Volledige inductie

quote:

Op vrijdag 21 november 2003 10:28 schreef thabit het volgende:

[..]

Op toepassingen gericht onderzoek komt het theoretische niveau van een tak van wetenschap niet ten goede. In Enschede zijn ze bijvoorbeeld al zo ver heen dat je kunt afstuderen in de wiskunde zonder te weten wat een groep is (een groep is een basisbegrip in de wiskunde). Zet deze trend door, dan kunnen we binnenkort ons papiertje zelfs ophalen zonder te weten wat volledige inductie is. Een uiterst kwalijke zaak dus.

quote:

Op woensdag 12 oktober 2005 21:54 schreef thabit het volgende:
Dit topic is ineens weer actueel geworden.

quote:

Op maandag 10 november 2003 17:29 schreef gnomaat het volgende:
En voor de newbies inzake dit onderwerp, rara waar zit de fout:

We proberen te bewijzen dat alle natuurlijke getallen aan elkaar gelijk zijn. Bekijk hiertoe de volgende reeks uitspraken:

S_n is de stelling "0=0 en 0=1 en 0=2 en 0=3 en ... en 0=n", ofwel 0=1=2=3=...=n, kortom alle natuurlijke getallen 0 t/m n zijn aan elkaar gelijk.

- Stel nu dat S_n waar is voor een bepaalde n. Dan hebben we dus dat 0=0, 0=1, 0=2, enzovoort t/m 0=n (kortom 0=1=2=3=...=n). Maar tellen we dan overal 1 bij op, dan hebben we ook dat 1=1, 1=2, enzovoort t/m 1=n+1, kortom 1=2=3=4=...=n+1. Voegen we dit samen, dan zien we dat 0=1=2=3=...=n=n+1. Dus: als S_n waar is, dan ook S_n+1.

- S_n is duidelijk waar voor n=0.

- Met behulp van volledige inductie valt nu te concluderen dat S_n waar is voor iedere n, kortom alle natuurlijke getallen zijn aan elkaar gelijk.

_{thabit jij mag niet meedoen :-)}

quote:

Op vrijdag 14 oktober 2005 00:59 schreef McCarthy het volgende:

[..]

ROFL

quote:

Op vrijdag 14 oktober 2005 01:18 schreef McCarthy het volgende:

[..]

mijn antwoord:
1 = 0 dus optellen maakt niks uit dus je hebt de stap P(n) => P(n) en hebt een tuatologie bewezen (ook leuk )


hoe zit het nou met dat alles-geel?
ik hoor hem graag.

quote:

Op zaterdag 15 oktober 2005 13:37 schreef IvdSangen het volgende:
Het basisgeval is een singleton verzameling waarvoor P geldt. Elke verzameling van 1 element heeft dezelfde kleur. Helaas kun je met deze basis geen inductieve stap genereren, immers als we er een element bij nemen dan hebben we twee verzamelingen waarvan elk element dezelfde kleur heeft. Dit wil niet zeggen dat de elementen in de ene verzameling dezelfde kleur hebben als de elementen in de andere verzameling.

Formeel, de rij a₂,a₃,...,a_n+1 heeft lengte 1 als n=1.Er valt dus niet te concluderen dat kleur(a_n+1)=kleur(a_n).

quote:

Op vrijdag 14 oktober 2005 00:50 schreef McCarthy het volgende:

toon aan dat P(1) waar is.

toon aan P(n) => P(n + 1) voor alle n >= 1

concludeer: P(n) is waar voor alle n >= 1.

quote:

Op donderdag 13 oktober 2005 16:01 schreef thabit het volgende:

[..]

Omdat ik tot mijn grote verbazing constateerde dat volledige inductie nog steeds niet op de middelbare school wordt onderwezen en het dus op deze manier gepresenteerd moet worden door geinteresseerden.

quote:

Op dinsdag 18 oktober 2005 18:38 schreef teletubbies het volgende:

[..]

best grappig;
trouwens in boek van vwo7 of hoe dat ook heet..staat er wel iets over inductie, en men moet ook inductie gebruiken bij het bewijzen van bepaalde sommen 1+2+3+..n of de som van de kwadraten van die getallen..

in de cadeiloscoop van U.Leiden staat de defnitie(principe) anders geschreven:
elk natuurlijk getal heeft eigenschap P als
a) 1 eigenschap P heeft
b) voor elk natuurlijk getal n geldt dat n eigenschap P heeft als elk kleiner ntuurlijk getal eigenschap P heeft.

a) heet de beginwaarde en b) heet de inductiestap..


ik vraag me af waarom het hier anders is geformuleerd.. ik vind deze minder handig..

quote:

Op maandag 10 november 2003 16:28 schreef thabit het volgende:
Volledige inductie is een basisconcept binnen de wiskunde. Een ieder die niet bekend is met dit begrip legt zich een beperking op in de essentie van het denken, een beperking in het mens-zijn dus. Daarom een topic over dit concept.

Stel we willen een uitspraak over natuurlijke getallen bewijzen, bijvoorbeeld de volgende:
1+2+...+n = n(n+1)/2.
Het concept dat we gaan hanteren om deze uitspraak te bewijzen bestaat uit 3 stappen:
1) We beginnen eenvoudig en bewijzen de uitspraak voor n=1.
2) We laten k een natuurlijk getal zijn en nemen voor het gemak aan dat de uitspraak geldt voor alle n kleiner dan k. Vervolgens laten we zien dat uit deze aanname volgt dat de uitspraak ook geldt voor n=k.
3) We concluderen nu dat de uitspraak geldt voor alle n.
Dit concept heet volledige inductie.

quote:

Op dinsdag 8 november 2005 21:34 schreef Aslama het volgende:

[..]

Door de aanname dat de uitspraak geldt voor alle n kleiner dan k, bestaat er dan een kleine kans dat de bewijsvoering niet helemaal correct is?

quote:

Op dinsdag 8 november 2005 23:59 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

Hoe dat dan?

quote:

Op woensdag 9 november 2005 06:06 schreef Aslama het volgende:

[..]

Dat de uitspraak voor n<k geldt is een aanname, dus per definitie nog geen waarheid. De volledige inductie maakt verder gebruik van deze aanname. Het bewijst niet dat de aanname waar is. Alleen denk ik dat de aanname zeer aannemelijk is door de volgende redenen:

1. k is een willekeurig natuurlijk getal.
2. de uitspraak is bewezen voor n=k (uitgaande van de aanname)

Dus ik denk dat de volledige inductie kan bewijzen dat een uitspraak zeer aannemelijk juist is. De methode is ook uitvoerig getest alleen in theorie bestaat een (hele) kleine kans dat een uitspraak toch onwaar is.

quote:

Op woensdag 9 november 2005 06:06 schreef Aslama het volgende:

[..]

Dat de uitspraak voor n<k geldt is een aanname, dus per definitie nog geen waarheid. De volledige inductie maakt verder gebruik van deze aanname. Het bewijst niet dat de aanname waar is. Alleen denk ik dat de aanname zeer aannemelijk is door de volgende redenen:

1. k is een willekeurig natuurlijk getal.
2. de uitspraak is bewezen voor n=k (uitgaande van de aanname)

Dus ik denk dat de volledige inductie kan bewijzen dat een uitspraak zeer aannemelijk juist is. De methode is ook uitvoerig getest alleen in theorie bestaat een (hele) kleine kans dat een uitspraak toch onwaar is.

quote:

1) We beginnen eenvoudig en bewijzen de uitspraak voor n=1.
2) We laten k een natuurlijk getal zijn en nemen voor het gemak aan dat de uitspraak geldt voor alle n kleiner dan k. Vervolgens laten we zien dat uit deze aanname volgt dat de uitspraak ook geldt voor n=k.
3) We concluderen nu dat de uitspraak geldt voor alle n.
Dit concept heet volledige inductie.

quote:

Op woensdag 9 november 2005 10:09 schreef Pie.er het volgende:

[..]

Ik denk dat je de methode niet helemaal begrijpt... Aannemende dat dit zo is probeer ik het te verhelderen.

quote:

De methode was:
[..]

Om te beginnen geldt de uitspraak voor n=1 (uit regel 1)

Neem nu de k uit regel 2 gelijk aan 2.
Als geldt dat voor alle n kleiner dan 2 de uispraak klopt, dan geldt het ook voor n=2.
Even controleren: de enige natuurlijke n kleiner dan 2 is 1, daar geld het voor, dus geldt het ook voor n=2.

quote:

Neem nu de k uit regel 2 gelijk aan 3.
Als geldt dat voor alle n kleiner dan 3 de uispraak klopt, dan geldt het ook voor n=3.
Even controleren: de enige natuurlijke n kleiner dan 3 zijn 1 en 2, daar geld het voor, dus geldt het ook voor n=3.

quote:

Neem nu de k uit regel 2 gelijk aan 4.
Als geldt dat voor alle n kleiner dan 4 de uispraak klopt, dan geldt het ook voor n=4.
Even controleren: de enige natuurlijke n kleiner dan 4 zijn 1, 2 en 3, daar geld het voor, dus geldt het ook voor n=4.

Op deze manier gaat n=5, n=6, n=7, enzovoorts. Alle natuurlijke n dus.
Er is geen kleine kans dat het niet geldt. De eis is namelijk niet dat het voor een willekeurig getal geldt, maar dat het

voor elk willekeurig getal geldt.

quote:

Op woensdag 9 november 2005 09:55 schreef Haushofer het volgende:

[..]

We hebben het over wiskunde. Hoe groot is de kans dat 1000+1000=2000? Is er niet een kleine kans dat het misschien 1999 is?

quote:

Op woensdag 9 november 2005 22:21 schreef DionysuZ het volgende:
het is gewoon recursie Aslama.

quote:

Op woensdag 9 november 2005 22:39 schreef DionysuZ het volgende:
Ok.

je stelt dat als k=3 dat de vorige uitspraak niet meer geldig is toch? Je moet het zo zien:

je hebt een basisstap: de uitspraak geldt voor k = 1.
Dan gaan we bewijzen dat de uitspraak geldt voor k = 2. Dit is vaak simpel omdat we weten dat de uitspraak geldt voor k=1. Als we weten dat de uitspraak dan geldt voor k = 2, geldt hij dus voor k = 1 EN k = 2. En dat kunnen we weer meenemen naar het bewijs voor k = 3.

quote:

Je kunt het ook andersom zien. Als je wil weten of de uitspraak geldt voor k = 5:
- Neem aan dat hij geldt voor k = 4.
- Bewijs dat hij dan geldt voor k = 5 (is vaak simpel dan)
- Omdat je niet weet of hij geldt voor k = 4, neem je aan dat hij geldt voor k = 3
- Bewijs dat hij dan geldt voor k = 4 (is vaak simpel)
- Omdat je niet weet of hij geldt voor k = 3, neem je aan dat hij geldt voor k = 2
- Bewijs dat hij dan geldt voor k = 3 (is vaak simpel)
- Omdat je niet weet of hij geldt voor k = 2, neem je aan dat hij geldt voor k = 1
- Bewijs dat hij dan geldt voor k = 2 (is vaak simpel)
- Je weet dat hij geldt voor k = 1
- Bewijs voor k = 5 is dan geleverd

quote:

Op woensdag 9 november 2005 23:11 schreef Aslama het volgende:

[..]

VI werkt niet zo. Het bewijst niets voor k=2 of k=3. k is een willekeurige constante dat alleen één waarde kan aannemen op hetzelfde moment. het is geen variabele. Als je aanneemt dat k=2 kan je niet tegelijkertijd aannemen dat k=3 en daardoor is de bewering niet in z'n geheel geldig. n is wel een variabele
[..]

In VI is k een willekeurige constante die alleen één waarde tegelijkertijd kan aannemen.

quote:

Op woensdag 9 november 2005 22:49 schreef Haushofer het volgende:
Ik snap het punt niet zo. Je kunt met een bewijs uit het ongerijmde vrij gemakkelijk bewijzen dat als A een deelverzameling is van N met

- 1 zit in A
- uit n in A volgt n+1 in A

dan geldt dat A=N.

quote:

Je kunt ook gaan twijfel en aan de stelling van pythagoras, of dat voor alle a, b en c in R geldt.

quote:

Op woensdag 9 november 2005 23:18 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

ik weet hoe volledige inductie werkt. De post van net was alleen maar omdat je zegt dat het niet altijd geldig hoeft te zijn. Als je weet dat een uitspraak geldt voor n = 1, en je wilt em bewijzen voor een zekere n = k. Dan nemen we aan dat hij geldt voor alle n < k, dus n = 1, 2, 3 ... k-1. Als je daarmee kunt bewijzen dat k dan ook klopt, dan klopt de stelling gewoon: pak maar eens k = 2, die kun je bewijzen met de basisstap (n=1). Pak k = 3, die kun je bewijzen als je aanneemt dat k = 2 en k = 1 klopt, en aangezien je k = 2 kunt bewijzen uit de basisstap klopt deze ook .. etc .. etc

quote:

Op woensdag 9 november 2005 23:24 schreef Aslama het volgende:

[..]

Ik moet helaas in herhaling vallen. k is een willekeurige constante die alleen één waarde tegelijkertijd kan aannemen. Zodra je k=3 pakt dan is k ongelijk aan 2 dus de bewering in niet in zijn geheel geldig.

quote:

Op woensdag 9 november 2005 23:28 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

Ook helaas in herhaling . Volledige inductie werkt zo:
1. Basisstap: bewijs dat de stelling geldt voor de minimale elementen (bijv. n = 0) van de verzameling A
2. Aanname: stel dat de stelling geldt voor een willekeurig element x van A
3. Bewijs: als de stelling geldt voor x, bewijs dat hij geldt voor de directe opvolger van x.

Zo ontstaat er een keten van de minimale elementen tot de maximale elementen. En allemaal kloppen ze.

quote:

Op woensdag 9 november 2005 23:18 schreef Aslama het volgende:

[..]

Helaas werkt de VI niet zo.

quote:

Op woensdag 9 november 2005 23:44 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Het bewijs staat hier voor mijn neus. Volledige Inductie, met bewijs voor mijn eerdere post. VI werkt weldegelijk zo. Als je wilt kan ik het bewijs hier zo neerkwakken.

quote:

Op woensdag 9 november 2005 23:46 schreef Aslama het volgende:

[..]

Gewoon uitleggen

quote:

Op woensdag 9 november 2005 23:52 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Ok, komt ie. Ik gebruik een 'e' voor "is element van".

Ik stel dus dat A een deelverzameling is van N ( de natuurlijke getallen ) met

* 1 e A
* uit n e A volgt n+1 e A

Dan A=N.

quote:

Waarom?
Stel es dat A niet gelijk is aan N. Dan kun je een verzameling B definieren als volgt:
{n e N : n niet in A} , dus B=N\A. B heeft een kleinste element, bijvoorbeeld m. De eerste aanname zegt dat m niet gelijk is aan 1, want 1 zit immers in A. Dus m>1. Die m is het kleinste element, dus m-1 hoort niet meer tot B, dus m-1 e A. Nou pakken we de tweede aanname er bij: die zegt dan dat m e A, maar we stelden dat m e B, dus hebben we een tegenspraak. Conclusie: B is de nulverzameling, en A=N.

quote:

Je gebruikt hierbij dat de natuurlijke getallen welgeordend zijn.

quote:

Op donderdag 10 november 2005 00:00 schreef DionysuZ het volgende:
ik snap niet zozeer wat er zo onlogisch aan is Aslama, kun je het nog een keer uitleggen?

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:25 schreef DionysuZ het volgende:
je neemt helemaal niet k=3 of k=2. Je neemt dat k = een zeker getal in de verzameling. Welk getal benoemen we niet. Hierdoor moet hetgeen je bewijst dus gelden voor alle k in die verzameling.

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:16 schreef Aslama het volgende:


Ik begrijp deze logica niet helemaal (bold gemaakte zinnen) Kan je uitleggen waarom uit de tweede aanname en de tegenspraak met de eerste aanname het bewijs van onwaarheid van de eerste aanname volgt?
[..]

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:30 schreef Aslama het volgende:

[..]

Klopt, maar het bewijs volgt uit de aanname dat de uitspraak geldt voor n<k.

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:31 schreef placebeau het volgende:

[..]

Je stelt nu ook bewijzen uit het ongerijmde in twijfel

quote:

iets kan niet niet waar en wel waar tegelijk zijn, da's de eerste wet van de logica.

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:34 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

precies, en daarom de basisstap. Die aanname kan alleen maar genomen worden als de stelling klopt voor de minimale elementen in de verzameling

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:39 schreef placebeau het volgende:

[..]

het is uit die twee aannames dat je iets wil bewijzen.
je wilt dus uitgaande van het feit dat die twee aannames waar zijn, tot je resultaat dat A=N is komen.
Dat die twee waar zijn heb je dus gegeven.