[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

dinsdag 4 november 2014 @ 17:23:59 #1

netchip

Post hier weer al je vragen, passies, trauma's en andere dingen die je uit je slaap houden met betrekking tot de wiskunde.

Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!

Opmaak:
• met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg).

Links:
• http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren.
• http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search.
• http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie.
• http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is.
• http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc...

_OP

Handig:
Riparius heeft ooit een PDF geschreven over goniometrische identiteiten. Deze kun je hier downloaden:
www.mediafire.com/view/?2b214qltc7m3v0d

woensdag 5 november 2014 @ 14:11:02 #2

Aardappeltaart

Met slagroom

Hello! Ik heb morgen een tentamen infinitesimaalrekening en ik loop vast op een vraag die normaal prima gaat. Ik moet de volgende differentiaalvergelijking oplossen:
f'(x) + f(x)/(x(x+1)) = x+1.

De algemene oplossing voor de homogene vergelijking (dus =0 in plaats van =x+1) heb ik al:
K(1+1/x). Nu wil ik door middel van variatie van constanten bepalen wat k(x) is voor de inhomogene vergelijking, maar dan kom ik als ik f(x)=k(x)(1+1/x) stel en dat invul in de differentiaalvergelijking uit op:
k'(x)+1/x*k'(x)+k(x)*log(x)+1/(x^2)*k(x)=x+1, waar ik niet zomaar mijn k(x) uit kan halen. Het antwoordmodel zegt dat er 'door invullen' uit volgt dat k'(x)(1+1/x)=(x+1), maar dat volgt er bij mij niet uit als ik het invul. Wat doe ik fout?

Sorry dat dit er lelijk uitziet, ik begin volgende periode pas met LaTeX...

woensdag 5 november 2014 @ 15:42:00 #3

Hahatsjoe

quote:
Op woensdag 5 november 2014 14:11 schreef Aardappeltaart het volgende:
Hello! Ik heb morgen een tentamen infinitesimaalrekening en ik loop vast op een vraag die normaal prima gaat. Ik moet de volgende differentiaalvergelijking oplossen:
f'(x) + f(x)/(x(x+1)) = x+1.

De algemene oplossing voor de homogene vergelijking (dus =0 in plaats van =x+1) heb ik al:
K(1+1/x). Nu wil ik door middel van variatie van constanten bepalen wat k(x) is voor de inhomogene vergelijking, maar dan kom ik als ik f(x)=k(x)(1+1/x) stel en dat invul in de differentiaalvergelijking uit op:
k'(x)+1/x*k'(x)+k(x)*log(x)+1/(x^2)*k(x)=x+1, waar ik niet zomaar mijn k(x) uit kan halen. Het antwoordmodel zegt dat er 'door invullen' uit volgt dat k'(x)(1+1/x)=(x+1), maar dat volgt er bij mij niet uit als ik het invul. Wat doe ik fout?

Sorry dat dit er lelijk uitziet, ik begin volgende periode pas met LaTeX...

De oplossing voor de homogene vergelijking is inderdaad correct.
Je maakt nu een fout met de productregel.

Gebruik variatie van constante en we zien dat de oplossing voor de homogene vergelijking gegeven is door:
$f(x) = K(x) (1 + \frac{1}{x} )$
En dus:
$\frac{df}{dx} = f ' (x) = K ' (x) (1+\frac{1}{x}) + K(x) (\frac{-1}{x^2})$
Invullen in de oorspronkelijke differentiaalvergelijking geeft ons:
$K ' (x) (1+\frac{1}{x}) + K(x) (\frac{-1}{x^2}) + \frac{K(x)(1+\frac{1}{x})}{x(x+1)} = x+1$
Probeer nu zelf de haakjes uit te werken en alles onder één noemer te brengen, je zult dan zien dat alle termen $K(x)$ wegvallen, en je houdt over:
$K' (x) (1+\frac{1}{x})= x+1$
Oftewel:
$K '(x) = \frac{x+1}{1+\frac{1}{x}} = \frac{x^2+x}{x+1}=x$
En dus
$K(x)=\frac{1}{2}x^2+c$
En met behulp van een beginvoorwaarde kan de integratieconstante c worden bepaald.

woensdag 5 november 2014 @ 16:12:45 #4

Aardappeltaart

Met slagroom

quote:
Op woensdag 5 november 2014 15:42 schreef Hahatsjoe het volgende:

[..]

De oplossing voor de homogene vergelijking is inderdaad correct.
Je maakt nu een fout met de productregel.

Gebruik variatie van constante en we zien dat de oplossing voor de homogene vergelijking gegeven is door:
$f(x) = K(x) (1 + \frac{1}{x} )$
En dus:
$\frac{df}{dx} = f ' (x) = K ' (x) (1+\frac{1}{x}) + K(x) (\frac{-1}{x^2})$

Heel erg bedankt. Frustrerend dit, een van de meest trieste fouten die ik gemaakt heb. Zoveel aan het integreren geweest dat ik 1/x differentieer naar ln(x).

donderdag 6 november 2014 @ 17:06:18 #5

RustCohle

Vincent heeft een budget van €9/per week voor een ochtend koffie met melk. Hij houdt ervan dat er 4 stukjes koffie en 1 stuk melk in zitten. Koffie kost €1 per 100g en melk kost €0,50 per 100g. Hoeveel koffie zal Vincent per week kopen en hoeveel melk zal Vincent per week kopen? Hoe zullen de antwoorden veranderen als de prijs van koffie wordt verhoogd naar €3,25?

Ik had allereerst de budgetlijn opgesteld:

9 - 4x - 0,50y

Het is 4x, aangezien hij 4 stukken koffie in zijn kopje doet en 1 stuk melk (Verhouding 4:1) en omdat de prijs €1 is kan ik dat net zo goed weglaten want 4 * x * €1 = 4x. Hetzelfde heb ik gedaan voor melk, waardoor ik uitkom op 0,50y.

Aangezien dit complementaire goederen zijn: x = y = u

9 - 4u - 0,50u = 0

9 - 4,5u = 0

9 = 4,5u

u = 2

Dus hij koopt 2 koffie per week en 2 melk per week.

Klopt dit?

donderdag 6 november 2014 @ 17:26:21 #6

Anoonumos

De berekening lijkt me juist (aangenomen dat 1 stukje = 100 gram) maar de conclusie is dan toch 4*u = 8 koffie en 1*u = 2 melk.

donderdag 6 november 2014 @ 17:27:34 #7

Novermars

Iemand bekend met een efficiënte methode om extreme points van convexe polyhedra te bepalen?

donderdag 6 november 2014 @ 17:46:50 #8

RustCohle

quote:
Op donderdag 6 november 2014 17:26 schreef Anoonumos het volgende:
De berekening lijkt me juist (aangenomen dat 1 stukje = 100 gram) maar de conclusie is dan toch 4*u = 8 koffie en 1*u = 2 melk.

hoe kom je op 8 en 2?

donderdag 6 november 2014 @ 18:09:29 #9

RustCohle

quote:
Op donderdag 6 november 2014 17:46 schreef RustCohle het volgende:

[..]

hoe kom je op 8 en 2?

laar maar. Heb het al! Bedankt!

donderdag 6 november 2014 @ 18:11:03 #10

Janneke141

Green, green grass of home

quote:
Op donderdag 6 november 2014 17:46 schreef RustCohle het volgende:

[..]

hoe kom je op 8 en 2?

Je bent niet helemaal nauwkeurig in wat je precies berekent, en daardoor kun je niet meer precies zien wat het juiste antwoord moet zijn. Je geeft als antwoord 2 koffie en 2 melk, maar omdat dat én niet in de verhouding is van de opgave én bij lange na geen 9 euro, had je snel kunnen zien dat het antwoord ook niet klopt.

Als x het aantal blokjes koffie is, en y het aantal blokjes melk, dan weet je dat x = 4y (want 4 keer zoveel koffie dan melk).
Neem nu u het aantal 'setjes' van 4koffie+1melk, dan zijn de kosten van zo'n setje 4,50 (4x1+0,50)

Samen hooguit 9 euro, dus 2 setjes. 2 setjes is 8 koffie en 2 melk.

Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)

maandag 10 november 2014 @ 16:37:04 #11

Stickers

Kan iemand de verschillen uitleggen tussen surjectief en injectief icm functies? Ik begrijp dat het een surjectie betreft als alle elementen in A ook in B zitten, maar de link tussen functies is mij niet helemaal helder =/

maandag 10 november 2014 @ 16:44:41 #12

Janneke141

Green, green grass of home

quote:
Op maandag 10 november 2014 16:37 schreef Stickers het volgende:
Kan iemand de verschillen uitleggen tussen surjectief en injectief icm functies? Ik begrijp dat het een surjectie betreft als alle elementen in A ook in B zitten, maar de link tussen functies is mij niet helemaal helder =/

Een functie is in wezen een koppeling tussen twee verzamelingen; het beeldt de ene verzameling (het domein) af op de andere (het bereik). De functie f(x) = x² beeldt het bereik R af op (0;∞). Deze is surjectief, maar niet injectief.

Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)

maandag 10 november 2014 @ 17:19:41 #13

defineaz

Hoi, ik heb een vraag over het volgende bewijs:

Neem aan dat f en g Schwartz-functies zijn. Dan hebben we

Ik snap het argument in de laatste zin niet. Het kan zijn dat er van de lezer wordt verwacht dat hij zelf nog even in de weer gaat met Fouriertransformaties, maar dan snap ik niet waarom het noodzakelijk de convergentie van de limiet te bewijzen (de meeste bewijzen worden op die manier gedaan, en in het boek waar het bewijs uit komt worden Fouriertransformaties in hetzelfde hoofdstuk behandeld). Het bewijs is een bewerkte vorm (alleen de notatie is wat aangepast) van 'Classical Fourier Analysis' door Lukas Grafakos.

maandag 10 november 2014 @ 20:03:38 #14

Stickers

quote:
Op maandag 10 november 2014 16:44 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Een functie is in wezen een koppeling tussen twee verzamelingen; het beeldt de ene verzameling (het domein) af op de andere (het bereik). De functie f(x) = x² beeldt het bereik R af op (0;∞). Deze is surjectief, maar niet injectief.

Waarom is deze dan niet injectief?

Nog een vraagje: in bovenstaande, R is nu het co-domein(ofwel bereik) en f(x) is het domein?

[ Bericht 21% gewijzigd door Stickers op 10-11-2014 20:18:34 ]

maandag 10 november 2014 @ 20:41:59 #15

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op maandag 10 november 2014 20:03 schreef Stickers het volgende:

[..]

Waarom is deze dan niet injectief?

maandag 10 november 2014 @ 20:59:51 #16

Stickers

Omdat er meerdere elementen in het domein gelijk zijn aan een element in het co-domein?

maandag 10 november 2014 @ 21:52:12 #17

runaway

Wellicht te simpel vraagje maar kom er niet uit:

'bij samengestelde interest (rente op rente) is 4,8% (1,048) per jaar gelijkwaardig aan 1,048^1/12, dus aan 0,39% per maand'.

Waarom mag je die 1,048 tot de macht 1/12 doen? Ik begrijp dat 1,0039 tot de macht 12 (rente op rente) uitkomt op 1,048 maar ik snap die tot de macht 1/12 niet.
Iemand?

maandag 10 november 2014 @ 21:54:31 #18

Novermars

quote:
Op maandag 10 november 2014 20:03 schreef Stickers het volgende:

[..]

Waarom is deze dan niet injectief?

Nog een vraagje: in bovenstaande, R is nu het co-domein(ofwel bereik) en f(x) is het domein?

Stel je hebt de functie $f : A \to B$ met $A,B \subseteq \mathbb{R}$ . dan is ${f}$ de functie, ${A}$ het domein en ${B}$ het bereik. Verder zeggen we dat ${f}$ is injectief als geldt dat voor $x,y \in A, \quad x \neq y \Longrightarrow f(x) \neq f(y)$ en we zeggen dat ${f}$ surjectief is als geldt dat $f(A) = B$

maandag 10 november 2014 @ 21:55:21 #19

netchip

quote:
Op maandag 10 november 2014 21:52 schreef runaway het volgende:
Wellicht te simpel vraagje maar kom er niet uit:

'bij samengestelde interest (rente op rente) is 4,8% (1,048) per jaar gelijkwaardig aan 1,048^1/12, dus aan 0,39% per maand'.

Waarom mag je die 1,048 tot de macht 1/12 doen? Ik begrijp dat 1,0039 tot de macht 12 (rente op rente) uitkomt op 1,048 maar ik snap die tot de macht 1/12 niet.
Iemand?

Twaalfdemachts wortel. Dit omdat de rente per maand 12 keer met zichzelf vermenigvuldigd wordt, en dus gelijk is aan x^12.

maandag 10 november 2014 @ 21:58:24 #20

runaway

quote:
Op maandag 10 november 2014 21:55 schreef netchip het volgende:

[..]

Twaalfdemachts wortel. Dit omdat de rente per maand 12 keer met zichzelf vermenigvuldigd wordt, en dus gelijk is aan x^12.

Ik snap zin 2. Alleen twaalfdemachtswortel? Hoe zit dit ook alweer? Tot de macht 1/12 is dus hetzelfde als twaalfdemachtswortel?

maandag 10 november 2014 @ 22:18:05 #21

netchip

quote:
Op maandag 10 november 2014 21:58 schreef runaway het volgende:

[..]

Ik snap zin 2. Alleen twaalfdemachtswortel? Hoe zit dit ook alweer? Tot de macht 1/12 is dus hetzelfde als twaalfdemachtswortel?

Yep, tot de macht 1/n is hetzelfde als de n-demachts wortel.