[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

quote:

Op zondag 21 september 2014 17:48 schreef rumiii het volgende:

[..]

Ik was ff niet scherp inderdaad, hopelijk nu wel

( (-x^2)+8) / ( (x^2) + 8)^2

Nu klopt ie.

Overigens kun je prima met wat minder haakjes af, voor het overzicht:

( -x^2+8) / ( x^2 + 8)^2

Of eigenlijk nog beter:

( -x²+8) / ( x² + 8)²

quote:

Op zondag 21 september 2014 18:08 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Nu klopt ie.

Overigens kun je prima met wat minder haakjes af, voor het overzicht:

( -x^2+8) / ( x^2 + 8)^2

Of eigenlijk nog beter:

( -x²+8) / ( x² + 8)²

Bedankt voor je hulp.

Wat notatie betreft heb je gelijk, ik zal het onthouden.

Bedankt

quote:

Op zondag 21 september 2014 17:59 schreef jungiaan het volgende:

[..]

Wellicht heb ik een andere druk/editie. Op pagina 140 waar je het net over had begint bij mijn exemplaar namelijk opgave 17.11. De identiteiten van de dubbele hoek moet je zelf afleiden bij 17.25.a. Die van de halve hoek staan er niet in.

[..]

Bedankt, is gelukt.

[..]

Dat kan ik inderdaad niet. Zou je jouw herleiding willen posten? Ik ben er wel benieuwd naar.

Goed, tijd voor wat trucjes uit de oude doos. We hadden



en ook



zodat



Nu volgt uit α = arcsin(1/3) dat −½π ≤ α ≤ ½π zodat cos ½α positief is en we dus krijgen



Om deze geneste vierkantswortel te herleiden, stellen we



waarbij we x en y rationaal veronderstellen. Kwadrateren geeft nu



Aangezien het linkerlid irrationaal is en we x en y rationaal veronderstellen, kan √xy in het rechterlid niet rationaal zijn zodat moet gelden



Om nu x en y te bepalen, gaan we eerst x − y bepalen. Dit doen we door nogmaals te kwadrateren, dan krijgen we



Nu is dus



Veronderstellen we x > y, dan is dus



en dus krijgen we



en



zodat



Voilà.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 21-09-2014 21:04:07 ]

Mocht het niet gewaardeerd worden om uitwerkingen hier te laten controleren hoor ik het graag

f= e^(x²-3) - 2 + √(2x)

f ' = e^(x²-3) * 2x + 0.5(2x)^-0.5 * 2

Is de afgeleide correct?

quote:

Op zondag 21 september 2014 20:36 schreef rumiii het volgende:
Mocht het niet gewaardeerd worden om uitwerkingen hier te laten controleren hoor ik het graag

f(x) = e^x²-3 - 2 + √(2x)

f'(x) = e^x²-3·2x + ½·(2x)^-½·2

Is de afgeleide correct?

Ja, als je het tenminste ook nog correct opschrijft, die f is geen variabele maar de naam van je functie en dus mag je f of f' niet laten volgen door een =-teken. Schrijf dus f(x) resp. f'(x). Verder moet je geen decimale breuken gebruiken in je afgeleide, schrijf dus ½ voor 0.5.

"In deze opgave gaat het over getallen van acht cijfers. De cijfers worden gekozen uit 1, 2, 3, 4, 5, 6. In hoeveel van deze getallen komt drie keer een 1, drie keer een 2, en twee keer een 3 voor?"

In het uitwerkingen boekje staat: 8!/(3!*3!*2!) = 560. Ik kom uit op 8 nCr 3 * 5 nCr 3 * 2 nCr 2 = 560 uit. Nu vraag ik me af of dit stom toeval is, of ofdat het logisch is.

quote:

Op " zondag 21 september 2014 20:36 schreef rumiii het volgende:
Mocht het niet gewaardeerd worden om uitwerkingen hier te laten controleren hoor ik het graag

f= e^(x²-3) - 2 + √(2x)

f ' = e^(x²-3) * 2x + 0.5(2x)^-0.5 * 2

Is de afgeleide correct?

Op zich wel, maar het tweede gedeelte kun je nog wel herleiden tot een iets netter beest. En wat betekent ^-0.5 ook weer?

quote:

Op zondag 21 september 2014 20:45 schreef netchip het volgende:
"In deze opgave gaat het over getallen van acht cijfers. De cijfers worden gekozen uit 1, 2, 3, 4, 5, 6. In hoeveel van deze getallen komt drie keer een 1, drie keer een 2, en twee keer een 3 voor?"

In het uitwerkingen boekje staat: 8!/(3!*3!*2!) = 560. Ik kom uit op 8 nCr 3 * 5 nCr 3 * 2 nCr 2 = 560 uit. Nu vraag ik me af of dit stom toeval is, of ofdat het logisch is.

Als je bedenkt dat



dan zie je waarom dit zo is.

quote:

Op zondag 21 september 2014 20:42 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ja, als je het tenminste ook nog correct opschrijft, die f is geen variabele maar de naam van je functie en dus mag je f of f' niet laten volgen door een =-teken. Schrijf dus f(x) resp. f'(x). Verder moet je geen decimale breuken gebruiken in je afgeleide, schrijf dus ½ voor 0.5.

Duidelijk. Hoogstwaarschijnlijk zal de examintor door deze fout geen punten aan de uitwerking toekennen. Dus nogmaals bedankt.

quote:

Op zondag 21 september 2014 20:46 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Op zich wel, maar het tweede gedeelte kun je nog wel herleiden tot een iets netter beest. En wat betekent ^-0.5 ook weer?

0.5(2x)^-0.5 * 2= (2x)^-0.5= (2x)^-½

Bedankt

quote:

Op zondag 21 september 2014 20:55 schreef Riparius het volgende:

[..]

Als je bedenkt dat



dan zie je waarom dit zo is.

Oh ja, ik zie het nu!

Ik ben trouwens verder gegaan met dat dictaat over lineaire algebra, lukt vrij goed, alhoewel ik niet echt heel veel tijd heb.

quote:

Op zondag 21 september 2014 20:45 schreef netchip het volgende:
"In deze opgave gaat het over getallen van acht cijfers. De cijfers worden gekozen uit 1, 2, 3, 4, 5, 6. In hoeveel van deze getallen komt drie keer een 1, drie keer een 2, en twee keer een 3 voor?"

In het uitwerkingen boekje staat: 8!/(3!*3!*2!) = 560. Ik kom uit op 8 nCr 3 * 5 nCr 3 * 2 nCr 2 = 560 uit. Nu vraag ik me af of dit stom toeval is, of ofdat het logisch is.

Dit is ook de zogenaamde multinomiale verdeling, waarbij moet gelden dat

Ik heb een input- en een outputsignaal voor verschillende frequencies. Nu kan ik zelf makkelijk een script schrijven voor de gain, maar ik zou niet weten hoe ik een plot kan maken van de faseverschuiving. Heeft iemand enig idee? Eventueel met functies van Matlab.

quote:

Op zondag 21 september 2014 21:04 schreef netchip het volgende:

[..]

Ik ben trouwens verder gegaan met dat dictaat over lineaire algebra, lukt vrij goed, alhoewel ik niet echt heel veel tijd heb.

Als je het eerste hoofdstuk van dit dictaat hebt doorgewerkt, dan zou je bijvoorbeeld ook dit en dit nu moeten kunnen begrijpen.

Waarom is dit zo?


Ik begrijp het wel, maar logischerwijs met de standaardregels voor differentiëren zou ik denken aan:

f'(x) = x * a ^x-1


Wat is overigens de afgeleide van ln a^x ?

Ik had:

ln a^x

x ln a

kettingregel toepassen resulteert tot:

1 * ln a + x * 1/a

ln a + x/a

klopt dit?

[ Bericht 13% gewijzigd door Super-B op 22-09-2014 19:24:27 ]

Dit snap ik overigens ook niet:






Stel je hebt:

e^2x

Dat wil dus zeggen dat

e^2x * 2 = 1?

Dat is dus niet waar want, stel x = 2 dan kom ik uit op 109,20 i.p.v. 1 ...

quote:

Op maandag 22 september 2014 19:17 schreef Super-B het volgende:
Waarom is dit zo?
[ afbeelding ]

Dit volgt direct uit de rekenregels voor logaritmes en exponentiële functies, die in deze editie van het topic al de nodige keren zijn genoemd.

quote:

Ik begrijp het wel, maar logischerwijs met de standaardregels voor differentiëren zou ik denken aan:

f'(x) = x * a ^x-1

Oh wacht, kennelijk heb je deze gelijkheid nodig om exponentiële functies te differentiëren.

De 'standaardregel voor differentiëren' die jij wil toepassen, is de regel waarmee je polynomen kan differentiëren. De functie f(x) = a^x is echter geen polynoom, maar een exponentiële functie - en dus is dat helemaal niet toepasbaar. Kijk nog eens goed naar het verschil: bij de exponentiële functie f(x) = a^x is de exponent variabel, bij (als voorbeeld) het polynoom g(x) = x³ is de exponent een constante.

Ik ga niet voor je afleiden dat e^x zijn eigen afgeleide is, maar als we dat als uitgangspunt nemen en combineren met wat in je plaatjes staat, dan
f(x) = a^x = e^x·lna
Pas de kettingregel toe:
f'(x) = e^x·lna·ln a = (ln a)·a^x

quote:

Wat is overigens de afgeleide van ln a^x ?

Ik had:

ln a^x

x ln a
HO STOP
kettingregel toepassen resulteert tot:

1 * ln a + x * 1/a

ln a + x/a

klopt dit?

x·ln a is lineair, en dus is de afgeleide constant (a is namelijk een constante, geen variabele. Het toepassen van de productregel is dus helemaal niet nodig). De afgeleide van ln a^x is dus de constante functie met waarde ln a.

quote:

Op maandag 22 september 2014 19:29 schreef Super-B het volgende:
Dit snap ik overigens ook niet:

[ afbeelding ]

[ afbeelding ]

[ afbeelding ]
Stel je hebt:

e^2x

Dat wil dus zeggen dat

e^2x * 2 = 1?

Dat is dus niet waar want, stel x = 2 dan kom ik uit op 109,20 i.p.v. 1 ...

De pijl betekent dat de rechtse uitspraak volgt uit de linkse - het zegt dus niets over het waar zijn van de afzonderlijke gelijkheden.

Er staat dus dat ALS

{1} (e^f(x))' = (x)'

DAN GELDT DAT

{2} e^f(x) · f'(x) = 1.

Ga dat zelf eens na door de twee leden van gelijkheid {1} te differentiëren. Hint: nu heb je wél de kettingregel nodig.

quote:

Op maandag 22 september 2014 19:17 schreef Super-B het volgende:
Waarom is dit zo?
[ afbeelding ]

Hier worden meerdere rekenregels gebruikt.

Om te beginnen hebben we de bekende rekenregel

(1) ln(a^x) = x·ln(a)

(geldig voor a ∈ R⁺ en x ∈ R)

Daarnaast hebben we

(2) a = e^{ln a}

(geldig voor a ∈ R⁺)

Dit volgt direct uit de definitie van de logaritme, immers ln a is de exponent waartoe je e moet verheffen om a te verkrijgen.

En dan hebben we ook nog de bekende rekenregel die zegt dat exponenten vermenigvuldigen als je een macht neemt van een macht, dus

(3) (a^p)^q = a^pq

(geldig voor a ∈ R⁺ en p,q ∈ R)

Met behulp van deze regels hebben we dus



Merk op dat ik hier achtereenvolgens (2) en (3) gebruik. We kunnen echter ook zeggen dat



en hier heb ik weer eerst (2) gebruikt, maar nu met a^x in plaats van a, en daarna heb ik (1) gebruikt.

quote:

Ik begrijp het wel, maar logischerwijs met de standaardregels voor differentiëren zou ik denken aan:

f'(x) = x * a ^x-1

Nee, je begrijpt het dus niet. Bij f(x) = xⁿ hebben we een vaste exponent maar bij f(x) = a^x is de exponent de variabele, en dat is iets heel anders. In plaats van te roepen dat je logischerwijs zou denken aan iets wat niet logisch is zou je er beter aan doen mijn posts hier gewoon goed te lezen, deze post bijvoorbeeld die nota bene aan jou was gericht. Het lijkt erop alsof je alle antwoorden en uitleg die je hier krijgt zo goed als totaal negeert, óf dat je een antwoord dat je hebt gekregen enkele dagen later alweer totaal bent vergeten. Anders gezegd, je leert dus niets.

quote:

Wat is overigens de afgeleide van ln a^x ?

Ik had:

ln a^x

x ln a

kettingregel toepassen resulteert tot:

1 * ln a + x * 1/a

ln a + x/a

klopt dit?

Dit is je reinste lariekoek, die alleen maar bewijst dat je nog steeds niet begrijpt hoe je een afgeleide bepaalt en dat je zaken als de kettingregel ook gewoon niet begrijpt. Sterker nog, je zegt dat je de kettingregel gaat toepassen, maar wat je doet lijkt eerder op een - foutieve - toepassing van de productregel.

Je vergeet helemaal dat ln a hier een constante is die niet afhangt van de onafhankelijke variabele x van de functie. We hebben

f(x) = ln a^x

oftewel

f(x) = x·ln a

en de afgeleide is dan

f'(x) = ln a

De afgeleide functie is dus een constante functie, en dat is niet verwonderlijk, want f(x) = x·ln a is een lineaire functie, net als bijvoorbeeld g(x) = cx. Vervang die ln a maar door c, dan staat er f(x) = xc en dat is uiteraard hetzelfde als f(x) = cx. De afgeleide is dus f'(x) = c oftewel f'(x) = ln a.

Het is wel mogelijk de afgeleide van f(x) = ln a^x te bepalen met de kettingregel als je niet in de gaten zou hebben dat dit een lineaire functie van x is, en dan krijgen we



Uiteraard vinden we ook langs deze - onnodige - weg dat f(x) = ln a^x de constante functie f'(x) = ln a als afgeleide heeft.

[ Bericht 3% gewijzigd door Riparius op 23-09-2014 02:59:07 ]

Hoe vind je n^th afgeleide van een functie via de binominale theorie?

quote:

Op maandag 22 september 2014 19:29 schreef Super-B het volgende:
Dit snap ik overigens ook niet:

[ afbeelding ]

Ik denk dat je er beter aan doet om wat meer context te geven in plaats van alleen maar een wazige overmaatse scan te posten van een fragment van een opgave of stukje uitleg. Als je hebt

g(x) = e^f(x)

dan vinden we met behulp van de kettingregel dat

g'(x) = e^f(x)·f'(x)

maar uiteraard hoeft g(x) helemaal geen lineaire functie te zijn, en de afgeleide g'(x) dus ook geen constante.

En ja, als we f(x) = ln x kiezen, dan wordt g(x) = x en daarmee ook g'(x) = 1. Maar dat had je kennelijk niet begrepen uit het verhaal dat bij deze scan hoort.

quote:

Op maandag 22 september 2014 20:11 schreef ibri het volgende:
Hoe vind je n^th afgeleide van een functie via de binominale theorie?

Je vraag is slecht gesteld en daarmee nauwelijks begrijpelijk. Maar ik vermoed dat je de regel van Leibniz bedoelt voor het bepalen van de n-de afgeleide van een product van twee functies.

quote:

Op maandag 22 september 2014 20:13 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik denk dat je er beter aan doet om wat meer context te geven in plaats van alleen maar een wazige overmaatse scan te posten van een fragment van een opgave of stukje uitleg. Als je hebt

g(x) = e^f(x)

dan vinden we met behulp van de kettingregel dat

g'(x) = e^f(x)·f'(x)

maar uiteraard hoeft g(x) helemaal geen lineaire functie te zijn, en de afgeleide g'(x) dus ook geen constante.

En ja, als we f(x) = ln x kiezen, dan wordt g(x) = x en daarmee ook g'(x) = 1. Maar dat had je kennelijk niet begrepen uit het verhaal dat bij deze scan hoort.

quote:

Op maandag 22 september 2014 20:54 schreef Super-B het volgende:

[..]

[ afbeelding ]

Lees de eerste zin van Riparius nog eens...

Het gaat vast over de afgeleide van ln x.
Maar zeg dat dan ook even ipv alleen een plaatje te plaatsen.

quote:

Op dinsdag 23 september 2014 00:04 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Lees de eerste zin van Riparius nog eens...

Het gaat vast over de afgeleide van ln x.
Maar zeg dat dan ook even ipv alleen een plaatje te plaatsen.

Het is kennelijk de bedoeling om te laten zien dat



terwijl



zodat



en dus



Maar dit zal hij onmogelijk kunnen begrijpen zolang hij geen benul heeft van samenstellingen van functies, inversen van functies, logaritmen, exponenten en differentiëren, laat staan van eenvoudige (reken)regels zoals e^{ln x} = x of d(e^x)/dx = e^x en de kettingregel.