[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 01:30 schreef t4rt4rus het volgende:
En die gaat ie dan wel snappen.

De vraag is eerder hoeveel moeite hij gaat doen om het te snappen.

quote:

Zat net terug te denken aan middelbare.
Als we ongelijkheden moesten bepalen met absolute delen dan moest we die opsplitsen.
En die delen dan oplossen en weer controleren door in te vullen.

Dat controleren vond ik eigenlijk maar vreemd.
Als je een oplossing hebt gevonden waarom is dat dan opeens geen oplossing meer.

Daar is niets vreemds aan. Het hangt ervan af of je bij het herleiden 'iets' hebt gedaan waardoor je mogelijk extra oplossingen hebt geïntroduceerd die geen oplossing zijn van de oorspronkelijke vergelijking of ongelijkheid. Als je bijvoorbeeld beide leden van een vergelijking

A(x) = B(x)

gaat kwadrateren om vierkantswortels kwijt te raken, dan moet je de gevonden oplossingen controleren omdat

(A(x))² = (B(x))²

equivalent is met

A(x) = B(x) ∨ A(x) = −B(x)

zodat je dan behalve de (eventuele) oplossingen van de oorspronkelijke vergelijking A(x) = B(x) ook de (eventuele) oplossingen van de vergelijking A(x) = −B(x) krijgt die niet (hoeven te) voldoen aan je oorspronkelijke vergelijking.

Ik heb bij bovenstaande oplossing van de ongelijkheid |2x + 3| > |4x| ook gekwadrateerd, maar ik hoef de gevonden oplossingen niet te testen omdat |a| > |b| voor a,b ∈ R wel equivalent is met a² > b².

quote:

Maar als ze er nou gewoon gelijk bij vertellen dat die delen een domein hebben waarin ze gelijk zijn aan de originele vergelijking.
En dat de oplossing van die delen ook in dat domein moeten zitten.

Maar goed ze doen weer moeilijk door gewoon maar in te laten vullen zonder na te denken...

Wiskunde mag niet abstract zijn op de middelbare, lijkt het wel.

Maar daardoor is het juist allemaal veel moeilijker te begrijpen en is het meer een soort van invullen en regeltjes toepassen.

Had graag gezien dat ik anders les had gehad.

Misschien even voor de volledigheid: ook zonder kwadrateren is bovenstaande ongelijkheid op te lossen zonder de gevonden oplossingen te hoeven testen. Dan kun je als volgt te werk gaan.

|2x + 3| > |4x|

We zien dat x = 0 aan de ongelijkheid voldoet, aangezien 3 > 0. Dat houden we even in gedachten, maar we veronderstellen nu x ≠ 0 teneinde te kunnen bepalen welke waarden van x ongelijk aan nul aan de ongelijkheid voldoen.

Aangezien we x ≠ 0 veronderstellen mogen we nu beide leden van de ongelijkheid delen door |4x| en dat geeft

|1/2 + 3/(4x) | > 1

Als de absolute waarde van een (reëel) getal groter is dan 1, dan is dat getal zelf hetzij groter dan +1 hetzij kleiner dan −1, en krijgen we dus

1/2 + 3/(4x) > 1 ∨ 1/2 + 3/(4x) < −1

Nu 1/2 aftrekken van elk van de leden van beide ongelijkheden en we krijgen

3/(4x) > 1/2 ∨ 3/(4x) < −3/2

Nu beide leden van beide ongelijkheden vermenigvuldigen met 4/3 en we krijgen

1/x > 2/3 ∨ 1/x < −2

Voor de eerste van deze twee ongelijkheden moet gelden x > 0 aangezien 1/x < 0 voor x < 0. Vermenigvuldigen we beide leden met x, dan moet het ongelijkheidsteken dus niet omklappen en dan vinden we

1 > (2/3)·x
(2/3)·x < 1
x < 3/2

en aangezien tevens x > 0 moet zijn hebben we dus

0 < x < 3/2

Voor de tweede van bovenstaande ongelijkheden moet gelden x < 0 aangezien 1/x > 0 voor x > 0. Vermenigvuldigen we hier beide leden met x, dan moet het ongelijkheidsteken dus wel omklappen en dan vinden we

1/x < −2
1 > −2x
−2x < 1
x > −1/2

en aangezien tevens x < 0 moet zijn hebben we dus

−1/2 < x < 0

De complete oplossing van de ongelijkheid voor x ≠ 0 is dus

−1/2 < x < 0 ∨ 0 < x < 3/2

En aangezien, zoals we al hadden geconstateerd, x = 0 ook voldoet hebben we dus

−1/2 < x < 3/2

That's it.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 05:23 schreef Riparius het volgende:

[..]

De vraag is eerder hoeveel moeite hij gaat doen om het te snappen.

[..]

Daar is niets vreemds aan. Het hangt ervan af of je bij het herleiden 'iets' hebt gedaan waardoor je mogelijk extra oplossingen hebt geïntroduceerd die geen oplossing zijn van de oorspronkelijke vergelijking of ongelijkheid. Als je bijvoorbeeld beide leden van een vergelijking

Ik snap het nu ook wel.
(misschien heeft RustCohl er wat aan...)

Riparius ik vond dat op de middelbare maar vreemd.
Dat ze je het maar laten invullen, zonder uit te leggen hoe en wat.
Zie tweede helft van mijn vorige post.

[ Bericht 30% gewijzigd door t4rt4rus op 17-05-2014 10:00:47 ]

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 00:58 schreef Riparius het volgende:

[..]

Andere aanpak, speciaal voor mensen die op de lagere school niet hebben leren rekenen met breuken.

Beide leden van de ongelijkheid kwadrateren geeft

|2x+3|² > |4x|²

Maar dit is hetzelfde als

(2x+3)² > (4x)²

Uitwerken van de haakjes

4x² + 12x + 9 > 16x²

Rechterlid herleiden op nul

−12x² + 12x + 9 > 0

Beide leden delen door 3

−4x² + 4x + 3 > 0

Nu vermenigvuldig ik beide leden even met −1 omdat ik die negatieve coëfficiënt van de kwadratische term liever kwijt ben. Maar dan moeten we niet vergeten het ongelijkheidsteken om te klappen en krijgen we dus

4x² − 4x − 3 < 0

Nu gaan we eerst de nulpunten bepalen van de kwadratische veelterm in het linkerlid, oftewel, we gaan nu eerst de vergelijking

4x² − 4x − 3 = 0

oplossen. Ik zie dat ik deze veelterm kan ontbinden in factoren. Om dat te kunnen doen moeten we twee getallen hebben waarvan het product gelijk is aan 4·(−3) = −12 en waarvan de som gelijk is aan −4. Die getallen zijn +2 en −6. Ik herschrijf nu de lineaire term − 4x even als + 2x − 6x, dus

4x² + 2x − 6x − 3 = 0

Nu twee aan twee de grootste gemeenschappelijke factor buiten haakjes halen, dit geeft

2x(2x + 1) − 3(2x + 1) = 0

Nu weer de gemene factor (2x + 1) buiten haakjes halen en we hebben

(2x + 1)(2x − 3) = 0

En dus, aangezien (tenminste) één der factoren nul moet zijn

2x + 1 = 0 ∨ 2x − 3 = 0

en dit geeft

x = −1/2 ∨ x = 3/2

De grafiek van de functie f(x) = 4x² − 4x − 3 is een dalparabool, zodat we dus hebben f(x) < 0 voor

−1/2 < x < 3/2

en daarmee is de ongelijkheid opgelost. Mooi hè?

Hoezo kwafrateren?

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 09:57 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Hoezo kwafrateren?

Staat in de eerste zin waarom.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 10:01 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Staat in de eerste zin waarom.

Oké dank.

x^4 > |x|³

splitsen in

x^4 > x³ v x^4 > -x³

x^4 - x³ > 0 v x^4 + x³ > 0

x³ (x - 1 ) > 0 v x³ ( x + 1 ) > 0

x > 0 , x > 1 v x > 0 , x > -1

En vervolgens grafiek tekenen:

en dan kom ik uit op x = 0 en 1 < x < -1

echter vraag ik mij af of tijdens het berekenen het vetgedrukte geaccepteerd wordt? Zo niet, wat moet ik dan doen. Ik kan het alleen met tekening zien..

[ Bericht 0% gewijzigd door RustCohle op 17-05-2014 10:43:41 ]

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 10:25 schreef RustCohle het volgende:
Oké dank.

x^4 > x³

splitsen in

Waarom splits je?

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 10:35 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

Waarom splits je?

Is toch nodig bij absolute waarden?

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 10:38 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Is toch nodig bij absolute waarden?

Ja, maar bij je opgave is dat toch niet het geval?

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 10:41 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

Ja, maar bij je opgave is dat toch niet het geval?

Zie edit,.

x^4 > |x|³

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 10:43 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Zie edit,.

x^4 > |x|³

oke, als het antwoord klopt

x > 0 , x > 1 v x > 0 , x > -1

komt het niet overeen met

1 < x < -1

quote:

Op vrijdag 16 mei 2014 22:30 schreef RustCohle het volgende:
Wat gaat fout? Ik moet de vergelijking van een parabool berekenen met de gegevens top T en punt P.

T = (1,2 ) en P ( 2,3)

ik gebruikte de algemene vergelijking y = a ( x - xt)² + yt

y = a (2-1)² + 2

y = (2a - 1a ) (2-1) +2 geeft uiteindelijk -1a + 2 en dat is dan -1a = -2 en dat is a = 2

en dan

y = 2(x-1)² + 2

y = (2x - 2 ) (x-1) + 2 en dat geeft uiteindelijk

2x²- 2x - 2x + 2 +2

en dat geeft:

x² - 2x + 4

Wat doe ik fout>???

Ik weet niet ofdat je hem al hebt, maar: ax²+bx+c is de algemene formule voor een parabool. Je weet al a(x-1)²+2. Nu heb je nog twee variabelen: a en x. x weet je, want de parabool gaat door het punt P(2, 3). Vul voor x = 2 in en stel de formule dan gelijk aan 3.

Dan krijg je a(2-1)²+2=3 daaruit volgt a+2=3, en dan a = 1.

[ Bericht 3% gewijzigd door netchip op 17-05-2014 10:53:14 (Antwoord erbij gezet.) ]

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 10:47 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

oke, als het antwoord klopt

x > 0 , x > 1 v x > 0 , x > -1

komt het niet overeen met

1 < x < -1

Dat klopt. Ik kom ook op het vetgedrukte door mijn tekening, anders weet ik het niet..

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 10:48 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Dat klopt. Ik kom ook op het vetgedrukte door mijn tekening, anders weet ik het niet..

Volgens mij kan dat vetgedrukte sowieso niet.
Er staat bij jouw oplossing -1>x>1

Wanneer je splits moet de teken ook veranderd worden bij x =< 0
x⁴ > x³ v x⁴ < -x³

[ Bericht 6% gewijzigd door wiskundenoob op 17-05-2014 11:14:18 ]

| 2x + 3 | = 4x

2x + 3 - 4x = 0 v 2x + 3 + 4x = 0

-2x = -3 v 6x = -3
x = 3/2 x = -1/2

antwoord:

x = 3/2

Wat klopt er bij mijn berekening niet?

| x² - 2x | < 1

x² - 2x < 1 v x² - 2x > -1

x² - 2x - 1 < 0 v x² - 2x + 1 > 0

(x-1)² < 0 v x² - 2x - 1 > 2
v (x-1)² > 2
x < 1 v x > 1 +/- √2

Dus x < 1 , x > 1 +/- √2

Antwoordenmodel zegt:

1 - √2 < x < 1 , 1 < x < 1 + √2

Hoe kan ik tot die conclusie komen op tot het antwoord van het antwoordenmodel te komen met mijn berekening?

[ Bericht 13% gewijzigd door RustCohle op 17-05-2014 12:20:15 ]

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 12:06 schreef RustCohle het volgende:
| x² - 2x | < 1

x² - 2x < 1 v x² - 2x > -1

x² - 2x - 1 < 0 v x² - 2x + 1 > 0

(x-1)² < 0 v x² - 2x - 1 > 2
v (x-1)² > 2
x < 1 v x > 1 +/- √2

Dus x < 1 , x > 1 +/- √2

Antwoordenmodel zegt:

1 - √2 < x < 1 , 1 < x < 1 + √2

Hoe kan ik tot die conclusie komen op tot het antwoord van het antwoordenmodel te komen met mijn berekening?

Daarnaast klopt het antwoordenmodel voor geen zak.. x moet groter zijn dan 1, maar kleiner dan 1 + √2

Als ik 9² - 2 * 9 doe, kom ik sowieso boven de 1 uit...

Antwoordmodel klopt gewoon hoor.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 12:21 schreef nodig het volgende:

[..]

Antwoordmodel klopt gewoon hoor.

heb al geëdit.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 12:24 schreef RustCohle het volgende:

[..]

heb al geëdit.

Het is hier al 10x geroepen, mbv een tekenschema..

√x = |x|

kwadrateren levert op:

x = x² v x = -x²

- x² + x = 0 v x² + x = 0
delen door -

x² - x = 0 v x² + x = 0

x(x - 1 ) = 0 v x(x+1) =0

Bij het tekenen merk ik op dat het alleen x = 0 is en x = 1, maar waarom komt mijn berekening toch ook uit op x = -1 ?!

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 12:27 schreef nodig het volgende:

[..]

Het is hier al 10x geroepen, mbv een tekenschema..

Dat doe ik altijd. Het gaat mij met name om de berekeningen. Zie bijvoorbeeld de post hierboven.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 11:57 schreef RustCohle het volgende:
| 2x + 3 | = 4x

2x + 3 - 4x = 0 v 2x + 3 + 4x = 0

-2x = -3 v 6x = -3
x = 3/2 x = -1/2

antwoord:

x = 3/2

Wat klopt er bij mijn berekening niet?

Wat kan een absolute waarde nooit zijn?

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 12:28 schreef RustCohle het volgende:
√x = |x|

kwadrateren levert op:

x = x² v x = -x²

- x² + x = 0 v x² + x = 0
delen door -

x² - x = 0 v x² + x = 0

x(x - 1 ) = 0 v x(x+1) =0

Bij het tekenen merk ik op dat het alleen x = 0 is en x = 1, maar waarom komt mijn berekening toch ook uit op x = -1 ?!

Bestudeer is wat de absolute waarde doet. Kijk tevens naar de grafieken van de wortelfuncties op tegenoverliggende bladzijde van die opgave. + uitleg over wortelfuncties.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 12:30 schreef nodig het volgende:

[..]

Wat kan een absolute waarde nooit zijn?

negatief.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 12:34 schreef RustCohle het volgende:

[..]

negatief.

Kassa!

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 12:33 schreef nodig het volgende:

[..]

Bestudeer is wat de absolute waarde doet. Kijk tevens naar de grafieken van de wortelfuncties op tegenoverliggende bladzijde van die opgave.

Hoe doe je deze:

√(x-1) = | x -2 |

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 12:34 schreef nodig het volgende:

[..]

Kassa!

Het ging om de berekening of dat wel goed was.. Ik kom wel op het goede antwoord hoor.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 12:35 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Hoe doe je deze:

√(x-1) = | x -2 |

x - 1 = ( x - 2)²

x - 1 = x² - 4x + 4

x² - 4x - x + 4 -1 = 0

x²- 5x + 3 = 0

( x - 2,5)² = 3

x = 3 +/- √2,5

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 12:28 schreef RustCohle het volgende:
√x = |x|

kwadrateren levert op:

x = x² v x = -x²

- x² + x = 0 v x² + x = 0
delen door -

x² - x = 0 v x² + x = 0

x(x - 1 ) = 0 v x(x+1) =0

Bij het tekenen merk ik op dat het alleen x = 0 is en x = 1, maar waarom komt mijn berekening toch ook uit op x = -1 ?!

|x| kwadrateren levert geen -x² op.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 12:36 schreef jordyqwerty het volgende:

[..]

|x| kwadrateren levert geen -x² op.

Nee klopt maar vergeet niet dat het een | | absolute waarde is dus dan heb je toch twee soorten

zowel een - als een +

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 12:37 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Nee klopt maar vergeet niet dat het een | | absolute waarde is dus dan heb je toch twee soorten

zowel een - als een +

Wat kan een x^2 nooit zijn?

Juist ja.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 12:37 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Nee klopt maar vergeet niet dat het een | | absolute waarde is dus dan heb je toch twee soorten

zowel een - als een +

|x|² = |x||x|, hoe wil je daar iets negatiefs van fabriceren?

Als x < 0 geldt -x · -x = x², en als x > 0 geldt x · x = x²

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 12:39 schreef jordyqwerty het volgende:

[..]

|x|² = |x||x|, hoe wil je daar iets negatiefs van fabriceren?

Als x < 0 geldt -x · -x = x², en als x > 0 geldt x · x = x²

W(x - 1) = ( x - 2)²

(x - 1) = x² - 4x + 4

x² - 4x - x + 4 -1 = 0

x²- 5x + 3 = 0

( x - 2,5)² = 3

x = 3 +/- √2,5

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 12:59 schreef Super-B het volgende:
Goedenmiddag,

Weten jullie hoe de volgende uitdrukking vereenvoudigd moet worden?

W9^x-1

Ik zelf denk:

(9^x-1) 1/2

dus 9^{1/2x -1/2}

Dat is helemaal goed, denk je alleen dat je nu al klaar bent met de herleiding?

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 13:28 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ja?

Ik zou hooguit nog denken

1 / W9^(1/2x)

En dus

1 / 3^(1/2x)

is de stap die je al gedaan hebt. Zou je op een of andere manier dit kunnen vereenvoudigen met de exponent regels die je kent?

ps: de stappen die je net deed volg ik niet echt. Als je wilt dat ik het uitwerk moet je het maar zeggen.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 13:33 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ja!

3 ^x-1 !

Nog één, alleen betreffend logaritme:

De 1/2 hieronder vermenigvuldig ik met 2.

10log(2⁶) − 10log(1/2) = 6·10log 2 − 1 10log 2 = 5 10log1

Echter is het

7 10log2

Je hebt een klein stapje gemist. Volg je uitwerking nog eens en let op de minnen

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 13:37 schreef Super-B het volgende:

[..]

Ik zie hem niet, maar omdat ik het antwoord gezien heb, denk ik dat de vermenigvuldiging met de breuk er altijd voor zorgt dat het - teken omgedraaid wordt met + (Waarom weet ik niet? )

Bij het maken van dit soort opgaven is het belangrijk dat je alle basisregeltjes goed kent. Voor de logaritme geldt bijvoorbeeld dat , ik denk dat je de opgave nu wel kan maken.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 13:42 schreef Super-B het volgende:

[..]

Aha duidelijk. Nog twee kleine vragen:

Is:

6 5log2² hetzelfde als 6 (5log2)² qua schrijfwijze? Of is de eerste verkeerd?

Ten tweede:

3 5log2 : 2 5log2

Wordt :

3/2 5log1 --> Echter is 5log1 = 0 dus hoe moet ik dit benaderen?

Als 3/2 * 0 = 0 ?

Nee dat is niet gelijk aan elkaar en over je 2e vraag.

Je deelt 5log(2) door 5log(2) hoe is dat gelijk aan 5log(1)?

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 12:49 schreef RustCohle het volgende:

[..]

W(x - 1) = ( x - 2)²

(x - 1) = x² - 4x + 4

x² - 4x - x + 4 -1 = 0

x²- 5x + 3 = 0

( x - 2,5)² = 3

x = 3 +/- √2,5

Wat wil je overigens met deze uitwerking? Je post iets, maar maakt niet duidelijk wat je wilt.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 14:07 schreef jordyqwerty het volgende:

[..]

Wat wil je overigens met deze uitwerking? Je post iets, maar maakt niet duidelijk wat je wilt.

Vergelijking oplossen. Wanneer de vergelijking gelijk aan elkaar is, dus bij welke x.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 13:42 schreef Super-B het volgende:

[..]

Aha duidelijk. Nog twee kleine vragen:

Is:

6 5log2² hetzelfde als 6 (5log2)² qua schrijfwijze? Of is de eerste verkeerd?

Ten tweede:

3 5log2 : 2 5log2

Wordt :

3/2 5log1 --> Echter is 5log1 = 0 dus hoe moet ik dit benaderen?

Als 3/2 * 0 = 0 ?

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 13:42 schreef Super-B het volgende:

[..]

Aha duidelijk. Nog twee kleine vragen:

Is:

6 5log2² hetzelfde als 6 (5log2)² qua schrijfwijze? Of is de eerste verkeerd?

Ten tweede:

3 5log2 : 2 5log2

Wordt :

3/2 5log1 --> Echter is 5log1 = 0 dus hoe moet ik dit benaderen?

Als 3/2 * 0 = 0 ?

Gebruik nu eens superscript ([sup][/sup])voor de grondtallen van de logaritmes (zoals al vaker gevraagd), dat oogt echt veel duidelijker.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 14:08 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Vergelijking oplossen. Wanneer de vergelijking gelijk aan elkaar is, dus bij welke x.

Ik heb al een stuk dikgedrukt voor je waar het misgaat.

quote:

Op zaterdag 17 mei 2014 14:12 schreef jordyqwerty het volgende:

[..]

Ik heb al een stuk dikgedrukt voor je waar het misgaat.

Ik kom er niet uit. Snap er echt een k*t van.