[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 12:32 schreef Anoonumos het volgende:
Volgens mij bedoelt hij

1. (p + qt³) / te^t

En dan klopt zijn (editted) eerste post.

Waar moet je op uitkomen dan?

Of dat bedoelt hij niet en dan is dat het probleem.

Ik moet het mooier schrijven ofwel herschrijven.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 12:29 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Aan de eerste begin ik niet eens, want ik kan op drie verschillende manieren uitleggen hoe die functie eruit ziet vanwege het gebrek aan duidelijke haakjes.

De tweede functie is van de vorm f(t) = g(t)/h(t) en dus zullen we de quotiëntregel moeten toepassen.

Deze zegt dat f'(t) = [g'(t)h(t) - g(t)h'(t)] / h'(t)²

g'(t) = 2(at + bt²)(a+2bt) met behulp van de kettingregel.
h'(t) = e^t

Nu invullen levert ons



Nu kun je inderdaad boven en onder delen door e^t (Waarom eigenlijk?), en als je dan nog wat termen bij elkaar neemt krijg je

Duidelijk. Dankje! Ik moet inderdaad even opletten op welke wijze ik het opschrijf...

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 12:42 schreef Super-B het volgende:
Duidelijk. Dankje!

Maar waarom mag je nu boven en beneden delen door e^t?

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 12:43 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Maar waarom mag je nu boven en beneden delen door e^t?

Omdat er in de teller sprake is van een vermenigvuldiging met e^t, zowel aan de linkerkant van de minteken als aan de rechterkant.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 12:43 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Maar waarom mag je nu boven en beneden delen door e^t?

Ik heb nog een vraagje:



Waarom wordt hier [....,...] gedaan i.p.v. (....,...) ?

Want bij 0 en 1/2 is de functie 0... en als y' = 0 dan is er geen sprake van een stijging/daling...

Hoe komen ze hierop?:



Ik kom namelijk (bij de herschrijving) uit op:

e^-x ( 2xe^-x - 2x³)

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 12:57 schreef Super-B het volgende:

[..]

Omdat er in de teller sprake is van een vermenigvuldiging met e^t, zowel aan de linkerkant van de minteken als aan de rechterkant.

Daar moet nog één opmerking bij, vind ik.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 12:58 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ik heb nog een vraagje:

[ afbeelding ]

Waarom wordt hier [....,...] gedaan i.p.v. (....,...) ?

Want bij 0 en 1/2 is de functie 0... en als y' = 0 dan is er geen sprake van een stijging/daling...

De functie is niet 0, de afgeleide is daar 0.

Kwestie van taalgebruik. Een functie f(x) is stijgend als f'(x)≥0, een functie f(x) is strikt stijgend als f'(x)>0.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 13:04 schreef Super-B het volgende:
Hoe komen ze hierop?:

[ afbeelding ]

Ik kom namelijk (bij de herschrijving) uit op:

e^-x ( 2xe^-x - 2x³)

Leg eens stap voor stap uit hoe je daarbij komt. Ik zal je zo wel uitleggen hoe de afleiding werkt, maar ik denk ook dat het goed is dat je leert van je eigen fouten.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 13:07 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Leg eens stap voor stap uit hoe je daarbij komt. Ik zal je zo wel uitleggen hoe de afleiding werkt, maar ik denk ook dat het goed is dat je leert van je eigen fouten.

Omdat alles vermenigvuldigt wordt met het getal e (en haar exponent), dacht ik dat het verstandig was om dat uit de factor te halen... en ik behoud een afscheiding tussen de twee kanten, links en rechts.. van de plus. Aangezien er nog een -2x staat, heb ik tussen de haakjes een - gezet i.p.v. een plus, want + maal - is - en aangezien het getal e (bijna) altijd plus is, is het weer + maal - = -.

Ik heb hier een afgeleide:

y' = e^x - 3e^3x

Ik heb het veranderd in:

e^x ( 1 - 3e^2x )

Ik moet weten wanneer de functie stijgt.. Aangezien e^x bijna altijd stijgend is, hoef ik daar niks mee te doen. Dus ik moet kijken naar 1 - 3e^2x.

Het is te zien dat 3e^2x in totaal lager dan 1 moet zijn..

Dus ik deed:

3e^2x = 1

e^2x = 1 / 3

2x = ln 1/3

Vervolgens loop ik vast...

[ Bericht 0% gewijzigd door RustCohle op 27-09-2014 13:30:16 ]

Je zoekt naar 3e^2x = 1, niet min.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 13:27 schreef Anoonumos het volgende:
Je zoekt naar 3e^2x = 1, niet min.

Scherpzinnig van je! Maar dan loop ik nog steeds vast

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 13:11 schreef Super-B het volgende:

[..]

Omdat alles vermenigvuldigt wordt met het getal e (en haar exponent), dacht ik dat het verstandig was om dat uit de factor te halen... en ik behoud een afscheiding tussen de twee kanten, links en rechts.. van de plus. Aangezien er nog een -2x staat, heb ik tussen de haakjes een - gezet i.p.v. een plus, want + maal - is - en aangezien het getal e (bijna) altijd plus is, is het weer + maal - = -.

Als ik je vraag om stap voor stap uit te leggen hoe je bij je antwoord komt, dan bedoel ik daarbij geen verhaaltje, maar een aantal gelijkwaardige uitdrukkingen waar je telkens één rekenstap maakt, om bij je antwoord te komen. Er staan genoeg voorbeelden in dit topic, hoe zoiets eruit moet zien. Je docent zal dergelijke afleidingen ook van je verlangen. Probeer ook zeker niet te veel in één stap te doen, de kans dat je fouten gaat maken wordt alleen maar groter.

Je bent behoorlijk slordig in je taalgebruik, en ik ben bang dat dat van invloed is op de slordigheid in je herleidingen.

quote:

Omdat alles vermenigvuldigD wordt met het getal e (en haar exponent), dacht ik dat het verstandig was om dat uit de factor te halen

De beide termen hebben een gemeenschappelijke factor e^-x². Omdat ab+ac=a(b+c) kun je een gemeenschappelijke factor buiten haakjes halen en dan staat er

e^-x² · (2x + x²·-2x)

quote:

en ik behoud een afscheiding tussen de twee kanten, links en rechts.. van de plus.

Hier staat niets. In ieder geval niets wat wiskundig gezien iets betekent.

quote:

Aangezien er nog een -2x staat, heb ik tussen de haakjes een - gezet i.p.v. een plus, want + maal - is -

Ik zie maar één minteken. Er is inderdaad in het gedeelte tussen de haakjes nog een gemeenschappelijke factor, namelijk 2x, dus kunnen we schrijven

2x · e^-x² · (1 - x²)

quote:

en aangezien het getal e (bijna) altijd plus is, is het weer + maal - = -.

Er staat nog steeds maar één minteken. Daarnaast is e ≈2,71727.. en dus altijd positief, evenals e^c voor iedere willekeurige waarde van c. En dus niet bijna altijd. Handig om te onthouden, en meteen het antwoord op de vraag die ik je stelde waarom je nu mag delen door e^t: de uitkomst van een e-macht is altijd positief - en dus nooit gelijk aan 0.

De laatste stap die je nog moet zetten, is inzien dat 1 - x² een merkwaardig product is:
(a+b)(a-b) = a² - b².

Dus is 1 - x² = (1+x)(1-x). Nemen we dat nog mee in de uitdrukking, dan staat er

2x(1+x)(1-x) · e^-x²

En dat was precies wat het zijn moest.

Bekijk de stappen hierboven goed. Je hebt ze vaak nodig, en het is niet voldoende dat je begrijpt waarom ik doe wat ik doe. Je moet zelf weten wanneer je welke techniek moet gebruiken, en waarom ze toepasbaar is. Denk dus niet alleen in technieken (trucjes) maar in de reden waarom het zo mogen.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 13:22 schreef RustCohle het volgende:
Ik heb hier een afgeleide:

y' = e^x - 3e^3x

Ik heb het veranderd in:

e^x ( 1 - 3e^2x )

Ik moet weten wanneer de functie stijgt.. Aangezien e^x bijna altijd stijgend is altijd groter dan 0 is, hoef ik daar niks mee te doen. Dus ik moet kijken naar 1 - 3e^2x.

Het is te zien dat 3e^2x in totaal lager dan 1 moet zijn..

Dus ik deed:

3e^2x = 1

e^2x = 1 / 3

2x = ln 1/3

Vervolgens loop ik vast...

Dus 1 - 3e^2x = 0 als 2x = ln (1/3) = - ln 3 oftewel x = - (1/2) ln 3

3e^2x is overal strikt stijgend dus 1 - 3e^2x < 0 als x > - (1/2) ln 3
en 1 - 3e^2x > 0 als x < - (1/2) ln 3

Conclusie: de originele functie is stijgend als x ≤ - (1/2) ln 3

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 13:39 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

Dus 1 - 3e^2x = 0 als 2x = ln (1/3) = - ln 3 oftewel x = - (1/2) ln 3

3e^2x is overal strikt stijgend dus 1 - 3e^2x < 0 als x > - (1/2) ln 3
en 1 - 3e^2x > 0 als x < - (1/2) ln 3

Conclusie: de originele functie is stijgend als x ≤ - (1/2) ln 3

Hoe maak je van ln 1/3 opeens - ln 3 en vervolgens - 1/2 ln 3?

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 13:43 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Hoe maak je van ln 1/3 opeens - ln 3 en vervolgens - 1/2 ln 3?

Hoe vaak heb je van Riparius al het advies gekregen om je nog eens te verdiepen in de rekenregels van exponenten en logaritmen?

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 13:45 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Hoe vaak heb je van Riparius al het advies gekregen om je nog eens te verdiepen in de rekenregels van exponenten en logaritmen?

Dat doe ik, maar ik vergeet het steeds, ondanks dat ik zijn posts echt goed doorneem. Ik zit nog in de lerende fase he..

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 13:45 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Hoe vaak heb je van Riparius al het advies gekregen om je nog eens te verdiepen in de rekenregels van exponenten en logaritmen?

Laat maar, ik weet het alweer.. tot de macht -1 opschrijven...

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 13:39 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

Dus 1 - 3e^2x = 0 als 2x = ln (1/3) = - ln 3 oftewel x = - (1/2) ln 3

3e^2x is overal strikt stijgend dus 1 - 3e^2x < 0 als x > - (1/2) ln 3
en 1 - 3e^2x > 0 als x < - (1/2) ln 3

Conclusie: de originele functie is stijgend als x ≤ - (1/2) ln 3

Hoe weet je dat je die teken moet omdraaien en dus weet dat x > ....

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 13:39 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

Dus 1 - 3e^2x = 0 als 2x = ln (1/3) = - ln 3 oftewel x = - (1/2) ln 3

3e^2x is overal strikt stijgend dus 1 - 3e^2x < 0 als x > - (1/2) ln 3
en 1 - 3e^2x > 0 als x < - (1/2) ln 3

Conclusie: de originele functie is stijgend als x ≤ - (1/2) ln 3

Het rare is dat als ik in mijn rekenmachine -(1/4) ln 3 invoert dat ik -0,27 krijg en dan krijg ik

1 - - 0,27 ofwel 1 + 0,27 en dan alsnog is die nog positief...

Pas ongeveer bij 1ln3 is het ongeveer 1.. volgens mijn rekenmachine (1,098)

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 13:52 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Hoe weet je dat je die teken moet omdraaien en dus weet dat x > ....

e^x is strikt stijgend (als x > y dan e^x > e^y).
Dus ook 3e^2x is strikt stijgend.
En dus is 1 - 3e^2x strikt dalend (wegens het minteken)

We weten dat 1 - 3e^2x = 0 als x = - (1/2) ln 3
Dus vanwege het strikt dalend zijn geldt 1 - 3e^2x < 0 als x > - (1/2) ln 3

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 13:58 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

e^x is strikt stijgend (als x > y dan e^x > e^y).
Dus ook 3e^2x is strikt stijgend.
En dus is 1 - 3e^2x strikt dalend (wegens het minteken)

We weten dat 1 - 3e^2x = 0 als x = - (1/2) ln 3
Dus vanwege het strikt dalend zijn geldt 1 - 3e^2x < 0 als x > - (1/2) ln 3

Begrijp er niks van sorry...

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 14:01 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Begrijp er niks van sorry...

Laat f(x) = e^x
Dan afgeleide f ' (x) = e^x > 0 voor alle x
Dus e^x is strikt stijgend, oftewel als x > y dan e^x > e^y

Dit staat vast wel uitgelegd in je boek.

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 14:06 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

Laat f(x) = e^x
Dan afgeleide f ' (x) = e^x > 0 voor alle x
Dus e^x is strikt stijgend, oftewel als x > y dan e^x > e^y

Dit staat vast wel uitgelegd in je boek.

Nope..

Die eerste twee regels wel.

Ik snap die x > y en e^x > e^y niet..

Want e^x is toch altijd gelijk aan y?!?

quote:

Op zaterdag 27 september 2014 14:09 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Nope..

Die eerste twee regels wel.

Ik snap die x > y en e^x > e^y niet..

Want e^x is toch altijd gelijk aan y?!?

De mean value theorem gehad? Het is daar een gevolg van.