[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Yo,

Hoe kun je aantonen dat lim p->0 van (a/p)-(2+a)/(p^2)+(4/p^5)-2 naar infinity gaat?
Intuitief kun je het al zien, aangezien 4/p^5 het snelst naar oneindig gaat en dus sterker is dan -(2+a)/(p^2). ik moet het echter ook formeel aantonen?

iemand advies?

quote:

Op woensdag 18 september 2013 14:41 schreef CapnIzzy het volgende:
y=√(√(x)-2)

Domain is [4,∞)

Inverse geeft x=(y²+2)²

Range is dan toch (-∞,∞)? Het goede antwoord is blijkbaar [0,∞)

Voor y kan je toch elk getal invullen in de inverse?

Ook loop ik vast omtrent de inverse vinden van y = (x+1)/(x-2)

Ik kom tot
y(x-2)=x+1
yx-2y=x+1

Maar dit zal het niet zijn?

quote:

Op woensdag 18 september 2013 15:11 schreef CapnIzzy het volgende:

[..]

Ook loop ik vast omtrent de inverse vinden van y = (x+1)/(x-2)

Ik kom tot
y(x-2)=x+1
yx-2y=x+1

Maar dit zal het niet zijn?

Zet alles met x aan een kant en de rest aan de andere kant.

Dan moet je wel zien dat je x buiten de haakjes kan halen.

quote:

Op woensdag 18 september 2013 15:24 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]
Zet alles met x aan een kant en de rest aan de andere kant.

quote:

Op woensdag 18 september 2013 15:24 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Zet alles met x aan een kant en de rest aan de andere kant.

Dan moet je wel zien dat je x buiten de haakjes kan halen.

Ik had hem al, thanks. Weet je misschien de vraag die ik gequote had?

quote:

Op woensdag 18 september 2013 15:26 schreef CapnIzzy het volgende:

[..]

Nou zet alles met eens aan een kant en de rest aan de andere kant.

Laat eens zien of je dat kan...

quote:

Op woensdag 18 september 2013 15:28 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Een wortel van een element x is per definitie groter dan 0.

Dank

quote:

Op woensdag 18 september 2013 15:31 schreef Amoeba het volgende:

[..]

In dit geval alleen de vierkantswortel. Niet voor bijv. een derdemachtswortels voor de azijnpissers.

Maar ook groter en gelijk aan 0 dan?

quote:

Op woensdag 18 september 2013 14:41 schreef CapnIzzy het volgende:
y=√(√(x)-2)

Domain is [4,∞)

Inverse geeft x=(y²+2)²

Range is dan toch (-∞,∞)? Het goede antwoord is blijkbaar [0,∞)

Voor y kan je toch elk getal invullen in de inverse?

Nee, want het rechterlid kan geen negatieve waarden aannemen vanwege al die kwadraten. Kijk maar:

y=√(√(x)-2)

inverteren (a.k.a. x en y verwisselen) geeft

x=√(√(y)-2)

x² = (√(y)-2)

x² + 2 = √(y)

(x²+2)² = y

[ Bericht 6% gewijzigd door VanishedEntity op 18-09-2013 16:46:19 ]

quote:

Op woensdag 18 september 2013 14:49 schreef mathematica013 het volgende:
Yo,

Hoe kun je aantonen dat lim p->0 van (a/p)-(2+a)/(p^2)+(4/p^5)-2 naar infinity gaat?
Intuitief kun je het al zien, aangezien 4/p^5 het snelst naar oneindig gaat en dus sterker is dan -(2+a)/(p^2). ik moet het echter ook formeel aantonen?

iemand advies?

Bedoel je

?

[ Bericht 0% gewijzigd door VanishedEntity op 18-09-2013 17:18:52 ]

Range (bereik) zijn waarden die de functie aan kan nemen voor y. Domain (domein) zijn waarden die je voor x invult. Geen idee (6 vwo) wat het nut van die inverse in dit verhaaltje is, maar als je kijkt naar de functie zie je dat het in principe om een wortel gaat, en wortels altijd een positief getal opleveren. Ik weet niet precies waarom je de inverse bepaalt (kijken wat je kan invullen in de inverse? Geen idee), maar wortel trekken en kwadrateren zijn alleen elkaars inverse voor positieve getallen. (-2^2=4, maar wortel(4)=/=-2)

Heb je je best gedaan om een antwoord te typen, blijkt er een volgende pagina te zijn met de antwoorden. Oeps...

quote:

Op woensdag 18 september 2013 16:40 schreef VanishedEntity het volgende:

[..]

Bedoel je

?

Ik zie nergens een x staan

quote:

Op woensdag 18 september 2013 16:56 schreef Aardappeltaart het volgende:
Range (bereik) zijn waarden die de functie aan kan nemen voor y. Domain (domein) zijn waarden die je voor x invult. Geen idee (6 vwo) wat het nut van die inverse in dit verhaaltje is, maar als je kijkt naar de functie zie je dat het in principe om een wortel gaat, en wortels altijd een positief getal opleveren. Ik weet niet precies waarom je de inverse bepaalt (kijken wat je kan invullen in de inverse? Geen idee), maar wortel trekken en kwadrateren zijn alleen elkaars inverse voor positieve getallen. (-2^2=4, maar wortel(4)=/=-2)

Heb je je best gedaan om een antwoord te typen, blijkt er een volgende pagina te zijn met de antwoorden. Oeps...

Wat is je punt nu, in je verhaaltje?

quote:

Op woensdag 18 september 2013 16:26 schreef VanishedEntity het volgende:

[..]

Nee, want het rechterlid kan geen negatieve waarden aannemen vanwege al die kwadraten. Kijk maar:

y=√(√(x)-2)

inverteren (a.k.a. x en y verwisselen) geeft

x=√(√(y)-2)

x² = (√(y)-2)

x² + 2 = √(y)

(x²+2)² = y

Of je leest eerst even

quote:

Op woensdag 18 september 2013 17:08 schreef CapnIzzy het volgende:

[..]

Wat is je punt nu, in je verhaaltje?

Duidelijk maken dat wortels een positief getal opleveren en het niet altijd als inverse kwadrateren heeft, waarna ik erachter kwam dat dat al 42x eerder gezegd was, omdat er nog een pagina bijgekomen was.

quote:

Op woensdag 18 september 2013 17:11 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Je zeurt nu een beetje. Iemand die keurig TeX gebruikt maakt een schoonheidsfoutje terwijl je zelf vrij slordige unicode gebruikt zonder de mogelijkheden tot opmaak die FOK! biedt zoals superscript of subscript.

Je moet ervoor zorgen dat je de functie f(p) zo omschrijft dat je niet meer door nul gaat delen als je de limiet neemt.

Rustig aan hè

quote:

Op woensdag 18 september 2013 17:11 schreef Aardappeltaart het volgende:

[..]

Duidelijk maken dat wortels een positief getal opleveren en het niet altijd als inverse kwadrateren heeft, waarna ik erachter kwam dat dat al 42x eerder gezegd was, omdat er nog een pagina bijgekomen was.

En ik bepaal de inverse zodat je makkelijk kan zien wat de range is van zo'n functie, domein kan je gelijk aflezen vanuit de originele functie. De originele functie heeft dus wortels, dus dan heeft de range sowieso geen negatieve getallen. Dat heb ik geleerd van Amoeba

quote:

Op woensdag 18 september 2013 17:10 schreef CapnIzzy het volgende:
Of je leest eerst even

quote:

Op woensdag 18 september 2013 17:16 schreef CapnIzzy het volgende:
En ik bepaal de inverse zodat je makkelijk kan zien wat de range is van zo'n functie, domein kan je gelijk aflezen vanuit de originele functie. De originele functie heeft dus wortels, dus dan heeft de range sowieso geen negatieve getallen. Dat heb ik geleerd van Amoeba

Schatteke, dat ís de procedure voor het bepalen van een inverse: In de oorspronkelijke functie x en y omwisselen en daarna y uitdrukken als (in dat geval) functie van x. Trouwens, voor het bepalen van het bereik van de oorspronkelijke functie heb je diens inverse niet eens nodig.

quote:

Op woensdag 18 september 2013 17:27 schreef VanishedEntity het volgende:
Schatteke, dat ís de procedure voor het bepalen van een inverse: In de oorspronkelijke functie x en y omwisselen en daarna y uitdrukken als (in dat geval) functie van x. Trouwens, voor het bepalen van het bereik van de oorspronkelijke functie heb je diens inverse niet eens nodig.

Sorry hoor, maar Je geeft antwoord op een vraag die niet eens gesteld wordt

quote:

Op woensdag 18 september 2013 17:31 schreef CapnIzzy het volgende:
Sorry hoor, maar Je geeft antwoord op een vraag die niet eens gesteld wordt

Mss toch maar eerst beter leren lezen dan. Je vraagt zelf naar het bereik van je oorspronkelijke functie en geeft aan dat je dat geprobeerd hebt door de inverse te berekenen.

quote:

Op woensdag 18 september 2013 14:41 schreef CapnIzzy het volgende:
y=√(√(x)-2)

Domain is [4,∞)

Inverse geeft x=(y²+2)²

Range is dan toch (-∞,∞)? Het goede antwoord is blijkbaar [0,∞)

Voor y kan je toch elk getal invullen in de inverse?

_{dikgedrukte door mij...}

Los van het feit dat je inverse fout is (je had x en y omgewisseld) en mijn afleiding daarvan en verdere argumenten in post #212 domweg negeert, zie je ook over het hoofd dat je het bereik van de oorspronkelijke functie in dit geval kunt bepalen door de elementaire eigenschappen van vierkantswortelfuncties in ℜ te beschouwen. De radicant moet nl. 0 of groter zijn en de radicaal kan dan elke waarde in ℜ⁺ aannemen, indien je je beperkt tot de positieve wortel. Wat een vereiste is als je aan de nr.1 voorwaarde voor eigenschappen van functies wilt voldoen; nl. dat elke waarde van het origineel (de x-waarde) correspondeert met 1 bijbehorende unieke waarde voor het beeld (de y-waarde).

[ Bericht 2% gewijzigd door VanishedEntity op 18-09-2013 18:06:39 ]

*Pakt popcorn*

Ach, meneer is het nu over de DM aan het uitvechten .

quote:

Op woensdag 18 september 2013 15:11 schreef CapnIzzy het volgende:
Ook loop ik vast omtrent de inverse vinden van y = (x+1)/(x-2)

Ik kom tot
y(x-2)=x+1
yx-2y=x+1

Maar dit zal het niet zijn?

inverteren (a.k.a. x en y omwisselen) geeft

Ik zit met de volgende vraag

Set up the optimization problem of household S. Determine the optimal nonmarket time l
S as a function of the price of houses pH. (Hint: Remember that for
f(x) = log(x) we have f(x) = 1/x

We hebben de volgende functies uit de tekst U= wat het huishouden wilt, de voorkeur wat het heeft huishouden heeft voor een bepaalde goed. Dit huishouden gaat voor vrije tijd (leisure) (Ls) en Consumptie (Cs)
Household S does not value houses
and has preferences over consumption and non-market time
US(Cs,Ls)=log(Cs)+log(Ls)


The budget constraint is Cs = 1-ls+phHS.

HS : de hoeveelheid huizen huizen
ph: de prijs van de huizen.
1: de hoeveelheid tijd het huishouden in totaal bezit. dit is constant en blijft 1

Uit de vraagstelling volgt volgens mij moet ik de budget contraint 2x invullen, Een keer normaal en een keer herleid naar Ls.

Als we CS = 1-Ls+phHS herleiden naar een functie van Ls krijgen we +Ls en _Cs
= Ls = 1+ph*HS-C

De bovenste en het orgineel moeten we dan invullen in de formule.

Dan krijg je US(Cs,Ls)=log(1-ls+phHS )+log(1+ph*HS-C)

En dan moet ik de afgeleiden van de functie nemen, met ik denk de kettingregel. Hier loop ik vast
afgeleide van log is iig 1/2x Hoe nu verder?

De afgeleide van lnx = 1/x, waarbij geldt dat lnx = ^elogx en e hierin die mathematische constante is.

Voor logaritmen in het algemeen geldt dan (^blogx) ' = 1/x*lnb met als voorwaarde b ∈ <0,1>U<1,∞>

[ Bericht 2% gewijzigd door VanishedEntity op 19-09-2013 18:51:31 ]

quote:

Op maandag 16 september 2013 23:16 schreef Riparius het volgende:

[..]

Het is natuurlijk de bedoeling dat je een best fit voor die α bepaalt aan de hand van de beschikbare gegevens, dat is nu juist de opgave. Ik heb zelf geen ervaring met dit soort statistische vraagstukken en de persoon bij uitstek die je had kunnen helpen met deze opgave is al een tijd niet meer actief op dit forum, dus ik vrees dat je hier geen goed antwoord gaat krijgen. Het gaat in ieder geval om exponential smoothing en het Wikipedia artikel geeft aan dat er geen formele procedure is voor de bepaling van een correcte α maar dat je bijvoorbeeld de waarde van α zou kunnen optimaliseren met de methode van de kleinste kwadraten. Ik neem aan dat je leerboek wel uitsluitsel geeft over de methode(n) die je geacht wordt te hanteren, en bestudeer anders dit eens.

Thanks!
De website heeft veel geholpen.

Hoi, ik heb een vraagje. Zou je deze opgave kunnen beschouwen als een toegepaste vorm van de productregel? Dat je functie f(x) en f(y) los van elkaar neemt en deze differentieert met behulp van de productregel, maar dan op een andere manier omdat hier niet x maar t de variabele is die je differentieert? Of heeft deze hele som niks met de productregel te maken?



edit: Eigenlijk is de rede dat ik de vraag snap vooral het feit dat het over een functie F(x,y) gaat. Wat wordt daar precies mee bedoeld? Ik denk altijd aan functies als f(x), dat hiermee wordt bedoeld dat je er een x-waarde ingooit en dat je er dan een y-waarde uitkrijgt. Hier moet je echter een x en een y waarde erin gooien en wat is dan de uitkomst? Hoe zou de grafiek van deze functie F(x,y) er überhaupt uitzien?

[ Bericht 31% gewijzigd door ulq op 19-09-2013 14:21:01 ]

quote:

Op donderdag 19 september 2013 14:50 schreef Amoeba het volgende:
Het is een functie van 2 variabelen. De variabelen x en y zijn op hun beurt weer afhankelijk van variabelen t en s.

Ok maar zou je dan niet kunnen zeggen F '(x,y) = f(x)f '(y) + f '(x)f(y) ? Oftewel de productregel toepassen?
Met f(y)=t^2-s en f(x)=t^2s

quote:

Op donderdag 19 september 2013 13:52 schreef ulq het volgende:
Hoi, ik heb een vraagje. Zou je deze opgave kunnen beschouwen als een toegepaste vorm van de productregel? Dat je functie f(x) en f(y) los van elkaar neemt en deze differentieert met behulp van de productregel, maar dan op een andere manier omdat hier niet x maar t de variabele is die je differentieert? Of heeft deze hele som opgave niks met de productregel te maken?

[ afbeelding ]

Nee, wat je hier ziet is de kettingregel voor een functie van meerdere variabelen. In je calculusboek staat vast wel een bewijs voor deze regel.

quote:

edit: Eigenlijk is de reden dat ik de vraag niet snap vooral het feit dat het over een functie F(x,y) gaat. Wat wordt daar precies mee bedoeld?

F is hier een functie van twee variabelen x en y. En ook hangen x en y hier elk weer af van twee variabelen t en s. Hier wordt vervolgens de afgeleide naar t bepaald van de samengestelde functie F(x(t,s),y(t,s)). Omdat F(x,y) afhangt van zowel x als y en x en y elk weer afhangen van zowel t als s heb je hier te maken met partiële afgeleiden.

quote:

Ik denk altijd aan functies als f(x), dat hiermee wordt bedoeld dat je er een x-waarde ingooit en dat je er dan een y-waarde uitkrijgt. Hier moet je echter een x en een y waarde erin gooien en wat is dan de uitkomst?

Dat wordt gegeven door het functievoorschrift, en dat staat gewoon voor je neus. Hier heb je

F(x, y) = xy²

Je kunt de functiewaarde bijvoorbeeld z noemen, dan heb je dus

z = xy²

Hierin kun je x = t²s en y = t² − s substitueren, en dan krijg je

z = t²s(t² − s)²

en dus

z = t⁶s − 2t⁴s² + t²s³

Voor de partiële afgeleide van z naar t krijgen we dus

∂z/∂t = 6t⁵s − 8t³s² + 2ts³

Vul je hier t = 1 en s = 2 in dan vind je voor de partiële afgeleide van z naar t in dit punt inderdaad ∂z/∂t |_{(t,s) = (1,2)} = −4.

quote:

Hoe zou de grafiek van deze functie F(x,y) er überhaupt uitzien?

Dat is bij een functie van twee variabelen nog heel goed te visualiseren. In R³ levert z = xy² een gekromd oppervlak op. Kijk hier maar eens. En sla je calculusboeken eens open.

Aha, ja nu je het zo zegt is het veel logischer om in dit geval die zogenaamde kettingregel toe te passen inderdaad. Maar als je het op jouw manier (je vervangt meteen x en y voor hun definities in t en s)

quote:

Op donderdag 19 september 2013 15:36 schreef Riparius het volgende:

Hierin kun je x = t²s en y = t² − s substitueren, en dan krijg je

z = t²s(t² − s)²

en dus

z = t⁶s − 2t⁴s² + t²s³

Voor de partiële afgeleide van z naar t krijgen we dus

∂z/∂t = 6t⁵s − 8t³s² + 2ts³

Vul je hier t = 1 en s = 2 in dan vind je voor de partiële afgeleide van z naar t in dit punt inderdaad ∂z/∂t |_{(t,s) = (1,2)} = −4.

doet dan heb je de regelketting dus niet eens nodig als ik het goed begrijp?

Super bedankt voor je reactie trouwens

quote:

Op donderdag 19 september 2013 15:53 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Het kan niet anders. Je moet de definities van x en y (in (s,t)) substitueren. Daarna is het gevraagd om dit naar t te differentiëren. Je moet ook de vraag goed lezen.

In het antwoord wordt eerst de functie gedifferentieerd en daarna worden de x en y waarden bepaald en pas daarna komt het antwoord eruit rollen. Riparius substitueerde echter meteen t en s in x en y en differentieerde daarna het hele geval (dus zonder x en y erin). Op zijn manier werd de kettingregel dus ook niet toegepast, of klopt het niet wat ik zeg?

quote:

Op donderdag 19 september 2013 15:51 schreef ulq het volgende:
Aha, ja nu je het zo zegt is het veel logischer om in dit geval die zogenaamde kettingregel toe te passen inderdaad.

Het is niet alleen logisch, maar noodzakelijk. Jouw idee dat je hier de productregel zou kunnen gebruiken is onjuist.

quote:

Maar als je het op jouw manier (je vervangt meteen x en y voor hun definities in t en s)

[..]

doet dan heb je de regelketting dus niet eens nodig als ik het goed begrijp?

Dat klopt. Maar dat geldt net zo goed bij het samenstellen van functies van één variabele.

quote:

Super bedankt voor je reactie trouwens

Graag gedaan. Welke calculusboeken gebruik je?

quote:

Op donderdag 19 september 2013 13:52 schreef ulq het volgende:
Hoi, ik heb een vraagje. Zou je deze opgave kunnen beschouwen als een toegepaste vorm van de productregel? Dat je functie f(x) en f(y) los van elkaar neemt en deze differentieert met behulp van de productregel, maar dan op een andere manier omdat hier niet x maar t de variabele is die je differentieert? Of heeft deze hele som niks met de productregel te maken?

[ afbeelding ]

edit: Eigenlijk is de rede dat ik de vraag snap vooral het feit dat het over een functie F(x,y) gaat. Wat wordt daar precies mee bedoeld? Ik denk altijd aan functies als f(x), dat hiermee wordt bedoeld dat je er een x-waarde ingooit en dat je er dan een y-waarde uitkrijgt. Hier moet je echter een x en een y waarde erin gooien en wat is dan de uitkomst? Hoe zou de grafiek van deze functie F(x,y) er überhaupt uitzien?

Waar heb je deze opgave vandaan als ik vragen mag?

quote:

Op donderdag 19 september 2013 15:57 schreef Riparius het volgende:
Graag gedaan. Welke calculusboeken gebruik je?

Ik weet niet of het een calculusboek is(ken de term calculus eigenlijk niet eens), maar voor het vak Wiskunde 1 (onderdeel van de Bachelor economie aan de EUR) gebruik ik ''Essential Mathematics for Economic Analysis''.

quote:

Op donderdag 19 september 2013 15:59 schreef jordyqwerty het volgende:

[..]

Waar heb je deze opgave vandaan als ik vragen mag?

Het komt uit een oud tentamen van de EUR voor wiskunde 1(voor de bachelor economie) die op studeersnel.nl staat.

quote:

Op maandag 16 september 2013 22:38 schreef Riparius het volgende:

[..]

Wat heb je tegen het stellen van vragen online, op FOK of op WisFaq.nl bijvoorbeeld?

[..]

Hoofdstuk P7 in het boek van Adams en Essex geeft een resumé van de schoolstof goniometrie. Deze stof had je dus al lang moeten beheersen, maar mede door het belabberde onderwijs in Nederland is de kans groot dat dat niet het geval is. Niettemin is dat geen excuus om de stof niet alsnog goed te bestuderen. Het is een teken aan de wand dat deze stof überhaupt in dit boek aan de orde wordt gesteld: ik denk dat het onderwijs in de VS inmiddels ook in een dermate diep dal is aangeland dat dergelijke preliminaire hoofdstukken in een boek over calculus veelal bittere noodzaak zijn geworden.

[..]

Als dit al 'een raadsel' voor je is dan vrees ik dat je werkelijk zo goed als niets weet van goniometrie. Het bewijst ook dat je je de stof van het hoofdstuk niet hebt eigengemaakt, want kijk nog eens naar definitie 8: de tangens van een (rotatie)hoek wordt gedefinieerd als het quotiënt van de sinus en de cosinus van diezelfde (rotatie)hoek.

Teken nu eens een cartesisch assenstelsel met daarin de eenheidscirkel. Teken ook de halve rechte die je krijgt door de positieve x-as om de oorsprong te roteren over een hoek van −¾π rad. Bepaal nu meetkundig de coördinaten van het snijpunt van deze halve rechte met de eenheidscirkel. Dit snijpunt is het beeld van het punt met coördinaten (1; 0) bij een rotatie om de oorsprong over een hoek −¾π rad en de coördinaten van dit punt zijn dus per definitie (cos(−¾π); sin(−¾π)). Door het quotiënt van de y- en de x-coördinaat te bepalen vind je dan de (exacte) waarde van tan(−¾π).

[..]

Ook dit wordt in het boek uitgelegd.

[..]

Tip: download en print mijn PDF over goniometrische identiteiten (link in de OP). Waarschijnlijk is een deel ervan nog veel te hoog gegrepen, maar je hebt dan in ieder geval een overzicht van de belangrijkste goniometrische identiteiten die je beslist moet kennen.

Addendum: ik kan je eveneens sterk aanbevelen deze PDF van een remediëringscursus van de universiteit Leuven te downloaden en te printen. Het eerste deel geeft een overzicht van de goniometrie, en verder komt er wat elementaire vlakke meetkunde en iets over het werken met vectoren aan bod.

Ik ga het doornemen Ik heb wiskunde A gehad dus zo'n onderwerp is nooit aan bod gekomen. Als iemand nog ergens een link heeft dan is dat meer dan welkom. We hebben binnenkort namelijk al een tentamen

quote:

Op donderdag 19 september 2013 22:30 schreef Broodje_Koe het volgende:

[..]

Ik ga het doornemen Ik heb wiskunde A gehad dus zo'n onderwerp is nooit aan bod gekomen. Als iemand nog ergens een link heeft dan is dat meer dan welkom. We hebben binnenkort namelijk al een tentamen

Uiteraard heb ik nog 'ergens' links voor je. Veel meer dan je ooit zou kunnen doorwerken voor je aankomende tentamen. Alleen begrijp ik niet zo goed wat je daar nu mee hoopt te bereiken. Gezien je totale gebrek aan kennis ga je dit nooit op tijd bijspijkeren voor je tentamen, daar ben je nu al veel te laat mee. Ik begrijp verder ook niet waarom ze voor toelating tot jouw studie alleen Wiskunde A vragen en dan kennelijk toch het boek van Adams & Essex voorschrijven, daar zit echt iets helemaal niet goed. Ik hoef later in ieder geval geen pilletje van jou, dat weet ik nu al zeker.

Verder heb ik een beetje de indruk dat je denkt dat je het wel gaat redden door een paar websites door te nemen. Nou, dat is niet zo. Dat is net zo iets als denken dat je een voetballer kunt worden door alleen maar wedstrijden op TV te bekijken. Wiskunde kun je echt alleen maar leren door het te doen. Daarom raad ik hierboven ook aan om al het online materiaal dat je wil gaan gebruiken te printen en er dan mee aan de slag te gaan. Gewoon achter een buro, met pen en papier, in alle rust, zonder afleidingen van welke aard dan ook.

Dit gezegd zijnde heb ik nog wel wat materiaal dat ik je kan aanbevelen. Algemene cursussen die bedoeld zijn om wiskunde deficiënties van beginnende studenten weg te werken vind je bijvoorbeeld hier en hier. Zoek je speciaal iets voor goniometrie dan zou je hier eens mee kunnen beginnen of deze inleidende cursus (engelstalig) kunnen doorwerken. Er is ook een kosteloos boek (engelstalig) met de schoolstof goniometrie dat verspreid wordt onder de GNU Free Documentation License, en dat boek vind je hier.

Tja, als je weigert om die P-paragrafen te bestuderen terwijl je die stof nog niet beheerst...
Ik heb dat boek dus bij mij kom je niet weg met smoezen, je kan er als lezer niet overheen kijken dat die P-paragrafen er zijn en waarvoor ze dienen. Eigen verantwoordelijkheid nemen.

Ik zoek naar info over toepassing van subsititutiematrices die worden gebruikt bij DNA sequentieveranderingen. Niet de biologische kant, maar juist de wiskundige kant hiervan. Dus m.n. de werking van deze matrix binnen bioinformatica. Is er iemand die e.e.a. kan adviseren?

quote:

Op vrijdag 20 september 2013 22:03 schreef Borizzz het volgende:
Ik zoek naar info over toepassing van subsititutiematrices die worden gebruikt bij DNA sequentieveranderingen. Niet de biologische kant, maar juist de wiskundige kant hiervan. Dus m.n. de werking van deze matrix binnen bioinformatica. Is er iemand die e.e.a. kan adviseren?

Klinkt als een biologendingetje, ik had er nog nooit van gehoord . Kan je je vraag misschien iets specifieker maken, wat wil je precies van de wiskunde weten?

quote:

Op vrijdag 20 september 2013 23:59 schreef thenxero het volgende:

[..]

Klinkt als een biologendingetje, ik had er nog nooit van gehoord . Kan je je vraag misschien iets specifieker maken, wat wil je precies van de wiskunde weten?

Op zichzelf weet ik voldoende van de wiskunde, maar niet dit type matrices. Er is een wiki-artikel dat erover gaat: http://en.wikipedia.org/wiki/Needleman&ndash;Wunsch_algorithm
en deze site: http://www.maths.tcd.ie/~lily/pres2/sld001.htm
Maar het gaat mij om de toepassing van matrices in dit geheel.

quote:

Op zaterdag 21 september 2013 10:12 schreef Borizzz het volgende:
Maar het gaat mij om de toepassing van matrices in dit geheel.

Kijk b.v. eens naar onderzoek van Nvidia, parallellisation van cryptografische methodes en de gebruikelijke sequencing, met behulp van hun grafische cores. Ik denk dat het ietsje meer is dan alleen een verkooppraatje. http://nvidia.com/docs/IO/67189/che_sasp08.pdf

Ik weet er niet het fijne van maar ik kan wel zeggen dat grafische kaarten dankzij het hebben van veel processoren bij uitstek geschikt zijn voor het uitvoeren van veel parallelle berekeningen met een hoge snelheid (het is precies dat waarvoor ze ontworpen zijn aangezien dat is vereist voor uitdagende animaties), hiermee zouden ze zich goed moeten lenen voor cryptografie.

[ Bericht 9% gewijzigd door Bram_van_Loon op 21-09-2013 16:23:24 ]

quote:

Op zaterdag 21 september 2013 16:17 schreef Bram_van_Loon het volgende:
Ik weet er niet het fijne van maar ik kan wel zeggen dat grafische kaarten dankzij het hebben van veel processoren bij uitstek geschikt zijn voor het uitvoeren van veel parallelle berekeningen met een hoge snelheid (het is precies dat waarvoor ze ontworpen zijn aangezien dat is vereist voor uitdagende animaties), hiermee zouden ze zich goed moeten lenen voor cryptografie.

Ik denk het wel ja. Er was hier op de UU laatst nog een masterthesis over de toepassing van CUDA (een programmeertaal om GPU's mee te programmeren) bij moleculaire simulaties ("Molecular Simulations using CUDA"). CUDA is inderdaad perfect voor dat soort dingen
Ik ben zelf ook zo'n cursusje op udacity aan het volgen 'parallel computing' oid. Het wordt niet heel boeiend gebracht, maar voor informatici heel nuttig om te leren, denk ik.

Hallo Fok!,

Ik begrijp een stukje theorie in mijn wiskundeboek niet.
Het is maar de tweede bladzijde van de paragraaf dus eigenlijk nog echt basisstof.

Foto's van theorie:



Voor de duidelijkheid, het stukje wat ik niet snap staat op de tweede foto.

Wat heeft de normaalvector te maken met een parametervoorstelling omwerken naar een ''normale'' vergelijking?
Voor mijn gevoel is de uitkomst nu een lijn die loodrecht staat op de parametervoorstelling, wat natuurlijk niet zo is.

Ik kon de sommen die na dit stukje theorie komen wel gewoon maken aangezien het niet moeilijk is om een richtingsvector om te draaien.

Maar snappen doe ik het niet.

Ik hoop dat jullie mijn verhaal wel snappen en iemand mij het iets duidelijker kan maken.

quote:

Op zaterdag 21 september 2013 20:15 schreef hijdiegaapt het volgende:
Hallo Fok!,

Ik begrijp een stukje theorie in mijn wiskundeboek niet.
Het is maar de tweede bladzijde van de paragraaf dus eigenlijk nog echt basisstof.

Foto's van theorie:
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]

Voor de duidelijkheid, het stukje wat ik niet snap staat op de tweede foto.

Wat heeft de normaalvector te maken met een parametervoorstelling omwerken naar een ''normale'' vergelijking?
Voor mijn gevoel is de uitkomst nu een lijn die loodrecht staat op de parametervoorstelling, wat natuurlijk niet zo is.

Ik kon de sommen die na dit stukje theorie komen wel gewoon maken aangezien het niet moeilijk is om een richtingsvector om te draaien.

Maar snappen doe ik het niet.

Ik hoop dat jullie mijn verhaal wel snappen en iemand mij het iets duidelijker kan maken.

Maak bij de volgende uitleg die ik je nu ga geven zelf een tekening, dan begrijp je het hopelijk wel.

Stel dat we in een plat vlak voorzien van een cartesisch assenstelsel een rechte lijn l hebben die niet door de oorsprong gaat en dat v₀ een vaste vector is met een eindpunt op deze lijn l en dat v een willekeurige vector is met eveneens een eindpunt op lijn l. Teken nu de verschilvector v − v₀, dan zul je zien dat deze verschilvector evenwijdig is aan de lijn l (mits het eindpunt van de variabele vector v op lijn l niet samenvalt met het eindpunt van de vaste vector v₀ op lijn l).

Teken nu ook een normaalvector n voor lijn l, dat is een vector die loodrecht op lijn l staat. De lengte van deze normaalvector doet er niet toe, maar uiteraard mag dit niet de nulvector zijn.

Omdat de verschilvector v − v₀ evenwijdig is aan l terwijl vector n loodrecht op l staat, staan deze beide vectoren onderling ook loodrecht op elkaar. Maar dat betekent dat het inproduct van n en v − v₀ gelijk is aan nul, dus

n·(v − v₀) = 0

Welnu, stel dat het eindpunt van vector n de coördinaten (a; b) heeft, dus

n = (a, b)

Laten we verder zeggen dat de coördinaten van het eindpunt op lijn l van de vaste vector v₀ gelijk zijn aan (x₀; y₀), dus

v₀ = (x₀, y₀)

De variabele coördinaten van de variabele vector v met eindpunt op lijn l kunnen we aangeven met (x; y) zodat

v = (x, y)

Voor de verschilvector v − v₀ hebben we zo dus

v − v₀ = (x − x₀, y − y₀)

En omdat we al zagen dat het inproduct van n en v − v₀ gelijk is aan 0 geldt dus

a(x − x₀) + b(y − y₀) = 0

voor elk punt met coördinaten (x; y) dat op lijn l ligt. Maar dat betekent niets anders dan dat we hier een cartesische vergelijking van onze lijn l hebben. Door de haakjes uit te werken en de constante termen over te brengen naar het rechterlid kun je deze vergelijking ook schrijven als

ax + by = ax₀ + by₀

Zo zie je dus waarom de coëfficiënten a en b van deze cartesische vergelijking van lijn l niets anders zijn dan de coördinaten (a; b) van het eindpunt van de normaalvector n die we gekozen hadden voor onze lijn!

Zoals gezegd doet de lengte (en de zin) van de gekozen normaalvector n voor de lijn l er niet toe, zolang deze vector maar niet de nulvector is en wel loodrecht op de lijn staat. Dit kun je ook goed zien in de cartesische vergelijking voor onze lijn l: als je beide leden van de vergelijking met een reëel getal ongelijk aan nul vermenigvuldigt, dan krijg je een vergelijking die equivalent is met de oorspronkelijke en dus nog steeds dezelfde lijn voorstelt. De coëfficiënten a en b zijn dus niet uniek, elk ander paar dat we krijgen door a en b elk met hetzelfde reële getal ongelijk aan nul te vermenigvuldigen zal ook voldoen.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 22-09-2013 08:09:24 ]

quote:

Op dinsdag 10 september 2013 17:40 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

Hoe los je dit op 3^x = 26?

Hoe isoleer ik x?

3^x = (3^3) -1

quote:

Op zaterdag 21 september 2013 23:36 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

Hoe isoleer ik x?

3^x = (3^3) -1

Maak gebruik van de logaritme:
Voor a^q = x geldt ^alog(x)=q (a en x groter dan 0, a ongelijk aan 1)
Kun je de vergelijking die jij geeft naar die eerste vorm krijgen, zodat je over kan naar de tweede vorm? Hint: Wat is 3³?

x = 3^log(26)

Als dit klopt hoe reken je dit handmatig uit?

quote:

Op zondag 22 september 2013 00:01 schreef wiskundenoob het volgende:
x = 3^log(26)

Als dit klopt hoe reken je dit handmatig uit?

Om te beginnen: gebruik superscript voor het grondtal van de logaritme. Schrijf dus

x = ³log 26

Haakjes om de 26 zijn hier niet nodig, maar ze mogen uiteraard wel.

Nu iets over het handmatig berekenen van logaritmen. Het pragmatische antwoord op de vraag hoe je dit handmatig berekent is: niet. We hebben immers calculators, en daarmee vind je gemakkelijk dat

³log 26 ≈ 2,96564727

Overigens hebben calculators geen logaritmen met grondtal 3, dus moet je de logaritme dan wel eerst omzetten in een logaritme met grondtal 10 (de zogeheten 'gewone' of Briggse logaritmen) of in een logaritme met het bijzondere grondtal e, ook wel het getal van Euler genoemd. Logaritmen met grondtal e worden natuurlijke logaritmen genoemd en meestal (in ieder geval op rekenmachines) aangegeven met het symbool ln, dat staat voor logarithmus naturalis. De 'gewone' of Briggse logaritmen worden op rekenmachines aangegeven met het symbol log.

Om een logaritme met een bepaald grondtal g om te zetten in een logaritme met een ander grondtal b (Engels: base) kun je gebruik maken van de rekenregel

^glog a = ^blog a / ^blog g

Deze rekenregel lijkt mischien lastig om te onthouden, maar onthouden wordt een stuk eenvoudiger als je de regel eerst even opschrijft in de zogeheten kettingvorm

^blog g · ^glog a = ^blog a

Beide leden hiervan delen door ^blog g geeft dan bovenstaande betrekking. Met deze betrekking kunnen we nu zeggen dat

³log 26 = ¹⁰log 26 / ¹⁰log 3

en ook

³log 26 = ln 26 / ln 3

Nu kun je elke gewone rekenmachine (ook de calculator van Windows) gebruiken om ³log 26 uit te rekenen.

Maar goed, als nieuwsgierig wiskundenoobje ben je vast niet tevreden met dit antwoord, en wil je weten hoe men dit vroeger dan deed, toen er geen rekenmachines bestonden.

Welnu, vroeger gebruikte men hiervoor logaritmentafels. Dat zijn zeer uitgebreide tabellenboekjes (zeg maar rustig boekwerken) waarin meestal de Briggse logaritmen werden gegeven. Die tabellen zijn in vroeger eeuwen allemaal met de hand berekend door mensen als John Napier, Henry Briggs, Ezechiel de Decker en Adriaen Vlacq, die daar allemaal jaren van hun leven aan hebben besteed.

Maar nu de hamvraag, hoe kun je logaritmen berekenen? Daar zijn verschillende manieren voor, maar het zou te ver voeren daar uitgebreid op in te gaan. Briggs bijvoorbeeld deed dat door te beginnen met het getal 10 en daar herhaaldelijk (tot 27 maal toe!) de vierkantswortel uit te trekken, benaderd tot pakweg 16 cijfers achter de komma (daarvoor bestaat een algoritme dat je met pen en papier kunt uitvoeren) en door vervolgens gebruik te maken van interpolaties. Het idee hierbij is dat als je eenmaal weet dat 10^1/p = q_n voor p = 2ⁿ, n = 1, 2, 3 ... dat je dan ook weet dat log q_n = 1/2ⁿ. Vervolgens kun je dan door gebruik te maken van de rekenregel log ab = log a + log b eenvoudig logaritmen voor tussenliggende waarden berekenen, en door gebruik te maken van (lineaire) interpolatie kun je dan weer logaritmen van 'mooie' getallen in elke gewenste nauwkeurigkeid benaderen en zo een complete tabel samenstellen.

Een andere manier, althans voor natuurlijke logaritmen, is om gebruik te maken van reeksontwikkelingen. Voor ln(1 + x) heb je de volgende beroemde reeksontwikkeling die is vernoemd naar Nikolaus Mercator:

ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − x⁴/4 + ...

Nu is er alleen een grote maar ... Deze reeks convergeert alleen voor −1 < x ≤ 1. Convergeren wil zeggen dat je steeds dichter bij de 'echte' waarde - in dit geval ln(1 + x) - komt naarmate je meer termen van de reeks berekent en steeds optelt resp. aftrekt. Maar zodra je gaat proberen om hiermee bijvoorbeeld ln 3 te berekenen door x = 2 in te vullen, zul je ontdekken dat je niet meer steeds dichter bij een bepaalde waarde komt: de reeks divergeert dan.

Het lijkt dus alsof deze reeks waardeloos is als we bijvoorbeeld onze ln 26 en ln 3 met de hand zouden willen berekenen (benaderen). Maar dat is toch niet het geval. We kunnen een trucje uithalen. Als we in bovenstaande reeks de x vervangen door −x, dan krijgen we

ln(1 − x) = −x − x²/2 − x³/3 − x⁴/4 − ...

En als we nu deze tweede reeks van de eerste hierboven aftrekken, dan hebben we

ln(1 + x) − ln(1 − x) = 2x + 2x³/3 + 2x⁵/5 + ...

En volgens de bekende rekenregel ln a − ln b = ln(a/b) hebben we dus

ln((1 + x)/(1 − x)) = 2x + 2x³/3 + 2x⁵/5 + ...

Nu kunnen we voor x nog steeds alleen maar waarden tussen −1 en +1 gebruiken, maar kijk eens wat we nu hebben. We willen berekenen

³log 26 = ln 26 / ln 3 = (ln 2 + ln 13) / ln 3

We moeten dus de natuurlijke logaritmen van 2, van 3 en van 13 bepalen. Als je nu achtereenvolgens x = 1/3, x = 1/2 en x = 6/7 invult, dan wordt (1 + x)/(1 − x) resp. 2, 3 en 13, en zo kunnen we dus ln 2, ln 3 en ln 13 wél bepalen!

Overigens is het verstandig om te werken met waarden van x die liefst niet te ver van 0 liggen, omdat de reeks dan beter convergeert. Maar ook dát kunnen we voor elkaar krijgen: als we eenmaal ln 2 en ln 3 hebben bepaald, dan kennen we ook ln 4 = 2·ln 2 en daarmee ook ln 12 = ln 4 + ln 3. Vervolgens kun je dan x = 1/25 invullen om ln(13/12) te berekenen, en dan heb je ook ln 13 = ln 12 + ln(13/12).

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 22-09-2013 08:22:15 ]

Wow...

quote:

Op zaterdag 21 september 2013 21:17 schreef Riparius het volgende:

[..]

Maak bij de volgende uitleg die ik je nu ga geven zelf een tekening, dan begrijp je het hopelijk wel.

Stel dat we in een plat vlak voorzien van een cartesisch assenstelsel een rechte lijn l hebben die niet door de oorsprong gaat en dat v₀ een vaste vector is met een eindpunt op deze lijn l en dat v een willekeurige vector is met eveneens een eindpunt op lijn l. Teken nu de verschilvector v − v₀, dan zul je zien dat deze verschilvector evenwijdig is aan de lijn l (mits het eindpunt van de variabele vector v op lijn l niet samenvalt met het eindpunt van de vaste vector v₀ op lijn l).

Teken nu ook een normaalvector n voor lijn l, dat is een vector die loodrecht op lijn l staat. De lengte van deze normaalvector doet er niet toe, maar uiteraard mag dit niet de nulvector zijn.

Omdat de verschilvector v − v₀ evenwijdig is aan l terwijl vector n loodrecht op l staat, staan deze beide vectoren onderling ook loodrecht op elkaar. Maar dat betekent dat het inproduct van n en v − v₀ gelijk is aan nul, dus

n·(v − v₀) = 0

Welnu, stel dat het eindpunt van vector n de coördinaten (a; b) heeft, dus

n = (a, b)

Laten we verder zeggen dat de coördinaten van het eindpunt op lijn l van de vaste vector v₀ gelijk zijn aan (x₀; y₀), dus

v₀ = (x₀, y₀)

De variabele coördinaten van de variabele vector v met eindpunt op lijn l kunnen we aangeven met (x; y) zodat

v = (x, y)

Voor de verschilvector v − v₀ hebben we zo dus

v − v₀ = (x − x₀, y − y₀)

En omdat we al zagen dat het inproduct van n en v − v₀ gelijk is aan 0 geldt dus

a(x − x₀) + b(y − y₀) = 0

voor elk punt met coördinaten (x; y) dat op lijn l ligt. Maar dat betekent niets anders dan dat we hier een cartesische vergelijking van onze lijn l hebben. Door de haakjes uit te werken en de constante termen over te brengen naar het rechterlid kun je deze vergelijking ook schrijven als

ax + by = ax₀ + by₀

Zo zie je dus waarom de coëfficiënten a en b van deze cartesische vergelijking van lijn l niets anders zijn dan de coördinaten (a; b) van het eindpunt van de normaalvector n die we gekozen hadden voor onze lijn!

Zoals gezegd doet de lengte (en de zin) van de gekozen normaalvector n voor de lijn l er niet toe, zolang deze vector maar niet de nulvector is en wel loodrecht op de lijn staat. Dit kun je ook goed zien in de cartesische vergelijking voor onze lijn l: als je beide leden van de vergelijking met een reëel getal ongelijk aan nul vermenigvuldigt, dan krijg je een vergelijking die equivalent is met de oorspronkelijke en dus nog steeds dezelfde lijn voorstelt. De coëfficiënten a en b zijn dus niet uniek, elk ander paar dat we krijgen door a en b elk met hetzelfde reële getal ongelijk aan nul te vermenigvuldigen zal ook voldoen.

Allereerst bedankt voor deze uitgebreide uitleg!

Het begint iets duidelijker te worden. De tweede helft van je uitleg snap ik wel redelijk.
Helaas denk ik dat je mijn kennis van vectoren een beetje overschat hebt, eigenlijk maak ik hier voor het eerst kennis met vectoren.
Ik dacht dat vectoren gewoon weer een andere manier van noteren voor een rechte lijn was.

Na wat googelen ben ik wel wat wijzer geworden, maar ik heb geen idee hoe ik de door jouw genoemde vectoren moet tekenen. Ik begrijp niet wat je bedoeld met termen als vaste vector en inproduct.

Nogmaals bedankt voor de moeite die je er in steekt!

Ik moet aantonen dat ze elkaar snijden en het snijpunt geven, maar ik heb echt geen idee hoe. Ik heb al geprobeerd de 'stukjes' aan elkaar gelijk te stellen, dus bijvoorbeeld 14+3t=5+3s, maar daar kom ik ook niet zover mee omdat ik dan nog steeds twee variabelen heb. Ook substitueren leverde weinig op. 14-3t=5+3(s+t) is natuurlijk wel gelijk aan elkaar, maar dan heb ik nog steeds geen waarde voor s en t.

quote:

Op zondag 22 september 2013 13:20 schreef Rezania het volgende:
[ afbeelding ]

Ik moet aantonen dat ze elkaar snijden en het snijpunt geven, maar ik heb echt geen idee hoe. Ik heb al geprobeerd de 'stukjes' aan elkaar gelijk te stellen, dus bijvoorbeeld 14+3t=5+3s, maar daar kom ik ook niet zover mee omdat ik dan nog steeds twee variabelen heb. Ook substitueren leverde weinig op. 14-3t=5+3(s+t) is natuurlijk wel gelijk aan elkaar, maar dan heb ik nog steeds geen waarde voor s en t.

Voor de x, y en z coordinaat krijg je een vergelijking in de variabelen s en t. Dit stelsel van vergelijkingen moet tegelijkertijd waar zijn. Een oplossing hiervoor kan je vinden mbv Gaussische eliminatie.

quote:

Op zondag 22 september 2013 13:43 schreef Wolfje het volgende:

[..]

Voor de x, y en z coordinaat krijg je een vergelijking in de variabelen s en t. Dit stelsel van vergelijkingen moet tegelijkertijd waar zijn. Een oplossing hiervoor kan je vinden mbv Gaussische eliminatie.

Gaussische wat? Nog nooit van gehoord.

quote:

Op zondag 22 september 2013 14:01 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Gauss-Jordan eliminatie. Een manier om een stelsel vergelijkingen op te lossen. In de volksmond wordt het ook wel het vegen van een matrix genoemd.

Eh, kan je dat misschien uitleggen? Want het enige wat ik met een matrix kan is een dot product berekenen.

quote:

Op zondag 22 september 2013 14:07 schreef Rezania het volgende:

[..]

Eh, kan je dat misschien uitleggen? Want het enige wat ik met een matrix kan is een dot product berekenen.

http://www.win.tue.nl/~rvhassel/Onderwijs/2DS06/ohroot.pdf
In 3.5 staat het uitgelegd.

quote:

Op zaterdag 21 september 2013 10:12 schreef Borizzz het volgende:

[..]

Op zichzelf weet ik voldoende van de wiskunde, maar niet dit type matrices. Er is een wiki-artikel dat erover gaat: http://en.wikipedia.org/wiki/Needleman&ndash;Wunsch_algorithm
en deze site: http://www.maths.tcd.ie/~lily/pres2/sld001.htm
Maar het gaat mij om de toepassing van matrices in dit geheel.

Ik heb de links die je gepost hebt enigszins bestudeerd en ik heb de indruk dat de matrices waarover wordt gesproken helemaal geen lineaire afbeeldingen zijn. Je moet ze volgens mij eerder opvatten als een soort tabellen met informatie.

quote:

Op zondag 22 september 2013 13:20 schreef Rezania het volgende:
[ afbeelding ]

Ik moet aantonen dat ze elkaar snijden en het snijpunt geven, maar ik heb echt geen idee hoe. Ik heb al geprobeerd de 'stukjes' aan elkaar gelijk te stellen, dus bijvoorbeeld 14+3t=5+3s, maar daar kom ik ook niet zover mee omdat ik dan nog steeds twee variabelen heb. Ook substitueren leverde weinig op. 14-3t=5+3(s+t) is natuurlijk wel gelijk aan elkaar, maar dan heb ik nog steeds geen waarde voor s en t.

quote:

Op zondag 22 september 2013 13:55 schreef Rezania het volgende:

[..]

Gaussische wat? Nog nooit van gehoord.

Kom op, een beetje moeite doen: http://nl.wikipedia.org/wiki/Gauss-eliminatie

Als je de x, y en z-coördinaten van de lijnen aan elkaar gelijk stelt, krijg je drie vergelijkingen in twee variabelen. In principe zijn twee vergelijkingen genoeg om een oplossing te krijgen, maar om te kijken of dit ook echt een snijpunt is moet je wel kijken of de derde vergelijking ook klopt als je de oplossing daarin invult.
Door het stelsel gevormd door de eerste twee vergelijkingen op te lossen, krijg je immers een oplossing die voldoet aan de eerste twee vergelijkingen (dus, de x- en y-coördinaten van de twee lijnen zijn hier gelijk). Als de z-coördinaat ook gelijk is, hebben we een snijpunt.

quote:

Op zaterdag 21 september 2013 10:12 schreef Borizzz het volgende:

[..]

Op zichzelf weet ik voldoende van de wiskunde, maar niet dit type matrices. Er is een wiki-artikel dat erover gaat: http://en.wikipedia.org/wiki/Needleman&ndash;Wunsch_algorithm
en deze site: http://www.maths.tcd.ie/~lily/pres2/sld001.htm
Maar het gaat mij om de toepassing van matrices in dit geheel.

Nouja, je kan op die tweede site zien dat er een matrix als 'datastructuur' (ik zet het tussen haakjes, want technisch gezien is een matrix natuurlijk geen manier om iets in een computergeheugen op te slaan) gebruikt wordt. Ik heb niet heel uitgebreid gekeken (en dat ben ik eerlijk gezegd ook niet van plan), maar volgens mij is verder niet zoveel over te zeggen: ik zie bijvoorbeeld niet dat er matrixvermenigvuldiging of substitutiematrices worden toegepast. Je vraag is ook wel erg vaag, misschien moet je nog iets meer achtergrond geven (wil je dit weten voor een of ander project of verslag? heb je dit onderwerp zelf bedacht of is het door een docent gesuggereerd?).

quote:

Op zondag 22 september 2013 16:53 schreef randomo het volgende:

[..]

Nouja, je kan op die tweede site zien dat er een matrix als 'datastructuur' (ik zet het tussen haakjes, want technisch gezien is een matrix natuurlijk geen manier om iets in een computergeheugen op te slaan) gebruikt wordt. Ik heb niet heel uitgebreid gekeken (en dat ben ik eerlijk gezegd ook niet van plan), maar volgens mij is verder niet zoveel over te zeggen: ik zie bijvoorbeeld niet dat er matrixvermenigvuldiging of substitutiematrices worden toegepast. Je vraag is ook wel erg vaag, misschien moet je nog iets meer achtergrond geven (wil je dit weten voor een of ander project of verslag? heb je dit onderwerp zelf bedacht of is het door een docent gesuggereerd?).

Dank allen; aan de genoemde sites heb ik denk ik wel voldoende. Mocht er toch nog iets zijn dat verduidelijking behoeft dan kom ik er wel op terug .
Het is trouwens inderdaad voor een project.

quote:

Op zondag 22 september 2013 16:47 schreef randomo het volgende:

[..]

[..]

Kom op, een beetje moeite doen: http://nl.wikipedia.org/wiki/Gauss-eliminatie

Als je de x, y en z-coördinaten van de lijnen aan elkaar gelijk stelt, krijg je drie vergelijkingen in twee variabelen. In principe zijn twee vergelijkingen genoeg om een oplossing te krijgen, maar om te kijken of dit ook echt een snijpunt is moet je wel kijken of de derde vergelijking ook klopt als je de oplossing daarin invult.
Door het stelsel gevormd door de eerste twee vergelijkingen op te lossen, krijg je immers een oplossing die voldoet aan de eerste twee vergelijkingen (dus, de x- en y-coördinaten van de twee lijnen zijn hier gelijk). Als de z-coördinaat ook gelijk is, hebben we een snijpunt.

quote:

Op zondag 22 september 2013 14:10 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Je veegt een matrix naar de normaalvorm. M.a.w. staat er dan in je matrix x = 2, y = 4, z = 7 , c = 4 etc. etc.

quote:

Op zondag 22 september 2013 14:08 schreef -J-D- het volgende:

[..]

http://www.win.tue.nl/~rvhassel/Onderwijs/2DS06/ohroot.pdf
In 3.5 staat het uitgelegd.

Ik heb naar de gegevens links gekeken, maar ik snap er eigenlijk nog steeds vrij weinig van. Moet ik gewoon een drie bij drie matrix opstellen? Dus net zoals je bij het bereken van een dot product doet? Ik heb trouwens nooit geleerd met matrices te werken op de middelbare, dus daarom snap ik het waarschijnlijk niet.

quote:

Op zondag 22 september 2013 13:20 schreef Rezania het volgende:
[ afbeelding ]

Ik moet aantonen dat ze elkaar snijden en het snijpunt geven, maar ik heb echt geen idee hoe. Ik heb al geprobeerd de 'stukjes' aan elkaar gelijk te stellen, dus bijvoorbeeld 14+3t=5+3s, maar daar kom ik ook niet zover mee omdat ik dan nog steeds twee variabelen heb. Ook substitueren leverde weinig op. 14-3t=5+3(s+t) is natuurlijk wel gelijk aan elkaar, maar dan heb ik nog steeds geen waarde voor s en t.

Laten we dit eens gewoon op zijn janboerenfluitjes oplossen. Je hebt hier twee parametervoorstellingen van rechte lijnen in R³. Als deze lijnen elkaar snijden, dan moeten er dus waarden van de parameters s en t bestaan waarvoor zowel de x-, de y-, als z-coördinaat van beide parametervoorstellingen aan elkaar gelijk worden. Dat betekent dat je dus drie lineaire vergelijkingen krijgt in twee onbekenden. Algebraïsch hoeft zo'n stelsel helemaal geen oplossing te hebben, en je begrijpt meetkundig ook waarom dat niet hoeft: de lijnen zouden immers ook evenwijdig kunnen lopen óf ze zouden elkaar in de ruimte kunnen kruisen.

Goed, maar laten we nu eens kijken wat de voorwaarden zijn voor een eventueel snijpunt. Dan moet er dus een waarde van s en een waarde van t bestaan zodanig dat gelijktijdig wordt voldaan aan deze drie voorwaarden:

14 + 3t = 5 + 3s
7 + 2t = 15 + 5s
−16 − 3t = 35 + 6s

Nu laten we de derde van deze voorwaarden even voor wat het is, en gaan we ons eerst eens concentreren op de eerste twee voorwaarden. Deze twee voorwaarden vormen samen een stelsel van twee lineaire vergelijkingen in de twee onbekenden s en t. Nu zien we bij de eerste vergelijking rechts een term 3s en bij de tweede vergelijking rechts een term 5s. Nu vermenigvuldig ik beide leden van de eerste vergelijking met 5, dat geeft

70 + 15t = 25 + 15s

En beide leden van de tweede vergelijking vermenigvuldig ik met 3, dat geeft

21 + 6t = 45 + 15s

Waarom heb ik dit gedaan? Je ziet nu dat we rechts in beide vergelijkingen een term 15s hebben. En dat is heel mooi, want dat betekent dat ik de s kan elimineren door nu de leden van de tweede vergelijking af te trekken van de leden van de eerste vergelijking. Dat mag ik doen, want als je hebt A = B en tevens C = D, dan is ook A − C = B − D nietwaar? Goed, aftrekken van de leden van de tweede vergelijking van de leden van de eerste vergelijking geeft

(70 + 15t) − (21 + 6t) = (25 + 15s) − (45 + 15s)

Uitwerken hiervan geeft

49 + 9t = −20

En kijk eens aan, we hebben nu een eenvoudige lineaire vergelijking waarin alleen de t voorkomt. Van beide leden 49 aftrekken geeft 9t = −69 en dus vinden we

t = −23/3

Deze waarde van t kunnen we nu invullen in hetzij de eerste, hetzij de tweede vergelijking. Laten we de eerste nemen, dat is hier het eenvoudigst. Dan krijgen we

14 + 3·(−23/3) = 5 + 3s
14 − 23 = 5 + 3s
−9 = 5 + 3s
−14 = 3s

En dus hebben we

s = −14/3

Maar nu komt de hamvraag: snijden onze lijnen elkaar nu, of niet? En zo ja, wat zijn dan de coördinaten van het snijpunt?

Om deze vraag te beantwoorden gaan we nu naar de derde vergelijking kijken:

−16 − 3t = 35 + 6s

Invullen van de waarden die we gevonden hebben voor t en s geeft

−16 − 3·(−23/3) = 35 + 6·(−14/3)
−16 + 23 = 35 − 28
7 = 7

En dat klopt als een bus. Ergo: onze lijnen hebben een snijpunt!

Om de coördinaten van het snijpunt te bepalen hoeven we de gevonden waarden van s en t alleen nog in te vullen in één van beide parametervoorstellingen, en dan vinden we

(−9; −25/3; 7)

That's all.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 23-09-2013 00:12:09 ]

cd

quote:

Op zondag 22 september 2013 19:48 schreef Riparius het volgende:

[..]

Laten we dit eens gewoon op zijn janboerenfluitjes oplossen. Je hebt hier twee parametervoorstellingen van rechte lijnen in R³. Als deze lijnen elkaar snijden, dan moeten er dus waarden van de parameters s en t bestaan waarvoor zowel de x-, de y-, als z-coördinaat van beide parametervoorstellingen aan elkaar gelijk worden. Dat betekent dat je dus drie lineaire vergelijkingen krijgt in twee onbekenden. Algebraïsch hoeft zo'n stelsel helemaal geen oplossing te hebben, en je begrijpt meetkundig ook waarom dat niet hoeft: de lijnen zouden immers ook evenwijdig kunnen lopen óf ze zouden elkaar in de ruimte kunnen kruisen.

Goed, maar laten we nu eens kijken wat de voorwaarden zijn voor een eventueel snijpunt. Dan moet er dus een waarde van s en een waarde van t bestaan zodanig dat gelijktijdig wordt voldaan aan deze drie voorwaarden:

14 + 3t = 5 + 3s
7 + 2t = 15 + 5s
−16 − 3t = 35 + 6s

Nu laten we de derde van deze voorwaarden even voor wat het is, en gaan we ons eerst eens concentreren op de eerste twee voorwaarden. Deze twee voorwaarden vormen samen een stelsel van twee lineaire vergelijkingen in de twee onbekenden s en t. Nu zien we bij de eerste vergelijking rechts een term 3s en bij de tweede vergelijking rechts een term 5s. Nu vermenigvuldig ik beide leden van de eerste vergelijking met 5, dat geeft

70 + 15t = 25 + 15s

En beide leden van de tweede vergelijking vermenigvuldig ik met 3, dat geeft

21 + 6t = 45 + 15s

Waarom heb ik dit gedaan? Je ziet nu dat we rechts in beide vergelijkingen een term 15s hebben. En dat is heel mooi, want dat betekent dat ik de s kan elimineren door nu de leden van de tweede vergelijking af te trekken van de leden van de eerste vergelijking. Dat mag ik doen, want als je hebt A = B en tevens C = D, dan is ook A − C = B − D nietwaar? Goed, aftrekken van de leden van de tweede vergelijking van de leden van de eerste vergelijking geeft

(70 + 15t) − (21 + 6t) = (25 + 15s) − (45 + 15s)

Uitwerken hiervan geeft

49 + 9t = −20

En kijk eens aan, we hebben nu een eenvoudige lineaire vergelijking waarin alleen de t voorkomt. Van beide leden 49 aftrekken geeft 9t = −69 en dus vinden we

t = −23/3

Deze waarde van t kunnen we nu invullen in hetzij de eerste, hetzij de tweede vergelijking. Laten we de eerste nemen, dat is hier het eenvoudigst. Dan krijgen we

14 + 3·(−23/3) = 5 + 3s
14 − 23 = 5 + 3s
−9 = 5 + 3s
−14 = 3s

En dus hebben we

s = −14/3

Maar nu komt de hamvraag: snijden onze lijnen elkaar nu, of niet? En zo ja, wat zijn dan de coördinaten van het snijpunt?

Om deze vraag te beantwoorden gaan we nu naar de derde vergelijking kijken:

−16 − 3t = 35 + 6s

Invullen van de waarden die we gevonden hebben voor t en s geeft

−16 −(−23/3) = 35 + 6·(−14/3)
−16 + 23 = 35 − 28
7 = 7

En dat klopt als een bus. Ergo: onze lijnen hebben een snijpunt!

Om de coördinaten van het snijpunt te bepalen hoeven we de gevonden waarden van s en t alleen nog in te vullen in één van beide parametervoorstellingen, en dan vinden we

(−9; −25/3; 7)

That's all.

Bedankt voor de duidelijke uitleg. Ik snap het nu helemaal.

quote:

Op vrijdag 20 september 2013 11:57 schreef Riparius het volgende:

[..]

Uiteraard heb ik nog 'ergens' links voor je. Veel meer dan je ooit zou kunnen doorwerken voor je aankomende tentamen. Alleen begrijp ik niet zo goed wat je daar nu mee hoopt te bereiken. Gezien je totale gebrek aan kennis ga je dit nooit op tijd bijspijkeren voor je tentamen, daar ben je nu al veel te laat mee. Ik begrijp verder ook niet waarom ze voor toelating tot jouw studie alleen Wiskunde A vragen en dan kennelijk toch het boek van Adams & Essex voorschrijven, daar zit echt iets helemaal niet goed. Ik hoef later in ieder geval geen pilletje van jou, dat weet ik nu al zeker.

Verder heb ik een beetje de indruk dat je denkt dat je het wel gaat redden door een paar websites door te nemen. Nou, dat is niet zo. Dat is net zo iets als denken dat je een voetballer kunt worden door alleen maar wedstrijden op TV te bekijken. Wiskunde kun je echt alleen maar leren door het te doen. Daarom raad ik hierboven ook aan om al het online materiaal dat je wil gaan gebruiken te printen en er dan mee aan de slag te gaan. Gewoon achter een buro, met pen en papier, in alle rust, zonder afleidingen van welke aard dan ook.

Dit gezegd zijnde heb ik nog wel wat materiaal dat ik je kan aanbevelen. Algemene cursussen die bedoeld zijn om wiskunde deficiënties van beginnende studenten weg te werken vind je bijvoorbeeld hier en hier. Zoek je speciaal iets voor goniometrie dan zou je hier eens mee kunnen beginnen of deze inleidende cursus (engelstalig) kunnen doorwerken. Er is ook een kosteloos boek (engelstalig) met de schoolstof goniometrie dat verspreid wordt onder de GNU Free Documentation License, en dat boek vind je hier.

Nou, dit is dus precies de reden dat ik het niet zo handig vind om dingen online te vragen. Ik vraag om hulp met wat wiskunde-opgaven en ik krijg een hele preek over hoe triest het wiskundeonderwijs is in NL en hoe gruwelijk laat ik wel niet ben met calculus en dat het me toch niet gaat lukken. Ik moet je even uit een droom helpen; calculus is een steunvak bij deze studie, zeker geen hoofdvak en al helemaal niet zo relevant als jij doet overkomen, dus even gas terug. Genoeg andere onderwerpen waar ik misschien juist heel goed in ben (weet jij veel ).

Point being: niet zo hoog van de toren blazen als iemand je simpel wat vraagt betreffende het vak, niet je mening.

quote:

Op zondag 22 september 2013 19:58 schreef Borizzz het volgende:
cd

Oke, dit was dus de eerste post van FOK! door mijn 15-maanden oude zoon.

quote:

Op zondag 22 september 2013 20:42 schreef Broodje_Koe het volgende:

[..]

Nou, dit is dus precies de reden dat ik het niet zo handig vind om dingen online te vragen.

Ik denk dat je het verrekte handig vindt, maar dat je er moeite mee hebt om dan vervolgens en plein public geconfronteerd te worden met het feit dat je er praktisch niets aan doet om je deficiënties weg te werken.

quote:

Ik vraag om hulp met wat wiskunde-opgaven en ik krijg een hele preek over hoe triest het wiskundeonderwijs is in NL en hoe gruwelijk laat ik wel niet ben met calculus en dat het me toch niet gaat lukken.

Je vraagt inderdaad hulp, maar uit je vragen bleek ook pijnlijk duidelijk dat je nog zo goed als niets van de stof begreep. En dan zijn wat summiere aanwijzingen nutteloos, en ben je alleen gebaat met adviezen om je studie serieuzer aan te pakken en met adviezen over de manier waarop je dat zou kunnen doen. En die adviezen heb ik gegeven. Ik wijs er ook nog even op dat ik de enige ben geweest die hier in dit topic gehoor heeft gegeven aan je vraag naar nuttige linkjes.

quote:

Ik moet je even uit een droom helpen; calculus is een steunvak bij deze studie, zeker geen hoofdvak en al helemaal niet zo relevant als jij doet overkomen, dus even gas terug.

Ik hoef helemaal niet uit de droom te worden geholpen, ik ben klaarwakker. Ik heb me verbaasd over het feit dat voor jouw studie alleen Wiskunde A wordt gevraagd als toelatingseis, maar dat men dan wel het boek van Adams & Essex gebruikt. Daar zit iets helemaal scheef, en ik denk dat de keuze voor dit boek een indicatie is dat calculus bij jouw studie toch een grotere rol zal spelen dan je nu wenst aan te nemen.

quote:

Genoeg andere onderwerpen waar ik misschien juist heel goed in ben (weet jij veel ).

Als dat zo is dan krijg je de komende jaren genoeg gelegenheid om dat te laten zien.

quote:

Point being: niet zo hoog van de toren blazen als iemand je simpel wat vraagt betreffende het vak, niet je mening.

Aan een 'simpele' antwoorden op 'simpele' vragen heb je niets als je nog bijna niets van de stof begrijpt. Daarom heb ik geprobeerd om aan te geven wat je naar mijn idee nu het beste zou kunnen doen en tevens geprobeerd je irreële verwachtingen (namelijk dat je je aankomende tentamen zult gaan halen) wat naar beneden bij te stellen.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 22-09-2013 23:56:17 ]

quote:

Op zondag 22 september 2013 22:31 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Nu is het een vergelijking met 2 onbekenden. Stel je nu eens voor dat je n vergelijkingen met n onbekenden hebt, dan gaat het met de hand niet meer lukken voor een wat grotere n. Dan stel je een matrix op en die (laat) je vegen.

Result of solution using Gauss-Jordan elimination

Your matrix

№ X1 X2 b
1 -3 3 -9
2 -5 2 8
3 -6 -3 51

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Solution set:

x1 = -14/3
x2 = -23/3

Even onthouden dit, kan wel eens van pas komen. Bedankt.

quote:

Op zondag 22 september 2013 11:11 schreef hijdiegaapt het volgende:

[..]

Allereerst bedankt voor deze uitgebreide uitleg!

Het begint iets duidelijker te worden. De tweede helft van je uitleg snap ik wel redelijk.
Helaas denk ik dat je mijn kennis van vectoren een beetje overschat hebt, eigenlijk maak ik hier voor het eerst kennis met vectoren.
Ik dacht dat vectoren gewoon weer een andere manier van noteren voor een rechte lijn was.

Na wat googelen ben ik wel wat wijzer geworden, maar ik heb geen idee hoe ik de door jouw genoemde vectoren moet tekenen. Ik begrijp niet wat je bedoelt met termen als vaste vector en inproduct.

Nogmaals bedankt voor de moeite die je er in steekt!

Vectoren kun je opvatten als gerichte lijnstukken met een beginpunt en een eindpunt, het zijn geen lijnen. Dat zou toch in je boek aan de orde moeten zijn gekomen omdat je anders ook niet duidelijk kunt maken wat je moet verstaan onder de som en het verschil van twee vectoren en wat je je moet voorstellen bij de vermenigvuldiging van een vector met een scalar (een reëel getal). En dit alles heb je weer nodig om te begrijpen wat een vectorvoorstelling van een rechte lijn nu eigenlijk is en hoe deze samenhangt met een parametervoorstelling in cartesische coördinaten van een rechte lijn.

Ik begrijp dat je mijn uitleg niet kunt volgen als je niet weet wat een inproduct van twee vectoren is. Gewoonlijk wordt het inproduct behandeld voordat men het begrip normaalvector van een rechte lijn introduceert, omdat het verband tussen de kentallen van een normaalvector van een rechte lijn en de coëfficiënten van een cartesische vergelijking van die lijn dan evident is, zoals ik heb laten zien. In jouw boek gebeurt dat kennelijk niet, en daarom komen normaalvectoren van rechte lijnen in de behandeling zoals die in jouw boek wordt gegeven eigenlijk volkomen uit de lucht vallen. Dat is niet goed, want op deze manier veroorzaakt het begrip normaalvector eerder verwarring dan dat het wat verheldert, dat blijkt wel uit jouw vragen. Ik kan je aanraden eens te beginnen met het doornemen van dit Wikipedia artikel over vectoren.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 23-09-2013 00:01:42 ]

quote:

Op zondag 22 september 2013 23:22 schreef Rezania het volgende:

[..]

Even onthouden dit, kan wel eens van pas komen. Bedankt.

De oplossing met matrices is natuurlijk prima, en als je veel variabelen hebt en een lineair stelsel door een computerprogramma wil laten oplossen is dit de aangewezen weg, maar ik denk ook dat de kans op fouten bij een uitwerking met pen en papier van een stelsel met slechts enkele variabelen hierbij groter is dan bij de eenvoudige methode die ik heb aangegeven.

Ik denk dat je probleem vooral zit in een gebrek aan basale algebraïsche vaardigheden, want je beweerde dat ook substitueren weinig opleverde en gaf vervolgens een vergelijking die niet klopte. Toch gaat het ook met substitutie heel eenvoudig. De eerste vergelijking luidt

14 + 3t = 5 + 3s

Als we hier van beide leden 14 aftrekken en vervolgens beide leden delen door 3, dan hebben we

t = s − 3

oftewel

s = t + 3

Nu kun je één van deze beide betrekkingen invullen in de tweede (of derde) voorwaarde, en dan krijg je een lineaire vergelijking in uitsluitend s resp. uitsluitend t, die je uiteraard weer eenvoudig op kunt lossen.

quote:

Op maandag 23 september 2013 00:43 schreef Riparius het volgende:

[..]

De oplossing met matrices is natuurlijk prima, en als je veel variabelen hebt en een lineair stelsel door een computerprogramma wil laten oplossen is dit de aangewezen weg, maar ik denk ook dat de kans op fouten bij een uitwerking met pen en papier van een stelsel met slechts enkele variabelen hierbij groter is dan bij de eenvoudige methode die ik heb aangegeven.

Ik denk dat je probleem vooral zit in een gebrek aan basale algebraïsche vaardigheden, want je beweerde dat ook substitueren weinig opleverde en gaf vervolgens een vergelijking die niet klopte. Toch gaat het ook met substitutie heel eenvoudig. De eerste vergelijking luidt

14 + 3t = 5 + 3s

Als we hier van beide leden 14 aftrekken en vervolgens beide leden delen door 3, dan hebben we

t = s − 3

oftewel

s = t + 3

Nu kun je één van deze beide betrekkingen invullen in de tweede (of derde) voorwaarde, en dan krijg je een lineaire vergelijking in uitsluitend s resp. uitsluitend t, die je uiteraard weer eenvoudig op kunt lossen.

Dat was een typefout zie ik nu. Ik had ook gewoon s=t+3 op papier staan. Maar het probleem was dus dat ik niet verder keek dan mijn neus lang was en alleen substitutie op de eerste vergelijking toepaste.

quote:

Op maandag 23 september 2013 07:10 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Nu al een grotere kwaliteitsuser dan jij.

quote:

Op zondag 22 september 2013 20:43 schreef Borizzz het volgende:

[..]

Oke, dit was dus de eerste post van FOK! door mijn 15-maanden oude zoon.

Als 1 jarige een bijdrage leveren in het wiskunde topic.

quote:

Op zondag 22 september 2013 20:42 schreef Broodje_Koe het volgende:

[..]

Nou, dit is dus precies de reden dat ik het niet zo handig vind om dingen online te vragen. Ik vraag om hulp met wat wiskunde-opgaven en ik krijg een hele preek over hoe triest het wiskundeonderwijs is in NL en hoe gruwelijk laat ik wel niet ben met calculus en dat het me toch niet gaat lukken. Ik moet je even uit een droom helpen; calculus is een steunvak bij deze studie, zeker geen hoofdvak en al helemaal niet zo relevant als jij doet overkomen, dus even gas terug. Genoeg andere onderwerpen waar ik misschien juist heel goed in ben (weet jij veel ).

Point being: niet zo hoog van de toren blazen als iemand je simpel wat vraagt betreffende het vak, niet je mening.

Door hier weer op te reageren bevestig ik wel een beetje je punt dat op internet dingen vragen veel gedoe oplevert, maar je als je dingen leest die je niet bevallen, hoef je er niet op te reageren. Uiteindelijk wordt je hier gewoon prima geholpen hoor, misschien wel beter dan als je iets aan een docent IRL vraagt. Bovendien kunnen die ook gewoon een preek beginnen, en dat lijkt me een stuk vervelender dan een post op internet. Je wordt niet gedwongen om reacties helemaal te lezen.

Ik ga morgen met het uitgereikte materiaal geprint en al aan de slag. Ik begrijp zelf ook niet waarom ze wiskunde A instromers wel aannemen gezien het feit calculus voortborduurt op wiskunde B onderwerpen. Als ik dat had geweten had ik deze studiekeuze wel heroverwogen. Maar goed, ik ben er nu eenmaal aan begonnen, dan kan ik het net zo goed proberen ook

quote:

Op woensdag 25 september 2013 01:29 schreef Broodje_Koe het volgende:
Ik ga morgen met het uitgereikte materiaal geprint en al aan de slag. Ik begrijp zelf ook niet waarom ze wiskunde A instromers wel aannemen gezien het feit calculus voortborduurt op wiskunde B onderwerpen. Als ik dat had geweten had ik deze studiekeuze wel heroverwogen. Maar goed, ik ben er nu eenmaal aan begonnen, dan kan ik het net zo goed proberen ook

Gewoon je best doen en er hard voor werken. Het lijkt me dat ze niet voor niks wiskunde A'ers toelaten. Als die gemiddeld genomen de studie niet halen, dan kost ze dat alleen maar geld. Riparius heeft natuurlijk gelijk dat je er laat mee bent, maar laat je daardoor niet uit het veld slaan .

Ze zullen het niveau van de examens wel aanpassen aan de doelgroep maar dan nog is het raar dat ze dit boek gebruiken als ze dat eindniveau nastreven. Ik vind het trouwens wel behoorlijk naïef dat hij niet wist dat hij wat wiskunde zou krijgen.

Hoe reken je de extreme punten van zowel een berg als dalparabool uit?

Bijv van:
x ² +x -20 =0

Is -20 laagste punt?
Met -b/2a kwam ik op een andere waarde(-20,25).
Klopt dat?

Ik had:
Verschil tussen de nulpunten 9 omdat 5 = -4 +x
9/2 = 4,5
4,5 + -4 = 0,5

Laagste dalpunt is (1/2, -77/4)

Ik kwam ook een keer op een waarde van -20,25 via gr.

[ Bericht 4% gewijzigd door wiskundenoob op 27-09-2013 16:41:46 ]

quote:

Op vrijdag 27 september 2013 15:34 schreef wiskundenoob het volgende:
Hoe reken je de extreme punten van zowel een berg- als een dalparabool uit?

Als je geen gebruik maakt van differentiaalrekening, dan kun je voor het berekenen van het extremum (minimum of maximum) van een kwadratische functie gebruik maken van het feit dat de grafiek van een kwadratische functie een parabool is met een verticale symmetrie-as.

Hebben we de kwadratische functie

f(x) = ax² + bx + c

dan is de grafiek hiervan een parabool met als symmetrie-as de lijn met vergelijking

x = −b/2a

Is a > 0 dan is de grafiek een dalparabool en dan neemt f(x) voor x = −b/2a een minimum aan. Is daarentegen a < 0, dan is de grafiek een bergparabool en neemt f(x) voor x = −b/2a dus een maximum aan.

De waarde van het aangenomen extremum is altijd −D/4a, dus

f(−b/2a) = −D/4a

waarbij

D = b² − 4ac

de discriminant is van de kwadratische veelterm ax² + bx + c. De discriminant bepaalt hoeveel reële nulpunten de functie f(x) = ax² + bx + c heeft, en daarmee ook of de parabool die de grafiek is van deze functie de x-as snijdt (D > 0), raakt (D = 0) of geheel boven of onder de x-as ligt (D < 0).

quote:

Bijv van:
x ² + x - 20 = 0

Is -20 laagste punt?

Nee, want je kunt het minimum van een kwadratische veelterm niet bepalen door simpelweg x = 0 te nemen. Let bovendien op de juiste terminologie. Hier geef je een kwadratische vergelijking terwijl je in feite vraagt naar het minimum van de kwadratische functie f(x) = x² + x − 20. Dat is wat anders.

quote:

Met -b/2a kwam ik op een andere waarde.
Klopt dat?

Ja, want zoals gezegd kun je het minimum of maximum niet bepalen door simpelweg x = 0 te nemen. En als je iets eerst op een verkeerde manier uitrekent en dan op een correcte manier, is het niet zo vreemd als je twee verschillende uitkomsten krijgt toch?

quote:

Verschil tussen de nulpunten 9 omdat 5 = -4 +x

Dat mag je om te beginnen niet zo slordig opschrijven. De kwadratische veelterm x² + x − 20 heeft de nulpunten x₁ = −5 en x₂ = +4. Je mag ook zeggen dat de functie f(x) = x² + x − 20 twee nulpunten heeft of dat de kwadratische vergelijking x² + x − 20 = 0 twee reële oplossingen heeft.

quote:

9/2 = 4,5
4,5 + -4 = 0,5
Laagste dalpunt is (1/2, 77/4)

Ik kwam ook een keer op een waarde van 20,25 via gr.

Nee. Je maakt hier een tekenfout. De nulpunten zijn x₁ = −5 en x₂ = 4 dus de functie neemt een extremum aan bij x = −1/2 en de waarde van dit extremum is −81/4 = −20¼, kijk maar.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 27-09-2013 17:30:09 ]

quote:

Op vrijdag 27 september 2013 16:43 schreef Riparius het volgende:
Nee, want je kunt het minimum van een kwadratische veelterm niet bepalen door simpelweg x = 0 te nemen. Let bovendien op de juiste terminologie. Hier geef je een kwadratische vergelijking terwijl je in feite vraagt naar het minimum van de kwadratische functie f(x) = x2 + x − 20. Dat is wat anders.

Als je x² + x − 20 neemt en

x(x+1) = 0

van maakt. Wat staat hier dan?

Je hebt dan x = -1 en x = 0. 2 oplossingen dus -1/2 = x

quote:

Op vrijdag 27 september 2013 17:32 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

Als je x² + x − 20 neemt en

x(x+1) = 0

van maakt. Wat staat hier dan?

Je hebt dan x = -1 en x = 0. 2 oplossingen dus -1/2 = x

Leg mij eens uit hoe jij er x (x+1) =0 van maakt.

quote:

Op vrijdag 27 september 2013 17:52 schreef Borizzz het volgende:

[..]

Leg mij eens uit hoe jij er x (x+1) =0 van maakt.

-20 weglaten en dan x buiten haakjes halen.

quote:

Op vrijdag 27 september 2013 17:32 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

Als je x² + x − 20 neemt en

x(x+1) = 0

van maakt. Wat staat hier dan?

Je hebt dan x = -1 en x = 0. 2 oplossingen dus -1/2 = x

Nee, hier klopt niets van. Jammer genoeg lijkt het erop alsof je al mijn uiteenzettingen over kwadraatafsplitsen al weer helemaal bent vergeten.

Je mag die constante term −20 niet buiten beschouwing laten.

Het is waar dat je in ax² + bx + c bij de eerste twee termen een x buiten haakjes kunt halen en dat je dan krijgt x(ax + b) + c, maar dit betekent niet dat x = 0 en x = −b/a de nulpunten zijn van deze kwadratische veelterm. Je kunt direct zien dat dat niet klopt: als we in de functie f(x) = ax² + bx + c de waarde x = 0 invullen, dan krijgen we f(0) = c, dus x = 0 is geen nulpunt van deze functie, tenzij c = 0.

Wat je wél kunt zeggen is dat als een kwadratische vergelijking

ax² + bx + c = 0

de oplossingen x₁ en x₂ heeft, dat voor deze oplossingen dan de volgende betrekkingen (genoemd naar Viète) gelden:

x₁ + x₂ = −b/a

x₁x₂ = c/a

Je had zelf al bedacht dat je het gemiddelde kunt nemen van de x-coördinaten van de snijpunten van de parabool met de x-as om de ligging van de verticale symmetrie-as te bepalen, en zo te vinden voor welke waarde van x de bijbehorende functie een extreme waarde aanneemt. Welnu, als er twee nulpunten x₁ en x₂ zijn, dan is het gemiddelde

(x₁ + x₂)/2 = −b/2a

en inderdaad bereikt de functie f(x) = ax² + bx + c een extreme waarde bij x = −b/2a. Dat geldt trouwens ook als er geen nulpunten zijn, maar om dat in te zien moet je gebruik maken van kwadraatafsplitsing.

quote:

Op vrijdag 27 september 2013 17:57 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, hier klopt niets van. Jammer genoeg lijkt het erop alsof je al mijn uiteenzettingen over kwadraatafsplitsen al weer helemaal bent vergeten.

Je mag die constante term −20 niet buiten beschouwing laten.

Het is waar dat je in ax² + bx + c bij de eerste twee termen een x buiten haakjes kunt halen en dat je dan krijgt x(ax + b) + c, maar dit betekent niet dat x = 0 en x = −b/a de nulpunten zijn van deze kwadratische veelterm. Je kunt direct zien dat dat niet klopt: als we in de functie f(x) = ax² + bx + c de waarde x = 0 invullen, dan krijgen we f(0) = c, dus x = 0 is geen nulpunt van deze functie, tenzij c = 0.

Wat je wél kunt zeggen is dat als een kwadratische vergelijking

ax² + bx + c = 0

de oplossingen x₁ en x₂ heeft, dat voor deze oplossingen dan de volgende betrekkingen (genoemd naar Viète) gelden:

x₁ + x₂ = −b/a

x₁x₂ = c/a

Je had zelf al bedacht dat je het gemiddelde kunt nemen van de x-coördinaten van de snijpunten van de parabool met de x-as om de ligging van de verticale symmetrie-as te bepalen, en zo te vinden voor welke waarde van x de bijbehorende functie een extreme waarde aanneemt. Welnu, als er twee nulpunten x₁ en x₂ zijn, dan is het gemiddelde

(x₁ + x₂)/2 = −b/2a

en inderdaad bereikt de functie f(x) = ax² + bx + c een extreme waarde bij x = −b/2a. Dat geldt trouwens ook als er geen nulpunten zijn, maar om dat in te zien moet je gebruik maken van kwadraatafsplitsing.

Oke, een vraag die ik heb gevonden op internet.

If y= 4 + (x-3)², then y is least when x =

Het is een dalparabool omdat a > 0 dus moeten we minimum vinden.

4+ x² -6x +9 = x² -6x +13

En dan gebruiken we -b/2a om x te vinden.

-(-6/2) = 3 = x-coördinaat van het minimum

Om y te vinden vullen we x = 3 in y = 4 + (x-3)²

y = 4 + (3-3)^2 = 4

Het minimum is dus (3,4)

Antwoord op de vraag is dus 3.

Maar de uitleg die bij deze vraag staat is veel simpeler, alleen snap ik de uitleg niet:

(x-3)² = 0
x - 3 = 0
x = 3

[ Bericht 0% gewijzigd door wiskundenoob op 27-09-2013 18:45:11 ]

quote:

Op vrijdag 27 september 2013 18:37 schreef wiskundenoob het volgende:
Maar de uitleg die bij deze vraag is veel simpeler, alleen snap ik de uitleg niet:

(x-3)² = 0
x - 3 = 0
x = 3

u² heeft minimum in u = 0 (u reeel)

y = 4 + (x+3)²
4 is gewoon een constante, dus maakt niet uit voor het minimum.
Dan hou je over (x+3)² en het minimum daarvan is x - 3 = 0

-edit-
Wat je ook kan doen (algemener) is kijken naar wanneer de afgeleide 0 is, daarmee vind je een lokaal minimum of maximum.
Eigenlijk komt het hier op hetzelfde neer:
y = 4 + (x-3)^2
y' = 2(x-3) = 0
x = 3

[ Bericht 7% gewijzigd door t4rt4rus op 27-09-2013 18:57:33 ]

quote:

Op vrijdag 27 september 2013 18:37 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

Oke, een vraag die ik heb gevonden op internet.

If y= 4 + (x-3)², then y is least when x =

Het is een dalparabool omdat a > 0 dus moeten we minimum vinden.

4+ x² -6x +9 = x² -6x +13

En dan gebruiken we -b/2a om x te vinden.

-6/2 = 3 = x-coördinaat van het minimum

Om y te vinden vullen we x = 3 in y = 4 + (x-3)²

y = 4 + (3-3)^2 = 4

Het minimum is dus (3,4)

Antwoord op de vraag is dus 3.

Maar de uitleg die bij deze vraag is veel simpeler, alleen snap ik de uitleg niet:

(x-3)² = 0
x - 3 = 0
x = 3

De clou is hier dat de kwadratische functie al is gegeven in een vorm die je krijgt als je kwadraatafspliting toepast. Je hebt

f(x) = (x −3)² + 4

Nu kun je inderdaad de haakjes gaan uitwerken, en dan krijg je

f(x) = x² − 6x + 13

Maar dat moet je nu juist niet doen, want daardoor maak je het jezelf alleen maar moeilijker.

Als je eens even kijkt naar de uitdrukking

(x −3)² + 4

dan zie je dat je hier een kwadraat (x −3)² hebt en een constante term + 4. Maar nu weet je dat een kwadraat (van een reëel getal) nooit negatief kan zijn. Dat wil dus zeggen dat (x −3)² nul als laagste waarde heeft, en dat die laagste waarde wordt bereikt als (x − 3) zelf nul is, en dus als x = 3. En omdat we voor onze functiewaarde 4 optellen bij (x −3)² zie je dus ook direct dat de waarde van deze functie nooit lager kan worden dan 4. De functie bereikt dus een minimum van 4 bij x = 3.