SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
De vraag is eerder hoeveel moeite hij gaat doen om het te snappen.quote:
Daar is niets vreemds aan. Het hangt ervan af of je bij het herleiden 'iets' hebt gedaan waardoor je mogelijk extra oplossingen hebt geïntroduceerd die geen oplossing zijn van de oorspronkelijke vergelijking of ongelijkheid. Als je bijvoorbeeld beide leden van een vergelijkingquote:Zat net terug te denken aan middelbare.
Als we ongelijkheden moesten bepalen met absolute delen dan moest we die opsplitsen.
En die delen dan oplossen en weer controleren door in te vullen.
Dat controleren vond ik eigenlijk maar vreemd.
Als je een oplossing hebt gevonden waarom is dat dan opeens geen oplossing meer.
A(x) = B(x)
gaat kwadrateren om vierkantswortels kwijt te raken, dan moet je de gevonden oplossingen controleren omdat
(A(x))2 = (B(x))2
equivalent is met
A(x) = B(x) ∨ A(x) = −B(x)
zodat je dan behalve de (eventuele) oplossingen van de oorspronkelijke vergelijking A(x) = B(x) ook de (eventuele) oplossingen van de vergelijking A(x) = −B(x) krijgt die niet (hoeven te) voldoen aan je oorspronkelijke vergelijking.
Ik heb bij bovenstaande oplossing van de ongelijkheid |2x + 3| > |4x| ook gekwadrateerd, maar ik hoef de gevonden oplossingen niet te testen omdat |a| > |b| voor a,b ∈ R wel equivalent is met a2 > b2.
Misschien even voor de volledigheid: ook zonder kwadrateren is bovenstaande ongelijkheid op te lossen zonder de gevonden oplossingen te hoeven testen. Dan kun je als volgt te werk gaan.quote:Maar als ze er nou gewoon gelijk bij vertellen dat die delen een domein hebben waarin ze gelijk zijn aan de originele vergelijking.
En dat de oplossing van die delen ook in dat domein moeten zitten.
Maar goed ze doen weer moeilijk door gewoon maar in te laten vullen zonder na te denken...
Wiskunde mag niet abstract zijn op de middelbare, lijkt het wel.
Maar daardoor is het juist allemaal veel moeilijker te begrijpen en is het meer een soort van invullen en regeltjes toepassen.
Had graag gezien dat ik anders les had gehad.
|2x + 3| > |4x|
We zien dat x = 0 aan de ongelijkheid voldoet, aangezien 3 > 0. Dat houden we even in gedachten, maar we veronderstellen nu x ≠ 0 teneinde te kunnen bepalen welke waarden van x ongelijk aan nul aan de ongelijkheid voldoen.
Aangezien we x ≠ 0 veronderstellen mogen we nu beide leden van de ongelijkheid delen door |4x| en dat geeft
|1/2 + 3/(4x) | > 1
Als de absolute waarde van een (reëel) getal groter is dan 1, dan is dat getal zelf hetzij groter dan +1 hetzij kleiner dan −1, en krijgen we dus
1/2 + 3/(4x) > 1 ∨ 1/2 + 3/(4x) < −1
Nu 1/2 aftrekken van elk van de leden van beide ongelijkheden en we krijgen
3/(4x) > 1/2 ∨ 3/(4x) < −3/2
Nu beide leden van beide ongelijkheden vermenigvuldigen met 4/3 en we krijgen
1/x > 2/3 ∨ 1/x < −2
Voor de eerste van deze twee ongelijkheden moet gelden x > 0 aangezien 1/x < 0 voor x < 0. Vermenigvuldigen we beide leden met x, dan moet het ongelijkheidsteken dus niet omklappen en dan vinden we
1 > (2/3)·x
(2/3)·x < 1
x < 3/2
en aangezien tevens x > 0 moet zijn hebben we dus
0 < x < 3/2
Voor de tweede van bovenstaande ongelijkheden moet gelden x < 0 aangezien 1/x > 0 voor x > 0. Vermenigvuldigen we hier beide leden met x, dan moet het ongelijkheidsteken dus wel omklappen en dan vinden we
1/x < −2
1 > −2x
−2x < 1
x > −1/2
en aangezien tevens x < 0 moet zijn hebben we dus
−1/2 < x < 0
De complete oplossing van de ongelijkheid voor x ≠ 0 is dus
−1/2 < x < 0 ∨ 0 < x < 3/2
En aangezien, zoals we al hadden geconstateerd, x = 0 ook voldoet hebben we dus
−1/2 < x < 3/2
That's it.
Ik snap het nu ook wel.quote:Op zaterdag 17 mei 2014 05:23 schreef Riparius het volgende:
[..]
De vraag is eerder hoeveel moeite hij gaat doen om het te snappen.
[..]
Daar is niets vreemds aan. Het hangt ervan af of je bij het herleiden 'iets' hebt gedaan waardoor je mogelijk extra oplossingen hebt geïntroduceerd die geen oplossing zijn van de oorspronkelijke vergelijking of ongelijkheid. Als je bijvoorbeeld beide leden van een vergelijking
(misschien heeft RustCohl er wat aan...)
Riparius ik vond dat op de middelbare maar vreemd.
Dat ze je het maar laten invullen, zonder uit te leggen hoe en wat.
Zie tweede helft van mijn vorige post.
[ Bericht 30% gewijzigd door t4rt4rus op 17-05-2014 10:00:47 ]
Hoezo kwafrateren?quote:
[..]
Andere aanpak, speciaal voor mensen die op de lagere school niet hebben leren rekenen met breuken.
Beide leden van de ongelijkheid kwadrateren geeft
|2x+3|2 > |4x|2
Maar dit is hetzelfde als
(2x+3)2 > (4x)2
Uitwerken van de haakjes
4x2 + 12x + 9 > 16x2
Rechterlid herleiden op nul
−12x2 + 12x + 9 > 0
Beide leden delen door 3
−4x2 + 4x + 3 > 0
Nu vermenigvuldig ik beide leden even met −1 omdat ik die negatieve coëfficiënt van de kwadratische term liever kwijt ben. Maar dan moeten we niet vergeten het ongelijkheidsteken om te klappen en krijgen we dus
4x2 − 4x − 3 < 0
Nu gaan we eerst de nulpunten bepalen van de kwadratische veelterm in het linkerlid, oftewel, we gaan nu eerst de vergelijking
4x2 − 4x − 3 = 0
oplossen. Ik zie dat ik deze veelterm kan ontbinden in factoren. Om dat te kunnen doen moeten we twee getallen hebben waarvan het product gelijk is aan 4·(−3) = −12 en waarvan de som gelijk is aan −4. Die getallen zijn +2 en −6. Ik herschrijf nu de lineaire term − 4x even als + 2x − 6x, dus
4x2 + 2x − 6x − 3 = 0
Nu twee aan twee de grootste gemeenschappelijke factor buiten haakjes halen, dit geeft
2x(2x + 1) − 3(2x + 1) = 0
Nu weer de gemene factor (2x + 1) buiten haakjes halen en we hebben
(2x + 1)(2x − 3) = 0
En dus, aangezien (tenminste) één der factoren nul moet zijn
2x + 1 = 0 ∨ 2x − 3 = 0
en dit geeft
x = −1/2 ∨ x = 3/2
De grafiek van de functie f(x) = 4x2 − 4x − 3 is een dalparabool, zodat we dus hebben f(x) < 0 voor
−1/2 < x < 3/2
en daarmee is de ongelijkheid opgelost. Mooi hè?
Op
Oké dank.quote:
x^4 > |x|³
splitsen in
x^4 > x³ v x^4 > -x³
x^4 - x³ > 0 v x^4 + x³ > 0
x³ (x - 1 ) > 0 v x³ ( x + 1 ) > 0
x > 0 , x > 1 v x > 0 , x > -1
En vervolgens grafiek tekenen:
en dan kom ik uit op x = 0 en 1 < x < -1
echter vraag ik mij af of tijdens het berekenen het vetgedrukte geaccepteerd wordt? Zo niet, wat moet ik dan doen. Ik kan het alleen met tekening zien..
[ Bericht 0% gewijzigd door RustCohle op 17-05-2014 10:43:41 ]
Ja, maar bij je opgave is dat toch niet het geval?quote:
[..]
Is toch nodig bij absolute waarden?
Zie edit,.quote:
[..]
Ja, maar bij je opgave is dat toch niet het geval?
x^4 > |x|³
oke, als het antwoord kloptquote:
x > 0 , x > 1 v x > 0 , x > -1
komt het niet overeen met
1 < x < -1
Ik weet niet ofdat je hem al hebt, maar: ax2+bx+c is de algemene formule voor een parabool. Je weet al a(x-1)2+2. Nu heb je nog twee variabelen: a en x. x weet je, want de parabool gaat door het punt P(2, 3). Vul voor x = 2 in en stel de formule dan gelijk aan 3.quote:
Wat gaat fout? Ik moet de vergelijking van een parabool berekenen met de gegevens top T en punt P.
T = (1,2 ) en P ( 2,3)
ik gebruikte de algemene vergelijking y = a ( x - xt)² + yt
y = a (2-1)² + 2
y = (2a - 1a ) (2-1) +2 geeft uiteindelijk -1a + 2 en dat is dan -1a = -2 en dat is a = 2
en dan
y = 2(x-1)² + 2
y = (2x - 2 ) (x-1) + 2 en dat geeft uiteindelijk
2x²- 2x - 2x + 2 +2
en dat geeft:
x² - 2x + 4
Wat doe ik fout>???
Dan krijg je a(2-1)2+2=3 daaruit volgt a+2=3, en dan a = 1.
[ Bericht 3% gewijzigd door netchip op 17-05-2014 10:53:14 (Antwoord erbij gezet.) ]
Dat klopt. Ik kom ook op het vetgedrukte door mijn tekening, anders weet ik het niet..quote:
[..]
oke, als het antwoord klopt
x > 0 , x > 1 v x > 0 , x > -1
komt het niet overeen met
1 < x < -1
Volgens mij kan dat vetgedrukte sowieso niet.quote:
[..]
Dat klopt. Ik kom ook op het vetgedrukte door mijn tekening, anders weet ik het niet..
Er staat bij jouw oplossing -1>x>1
Wanneer je splits moet de teken ook veranderd worden bij x =< 0
x4 > x3 v x4 < -x3
[ Bericht 6% gewijzigd door wiskundenoob op 17-05-2014 11:14:18 ]
| 2x + 3 | = 4x
2x + 3 - 4x = 0 v 2x + 3 + 4x = 0
-2x = -3 v 6x = -3
x = 3/2 x = -1/2
antwoord:
x = 3/2
Wat klopt er bij mijn berekening niet?
2x + 3 - 4x = 0 v 2x + 3 + 4x = 0
-2x = -3 v 6x = -3
x = 3/2 x = -1/2
antwoord:
x = 3/2
Wat klopt er bij mijn berekening niet?
| x² - 2x | < 1
x² - 2x < 1 v x² - 2x > -1
x² - 2x - 1 < 0 v x² - 2x + 1 > 0
(x-1)² < 0 v x² - 2x - 1 > 2
v (x-1)² > 2
x < 1 v x > 1 +/- √2
Dus x < 1 , x > 1 +/- √2
Antwoordenmodel zegt:
1 - √2 < x < 1 , 1 < x < 1 + √2
Hoe kan ik tot die conclusie komen op tot het antwoord van het antwoordenmodel te komen met mijn berekening?
[ Bericht 13% gewijzigd door RustCohle op 17-05-2014 12:20:15 ]
x² - 2x < 1 v x² - 2x > -1
x² - 2x - 1 < 0 v x² - 2x + 1 > 0
(x-1)² < 0 v x² - 2x - 1 > 2
v (x-1)² > 2
x < 1 v x > 1 +/- √2
Dus x < 1 , x > 1 +/- √2
Antwoordenmodel zegt:
1 - √2 < x < 1 , 1 < x < 1 + √2
Hoe kan ik tot die conclusie komen op tot het antwoord van het antwoordenmodel te komen met mijn berekening?
[ Bericht 13% gewijzigd door RustCohle op 17-05-2014 12:20:15 ]
Antwoordmodel klopt gewoon hoor.quote:
| x² - 2x | < 1
x² - 2x < 1 v x² - 2x > -1
x² - 2x - 1 < 0 v x² - 2x + 1 > 0
(x-1)² < 0 v x² - 2x - 1 > 2
v (x-1)² > 2
x < 1 v x > 1 +/- √2
Dus x < 1 , x > 1 +/- √2
Antwoordenmodel zegt:
1 - √2 < x < 1 , 1 < x < 1 + √2
Hoe kan ik tot die conclusie komen op tot het antwoord van het antwoordenmodel te komen met mijn berekening?
Daarnaast klopt het antwoordenmodel voor geen zak.. x moet groter zijn dan 1, maar kleiner dan 1 + √2
Als ik 9² - 2 * 9 doe, kom ik sowieso boven de 1 uit...
√x = |x|
kwadrateren levert op:
x = x² v x = -x²
- x² + x = 0 v x² + x = 0
delen door -
x² - x = 0 v x² + x = 0
x(x - 1 ) = 0 v x(x+1) =0
Bij het tekenen merk ik op dat het alleen x = 0 is en x = 1, maar waarom komt mijn berekening toch ook uit op x = -1 ?!
kwadrateren levert op:
x = x² v x = -x²
- x² + x = 0 v x² + x = 0
delen door -
x² - x = 0 v x² + x = 0
x(x - 1 ) = 0 v x(x+1) =0
Bij het tekenen merk ik op dat het alleen x = 0 is en x = 1, maar waarom komt mijn berekening toch ook uit op x = -1 ?!
Dat doe ik altijd. Het gaat mij met name om de berekeningen. Zie bijvoorbeeld de post hierboven.quote:
[..]
Het is hier al 10x geroepen, mbv een tekenschema..
Wat kan een absolute waarde nooit zijn?quote:
| 2x + 3 | = 4x
2x + 3 - 4x = 0 v 2x + 3 + 4x = 0
-2x = -3 v 6x = -3
x = 3/2 x = -1/2
antwoord:
x = 3/2
Wat klopt er bij mijn berekening niet?
Bestudeer is wat de absolute waarde doet. Kijk tevens naar de grafieken van de wortelfuncties op tegenoverliggende bladzijde van die opgave. + uitleg over wortelfuncties.quote:
√x = |x|
kwadrateren levert op:
x = x² v x = -x²
- x² + x = 0 v x² + x = 0
delen door -
x² - x = 0 v x² + x = 0
x(x - 1 ) = 0 v x(x+1) =0
Bij het tekenen merk ik op dat het alleen x = 0 is en x = 1, maar waarom komt mijn berekening toch ook uit op x = -1 ?!
negatief.quote:
[..]
Wat kan een absolute waarde nooit zijn?
Hoe doe je deze:quote:
[..]
Bestudeer is wat de absolute waarde doet. Kijk tevens naar de grafieken van de wortelfuncties op tegenoverliggende bladzijde van die opgave.
√(x-1) = | x -2 |
