quote:
Op vrijdag 22 juni 2012 22:47 schreef kutkloon7 het volgende:[..]
Klopt, op de vwo toetsen werden bij differentiëren en integreren bijna alleen maar standaardintegralen en -afgeleiden gevraagd. Bij goniometrie moet je opeens ook echt bewijzen gaan formuleren, wat de meeste mensen tot dan toe nog nooit gedaan hebben (inclusief mezelf, ik had erg veel moeite met dat hoofdstuk). Daarom lijkt goniometrie natuurlijk veel moeilijker, maar dat komt natuurlijk door de methode waarop het behandeld wordt.
Inderdaad, ik word niet vrolijk van wat ik van de huidige lesmethoden heb gezien, en het is geen wonder dat het met het inzicht vaak niet best is gesteld. In Vlaanderen gaat dat beter, daar wordt nog (enigszins) ouderwets onderwijs gegeven. Een tijd geleden stond er op de site beteronderwijsnederland.nl een aardig overzicht van een zomercursus van de KU Leuven die je als opfrisser zou kunnen doornemen. De link is helaas verdwenen, maar gelukkig wel gearchiveerd door archive.org en
hier nog te zien.
quote:
Trouwens, ik heb nog een vraag aan jou. Het is duidelijk dat je vrij veel goniometrische identiteiten kent, heb je nog een tip om die te leren? Heb je gewoon een lijst opgezocht en uit je hoofd geleerd, bewijzen bestudeerd, of misschien zelf een bewijs gezocht voor sommige gevallen?
Ik merkte dat die identiteiten inderdaad vaak wel van pas komen, maar ik ken bijna geen goniometrische identiteiten.
Ik heb ze nooit echt uit het hoofd geleerd, en dat zou ik je ook niet aanraden. Maar ik ben wel gezegend met een goed geheugen, en ik ken ze gewoon al van jongs af aan (en dat is echt
heel lang geleden). Belangrijk is vooral dat je inzicht hebt (of krijgt) in de reden
waarom die identiteiten zijn zoals ze zijn. Bijvoorbeeld, bij
cos
2φ + sin
2φ = 1
denk je aan de eenheidscirkel. Aangezien cos φ en sin φ zijn gedefinieerd als resp. de x-coördinaat en de y-coördinaat van het beeldpunt van (1;0) bij rotatie om de oorsprong over een hoek φ en de eenheidscirkel de vergelijking x
2 + y
2 = 1 heeft, is het evident dat deze identiteit geldt. Je kunt deze identiteit ook als een goniometrische variant van de stelling van Pythagoras zien.
Fundamenteel is ook dat de cosinusfunctie een
even functie is en de sinusfunctie een
oneven functie. Dat wil zeggen dat:
cos(-φ) = cos φ
sin(-φ) = -sin φ
Om dit in te zien denk je aan het startpunt (1;0) op de eenheidscirkel. Als we dit startpunt roteren over een hoek -φ en over een hoek φ, dan liggen de twee beeldpunten van (1;0) symmetrisch t.o.v. de x-as, omdat het startpunt zelf op de x-as ligt. En dat betekent dat deze twee beeldpunten dezelfde x-coördinaat hebben, maar een tegengestelde y-coördinaat. En aangezien de x-coördinaat van het beeldpunt per definitie de cosinus is van de rotatiehoek en de y-coördinaat de sinus, geldt dus inderdaad cos(-φ) = cos φ en sin(-φ) = -sin φ.
Tegengestelde hoeken (rotaties) corresponderen dus met een spiegeling in de x-as, maar
supplementaire hoeken corresponderen met een spiegeling in de y-as, waarbij de x-coördinaat tegengesteld wordt en de y-coördinaat hetzelfde blijft, zodat cos(π-φ) = -cos φ en sin(π-φ) = sin φ. En bij
complementaire hoeken hebben we een spiegeling in de lijn y = x zodat de x- en de y-coördinaten omwisselen en dus cos(½π-φ) = sin φ en sin(½π-φ) = cos φ.
Bij de formule van De Moivre
(cos φ + i∙sin φ)
n = cos nφ + i∙sin nφ
kun je denken aan de fundamentele eigenschap van complexe getallen dat vermenigvuldiging met een complex getal meetkundig overeenkomt met een
draaistrekking. Is de modulus van het getal waarmee je vermenigvuldigt gelijk aan één, dan heb je geen strekking en (dus) alleen een rotatie. Vermenigvuldiging met cos φ + i∙sin φ betekent een rotatie tegen de klok in over een hoek φ. Als we dus beginnen met het getal 1 en dat n maal achtereen vermenigvuldigen met cos φ + i∙sin φ dan hebben we uiteindelijk vermenigvuldigd met (cos φ + i∙sin φ)
n. Elke vermenigvuldiging gaf een rotatie over een hoek φ en dus hebben we in totaal een rotatie over een hoek nφ wat betekent dat dit precies hetzelfde is als direct vermenigvuldigen met cos nφ + i∙sin nφ, waarmee de formule inzichtelijk is geworden.
Vermenigvuldig je een complex getal eerst met cos α + i∙sin α en dan het resultaat weer met cos β + i∙sin β, dan roteren we eerst over een hoek α en dan nog eens over een hoek β, wat dus betekent dat we in totaal over een hoek α + β hebben geroteerd en we dus net zo goed meteen met cos(α+β) + i∙sin(α+β) hadden kunnen vermenigvuldigen om hetzelfde resultaat te krijgen. Dus hebben we:
cos(α+β) + i∙sin(α+β) = (cos α + i∙sin α)(cos β + i∙sin β)
Uitwerken van de haakjes in het rechterlid en gebruik maken van i
2 = -1 geeft:
cos(α+β) + i∙sin(α+β) = (cos α∙cos β - sin α∙sin β) + i∙(sin α∙cos β + cos α∙sin β)
En omdat twee complexe getallen alleen aan elkaar gelijk zijn als zowel de reële als de imaginaire delen aan elkaar gelijk zijn hebben we dus:
cos(α+β) = cos α∙cos β - sin α∙sin β
sin(α+β) = sin α∙cos β + cos α∙sin β
Dit zijn de bekende additietheorema's voor de cosinus en de sinus die vaak lastig worden gevonden. Maar je ziet dat ze heel gemakkelijk zijn af te leiden. Het patroon dat er in zit is ook heel gemakkelijk te herkennen (en dus te onthouden!) als je weet dat (x
1 + iy
1)(x
2 + iy
2) = (x
1x
2 - y
1y
2) + i(y
1x
2 + x
1y
2).
Nog eenvoudiger wordt het als je denkt aan de formule van Euler, die een verband geeft tussen een e-macht met een (zuiver imaginaire) exponent iφ en een rotatiehoek φ:
e
iφ = cos φ + i∙sin φ
Ook hier geldt weer dat je dit gemakkelijk onthoudt als je
begrijpt wat dit meetkundig betekent zoals ik wel eens heb
uitgelegd.
De functie z(t) = e
it voldoet aan z'(t) = i∙z(t) en z(0) = 1, wat betekent dat dit een parametervoorstelling is van de
eenheidscirkel in het complexe vlak. Immers, vermenigvuldiging met i betekent een rotatie over een rechte hoek tegen de klok in, en dus betekent z'(t) = i∙z(t) een curve (baan) waarbij de raaklijn aan de curve (in de richting van z'(t)) steeds loodrecht staat op het lijnstuk vanuit de oorsprong naar het raakpunt z(t). En dat kan alleen maar een cirkel rond de oorsprong zijn, want alleen bij een cirkel staat een raaklijn steeds loodrecht op de straal. En omdat we starten in het punt z(0) = 1 is het de eenheidscirkel, zodat |z(t)| constant is, en wel |z(t)| = 1.
En dat niet alleen, omdat |z(t)| = 1 en dus ook |z'(t)| = |i∙z(t)| = |i|∙|z(t)| = 1∙1 = 1 is het ook nog eens een speciale parametrisatie van de eenheidscirkel, namelijk een
booglengteparametrisatie. Dat betekent dat de parameter t de booglengte geeft vanaf het startpunt z(0) = 1, of, als je het 'fysisch' wil bekijken, de afgelegde weg op tijdstip t van een puntdeeltje dat eenparig met een snelheid één (eenheid per eenheid van tijd) tegen de klok in langs de eenheidcirkel beweegt, te beginnen in het punt (1;0) op tijdstip t = 0.
Omdat de gebruikelijke meetkundige definitie van de cosinus en sinus aan de hand van de eenheidscirkel impliceert dat x(t) = cos t, y(t) = sin t een booglengteparametrisatie van de eenheidcirkel geeft met startpunt (1;0), kunnen we de curve z(t) = x(t) + i∙y(t) in het complexe vlak die wordt gekarakteriseerd door z'(t) = i∙z(t), z(0) = 1 evengoed beschrijven als z(t) = cos t + i∙sin t, zodat e
it dus niets anders is dan cos t + i∙sin t.
Omgekeerd betekent dit dat we cos(α+β) + i∙sin(α+β) = (cos α + i∙sin α)(cos β + i∙sin β) ook kunnen schrijven als:
e
i(α+β) = e
iα∙e
iβDe formule van Euler impliceert dus eigenlijk dat het optellen van rotatiehoeken bij vermenigvuldiging van complexe getallen niets anders is dan het optellen van (zuiver imaginaire) exponenten bij vermenigvuldiging van twee e-machten. De bekende additieformules voor cos(α+β) en sin(α+β) kun je dus zien als een andere gedaante van e
i(α+β) = e
iα∙e
iβ en daarmee als een manifestatie van iets veel fundamentelers, namelijk een verband tussen rotatie en vermenigvuldiging van complexe getallen. Ook de formule van De Moivre kun je zo in een bijzonder eenvoudige vorm brengen, namelijk:
(e
iφ)
n = e
inφHet is misschien instructief om nog even te laten zien dat je alle eigenschappen van de cosinus en de sinus functie ook zonder meetkundige beschouwingen af kunt leiden uit een complexe functie z(t) = x(t) + i∙y(t) van een reële variabele t die voldoet aan z'(t) = i∙z(t), z(0) = 1.
Duiden we de geconjugeerde van z(t) aan met z*(t) = x(t) - i∙y(t) dan is |z(t)|
2 = z(t)∙z*(t) en is de afgeleide van |z(t)|
2 dus d(|z(t)|
2)/dt = z'(t)∙z*(t) + z(t)∙z*'(t) = i∙z(t)∙z*(t) + z(t)∙(z'(t))* = i∙z(t)∙z*(t) + z(t)∙(i∙z(t))* = i∙z(t)∙z*(t) + z(t)∙(-i)∙z*(t) = 0, zodat z(t)∙z*(t) = |z(t)|
2 en dus ook |z(t)| constant moet zijn. En aangezien z(0) = 1 geldt dus |z(t)| = 1 voor elke reële waarde van t. Zo hebben we dus
z(t)∙z*(t) = 1
oftewel:
(x(t))
2 + (y(t))
2 = 1.
Uit |z(t)| = 1 volgt zoals we al gezien hebben |z'(t)| = 1 en dus s(t) = ∫
0t |z'(τ)|∙dτ = t, zodat we een booglengteparametrisatie van de eenheidscirkel hebben.
Kijken we nu naar de afgeleide van z(t)∙z(-t), dan vinden we d(z(t)∙z(-t))/dt = z'(t)∙z(-t) + z(t)∙z'(-t)∙(-1) = i∙z(t)∙z(-t) + z(t)∙i∙z(-t)∙(-1) = 0, zodat z(t)∙z(-t) constant is en wel gelijk aan z(0)∙z(0) = 1. Uit z(t)∙z(-t) = 1 en z(t)∙z*(t) = 1 volgt
z(-t) = z*(t)
oftewel
x(-t) = x(t) en y(-t) = -y(t),
zodat we kunnen concluderen dat x(t) een even functie en y(t) een oneven functie is. Is nu c een willekeurige reële constante, dan kunnen we door de afgeleide te bepalen van z(t)∙z(c - t) op dezelfde wijze constateren dat dit ook een constante moet zijn, en aangezien we voor t = 0 hebben z(0)∙z(c - 0) = 1∙z(c) = z(c) hebben we dus z(t)∙z(c - t) = z(c) voor elke reële c en t. Substitutie van t = α en c = α + β (en dus c - t = β) geeft dan
z(α)∙z(β) = z(α+β)
Bedenken we nu dat z(t) = x(t) + i∙y(t) met z'(t) = i∙z(t), z(0) = 1 een booglengteparametrisatie van de eenheidscirkel voorstelt en dat dus op grond van de conventionele definitie van de cosinus en de sinus aan de hand van de eenheidscirkel moet gelden x(t) = cos t en y(t) = sin t, dan zie je dat we alle belangrijke eigenschappen van de sinus en cosinus terug hebben gevonden: uit z(t)∙z*(t) = 1 volgt (cos t + i∙sin t)(cos t - i∙sin t) = 1 oftewel cos
2t + sin
2t = 1, uit z(-t) = z*(t) volgt cos(-t) = cos t en sin(-t) = -sint, en z(α+β) = z(α)∙z(β) levert de additietheorema's voor cos(α+β) en sin(α+β). Merk nog op dat z'(t) = i∙z(t) impliceert dat z'(t) = z(t + ½π) aangezien i = z(½π) zodat ook x'(t) = x(t + ½π) en y'(t) = y(t + ½π) en dus d(cos t)/dt = cos(t + ½π) = -sin t en d(sin t)/dt = sin(t + ½π) = cos t. Zo zie je waarom je na viermaal differentiëren van cos t of sin t weer terug bent bij de oorspronkelijke functie, omdat cos t en sin t een periode 2π = 4∙½π hebben.
Nu zul je misschien zeggen, goed dat is allemaal interessant en mooi om de formules voor cos(α+β) en sin(α+β) te onthouden, maar zo heb ik het op school niet geleerd. Kan het ook zonder complexe getallen? Ja, dat kan zeker, en dat zou in de schoolstof aan bod moeten komen, maar ik heb de indruk dat dat niet goed meer of wellicht helemaal niet meer wordt uitgelegd. Er is een bijzonder elegant en eenvoudig bewijs mogelijk voor de additietheorema's met behulp van vectoren en uitgaande van de definitie van de cosinus en de sinus aan de hand van de eenheidscirkel waarvoor geen kennis buiten de normale schoolstof is vereist. Dit bewijs heeft bovendien het belangrijke voordeel, in tegenstelling tot andere meetkundige bewijzen die ik heb gezien, dat het geldig is voor willekeurige hoeken (rotaties) zowel in positieve als in negatieve zin. Als je dit bewijs wil bestuderen (aanbevolen) dan kun je het
hier vinden.
Goed, we hebben nu het analogon cos
2φ + sin
2φ = 1 van de stelling van Pythagoras gezien, we begrijpen dat de cosinus een even functie is en de sinus een oneven functie, en we hebben de additietheorema's voor cos(α+β) en sin(α+β) gezien. En eigenlijk is dit alles wat je echt nodig hebt, alle andere goniometrische identiteiten laten zich hieruit afleiden. Aangezien α - β = α + (-β) en cos(-β) = cos β en sin(-β) = -sin β vind je met de formules voor cos(α+β) en sin(α+β) gemakkelijk dat ook geldt:
cos(α-β) = cos α∙cos β + sin α∙sin β
sin(α-β) = sin α∙cos β - cos α∙sin β
Stel je β = α in de formules voor cos(α+β) en sin(α+β), dan vind je de formules voor de dubbele hoek:
cos 2α = cos
2α - sin
2α
sin 2α = 2∙sinα∙cosα
In de formule voor cos 2α zie je kwadraten cos
2α en sin
2α verschijnen, die we ook hebben in cos
2α + sin
2α = 1. Dat betekent dat we hier cos
2α = 1 - sin
2α óf sin
2α = 1 - cos
2α kunnen substitueren, zodat we nog twee formules voor cos 2α krijgen, namelijk:
cos 2α = 2∙cos
2α - 1
cos 2α = 1 - 2∙sin
2α
Het nut van deze twee extra formules is vooral dat je hiermee een kwadraat van een cosinus of sinus kunt uitdrukken in de cosinus van de dubbele hoek, als volgt:
cos
2α = ½(1 + cos 2α)
sin
2α = ½(1 - cos 2α)
Deze formules komen van pas bij de integraalrekening.
Uit de formules de sinus en cosinus van de som en het verschil van twee hoeken kun je ook weer formules afleiden om een som of verschil van twee sinussen of cosinussen om te zetten in een product, of omgekeerd. Tellen we bijvoorbeeld de formules voor cos(α+β) en cos(α-β) bij elkaar op, dan krijgen we:
cos(α+β) + cos(α-β) = 2∙cosα∙cosβ
Stellen we nu α + β = θ en α - β = φ, dan is α = ½(θ + φ) en β = ½(θ - φ) en hebben we dus:
cos θ + cos φ = 2∙cos½(θ + φ)∙cos½(θ - φ)
Op analoge wijze kun je ook formules voor cos θ - cos φ, sin θ + sin φ en sin θ - sin φ afleiden. Dit zijn de regels van Simpson (soms ook de formules van Mollweide genoemd).
Formules voor de sinus of cosinus van de drievoudige hoek komen ook wel eens van pas (casus irreducibilis bij kubische vergelijkingen!). Deze kun je afleiden uit de additietheorema's door uit te gaan van cos 3α = cos(2α + α) en sin 3α = sin(2α + α) en dan uit te werken en de reeds gekende formules voor cos 2α en sin 2α te substitueren. Maar het kan ook eleganter en eenvoudiger met De Moivre. Nemen we n = 3 in de formule van De Moivre, dan krijgen we:
cos 3φ + i∙sin 3φ = (cos + i∙sin φ)
3Uitwerken met behulp van het merkwaardig product (a+b)
3 = a
3 + 3a
2b + 3ab
2 + b
3 geeft:
cos 3φ + i∙sin 3φ = cos
3φ + 3∙i∙cos
2φ∙sinφ + 3∙i
2cosφ∙sin
2φ + i
3∙sin
3φ
cos 3φ + i∙sin 3φ = (cos
3φ - 3∙cosφ∙sin
2φ) + i∙(3∙cos
2φ∙sinφ - sin
3φ)
cos 3φ + i∙sin 3φ = (cos
3φ - 3∙cosφ + 3∙cos
3φ) + i∙(3∙sinφ - 3∙sin
3φ - sin
3φ)
En dus vinden we door gelijkstelling van de reële en imaginaire delen:
cos 3φ = 4∙cos
3φ - 3∙cosφ
sin 3φ = 3∙sinφ - 4∙sin
3φ
Tot nu toe hebben we alleen gekeken naar de sinus en cosinus, maar je hebt natuurlijk ook nog de tangens, cotangens, secans en cosecans die als volgt zijn gerelateerd aan de sinus en cosinus:
tan α = sin α/cos α, cot α = cos α/sin α, sec α = 1/cos α, csc α = 1/sin α
Er bestaan nog veel meer goniometrische functies zoals de sinus versus (versin), cosinus versus (coversin), halve sinus versus (haversin), halve cosinus versus (hacoversin), exsecans (exsec), excosecans (excsc) en niet te vergeten de koorde (crd α = 2∙sin ½α), maar die zul je wel zelden of nooit meer tegenkomen, tenzij je je gaat specialiseren in historische wiskunde.
Uiteraard laten alle goniometrische identiteiten waarin een tangens, cotangens, secans of cosecans voorkomt zich herleiden uit de basisidentiteiten voor de sinus en cosinus. Delen we bijvoorbeeld de leden van de identiteit cos
2α + sin
2α = 1 door cos
2α en door sin
2α dan krijgen we respectievelijk:
1 + tan
2α = sec
2α
cot
2α + 1 = csc
2α
En willen we bijvoorbeeld formules afleiden voor tan(α+β) en tan(α-β) dan gaan we uit van tan(α+β) = sin(α+β)/cos(α+β) en tan(α-β) = sin(α-β)/cos(α-β) en vinden we na substitutie van de uitdrukkingen voor sin(α+β), cos(α+β), sin(α-β) en cos(α-β) en deling van teller en noemer van de breuken door cosα∙cosβ dat
tan(α+β) = (tan α + tan β)/(1 - tan α∙tan β)
tan(α-β) = (tan α - tan β)/(1 + tan α∙tan β)
En door β = α te stellen in de formule voor tan(α+β) krijgen we nog:
tan 2α = 2∙tan α/(1 - tan
2α)
Uiteraard hadden we de formule voor de tangens van de dubbele hoek ook kunnen verkrijgen uit tan 2α = sin 2α/cos 2α. Nuttig is nog dat we sin 2α en cos 2α ook uitsluitend in tan α uit kunnen drukken. Delen we de reeds gevonden uitdrukkingen door cos
2α + sin
2α (waardoor er dus niets verandert, aangezien dit gelijk is aan 1), dan hebben we cos 2α = (cos
2α - sin
2α)/(cos
2α + sin
2α) en sin 2α = 2∙sin α∙cos α/(cos
2α + sin
2α). Delen van teller en noemer van de breuken door cos
2α geeft dan:
cos 2α = (1 - tan
2α)/(1 + tan
2α)
sin 2α = 2∙tan α/(1 + tan
2α)
Stellen we nu α = ½φ en dus 2α = φ, en
t = tan ½φ
dan hebben we
cos φ = (1 - t
2)/(1 + t
2), sin φ = 2t/(1 + t
2), tan φ = 2t/(1 - t
2),
terwijl uit t = tan ½φ ook volgt dt/dφ = ½(1 + tan
2½φ) = ½(1 + t
2) en dus
dφ = 2dt/(1 + t
2)
Dit zijn de bekende substitutieformules voor de tangens van de halve hoek, ook bekend als de Weierstraß substitutie, die je kunt gebruiken voor het herleiden van integralen waarbij de integrand een rationale functie van sinus en cosinus is.
Dit is natuurlijk maar een kleine greep uit de enorme hoeveelheid goniometrische identiteiten. Voor een overzicht kun je
hier of (uitgebreider)
hier kijken.