017612110415980
896237802762290670746432992079960798419404003163609174289872171279560242852
353719974151340360307237166264153409593942573967002572429933177616388125791
197844474746993870339780097183109582805426929959004533531042129127737212138
619100565159533744353469455272227314726509496869198789075259382710910825883
840130883557943921436319741852766343809212694621086950446068073787590593664
572277600195871516135135163178426315624289888783118520198805427051552687046
262806571246149211438979100542020044617912497445132619073782816309346656305
647885925675732739231933225600268139905788736836555039473450589856465558367
183253299520435758593978355730589264871887750210273355461507518249351491378
434877713699194863403436165035053750006508320184612381105867146131657747376
248716402355504508622921530054135474815326541078522077667105034214042367979
853806251728981592558771642213856420450848442328295757050085097896047843543
314352201245345054476965792094058151844528301429185395913660598134049294595
198992377291766896420140488235181880605491832180900405160455836010682350342
746380916733813826177351360388134662874194257991409606162878395803013478920
018375366394039888777570644629711052534193844513243045964873212590094545708
414156194633848447767379111800474793245567463639305193132431382738979783967
620782337456939578351766032962729953996032832797667355475881284667549098320
853051381729361370433641626070572212602962888291165512478892700453509214930
009428099543023737118829147453121506306045624634787111987588519889848343265
171940547827850847074807949461936625589930865864079372592963594176573817022
284162919162881986337389540141734670636504366236080861193284664208016112808
166188714994846028512433384825227020468077280504721256511237820270887476112
635497755785405995406673156681465627255164142016529922048001868395881116808
763807238707017058296572112151983362402094505538052680925621230689973801366
752150289408935342909980087415290627799396507439802450057578927173204624522
345916850122667211769822144053114331140181561518167202200920227907693428534
144898285892326474386611675418470169089758202554246368649443992314926887775
749025729655084280448373313590151154202707398176725371950020335200796262736
300835330686462871780552026043415576384165182700366040466500405328903369278
126888264156706423317699318253367159488287972864483379089582567081603805461
679551065228088191141430534041106063256277281229777273933957391236693407679
363499818947065817399277873991054200988453856094043856251423332801437242380
478973378376530944906650592169824320640263516611364742295925339966279885453
838260751098419711578333264950868243124386122575741982968334125846958398636
217680767812770963651086384494230433207131976377602846587385225979751440161
403967392837038523331757619588479971034601303089408886317197558519400025953
036576190804530540016823068149242230794412957391164182336906041892016833939
335949685967038106868869533838291204135400432576172314870537082642284898584
162536389847593742294579729222298276682700886725072143674289891646413139249
966723874257277801185840450632277187179829300950644446849826016245345312670
516435573047594888395724306806295619078797020279164252963150932064834329442
070423314692982188423002906699460217017830263257790814957835781212116337287
444409066250648117367017756915202244973313754934931459121675540863642209813
096843883657466329596321768228388644636402628312997035043212292379157713696
321279291355640538590727992346057251708402496859454400882317160838130765622
639207553136703230466156897611589634202756476412563802255646784397269924460
710861803798135161498413638779050133900510345127728020736046442342194936395
951828206249075612757981603332059910912980439615146437287611818729977252201
706211115521126343435279349931689368798148881371964386236032022670474529863
781122623842276556252966242506258139482326003453937259146756122837877866678
048995064051021128993456828147005353786036623489943567913327321848232376217
921413435347458402533910108484102728853103919314291083497006285908018554183
303641596106857877009038556065761083782530673083045855083335432244175501416
853645467596939502056306896503067938939247542398597559594341054895492247716
839797261193095459719768414184441510861715004789594130827035731521394791184
740677382300751508285895670856261780326222872061864104158940209556182699352
377736782237127123244026187793310778566127214678934765422735361660813968328
397288244199373814363126160086130425431431423256763262792717672074831137932
108563111703400273271654637282515436567707385518911119810233702876469963717
713103201222391743382334012838110705395318915262058185792032338107481461196
849733938113790510603655528671462087586271432431557542848078055166654283434
930680536494125844984903541927144511123343415442300496017975176868232828492
499403842642862758149804494864727247794033364495301417378750558260150254867
885472499515375788349420580752524625002748839369867019630559292555379482670
778139638613311060531576451610087084054122546639906728883830143616105423359
536040834481352606299586709704974363122794642636576738942699436239613198816
471179492626635797782146018257054238006124689461304243862900644463083364603
546952252518356052685338311305714562851794334177175272924038347811366893086
823372722966311766236055871281455051902438843264569106192203435373226904032
767689142716784662745975690148724596188379413076313776286395731872896858376
572865125896812011908145443613947524851017407255563542143556325503822543775
666721080379852109274846127947278479964048287573766328296223189489238612145
678939129276107684476664273948850686133263107173530896027429774999119192374
643283416097152395762582614866080635012058529378690892323649930385165820978
847049076399266132660398097237966595487942689293442162351326927905263423373
392081912906898246073786375839444292908126730325812945677119349060628305520
641476770552603796246007160048634604203149647321247318020609587731294966862
261457476989812837412418825955168848933061940296641631026273624101261420450
110848227601214160553481033373143327129848425177240145590380492889413674369
275589896715937410022701149703199850368246884677390649568519526914260486037
019209003277649249065971018636652959987462755220085153977754694088437473674
084422357697498897160507161545697896077226423472620463804907357941616850041
226350601644310873201001455167994409707895396810868799692676590479832286225
823419221986912075899277491716514357104555241539657346021290288486751739858
744431077941762632453576991400625732506218605700762805513393409528559772560
981325144987373868594665219368123329781702592653548103599671167254575894405
859325986903180544018441400083137567871160249854244240113500891603097884604
801069527715425656668816548775442520613777702394302892975400703685123415603
425668024663588518018942400906655997241994264031691939387830890562821363596
796072433865549816013912806978986910576271412061657746682371835919284276766
365680594975081829611890871343192574791083126197606187974446328757303560740
327456147424860359079213364551312241693242577260386625931332173344975323411
781055997015481480018605526952269624910373752545308706667633173910193722194
134588597462930416112721231281050404219703528452789768573833788116300371760
028820918073975186120125258338717030556433326035874896009850982730091038393
919755063612713163666550240380558952092287192675268952244082820880866441213
469486176181719970685718925822173745765018300278283205834203929991947637282
426356197539487482627799325956475010917430845632079219544149254502069323070
431149949252908950308844793638775436533970511852368172584630083205383366383
042001907304216078655743738021308068474333892749028167190798453927312636153
481082428065206660054660140273188952099447841477445588503794133105302691486
134766194543233945842121891816839967514876120248961000435430895368033842385
663199999108938935939894291630398237386995512044896310994412592612371635055
515943847598195671266403563059520152150457579285349030397567474722740850164
610020829288737648422643620383941191542106460364111719259875188798786993396
476695153472001976158928771959631364428881125432945219861789315835452863707
251884114882308597096082851894167184738945276677884876502488352833052144405
537101611643985785461427329281803592886635751663260447507089968894743096109
356003069159022834408171181488911823611111145206851414817125332330236253252
474427505623558499986028361859152312962678994397602391418708653444250169038
720428924184063328865438208543732866602274028256671954232969778035073734193
798664300727129319431159618464184371342438762257941137796059976627310967535
661893707922492019631817573051541343562438759689867099395821893409490849979
002326647534262874799770223778743912136808195375334602521823936164816052482
046909094507634806837636556560557178774055240579829921218556247376073932323
902445761174012179589384431672116827093968429991952041986294568306439110704
805082233650303862570872610007094531802588715432276236446062445781345474425
626569357630840744037618493942416337619779310928904455932585882780313849586
593089748311696634412875652131448089923418168276736773980508925844129213647
278951517001626737894950959266223488117765623096980880008624148171635750981
137231300092170470830357598830153616410758237040001716966416951149651416898
205893295064732872022301535035323550189875385064983132409913713393250533376
787314535390436191960398714472946302473646883321370033430155731095033966128
698846461767135933000476235809839550211814663286675919105422386302125779354
063681072090014019297116762882861529261117086548665051786967979874820628385
297071944602670420224767302182145322506735105602667512232328358305707672365
422741187640613190610072312004772415479922652712722682172224364143500029897
866817884339937704599240066315978206415481195008852078843644595773354101008
624962061163683883498868535781466278936681994218435492259107126623848626836
257504698890061252272321111485997233210121398992656065693651788213689290989
927237118186380231330764717884323403213585498120555647201946209021161166204
901842725338091419685816215928808407986382546131607781092138021649423085307
923070955476316585785250742138494046831806502504198043232196915872361937124
587295465377546493585250835044476495625420645128547817290403465774154632775
687067748550803130075998705774589543194307796365703671935513599431523965242
734930024416762946331520942772452474733368304675453339302322957776036265056
996330388641266836405628411491513713998199438270329585228520694198389874920
087546292025308510022246112058158434207150945153319332637705541523732418997
706851382860056162486980258985618797575526151056470945739164786411049742994
160674136441343711446060329827932291535845339478656133700491543319912131426
814483520976120012182910849350916057288405183360943836366044355201178599226
003273306945983386808045609218248778678891054510413058847496888667790258959
766342201793082303355050410373375872690958771745718166715961713838103367864
677942126775697025869235525641835083205404770277235881976392866069967666341
924484261404959773833612874522191486974221859354484554627805055422983601426
841702955852457204077701425278699635515350644886318590734746006679363055980
880592663880618899638281215228540439650574223248080354435829486281519130803
319164685498817393003010873696609223597902591937009959254157129426358408521
479892666310330412020990633173783845192145316960388158573683533175773138795
346523513893385030899638534833296230085712424164265974048699272786549607168
121124900549197861716892084821520864650796060848158664597522126227896775422
638740966167516683584233237835727892719311101353174677524871142071274579788
297650805053054668164254284236788456408745081697608861227144453402534789491
844546692111484427843444438418371306581834961122889742815881783639200363332
180320868441616532009422366274293512902313661910660893896111252358529192482
181471640888967273526051437806731042279574358700631853837774239589135936653
552774598198518104963558708251555814960771978332884003615024230256139067864
352908191297607414349143439913723078470350884322140905058750164953028589617
478960887127314090847107271372633888997204380188792224352171573299054545663
016754453704617109198900023811495864697692915500711312137245312418082054862
155232243243947394056226632749439778313619413257043346040482510837716058011
885379727537867118486136217487276395695304487774278197929125852385026679169
985778264675094839835158354312420013899878440336130907396558464503098804064
212413499525500157079783188461055948719827936773286189294701133898654672981
358268566309217617556795376873585886232021042909314688761899822200161816306
518348923733988320716125761718591286762791799094886640690376315555039773165
181930131543381090677543740279818327064759635540512113334758395779920951603
469468372329632700400581859205510895665735806659436955658698357477829545097
002023323930705471134153993188347367910744493942507302372274039671570086884
550090634807225609991490949726374913517955119942449283818029973939064664531
061186051816451931451030494953367847598664032309020478180657990026815740547
333598916529399457434441780452217256931042106064750241791437438695356530096
470965910462621818331980379906587115628611050385409750579075123637639201637
517165154048898705580814059448120055614040125840791245631477973560975061214
566059105984664129224968746412500393571884574210464983020597452518901829752
153484773729731744146118728386479336852171450761908258991155456973030810664
825657341084915783230974030450783447129999860669749013296773350031719808775
019207965890003512229863355931252432066509719014074524483410164625625843988
045879158656283921714684770796558491718665058705730030127651457778471268619
202805367731570846983818723609344195373593067292886571402730315981997830787
984722657667870731005845851074191022836883950498682033840677449440054029924
634950077145567389584595156227583123150551269514510068217868449311293609028
649305390398994744434953631133608735586448304695662459513576878266778152808
816911465649846729575361847567650982455696382570474625667922236742367832523
419037181044724509887003460765052427474538577192073951985582546375345504304
897952662182987069820015369336371694110239465369344245876833243001727727750
663338534922959178427497943285137238898873191966206083016271413373122215751
601809945273590815365550625662110081595502492215726257386718569606768148897
674800335284933679893867026286171564791246109274220601240494935978334736691
860867289527905812882163707568520431959237342214587893909875297248565066032
857536399417158180111435356413936307174494278901004618638624138646080252536
453746989319366223159244235173537195018673588615373963415357125217731274065
715306657928366723150026024635185744053043997765558622883447144053206889337
288396502108975295326972580653828556134176218146235199387434163603634220167
835154516759208371288520383841859070963457425621189740941620217731115461829
375860228129386392997421208374933939693525489658494022005000702932873315836
021831936799331210112652206361019549853130218725069781116050807871658376631
091151422214055870760329404528350167276257507435977358942432921841733359707
500985711356678995901099722175647822478175904829617308155250296740947223101
913824225441704719265251286703119206190413339282190051154701134493328357956
956715336259033605320488824540032551252886705001996843994983664228173625477
377506450415000287558242612429912323306859372916576681857423020881688138750
348575139860950380015731648132421740502965234957483124374581369314058909824
073533735367239365406350408801881177917838055722332697741639120256970595884
083095834620115951092880956994202665754685865624479400735356039238656962884
972510373722215650246546882883102130043427895291331771962833592722257776438
830031209153075945580277122411033422388586329908185342656584792314897238586
218752423857563038397772813363447420448158529286579925084348647713162101043
278151365078874363183710726580112134437184381928036622599770538939393445621
537261243067713290698147992029210986490088087292138928820671560518493551438
705015786878702698604304367579543735028338551384515962861114945607048436504
176358380129975832566375177366214171298277316807374518000300857212959172846
831411594349239699673902065320448343335160254065368840407641724604744919567
291873658659262641198284900267347651112379720140017241428707028816982551359
458915876236407834720040283227202325585965160476926082935393383617936226797
007031904237640370301880087297663322031744125218506705795377711496641525229
803589047502156677262801670685955218723588143202263375706145249054450559672
374396228071808792901703065258317481643287836077929807847384522101775070952
008585383726087865193347074617704795169323500913943349527025175168639952880
810405885575507182808075919210534495118157589807932940136649254501767334845
885336516368442893975136476069517192137449582199183542250282164463776133538
923695384704665454433228521992124586223867269114968948246480107694539828812
631054235119611535848175450487390158078740144321824557087734144870538823758
698501288453398060629683893813031939479920561076967382975423671088624150964
125629708939848256399008373676324264634136904301617160746392772396802243739
469716930129196891276233131155746914258563611007189468873503759791333561989
833978572877857161902817960261075871247221417230495135001992719803004598816
479338400884118831958774121204356965908973605414409421647071121111936177490
590302250553515666020741138990112111552371435075958805929841579414248843653
619145909603198433343247341710077381058875923960698572485892210199968567510
410219110689131682067601017660652135342651539513120775959484899007662845148
120117193548520390626453055443518668484637729113161008375577970250222837981
819875978206790167443349875500289567563660907683799006238940715940601405922
236272390771014147464656009596933282070370058345385501400363268236216249967
218108543739346072451606151975515721705456111952498345432009818124938739969
230770919528916811508259749661347892930567625323260711302952014811391627278
774638594802604197035280516272966586753803769255467474944009034465518012140
139336716713708617064321100256327060806695895863769105631574224328236602135
097852716304880328274269503768489204415577650785023081130417881150509245826
007619551828922200834232678357881638521860584537513159198469692139935187581
319312774232032770805039130721552902648574977948966348261415863466753434921
732967404586438103900116062345910322682068484697208844342182441450491593234
859533833256319663972385049979641456666632826172695870700557408404526857565
562113759965333943146507863338482879256357944277296601654704359709145666805
511585054797830910608913417360275719335608948486412090700318883720522809442
662569989314219396067312159481454430186633402653257925301270254520023284998
143268215131743469790771827466724776379085428853928236704322779485240677264
191781884467894157615524112731473659262000733589312180001464042938755955957
065001273096396500582300478304599370493621927517134690372845475132126408171
033670909535926409397862970437521371278665791371133106471630188192985187322
189890708127359427274836695185871787170678802796424435707878126857028475575
048978691824170236028277625915823043570261860848054460918040249571823013635
261185949562990045738500980977543121776184003945035567846902962278960713872
460838271337757922412821081591530869409302974629462847091743707635545280567
066119022881438890835873407494802104409131032561095829833492376993096116051
520913596388647311127152822748982741768379126498491224075347563838183810113
695334751978797680404689925210000081897872850228216663737198026679022271152
605766372422525478763691393860467028704768112768585277276913415089300215899
028692120636133465721433622723366751514001597583888529974838573903717555294
903939082628959342483971036895472259106992387426060580408390271395643320393
893286541814285420400461315400455087613381161368197900086111205121700770531
407269644464185302358653944365402554348631573175525181810479571801450489058
881286798401408461907340818521480305089464367213541264776188873460950664855
021821523819662100087123515633580061489001953684329593779393694361762026622
176596908703448325038650021242846664771049798598273394646962679658762994232
263123262963016216312839091582314933977225482853238603277040515010009989013
819253846771994256103850406304586964340393743213570577730256147495651566921
785868252333110123109476343291444275926958968057465702303695883767466640728
859850702084040051297348131916254645020407011139291834078817762620496530915
284631214368214027981478797844811782911383013909524167396299359079468584881
666068485120884726115869949566268218625508061166096801415971613335531879112
514681685853299235556103464993838303302636801400040390172491963585413717364
421784310275835634980964403695504677955798603770013099944563459158062884331
068808912141511673743680489630411651340578307873859472876719338804849514027
146293480268503690249556680440422665840140098241395384423979321702841552295
144499648245253993021828358709280420190603676923072128797061036183011572135
854460359056582490871568180824250281432696089211132849956198925460857116748
606316606815453083951404618265775717077897499690647997561967434897053492160
803141338615301980219722740848429928907337305031487310430468409579977723007
666904243333218589052588591988784320862400584951466726540569401812864363139
449773952929343405044342403452523899604541148958057087255702225471244489407
158871303200438596793804894583349984221189704064739610927230995916898084530
260749654829116841208538260358631037651759365822235381133393940714353138926
511356106967934144004452851916173815265080501179675065880381425627920147048
366026711044136248194612255100167179358139011876320761017975986543052012369
377745461949389475186243457812539387290280376660678019668685032211398343209
149153888576565742478456363256313646028224119042291515704989329124438849345
109432154676960610845645284499537609046284781310259067502391869726907918791
382462141641648337407160011215100622152957035116161733929786675110187178799
071244532182447277253201431025868192954645717191522308893658763887946775013
611736573454297796476173365066238320331728926618471014816519611848491748517
480492059916671732271944754731428162657115627465012747130099194988330926129
192677617136697852237679297919657898059610086731774181025332439841783534097
250021889962944253016188531255579943002036873661909912925099656193587707862
352567994747024107457728418100003928757969156583076161781830120623990153452
704384443276872774361751637845109897623600429419317961042007596359428684051
452046673231116079819759313880713850089635849758413040559178593853268030021
977927608606900789017090805587037749770478264321963470357803678134384744001
959914904120953715911714119816680588725865763691764110867799630364610038040
484641953863227301046529325230648398635490917430710485200986949411858993283
361606522780216967145415237780608094355092978175080042659159131074358941433
370513704320428307008081475404490684572415983242865584450764414161976460634
259887015055896452645923113974104663134430516981867438309503848916376401149
622348817985741647241854173531403293950499543073058445214401673441157777352
966387201543725135419820041596594444237034213732820175079980498445362157346
068570537795161435241445287325511063270448098858376600294254061872608209923
999629413126758438071837685275011242928376813906634125321549244361731334307
204093823220627482433197711186973538424663297325801528574240913127821070261
140791263987259460634773201788804225590483486504546428202229553977344462349
999959789593251492996632180093208141490037058382216498178424229577765041156
861355545667356816925697089826854841616385701935522078897621800717688713137
585395479001749545244306558332928304629949630366179966511508720163869448238
449062025177378050343927665858783948483494494034488952391517475502534894280
358962962402621314090120784416020826273629896800603173830479906532023016045
567891475541683545461636191117831389221604561525781188277213369102976393387
774852681187298512313664341815096110610335869640938476042941899040036499152
228844454879300936065049343683771121230381172811886723259467014385344641591
118435696405224962044540942832453188040235567411439887560660993010100570636
015373394224806771994942973792766519366947355832821192219313269789513261083
378918897725521231948323081788205825939837115754281933979249590950837000943
450456032418469118659297495292462319462876579826960484131891659537278166296
574718996390003967009169435267230135885537647897171332088202427756122292517
836527278121681157253837010686182250440036260709585662843692943814405552067
865740431263691169209338226090174728948989835757340908568013484717398754284
025774461209001561840367986052891244506706616099364036076424566159813047141
207440998795031347374059256555738573770809332019746498859953582975064937854
334566760784174697993052976636470234042659129253931762704848435210117406125
858234930487526061253291780281549008797904986616931912042923522512280082906
918731306181242395868114346385388034707843694693395891393532577644810599092
106367623488791564821175559684484993899449264677586668761893090451665696217
922923564701048741570461684746714498834831375789661817993265028928660956701
012747034963210366838853929201526671756212290010374957736380091975535151477
617329529585085007132629905710922824137083532117720098333547210353370720303
810527618951279577943439648231058239755153877936767589186511665567591161417
136504018773281422780596599993045035327944299733499152021659048909544273770
251689382747351121487310339945229579141049591991017754095507116479638312007
810285380365070398972265049813568577358645388274373692395820881872008369588
493293528820763711039428758280129476060618917081676815989260018321055479882
108915046409698856893253435811845004665383924038299798407798360277785816851
831378589226729320496018146039293062178385893335287874871457483076602419413
894936265129301429436133743614564831448626281156677680737930972121121575719
302683095697655100937201194401896721906917840972413154249925265375650941402
720448137018651909855026591948120684944940120417561073517547689235134088404
228272138652758214871950856585574577278010158531909857292555708867327238743
055923902911462379092319674011970002117082085610798325003197379120553754222
457858762638654269719548804159847888151607598277695557528807224361748048936
083555972523495713775006050683288983237680261699219343989051095198113893400
875718988075248603751131062768876025898411520776568212097758131656003315187
959176840309734283929941529168085107380024970991504483682948784188021130925
782197434755460610632051196589111456676209888818534384112878210787630256603
266059119114660474764255124692361415425344973507706609430343096046517161062
067673449344283968363684569490768449930035395747229036046893380029621786194
805165533434451231986024390231669549724333584918075920411254781058015972756
699333586226613928164329384630797375940119244457105774230889691810373646492
547592669748876777164501265366488448749321047667064045434694067129157923859
251705154820860064631513436676748933023608140461071330450733631448181893774
163989602038442523042999739627353493175624611535309175738284106598446238332
221062933129950398698464862503499434157892993259292251120936049295816761971
584127786525790432826844743550315110481841386313259739266996324041858730093
556380530549852523811885118046028341365322166763745094059331498927087727423
301826537663957722559951735762734472004209411199869604274305924127344412582
680241915870674360376094613959162565805300605290952325345102048214337615933
827306039899130674229445020482980911723666321624912766954157565628591132916
645411230788962252300624140834282723209985537921083490536455159070792378200
676710003692451334163958846043083743975608081861044724948802690022999111090
191431413224329912164125126549423566053601266032539711925804772658473992569
650617314029749345317111343527624801789132082122867147398108025839506740577
048143875495121787820059363540270797235036051535588039125187418617027909172
913998083443053284486402222544218085136827791544797351276349565065106678240
095759013460310325909367319817985118717226798509837385184440666065896879495
284106491532678946463860716212369231608091651938693288634096155175109469176
457102389330175937220461282930385901691977346983966417976035456634943113753
717781434589792728954784678356916954995871201619939555732860451679474956871
632132424793451513478785047232473789719486119777968736706116310296937540576
964832053616286644530543091188549996675150291820762638716879787541243309967
693894136801807979309769779760777853928318570654713279355522583978964297632
573950791492119899059432313965015650360878433548025981192118506729016653104
058177533869956648356869173769640411322917245582861996838100171738509770456
419289992118660981105567270874694154467741677680806863338924060166783524501
096245774214118421071210961241199946591790372918669880994144577788709653118
555093279976341307526373742982529491418924639233203678049985758065001817787
763875294337047034468875119816051634619910593709292119863642705576411886294
348939337677887256760149505785946268140172677319229978965713665135639536358
057542383976379845067467265468204997112261760564430504786592526689250745034
888179136623621124983945840549134258356447170898534006375481151127946768700
684268181097481210719490083468888252387239421750679606006617777496517973088
038101556241160436388689289727903742150134136547602185405349660325006526059
391685384717861889899600416674232944700959551228393177583868752451427347883
379050778726631732263215645585718455273656961174499082685888896377053028339
855102588686635438273918917113164885098596334644197162306609563965803690883
725899774389892384752756166226485325642259998030271069199680258588253416607
838714395036343091424945780644384396599105798249435108918177156493379065474
652790393661445519412880652209663371259319355667644133934645770027004215727
979092579505276076350458021892004056987979820815199726159364549919931881445
270074735591530810604667797324670510925982945667674816117534097604060367859
940768018897918751395792412997355581853155742229845732828457768260475631174
103198795460559862628255512536079505957005006373962299848754555750628699610
518771749692290719563865141256531633080773103260132929038088251376232684461
402528722774696917353965684279451359367081206732143804605060770821483789930
350747186137080941688190702901779868786456466301238145157375348938788161506
263017859952228037519665654578528021344721430034975568784771231043069121148
519157157602958999713395008658458913026681065620111682663715174602994046351
136610306682509971054063119015925971680959000063862275947497420869001769772
486878543840691464717129887283535837093911595092938020309109518271302526334
807063421695153891982276736025481404819927535861804823106919937335519471103
482541334004675863468845458060217303230530502767661436910426292952267407754
661486986797218321445317611837533813150006962110344048073532609212929138993
024956529390619850233489295181540553576669960031390619233489109348047946939
549904056850959333239409026876608070613091115588889368058841461731436581738
947350198059186223616390882931393729051747469304590070614604513794696478922
731851530182422800907979862710121455219398804596704181306254959185769840160
869757170220299963793801560514016008836360091438810621795836454809372306292
756757227634734578105942852519314786688075797044290311365668542299037241234
037706585886397604825125070868381580902148860319057142438904050437082079165
352406894380133841746624106515904559688383626045587650275176652741591053100
337593969591026699527031925118950311090998100765201439733042699466099078256
334278625208125516336002462237690820839444570431443595153434687563942668694
534432497786182370970827766953824463894333828818523574631980755653312279123
547190717981667277732306353449738385441243533059469376701005068130199414063
578896144146690452065238170167507686147589079552219801392101930173928577445
058158755360391626448784297711939098497964804764148110541855893971869519853
988146258663723593382576252112898168413783639591457444996045912442593370777
101879215496796742198973800372339925363007687611148344108499118426900055721
309114882387145983048543009714573909584490856385427333881823376590495457194
028773470786285652966895014440906955562055507410251188930879554393113101886
701266380794345015743276866776325878117572814264180984703237464714200590107
142282245525088175861370731994090533910213066298815067691947573538456641107
248667248996347179247954109090203761674705276804805982047205247696421267912
554626930592642454029612894674168373778222322131112151551324268755580385687
839210013683351596592132889108235312285614366225046600203017264977520217069
953749414425500561346057745985230954269593695774571745061687043250271387756
184572492323565985208846458674354931362175789773042262024989675502647824697
654054165106108651679020763338800597503023490981330016008800499323244356157
019675863362157529976646516513955757467656980719014681485050626660036043848
236454662779687456168658379742198753354505145047754905557109408451660042320
763452146964152976838482617958007161329694679088328396911152045107293071979
422590864359616298645018389565716121259121166026763555680953939370934481353
721628930937030496736480724289945879826598848637292457509800005144239256627
675271744155629176861949749102405317692698181860289230707928915796153463221
187114840287068282151541748764100445408164630847109137429258455558289734022
641307224074096834753140931281549234072744966755765128244867003959011132109
572584211293153585871678105755006444238322268222383407831709951943800189513
919214535581309922148354287297164219283756128722543705208211851527202497104
461107288407738789465947366378080406933361629510651992814385282245923532870
127394860515180891005241332556767972659127036568338737070636898389027288814
460896336369743473784765382934711721026262959088747471209492720565661005838
742955740837280252613015299132806586444320807160791567711637818495614965684
322815605370824647879992668211295510668591071544023868032114308594643631105
427447085243550045246532563948541705686496958351579041214601184656956547408
831887723474838779688914536165099368109800584226903148693567058220974983186
150688606631603830312949573830845800913318171611867400492462478241724686412
019380138878332945271896963975183795691873771269734982465483814839282342007
520430457595250178418113183405607100320919347847456372509582551401430253078
849173670631280868397818177627470866376609191680118553941066051889433858652
978558090467701579411932769562787847149812289035175014088990571364646603562
937446556418004537954816491528382671930018413209365102394690555752867798666
114915085503514527896693102677886884490570341232270103095272806318566354359
967305550319388057800215053697876207676919716755759613377962927587161253514
121087651982665370587850102170856918941019766239919529255152675275718978835
944100210752036584321190454703439704969446270303041616972343127469826998783
792451223547575727320492214685699418456072949279616222346233279700832619347
931956378152400780485136009414810878433041594193125446935490907176531765701
369077856109714984385247228271671144011124765242099783985795312584264215690
466301688097010143156937619260563298123636253790680078951665769632698567865
916114233219858990977717833214659412963090338211762543800602051741552423992
562734249798170221304571463832747909026914947543738577131004598106765243433
397373082688564196466770680612159666878770693768977083975098604331039882510
798229554661234306680171892870177178494582088813526127657987140934741509609
488226759890999427759194326398440094638578069102406414343060966115533527472
701751042958712107055173307087159253271610971812256875704266636763486746755
136779980781365984009434933272709347173055338491805015181788158087451341449
814227375285706166463758248643638965787347475413350953786331071747350094239
561465848603811415849211131261453172948130814216065326748687195405127533160
523040656561474294828241532112532173117657523227097606406190362579333876302
141518607194635036648525647375688706086407161912762881185143151786983825553
674074727595063009435178736094391483629066748036717872008274201511194985249
609814844892296651244603517577488888678046489525396377359978110523285116582
849140292645808346306399962336530228893592348764809297813837330557953512645
205894114619058605833636877951543230036579714374493410927767219031799203832
132454281246743410639986950686862756714860319862579438053510016598234706461
953771880598555735888764119461846352371486888439408564364773630625146505451
382239690189340586878133957379557275929051848673122693997042480705346947949
069125841636566152045203189283823902347844320166457511385291286385840758940
142626164136149592130350339284052834481395686162950348709556893520434372584
032861045746091165760236715882005317143193417659914097914040540826327300917
882927129482826362788189739443282443922142236254524646650410421545411167490
390892702379961302557343040680542144621743395885886415087224989037279011008
661670853753051239954858642676085534900393483053416791044171594632061958552
984877133942859416218340018684697740859891620126816028778806163151971735449
967533548680549004307153357304132829220870953043992827387331306099784405797
944843609290380111515271545756743681371527856013183733980134579451966081725
006556351146389218257299309473843812070796921980553892715159125878288913418
306982229880941427428457125752989975451339327299131866871479418526182575577
195027792067155391701331022309664967794616047198907166694840115562986801050
805393159306255052685243065869960276124050948656307009715676818570461430421
853755456616433482769439086263432581731074799610701883625301413636137357033
751646566978642067512944417971751129503202512310523492022549136978204316506
937731015383090725348051802476285863514130580500559951807045573435195049734
777618103087175522182338596895148815710392050908416767614940107814233688780
495326489098187808711296445292767822613494941049512258342961120626592411288
268132464562827061072018851649044245802553738336806717201306246551096232458
438208098062035571288683210263874913358537211375813782139123059458646854107
395130928810580117438613921747989100514462166056926322030003237857883233595
751799659887265139122239696058569167933764564118232712399330587084530783467
324167554449543819987712438767720465869744262842270225445259114748942561847
902447748868308065047034538472450763890800506943674378200572902404719908846
182378965424796875539854176523827624398817888530084310037219262653749710337
666841317844237765735582370479957143665576629460681947818193844120335913211
544086432951988323681930602366100766690250872124117568190528771001749019945
285767488900937474272073783976706226031810810457364044253712840924761235991
879282993939805823121044729750109691649079926240105699156569560336436489873
929020236210098884466592242437145505345896619887322162128705780342722529084
365346351521170044168978876368088831849012855962155979142651307309600380138

---

Jammer dat je maar 53 duizend karakters in kan voeren per post...
mijn priemgetal was nog helemaal niet compleet....

Mijn favo-priemgetallen zijn tot nu toe:

de twee priemgetallen p en q die vermenigvuldigd met elkaar dit getal opleveren:

3107418240490043721350750035888567930037
3460228427275457201619488232064405180815
0455634682967172328678243791627283803341
5471073108501919548529007337724822783525
742386454014691736602477652346609

Oftewel:RSA-640

GEwoon 7 !!

Nog even voor de duidelijk, voor diegene die niet weten wat een priemgetal precies is:

Een priemgetal is een natuurlijk getal dat door precies twee natuurlijke getallen deelbaar is. (Die twee natuurlijke getallen zijn dan 1 en het priemgetal zelf.)

Priemgetallen vormen een belangrijk onderwerp in de tak van de wiskunde die getaltheorie genoemd wordt. De reden hiervan is onder meer dat priemgetallen met zeer veel cijfers worden toegepast bij het beveiligen van digitale informatie, de cryptografie.

De eerste priemgetallen zijn: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Elk natuurlijk getal groter dan 0 heeft een unieke ontbinding in priemfactoren.

Priemgetallen werden reeds door de oude Grieken bestudeerd. De oudste methode om priemgetallen te genereren is de zeef van Eratosthenes.

Er zijn oneindig veel priemgetallen. Dit werd al bewezen door Euclides, op de volgende manier: Stel dat de enige priemgetallen zijn. Het getal is door geen van deze getallen deelbaar, en moet dus hetzij zelf een priemgetal zijn hetzij door een ander priemgetal gedeeld worden, wat een tegenspraak inhoudt met onze aanname.

Er zijn veel onbeantwoorde vragen op het gebied van priemgetallen:

Het vermoeden van Goldbach: Kan ieder even getal geschreven worden als de som van twee priemgetallen?
Tweeling priemgetallen vermoeden?: Een tweeling priemgetal is een paar priemgetallen dat twee verschilt, zoals 11 en 13. Zijn er oneindig veel tweeling priemgetallen?
Bevat de reeks van Fibonacci oneindig veel priemgetallen?
Zijn er oneindig veel Fermat priemgetallen?
Is er een priemgetal tussen n2 en (n + 1)2 voor elke n?
Zijn er oneindig veel priemgetallen van de vorm n2 + 1?

quote:

---

Op vrijdag 19 december 2003 14:05 schreef Tha_Ramsush het volgende:
Elk natuurlijk getal groter dan 0 heeft een unieke ontbinding in priemfactoren.

---

Zullen we hier eens een bewijs voor geven?

Ik vind 5 ook wel een leuk priemgetal trouwens.

Snap er nog steeds geen zak van: Het is deelbaar door 1 en het priemgetal zelf (zichzelf dus?). Met deze uitleg voldoen toch alle getalllen of moet er nog een beetje uitleg bij?!?

quote:

---

Op vrijdag 19 december 2003 14:19 schreef Kapmes het volgende:
Snap er nog steeds geen zak van: Het is deelbaar door 1 en het priemgetal zelf (zichzelf dus?). Met deze uitleg voldoen toch alle getalllen of moet er nog een beetje uitleg bij?!?

---

Met die uitleg voldoen inderdaad alle getallen aan de definitie.
Het gaat erom dat een priemgetal alleen deelbaar is door 1 en zichzelf.

quote:

---

Op vrijdag 19 december 2003 14:22 schreef Frollo het volgende:

[..]

Met die uitleg voldoen inderdaad alle getallen aan de definitie.
Het gaat erom dat een priemgetal alleen deelbaar is door 1 en zichzelf.

---

Aha, nu snap ik 'm

quote:

---

Op vrijdag 19 december 2003 14:05 schreef Tha_Ramsush het volgende:
Elk natuurlijk getal groter dan 0 heeft een unieke ontbinding in priemfactoren.

---

Vraagje:
het getal 1 is een natuurlijk getal groter dan 0, maar dit getal heeft toch geen unieke ontbinding in priemfactoren aangezien 1 zelf geen priemgetal is?? Of mag je als het nodig is 1 in je ontbinding plaatsen??

quote:

---

Op vrijdag 19 december 2003 23:54 schreef Templus het volgende:

[..]

Vraagje:
het getal 1 is een natuurlijk getal groter dan 0, maar dit getal heeft toch geen unieke ontbinding in priemfactoren aangezien 1 zelf geen priemgetal is?? Of mag je als het nodig is 1 in je ontbinding plaatsen??

---

1 kun je zien als een 'leeg' product van priemgetallen.

Wat ook erg leuke getallen zijn, zijn perfect-getallen.
Dat wil zeggen dat als je het getal ontbindt in factoren en deze optelt er weer precies het zelfde getal uit komt.
Ik ken er trouwens maar 2 van:
6: 1 + 2 + 3 = 6 (en 6 is deelbaar door 1,2,3 en 6)
en
28: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 (en 28 is deelbaar door 1,2,4, 7, 14 en 28)
Kennen jullie meer?

quote:

---

Op zondag 21 december 2003 21:33 schreef jaha het volgende:
Wat ook erg leuke getallen zijn, zijn perfect-getallen.
Dat wil zeggen dat als je het getal ontbindt in factoren en deze optelt er weer precies het zelfde getal uit komt.
Ik ken er trouwens maar 2 van:
6: 1 + 2 + 3 = 6 (en 6 is deelbaar door 1,2,3 en 6)
en
28: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 (en 28 is deelbaar door 1,2,4, 7, 14 en 28)
Kennen jullie meer?

---

Als 2ⁿ-1 een priemgetal is, dan is 2^n-1(2ⁿ-1) een perfect getal. Anderszijds kun je ook alle even perfecte getallen op deze manier verkrijgen.

De vraag of er ook oneven perfecte getallen bestaan is al meer dan 2000 jaar onopgelost.

quote:

---

Op zondag 21 december 2003 22:04 schreef thabit het volgende:

[..]

Als 2ⁿ-1 een priemgetal is, dan is 2^n-1(2ⁿ-1) een perfect getal. Anderszijds kun je ook alle even perfecte getallen op deze manier verkrijgen.

De vraag of er ook oneven perfecte getallen bestaan is al meer dan 2000 jaar onopgelost.

---

Zijn er nog andere formules om perfecte getallen te verkrijgen? Volgens de formule die je opgeeft krijg je namelijk alleen even getallen.

quote:

---

Op zondag 21 december 2003 22:08 schreef Mariel het volgende:
Volgens de formule die je opgeeft krijg je namelijk alleen even getallen.

---

quote:

---

Op zondag 21 december 2003 22:04 schreef thabit het volgende:
De vraag of er ook oneven perfecte getallen bestaan is al meer dan 2000 jaar onopgelost.

---

quote:

---

Op zondag 21 december 2003 22:12 schreef thabit het volgende:

[..]

[..]

---

Ok, er zijn dus geen andere formules bekend begrijp ik hieruit. Gevoelsmatig zeg ik dat die getallen er niet zijn, omdat alleen voor een even geldt dat deze per definitie al minimaal tot de helft van het oorspronkelijke getal komt (Alleen voor even getallen geldt dat er een component van de waarde x/2 aanwezig is). Ik zoek alleen nog naar het bewijs waaruit blijkt dat die component noodzakelijk is.

quote:

---

Op zondag 21 december 2003 22:14 schreef Mariel het volgende:
Ik zoek alleen nog naar het bewijs waaruit blijkt dat die component noodzakelijk is.

---

Is niet triviaal kan ik je alvast vertellen. Je hebt hierbij de eenduidigheid van de priemfactorontbinding nodig.

quote:

---

Op zondag 21 december 2003 22:21 schreef thabit het volgende:

[..]

Is niet triviaal kan ik je alvast vertellen. Je hebt hierbij de eenduidigheid van de priemfactorontbinding nodig.

---

Mooi, dan gaan we dat ook gewoon even bewijzen.

quote:

---

Op zondag 21 december 2003 22:25 schreef Mariel het volgende:

[..]

Mooi, dan gaan we dat ook gewoon even bewijzen.

---

Een bewijs hiervan mag in een topic over priemgetallen inderdaad niet ontbreken.

ik word duizelig van dit topic
mijn favoriete priemgetal = 2 of 5 of 7

quote:

---

Op zondag 21 december 2003 22:29 schreef thabit het volgende:

[..]

Een bewijs hiervan mag in een topic over priemgetallen inderdaad niet ontbreken.

---

We gaan er maar eens een begin aan maken.

Als eerste voeren we een notatie in:
d|a.
Dit betekent dat d een deler is van a. Of equivalent dat a een veelvoud is van d. Heel formeel: er bestaat een geheel getal b zodanig dat db=a.
Voorbeelden: 2|6, maar niet 5|8. 1|x voor alle x en x|0 voor alle x. 0|x geldt alleen maar als x=0. x|1 geldt alleen maar als x=1 of x=-1.

We gaan nu nog een begrip invoeren: de grootste gemeenschappelijke deler, ook wel ggd genoemd. De ggd van 2 getallen a en b is het grootste gehele getal d waarvoor d|a en d|b. We definieren ggd(0,0) als 0.
Voorbeelden: ggd(4,6)=2, ggd(5,101)=1, ggd(0,x)=x voor alle x, ggd(1,x)=1 voor alle x.

Een derde begrip dat we gaan invoeren is de deling met rest. Als a en b gehele getallen zijn met b>0, dan bestaan er gehele q en r zo dat
a=qb+r,
waarbij 0<=r<b. We noemen r de rest bij deling van a door b.
Voorbeeld: de rest van 11 bij deling door 4 is 3.

Laat deze begrippen even inwerken, dan kunnen we daarna beginnen aan het bewijs.

Ok: De perfect-getallen zijn dus 0, 6, 28, 120, 496 en 2016 (blijkens de eerder gegeven formule).
Nu heb ik dus twee vragen:
1) 2n-1 geldt voor priem getallen, maar waarom niet bij n=1? (Want dan krijg je één en dat mag niet zoals eerder in dit forum werd geroepen)

2) De eerder genoemde formule geeft uitsluitend priemgetallen, maar niet alle priemgetallen. Is het dan niet logisch dat dat dan voor de perfectgetallen niet precies zo werkt?

quote:

---

Op zondag 21 december 2003 22:50 schreef jaha het volgende:
Ok: De perfect-getallen zijn dus 0, 6, 28, 120, 496 en 2016 (blijkens de eerder gegeven formule).
Nu heb ik dus twee vragen:
1) 2n-1 geldt voor priem getallen, maar waarom niet bij n=1? (Want dan krijg je één en dat mag niet zoals eerder in dit forum werd geroepen)

---

Hoho, niet 2n-1, maar 2ⁿ-1 moet een priemgetal zijn.

Sorry, maar mijn computer weigert (kennelijk) de superscript. Maar die bedoelde ik natuurlijk wel

12

quote:

---

Op zondag 21 december 2003 22:50 schreef jaha het volgende:
Ok: De perfect-getallen zijn dus 0, 6, 28, 120, 496 en 2016 (blijkens de eerder gegeven formule).
Nu heb ik dus twee vragen:
1) 2n-1 geldt voor priem getallen, maar waarom niet bij n=1? (Want dan krijg je één en dat mag niet zoals eerder in dit forum werd geroepen)

2) De eerder genoemde formule geeft uitsluitend priemgetallen, maar niet alle priemgetallen. Is het dan niet logisch dat dat dan voor de perfectgetallen niet precies zo werkt?

---

Niet elk getal van de vorm 2ⁿ geeft een priemgetal. bijvoorbeeld 2⁴-1=15=3*5.

quote:

---

Op zondag 21 december 2003 22:43 schreef thabit het volgende:

[..]

We gaan er maar eens een begin aan maken.

Als eerste voeren we een notatie in:
d|a.
Dit betekent dat d een deler is van a. Of equivalent dat a een veelvoud is van d. Heel formeel: er bestaat een geheel getal b zodanig dat db=a.
Voorbeelden: 2|6, maar niet 5|8. 1|x voor alle x en x|0 voor alle x. 0|x geldt alleen maar als x=0. x|1 geldt alleen maar als x=1 of x=-1.

We gaan nu nog een begrip invoeren: de grootste gemeenschappelijke deler, ook wel ggd genoemd. De ggd van 2 getallen a en b is het grootste gehele getal d waarvoor d|a en d|b. We definieren ggd(0,0) als 0.
Voorbeelden: ggd(4,6)=2, ggd(5,101)=1, ggd(0,x)=x voor alle x, ggd(1,x)=1 voor alle x.

Een derde begrip dat we gaan invoeren is de deling met rest. Als a en b gehele getallen zijn met b>0, dan bestaan er gehele q en r zo dat
a=qb+r,
waarbij 0<=r<b. We noemen r de rest bij deling van a door b.
Voorbeeld: de rest van 11 bij deling door 4 is 3.

Laat deze begrippen even inwerken, dan kunnen we daarna beginnen aan het bewijs.

---

Aangenomen dat dit nu voldoende is gedaan, gaan we een globale opzet van het bewijs van de eenduidigheid van de priemfactorontbinding bespreken: elk positief geheel getal is op precies 1 manier te schrijven als het product van priemgetallen, waarbij 2 producten als hetzelfde worden beschouwd als de factoren slechts in volgorde verschillen. Dus 30=2*3*5=3*5*2, deze twee producten zijn hetzelfde.

We gaan eerst met behulp van de deling met rest het volgende aantonen: als a en b geheel zijn, bestaan er gehele x en y met
ax+by=ggd(a,b).

We gaan daarna laten zien dat daaruit volgt: als a en b geheel zijn en p is een priemgetal zodanig dat p|ab, dan p|a of p|b.

Als we dat eenmaal hebben, hebben we genoeg ingredienten om de eenduidigheid van de priemfactorontbinding aan te kunnen tonen.

quote:

---

Op maandag 22 december 2003 12:07 schreef thabit het volgende:

We gaan eerst met behulp van de deling met rest het volgende aantonen: als a en b geheel zijn, bestaan er gehele x en y met
ax+by=ggd(a,b).

---

Laten we dat nu inderdaad maar gaan doen. Als a en b gehele getallen zijn, dan noemen we een getal dat je kunt schrijven als ax+by met x en y geheel een lineaire combinatie van a en b, om de terminologie nog wat meer uit te breiden.

Bekijk de verzameling
V={ax+by : x,y geheel}
van alle lineaire combinaties van a en b. We moeten laten zien dat ggd(a,b) een element is van V.

Allereerst merken we het volgende op: als d|a en d|b, dan ook d|ax+by voor alle x en y. Neem nu d=ggd(a,b) hier en je ziet dan alle elementen van V in elk geval deelbaar zijn door ggd(a,b).

We gaan nu nog 2 eigenschappen van V afleiden:
1) Als u in V zit en r geheel is, dan zit ru in V.
2) Als u en v in V zitten, zit ook u-v in V.

Eigenschap 1 bewijzen we als volgt: als u=ax₀+by₀, dan ru=a(rx₀)+b(ry₀).

Eigenschap 2 doen we nu: als u=ax₁+by₁ en u=ax₂+by₂, dan u-v=a(x₁-x₂)+b(y₁-y₂).

Laat nu d het kleinste positieve getal zijn dat in V zit. We gaan bewijzen dat d|a. Stel namelijk dat dit niet zo is. Dan is de rest van a bij deling door d ongelijk aan 0: a=qd+r met 0<r<d. Echter, wegens eigenschap 1 is qd een element van V en wegens eigenschap 2 dus ook r=a-qd. Dat betekent dat we een positief getal in V hebben gevonden dat kleiner is dan de kleinste en dat kan niet. Uit deze tegenspraak volgt dat d|a. En op precies dezelfde manier zien we dat d|b.

We zien dus dat d een gemeentschappelijke deler van a en b moet zijn. Omdat ggd(a,b) de grootste gemeenschappelijke deler is, is d<=ggd(a,b). Anderzijds hadden we al gezien dat elk getal in V deelbaar is door ggd(a,b). Omdat d in V zit volgt hieruit dat d>=ggd(a,b). Er rest ons niet anders dan concluderen dat d=ggd(a,b).

[Dit bericht is gewijzigd door thabit op 25-12-2003 01:45]

2

vandale: 1 [wisk.] getal dat alleen door de eenheid en door zichzelf deelbaar is

wikipedia: Een priemgetal is een natuurlijk getal dat door precies twee natuurlijke getallen deelbaar is. (Die twee natuurlijke getallen zijn dan 1 en het priemgetal zelf.)

hmm, ik dacht dat 1 ook kon als natuurlijk getal. Maar als het niet aan de 2 voorwaarden kan voldoen, dan neem ik maar 2 als favoriet.

[Dit bericht is gewijzigd door Harry_Sack op 26-12-2003 20:17]

3 en 5 zijn mijn favo's, 8 is ook een favo getal van me (kweet het, dat is geen priemgetal!!)

quote:

---

Op maandag 22 december 2003 12:07 schreef thabit het volgende:

[..]

We gaan eerst met behulp van de deling met rest het volgende aantonen: als a en b geheel zijn, bestaan er gehele x en y met
ax+by=ggd(a,b).

We gaan daarna laten zien dat daaruit volgt: als a en b geheel zijn en p is een priemgetal zodanig dat p|ab, dan p|a of p|b.

---

Okee, dit is niet zo moeilijk: stel dat p|ab. Als nu p|a dan zijn we klaar dus stel dat niet p|a. Te bewijzen dat p|b.

We gaan bepalen wat ggd(a,p) is. Het moet een deler zijn van p, dus het is 1 of p want p is een priemgetal. De keus p valt echter meteen af want anders zou p|a. We zien dus dat ggd(a,p)=1.

Nu passen we het bovenstaande principe toe: er bestaan x en y zo dat ax+py=1. Links en rechts vermenigvuldigen met b levert abx+pby=b. Omdat zowel ab als p deelbaar zijn door p volgt hier meteen uit dat
p|abx+pby=b.

Ik heb geen favoriet priemgetal, maar ik vind 12 het mooiste getal dat er is!!! (Had ook liever een twaalftallig stelsel gehad ipv tien)

quote:

---

Op maandag 8 december 2003 21:14 schreef sleepflower het volgende:
11.

_{Ik dacht tenminste dat dat een priemgetal was.}

---

Nee, dat is het niet!

Mijn favoriete priemgetal is trouwens 15.

quote:

---

Op zaterdag 27 december 2003 20:12 schreef Russel het volgende:

[..]

Nee, dat is het niet!

Mijn favoriete priemgetal is trouwens 15.

---

huh Volgens mij heb jij het verkeerd om

Russel heeft gelijk hoor.

quote:

---

Op maandag 29 december 2003 15:27 schreef thabit het volgende:
Russel heeft gelijk hoor.

---

Ja hoor

Waarom heeft Russel gelijk? Dit is een raadseltje.

quote:

---

Op maandag 29 december 2003 17:16 schreef thabit het volgende:
Waarom heeft Russel gelijk? Dit is een raadseltje.

---

Rekent Russel in het 8-tallig stelsel omdat hij ook maar 8 tenen aan zijn voorpoten heeft?

quote:

---

Op maandag 29 december 2003 21:40 schreef Wolfje het volgende:

[..]

Rekent Russel in het 8-tallig stelsel omdat hij ook maar 8 tenen aan zijn voorpoten heeft?

---

!

quote:

---

Op maandag 29 december 2003 21:40 schreef Wolfje het volgende:

[..]

Rekent Russel in het 8-tallig stelsel omdat hij ook maar 8 tenen aan zijn voorpoten heeft?

---

of hij heeft n tenen, met n > 5 en n+5 priem

quote:

---

Op maandag 29 december 2003 22:44 schreef placebeau het volgende:
of hij heeft n tenen, met n > 5 en n+5 priem

---

en n+1 niet priem.

Hoofdrekenopgave: Vind de eerste 20 getallen waarvoor dit geldt!
n=8,14,24,26,32,... (rekenfouten daargelaten)

(zijn er hier methodes voor, beter dan slim uitproberen?)

quote:

---

Op maandag 29 december 2003 23:54 schreef Pie.er het volgende:

[..]

en n+1 niet priem.

---

bij 6 werkt het toch ook
en bij 12 ook
dus n+1 niet priem is niet echt een voorwaarde

wat flauw zeg. bah

Russel zei toch ook dat 11 geen priem was?

quote:

---

Op dinsdag 30 december 2003 08:50 schreef Pie.er het volgende:
Russel zei toch ook dat 11 geen priem was?

---

ah, oke, nu zie ik het...

quote:

---

Op maandag 29 december 2003 23:54 schreef Pie.er het volgende:

[..]

en n+1 niet priem.

Hoofdrekenopgave: Vind de eerste 20 getallen waarvoor dit geldt!
n=8,14,24,26,32,... (rekenfouten daargelaten)

(zijn er hier methodes voor, beter dan slim uitproberen?)

---

De huidige algoritmes om efficient priemgetallen te genereren en/of te tellen zijn allemaal geavanceerde versies van de zeef van Eratosthenes. En de huidige algoritmes om efficient ggd's uit te rekenen zijn allemaal gebaseerd op het algoritme van Euclides.

Die Grieken waren zo dom nog niet.

quote:

---

Op maandag 22 december 2003 12:07 schreef thabit het volgende:
We gaan daarna laten zien dat daaruit volgt: als a en b geheel zijn en p is een priemgetal zodanig dat p|ab, dan p|a of p|b.

Als we dat eenmaal hebben, hebben we genoeg ingredienten om de eenduidigheid van de priemfactorontbinding aan te kunnen tonen.

---

Deze laatste implicatie gaan we ook nog bewijzen.

Ten eerste merken we op dat elk positief geheel getal ten minste 1 priemfactorontbinding heeft. Om jullie ook nog na te laten denken, zal ik dit niet bewijzen maar geef ik het als opgave in het onderwerp Volledige inductie.

We gaan nu laten zien dat elk positief geheel getal precies 1 priemfactorontbinding heeft, wederom met behulp van Volledige inductie.

Voor n=1 is het duidelijk: het lege product kunnen we hier zien als de unieke priemfactorontbinding.

Stel nu dat de getallen 1,2,...,n-1 een unieke priemfactorontbinding hebben. Te bewijzen dat n dat ook heeft. Stel nu, om een tegenspraak af te leiden dat n ten minste 2 priemfactorontbindingen heeft:
n=p₁...p_s=q₁...q_t.
Als p_i=q_j voor zekere i en j, dan kunnen we daardoor delen en hebben we een getal met minstens 2 priemfactorontbindingen gevonden dat kleiner is dan n. Dit is in tegenspraak met de inductiehypothese.

We gaan nu het bovenstaande lemma (p|ab -> p|a of p|b) toepassen: uit
p₁|q₁(q₂...q_t)
volgt dus dat p₁|q₁ of p₁|q₂...q_t. Omdat p₁ en q₁ verschillende priemgetallen zijn kan het niet zo zijn dat p₁|q₁. We zien dus dat
p₁|q₂...q_t.
Evenzo kunnen we afleiden dat
p₁|q₃...q_t.,
etcetera, en zo alle q-factoren weghalen totdat we uitkomen op
p₁|q_t.,
wat uiteraard niet kan.

Uit deze tegenspraak volgt dus dat de priemfactorontbinding van n uniek is en dus hebben we met Volledige inductie naar n bewezen dat elk positief geheel getal op precies 1 manier als product van priemfactoren geschreven kan worden.

Maar geldt zoiets ook voor de complexe integers? Dat wil zeggen voor a+bi, waarbij i²=-1, en a en b geheel? Dat zou pas echt ideaal zijn.

(dit is uiteraard slechts een aansporing om door te gaan )

quote:

---

Op dinsdag 6 januari 2004 09:04 schreef Pie.er het volgende:
Maar geldt zoiets ook voor de complexe integers? Dat wil zeggen voor a+bi, waarbij i²=-1, en a en b geheel? Dat zou pas echt ideaal zijn.

(dit is uiteraard slechts een aansporing om door te gaan )

---

Ja. Ook hier geldt dat voor a en b er q en r bestaan met a=qb+r en |r|<|b|. Het bewijs kan dan vrijwel in z'n geheel gekopieerd worden.

Een kleine kanttekening dient wel geplaatst te worden. We hebben geen positief of negatief meer. 2+i is bijvoorbeeld een priemgetal maar -2-i ook. Het getal 1 heeft nu 4 delers, die we eenheden zullen noemen: 1,-1,i,-i.
Voor elk getal z geldt nu dat de eenheden er delers van zijn, en ook alle getallen e*z, waarbij e een eenheid is. Als er niet meer delers zijn en z ook geen eenheid is, noemen z een priemgetal, of eigenlijk een irreducibel getal.
Het getal 5 kunnen we bijvoorbeeld om meerdere manieren ontbinden:
5=(2+i)(2-i)=(-2-i)(-2+i)=(-1+2i)(1-2i)=(-1-2i)(1+2i).
Deze ontbindingen beschouwen we als hetzelfde omdat je ze uit elkaar kunt verkrijgen door de factoren met een eenheid te vermenigvuldigen.

Een vraag voor priemgetal-nerds:

2^2 - 1 = 3 is een priemgetal en ook een Mersenne priemgetal
We gaan verder met 3

2^3 - 1 = 7 is een priemgetal en ook een Mersenne priemgetal
We gaan verder met 7

2^7 - 1 = 127 is een priemgetal en ook een Mersenne priemgetal
We gaan verder met 127

2^127 - 1 = 170.141.183.460.469.231.731.687.303.715.884.105.727
is een priemgetal en ook een Mersenne priemgetal

We gaan verder met:
170.141.183.460.469.231.731.687.303.715.884.105.727

2^170.141.183.460.469.231.731.687.303.715.884.105.727
-1 = ............... (te groot om op te schrijven...)

Gezien de juistheid van de vorige theorieen, zou die laatste dan ook een priemgetal zijn??????

quote:

---

Op dinsdag 30 december 2003 08:50 schreef Pie.er het volgende:
Russel zei toch ook dat 11 geen priem was?

---

11 is een bijzonder priemgetal,
want het is het eerste priemgetal x waarvoor geldt dat 2^x-1 geen priemgetal is.
2^11 -1 is namelijk 2047, en dat is 23 * 89.
23 en 89 zijn allebei weer getallen van de vorm 11*x + 1.
Zie: Mersenne priemgetallen.
En zo blijft wiskunde een mysterieus vak.

quote:

---

Op zaterdag 17 januari 2004 18:23 schreef Twentsche_Ros het volgende:
Een vraag voor priemgetal-nerds:

2^2 - 1 = 3 is een priemgetal en ook een Mersenne priemgetal
We gaan verder met 3

2^3 - 1 = 7 is een priemgetal en ook een Mersenne priemgetal
We gaan verder met 7

2^7 - 1 = 127 is een priemgetal en ook een Mersenne priemgetal
We gaan verder met 127

2^127 - 1 = 170.141.183.460.469.231.731.687.303.715.884.105.727
is een priemgetal en ook een Mersenne priemgetal

We gaan verder met:
170.141.183.460.469.231.731.687.303.715.884.105.727

2^170.141.183.460.469.231.731.687.303.715.884.105.727
-1 = ............... (te groot om op te schrijven...)

Gezien de juistheid van de vorige theorieen, zou die laatste dan ook een priemgetal zijn??????

---

Waarschijnlijk niet.

quote:

---

Op zaterdag 17 januari 2004 18:27 schreef Twentsche_Ros het volgende:

[..]

11 is een bijzonder priemgetal,
want het is het eerste priemgetal x waarvoor geldt dat 2^x-1 geen priemgetal is.
2^11 -1 is namelijk 2047, en dat is 23 * 89.
23 en 89 zijn allebei weer getallen van de vorm 11*x + 1.
Zie: Mersenne priemgetallen.
En zo blijft wiskunde een mysterieus vak.

---

Als p een priemgetal is, is elke deler van 2^p-1 van de vorm px+1.

Mijn favoriete priemgetallen zijn 1327 en 1361 want dat is een interval van maar liefst 34.
Het record was daarvoor 22, (tussen 1129 en 1151).
Dit record van 34 wordt pas geevenaard bij 8467 en 8501, en het wordt pas verbroken bij 9551 en
9587 (een interval van 36).

1 en 5

quote:

---

Op donderdag 18 december 2003 14:25 schreef Tha_Ramsush het volgende:
125976895450330105020494309574824311455993416085351835952254670125654987689
083515602212400968028285361325441271583233254811504653010763167123735258651
223797623392168097752904174121031793027766749883270131702229942984844394149
386141469236151464053203849301316774118671933087756585357447262487190654037
114810118642352146088706158424094693146114488637156816570292677968196327523
012010875567866137704610554959335850058929413976069101429767323404583564854
828291042054102615218246754603586353188862990529489720723784562992849697477
851949674499472633577784600840730542270632372308573862087868012176373249446
071764064058201315319242434805555451075151859547651927121451554795786023853
642248011842056001818692085289670633662434434237963360482574004972907875893
795774564139846253964750557261083366582544778267753655854004516485291984069
227982534801882639875735243814139761859976740903614383300776007640602879886
776451060696950192685474337560217722801456673504766585339594202214986116171
839848399529321311217504574314623727784867403638943909356397548795460505395
781567056690146345502254952233911362464420761736131062023409653833540487998
295787428536268747609573194990589952585284058978406612371425447432039473118
242332718966808523385318546746710849171861091272207252470562642242593727097
871110063852394002273177286535115268249200180376713447682216016738872018116
273341803334492004921645687859123784269412899800784483155912339308539368668
807933038384576412491897416260897238990465481682071284158496846173252789328
618622512214627650931542584898931886886039492274475887949616084062719223538
358005653738372935422217395612489591373385198645998355370672802198211220540
831165529170860779249091078198026760261418715271639823146051357841009765921
182804421467332078278639820153068805189398472900287029222609101030332699112
203653971967358352828566973911710159905429577162539180954521754020988752410
211257746635034013461597207864738708767984851946560307460134849915416231609
087243482132232052496957174116650790359084627875586064675273836290397197574
310752981277220988572746902808990793228734980082274371137307192824119743050
622210281169289767003562894491249795978412259101008930776188845654202212560
492368213133592023599841052353115789907023847286461213418263901928758856525
439357468850778332805523777007269552986068105608381801811743152270429743927
941116902383140124063213612153416287893503642751709933637437102541100756489
025584429283189792630014302710294532516976303712725544173466881115305637639
410019589682085175777092266358270611849150672156730584687693167068067138185
432018032593233165155681267257025930719323749406494658957045433948545914046
337259063528526630469498309817860207835900608382592015337428444298981165755
562349450705336655742413201018179236511314516865737986281478143425695001813
449727417244061211724610359080366830343486621850422162277299360902812155023
322838088759335702011204455377187605926596061340672778485858468291438194417
434213701248283905372855826212518402467936584957575275228939960411425861080
164773636469510842631898133678428537092960924420809211844044168426745271372
156403199469970321865541585381551941384658373808775520710641177141867928594
244076370302432825689880873349834120052337836247367331079539396439665431536
471779221968022310622211284188227719564320260044258681807005826027279595603
544609106114149884056567041183826315019889383503479789079909631632211131663
443152362741653169608627330468429408931922417786081764095963467440453218950
919430944055964690616493177372172261351723398275258049264311308562864719901
371695337904297343964973980234547414257598489387686994584076944984408657011
011748789337658108389979446513772852093231972903173654311994575269726462303
832878583224491777720012824718408410361908793947532849080672666271590745707
782934050385843270396056561442796263181479142714175862035060680016004146613
243621813351836811799318542765546190851259110816651560880499596845080979908
269304588461092774909606350698503854199807221352382437389128133616780256178
402620949309676657104686877422851786738183498984174331551726532673689170228
672241706109562120955469266999194248926906028706610137712580338421065759622
866743744491995280581892520373167249180998445308799003023624833768481977240
191017102501135028569929946033958865363280370705433521573812352700244942482
092605845042946977350825042750192384411307125008902097973440837832059548479
795567743196506515678098097713533894070876947268520220308864038261587968204
164393962891876799581130309635108487708585531932540261671828017612110415980
896237802762290670746432992079960798419404003163609174289872171279560242852
353719974151340360307237166264153409593942573967002572429933177616388125791
197844474746993870339780097183109582805426929959004533531042129127737212138
619100565159533744353469455272227314726509496869198789075259382710910825883
840130883557943921436319741852766343809212694621086950446068073787590593664
572277600195871516135135163178426315624289888783118520198805427051552687046
262806571246149211438979100542020044617912497445132619073782816309346656305
647885925675732739231933225600268139905788736836555039473450589856465558367
183253299520435758593978355730589264871887750210273355461507518249351491378
434877713699194863403436165035053750006508320184612381105867146131657747376
248716402355504508622921530054135474815326541078522077667105034214042367979
853806251728981592558771642213856420450848442328295757050085097896047843543
314352201245345054476965792094058151844528301429185395913660598134049294595
198992377291766896420140488235181880605491832180900405160455836010682350342
746380916733813826177351360388134662874194257991409606162878395803013478920
018375366394039888777570644629711052534193844513243045964873212590094545708
414156194633848447767379111800474793245567463639305193132431382738979783967
620782337456939578351766032962729953996032832797667355475881284667549098320
853051381729361370433641626070572212602962888291165512478892700453509214930
009428099543023737118829147453121506306045624634787111987588519889848343265
171940547827850847074807949461936625589930865864079372592963594176573817022
284162919162881986337389540141734670636504366236080861193284664208016112808
166188714994846028512433384825227020468077280504721256511237820270887476112
635497755785405995406673156681465627255164142016529922048001868395881116808
763807238707017058296572112151983362402094505538052680925621230689973801366
752150289408935342909980087415290627799396507439802450057578927173204624522
345916850122667211769822144053114331140181561518167202200920227907693428534
144898285892326474386611675418470169089758202554246368649443992314926887775
749025729655084280448373313590151154202707398176725371950020335200796262736
300835330686462871780552026043415576384165182700366040466500405328903369278
126888264156706423317699318253367159488287972864483379089582567081603805461
679551065228088191141430534041106063256277281229777273933957391236693407679
363499818947065817399277873991054200988453856094043856251423332801437242380
478973378376530944906650592169824320640263516611364742295925339966279885453
838260751098419711578333264950868243124386122575741982968334125846958398636
217680767812770963651086384494230433207131976377602846587385225979751440161
403967392837038523331757619588479971034601303089408886317197558519400025953
036576190804530540016823068149242230794412957391164182336906041892016833939
335949685967038106868869533838291204135400432576172314870537082642284898584
162536389847593742294579729222298276682700886725072143674289891646413139249
966723874257277801185840450632277187179829300950644446849826016245345312670
516435573047594888395724306806295619078797020279164252963150932064834329442
070423314692982188423002906699460217017830263257790814957835781212116337287
444409066250648117367017756915202244973313754934931459121675540863642209813
096843883657466329596321768228388644636402628312997035043212292379157713696
321279291355640538590727992346057251708402496859454400882317160838130765622
639207553136703230466156897611589634202756476412563802255646784397269924460
710861803798135161498413638779050133900510345127728020736046442342194936395
951828206249075612757981603332059910912980439615146437287611818729977252201
706211115521126343435279349931689368798148881371964386236032022670474529863
781122623842276556252966242506258139482326003453937259146756122837877866678
048995064051021128993456828147005353786036623489943567913327321848232376217
921413435347458402533910108484102728853103919314291083497006285908018554183
303641596106857877009038556065761083782530673083045855083335432244175501416
853645467596939502056306896503067938939247542398597559594341054895492247716
839797261193095459719768414184441510861715004789594130827035731521394791184
740677382300751508285895670856261780326222872061864104158940209556182699352
377736782237127123244026187793310778566127214678934765422735361660813968328
397288244199373814363126160086130425431431423256763262792717672074831137932
108563111703400273271654637282515436567707385518911119810233702876469963717
713103201222391743382334012838110705395318915262058185792032338107481461196
849733938113790510603655528671462087586271432431557542848078055166654283434
930680536494125844984903541927144511123343415442300496017975176868232828492
499403842642862758149804494864727247794033364495301417378750558260150254867
885472499515375788349420580752524625002748839369867019630559292555379482670
778139638613311060531576451610087084054122546639906728883830143616105423359
536040834481352606299586709704974363122794642636576738942699436239613198816
471179492626635797782146018257054238006124689461304243862900644463083364603
546952252518356052685338311305714562851794334177175272924038347811366893086
823372722966311766236055871281455051902438843264569106192203435373226904032
767689142716784662745975690148724596188379413076313776286395731872896858376
572865125896812011908145443613947524851017407255563542143556325503822543775
666721080379852109274846127947278479964048287573766328296223189489238612145
678939129276107684476664273948850686133263107173530896027429774999119192374
643283416097152395762582614866080635012058529378690892323649930385165820978
847049076399266132660398097237966595487942689293442162351326927905263423373
392081912906898246073786375839444292908126730325812945677119349060628305520
641476770552603796246007160048634604203149647321247318020609587731294966862
261457476989812837412418825955168848933061940296641631026273624101261420450
110848227601214160553481033373143327129848425177240145590380492889413674369
275589896715937410022701149703199850368246884677390649568519526914260486037
019209003277649249065971018636652959987462755220085153977754694088437473674
084422357697498897160507161545697896077226423472620463804907357941616850041
226350601644310873201001455167994409707895396810868799692676590479832286225
823419221986912075899277491716514357104555241539657346021290288486751739858
744431077941762632453576991400625732506218605700762805513393409528559772560
981325144987373868594665219368123329781702592653548103599671167254575894405
859325986903180544018441400083137567871160249854244240113500891603097884604
801069527715425656668816548775442520613777702394302892975400703685123415603
425668024663588518018942400906655997241994264031691939387830890562821363596
796072433865549816013912806978986910576271412061657746682371835919284276766
365680594975081829611890871343192574791083126197606187974446328757303560740
327456147424860359079213364551312241693242577260386625931332173344975323411
781055997015481480018605526952269624910373752545308706667633173910193722194
134588597462930416112721231281050404219703528452789768573833788116300371760
028820918073975186120125258338717030556433326035874896009850982730091038393
919755063612713163666550240380558952092287192675268952244082820880866441213
469486176181719970685718925822173745765018300278283205834203929991947637282
426356197539487482627799325956475010917430845632079219544149254502069323070
431149949252908950308844793638775436533970511852368172584630083205383366383
042001907304216078655743738021308068474333892749028167190798453927312636153
481082428065206660054660140273188952099447841477445588503794133105302691486
134766194543233945842121891816839967514876120248961000435430895368033842385
663199999108938935939894291630398237386995512044896310994412592612371635055
515943847598195671266403563059520152150457579285349030397567474722740850164
610020829288737648422643620383941191542106460364111719259875188798786993396
476695153472001976158928771959631364428881125432945219861789315835452863707
251884114882308597096082851894167184738945276677884876502488352833052144405
537101611643985785461427329281803592886635751663260447507089968894743096109
356003069159022834408171181488911823611111145206851414817125332330236253252
474427505623558499986028361859152312962678994397602391418708653444250169038
720428924184063328865438208543732866602274028256671954232969778035073734193
798664300727129319431159618464184371342438762257941137796059976627310967535
661893707922492019631817573051541343562438759689867099395821893409490849979
002326647534262874799770223778743912136808195375334602521823936164816052482
046909094507634806837636556560557178774055240579829921218556247376073932323
902445761174012179589384431672116827093968429991952041986294568306439110704
805082233650303862570872610007094531802588715432276236446062445781345474425
626569357630840744037618493942416337619779310928904455932585882780313849586
593089748311696634412875652131448089923418168276736773980508925844129213647
278951517001626737894950959266223488117765623096980880008624148171635750981
137231300092170470830357598830153616410758237040001716966416951149651416898
205893295064732872022301535035323550189875385064983132409913713393250533376
787314535390436191960398714472946302473646883321370033430155731095033966128
698846461767135933000476235809839550211814663286675919105422386302125779354
063681072090014019297116762882861529261117086548665051786967979874820628385
297071944602670420224767302182145322506735105602667512232328358305707672365
422741187640613190610072312004772415479922652712722682172224364143500029897
866817884339937704599240066315978206415481195008852078843644595773354101008
624962061163683883498868535781466278936681994218435492259107126623848626836
257504698890061252272321111485997233210121398992656065693651788213689290989
927237118186380231330764717884323403213585498120555647201946209021161166204
901842725338091419685816215928808407986382546131607781092138021649423085307
923070955476316585785250742138494046831806502504198043232196915872361937124
587295465377546493585250835044476495625420645128547817290403465774154632775
687067748550803130075998705774589543194307796365703671935513599431523965242
734930024416762946331520942772452474733368304675453339302322957776036265056
996330388641266836405628411491513713998199438270329585228520694198389874920
087546292025308510022246112058158434207150945153319332637705541523732418997
706851382860056162486980258985618797575526151056470945739164786411049742994
160674136441343711446060329827932291535845339478656133700491543319912131426
814483520976120012182910849350916057288405183360943836366044355201178599226
003273306945983386808045609218248778678891054510413058847496888667790258959
766342201793082303355050410373375872690958771745718166715961713838103367864
677942126775697025869235525641835083205404770277235881976392866069967666341
924484261404959773833612874522191486974221859354484554627805055422983601426
841702955852457204077701425278699635515350644886318590734746006679363055980
880592663880618899638281215228540439650574223248080354435829486281519130803
319164685498817393003010873696609223597902591937009959254157129426358408521
479892666310330412020990633173783845192145316960388158573683533175773138795
346523513893385030899638534833296230085712424164265974048699272786549607168
121124900549197861716892084821520864650796060848158664597522126227896775422
638740966167516683584233237835727892719311101353174677524871142071274579788
297650805053054668164254284236788456408745081697608861227144453402534789491
844546692111484427843444438418371306581834961122889742815881783639200363332
180320868441616532009422366274293512902313661910660893896111252358529192482
181471640888967273526051437806731042279574358700631853837774239589135936653
552774598198518104963558708251555814960771978332884003615024230256139067864
352908191297607414349143439913723078470350884322140905058750164953028589617
478960887127314090847107271372633888997204380188792224352171573299054545663
016754453704617109198900023811495864697692915500711312137245312418082054862
155232243243947394056226632749439778313619413257043346040482510837716058011
885379727537867118486136217487276395695304487774278197929125852385026679169
985778264675094839835158354312420013899878440336130907396558464503098804064
212413499525500157079783188461055948719827936773286189294701133898654672981
358268566309217617556795376873585886232021042909314688761899822200161816306
518348923733988320716125761718591286762791799094886640690376315555039773165
181930131543381090677543740279818327064759635540512113334758395779920951603
469468372329632700400581859205510895665735806659436955658698357477829545097
002023323930705471134153993188347367910744493942507302372274039671570086884
550090634807225609991490949726374913517955119942449283818029973939064664531
061186051816451931451030494953367847598664032309020478180657990026815740547
333598916529399457434441780452217256931042106064750241791437438695356530096
470965910462621818331980379906587115628611050385409750579075123637639201637
517165154048898705580814059448120055614040125840791245631477973560975061214
566059105984664129224968746412500393571884574210464983020597452518901829752
153484773729731744146118728386479336852171450761908258991155456973030810664
825657341084915783230974030450783447129999860669749013296773350031719808775
019207965890003512229863355931252432066509719014074524483410164625625843988
045879158656283921714684770796558491718665058705730030127651457778471268619
202805367731570846983818723609344195373593067292886571402730315981997830787
984722657667870731005845851074191022836883950498682033840677449440054029924
634950077145567389584595156227583123150551269514510068217868449311293609028
649305390398994744434953631133608735586448304695662459513576878266778152808
816911465649846729575361847567650982455696382570474625667922236742367832523
419037181044724509887003460765052427474538577192073951985582546375345504304
897952662182987069820015369336371694110239465369344245876833243001727727750
663338534922959178427497943285137238898873191966206083016271413373122215751
601809945273590815365550625662110081595502492215726257386718569606768148897
674800335284933679893867026286171564791246109274220601240494935978334736691
860867289527905812882163707568520431959237342214587893909875297248565066032
857536399417158180111435356413936307174494278901004618638624138646080252536
453746989319366223159244235173537195018673588615373963415357125217731274065
715306657928366723150026024635185744053043997765558622883447144053206889337
288396502108975295326972580653828556134176218146235199387434163603634220167
835154516759208371288520383841859070963457425621189740941620217731115461829
375860228129386392997421208374933939693525489658494022005000702932873315836
021831936799331210112652206361019549853130218725069781116050807871658376631
091151422214055870760329404528350167276257507435977358942432921841733359707
500985711356678995901099722175647822478175904829617308155250296740947223101
913824225441704719265251286703119206190413339282190051154701134493328357956
956715336259033605320488824540032551252886705001996843994983664228173625477
377506450415000287558242612429912323306859372916576681857423020881688138750
348575139860950380015731648132421740502965234957483124374581369314058909824
073533735367239365406350408801881177917838055722332697741639120256970595884
083095834620115951092880956994202665754685865624479400735356039238656962884
972510373722215650246546882883102130043427895291331771962833592722257776438
830031209153075945580277122411033422388586329908185342656584792314897238586
218752423857563038397772813363447420448158529286579925084348647713162101043
278151365078874363183710726580112134437184381928036622599770538939393445621
537261243067713290698147992029210986490088087292138928820671560518493551438
705015786878702698604304367579543735028338551384515962861114945607048436504
176358380129975832566375177366214171298277316807374518000300857212959172846
831411594349239699673902065320448343335160254065368840407641724604744919567
291873658659262641198284900267347651112379720140017241428707028816982551359
458915876236407834720040283227202325585965160476926082935393383617936226797
007031904237640370301880087297663322031744125218506705795377711496641525229
803589047502156677262801670685955218723588143202263375706145249054450559672
374396228071808792901703065258317481643287836077929807847384522101775070952
008585383726087865193347074617704795169323500913943349527025175168639952880
810405885575507182808075919210534495118157589807932940136649254501767334845
885336516368442893975136476069517192137449582199183542250282164463776133538
923695384704665454433228521992124586223867269114968948246480107694539828812
631054235119611535848175450487390158078740144321824557087734144870538823758
698501288453398060629683893813031939479920561076967382975423671088624150964
125629708939848256399008373676324264634136904301617160746392772396802243739
469716930129196891276233131155746914258563611007189468873503759791333561989
833978572877857161902817960261075871247221417230495135001992719803004598816
479338400884118831958774121204356965908973605414409421647071121111936177490
590302250553515666020741138990112111552371435075958805929841579414248843653
619145909603198433343247341710077381058875923960698572485892210199968567510
410219110689131682067601017660652135342651539513120775959484899007662845148
120117193548520390626453055443518668484637729113161008375577970250222837981
819875978206790167443349875500289567563660907683799006238940715940601405922
236272390771014147464656009596933282070370058345385501400363268236216249967
218108543739346072451606151975515721705456111952498345432009818124938739969
230770919528916811508259749661347892930567625323260711302952014811391627278
774638594802604197035280516272966586753803769255467474944009034465518012140
139336716713708617064321100256327060806695895863769105631574224328236602135
097852716304880328274269503768489204415577650785023081130417881150509245826
007619551828922200834232678357881638521860584537513159198469692139935187581
319312774232032770805039130721552902648574977948966348261415863466753434921
732967404586438103900116062345910322682068484697208844342182441450491593234
859533833256319663972385049979641456666632826172695870700557408404526857565
562113759965333943146507863338482879256357944277296601654704359709145666805
511585054797830910608913417360275719335608948486412090700318883720522809442
662569989314219396067312159481454430186633402653257925301270254520023284998
143268215131743469790771827466724776379085428853928236704322779485240677264
191781884467894157615524112731473659262000733589312180001464042938755955957
065001273096396500582300478304599370493621927517134690372845475132126408171
033670909535926409397862970437521371278665791371133106471630188192985187322
189890708127359427274836695185871787170678802796424435707878126857028475575
048978691824170236028277625915823043570261860848054460918040249571823013635
261185949562990045738500980977543121776184003945035567846902962278960713872
460838271337757922412821081591530869409302974629462847091743707635545280567
066119022881438890835873407494802104409131032561095829833492376993096116051
520913596388647311127152822748982741768379126498491224075347563838183810113
695334751978797680404689925210000081897872850228216663737198026679022271152
605766372422525478763691393860467028704768112768585277276913415089300215899
028692120636133465721433622723366751514001597583888529974838573903717555294
903939082628959342483971036895472259106992387426060580408390271395643320393
893286541814285420400461315400455087613381161368197900086111205121700770531
407269644464185302358653944365402554348631573175525181810479571801450489058
881286798401408461907340818521480305089464367213541264776188873460950664855
021821523819662100087123515633580061489001953684329593779393694361762026622
176596908703448325038650021242846664771049798598273394646962679658762994232
263123262963016216312839091582314933977225482853238603277040515010009989013
819253846771994256103850406304586964340393743213570577730256147495651566921
785868252333110123109476343291444275926958968057465702303695883767466640728
859850702084040051297348131916254645020407011139291834078817762620496530915
284631214368214027981478797844811782911383013909524167396299359079468584881
666068485120884726115869949566268218625508061166096801415971613335531879112
514681685853299235556103464993838303302636801400040390172491963585413717364
421784310275835634980964403695504677955798603770013099944563459158062884331
068808912141511673743680489630411651340578307873859472876719338804849514027
146293480268503690249556680440422665840140098241395384423979321702841552295
144499648245253993021828358709280420190603676923072128797061036183011572135
854460359056582490871568180824250281432696089211132849956198925460857116748
606316606815453083951404618265775717077897499690647997561967434897053492160
803141338615301980219722740848429928907337305031487310430468409579977723007
666904243333218589052588591988784320862400584951466726540569401812864363139
449773952929343405044342403452523899604541148958057087255702225471244489407
158871303200438596793804894583349984221189704064739610927230995916898084530
260749654829116841208538260358631037651759365822235381133393940714353138926
511356106967934144004452851916173815265080501179675065880381425627920147048
366026711044136248194612255100167179358139011876320761017975986543052012369
377745461949389475186243457812539387290280376660678019668685032211398343209
149153888576565742478456363256313646028224119042291515704989329124438849345
109432154676960610845645284499537609046284781310259067502391869726907918791
382462141641648337407160011215100622152957035116161733929786675110187178799
071244532182447277253201431025868192954645717191522308893658763887946775013
611736573454297796476173365066238320331728926618471014816519611848491748517
480492059916671732271944754731428162657115627465012747130099194988330926129
192677617136697852237679297919657898059610086731774181025332439841783534097
250021889962944253016188531255579943002036873661909912925099656193587707862
352567994747024107457728418100003928757969156583076161781830120623990153452
704384443276872774361751637845109897623600429419317961042007596359428684051
452046673231116079819759313880713850089635849758413040559178593853268030021
977927608606900789017090805587037749770478264321963470357803678134384744001
959914904120953715911714119816680588725865763691764110867799630364610038040
484641953863227301046529325230648398635490917430710485200986949411858993283
361606522780216967145415237780608094355092978175080042659159131074358941433
370513704320428307008081475404490684572415983242865584450764414161976460634
259887015055896452645923113974104663134430516981867438309503848916376401149
622348817985741647241854173531403293950499543073058445214401673441157777352
966387201543725135419820041596594444237034213732820175079980498445362157346
068570537795161435241445287325511063270448098858376600294254061872608209923
999629413126758438071837685275011242928376813906634125321549244361731334307
204093823220627482433197711186973538424663297325801528574240913127821070261
140791263987259460634773201788804225590483486504546428202229553977344462349
999959789593251492996632180093208141490037058382216498178424229577765041156
861355545667356816925697089826854841616385701935522078897621800717688713137
585395479001749545244306558332928304629949630366179966511508720163869448238
449062025177378050343927665858783948483494494034488952391517475502534894280
358962962402621314090120784416020826273629896800603173830479906532023016045
567891475541683545461636191117831389221604561525781188277213369102976393387
774852681187298512313664341815096110610335869640938476042941899040036499152
228844454879300936065049343683771121230381172811886723259467014385344641591
118435696405224962044540942832453188040235567411439887560660993010100570636
015373394224806771994942973792766519366947355832821192219313269789513261083
378918897725521231948323081788205825939837115754281933979249590950837000943
450456032418469118659297495292462319462876579826960484131891659537278166296
574718996390003967009169435267230135885537647897171332088202427756122292517
836527278121681157253837010686182250440036260709585662843692943814405552067
865740431263691169209338226090174728948989835757340908568013484717398754284
025774461209001561840367986052891244506706616099364036076424566159813047141
207440998795031347374059256555738573770809332019746498859953582975064937854
334566760784174697993052976636470234042659129253931762704848435210117406125
858234930487526061253291780281549008797904986616931912042923522512280082906
918731306181242395868114346385388034707843694693395891393532577644810599092
106367623488791564821175559684484993899449264677586668761893090451665696217
922923564701048741570461684746714498834831375789661817993265028928660956701
012747034963210366838853929201526671756212290010374957736380091975535151477
617329529585085007132629905710922824137083532117720098333547210353370720303
810527618951279577943439648231058239755153877936767589186511665567591161417
136504018773281422780596599993045035327944299733499152021659048909544273770
251689382747351121487310339945229579141049591991017754095507116479638312007
810285380365070398972265049813568577358645388274373692395820881872008369588
493293528820763711039428758280129476060618917081676815989260018321055479882
108915046409698856893253435811845004665383924038299798407798360277785816851
831378589226729320496018146039293062178385893335287874871457483076602419413
894936265129301429436133743614564831448626281156677680737930972121121575719
302683095697655100937201194401896721906917840972413154249925265375650941402
720448137018651909855026591948120684944940120417561073517547689235134088404
228272138652758214871950856585574577278010158531909857292555708867327238743
055923902911462379092319674011970002117082085610798325003197379120553754222
457858762638654269719548804159847888151607598277695557528807224361748048936
083555972523495713775006050683288983237680261699219343989051095198113893400
875718988075248603751131062768876025898411520776568212097758131656003315187
959176840309734283929941529168085107380024970991504483682948784188021130925
782197434755460610632051196589111456676209888818534384112878210787630256603
266059119114660474764255124692361415425344973507706609430343096046517161062
067673449344283968363684569490768449930035395747229036046893380029621786194
805165533434451231986024390231669549724333584918075920411254781058015972756
699333586226613928164329384630797375940119244457105774230889691810373646492
547592669748876777164501265366488448749321047667064045434694067129157923859
251705154820860064631513436676748933023608140461071330450733631448181893774
163989602038442523042999739627353493175624611535309175738284106598446238332
221062933129950398698464862503499434157892993259292251120936049295816761971
584127786525790432826844743550315110481841386313259739266996324041858730093
556380530549852523811885118046028341365322166763745094059331498927087727423
301826537663957722559951735762734472004209411199869604274305924127344412582
680241915870674360376094613959162565805300605290952325345102048214337615933
827306039899130674229445020482980911723666321624912766954157565628591132916
645411230788962252300624140834282723209985537921083490536455159070792378200
676710003692451334163958846043083743975608081861044724948802690022999111090
191431413224329912164125126549423566053601266032539711925804772658473992569
650617314029749345317111343527624801789132082122867147398108025839506740577
048143875495121787820059363540270797235036051535588039125187418617027909172
913998083443053284486402222544218085136827791544797351276349565065106678240
095759013460310325909367319817985118717226798509837385184440666065896879495
284106491532678946463860716212369231608091651938693288634096155175109469176
457102389330175937220461282930385901691977346983966417976035456634943113753
717781434589792728954784678356916954995871201619939555732860451679474956871
632132424793451513478785047232473789719486119777968736706116310296937540576
964832053616286644530543091188549996675150291820762638716879787541243309967
693894136801807979309769779760777853928318570654713279355522583978964297632
573950791492119899059432313965015650360878433548025981192118506729016653104
058177533869956648356869173769640411322917245582861996838100171738509770456
419289992118660981105567270874694154467741677680806863338924060166783524501
096245774214118421071210961241199946591790372918669880994144577788709653118
555093279976341307526373742982529491418924639233203678049985758065001817787
763875294337047034468875119816051634619910593709292119863642705576411886294
348939337677887256760149505785946268140172677319229978965713665135639536358
057542383976379845067467265468204997112261760564430504786592526689250745034
888179136623621124983945840549134258356447170898534006375481151127946768700
684268181097481210719490083468888252387239421750679606006617777496517973088
038101556241160436388689289727903742150134136547602185405349660325006526059
391685384717861889899600416674232944700959551228393177583868752451427347883
379050778726631732263215645585718455273656961174499082685888896377053028339
855102588686635438273918917113164885098596334644197162306609563965803690883
725899774389892384752756166226485325642259998030271069199680258588253416607
838714395036343091424945780644384396599105798249435108918177156493379065474
652790393661445519412880652209663371259319355667644133934645770027004215727
979092579505276076350458021892004056987979820815199726159364549919931881445
270074735591530810604667797324670510925982945667674816117534097604060367859
940768018897918751395792412997355581853155742229845732828457768260475631174
103198795460559862628255512536079505957005006373962299848754555750628699610
518771749692290719563865141256531633080773103260132929038088251376232684461
402528722774696917353965684279451359367081206732143804605060770821483789930
350747186137080941688190702901779868786456466301238145157375348938788161506
263017859952228037519665654578528021344721430034975568784771231043069121148
519157157602958999713395008658458913026681065620111682663715174602994046351
136610306682509971054063119015925971680959000063862275947497420869001769772
486878543840691464717129887283535837093911595092938020309109518271302526334
807063421695153891982276736025481404819927535861804823106919937335519471103
482541334004675863468845458060217303230530502767661436910426292952267407754
661486986797218321445317611837533813150006962110344048073532609212929138993
024956529390619850233489295181540553576669960031390619233489109348047946939
549904056850959333239409026876608070613091115588889368058841461731436581738
947350198059186223616390882931393729051747469304590070614604513794696478922
731851530182422800907979862710121455219398804596704181306254959185769840160
869757170220299963793801560514016008836360091438810621795836454809372306292
756757227634734578105942852519314786688075797044290311365668542299037241234
037706585886397604825125070868381580902148860319057142438904050437082079165
352406894380133841746624106515904559688383626045587650275176652741591053100
337593969591026699527031925118950311090998100765201439733042699466099078256
334278625208125516336002462237690820839444570431443595153434687563942668694
534432497786182370970827766953824463894333828818523574631980755653312279123
547190717981667277732306353449738385441243533059469376701005068130199414063
578896144146690452065238170167507686147589079552219801392101930173928577445
058158755360391626448784297711939098497964804764148110541855893971869519853
988146258663723593382576252112898168413783639591457444996045912442593370777
101879215496796742198973800372339925363007687611148344108499118426900055721
309114882387145983048543009714573909584490856385427333881823376590495457194
028773470786285652966895014440906955562055507410251188930879554393113101886
701266380794345015743276866776325878117572814264180984703237464714200590107
142282245525088175861370731994090533910213066298815067691947573538456641107
248667248996347179247954109090203761674705276804805982047205247696421267912
554626930592642454029612894674168373778222322131112151551324268755580385687
839210013683351596592132889108235312285614366225046600203017264977520217069
953749414425500561346057745985230954269593695774571745061687043250271387756
184572492323565985208846458674354931362175789773042262024989675502647824697
654054165106108651679020763338800597503023490981330016008800499323244356157
019675863362157529976646516513955757467656980719014681485050626660036043848
236454662779687456168658379742198753354505145047754905557109408451660042320
763452146964152976838482617958007161329694679088328396911152045107293071979
422590864359616298645018389565716121259121166026763555680953939370934481353
721628930937030496736480724289945879826598848637292457509800005144239256627
675271744155629176861949749102405317692698181860289230707928915796153463221
187114840287068282151541748764100445408164630847109137429258455558289734022
641307224074096834753140931281549234072744966755765128244867003959011132109
572584211293153585871678105755006444238322268222383407831709951943800189513
919214535581309922148354287297164219283756128722543705208211851527202497104
461107288407738789465947366378080406933361629510651992814385282245923532870
127394860515180891005241332556767972659127036568338737070636898389027288814
460896336369743473784765382934711721026262959088747471209492720565661005838
742955740837280252613015299132806586444320807160791567711637818495614965684
322815605370824647879992668211295510668591071544023868032114308594643631105
427447085243550045246532563948541705686496958351579041214601184656956547408
831887723474838779688914536165099368109800584226903148693567058220974983186
150688606631603830312949573830845800913318171611867400492462478241724686412
019380138878332945271896963975183795691873771269734982465483814839282342007
520430457595250178418113183405607100320919347847456372509582551401430253078
849173670631280868397818177627470866376609191680118553941066051889433858652
978558090467701579411932769562787847149812289035175014088990571364646603562
937446556418004537954816491528382671930018413209365102394690555752867798666
114915085503514527896693102677886884490570341232270103095272806318566354359
967305550319388057800215053697876207676919716755759613377962927587161253514
121087651982665370587850102170856918941019766239919529255152675275718978835
944100210752036584321190454703439704969446270303041616972343127469826998783
792451223547575727320492214685699418456072949279616222346233279700832619347
931956378152400780485136009414810878433041594193125446935490907176531765701
369077856109714984385247228271671144011124765242099783985795312584264215690
466301688097010143156937619260563298123636253790680078951665769632698567865
916114233219858990977717833214659412963090338211762543800602051741552423992
562734249798170221304571463832747909026914947543738577131004598106765243433
397373082688564196466770680612159666878770693768977083975098604331039882510
798229554661234306680171892870177178494582088813526127657987140934741509609
488226759890999427759194326398440094638578069102406414343060966115533527472
701751042958712107055173307087159253271610971812256875704266636763486746755
136779980781365984009434933272709347173055338491805015181788158087451341449
814227375285706166463758248643638965787347475413350953786331071747350094239
561465848603811415849211131261453172948130814216065326748687195405127533160
523040656561474294828241532112532173117657523227097606406190362579333876302
141518607194635036648525647375688706086407161912762881185143151786983825553
674074727595063009435178736094391483629066748036717872008274201511194985249
609814844892296651244603517577488888678046489525396377359978110523285116582
849140292645808346306399962336530228893592348764809297813837330557953512645
205894114619058605833636877951543230036579714374493410927767219031799203832
132454281246743410639986950686862756714860319862579438053510016598234706461
953771880598555735888764119461846352371486888439408564364773630625146505451
382239690189340586878133957379557275929051848673122693997042480705346947949
069125841636566152045203189283823902347844320166457511385291286385840758940
142626164136149592130350339284052834481395686162950348709556893520434372584
032861045746091165760236715882005317143193417659914097914040540826327300917
882927129482826362788189739443282443922142236254524646650410421545411167490
390892702379961302557343040680542144621743395885886415087224989037279011008
661670853753051239954858642676085534900393483053416791044171594632061958552
984877133942859416218340018684697740859891620126816028778806163151971735449
967533548680549004307153357304132829220870953043992827387331306099784405797
944843609290380111515271545756743681371527856013183733980134579451966081725
006556351146389218257299309473843812070796921980553892715159125878288913418
306982229880941427428457125752989975451339327299131866871479418526182575577
195027792067155391701331022309664967794616047198907166694840115562986801050
805393159306255052685243065869960276124050948656307009715676818570461430421
853755456616433482769439086263432581731074799610701883625301413636137357033
751646566978642067512944417971751129503202512310523492022549136978204316506
937731015383090725348051802476285863514130580500559951807045573435195049734
777618103087175522182338596895148815710392050908416767614940107814233688780
495326489098187808711296445292767822613494941049512258342961120626592411288
268132464562827061072018851649044245802553738336806717201306246551096232458
438208098062035571288683210263874913358537211375813782139123059458646854107
395130928810580117438613921747989100514462166056926322030003237857883233595
751799659887265139122239696058569167933764564118232712399330587084530783467
324167554449543819987712438767720465869744262842270225445259114748942561847
902447748868308065047034538472450763890800506943674378200572902404719908846
182378965424796875539854176523827624398817888530084310037219262653749710337
666841317844237765735582370479957143665576629460681947818193844120335913211
544086432951988323681930602366100766690250872124117568190528771001749019945
285767488900937474272073783976706226031810810457364044253712840924761235991
879282993939805823121044729750109691649079926240105699156569560336436489873
929020236210098884466592242437145505345896619887322162128705780342722529084
365346351521170044168978876368088831849012855962155979142651307309600380138

---

quote:

---

...8

---

Sukkel, een getal copy/pasten dat niet eens een priemgetal is...

!

Cijfertje te veel, of te weinig? En uiteraard willen we nu wel een bewijs zien dat dat een priemgetal is!

sukkela einigend op 8, WHAAHAHAHAHAHA
voor priemgetal geldt: alleen deelbaar door zichzelf en 1;
8/1=8
8/8=1
Yep tot zover ok, maar dan
8/2= 4
8/4=2
en wat dacht je van 18??-->
18/1=18 ok--> 18/18=1 ok--> 18/2=9 oh o ook deelbaar...
18/3= 6 oh o wordt steeds erger 18/6 etc...

neem ver volgens 1008 geldt hetzelfde idem voor

quote:

---

Jouw getal...8

---

ja, ofwel, een getal dat op acht eindigt is even, en dus nooit een priemgetal.......

mijn favo priemgetal is 1.000.003
das namelijk het eerste priemgetal boven een miljoen

7

11

Ik heb eens een priemgetallengeneratortje in basic geschreven.

10 dim a(1000):x=1:nn=1:a(1)=3
20 n=0
30 x=x+2
40 n=n+1
50 aa=a(n)
60 if xx>sqr(x)then goto 100
70 q=x/aa
80 if int(q)=q then goto 20
90 goto 40
100 print x;
110 nn=nn+1
120 let a(nn)=x
130 goto 20

Niet perfect,getallen die eindigen op 5 worden ook gescreend en dat is niet nodig en 2 slaat ie over.

Een priemgetal eindigt op 3,5,7 of 9 behalve het getal 2 en 5.

[Dit bericht is gewijzigd door Pinobot op 27-01-2004 19:13]

ik heb eens een priemgetallen generator en een priemgetal-checker geschreven in php

Soixante-neuf, 69 dus

ja, maar dit gaat over priem getallen..... 69/3 = 23

quote:

---

Op maandag 8 december 2003 21:17 schreef Ype het volgende:

[..]

Waar je je mee bezig kan houden zeg. Ach, het zal vast ergens nuttig voor zijn.

---

Klopt...
Zeer grote priemgetallen worden gebruikt voor het beveiligen van geheime documenten enzo... Weet niet precies hoe het werkt, maar het schijnt een van de veiligste manieren te zijn...

quote:

---

Op donderdag 11 december 2003 22:59 schreef the.moderator het volgende:

[..]

Geen idee, maar wel heeeeeel erg lang, want jouw "priem?"getal is ongeveer 10 ^{Googol / 65269200} / 9
[..]

Wat een snelle computer heb jij thabit?! Het lukt mij zelfs niet om het testgetal van Visitor.Q in mijn virtuele PC geheugen van 2x120Gb ingevoerd te krijgen.

Zelfs als ik i.p.v. de formule (10^k-1) / 9 de meer geschikte formule (2^P+3) gebruik, kom ik heel wat geheugen te kort bij k of P = 153 2116208870 1542399127 8431667808 3614392172 9429590138 7715486473 4579255348 5904479698 0526236853. Als het een nieuw priemgetal zou opleveren, dan zou het ook gelijk het aller allerlangste bekende priemgetal zijn! (2^P+3)    > 3P/10 >> 6.320.430 cijfers.
[..]

Voor de berekening in 2 jaar van 't langste priemgetal, met 6.320.430 cijfers, waren meer dan 200.000 computers nodig. Hoeveel computers zijn er nodig zijn voor * Priem_Visitor.Q = 10 ^{Googol / 65269200} / 9 ?!

---

Welke programma's gebruiken jullie voor dit soort berekeningen?

quote:

---

Op zaterdag 17 januari 2004 19:23 schreef thabit het volgende:

[..]

Waarschijnlijk niet.

---

Met wat voor programma's kun je met dit soort grote getallen werken?
(als is 2^170 in voer in de standaard-windhoos calculator krijg ik een afgerond getal... )

Pi

quote:

---

Op dinsdag 27 januari 2004 12:53 schreef Marvin-THE-MARTiAN het volgende:
sukkela einigend op 8, WHAAHAHAHAHAHA
voor priemgetal geldt: alleen deelbaar door zichzelf en 1;
8/1=8
8/8=1
Yep tot zover ok, maar dan
8/2= 4
8/4=2
en wat dacht je van 18??-->
18/1=18 ok--> 18/18=1 ok--> 18/2=9 oh o ook deelbaar...
18/3= 6 oh o wordt steeds erger 18/6 etc...

neem ver volgens 1008 geldt hetzelfde idem voor
[..]

---

Duh! Ieder getal dat eindigt op een even getal, is zelf ook een even getal, en is dus geen priemgetal, tenzij het getal 2 is....

quote:

---

Op zondag 15 februari 2004 19:50 schreef DoDoTheDwarf het volgende:

[..]

Met wat voor programma's kun je met dit soort grote getallen werken?
(als is 2^170 in voer in de standaard-windhoos calculator krijg ik een afgerond getal... )

---

Er zijn verschillende programma's die dat kunnen. PARI is een gratis programma waar ontzettend veel dingen die betrekking hebben met getaltheorie zitten ingebouwd.

quote:

Op maandag 26 januari 2004 15:17 schreef Tha_Ramsush het volgende:

[.. lange lap met cijfertjes ..]

Dat is nog helemaal niks, want ik heb een priemgetal van 25 kilometer als je het achterelkaar schrijft:

quote:

Priemgetal van 25 kilometer

NEW YORK - Een Amerikaanse deelnemer aan een grootscheeps computerproject heeft het grootste priemgetal tot nu toe geļdentificeerd. Als het getal van 7.235.733 cijfers in gewoon handschrift wordt genoteerd, zou dat zes weken duren en zou het 25 kilometer lang zijn.

Bij het project gaat het om de Grote Internet Mersenne Priem Speurtocht (GIMPS) die aan ontdekkers van nieuwe priemgetallen 50.000 dollar uitlooft. Voor degene die als eerste een priemgetal van tien miljoen cijfers identificeert, ligt 100.000 dollar klaar.

Een priemgetal is een getal dat uitsluitend door zichzelf en door 1 deelbaar is. De eerste priemgetallen zijn 2, 3, 5, 7 en 11. Ze zijn onder meer belangrijk voor de ontwikkeling van fraudebestendige, onbreekbare codes.

Het vorige recordpriemgetal was in november ontdekt. Bij GIMPS zijn zeker 240.000 computers aangesloten. Mersenne was een 17e eeuwse Franse monnik die voor het eerst een reeks speciale priemgetallen bestudeerde.

De volledige omschrijving van de nieuwe recordhouder luidt: 2 tot de 24.036.538e macht minus 1.

Mijn favoriete priemgetal is 2^24036538 - 1

1 was inderdaad geen priemgetal

[ Bericht 78% gewijzigd door Alicey op 09-06-2004 10:16:41 ]

Ik vind 1 toch wel een priemgetal...

Een priemgetal is een natuurlijk getal dat alleen door 1 en door zichzelf deelbaar is.

Als 7/7 mogelijk is.. waarom dan niet 1/1

Mja... ik bepaal de regels niet

[ Bericht 24% gewijzigd door -Lotte- op 09-06-2004 10:43:58 ]

ps... voor de PHP-fans..

<?php

echo "<br>You can see a lot of primenumbers, al you have to do is set the link above to priem.php?gotill=1000 to see all primenumbers from 1 - 1000";
echo "<br>There is a limit tho, 1000000<br>";

$begin = 1;
$eind = $_GET[gotill];

if ( ($eind) && ($eind <= 1000000) ) {

for ($a = $begin; $a < $eind; $a++){
$priem[$a] = 1;
}

echo "<br>Priemnummer 1";

for ($a = $begin+1; $a < $eind; $a++){
if ($priem[$a] == 1) {
echo "<br>Primenumber $a";
for ($b = $a; $b < $eind; $b=$b+$a ){
//echo "<br>..String B = $b";
$priem[$b] = 0;
}
}
}
}


?>

Kan waarschijnlijk wel korter maar... ach... het werkt

quote:

Op woensdag 9 juni 2004 10:15 schreef -Lotte- het volgende:
ps... voor de PHP-fans..

<?php

echo "<br>You can see a lot of primenumbers, al you have to do is set the link above to priem.php?gotill=1000 to see all primenumbers from 1 - 1000";
echo "<br>There is a limit tho, 1000000<br>";

$begin = 1;
$eind = $_GET[gotill];

if ( ($eind) && ($eind <= 1000000) ) {

for ($a = $begin; $a < $eind; $a++){
$priem[$a] = 1;
}

echo "<br>Priemnummer 1";

for ($a = $begin+1; $a < $eind; $a++){
if ($priem[$a] == 1) {
echo "<br>Primenumber $a";
for ($b = $a; $b < $eind; $b=$b+$a ){
//echo "<br>..String B = $b";
$priem[$b] = 0;
}
}
}
}


?>

Kan waarschijnlijk wel korter maar... ach... het werkt

je hoeft niet tot het einde van de reeks, maar je hoeft maar tot de vierkantswortel, als je het per se brute force wilt proberen

Largest Prime Number discovered
^{By Dr David Whitehouse, BBC News Online science editor}
A scientist has used his computer to find the largest prime number found so far - written out, it would stretch for 25 kilometres.

Primes are important to encryption and could lead to uncrackable codes.

^{If written down it would stretch 25km}

The new figure, identified by Josh Findley, contains 7,235,733 digits, and would take someone the best part of six weeks to write out longhand.

Mr Findley was taking part in a mass computer project known as the Great Internet Mersenne Prime Search (Gimps).

Rare number

He is a volunteer in the Mersenne.org research project called the Great Internet Mersenne Prime Search (Gimps). Mr Findley used his home computer and free software as part of an international grid of 240,000 networked computers.

The new number, expressed as 2 to the 24,036,583th power minus 1, has 7,235,733 decimal digits. It is nearly a million digits larger than the previous largest known prime number, and belongs to a special class of rare prime numbers called Mersenne primes.

quote:

PRIME NUMBER GUIDE

An integer greater than one is a prime if its only divisors are one and itself

The first primes are 2, 3, 5, 7, 11, etc. 10 is not because it is divisible by 2 and 5

A Mersenne prime is a prime of the form 2^P-1

The first Mersenne primes are 3, 7, 31, 127, etc

It is only the 41st known Mersenne prime, named after Marin Mersenne , a 17th Century French monk who first studied the rare numbers 300 years ago.

Mersenne primes are most relevant to number theory, but most participants join Gimps for the fun of having a role in real research - and the chance of finding a new Mersenne prime.

Gimps is closing in on the $100,000 Electronic Frontier Foundation award for the first 10-million-digit prime.

"An award-winning prime could be mere weeks or as much as a few years away - that's the fun of math discoveries," said Gimps founder George Woltman.

The Gimps participant who discovers the prime will receive $50,000. Charity will get $25,000. The rest will be used primarily to fund more prime discoveries. In May 2000, a previous participant won the foundation's $50,000 award for discovering the first million-digit prime.

Findley, a consultant to the US National Oceanic and Atmospheric Administration in La Jolla, California, says: "I'm still surprised at the discovery. Even after five years running Gimps on my computers, I didn't expect to find a new Mersenne prime."

He used a 2.4 GHz Pentium 4 Windows XP computer running for 14 days to prove the number was prime.

"There are more primes out there," says Woltman, "and anyone with an Internet-connected computer can participate."

Hidden computer problems

Prime numbers have long fascinated mathematicians. An integer greater than one is called a prime number if its only divisors are one and itself. The first prime numbers are 2, 3, 5, 7, 11, etc.

The number 10 is not prime because it is divisible by 2 and 5.

Mersenne primes have been central to number theory since they were first discussed by Euclid in 350 BC.

The Fundamental Theory of Arithmetic says they are the building blocks of numbers.

The man whose name they now bear, the French monk Marin Mersenne (1588-1648), made a prediction about which values of "P" would yield a prime.

A Mersenne prime is a prime of the form 2^P-1. The first Mersenne primes are 3, 7, 31, 127, etc. There are only 42 known Mersenne primes.

It took 300 years and many important discoveries in mathematics to prove his conjecture.

Historically, searching for Mersenne primes has been used as a test for computer hardware. The free Gimps program used by Findley has identified hidden hardware problems in many computers.

Klopt...
maar tot het einde van de reeks zou ook wel erg lastig zijn voor iets waar geen einde in zit

Ik heb dit een keer simpel geschreven voor iemand die het lastig vond complexe berekeningen te maken met PHP. Als je de algoritmes op de juiste manier weet te vertalen, kan je er alleen behoorlijk veel mee.

2, wel zo gemakkelijk

quote:

Op woensdag 9 juni 2004 10:12 schreef -Lotte- het volgende:
Ik vind 1 toch wel een priemgetal...

Een priemgetal is een natuurlijk getal dat alleen door 1 en door zichzelf deelbaar is.

Als 7/7 mogelijk is.. waarom dan niet 1/1

Mja... ik bepaal de regels niet

Tja, als 1 een priemgetal zou zijn, zou elk natuurlijk getal niet meer uniek te factoriseren zijn in priemgetallen. En dat willen we natuurlijk niet!

quote:

Op maandag 8 december 2003 21:15 schreef Pollewopje het volgende:
13

me too!

2, 't enige even priemgetal.

1001 is ook leuk. Waarom precies weet ik niet meer, maar daar is iets bijzonders mee!

_{Nee, niet die sprookjes}

[update]

Weet het al:

1001 is het product van drie opeenvolgende priemgetallen! 7x11x13

[/update]

Ik heb altijd een voorliefde gehad voor 47

Ik ook. 47 zit in mn postcode, mn ouwe telefoonnummer, mn nieuwe telefoonnummer, en ik kan exact 47 spekjes opeten zonder over mn nek te gaan.

The 47 Society

quote:

47 is the quintessential random number.
Many have noticed. Many have wondered: why?
Many more have wondered: so what?

The 47 society is dedicated to exploring the phenomenon that is 47.

Mijn telefoonnummer begint ook met 47.