Als topologische ruimtes boven je niveau zijn, dan heb je wel een behoorlijk pittig voorbeeld gekozen. Bewijs eerst maar dat [0,1] compact is.quote:Op donderdag 23 januari 2014 21:07 schreef Novermars het volgende:
Als je moet bewijzen dat een bepaalde set compact is met de (Finite) Open Cover definitie, hoe doe je dit? Ik snap wel hoe ik een tegenvoorbeeld moet bedenken en dit te noteren als een set niet compact is, maar het omgekeerde bewijzen lukt nog niet. Een zoektocht op Google heeft ook weinig opgeleverd, veelal hebben ze het over allerlei topologisch ruimtes en dat is nog boven mijn niveau.
Concreet: Hoe bewijs je bijvoorbeeld compact is?
O, maar als je dat eenmaal weet, dan hoef je alleen nog maar te bewijzen dat het product van twee compacte ruimten compact is.quote:Op donderdag 23 januari 2014 21:36 schreef Novermars het volgende:
Dat bewijs staat in mijn boek en kan ik goed volgen. Is er misschien enig leesvoer dat relatief snel te begrijpen is zodat ik mijn voorbeeld kan oplossen?
Of kan ik het beter laten zitten en maar Heine-Borel misbruiken?
Verklaar je nader en leg uit! Ik geniet echt van dit soort wiskunde. Hopelijk ga ik het nog vaker tegenkomen tijdens Ectrie, maar ik vrees het ergste...quote:Op donderdag 23 januari 2014 21:38 schreef thabit het volgende:
[..]
O, maar als je dat eenmaal weet, dan hoef je alleen nog maar te bewijzen dat het product van twee compacte ruimten compact is.
Die verzameling W van jou is het product van twee intervallen: [-1,1] x [-1,1].quote:Op donderdag 23 januari 2014 21:41 schreef Novermars het volgende:
[..]
Verklaar je nader en leg uit! Ik geniet echt van dit soort wiskunde. Hopelijk ga ik het nog vaker tegenkomen tijdens Ectrie, maar ik vrees het ergste...
De un-1 is de populatie van de vorige maand waarmee je de huidige populatie kan berekenen. Om het aantal schildpadden na acht maanden te berekenen begin je met het invullen van de startpopulatie (dat zijn die vier schildpadden dus). Het antwoord wat daar uitkomt vul je in waar je eerst die 4 invulde, waardoor je het aantal schildpadden na 2 maanden weet. En dat tot je de populatie na 8 maanden weet.quote:Op donderdag 23 januari 2014 21:43 schreef Drolflap het volgende:
OPGAVE II Zeno de schildpaddenkweker
Zeno is een beroemd kweker van schildpadden; door Zeno gekweekte schildpadden worden door liefhebbers in heel Nederland gekocht. Om gezonde schildpadden te kweken, doet Zeno veel onderzoek.
Zo heeft hij een recursieve formule bedacht om uit te rekenen hoe snel een populatie schildpadden zich uitbreidt:
un = un–1*2 + 4
hierin is u¬n het aantal schildpadden na n maanden.
Van een populatie is bekend dat in het begin (na 0 maanden dus) 4 schildpadden zijn
4 (3p) Gebruik de formule om te berekenen hoeveel schildpadden er zijn na 8 maanden. Beschrijf nauwkeurig hoe je te werk gaat.
Ik als wiskunde leek snap hier niets van. Hoe moet ik hier te werk gaan ?
Bedankt ik snap het, was gewoon totaal niet logisch aan het nadenken.quote:Op donderdag 23 januari 2014 21:51 schreef Rezania het volgende:
[..]
De un-1 is de populatie van de vorige maand waarmee je de huidige populatie kan berekenen. Om het aantal schildpadden na acht maanden te berekenen begin je met het invullen van de startpopulatie (dat zijn die vier schildpadden dus). Het antwoord wat daar uitkomt vul je in waar je eerst die 4 invulde, waardoor je het aantal schildpadden na 2 maanden weet. En dat tot je de populatie na 8 maanden weet.
SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt."the greatest enemy of knowledge is not ignorance, it is the illusion of knowledge." -Stephen W. Hawking
quote:Op donderdag 23 januari 2014 21:53 schreef Drolflap het volgende:
[..]
Bedankt ik snap het, was gewoon totaal niet logisch aan het nadenken.
Antwoordenmodel gaf het ook een beetje raar weer:Ik snap dat antwoordenmodel ook niet. Je kan het wel via de GR berekenen, maar dan moet je met ans werken.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Het wordt natuurlijk pas echt een leuke opgave als je het aantal schildpadden na 100 maanden of zo moet berekenen. En nee, geen rekenmachines. Dan moet je dus een gesloten uitdrukking afleiden voor un.quote:Op donderdag 23 januari 2014 21:51 schreef Rezania het volgende:
[..]
De un-1 is de populatie van de vorige maand waarmee je de huidige populatie kan berekenen. Om het aantal schildpadden na acht maanden te berekenen begin je met het invullen van de startpopulatie (dat zijn die vier schildpadden dus). Het antwoord wat daar uitkomt vul je in waar je eerst die 4 invulde, waardoor je het aantal schildpadden na 2 maanden weet. En dat tot je de populatie na 8 maanden weet.
Ja, maar denk niet dat hij daar al aan toe is. Is trouwens best wel makkelijk vergeleken met de stof die hier normaal gesproken langs komt, je krijgt het zelfs bij wiskunde A.quote:Op donderdag 23 januari 2014 21:56 schreef Riparius het volgende:
[..]
Het wordt natuurlijk pas echt een leuke opgave als je het aantal schildpadden na 100 maanden of zo moet berekenen. En nee, geen rekenmachines. Dan moet je dus een gesloten uitdrukking afleiden voor un.
Of algemeen bewijzen dat elk gesloten interval [a,b] compact is.quote:Op donderdag 23 januari 2014 21:50 schreef Novermars het volgende:
Je bedoelt ?
@Thabit Zou je het misschien kunnen uitwerken? En misschien nog wel handiger, als je bijvoorbeeld een set hebt, hoe zou je het dan doen? Eerst bewijzen dat en compact zijn?
Als je eenmaal weet dat producten van gesloten intervallen [a,b] compact zijn, dan is het tijd voor de volgende stelling: een gesloten deel van een compacte ruimte is compact. Bewijs die eerst maar; die is namelijk wat eenvoudiger.quote:
Inhomogene lineaire recursies bij wiskunde A? Leg jij iemand met alleen wiskunde A dan maar even uit hoe je hier op un = 2n+3 − 4 komt.quote:Op donderdag 23 januari 2014 21:57 schreef Rezania het volgende:
[..]
Ja, maar denk niet dat hij daar al aan toe is. Is trouwens best wel makkelijk vergeleken met de stof die hier normaal gesproken langs komt, je krijgt het zelfs bij wiskunde A.
Tot op een bepaald niveau, het moet natuurlijk niet de algebrakennis van A'ers overstijgen.quote:Op donderdag 23 januari 2014 22:08 schreef Riparius het volgende:
[..]
Inhomogene lineaire recursies bij wiskunde A? Leg jij iemand met alleen wiskunde A dan maar even uit hoe je hier op un = 2n+3 + 4 komt.
Gaat 'm niet lukken. Volgens mij krijg je de inhomogene varianten niet eens bij wiskunde D.quote:Op donderdag 23 januari 2014 22:08 schreef Riparius het volgende:
[..]
Inhomogene lineaire recursies bij wiskunde A? Leg jij iemand met alleen wiskunde A dan maar even uit hoe je hier op un = 2n+3 − 4 komt.
Ik haal dan termen door elkaar waarschijnlijk.quote:Op donderdag 23 januari 2014 22:15 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Gaat 'm niet lukken. Volgens mij krijg je de inhomogene varianten niet eens bij wiskunde D.
Dat is juist, maar bij mijn weten geen inhomogene variant.quote:Op donderdag 23 januari 2014 22:14 schreef Rezania het volgende:
[..]
Tot op een bepaald niveau, het moet natuurlijk niet de algebrakennis van A'ers overstijgen.
Ik kan me herinneren dat ik heb geleerd hoe van je een recursieve formule een directe formule kan maken, kan dat kloppen? Ik weet eigenlijk niet meer zoveel van A.
Waar had ik het over inhomogeen?quote:Op donderdag 23 januari 2014 22:15 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Dat is juist, maar bij mijn weten geen inhomogene variant.
Mag ik gebruiken dat een set compact is iff gesloten en begrensd (aka Heine-Borel)? Of krijg ik dan een cirkelredenering omdat Heine-Borel leunt op het bewijs dat een gesloten subset compact is?quote:Op donderdag 23 januari 2014 22:01 schreef thabit het volgende:
[..]
Als je eenmaal weet dat producten van gesloten intervallen [a,b] compact zijn, dan is het tijd voor de volgende stelling: een gesloten deel van een compacte ruimte is compact. Bewijs die eerst maar; die is namelijk wat eenvoudiger.
Dan krijg je een cirkelredenering. Je wilt Heine-Borel immers bewijzen vanuit het basisgeval dat [a,b] compact is.quote:Op donderdag 23 januari 2014 22:30 schreef Novermars het volgende:
[..]
Mag ik gebruiken dat een set compact is iff gesloten en begrensd (aka Heine-Borel)? Of krijg ik dan een cirkelredenering omdat Heine-Borel leunt op het bewijs dat een gesloten subset compact is?
Ik heb het bewijs maar opgezocht. Ik was wel goed op weg met hetgeen ik zelf bedacht had, maar ik blijf dit soort dingen moeilijk vinden om zelf te verzinnen zonder hints etc.quote:Op donderdag 23 januari 2014 22:32 schreef thabit het volgende:
[..]
Dan krijg je een cirkelredenering. Je wilt Heine-Borel immers bewijzen vanuit het basisgeval dat [a,b] compact is.
Het zou kunnen dat je dat geleerd hebt bij wiskunde A (maar het zal waarschijnlijk alleen om lineaire recurrentievergelijkingen gaan, of nog simpelere gevallen). Voor wat ingewikkeldere recurrenties worden vaak voortbrengende functies (bekender onder de Engelse term generating functions) gebruikt, een techniek waarbij je een polynoom met u0, u1, u2, ... als coëfficiënten gebruikt. Best een aparte techniek, maar vaak wel handig.quote:Op donderdag 23 januari 2014 22:14 schreef Rezania het volgende:
[..]
Tot op een bepaald niveau, het moet natuurlijk niet de algebrakennis van A'ers overstijgen.
Ik kan me herinneren dat ik heb geleerd hoe van je een recursieve formule een directe formule kan maken, kan dat kloppen? Ik weet eigenlijk niet meer zoveel van A.
Ik vind die voortbrengende functies helemaal niet handig om een eenvoudige lineaire recursie op te lossen. Met de methode van de zogeheten karakteristieke vergelijking gaat het veel eenvoudiger.quote:Op donderdag 23 januari 2014 23:12 schreef randomo het volgende:
[..]
Het zou kunnen dat je dat geleerd hebt bij wiskunde A (maar het zal waarschijnlijk alleen om lineaire recurrentievergelijkingen gaan, of nog simpelere gevallen). Voor wat ingewikkeldere recurrenties worden vaak voortbrengende functies (bekender onder de Engelse term generating functions) gebruikt, een techniek waarbij je een polynoom met u0, u1, u2, ... als coëfficiënten gebruikt. Best een aparte techniek, maar vaak wel handig.
Voor de geinteresseerden: generatingfunctionology is een gratis pdf'je met een hele zooi informatie over voortbrengende functies (ik moet bekennen dat ik hem zelf nooit uitgelezen heb, maar zelfs alleen het eerste hoofdstuk bevat al erg veel informatie).
Als je de formule x0+x1+x2+...+xn=xn-1/(x+1) kent, kan je gewoon u1, u2, u3, u4, ... etc. uitschrijven (uitdrukken in u0) en kijken of je een patroon ziet. Een beproefde techniek, toegepast door vele beroemde wiskundigen
Ik weet niet in hoeveel detail het bewezen dient te worden, maar je hebt op dit punt enkel bewezen dat de functie niet continu differentieerbaar is. Okee, als je wat stellingen gebruikt heb je ook bewezen dat f niet differentieerbaar is, maar het is wel belangrijk om te beseffen dat de afgeleide van een differentieerbare functie niet continu hoeft te zijn. Ik zou in elk geval direct de definitie van afgeleide toepassen hier.quote:Op donderdag 23 januari 2014 23:31 schreef Miraculously het volgende:
Ik heb de volgende opdracht:
Onderzoek bij de volgende functies voor welke x ze wel gedefinieerd, maar niet differentieerbaar zijn.
f(x) = |x-1|.
Ik weet dat geldt voor f(x) = |x-1| { -(x-1) voor x<1 en x-1 voor x>1 (iemand die weet hoe ik deze stuksgewijs krijg, lukte me niet met LaTex).
Verder weet ik dat het minimum, en dus de knik, zit op het punt (1,0) waar de functie niet differentieerbaar is.
Is het nu voldoende (en klopt het ook) als ik zeg dat:
f'(x) = |x-1|' { -1 voor x<1 en 1 voor x>1
Waardoor we krijgen dat
Waardoor dus f(x)=|x-1| niet differentieerbaar is in het punt x=1.
Voor lineare recursievergelijkingen is inderdaad wat eenvoudiger (er is niet voor niets een heel boek over geschreven), maar volgens mij zijn voortbrengende functies ook nuttig voor ingewikkeldere functies, en hebben ze meer functies dan alleen het oplossen van de recursievergelijking.quote:Op donderdag 23 januari 2014 23:31 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ik vind die voortbrengende functies helemaal niet handig om een eenvoudige lineaire recursie op te lossen. Met de methode van de zogeheten karakteristieke vergelijking gaat het veel eenvoudiger.
Als dat alles is wat er van mijn uitleg destijds is blijven hangen, dan is dat niet veel ...quote:Op vrijdag 24 januari 2014 07:13 schreef Amoeba het volgende:
Die karakteristieke vergelijking staat me nog iets van bij. Misschien komt dat dus wel bij wiskunde D aan de orde.
Oh…quote:Op vrijdag 24 januari 2014 07:43 schreef Riparius het volgende:
[..]
Als dat alles is wat er van mijn uitleg destijds is blijven hangen, dan is dat niet veel ...
Wil je weten hoe je de gesloten uitdrukking voor de termen van de rij van Fibonacci afleidt met behulp van de voortbrengende functie F(x) = x/(1 − x − x²) dan moet je Stillwell, Mathematics and Its History, ³2010, p. 192-194 maar eens raadplegen. Die schrijft het helemaal uit (wat ik hier niet ga doen) en dan zie je dat het niet handig is. Neemt natuurlijk niet weg dat je met voortbrengende functies nog heel wat andere interessante dingen kunt doen.
Bedankt voor je antwoord.quote:Op vrijdag 24 januari 2014 00:11 schreef thabit het volgende:
[..]
Ik weet niet in hoeveel detail het bewezen dient te worden, maar je hebt op dit punt enkel bewezen dat de functie niet continu differentieerbaar is. Okee, als je wat stellingen gebruikt heb je ook bewezen dat f niet differentieerbaar is, maar het is wel belangrijk om te beseffen dat de afgeleide van een differentieerbare functie niet continu hoeft te zijn. Ik zou in elk geval direct de definitie van afgeleide toepassen hier.
Gebruik de ε,δ definitie van de limiet om te laten zien dat limh→0 (f(1+h) − f(1))/h niet bestaat, dan heb je bewezen dat f niet differentieerbaar is in het punt x = 1. Verder wijst Thabit er terecht op dat je niet zomaar (impliciet of expliciet) aan mag nemen dat de afgeleide continu is in die punten waar je functie wel differentieerbaar is.quote:Op vrijdag 24 januari 2014 19:46 schreef Miraculously het volgende:
[..]
Bedankt voor je antwoord.
Met de definitie van de afgeleide bedoel je f'(a) = limx→a (f(x) - f(a)) / (x - a) neem ik aan?
Dat voorbeeld (een gesloten uitdrukking voor de termen van de rij van Fibonacci) staat overigens ook in de link die ik gaf. Ze gaan er daar wel redelijk snel doorheen (in ongeveer een bladzijde). Waarmee ik overigens niet bedoel dat het een handige manier is.quote:Op vrijdag 24 januari 2014 07:43 schreef Riparius het volgende:
[..]
Als dat alles is wat er van mijn uitleg destijds is blijven hangen, dan is dat niet veel ...
Wil je weten hoe je de gesloten uitdrukking voor de termen van de rij van Fibonacci afleidt met behulp van de voortbrengende functie F(x) = x/(1 − x − x²) dan moet je Stillwell, Mathematics and Its History, ³2010, p. 192-194 maar eens raadplegen. Die schrijft het helemaal uit (wat ik hier niet ga doen) en dan zie je dat het niet handig is. Neemt natuurlijk niet weg dat je met voortbrengende functies nog heel wat andere interessante dingen kunt doen.
De vierkantsvergelijking die je krijgt bij een homogene tweede orde lineaire recursie met constante coëfficiënten heeft altijd twee oplossingen. Het wordt alleen iets lastiger als de twee oplossingen samenvallen. Wat je dan moet doen is niet helemaal triviaal, en dat heb ik destijds met opzet ook niet uitgelegd. Ik had gehoopt dat Amoeba daar wel een kritische vraag over zou stellen, maar dat gebeurde niet ...quote:Op vrijdag 24 januari 2014 20:31 schreef randomo het volgende:
[..]
Dat voorbeeld (een gesloten uitdrukking voor de termen van de rij van Fibonacci) staat overigens ook in de link die ik gaf. Ze gaan er daar wel redelijk snel doorheen (in ongeveer een bladzijde). Waarmee ik overigens niet bedoel dat het een handige manier is.
Ik moet bekennen dat ik zelf ook weer even moest nadenken hoe die methode van de karakteristieke vergelijking ook al weer werkte. Maar eigenlijk is het heel simpel: je neemt aan dat xn een oplossing is, daaruit vindt je een kwadratische vergelijking met (hopelijk) twee oplossingen. Door een lineaire combinatie van deze twee oplossingen te maken kan je een nieuwe oplossing maken, die voldoet aan een randvoorwaarde. Als je alleen de eerste stap onthoudt (het aannemen dat er een oplossing van de vorm xn is), volgt de rest vrij natuurlijk.
Met voortbrengende functies kan je laten zien dat als de karakteristieke vergelijking kwadratisch is en een dubbel nulpunt heeft (dus van de vorm (x - c)2 = 0 is), een gesloten uitdrukking voor de recursie ak = kck-1a1 - (k - 1)cka0 is. Maar ik verwacht stiekem wel dat Riparius nog met een andere manier op de proppen komtquote:Op vrijdag 24 januari 2014 20:42 schreef Riparius het volgende:
[..]
De vierkantsvergelijking die je krijgt bij een homogene tweede orde lineaire recursie met constante coëfficiënten heeft altijd twee oplossingen. Het wordt alleen iets lastiger als de twee oplossingen samenvallen. Wat je dan moet doen is niet helemaal triviaal, en dat heb ik destijds met opzet ook niet uitgelegd. Ik had gehoopt dat Amoeba daar wel een kritische vraag over zou stellen, maar dat gebeurde niet ...
Zeer veel dank!!quote:Op woensdag 22 januari 2014 22:33 schreef Riparius het volgende:
[..]
Een klassiek meetkundig bewijs verloopt volgens een vast stramien: Gegeven: ..., Te bewijzen: ..., Bewijs: ..., en eindigt natuurlijk met QED (Quod Erat Demonstrandum 'hetgeen te bewijzen was').
Je moet dus eerst bedenken wat je precies als gegeven wil veronderstellen (ja, een ruit natuurlijk) en wat je dan precies wil aantonen. Begin met te bedenken wat de definitie is van een ruit. Dat is niet evident, want er worden verschillende definities gehanteerd voor een ruit. In oudere meetkundeboeken (en bijvoorbeeld ook nog in de Franse Wikipedia) definieert men een ruit als een parallellogram waarvan twee aanliggende zijden gelijk zijn, maar een ruit wordt tegenwoordig meestal gedefinieerd als een vierhoek met vier gelijke zijden (zo bijvoorbeeld in de Nederlandse en de Engelse Wikipedia). De gekozen definitie heeft uiteraard consequenties, want als je de oude definitie hanteert, dan is de eigenschap dat een ruit vier gelijke zijden heeft een stelling, evenals het omgekeerde, namelijk dat een vierhoek met vier gelijke zijden een ruit is. En, vice versa, met de nieuwe definitie van een ruit is de bewering dat een ruit een parallellogram is weer een stelling.
Maar goed, teken een plaatje van een ruit en duid daarbij de hoekpunten aan met de letters A t/m D:
[ afbeelding ]
Teken ook de beide diagonalen AC en BD van de ruit.
Het is niet voldoende om alleen een plaatje te tekenen, je moet hier ook in woorden bij aangeven wat je precies als zijnde gegeven veronderstelt:
Gegeven: een ruit ABCD met diagonalen AC en BD.
Vervolgens moet je precies formuleren wát je nu eigenlijk wil bewijzen, waarbij je uiteraard kunt (en moet) refereren aan hetgeen je als gegeven hebt verondersteld. In dit geval zou je dus kunnen zeggen:
Te bewijzen: ∠BAC = ∠CAD.
Nu komt het echte werk. Bedenk dat je bij een bewijs een beroep mag doen op eerder bewezen stellingen.
Bewijs: Op grond van de definitie van een ruit is AB = BC, zodat driehoek ABC gelijkbenig is. In een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken gelijk, zodat
∠BAC = ∠BCA.
Aangezien een ruit een parallellogram is en in een parallellogram overstaande zijden evenwijdig zijn, is zijde BC evenwijdig aan zijde AD. Dus zijn ∠BCA en ∠CAD verwisselende binnenhoeken (Z-hoeken) en deze zijn ook gelijk, dus
∠BCA = ∠CAD.
Ergo
∠BAC = ∠CAD,
QED
Het bewijs voor elk van de drie andere hoekpunten verloopt uiteraard geheel analoog.
Laten we eens uitgaan van een rij {un}, n∈ N0 met louter reële termen die aan een homogene lineaire tweede orde recursie met constante en reële coëfficiënten voldoet, en welquote:Op zaterdag 25 januari 2014 10:17 schreef randomo het volgende:
Ik blijf het allemaal een beetje mysterieus vinden... Kan iemand me iets meer inzicht bijbrengen?
Wat snap je er niet aan? Wat snap je al wel?quote:Op zondag 26 januari 2014 12:17 schreef Beverwijker het volgende:
http://tinypic.com/r/11snpc2/5
Iemand die mij vraag 12 kan uitleggen.
Top! Zoals gewoonlijk weer een uitstekende uitlegquote:
Veel dank en hulde!quote:Als een niet-constant polynoom P(x) een nulpunt x = x0 heeft met een multipliciteit m > 1, dan is P(i)(x0) = 0 voor i = 1 .. (m − 1) terwijl P(m)(x0) ≠ 0.
Dit is metawiskundig gezien wel een interessante vraag, want hoe definieer je de topologie op RxR? Enerzijds kun je de Euclidische metriek nemen en van daar uit werken. Anderzijds bestaat er ook een categorie-theoretische definitie van producten en kun je bewijzen dat producten bestaan in de categorie van topologische ruimten. De twee topologieën die je zo krijgt blijken hetzelfde te zijn, iets wat niet vanzelfsprekend is!quote:Op zondag 26 januari 2014 22:03 schreef Novermars het volgende:
Stel je hebt twee open sets, zeg maar . Is het Cartesian Product dan ook open? En zoja, hoe kan ik het beste hiervan een bewijs leveren?
Edit: Zie hier het antwoord + bewijs: http://math.stackexchange.com/q/653106/96700
Je mist een accentje.quote:Op dinsdag 28 januari 2014 21:40 schreef Amoeba het volgende:
Ik krijg koppijn van dit vraagstuk
Nu moet ik dit oplossen mbv machtreeksen, vervolgens de convergentiestraal van de gevonden machtreeks bepalen en daarna een gesloten uitdrukking voor die machtreeks geven.
Tot nu toe was ik zo ver:
[ afbeelding ]
Waarbij ik zeker weet dat die onderste vergelijking niet klopt, immers gaat delen door k+3 na de eerste stap al fout..
Wat doe ik fout / wat mis ik?
Forum Opties | |
---|---|
Forumhop: | |
Hop naar: |