[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Je hebt gelijk.

Anders gezegd, ook de vermenigvuldiging is commutatief en associatief, terwijl de eigenschappen e)
tot en met h) impliceren dat C \ {0} ten aanzien van de vermenigvuldiging een commutatieve groep
vormt.

Ik kan C \ {0} niet herleiden naar begrijpbare Nederlandse taal. Verder snap ik wel dat bewerkingen in C associatief en communicatief zijn.

quote:

Op maandag 29 juli 2013 19:22 schreef Amoeba het volgende:
Je hebt gelijk.

Anders gezegd, ook de vermenigvuldiging is commutatief en associatief, terwijl de eigenschappen e)
tot en met h) impliceren dat C \ {0} ten aanzien van de vermenigvuldiging een commutatieve groep
vormt.

Ik kan C \ {0} niet herleiden naar begrijpbare Nederlandse taal. Verder snap ik wel dat bewerkingen in C associatief en communicatief zijn.

Ik begrijp echt niet waarover je het hebt. Welke eigenschappen e) t/m h) ?

quote:

Op maandag 29 juli 2013 19:28 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik begrijp echt niet waarover je het hebt. Welke eigenschappen e) t/m h) ?

Pagina 60 van dat dictaat van Duistermaat wat je me stuurde.

quote:

Op maandag 29 juli 2013 19:29 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Pagina 60 van dat dictaat van Duistermaat wat je me stuurde.

Ah zo. De gegeven rekenregels zijn allemaal af te leiden uit de definitie van een complex getal als een geordend paar reële getallen en de daarbij gedefinieerde optelling en vermenigvuldiging van deze geordende paren.

Met A \ B wordt bedoeld de verzameling van alle elementen uit A die niet in B zitten. C \ {0} is dus de verzameling van alle complexe getallen uitgezonderd nul. Oftewel:

C \ {0} := {z ∈ C | z ≠ 0}

Begrijp je deze notatie? Zo nee, raadpleeg dan een boekje of dictaat over verzamelingenleer of lees dit eens goed door.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 29-07-2013 19:48:29 ]

Ja dat kan ik wel volgen. Wederom bedankt.

Ik zal nog wel vaker problemen hebben met notaties die ik nog niet ken. 't Volgende wat problemen op gaat leveren is dat matrices nooit behandeld zijn bij mij op het vwo, iets wat ik persoonlijk als vervelend ervaar.

Heb jij toevallig ergens een schoolboekje waarin op vwo-manier die matrices goed beschreven staan, inclusief de bijbehorende iteratieve oefeningen?

quote:

Op maandag 29 juli 2013 19:50 schreef Amoeba het volgende:
Ja dat kan ik wel volgen. Wederom bedankt.

Ik zal nog wel vaker problemen hebben met notaties die ik nog niet ken. 't Volgende wat problemen op gaat leveren is dat matrices nooit behandeld zijn bij mij op het vwo, iets wat ik persoonlijk als vervelend ervaar.

Heb jij toevallig ergens een schoolboekje waarin op vwo-manier die matrices goed beschreven staan, inclusief de bijbehorende iteratieve oefeningen?

Voor een eenvoudige inleiding in de lineaire algebra zou je dit dictaat kunnen gebruiken, dan leer je ook iets over matrices, inclusief oefeningen. Maar ik denk dat je dit voor een beetje complexe functietheorie niet nodig hebt, hoewel inzicht in de meetkundige interpretatie van een vermenigvuldiging met een complex getal als een draaistrekking in het complexe vlak wel essentieel is. Je kunt complexe getallen ook formeel introduceren als bepaalde 2 × 2 matrices, zoals in het dictaat is te zien. Maar ook zonder matrices is gemakkelijk in te zien dat een vermenigvuldiging met

cos φ + i·sin φ

in het complexe vlak beantwoordt aan een rotatie om de oorsprong over een hoek φ.

quote:

Op maandag 29 juli 2013 20:08 schreef Riparius het volgende:

[..]

Voor een eenvoudige inleiding in de lineaire algebra zou je dit dictaat kunnen gebruiken, dan leer je ook iets over matrices, inclusief oefeningen. Maar ik denk dat je dit voor een beetje complexe functietheorie niet nodig hebt, hoewel inzicht in de meetkundige interpretatie van een vermenigvuldiging met een complex getal als een draaistrekking in het complexe vlak wel essentieel is. Je kunt complexe getallen ook formeel introduceren als bepaalde 2 × 2 matrices, zoals in het dictaat is te zien. Maar ook zonder matrices is gemakkelijk in te zien dat een vermenigvuldiging met

cos φ + i·sin φ

in het complexe vlak beantwoordt aan een rotatie om de oorsprong over een hoek φ.

De inleiding klinkt veelbelovend. Dan ga ik me maar in LinAlg A verdiepen en complexe functietheorie. En ga me niet meer aanbieden, ik ga nu eerst hier m'n tanden inzetten.

quote:

Op dinsdag 30 juli 2013 00:03 schreef Amoeba het volgende:

[..]

De inleiding klinkt veelbelovend. Dan ga ik me maar in LinAlg A verdiepen en complexe functietheorie. En ga me niet meer aanbieden, ik ga nu eerst hier m'n tanden inzetten.

Welk dictaat van complexe functietheorie lees je? Ik heb daar nooit een vak in gevolgd en daar heb ik af en toe last van .

quote:

Op dinsdag 30 juli 2013 00:21 schreef thenxero het volgende:

[..]

Welk dictaat van complexe functietheorie lees je? Ik heb daar nooit een vak in gevolgd en daar heb ik af en toe last van .

Riparius stuurde mij dit:

quote:

Ik zie dat je kennelijk op zoek bent geweest naar een bewijs van de hoofdstelling van de algebra (elk niet constant polynoom in één variable met complexe coëfficiënten heeft tenminste één nulpunt in C) en dat je daarbij uit was gekomen bij de stelling van Liouville waarvan je het bewijs niet begrijpt. Dat is ook niet zo'n wonder als je niets van complexe functietheorie weet: voor het bewijs van de stelling van Liouville heb je de integraalstelling van Cauchy nodig. Voor de allereerste beginselen van de complexe functietheorie zou je eens kunnen beginnen met dit dictaat:

http://www.staff.science.uu.nl/~ban00101/funcr2012/fr_2012.pdf

Hoofdstuk vier geeft wat hoofdzaken van de complexe functietheorie in kort bestek, inclusief een bewijs van de hoofdstelling van de algebra, maar dan ietsje anders.

Riparius

quote:

Op dinsdag 30 juli 2013 00:28 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Riparius stuurde mij dit:

[..]

Dat ziet er wel uit als een degelijke basis. Waarom begin je trouwens niet met gewone analyse, of heb je dat al gedaan?

quote:

Op dinsdag 30 juli 2013 00:39 schreef thenxero het volgende:

[..]

Dat ziet er wel uit als een degelijke basis. Waarom begin je trouwens niet met gewone analyse, of heb je dat al gedaan?

Nope. Momenteel probeer ik verwoed de intro van Money van Pink Floyd te leren op mijn Stratocaster, en dat gaat vrij aardig. Daarnaast probeer ik me te focussen op Lineaire Algebra.

quote:

Op dinsdag 30 juli 2013 00:42 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Nope. Momenteel probeer ik verwoed de intro van Money van Pink Floyd te leren op mijn Stratocaster, en dat gaat vrij aardig. Daarnaast probeer ik me te focussen op Lineaire Algebra.

Ok, maar analyse is wel vereiste voorkennis om alles te kunnen snappen. Complexe analyse in Utrecht is dan ook een tweedejaarsvak (en analyse eerstejaars). Dus als je iets met analyse gaat doen, zou ik hiermee beginnen http://www.staff.science.uu.nl/~ban00101/lecnotes/inlan2011.pdf . Daar ben je ook al even zoet mee. Je kan je natuurlijk ook gewoon op lial focussen.

Shit is getting complicated. Ik start even met Lineaire Algebra.

quote:

Op dinsdag 30 juli 2013 01:56 schreef Amoeba het volgende:
Shit is getting complicated. Ik start even met Lineaire Algebra.

Ik denk dat je niet zomaar moet beginnen met hoofdstuk 4 in het dictaat van Duistermaat, want dan mis je teveel voorkennis. Wat dat betreft is het advies van thenxero om te beginnen met het dictaat Inleiding Analyse van Van den Ban heel terecht. Als je al een goede ondergrond in (reële) analyse hebt zou je toch kunnen beginnen met Duistermaat, maar dan wel met hoofdstuk 1. Het dictaat Lineaire Algebra is inderdaad het eenvoudigst om mee te beginnen, maar voor de beide Analyse dictaten heb je eigenlijk maar heel weinig lineaire algebra nodig.

quote:

Op dinsdag 30 juli 2013 02:29 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik denk dat je niet zomaar moet beginnen met hoofdstuk 4 in het dictaat van Duistermaat, want dan mis je teveel voorkennis. Wat dat betreft is het advies van thenxero om te beginnen met het dictaat Inleiding Analyse van Van den Ban heel terecht. Als je al een goede ondergrond in (reële) analyse hebt zou je toch kunnen beginnen met Duistermaat, maar dan wel met hoofdstuk 1. Het dictaat Lineaire Algebra is inderdaad het eenvoudigst om mee te beginnen, maar voor de beide Analyse dictaten heb je eigenlijk maar heel weinig lineaire algebra nodig.

Daar begin ik dan ook maar mee. Ik kan naderhand ook nog altijd overschakelen op analyse, wat ik denk ik leuker ga vinden.

Voor jou persoonlijk heb ik ook nog wat. Ik ga mijn Thorens inwisselen voor een Marlux MX-66. Ook belt-drive, maar wel een volautomaat. Zoals je ongetwijfeld in je geheugen hebt opgeslagen begon het motortje van mijn Thorens wat op leeftijd te raken. Daarnaast is die Marlux gewoon zuivere kwaliteit.

Je hebt nu dus twee soorten draaitafels qua aandrijving, direct en belt-drive. Ik hoor vaak dat de wisselspanning van 50Hz ervoor zorgt dat een direct een minder constant toerental haalt dan een belt-drive. Zit hier een kern van waarheid in?

quote:

Op dinsdag 30 juli 2013 02:47 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Daar begin ik dan ook maar mee. Ik kan naderhand ook nog altijd overschakelen op analyse, wat ik denk ik leuker ga vinden.

Ja, hoewel je het dictaat Lineaire Algebra van Beukers vast ook wel interessant gaat vinden. Al na het eerste hoofdstuk begrijp je dan wat meer van vectoren, en dat is wel nodig, want ik heb gemerkt dat je daar niet veel van af weet, terwijl dat toch gewoon VWO stof zou moeten zijn. Dan zul je mijn PDF met het bewijs van de additietheorema's voor cos(α + β) en sin(α + β) of bijvoorbeeld deze afleiding van de formules voor het beeldpunt (x'; y') van (x; y) bij een rotatie om de oorsprong ook wel beter begrijpen.

quote:

Voor jou persoonlijk heb ik ook nog wat. Ik ga mijn Thorens inwisselen voor een Marlux MX-66. Ook belt-drive, maar wel een volautomaat. Zoals je ongetwijfeld in je geheugen hebt opgeslagen begon het motortje van mijn Thorens wat op leeftijd te raken.

Ja. Heb je nog wel eens naar een vervangende motor gezocht?

quote:

Daarnaast is die Marlux gewoon zuivere kwaliteit.

Prima ding, maar de arm was ietwat aan de zware kant, dus liever geen elementen met een al te hoge compliantie gebruiken.

quote:

Je hebt nu dus twee soorten draaitafels qua aandrijving, direct en belt-drive. Ik hoor vaak dat de wisselspanning van 50 Hz ervoor zorgt dat een direct een minder constant toerental haalt dan een belt-drive. Zit hier een kern van waarheid in?

Nee, de constantheid van het toerental is het probleem niet, de nauwkeurigheid wordt bepaald door de nauwkeurigheid van de lichtnetfrequentie en die nauwkeurigheid is heel hoog. Maar een elektromotor kan nooit absoluut gelijkmatig (met een constante hoeksnelheid) draaien, en dat heeft een nadelige invloed op de geluidskwaliteit. Bij snaaraandrijving zorgt de massa(traagheid) van het draaiplateau voor een gelijkmatigere rotatie. Een tweede voordeel van snaaraandrijving is de veel betere akoustische ontkoppeling van het draaiplateau ten opzichte van de rest van de draaitafel. Bij een direct aangedreven draaitafel heb je al gauw akoustische terugkoppeling bij weergave via luidsprekers in dezelfde ruimte, en ook dat is nadelig voor de geluidskwaliteit.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 31-07-2013 18:32:25 ]

Het gewichtDe massa van die arm ervaar ik juist als prettig. De S-arm is veel minder gevoelig dan dat latje in die Thorens. Die kun je eenvoudig zo afstellen dat hij over de plaat vliegt wanneer je een deur opent. De Marlux is ook veel minder gevoelig voor krasjes dus.

En ja, maar die Thorens uit elkaar halen is volgens mij niet eenvoudig. Daarnaast wilde ik toch al tijden die Marlux, dus was het me de moeite niet waard.

[ Bericht 3% gewijzigd door Amoeba op 30-07-2013 04:03:52 ]

http://www.marktplaats.nl(...)c624&previousPage=lr

Ik had daarvoor gebeld. Je schrikt wat die schoft ervoor vroeg: 200 euro. In tegenstelling tot het prijskaartje.

Nu had ik er een gevonden inMeijel, vlak langs de deur dus vanaf Deurne, voor 150 minder.

(a+b+c)/3 = b + 2((a+c)/2-b)/3 (Pagina 7 http://www.staff.science.uu.nl/~beuke106/linalg/linalg.pdf)

Dit laat zien dat Z op de zwaartelijn door B en de lijn AC ligt. Wanneer we het rechterdeel van de vergelijking beschouwen, merk ik dan juist op dat de term b hier de steunvector aangeeft, en de term 2((a+c)/2-b)/3 hier de richtingsvector? Ik snap alleen even niet hoe ze aan deze richtingsvector komen.

quote:

Op dinsdag 30 juli 2013 16:11 schreef Amoeba het volgende:
(a+b+c)/3 = b + 2((a+c)/2-b)/3 (Pagina 7 http://www.staff.science.uu.nl/~beuke106/linalg/linalg.pdf)

Dit laat zien dat Z op de zwaartelijn door B en de lijn AC ligt. Wanneer we het rechterdeel van de vergelijking beschouwen, merk ik dan juist op dat de term b hier de steunvector aangeeft, en de term 2((a+c)/2-b)/3 hier de richtingsvector? Ik snap alleen even niet hoe ze aan deze richtingsvector komen.

Stel je hebt een driehoek met hoekpunten A, B en C. Dan is de a de vector van de oorsprong naar hoekpunt A, b de vector van de oorsprong naar B en c de vector van de oorsprong naar C.

Als je de zwaartelijn wilt weten van lijnstuk AC door B, dan kun die vinden met twee vectoren:
- De vector vanuit de oorsprong door het punt B
- De vector vanuit de oorsprong door het punt op de helft van lijnstuk AC

De vector vanuit de oorsprong door het punt B hebben we al, namelijk b.
De vector door het punt op de helft van lijnstuk AC kun je vinden door twee vectoren op te tellen: de vector vanuit de oorsprong door punt A en de helft van de verschilvector tussen A en C. De helft van de verschilvector tussen A en C is 1/2 * de vector door C - de vector door A: 1/2(c - a), en de vector door A is a. Dus de vector door het punt op de helft van lijnstuk AC is : a + 1/2(c - a). Dit kun je nog verder uitwerken tot: a + 1/2c - 1/2a = 1/2a + 1/2c = 1/2(a + c).

Nu je de beide vectoren hebt gevonden, vindt je de zwaartelijn als de richtingsvector (de verschilvector van de net twee gevonden vectoren) + de steunvector. Als steun vector hebben we b en als richtingsvector: 1/2(a+c) - b. Dus de zwaartelijn wordt beschreven als:
b + t[1/2(a+c) - b].
Vul je t = 2/3 in dan zul je de zwaartepunt van de driehoek vinden (die dus op de zwaartelijn ligt):
b + 2/3(1/2(a+c) - b) = b + 1/3(a+c) - 2/3b = 1/3b + 1/3(a+c) = 1/3(a+b+c)

quote:

Op dinsdag 30 juli 2013 16:11 schreef Amoeba het volgende:
(a+b+c)/3 = b + 2((a+c)/2-b)/3 (Pagina 7 http://www.staff.science.uu.nl/~beuke106/linalg/linalg.pdf)

Dit laat zien dat Z op de zwaartelijn door B en de lijn AC ligt. Wanneer we het rechterdeel van de vergelijking beschouwen, merk ik dan juist op dat de term b hier de steunvector aangeeft, en de term 2((a+c)/2-b)/3 hier de richtingsvector? Ik snap alleen even niet hoe ze aan deze richtingsvector komen.

Gebruik bij voorkeur vet gedrukte kleine letters om vectoren goed te onderscheiden van bijvoorbeeld scalaire grootheden. Je hebt

⅓(a + b + c) = b + ⅔(½(a + c) − b)

In een driehoek ABC is de zwaartelijn vanuit hoekpunt B de rechte lijn door punt B en door het midden van zijde AC. Noemen we dit midden van AC even M en vector OM = m, dan kun je gemakkelijk nagaan dat m = ½(a + c). Dit is een direct gevolg van het feit dat de diagonalen van een parallellogram elkaar middendoor delen (maak een tekening). Overigens wordt dit in het dictaat netjes uitgelegd (Lemma 1.2.1).

Aangezien vector OM = m = ½(a + c) en vector OB = b hun eindpunt hebben op de lijn door B en M, dus de zwaartelijn BM, is de verschilvector

OM − OB = m − b = ½(a + c) − b

parallel aan de lijn door B en M en daarmee een richtingsvector voor een vectorvoorstelling van de lijn door B en M. We krijgen dus als vectorvoorstelling voor de zwaartelijn z_b vanuit punt B

z_b: b + λ(½(a + c) − b)

Voor λ = 0 zitten we in punt B, en voor λ = 1 in het midden van zijde AC. Door permutatie van A, B en C kun je nu gemakkelijk parametervoorstellingen opstellen voor de zwaartelijnen z_a en z_c vanuit punt A resp. punt C. Daarvoor vinden we dan

z_a: a + λ(½(c + b) − a)

en

z_c: c + λ(½(b + a) − c)

Voor λ = ⅔ krijg je nu met alle drie de vectorvoorstellingen de vector ⅓(a + b + c). Dat betekent dus dat het eindpunt van deze vector op alle drie de zwaartelijnen ligt, wat dus impliceert dat de drie zwaartelijnen van een driehoek door één punt gaan. Verder kun je op grond van de waarde λ = ⅔ van de parameter voor dit punt concluderen dat twee zwaartelijnen in een driehoek elkaar verdelen in de verhouding 2 : 1, waarbij het grootste stuk aan de kant van het hoekpunt ligt. Ook dit is een bekende stelling uit de Euclidische meetkunde.

Je kunt nog veel meer bekende stellingen uit de vlakke meetkunde over driehoeken eenvoudig bewijzen met deze vectormethode. Een hele fraaie die niet in het dictaat wordt behandeld maar die ik je niet wil onthouden is de volgende.

Beschouw weer een driehoek ABC en kies het middelpunt O van de omgeschreven cirkel van deze driehoek als oorsprong en neem weer vector OA = a, vector OB = b en vector OC = c. Definieer verder ook een vector h als volgt

h = a + b + c

en noem het eindpunt van deze vector H. Aangezien O het middelpunt is van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC, liggen de punten A, B en C op gelijke afstanden van O, zodat de vectoren a, b en c even lang zijn. Het optellingsparallellogram van elk tweetal van deze vectoren is dus een ruit. Maar dit betekent dat de som- en verschilvector van elk tweetal van deze vectoren a, b, en c loodrecht op elkaar staan, omdat immers de diagonalen van een ruit elkaar loodrecht middendoor delen.

We kunnen nu concluderen dat bijvoorbeeld de vector h − c = a + b loodrecht staat op vector a − b. Maar we weten ook dat vector a − b parallel is aan zijde AB van driehoek ABC en dat vector h − c parallel is aan lijnstuk HC. Maar dan staat lijnstuk HC dus loodrecht op zijde AB van driehoek ABC, wat niets anders betekent dan dat punt H op de hoogtelijn vanuit punt C van driehoek ABC ligt. Op dezelfde wijze kun je uiteraard door permutatie van A, B en C aantonen dat punt H eveneens op de hoogtelijnen vanuit punt A en vanuit punt B ligt. En dus heb je zo aangetoond dat de drie hoogtelijnen van een driehoek door één punt gaan en dat is het punt dat we H hadden genoemd.

Maar dit is nog niet alles: eerder zagen we al dat de drie zwaartelijnen van een driehoek door één punt gaan, het zwaartepunt. Noemen we het zwaartepunt Z en de vector OZ = z, dan hebben we gezien dat geldt

z = ⅓(a + b + c)

en dus hebben we nu

z = ⅓h

Maar dit betekent niets anders dan dat het hoogtepunt H, het zwaartepunt Z, en het middelpunt O van de omgeschreven cirkel van een driehoek op één rechte liggen, en wel zó dat HZ : ZO = 2 : 1. Deze rechte wordt de rechte van Euler genoemd.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 30-07-2013 20:14:30 ]

Ik heb ooit bewezen dmv formules van lijnen opstellen dat die punten op de rechte van Euler liggen, dat was een opgave bij wiskunde D. In dat hoofdstuk kregen we vectoren geïntroduceerd als sets getallen. De begrippen richtings- en steunvector waren mij dan ook niet onbekend.

Ah nee, laat maar, ik zie het al.

Het is natuurlijk eenvoudig in te zien dat dat = 2/3 voor iedere vector hetzelfde eindpunt oplevert.

[ Bericht 16% gewijzigd door Amoeba op 30-07-2013 18:17:32 ]

quote:

Op dinsdag 30 juli 2013 18:08 schreef Amoeba het volgende:
Ik heb ooit bewezen dmv formules van lijnen opstellen dat die punten op de rechte van Euler liggen, dat was een opgave bij wiskunde D. In dat hoofdstuk kregen we vectoren geïntroduceerd als sets getallen. De begrippen richtings- en steunvector waren mij dan ook niet onbekend.

Je ziet dat het werken met vectoren an sich voordelen kan hebben boven het werken met vectoren in R² als geordende paren reële getallen: de formules blijven overzichtelijker en je hebt veel minder rekenwerk.

quote:

Dan rest mij alleen de vraag, niemand licht dat nader toe, waarom = 2/3 het zwaartepunt geeft..

Dat heb ik wél toegelicht: in elk van de drie vectorvoorstellingen voor de zwaartelijnen z_a, z_b en z_c levert de waarde λ = ⅔ de vector ⅓(a + b + c) zodat het eindpunt van deze vector dus op alle drie de zwaartelijnen ligt.

Kan iemand vertellen of ik hier de afgeleide goed bereken?

F(x)= 5 * 3e machtswortel 5x
F'(x)=1/(3* 3e machtswortel x kwadraat)

Mag je uberhaupt die 5 in het begin naar 0 stellen? Ik weet dat als je F(x) = ax + b differentiert je b=0 mag stellen, maar het gaat om hier vermenigvuldigen.

Edit:

Volgens mij moet het zijn:

F'(x)=5/3 3e machtswortel 5x

quote:

Op woensdag 31 juli 2013 21:00 schreef DefinitionX het volgende:

Mag je uberhaupt die 5 in het begin naar 0 stellen? Ik weet dat als je F(x) = ax + b differentiert je b=0 mag stellen, maar het gaat om hier vermenigvuldigen.

Nee.

Je moet in dit geval de productregel gebruiken:

Stel je hebt f(x) = g(x)*h(x) dan f'(x) = g'(x)*h(x) + g(x)*h'(x)

In dit geval krijg je

f(x) = 5 * 5x^^1/3 (je kan een wortel zo schrijven)

g(x) = 5
h(x) = 5x^^1/3

Als je de productregel hier toepast, krijg je g'(x) = 0, oftewel de term g'(x)*h(x) = 0

De afgeleide is dus g(x) * h'(x) waarbij h(x) = 5x^^1/3

Lukt het vanaf hier verder?

Zie ook http://nl.wikipedia.org/wiki/Productregel_(afgeleide)