SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
Er is niets onbegrijpelijks aan, en ik denk dat een beetje HBS'er of gymnasiast hier pakweg een eeuw geleden of zelfs een halve eeuw geleden geen moeite mee zou hebben gehad. Je was zelf al op het idee gekomen om in het merkwaardig productquote:Op donderdag 25 juli 2013 00:06 schreef randomo het volgende:
[..]
(Onbegrijpelijk trouwens, hoe mensen op sommige identiteiten komen...)
quote:Op donderdag 25 juli 2013 01:13 schreef randomo het volgende:
Wow, Riparius, je hebt gelijk: achteraf sla ik mezelf voor mijn kop dat ik het niet zag. Je kan gewoon een soort 'completing the square' gebruiken (ik weet niet helemaal of ik die term correct gebruik, ik dacht dat het de Engelse benoeming is voor technieken als deze):Inderdaad, dat is het. Je was me net voor omdat ik bezig was het allemaal nog eens netjes uit te leggen in de post hierboven (die natuurlijk ook voor de andere meelezers is bedoeld).SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
Maar goed, nu nog de vraag hoe je
a5 + b5
zo ver mogelijk ontbindt in veeltermen in a en b met uitsluitend reële coëfficiënten. Dit is lastiger, maar je kunt dezelfde elementaire technieken gebruiken.
Inderdaad.quote:Op donderdag 25 juli 2013 02:02 schreef Amoeba het volgende:
Goed, ook ik lees de Portugese wikipedia eens door.
[ afbeelding ]
Dus:
(a + b)(a4 - a3b + (ab)2 - ab3 + b4) = a5 + b5
Dan rest ons het ontbinden van (a4 - a3b + (ab)2 - ab3 + b4) in factoren..
Ik zal hier maar even iets nuttigs plaatsen..quote:
Ja, want het is de bedoeling te ontbinden in veeltermen in a en b. En we spreken alleen van een veelterm of polynoom in één of meer variabelen als de uitdrukking alleen niet-negatieve gehele machten van de variabele(n) bevat en verder alleen is samengesteld uit constanten met gebruikmaking van uitsluitend (een eindig aantal) optellingen, aftrekkingen en vermenigvuldigingen.quote:Op donderdag 25 juli 2013 02:58 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Ik zal hier maar even iets nuttigs plaatsen..
Je stelt dat gymnasten hier geen moeite mee zouden hebben, halverwege de vorige eeuw. Nu trek ik mij dat natuurlijk heeeel erg aan zijnde (net geen) gymnast, maar toch heb ik één vraag.
1. De machten van a en b in het antwoord, zijn deze in N, of beter gezegd, is het de bedoeling dat deze in N zijn?
Weer wat geleerd. Ik zat de hele tijd te prutsen met ((a-b)(a+b))2, maar dat lijkt niet de juiste weg.quote:Op donderdag 25 juli 2013 03:33 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ja, want het is de bedoeling te ontbinden in veeltermen in a en b. En we spreken alleen van een veelterm of polynoom in één of meer variabelen als de uitdrukking alleen niet-negatieve gehele machten van de variabele(n) bevat en verder alleen is samengesteld uit constanten met gebruikmaking van uitsluitend optelling, aftrekking en vermenigvuldiging.
Ik dacht al dat je iets dergelijks zou zeggenquote:Op donderdag 25 juli 2013 01:19 schreef Riparius het volgende:
[..]
Er is niets onbegrijpelijks aan, en ik denk dat een beetje HBS'er of gymnasiast hier pakweg een eeuw geleden of zelfs een halve eeuw geleden geen moeite mee zou hebben gehad.
[...]
Dit geldt overigens alleen voor oneven nquote:
Wat doe je precies om tot de 2e stap toe te komen?quote:a4 − a2b2 + b4 = (a2 + b2)2 − (√3·ab)2
en dit geeft
a4 − a2b2 + b4 = ((a2 + b2) + √3·ab)((a2 + b2) − √3·ab)
x²-y² = (x+y)(x-y)quote:Op donderdag 25 juli 2013 11:16 schreef wiskundenoob het volgende:
[..]
Wat doe je precies om tot de 2e stap toe te komen?
Je kunt a^6=-b^6 gewoon opschrijven als (a/b)^6=-1 en dit oplossen. Dan kun je a^6+b^6 opschrijven als het product van al zijn complexe nulpunten, dit kan vanwege de hoofdstelling van de algebra. Je kunt sommige van die factoren met elkaar vermenigvuldigen en dan vind je ook de uitdrukking die je zocht.quote:Op donderdag 25 juli 2013 00:26 schreef randomo het volgende:
[..]
Die gaat alleen over complexe variabelen, en geeft alleen aan dat zo'n ontbinding bestaat, niet wat deze is (en volgens mij niet eens dat deze uniek is, maar dat weet ik niet helemaal zeker).
Nu begrijp ik pas wat je bedoelt, en ja, nu je die ontbinding hebt gevonden kan ik moeilijk meer beweren dat je er niks aan hebtquote:Op donderdag 25 juli 2013 13:19 schreef Mathemaat het volgende:
[..]
Je kunt a^6=-b^6 gewoon opschrijven als (a/b)^6=-1 en dit oplossen. Dan kun je a^6+b^6 opschrijven als het product van al zijn complexe nulpunten, dit kan vanwege de hoofdstelling van de algebra. Je kunt sommige van die factoren met elkaar vermenigvuldigen en dan vind je ook de uitdrukking die je zocht.
Zo kun jij bijvoorbeeld vinden dat:
Nice, ik kom bij gebruik maken van de techniek in post #141 uit op ,quote:Op donderdag 25 juli 2013 13:19 schreef Mathemaat het volgende:
[..]
Je kunt a^6=-b^6 gewoon opschrijven als (a/b)^6=-1 en dit oplossen. Dan kun je a^6+b^6 opschrijven als het product van al zijn complexe nulpunten, dit kan vanwege de hoofdstelling van de algebra. Je kunt sommige van die factoren met elkaar vermenigvuldigen en dan vind je ook de uitdrukking die je zocht.
Zo kun jij bijvoorbeeld vinden dat:
Nee, je maakt een tekenfout. De oplossing van Mathemaat klopt wel. Je zou moeten vindenquote:Op donderdag 25 juli 2013 22:18 schreef VanishedEntity het volgende:
[..]
Nice, ik kom bij gebruik maken van de techniek in post #141 uit op ,
wat natuurlijk hetzelfde is.
Dammit... Foiled by sign swapping againquote:Op donderdag 25 juli 2013 23:42 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee, je maakt een tekenfout. De oplossing van Mathemaat klopt wel. Je zou moeten vinden
Die opmerking was natuurlijk niet aan jou persoonlijk gericht. Vroeger werd er op school veel meer aandacht besteed aan het verwerven van goede algebraïsche vaardigheden. Dat kun je goed zien als je oude algebra boekjes bekijkt, bijvoorbeeld op de site van het Nederlands schoolmuseum. Toen was algebra ook een apart schoolvak. Tegenwoordig vindt men die vaardigheden niet meer zo nodig, maar ten onrechte: bij veel vervolgopleidingen heb je het gewoon nodig, en ook als je wat verder wil met wiskunde is het onmisbaar.quote:Op donderdag 25 juli 2013 10:53 schreef randomo het volgende:
[..]
Ik dacht al dat je iets dergelijks zou zeggen
Ik realiseer me dat dit stof is die ik me nooit helemaal eigen heb gemaakt, en dat was ook niet nodig: voor wiskunde heb ik zonder moeite prima cijfers gehaald op de middelbare school. Als ik nu wat minder elementaire wiskunde probeer te doen (bijvoorbeeld die Putnam problemen waar ik laatst al wat over gepost heb) loop ik wel vaak tegen dit soort dingen aan.
Het is veel eenvoudiger dan het er op het eerste gezicht uitziet. Dit is een kleine variatie op de oeroude Babylonische truc (zie hier) om een rechthoek te transformeren tot een L-vorm die bestaat uit een vierkant waaraan in één hoek een kleiner vierkant ontbreekt.quote:Ik doelde overigens niet specifiek de identiteiten op die pagina hoewel
[ afbeelding ]
toch wel een beetje weergeeft wat ik bedoel. Hoewel ik zelf een lichte aversie heb tegen mensen die bij elke identiteit roepen dat het magie is, heb ik bij sommige identiteiten datzelfde gevoel ook wel een beetje. Ik bedoel maar: ik kan de formule controleren en zo begrijpen dat de formule klopt, maar als ik de opdracht had om een derdemacht te schrijven als het verschil van twee kwadraten, denk ik niet dat ik met die identiteit op de proppen zou kunnen komen.
Inderdaad.quote:[..]
Dit geldt overigens alleen voor oneven n
En ik begrijp niet helemaal hoe je (a/b)^5 = -1 oplost in C Waar ik overigens het gevoel heb dat ik dit wel zou moeten kunnen.quote:Op donderdag 25 juli 2013 13:19 schreef Mathemaat het volgende:
[..]
Je kunt a^6=-b^6 gewoon opschrijven als (a/b)^6=-1 en dit oplossen. Dan kun je a^6+b^6 opschrijven als het product van al zijn complexe nulpunten, dit kan vanwege de hoofdstelling van de algebra. Je kunt sommige van die factoren met elkaar vermenigvuldigen en dan vind je ook de uitdrukking die je zocht.
Zo kun jij bijvoorbeeld vinden dat:
Zoals inmiddels duidelijk is kun je a5 + b5 ontbinden door a/b = z oftewel a = bz te substitueren, zodatquote:Op vrijdag 26 juli 2013 00:25 schreef Amoeba het volgende:
Riparius, nu de oplossing van de opgave bekend is zou ik wel eens willen weten welk merkwaardig product in aanmerking komt om a^4 - a^3b +(ab)^2 - ab^3 + b^4 te ontbinden. Ik heb verleden nacht daar mijn hoofd over gebroken, maar ik zie het niet.
Substitutie van a/b = z oftewel a = bz geeftquote:Op vrijdag 26 juli 2013 00:28 schreef Amoeba het volgende:
[..]
En ik begrijp niet helemaal hoe je (a/b)^5 = -1 oplost in C Waar ik overigens het gevoel heb dat ik dit wel zou moeten kunnen.
quote:Op vrijdag 26 juli 2013 04:12 schreef Riparius het volgende:
[..]De 2 hoofdstukken die ik heb gehad over complexe getallen beschreven inderdaad de formule van de Moive en de formule van Euler, vandaar dat ik die e-machten (met wat moeite) ook had weten te produceren. Daarnaast wat rekenen met complexe getallen i.c.m. de natuurkunde, recursieve formules etc. Ik vind het uitermate storend dat mijn geheugen niet beter in staat is om die technieken wat beter te onthouden dan half.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
Het oplossen van een vierdegraadsvergelijking hebben we echter niet behandeld. Het hoofdstuk bleef beperkt tot het oplossen van een gereduceerde kubische vergelijking, en incidenteel een kubische vergelijking, door middel van een geschikte substitutie. Volgens mij heb je me inderdaad ooit iets uitgelegd over wederkerige vergelijkingen toen we het probleem behandelden van die bol met een doorsnede a waarbij beide stukken die samen een halve bol vormden een gelijke inhoud hebben. Dat is alweer 'n poosje geleden, maar dat was deze post:SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Wat betreft de techniek van het kwadraatafsplitsen, dit lijkt me nou een typisch gevalletje oefening baart kunst. Het ongeoefende oog ziet de juiste aanpak van zo'n probleem nu eenmaal minder snel..Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Forum Opties | |
---|---|
Forumhop: | |
Hop naar: |