[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Heeft iemand een idee van wie de definitie van de determinant van nxn matrices is? Ik weet dat Cauchy in 1812 een verhandeling over determinanten heeft geschreven en het woord "determinant" in zijn huidige betekenis heeft ingevoerd. Ik weet alleen niet of hij ook de definitie

heeft ingevoerd. Ook verwijzingen naar bronnen waar ik misschien het antwoord kan vinden zijn welkom

quote:

Op dinsdag 4 maart 2014 08:01 schreef woop_woop_woop het volgende:
Heeft iemand een idee van wie de definitie van de determinant van nxn matrices is? Ik weet dat Cauchy in 1812 een verhandeling over determinanten heeft geschreven en het woord "determinant" in zijn huidige betekenis heeft ingevoerd. Ik weet alleen niet of hij ook de definitie
[ afbeelding ]
heeft ingevoerd. Ook verwijzingen naar bronnen waar ik misschien het antwoord kan vinden zijn welkom

De formule die je geeft wordt wel toegeschreven aan Leibniz (echter niet in deze notatie) en is dus ouder dan Cauchy. Er is een artikel van Binet geschreven in 1812 maar gepubliceerd in 1813 (lees online) waarin hij de vermenigvuldiging van determinanten bespreekt, maar niet in de thans gebruikelijke notatie. In de daarop volgende jaargang van hetzelfde tijdschrift staat de verhandeling van Cauchy die je kennelijk bedoelt (lees online), eveneens geschreven in 1812 en voorgedragen op dezelfde dag als die van Binet, maar pas gepubliceerd in 1815. In dit artikel introduceert Cauchy de moderne rangschikking van de elementen van een determinant in een vierkant en de dubbele subscript notatie. Hij gebruikt alleen nog niet de verticale strepen, die werden in 1841 geïntroduceerd door Cayley. De scan van het artikel van Cauchy is helaas slecht te lezen, maar de passage waarin hij het woord determinant in de huidige betekenis introduceert staat op p. 51:

M. Gauss s'en est servi avec avantage dans ses Recherches analytiques, pour découvrir les propriétés générales des formes du second degré, c'est-à-dire, des polynomes du second degré à deux ou à plusieurs variables; et il a désigné ces mêmes fonctions sous le nom de déterminans. Je conserverai cette dénomination qui fournit un moyen facile d'énoncer les résultats; j'observerai seulement qu'on donne aussi quelquefois aux fonctions dont il s'agit le nom de résultantes à deux ou à plusieurs lettres. Ainsi les deux expressions suivantes, déterminant et résultante, devront être regardées comme synonymes.

Cauchy verwijst dus naar Gauss (om precies te zijn, naar diens Disquisitiones arithmeticae, § 154, lees online).

Er zijn erg veel mensen die bijdragen hebben geleverd aan de theorie van de determinanten, te veel om hier de revue te laten passeren. Het standaardwerk op dit gebied is Thomas Muir, The Theory of Determinants in the Historical Order of Development, 1906-1923, 4 vols. Samen meer dan duizend bladzijden(!) en ook beschikbaar als Dover reprint (1960). Aangezien er geen copyright meer op dit werk rust, is het ook legaal beschikbaar via archive.org (lees online of download als PDF of als DjVu).

Een overzicht vind je verder in Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, 1972, vol. 2, hoofdstuk 33: Determinants and Matrices. Beslist raadplegen, hier vind je veel verwijzingen naar primaire bronnen die je in de meeste gevallen ook weer online kunt vinden.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 06-03-2014 06:04:24 ]

@riparius, compleet off topic ( of tenminste een beetje ) een vraag uit nieuwsgierigheid: wat voor soort onderzoek, werk of studie houd je je mee bezig? Je weet wel heel erg veel van een brede range aan beta onderwerpen

quote:

Op dinsdag 4 maart 2014 18:37 schreef Amoeba het volgende:
Daar ga je geen antwoord op krijgen.

waarom niet dan? Mis ik iets ?

quote:

Op dinsdag 4 maart 2014 18:45 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik ben zijn secretaresse niet, maar hij beantwoordt geen privé vragen (tot op heden). Lees zijn PoHi maar eens door, dan kun je je antwoord zelf verzinnen.

dan zal hij dat wel niet willen vertellen, en dat betekent ook dat ik er geen vraag meer over stel. Duidelijk is voor mij wel dat we het niet over de gemiddelde wiskunde student hebben en meer richting gepromoveerde wiskundige met geschiedkundige interesses moeten denken.

Maar bovenal voor de kwaliteitsreacties

quote:

Op dinsdag 4 maart 2014 18:52 schreef Amoeba het volgende:

[..]

En juist daar trek je te snel conclusies.

prima, ik neem dat van je aan maar laten we het daar bij houden. Ter voorkoming van verdere topicvervuiling en ivm mogelijke privacywens.

Hallo allemaal,

Zij

en

gegeven door
.
Mijn opdracht is om het beeld van S onder phi te vinden. Omdat

hoef ik (1/2,1) niet te bekijken, en verder vond ik dat
,
wat ellipsen zijn als je |z| vast neemt en theta laat lopen. Als |z| = 1 krijgen we als beeld het interval [2,-2] en als |z| = 2 krijgen we een ellips waar alle andere ellipsen binnen liggen. Het is nu intuitief wel duidelijk uit de continuiteit van phi dat alle punten binnen die grote ellips in phi(S) liggen, maar is er een elegante manier om dit hard te maken? Een stelling uit de topologie misschien? Ik heb nog nauwelijks topologie gehad, en ik heb het gevoel dat dit er mee te maken heeft. Ik vind het vrij vervelend om voor elk punt een ellips in het beeld waar dat punt op ligt te construeren...

[ Bericht 0% gewijzigd door JWF op 04-03-2014 20:31:36 ]

quote:

Op dinsdag 4 maart 2014 19:43 schreef JWF het volgende:
Hallo allemaal,

Zij

en

gegeven door
.
Mijn opdracht is om het beeld van S onder phi te vinden. Omdat

hoef ik (1/2,1) niet te bekijken, en verder vond ik dat
,
wat ellipsen zijn als je |z| vast neemt en theta laat lopen. Als |z| = 1 krijgen we als beeld het interval [2,-2] en als |z| = 2 krijgen we een ellips waar alle andere ellipsen binnen liggen. Het is nu intuitief wel duidelijk uit de continuiteit van phi dat alle punten binnen die grote ellips in phi(S) liggen, maar is er een elegante manier om dit hard te maken? Een stelling uit de topologie misschien? Ik heb nog nauwelijks topologie gehad, en ik heb het gevoel dat dit er mee te maken heeft. Ik vind het vrij vervelend om voor elk punt een ellips in het beeld waar dat punt op ligt te construeren...

Daar moeten cirkels uit komen, geen 'algemene' ellipsen.

Hoe dat zo? Je hebt toch

(met theta natuurlijk het argument en |z| de modulus). Er gaat dan hierboven iets fout, want dat zijn echt geen cirkels.

quote:

Op dinsdag 4 maart 2014 20:33 schreef JWF het volgende:
Hoe dat zo? Je hebt toch

(met theta natuurlijk het argument en |z| de modulus). Er gaat dan hierboven iets fout, want dat zijn echt geen cirkels.

Als je hebt

w = z + 1/z

dan is

w = (r + 1/r)·cos φ + i·(r − 1/r)·sin φ

voor

z = r·e^iφ

Als je r constant houdt, dan krijg je voor r ≠ 1 en tevens r ≠ 0 inderdaad een ellips in het w-vlak als beeld van z = r·e^iφ, als je φ het interval [0, 2π] laat doorlopen, terwijl de eenheidscirkel in het w-vlak wordt afgebeeld op het reële interval [−2, 2]. Houd je daarentegen φ constant dan geeft z = r·e^iφ in het w-vlak een hyperbool als je r het interval (0, ∞) laat doorlopen mits φ ≠ k·½π, k ∈ Z. Zo geeft je polaire grid in het z-vlak dus een set ellipsen en een set hyperbolen in het w-vlak die elkaar allemaal loodrecht snijden en die ook allemaal dezelfde brandpunten hebben, namelijk de beeldpunten van −2 en 2.

quote:

Op dinsdag 4 maart 2014 20:33 schreef JWF het volgende:
Hoe dat zo? Je hebt toch

(met theta natuurlijk het argument en |z| de modulus). Er gaat dan hierboven iets fout, want dat zijn echt geen cirkels.

Laat maar, ik had de vraag verkeerd gelezen.

quote:

Op dinsdag 4 maart 2014 16:20 schreef Riparius het volgende:

[..]

Een overzicht vind je verder in Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, 1972, vol. 2, hoofdstuk 33: Determinants and Matrices. Beslist raadplegen, hier vind je veel verwijzingen naar primaire bronnen die je in de meeste gevallen ook weer online kunt vinden.

Top, fantastische post! In de laatste referentie die je noemt staat inderdaad een Franse brief + vertaling van Leibniz waarin hij inderdaad een determinant lijkt te berekenen. Dit wil natuurlijk niet zeggen dat hij ook de eerste is die die formule bedacht heeft (of dat hij überhaupt die formule bedacht heeft), maar maakt het wel aannemelijk dat hij er een aandeel in heeft gehad.

Dat is inderdaad het artikel waar ik het over had
In het boek wat ik voor het vak "History of Mathematics" gebruik ("A History of Mathematics" van Uta Merzbach en Carl Boyer), werden deze artikelen genoemd. Voor de rest staat er helaas niet zoveel in over determinanten.

Ik zal vooral de laatste bron gebruiken, mijn Frans is helaas onder middelbare-school niveau

1/(2√u)*6=3/√u

huh hoe dan?

quote:

Op donderdag 6 maart 2014 21:57 schreef rareziekte het volgende:
1/(2√u)*6=3/√u

huh hoe dan?

6 / 2 = 3

quote:

Op donderdag 6 maart 2014 22:02 schreef Riparius het volgende:

[..]

6 / 2 = 3

Dat snap ik, maar de rekenkundige bewerking vind ik lastig. Hoe maak ik dit stap voor stap kleiner?

1/ 3 ^3sqrtu^2 * (3x^2+3)

Om te beginnen kun je die wortel wegewerken tot of |u|, en dan gewoon haakjes wegwerken?

Gevonden. Dank jullie wel!

quote:

Op vrijdag 7 maart 2014 19:21 schreef rareziekte het volgende:

Gevonden. Dank jullie wel!

Je bedoelde kennelijk dit, maar je herleiding klopt niet. Ga eerst maar eens deze cursus doorwerken.

quote:

Op vrijdag 7 maart 2014 20:05 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je bedoelde kennelijk dit, maar je herleiding klopt niet. Ga eerst maar eens deze cursus doorwerken.

Volgens mij hoort die drie in de noemer bij de wortel. Dan klopt 't toch wel?