SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Zonder context weten wij dat ook niet.quote:Op zondag 28 september 2014 21:11 schreef GeschiktX het volgende:
Er ontgaat mij hier iets, want waar is de y gebleven?:
[ afbeelding ]
Kwijt. Wellicht dat alle andere dingen die op de pagina staan en die je hier hebt weggelaten, wel duidelijk maken waar ie heen is.quote:
Er ontgaat mij hier iets, want waar is de y gebleven?:
[ afbeelding ]
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
quote:
[..]
Zonder context weten wij dat ook niet.
quote:
[..]
Kwijt. Wellicht dat alle andere dingen die op de pagina staan en die je hier hebt weggelaten, wel duidelijk maken waar ie heen is.
Links en rechts vermenigvuldigen met -1 levertquote:
y'' ( 3x - 1) = - (6 + 12y)/(1-3x)
Hier loop ik vast..
y'' ( 1 - 3x) = (6 + 12y)/(1-3x)
Links en rechts delen door (1 -3x):
y" = (6 + 12y)/(1-3x)2
Veel mooier wordt ie niet, lijkt me.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
Dat dacht ik dus ook (ongeveer).. Maar het bleek dus dit te zijn:quote:
[..]
Links en rechts vermenigvuldigen met -1 levert
y'' ( 1 - 3x) = (6 + 12y)/(1-3x)
Links en rechts delen door (1 -3x):
y" = (6 + 12y)/(1-3x)2
Veel mooier wordt ie niet, lijkt me.
Hoezo mag je als je een breuk deelt door, in dit geval, (1 -3x) hem toevoegen aan de noemer? Dit is wellicht een regel die ik of vergeten ben of mij ontgaan is...
edit: zeker omdat je hem mag vermenigvuldigen als je 'het' omkeert?
quote:
[..]
Dat dacht ik dus ook (ongeveer).. Maar het bleek dus dit te zijn:
[ afbeelding ]
Hoezo mag je als je een breuk deelt door, in dit geval, (1 -3x) hem toevoegen aan de noemer? Dit is wellicht een regel die ik of vergeten ben of mij ontgaan is...
edit: zeker omdat je hem mag vermenigvuldigen als je 'het' omkeert?
Linkje voor vragen over impliciet differentieren: http://web.mit.edu/wwmath/calculus/differentiation/implicit.html
quote:
[..]
Het gaat hier om delen en niet vermenigvuldigen.
Theorie vind ik easy. Als ik het in de praktijk moet brengen, maak ik fouten..quote:
Linkje voor vragen over impliciet differentieren: http://web.mit.edu/wwmath/calculus/differentiation/implicit.html
quote:
[..]
Theorie vind ik easy. Als ik het in de praktijk moet brengen, maak ik fouten..
Ik zie het...quote:
Hoezo mag je als je een breuk deelt door, in dit geval, (1 -3x) hem toevoegen aan de noemer? Dit is wellicht een regel die ik of vergeten ben of mij ontgaan is...
edit: zeker omdat je hem mag vermenigvuldigen als je 'het' omkeert?
dy/dx en d²y/dx² vinden van y5 = x6quote:
[..]
Vroeg je net ook al.
Kom dan met de hele vraag.
Dus y=x6/5. Dat is in dit geval nogal relevante informatie, wantquote:
[..]
dy/dx en d²y/dx² vinden van y5 = x6
6x5 / 5y4
= 6x5 / 5x(6/5)*4
= (6/5)x1/5 (want 5 - 24/5 = 1/5)
De tip van de week is dus: plaats bij je volgende vraag meteen alle relevante informatie.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
Oké hartstikke bedankt voor je tijd en moeite. Is het erg als ik nog twee vragen stel? Heb je daar tijd voor ?quote:
[..]
Dus y=x6/5. Dat is in dit geval nogal relevante informatie, want
6x5 / 5y4
= 6x5 / 5x(6/5)*4
= (6/5)x1/5 (want 5 - 24/5 = 1/5)
De tip van de week is dus: plaats bij je volgende vraag meteen alle relevante informatie.
Je kunt het altijd proberen. Ik geef geen garanties af of er ook een antwoord komt.quote:
[..]
Oké hartstikke bedankt voor je tijd en moeite. Is het erg als ik nog twee vragen stel?
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
Want?quote:
[..]
Je kunt het altijd proberen. Ik geef geen garanties af of er ook een antwoord komt.
Maar goed...
Mijn eerste vraag is:
''A curve in the uv-plane is given bij u² + uv - v³ = 0. compute dv/du by implicit differentiation. Find the point (u,v) on the curve where dv/du = o and u =/ 0''
Ik ben hier allereerst opzoek gegaan naar de afgeleide en dat is:
2u + v + uv' - 3v² * v' = 0
v' ( u - 3v² ) = -2u - v
v' = (-2u - v) / (u - 3v²)
Ik moet dus nu erachter zien te komen wanneer dv /du en dat is bij +2u
Maar dan loop ik hier vast.. met wat ik vervolgens moet gaan doen..
Mijn tweede vraag is het volgende:
Hoe komen ze aan (y')², ik kwam daar toch echt bij alleen y' uit...
Want? Dit is geen aangenomen werk.quote:
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
Ik heb even een zinnetje uit je post onderstreept, omdat ik niet begrijp wat er staat. Of misschien begrijp je het zelf wel niet en klopt daarom je formulering niet, dat kan ook.quote:
''A curve in the uv-plane is given bij u² + uv - v³ = 0. compute dv/du by implicit differentiation. Find the point (u,v) on the curve where dv/du = o and u =/ 0''
Ik ben hier allereerst opzoek gegaan naar de afgeleide en dat is:
2u + v + uv' - 3v² * v' = 0
v' ( u - 3v² ) = -2u - v
v' = (-2u - v) / (u - 3v²)
Ik moet dus nu erachter zien te komen wanneer dv /du en dat is bij +2u
Maar dan loop ik hier vast.. met wat ik vervolgens moet gaan doen..
In ieder geval, ik heb je afleiding niet nagerekend, ik gok er maar op dat die klopt. Je zoekt naar een plek waar dv/du=0, en dat is dus ergens op de lijn met vergelijking -2u-v=0. Maar je weet dat je gezochte punt óók op de kromme moet liggen, dus dat u² + uv - v³ = 0
Nu heb je 2 vergelijkingen met 2 onbekenden, en die kun je oplossen.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
Ik heb het niet begrepen. Sorryquote:
[..]
Ik heb even een zinnetje uit je post onderstreept, omdat ik niet begrijp wat er staat. Of misschien begrijp je het zelf wel niet en klopt daarom je formulering niet, dat kan ook.
In ieder geval, ik heb je afleiding niet nagerekend, ik gok er maar op dat die klopt. Je zoekt naar een plek waar dv/du=0, en dat is dus ergens op de lijn met vergelijking -2u-v=0. Maar je weet dat je gezochte punt óók op de kromme moet liggen, dus dat u² + uv - v³ = 0
Nu heb je 2 vergelijkingen met 2 onbekenden, en die kun je oplossen.
Het is maar de vraag of je de oplossingen van deze vergelijking nog steeds liever exact bepaalt nadat ik je heb laten zien hoe dit gaat.quote:
Hoe zou je een vergelijking als: 0.1x4+0.1x3-12x2-25x-50 = 0, exact kunnen oplossen? Wij moeten dit nu met de Grafische Rekenmachine doen, maar ik bepaal de oplossing liever exact.
Voor de oplossing van een vierdegraadsvergelijking bestaan verschillende methoden waar ook weer allerlei varianten op bestaan, maar in de literatuur vind je vooral de methoden die zijn aangegeven door (in chronologische volgorde) Ferrari, Descartes en Euler. De oudste methode van Ferrari (een leerling en protégé van Cardano) is wel het eenvoudigst en heeft tevens het voordeel dat we de vergelijking niet eerst in gereduceerde vorm hoeven te brengen (een gereduceerde vierdemachtsvergelijking is een vergelijking waarin de term met x3 ontbreekt).
Als je een indruk wil krijgen van de manier waarop deze methode werkt, dan kan ik je aanraden deze post van mij eens door te nemen. In deze post gaat het over de oplossing van een klassiek probleem, het probleem van de kruisende ladders: in een nauwe steeg staan twee ladders van resp. 2 en 3 meter lang waarbij de onderzijde van elke ladder op de grond tegen de muur aan staat terwijl de bovenzijde van elke ladder tegen de muur aan de andere kant van de steeg steunt. In zijaanzicht kruisen de ladders elkaar op een hoogte van precies 1 meter boven de bestrating van de steeg, en gevraagd wordt nu de exacte breedte van de steeg te bepalen. Dit vraagstuk leidt tot een vierdegraadsvergelijking die niet eenvoudig is op te lossen.
Derdegraadsvergelijkingen oftewel kubische vergelijkingen kun je in het algemeen oplossen met een methode die gewoonlijk naar Cardano wordt vernoemd, maar die niet door hem is bedacht, maar wel als eerste door hem in 1545 is gepubliceerd. In zijn boek gaf Cardano ook een methode voor de oplossing van vierdegraadsvergelijkingen zoals die door zijn leerling Ferrari was ontwikkeld. Voor een complete uitleg van de naar Cardano vernoemde methode voor de oplossing van een kubische vergelijking verwijs ik je naar deze post van mij.quote:Nog eentje: x3 - 4x2 + 3 = 0
Als een derdegraadsvergelijking (met reële coëfficiënten) echter drie (verschillende) reële oplossingen heeft, dan geven de formules die de oplossingen uitdrukken deze oplossingen weer in de vorm van derdemachtswortels uit complexe getallen, die in het algemeen niet op een algebraïsche manier zijn te herleiden, en pogingen om dat wel te doen voeren dan tot een derdemachtsvergelijking die equivalent is met de oorspronkelijke, zodat je dan weer terug bent bij af. Daarom noemde men deze patstelling bij de oplossing van kubische vergelijkingen casus irreducibilis. Deze patstelling werd doorbroken door Viète, die liet zien dat de kubische vergelijking dan met behulp van goniometrie toch is op te lossen. Pas veel later is men echt gaan begrijpen hoe dit kan en waarom dit zo is, zie hier.
De kubische vergelijking die je hier geeft is echter eenvoudig exact op te lossen, want zoals Janneke al heeft aangegeven is x = 1 een oplossing van deze vergelijking, en dat houdt in dat het polynoom x3 − 4x2 + 3 een factor (x − 1) bevat. Deze factor kunnen we nu buiten haakjes halen, als volgt
x3 − 4x2 + 3 = 0
x2(x − 1) − 3x2 + 3 = 0
x2(x − 1) − 3x(x − 1) − 3x + 3 = 0
x2(x − 1) − 3x(x − 1) − 3(x − 1) = 0
(x − 1)(x2 − 3x − 3) = 0
x − 1 = 0 ∨ x2 − 3x − 3 = 0
Nu gaan we verder met het oplossen van de vierkantsvergelijking, en dat kan bijvoorbeeld als volgt (methode van Sridhara):
x2 − 3x − 3 = 0
4x2 − 12x − 12 = 0
(2x − 3)2 − 9 − 12 = 0
(2x − 3)2 = 21
2x − 3 = ±√21
x = 3/2 ± ½√21
De kubische vergelijking x3 − 4x2 + 3 = 0 heeft dus drie reële oplossingen x1 = 1, x2 = 3/2 + ½√21, x3 = 3/2 − ½√21. Uit de coëfficiënten van de kubische vergelijking is af te lezen dat moet gelden x1 + x2 + x3 = 4 en x1x2x3 = −3 en je kunt gemakkelijk nagaan dat dit inderdaad klopt.
Impliciet differentiëren van v naar u van de betrekkingquote:
Mijn eerste vraag is:
A curve in the uv-plane is given bij u² + uv - v³ = 0. compute dv/du by implicit differentiation. Find the point (u,v) on the curve where dv/du = 0 and u ≠ 0.
geeft
en dus
zodat
De voorwaarde v' = 0 geeft nu
en samen met de betrekking
hebben we nu een stelsel van twee vergelijkingen in de twee onbekenden u en v, en dit stelsel moeten we oplossen, onder de additionele voorwaarde dat u ≠ 0 moet zijn.
Uit 2u + v = 0 volgt v = −2u, en substitutie hiervan in u2 + uv − v3 = 0 geeft
De oplossing u = 0 komt te vervallen zodat we u = 1/8 vinden, en aangezien v = −2u is dan v = −1/4. De coördinaten van het gevraagde punt zijn dus
Voor de andere oplossing u = 0, v = 0 van bovenstaand stelsel is v' niet gedefinieerd, zodat je nu ook begrijpt waarom de voorwaarde u ≠ 0 werd gesteld.
Nee, je volgt de regels niet correct. Differentiëren van 5y4y' naar x met behulp van de productregel en de kettingregel geeftquote:Mijn tweede vraag is het volgende:
[ afbeelding ]
Hoe komen ze aan (y')², ik kwam daar toch echt bij alleen y' uit... [ afbeelding ]
Wijzig je nick maar in
